РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО Саратов 0

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5 Уравнения с разделяющимися переменными 6 Дифференциальные уравнения вида f ( a b c) 0 Однородные уравнения Уравнения приводящиеся к однородным 5 Уравнения в полных дифференциалах 5 6 Линейные уравнения 8 7 Уравнения интегрируемые в параметрической форме УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ( ) Уравнения вида n f ( ) ( k) ( k) ( n) Уравнения вида F ( ) 0 5 ( n) Уравнения вида F ( ) 0 6 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 8 Линейные однородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами 8 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 8 5 Уравнения Эйлера второго порядка 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 5 Нормальные системы уравнений 6 5 Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами 50 6 ЗАДАЧИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ ПРИВОДЯЩИЕСЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 57 Контрольные вопросы 6 Список рекомендованной литературы 65 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

3 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие написано в соответствии с Федеральным Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и программой преподавания курса «Математика» для студентов Института химии СГУ Курс «Математика» является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной Ее изучение предусматривает: развитие логического и алгоритмического мышления; овладение основными методами исследования и решения математических задач; овладение основными численными методами; выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач Дифференциальные уравнения основной инструмент химической кинетики Цель пособия помочь студентам Института химии СГУ освоить основные методы решения дифференциальных уравнений и получить практические навыки при решении типовых задач по данной теме В пособии рассматриваются основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их решения Подробное содержание приведено в оглавлении В пособии кратко изложены необходимые теоретические сведения и формульные соотношения основной материал иллюстрируют примеры По каждой теме приведены задачи для самостоятельного решения которые позволят обучающимся научиться применять полученные знания на практике тем самым будут способствовать лучшему пониманию и усвоению материала Ответы к задачам помогут проконтролировать правильность решения В конце приведены контрольные вопросы позволяющие оценить качество освоения теоретического материала и список литературы Пособие может быть полезно при изучении данной темы студентами нематематических направлений подготовки изучающих высшую математику САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Дифференциальным уравнением называется соотношение связывающее независимые переменные неизвестную функцию этих независимых переменных и ее производные (или дифференциалы) В случае когда неизвестная функция входящая в дифференциальное уравнение зависит только от одной независимой переменной дифференциальное уравнение называется обыкновенным Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала) входящей в уравнение Обыкновенным дифференциальным уравнением n го порядка (ОДУ) называется уравнение вида ( n) F ( ) 0 () где независимая переменная () неизвестная функция ( n) производные функции П р и м е р ы 5 -обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка d d - обыкновенное дифференциальное уравнение d d второго порядка -обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка Решение (интегрирование) ОДУ () заключается в отыскании функций () называемых решением (интегралом) уравнения которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений в определенном конечном или бесконечном интервале ( a b) Общее решение (общий интеграл) ОДУ n го порядка имеет вид ( n) 0 где независимая переменная () искомая функция n произвольные постоянные (постоянные интегрирования) Если в общем интеграле всем произвольным постоянным присвоить любые числовые значения то получим частное решение (частный интеграл) ОДУ Каждый частный выбор этих постоянных дает частное решение График каждого частного решения ОДУ называется интегральной кривой этого уравнения Совокупность всех таких графиков образует семейство интегральных кривых Задача Коши (начальная задача) состоит в нахождении частного решения уравнения () удовлетворяющего n начальным условиям: ( 0) 0 ( 0) ( n) ( 0) ( 0) n САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

5 где 0 0 n заданные числа По начальным условиям определяются n постоянных n Некоторые дифференциальные уравнения имеют еще дополнительные решения особые решения (интегралы) Особым решением дифференциального уравнения называется решение которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольных постоянных включая При решении дифференциального уравнения надо стремиться к тому чтобы наряду с определением общего решения были найдены также особые УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Обыкновенным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение F ( ) 0 () где независимая переменная () неизвестная функция производная функции Общее решение дифференциального уравнения () имеет вид ( ) 0 или ( ) Общее решение включает одну произвольную постоянную величину При некотором частном значении произвольной постоянной получается частное решение ОДУ () Задача Коши заключается в отыскании решения уравнения () удовлетворяющего начальному условию ( 0) 0 Простейшим дифференциальным уравнением -го порядка является уравнение f () () Учитывая что d d получим общий интеграл уравнения () в виде f ( ) d Если к исходному уравнению () добавить начальное условие определив 0 при 0 то получим уравнение для определения постоянной и тем самым определим частный интеграл рассматриваемого ОДУ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО П р и м е р при 0 5

6 что Р е ш е н и е Данное уравнение является простейшим ОДУ вида () Учитывая d получим d d d d d 5 5 d d 5 При интегрировании правой части воспользуемся заменой 5 5 t dt d dt (5 ) d dt 5 ln t c ln t Следовательно ln 5 общее решение исходного ОДУ Для определения частного решения подставим начальные условия 5 0 в общее решение Получим 5 ln ln Тогда частное решение соответствующее данному начальному условию будет иметь вид ln 5 5 Уравнения с разделяющимися переменными Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка с разделяющимися переменными имеет вид P ( ) Q ( ) d P ( ) Q ( ) d 0 () Если обе части уравнения разделить на P ( ) Q ( ) 0 получим P ( ) Q ( ) d d 0 (5) P ( ) Q ( ) Тогда общий интеграл ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными имеет вид P ( ) Q( ) d d (6) P ( ) Q ( ) Кроме найденного общего интеграла (6) уравнения () ему могут также удовлетворять решения полученные из уравнения P ( ) Q ( ) 0 Если эти решения не входят в общий интеграл (6) то они будут особыми решениями САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО П р и м е р ы d d 0 6

7 Р е ш е н и е Исходное уравнение имеет вид () и является уравнением с разделяющимися переменными Приведем уравнение к виду (5) Для этого разделим обе части уравнения на 0 Получим d d 0 Интегрируя обе части уравнения получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения d d Отсюда ( 0) ( 0 так как рассматриваются только арифметические значения корня) Теперь следует решить вопрос об особых решениях Для этого рассмотрим уравнение 0 Действительных решений это уравнение не имеет а потому и нет особых решений d d 0 ( 8) Р е ш е н и е Необходимо найти решение задачи Коши Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение задачи Оно имеет вид () и является уравнением с разделяющимися переменными Приведем уравнение к виду (5) Для этого разделим обе части уравнения на 0 : Интегрируя получаем или общий интеграл d d d 0 d ln Рассмотрим вопрос об особых решениях Для этого надо решить уравнение САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 0 7

8 Решение этого уравнения 0 (уравнение 0 не имеет действительных корней) Решение 0 является особым решением так как оно удовлетворяя уравнению не может быть получено из общего уравнения ни при одном частном значении Решение задачи Коши получим подставляя в общий интеграл начальные значения 8 : 7 8 ln ; Частное решение примет вид 7 ln или ln 7 5 ( 0) 5 Р е ш е н и е Перепишем уравнение в виде d 5 d Отсюда получим d 5 d 0 Оно имеет вид () и является уравнением с разделяющимися переменными Приведем уравнение к виду (5) Для этого разделим обе части уравнения на 5 0: d d 0 5 Интегрируя получаем d d 5 или общий интеграл исходного уравнения: (7) 5 Преобразовав (7) получим общий интеграл уравнения в более удобном виде Чтобы получить особое решение рассмотрим уравнение 5 0 или 0 Это решение будет особым так как оно не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной Частное решение получим из (7) подставляя в него значения 0 5: САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 8

9 5 0 ; 5 Решение исходной задачи Коши: 5 Р е ш е н и е Перепишем уравнение в виде d d Отсюда получим d d 0 Уравнение имеет вид () и является уравнением с разделяющимися переменными Приведем уравнение к виду (5) Для этого разделим обе части уравнения на 0: d d 0 Интегрируя обе части уравнения получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения d d ln Отсюда ( ) ln ; ; ( ) или ( ) Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности ( ) ) ( ) ; ; ( ) ( ) ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я 5 d 5 d 0 0 tgd ln d 0 9

10 d d 0 0 d d 0 О т в е т ы и у к а з а н и я Общий интеграл: sin Решение задачи Коши: Общий интеграл: (Произвольную постоянную удобно sin взять в виде ln ) Решение задачи Коши: Общий интеграл: arcsin arcsin arcsin (Произвольную постоянную удобно взять в виде arcsin ) Если в решении взять синус обеих частей и учитывая что примет вид: cos arcsin общее решение Особое решение: Решение задачи Коши: Общий интеграл: arctg arctg arctg (Произвольную постоянную удобно взять в виде arctg ) Если в решении взять тангенс обеих частей и учитывая что tg( arctg ) общее решение примет вид: Решение задачи Коши: Дифференциальные уравнения вида f ( a b c) Уравнения вида f ( a b c) (8) приводятся к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки a b c z; a b z; z a b Уравнение (8) примет вид z a f ( z); b z bf ( z) a; dz bf ( z) a или dz d 0 d bf ( z) a Последнее уравнение уравнение в котором переменные разделены В общем решении уравнения следует вернуться к старой переменной заменив z на a b c САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 0

11 П р и м е р Р е ш е н и е Исходное уравнение имеет вид (8) Для его решения сделаем подстановку: z Дифференцируя находим: z dz z z; z Поэтому z ; z ; z z d z Разделяем переменные получим z dz d 0 z Интегрируя находим z dz d ; z Откуда вычисляя интегралы получаем z ln z 9 а заменяя z на имеем общее решение исходного уравнения ln 9 9 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я О т в е т ы и у к а з а н и я Общий интеграл: ln (Подстановка: z ) Общее решение: 6 Общее решение: 5 0 ln Однородные уравнения Функция P ( ) называется однородной степени m если выполняется условие m P( ) P( ) (9) Если в ОДУ первого порядка вида P ( ) d Q( ) d 0 (0) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

12 функции P ( ) Q( ) являются однородными функциями степени m то уравнение (0) называется однородным ОДУ Однородное уравнение может также иметь вид f () Уравнения (0)-() заменой t приводятся к уравнению с разделяющимися переменными П р и м е р ы d d 0 Р е ш е н и е Здесь P( ) Q( ) Для них выполняется условие однородности (9): P( ) ( ) P( ) Q( ) Q( ) ( ) Сделаем замену: t t d dt td Подставив замену в уравнение получим t d t dt td 0 t d tdt td 0 t d tdt td 0 t dt ttd t d 0 tdt td 0 В последнем уравнении с разделяющимися переменными разделим переменные t dt d 0 и проинтегрируем t ln t ln t Возвращаясь к исходным величинам получим общее решение ln ln или ln sin Р е ш е н и е Данное уравнение имеет вид () Запишем уравнение в виде d sin ; d sin d d Сделаем замену: t ; t; d dt td В результате подстановки получаем САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

13 dt td t sin td; dt sin td; dt d sin t Интегрируя получаем t t t ln tg ln ln ; ln tg ln ; tg откуда t arctg ( ) t находим общее решение исходного уравнения arctg ( ) Для решения задачи Коши используем начальное условие arctg ; arctg ; Тогда частное решение примет вид: arctg З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я d d 0 cos 0 О т в е т ы и у к а з а н и я Общий интеграл: arctg ln Общее решение: (Вычисляя интеграл выполнить t t t следующие преобразования: dt dt t t ln ) t Общее решение: tg ln Уравнения приводящиеся к однородным Дифференциальное уравнение приводящееся к однородному имеет вид a b c d a b c d 0 () Данное уравнение путем соответствующей замены может быть приведено к однородному уравнению (0) Здесь P( ) a b c Q( ) a b c линейные функции которые можно воспринимать как аналитическое описание САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

14 прямых линий Тогда метод решения распадается на две части в зависимости от того пересекаются прямые или нет ) Прямые линии пересекаются то есть a b a b 0 и система линейных уравнений a b c 0 ab c 0 имеет единственное решение: ; Для дифференциального уравнения следует сделать замену переменных полагая u ; v ) Прямые линии не пересекаются то есть a b ab 0 Для дифференциального уравнения в этом случае следует сделать замену переменных a b t что позволит разделить переменные П р и м е р ы d d 0 Р е ш е н и е Данное уравнение имеет вид () Для системы линейных уравнений 0 0 определитель 0 Следовательно система имеет единственное решение: ; Произведем в исходном уравнении замену переменных: u ; d du; v ; d dv Тогда уравнение примет вид u vdu u vdv 0 Полученное уравнение является однородным Для его решения сделаем v замену t ; v tu; dv udt tdu после подстановки которой u придем к уравнению с разделяющимися переменными t t udu u t dt 0 Интегрирование последнего уравнения дает результат u t t С Возвращаясь к исходным переменным получим С где С С d d 0 Р е ш е н и е Для системы линейных уравнений 0 0 определитель 0 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

15 Сделаем замену: t; d d dt Тогда уравнение примет вид t d t dt d 0 или t d t dt 0 Интегрирование последнего уравнения дает результат t 5ln t С и окончательно 5ln С З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я d d 0 0 d d 0 d d 0 О т в е т ы и у к а з а н и я Общий интеграл: ln Решение задачи Коши: ln 0 Общее решение: Общее решение: 8 5 Уравнения в полных дифференциалах Полным дифференциалом функции двух переменных u ( ) является выражение u u du d d () Если необходимо найти решение дифференциального уравнения P ( ) d Q( ) d 0 () про левую часть которого известно что это полный дифференциал некоторой функции u ( ) то есть du 0 то общий интеграл уравнения () будет иметь вид u( ) С Если левая часть () является полным дифференциалом функции u ( ) то учитывая выражение для полного дифференциала () необходимо чтобы u P( ); (5) u Q( ) d (6) Уравнения (5)-(6) позволяют найти функцию u ( ) И наконец чтобы уравнение () являлось уравнением в полных дифференциалах должно быть выполнено условие САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 5

16 P( ) Q( ) (7) Условие (7) является необходимым и достаточным для того чтобы дифференциальное уравнение () являлось уравнением в полных дифференциалах П р и м е р ы 6 d 6 6 d 0 Р е ш е н и е Здесь P( ) 6 ; Q( ) 6 6 Проверим выполнение условия (7) P( ) 6 6 ; 6 6 Q( ) 6 Таким образом условие (7) выполняется следовательно исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Для решения уравнения найдем функцию u ( ) для которой du 0 Воспользуемся соотношением (5) u( ) 6 Проинтегрировав это уравнение по переменной получим u u( ) d P( ) d 6 d С( ) При интегрировании функции двух переменных по постоянная интегрирования будет зависеть от и является неизвестной функцией С () Для определения ее продифференцируем последнее выражение по u( ) 6 6 С( ) Учитывая (6) получим С( ) Отсюда С ( ) ; ( ) Тогда u( ) Следовательно общий интеграл уравнения u( ) С в данном случае будет иметь вид САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО С 6

17 d d 0 Р е ш е н и е Здесь P( ) ; Q( ) Проверим что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах то есть выполняются условия (5) P( ) Q( ) ; Для решения уравнения найдем функцию u ( ) для которой du 0 Для определения функции u ( ) имеем систему u u (8) Интегрируя первое уравнение по переменной ( в этом случае считается фиксированным) получаем u u( ) d d С( ) Здесь С () является неизвестной функцией от одного аргумента Для ее определения подставим u ( ) во второе уравнение системы (8) заключаем: С( ) то есть С ( ) и ( ) Общее решение исходного уравнения будет иметь вид Разрешив последнее уравнение относительно получим общее решение уравнения З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я d d 0 9 d 6 d 0 d d 0 О т в е т ы и у к а з а н и я Общее решение: Общее решение: Общее решение: САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 7

18 6 Линейные уравнения Линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид a( ) b( ) d( ) или P( ) f ( ) (9) b( ) d( ) где P( ) f ( ) при условии a( ) a( ) a ( ) 0 Если в уравнении (9) f ( ) 0 то уравнение называется линейным однородным если f ( ) 0 то уравнение называется линейным неоднородным Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка P( ) 0 (0) Решение этого уравнения легко получается разделением переменных d P( ) d и имеет вид P( ) d С () Для решения линейного неоднородного уравнения (9) используется метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа) В этом методе решение неоднородного уравнения ищется в виде () где произвольная постоянная считается функцией зависящей от то есть P( ) d С( ) () Для определения функции С () необходимо решение () подставить в уравнение (9) получить уравнение относительно С () проинтегрировать его и полученное значение С () подставить в () Как доказывается в теории интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (9) общее решение этого уравнения равно сумме двух слагаемых из которых одно является общим решением соответствующего однородного уравнения (0) а другое частным решением неоднородного уравнения (оно получается из общего при 0) Рассмотрим применение данного метода на примерах П р и м е р ы Р е ш е н и е Данное уравнение линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 8

19 Решение однородного уравнения 0 получим используя () где P( ) тогда Общее решение исходного уравнения будем искать в виде d С ; С С( ) () Подставим последнее выражение для в неоднородное уравнение С( ) С( ) 9 С ( ) С( ) С( ) С( ) ; С( ) С Подставляя найденную функцию С () в () получим общее решение неоднородного уравнения С или С Первое слагаемое в общем решении С общее решение однородного линейного уравнения соответствующего данному а второе слагаемое определяет частное решение исходного неоднородного уравнения cos (0) Р е ш е н и е Для решения задачи Коши необходимо найти общее решение заданного уравнения Данное уравнение линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка где P ( ) Решение соответствующего однородного уравнения получим d используя (): С ; С Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде С( ) () Подставим последнее выражение для в неоднородное уравнение С( ) С( ) cos САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО С ( ) С( ) С( ) cos С ( ) sin С( ) sin

20 ( ) sin d Вычисляя интеграл с использованием формулы интегрирования по частям получим ( ) sin cos 7 Подставляя найденную функцию С () в () получим общее решение неоднородного уравнения sin cos 7 или sin cos 7 Чтобы определить частное решение будем использовать начальное условие: 0; Подставив эти значения в общее решение неоднородного уравнения найдем значение произвольной постоянной С 7 7 Частным решением будет sin cos 7 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я ; (0) cos tg ; 9 ; () 6 О т в е т ы и у к а з а н и я Общее решение: Частное решение:? или sh Общее решение: cos sin cos (При решении воспользоваться формулой ln N N ) Частное решение: sin cos Общее решение: (Обе части уравнения разделить на ) Частное решение: САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 0

21 7 Уравнения интегрируемые в параметрической форме Дифференциальные уравнения вида (5) (6) легко интегрируются в параметрической форме Полагая или d d (7) где параметр уравнение (5) запишется в виде ( ) (8) Продифференцируем уравнение (8): d ( ) d Подставляя это выражение в (7) получим d ( ) d Интегрируя последнее равенство совместно с (8) будем иметь решение в параметрической форме ( ) ( ) d Аналогично интегрируется уравнение (6) Полагая где параметр уравнение (6) запишется в виде ( ) (9) Отсюда d ( ) d Учитывая (7) получим d ( ) d или ( ) d d Интегрируя последнее равенство совместно с (9) получим решение уравнения в параметрической форме ( ) d ( ) Иногда удается исключить параметр и получить общий интеграл уравнения П р и м е р ы ln Р е ш е н и е Данное уравнение вида (5) Положим ; d d Подставив замену в уравнение получим ln Отсюда d d d ; d d d; d ( ) d САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

22 Интегрируя последнее уравнение получим ( ) d; С Решение исходного уравнения в параметрической форме будет иметь вид ln ( ) С Здесь параметр легко исключить Из второго равенства получаем ( ) ( 0) Подставляя найденное выражение для в первое равенство находим общее решение уравнения в следующем виде: ( ) ln ( ) Р е ш е н и е Данное уравнение вида (6) Положим ; d d Подставив замену в уравнение получим Отсюда d d; d d; d d Интегрируя последнее уравнение получим d; С Решение исходного уравнения в параметрической форме будет иметь вид Здесь параметр легко исключить Из первого равенства получаем ln( ) Подставляя найденное выражение для во второе равенство находим общее решение уравнения в следующем виде: ln( З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я arcsin ln ln САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

23 О т в е т ы и у к а з а н и я sin Общее решение: sin sin ) Общее решение: Общее решение: 05ln ln ln ln cos С УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (Перейти к уравнению ( ) Уравнения вида n f ( ) Решение дифференциального уравнения n -ого порядка вида ( ) n f ( ) (0) находится n -кратным интегрированием П р и м е р ы Р е ш е н и е Данное уравнение вида (0) Интегрируя уравнение три раза получим его общее решение d С С d d С d С С С С 5 С С d d С d С d С С С 5 Окончательный вид общего решения 5 С С С 60 Р е ш е н и е Данное уравнение вида (0) Интегрируя уравнение два раза получим его общее решение САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО ( интегрируется по частям ) d С С d С С

24 Окончательный вид общего решения С С ; () ; () ; () Р е ш е н и е Найдем общее решение уравнения в исходной задаче Коши Уравнение задачи имеет вид (0) и его общее решение получим путем интегрирования d ln С ( интегрируется почастям ) ln d ln d С d ln С ln С d ln d d d d ln ln Для получения задачи Коши воспользуемся начальными условиями: Тогда первый результат интегрирования позволит определить В самом деле ln С ; и ln Тогда второй результат интегрирования позволит определить В самом деле ; 5 и ln 5 Тогда последний результат интегрирования позволит определить В самом деле 9 5 ; и 9 ln 5 Сделав приведение подобных членов получим решение задачи Коши в виде 7 9 ln 5 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я (5) () (0) 0 (0) (0) (0) (0) sin ; (0) 0 (0) 0 (0) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО () sin ; 0

25 О т в е т ы и у к а з а н и я cos sin sin 6 ( k) ( k) ( n) Уравнения вида F ( ) 0 Порядок дифференциального уравнения вида ( k) ( k) ( n) F ( ) 0 () в котором отсутствует функция можно понизить если за новую неизвестную функцию взять низшую из производных данного уравнения ( k) то есть полагая z( ) ( ) Тогда исходное уравнение примет вид ( k) F ( z z z n ) 0 Порядок исходного уравнения понизился на k единиц П р и м е р ы Р е ш е н и е Уравнение относится к виду () Положим z и относительно z получим уравнение z z которое является уравнением с разделяющимися переменными Находим его общее решение z( ) Возвращаясь к замене получаем уравнение которое является уравнением вида (0) Находим его общее решение Учитывая что является произвольной постоянной ответ можно записать в виде 5 ln Р е ш е н и е Данное уравнение не содержит искомую функцию и относится к виду () Положим z тогда исходное уравнение будет иметь вид САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

26 z z z z z ln или z ln Полученное уравнение является однородным первого порядка Для его решения сделаем замену z t откуда z t z t t После замены получим уравнение с разделяющимися переменными t t t ln t или t t(ln t ) Разделив переменные получим dt d t(ln t ) Интегрируя находим С ln(ln t ) ln ln С или ln t С t Возвращаясь к замене t С z и учитывая z приходим к уравнению С интегрируя которое получим С С С d С С С З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я a () () О т в е т ы и у к а з а н и я a (Ввести обозначение arcsin arcsin a ) Уравнения вида F ( ) 0 Порядок дифференциального уравнения вида ( n) F ( ) 0 () в котором отсутствует независимая переменная можно понизить если за новую независимую переменную взять Полагая z() где z () новая неизвестная функция по правилу дифференцирования САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО сложной функции находим что zz z z z z и тд Тогда ( n) 6

27 ( n) исходное уравнение примет вид F ( z z z ) 0 то есть порядок понизился на единицу П р и м е р ы Р е ш е н и е Уравнение относится к виду () Положим z zz Уравнение примет вид z zz Это уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися переменными Разделяем переменные и интегрируем: zdz d ; ln( z ) ln ln ; z ; z z Отсюда возвращаясь к переменной имеем d ; d; ln или ( ) ( ) ; ch ; (0) ; (0) Р е ш е н и е Уравнение задачи Коши относится к виду () Положим z zz Уравнение примет вид zz z Данное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными общим решением которого будет z Подставив в последнее уравнение вместо z получим уравнение первого порядка в котором уже является функцией : Решив это уравнение получим общее решение исходного уравнения Для определения частного решения используем начальные условия Из того что при 0 найдем В самом деле САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 0 7

28 Тогда решение уравнения примет вид: 8 Отсюда Так как при 0 найдем В самом деле 0 Окончательно решением задачи Коши будет функция З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я 0 ln ln 0 О т в е т ы и у к а з а н и я 05ln( ) 05 ln( ) ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Большое число процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка P( ) Q( ) f ( ) () где P( ) Q( ) f ( ) функции переменной Отличительной чертой линейного уравнения является то что искомая функция и все ее производные входят в это уравнение в первой степени Предполагается что функции P ( ) Q( ) f ( ) непрерывны в промежутке ( a b) Функции P ( ) Q( ) называются коэффициентами уравнения Если в уравнении () f ( ) 0 то уравнение называется однородным если f ( ) 0 то уравнение называется неоднородным Линейные однородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка P( ) Q( ) 0 () Если функции ( ) и ( ) являются частными решениями уравнения () то и функция ) ( ) (5) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО (

29 где произвольные постоянные тоже является решением этого уравнения При этом если ( ) ( ) линейно-независимые функции то есть ( ) const ( ) то (5) общее решение дифференциального уравнения Совокупность двух решений линейного однородного уравнения второго порядка определенных и линейно-независимых в промежутке ( a b) называется фундаментальной системой решений этого уравнения П р и м е р 0 Р е ш е н и е Для данного уравнения легко найти ( ) cos ( ) sin и sin для них справедливо const следовательно общее решение cos исходного уравнения будет иметь вид c cos c sin Можно доказать что если ( ) частное решение линейного однородного уравнения () то второе его частное решение линейно независимое с первым находится по формуле P( ) d d (6) Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка для которых известно одно частное решение сразу не прибегая к понижению порядка П р и м е р ы Найти общее решение уравнения 0 если известно его частное решение sin Р е ш е н и е Уравнение имеет вид () где P( ) Так как известно одно частное решение второе частное решение линейно-независимое с первым будем искать по формуле (6) Для этого вычислим d ln ln Тогда САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 9

30 ln ln sin sin sin sin d d d d sin sin sin sin sin ctg cos Таким образом общее решение исходного уравнения будет иметь вид sin cos Найти общее решение уравнения 0 если известно его частное решение Найти частное решение при начальных условиях: ( 0) (0) Р е ш е н и е Приведем данное уравнение к виду () 0 Здесь P ( ) Используя первое частное найдем с помощью (6) второе частное решение Предварительно вычислим d d d d ln( ) Подставляя необходимые данные в (6) получим ( ln( ) ln( ) ( ) d d d d d ( интегрирование первого интеграла по частям ) u du d d d dv d v Итак Следовательно общее решение исходного уравнения будет иметь вид (7) Чтобы найти частное решение удовлетворяющее начальным условиям то есть чтобы решить задачу Коши надо начальные условия подставить в систему уравнений которая состоит из общего решения и его производной определить из этой системы произвольные постоянные и подставить их значения в найденное общее решение Дифференцируя общее решение (7) получаем систему САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 0

31 Подставляем в нее начальные условия: 0; (0) ; (0) Искомое частное решение: З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Найти общие решения линейных однородных уравнений второго порядка и решения задачи Коши по известным первым частным решениям этих уравнений и заданным начальным условиям ln 0; ln ; () () tg cos 0; cos(sin ); (0) (0) 9 0; ; () () 5 О т в е т ы и у к а з а н и я Общее решение: ln Решение задачи Коши: ln (При вычислении интеграла d применить формулу ln ln(ln ) интегрирования по частям Учесть ln ) sin(sin ) Общее решение: cos(sin ) sin(sin ) Решение задачи Коши: cos(sin ) sin(sin ) Общее решение: Решение задачи Коши: Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами q 0 (8) где q постоянные числа (коэффициенты уравнения) Общее решение () уравнения (8) имеет вид ( ) ( ) (9) где ( ) ( ) частные линейно-независимые решения однородного уравнения (8) Для определения необходимо составить характеристическое уравнение для уравнения (8) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

32 k k q 0 Корни этого уравнения определяются по формуле k q При вычислении корней может возникнуть один из трех случаев: ) если q 0 то k k действительные числа В этом случае частные решения однородного уравнения будут иметь вид и общее решение k k ; k ) если q 0 то k k k действительные числа В этом случае частные решения однородного уравнения будут иметь вид k k k и общее решение ) если q 0 то k i k i комплексносопряженные числа В этом случае частные решения однородного уравнения будут иметь вид cos sin и общее решение cos sin П р и м е р ы Найти общее решение линейного однородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 0 Р е ш е н и е Характеристическое уравнение k k 0; k k Корни характеристического уравнения действительные и различные Частные линейно-независимые решения уравнения будут иметь вид Тогда общее решение уравнения согласно (9) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО Р е ш е н и е Характеристическое уравнение k k 9 0; k k k 6

33 Корни характеристического уравнения действительные и равные Частные линейно-независимые решения уравнения будут иметь вид Тогда общее решение уравнения согласно (9) или окончательно 0 Р е ш е н и е Характеристическое уравнение k 0; k i k i Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные 0 Частные линейно-независимые решения уравнения будут иметь вид 0 cos sin cos sin Тогда общее решение уравнения согласно (9) cos sin 0 ( ) ( ) Р е ш е н и е Характеристическое уравнение k k k 0; k i k i Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные Частные линейно-независимые решения уравнения будут иметь вид cos sin Тогда общее решение уравнения согласно (9) cos sin или ( cos sin ) (0) Для определения произвольных постоянных из начальных условий надо найти : cos sin () Подставляя в (0) и () начальные условия получим систему для определения произвольных постоянных ( ) Искомое решение удовлетворяющее начальным условиям получим подставляя найденные значения в (0): ( cos sin ) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

34 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я 0 (0) (0) 0 (0) (0) (0) 0 (0) О т в е т ы и у к а з а н и я Решение задачи Коши: Общее решение: Общее решение: cos sin Решение задачи Коши: cos sin Общее решение: Решение задачи Коши: Линейные неоднородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка () Для решения данного уравнения необходимо определить общее решение соответствующего однородного уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения Их сумма будет являться общим решением неоднородного уравнения Однако нахождение необходимых слагаемых в общем случае затруднительно и только в некоторых частных случаях задача может быть решена достаточно легко Одним из методов решения линейного неоднородного уравнения является метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) Получив общее решение соответствующего однородного уравнения в виде (5) поступают так: полагают что в этом решении величины и являются не постоянными а функциями независимой переменной и записывают решение () в виде ( ) ( ) () Для определения функций ( ) и ( ) составляют систему уравнений ( ) ( ) 0 () ( ) ( ) f ( ) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

35 Определитель этой системы W () называется определителем Вронского Так как функции ( ) и ( ) линейно независимы их определитель Вронского не равен нулю и система () всегда имеет решение и притом единственное Решая эту систему относительно ( ) и ( ) получим 0 f ( ) ( ) f ( ) W ( ) W или 0 f ( ) ( ) f ( ) W ( ) W Из последней системы интегрированием находим: f ( ) ( ) d W (5) f ( ) ( ) d W Подставив (5) в () и раскрывая скобки получим общее решение линейного неоднородного уравнения () f ( ) f ( ) d d W W Первые два слагаемые составляют общее решение однородного уравнения а последние два слагаемые частное решение неоднородного уравнения Обозначив частное решение неоднородного уравнения через ~ ( ) получаем формулу частного решения неоднородного уравнения второго порядка ~ f ( ) f ( ) d d (6) W W П р и м е р ы Найти общее решение уравнения 6 зная что частным решением соответствующего ему однородного уравнения является функция Р е ш е н и е Преобразуем уравнение к виду () в котором коэффициент при старшей производной равен единице Для этого обе части уравнения разделим на В результате получим САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 5

36 6 6 Правая часть уравнения ) ( f Однородное уравнение соответствующее данному будет иметь вид 0 6 Уравнение имеет вид () где P ) ( Так как известно одно частное решение второе частное решение линейно-независимое с первым будем искать по формуле (6) Для этого вычислим ln ln d Тогда ln ln d d d d Таким образом общее решение однородного уравнения будет иметь вид Определим частное решение неоднородного уравнения по формуле (6) В соответствие с () определитель Вронского W d d d W f ) ( d d d W f ln ) ( Подставляя в (6) значения интегралов и частные решения уравнения получим ln ln ) ( ) ( ~ d W f d W f В результате общее решение заданного уравнения примет вид ln Найти общее решение уравнения ctg Р е ш е н и е Рассмотрим однородное уравнение соответствующее данному 0 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

37 Частные решения последнего уравнения ранее были найдены: sin cos Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид sin cos Определим частное решение неоднородного уравнения по формуле (6) В соответствие с () определитель Вронского sin cos W cos sin sin cos f ( ) sin ctg d d cosd sin W f ( ) cosctg cos sin d d d d cos ln tg W sin sin Подставляя в (6) значения интегралов и частные решения уравнения получим ~ f ( ) f ( ) cos sin d d sin cos ln tg W W sin ln tg Таким образом общее решение исходного уравнения будет иметь вид sin cos sin ln tg З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Найти общие решения линейных неоднородных уравнений второго порядка зная одно частное решение соответствующего однородного уравнения ; ln 5 ln ; ; О т в е т ы и у к а з а н и я ln 7 5 ln САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 7

38 ln Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами q f () (7) где q постоянные числа (коэффициенты уравнения) Общее решение () уравнения (7) имеет вид ~ (8) где () является общим решением однородного уравнения соответствующего уравнению (7) вида (9) а ~ ~ ( ) любое частное решение неоднородного уравнения (7) Для определения общего решения однородного уравнения следует решить уравнение q 0 Для определения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами можно воспользоваться универсальным методом вариации произвольных постоянных Однако определить частное решение ~ неоднородного уравнения без применения аппарата интегрирования можно в том случае если функция f () имеет вид f ( ) Pn ( )cos Qm ( ) sin (9) где постоянные величины Pn ( ) Qm ( ) многочлены от степеней n m соответственно Метод побора частного решения по виду правой части (9) уравнения (7) называется методом неопределенных коэффициентов Частное решение уравнения (7) следует искать в виде ~ r Rl ( )cos Sl ( )sin (50) где r равен количеству корней характеристического уравнения равных i Rl ( ) Sl ( ) многочлены от степени l ma( n m) имеющими вид l l l Rl ( ) A0 A Al A0 l l l Sl ( ) B0 B Bl B0 (5) Постоянные коэффициенты A i Bi многочленов Rl ( ) Sl ( ) в (5) являются неизвестными определив которые будем иметь частное решение неоднородного уравнения При определении вида частного решения (50) следует учесть что если функция f () содержит хотя бы одну из функций sin или cos то выражение (50) должно содержать оба многочлена R ( ) S ( ) САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 8 l l

39 Чтобы найти неопределенные коэффициенты A i Bi необходимо выполнить следующие действия: ) найти производные первого и второго порядков от частного решения ~ ; ) подставить найденные производные ~ ~ вместо в уравнение (7); ) приравнять коэффициенты при соответствующих степенях (или при функциях sin и cos ) в левой и правой частях полученного уравнения получив систему линейных алгебраических уравнений; ) решить систему определив коэффициенты A i Bi Найденные значения неопределенных коэффициентов A i Bi подставить в выражение (5) и наконец записать общее решение уравнения (7) подставив в выражение (8) найденные значения ~ Правая часть уравнения (7) может иметь один из следующих частных видов: ) f ( ) a a постоянная i ; ) f ( ) acos bsin a b постоянные i i; ) f ( ) P ( ) i 0 ; n ) f ( ) Pn ( ) i ; 5) f ( ) Pn ( )cos Qm ( ) sin i i 6) f ( ) acos bsin b 9 ; a постоянные П р и м е р ы Найти общее решение линейного неоднородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Р е ш е н и е Общее решение линейного неоднородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами ~ где () общее решение однородного уравнения соответствующего исходному а ~ ~ ( ) частное решение неоднородного уравнения Рассмотрим однородное уравнение 0 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО Характеристическое уравнение k k 0; k k Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами будет иметь вид

40 Определим частное решение ~ неоднородного уравнения Так как функция f ( ) имеет вид (9) ( 0 P n ( ) многочлен нулевой степени) то частное решение неоднородного уравнения ~ будем искать в виде ~ A Отсюда ~ A ~ 6 A Подставляя производные в исходное уравнение получим 6A 8A A ; 5A ; 5A ; A 5 Таким образом ~ 5 и общее решение неоднородного уравнения окончательно примет вид c sin Р е ш е н и е Общее решение данного уравнения будем искать в виде (8) Для определения решим однородное дифференциальное уравнение Составим характеристическое уравнение k 6k 5 0 Корни k i k i комплексно-сопряженные числа где Следовательно c cos c sin Определим частное решение ~ неоднородного уравнения Так как функция f( ) s in имеет вид (9) ( 0 Q m ( ) многочлен нулевой степени) то частное решение ~ ~ будем искать в виде Asin Bcos где A B постоянные которые необходимо найти ~ Asin Bcos Acos Bsin ~ Acos Bsin Asin Bcos Для определения A B подставим найденные выражения в исходное уравнение Asin Bcos 6 Acos Bsin 5Asin Bcos sin Раскроем в последнем уравнении скобки и сгруппируем слагаемые в левой части уравнения ( A 6A 5B)cos ( B 6B 5A)sin sin ; ( 7A 5B)cos (5B 5A)sin sin САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 0

41 В последнем уравнении приравняем коэффициенты при sin и cos в левой и правой частях уравнений 7A 5B 0 5A 5B Решением системы являются значения 5 7 A B 0 Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид ~ 5 7 sin cos 0 Следовательно общее решение исходного уравнения 5 7 c c sin sin cos 0 Р е ш е н и е Общее решение данного уравнения будем искать в виде (8) Для определения решим однородное дифференциальное уравнение 0 Составим характеристическое уравнение k k 0 Корни k i k i комплексно-сопряженные числа где Следовательно общее решение соответствующего однородного уравнения: c cos c sin Определим частное решение ~ неоднородного уравнения Так как функция f ( ) имеет вид (9) ( 0 0 P n ( ) многочлен второй степени) то частное решение ~ будем искать в виде ~ A B где A B постоянные которые необходимо найти Отсюда ~ A B ~ A Подставляя производные в исходное уравнение получим A A B A B Раскрыв скобки в левой части уравнения сгруппировав слагаемые с одинаковыми степенями получим A B A A B В последнем уравнении приравняем коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО

42 A B A 0 A B 0 Решение системы линейных алгебраических уравнений A B Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид ~ ~ Следовательно общее решение исходного неоднородного уравнения cos sin З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я sin 5 0 cos О т в е т ы и у к а з а н и я cos sin cos sin sin 9 cos sin cos sin Уравнения Эйлера второго порядка Рассмотрим линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами вида a b a b q f ( ) (5) где a b q постоянные коэффициенты В частности при a b 0 уравнение (5) примет вид САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО q f ( ) (5) Уравнения (5)-(5) относятся к уравнениям Эйлера Если для уравнения (5) ввести замену переменной

43 t a b ( t ln a b ) (5) а для уравнения (5) сделать замену t ( t ln ) (55) оба уравнения преобразуются в линейные уравнения с постоянными коэффициентами В процессе замены необходимо учесть что d d dt d dt d dt d dt d П р и м е р ы 5 0 Р е ш е н и е Дано уравнение Эйлера вида (5) где f ( ) 0 Произведем замену переменной (55): t dt t t ln Учитывая что d получим d d dt d t d dt d dt d dt d d t dt d t d t t d d t dt d dt dt d dt dt dt dt Подставляя эти значения производных в уравнение и замечая что t получаем t d d t t d t dt dt dt Проведя сокращения раскрыв скобки имеем d d 0 dt dt Сделанная подстановка привела нас к линейному однородному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение: k k 0; k k t Фундаментальная система решений уравнения: Так как t ln то частные решения запишутся в виде Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами будет иметь вид САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО t

44 d r dr r 0 d d Р е ш е н и е Если обе части заданного уравнения умножить на то оно примет вид d r dr r 0 d d Это есть уравнение Эйлера вида (5) в котором независимая переменная а r r() Подстановка (55) в данном случае примет вид: t ln Тогда dt t d dr dr dt dr t d dt d dt t d r d dr dt d dr t dt d r t dr t t d r dr t dt dt d d dt dt d dt dt dt dt Подставив эти значения производных в уравнение и замечая что t получим уравнение d r dr r 0 dt dt Сделанная подстановка привела нас к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение: k k 0; k k t r r Фундаментальная система решений уравнения: ; t t t Так как то ; и частные решения запишутся в виде r r Тогда общее решение исходного уравнения r cosln Р е ш е н и е Дано уравнение Эйлера вида (5) Произведем замену переменной t dt t (55): t ln Учитывая что получим d d d dt d t d dt d dt САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО t

45 d dt d d t dt d t d t t d d t dt d dt dt d dt dt dt dt Подставляя эти значения производных в уравнение и замечая что t получаем t d d t t d t cost dt dt dt Проведя сокращения раскрыв скобки имеем d d cost dt dt Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами Общее решение соответствующего однородного уравнения есть t t Используя метод неопределенных коэффициентов частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Asin t Bcost Из уравнения получим значения неопределенных коэффициентов: A B 0 Общее решение неоднородного уравнения t t sin t или ln sin ln З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я d u du u 0 d d 5 ln О т в е т ы и у к а з а н и я ln cos( ln ) sin(ln ) u 5 9ln ln 6 9 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 5

46 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5 Нормальные системы уравнений Система дифференциальных уравнений вида d f ( n ) d d f ( n ) d dn f ( n ) d где n неизвестные функции независимой переменной называется нормальной системой Особенностью нормальной системы дифференциальных уравнений является то что все входящие в систему уравнения являются уравнениями первого порядка и все уравнения системы разрешены относительно этих производных Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно n то система дифференциальных уравнений называется линейной Если нормальная система уравнений линейна а коэффициенты при неизвестных функциях постоянны то она имеет вид d a a a n n ( ) d d a a a n n ( ) d dn an an an n n n ( ) d (56) Если все функции ( ) ( ) n( ) равны нулю то система (56) называется однородной а если хотя бы одна из них не равна нулю - неоднородной Число произвольных постоянных входящих в общее решение нормальной системы уравнений равно числу неизвестных функций входящих в систему Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n -ого порядка содержащему одну неизвестную функцию Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 6

47 уравнений системы и исключением всех неизвестных кроме одного (метод исключения) В некоторых случаях комбинируя уравнения системы после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (метод интегрируемых комбинаций) что позволяет найти решение системы П р и м е р ы d d d d Р е ш е н и е Система дифференциальных уравнений - нормальная Здесь неизвестные функции ( ) ( ) Исключим Из первого уравнения d d Подставляя во второе уравнение получим d или d d d (57) Уравнение (57) линейное неоднородное уравнение второго порядка Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения k k 0 имеет корни k i k i Общее решение уравнения cos sin Частное решение можно определить по виду правой части: ~ A A Тогда общее решение уравнения (57) примет вид cos sin Но d sin cos d Объединяя полученные результаты получим общее решение исходной системы cos sin sin cos САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 7

48 d dt d dt Р е ш е н и е Система дифференциальных уравнений - нормальная Здесь неизвестные функции ( t) ( t) Продифференцируем по t первое уравнение d d d dt dt dt Сложив уравнения системы получим d d dt dt тогда относительно получим уравнение d 0 dt Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение k 0 имеет корни k k Общее решение уравнения t Общее решение для находим из первого уравнения системы d d d t t t t dt dt dt Проделав необходимые действия получим t t t Таким образом общее решение исходной системы примет вид t t t t d d z при начальных условиях: ( 0) z(0) dz z d z Р е ш е н и е Система дифференциальных уравнений - нормальная Здесь неизвестные функции ( ) z( ) Составим первую интегрируемую комбинацию разделив первое уравнение на второе САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО 8

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее