ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )"

Транскрипт

1 ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f ( ) 0 = 36, = 88, = 5 = = 9 = 3 б) f ( 0), f ( ), f ( ) Решите систему уравнений: а) x + x + x3 = 0, x + x3 + x4 = 5, x + x3 + x4 =, x + x + x4 = 50 б) x + x + 4x3 + 8x4 = 49, x + 3x + 9x3 + 7x4 = 4, x + 4x + 6x3 + 64x4 = 33, x + 5x + 5x3 + 5x4 = 586 x y x 3 Какая из линий + = (эллипс) или b (гипербола) проходит через данные точки M и N? а) M( ), N ( 3 4) б) M( 4 ), N ( 3 ) y b = 69

2 4 Решите систему линейных уравнений: а) x + x + 3x3 + 4x4 = 0, x + 3x + 4x3 + 5x4 =, 3x + 4x + 5x3 + 6x4 = 4, 7x + 8x + 9x3 + 0x4 = б) x+ x + 3x3+ x4 + 5x5 = 5, x+ x + x3+ 9x4 + x5 = 3, 3 x+ x + x3+ 6 x4 + 9x5 =, 8x+ 3x + x3+ x4 + 6x5 = 70 5 Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с тремя неизвестными? Приведите соответствующие примеры 6 При каких значениях параметров α и β система линейных уравнений является определенной, неопределенной, несовместной? Найдите решение системы в тех случаях, когда это возможно: x α x + x3 =, x + ( + α ) x + x3 =, x + ( α ) x + αx3 = β 7 Докажите, что однородная система из трех линейных уравнений от пяти неизвестных имеет бесконечно много решений 8 Исследуйте систему линейных уравнений x + 3x + ( α + 3) x3 = 4 β, x + x + ( α + ) x3 = β, x + 5x + ( α + ) x3 = 3 β 9 Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения? 0 Докажите, что совместная длинная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений

3 Линейные пространства и их подпространства Вычислите значения линейных комбинаций b + 3c и 3 b c, если известны векторы bc,, : а) = ( ), b = ( 3 ), c = ( 4 3) б) = ( 3 4 ), b = ( 3 5 ), c = ( 4 3 5) Даны векторы = ( ), b = ( 6 3 9), c = ( ) Найдите неизвестный вектор x : а) + b + 3c + 4x = 0 б) ( x ) + ( x b) + 3( x c) = 0 в) 3( x) + ( x+ b) = 5( x+ c) 7 + c + x 5 b + c + x = 5 b + c + x г) ( ) ( ) ( ) 3 Выясните, какие из следующих множеств, заданных векторами 3 общего вида, являются подпространствами в пространстве R : { } {, R} а) ( b 0) b, R в) ( ) { b c, b, c R} { b c b c c, b, c R} б) ( b ) b г) ( ) Укажите общий вектор, задающий подпространство: а) L ( 0 ), ( 0 ) б) ( 3 ), ( 3 ) в) L ( 0 0 ), ( 0 0 ), ( 0 0) L 5 Пусть f, f однородные линейные функции от двух переменных x, x Докажите, что множество векторов вида f x, x, f x, x является подпространством в R ( ( ) ( ) ) 6 Проверьте, что каждое из следующих множеств относительно обычных действий сложения и умножения на числа образует линейные пространства: а) множество направленных отрезков V (соответственно V ) параллельных некоторой прямой (соответственно плоскости) б) множество решений уравнения x+ x + 3 x x0 = 0 7

4 в) множество многочленов от одной переменной x с действительными коэффициентами, степени которых не превосходят данного числа n г) множество положительных действительных чисел относительно «новых действий» сложения и умножения на число: если =, b = b, то + b = b, λ = λ 7 Является ли указанное множество векторов линейным пространством? а) множество арифметических прогрессий, те векторов вида + d + d, где d, R ( ) б) множество геометрических прогрессий, те векторов вида bbqbq, q ( ) 8 Проверьте равенство линейных оболочек L b, = L, λ + b, λ R ( ) ( ) 9 а) Докажите, что пересечение двух линейных подпространств линейного пространства V является линейным подпространством в V б) Приведите пример двух подпространств в R, объединение которых не является подпространством в R в) Докажите, что объединение линейных подпространств S и S линейного пространства V является подпространством в V тогда и только тогда, когда либо S S, либо S S г) Докажите, что сумма S+ S = { x+ x x S, x S} линейных подпространств S и S линейного пространства V является подпространством в V 0 Пусть Si = L( i ), i =,,3 = 4 3 = = 3 где ( ) ( ) ( ) а) Найдите сумму подпространств S+ S + S3 б) Выясните, какое из включений: S + S S, S + S S, S + S S верно?

5 3 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов Является ли линейно независимой система векторов: а) ( 4 86 ), ( ), ( ), ( ) б) ( 0 0 ), ( 0 7 ), ( 3 6), ( ) в) ( 4 8 ), ( ), ( ), ( )? Используя линейные соотношения между векторами v = ( 3 4), b = ( 4 3 ), c = ( ), d = ( 3 3), вычислите значение линейной комбинации: v v а) 3+ 5b 6c б) 3+ 3b 30c v в) 7+ 95b 4c + 34d 3 Каждый из векторов u = ( 8 5 7), v = ( 3 3 8), w = ( 803) представьте в виде линейной комбинации векторов = ( 5 3), b = ( 0 50), c = ( 4 ) v 4 а) Для данных векторов = ( ), b= ( ), c= ( 3) проверьте справедливость равенства L( b, ) L( c, ) = L( ) L b, L c, = L, если векторы bc,, б) Докажите, что ( ) ( ) ( ) линейно независимы Верно ли обратное утверждение? 5 Что можно сказать о векторах b,, если известно, что векторы bc,, линейно зависимы, но вектор c не выражается линейно через b,? 6 Докажите линейную зависимость строк высокой матрицы n 7 Докажите, что любые n + векторов в пространстве R линейно зависимы 8 Докажите, что всякие три арифметические прогрессии линейно зависимы 9 Можно ли представить векторы b = ( ), c = ( 3369) в виде целочисленных линейных комбинаций векторов = ( 3 4) = ( 3 4 5), k = ( k k + k + k + 3)? 73

6 74 30 Докажите, что вектор ( p, qs,, ) является целочисленной линейной комбинацией векторов = ( 3 4) = ( 3 4 5), = ( k k + k + k + 3) тогда и только тогда, когда целые числа p, qs,, образуют арифметическую прогрессию 4 Базис и размерность линейного пространства u u 3 Известно, что векторы bcg,,,,, gk образуют базис пространства u u u Является ли базисом система векторов: uvwg,,,,, gk, если а) u = + b + 3c, v = + 3 b + 4 c, w= b + 7 c б) u = 3 + b + c, v = + 5 b + 3 c, w= b + c? 3 Найдите все базисы системы векторов: а) = ( 3) = ( 4 6 ), 3 = ( ) 4 = ( ) б) = ( 3) = ( 3 4) 3 = = ( 4 3 4) 5 = ( ), ( ) 33 Выделите максимальное число линейно независимых строк (базис) матрицы A и остальные строки выразите через базисные: а) A = б) A = Докажите линейную независимость лестничной системы векторов: ( ) =,, 0, n ( ) = 0,, 0, n = 0, 0, 0, ( ) n 33 k,

7 35 Докажите, что следующий процесс приводит к построению базиса в пространстве R n Пусть вектор с ненулевой первой координатой получается из увеличением на второй координаты 3 получается из + увеличением на третьей координаты 4 получается из увеличением на четвертой координаты и так далее 36 Докажите, что: а) система, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом б) линейно независимую часть системы можно дополнить до базиса всей системы в) линейно независимая часть системы, содержащая максимально возможное число векторов, образует базис всей системы 37 Какие из следующих утверждений являются верными: а) если ранг системы равен единице, то ненулевой вектор системы образуют ее базис б) если ранг системы равен двум, то два ненулевых вектора системы образуют ее базис в) если ранг системы равен трем, то любые три линейно независимых вектора системы образуют ее базис? 38 а) Укажите последовательность элементарных преобразований, которая переводит базис, b пространства R в базис + b,5 3b б) Докажите, что в пространстве R n от одного базиса к другому можно перейти некоторой последовательностью элементарных преобразований 39 Пусть ST, конечные системы 0 мерных векторов, имеющие ранги 3 и 4 соответственно Найдите ранг системы S T, если известно, что линейные оболочки L( S ) и L( T ) имеют единственный общий вектор 40 Пусть ST, конечные системы 0-мерных векторов, имеющие ранги 5 и 6 соответственно Докажите, что линейные оболочки L T имеют бесконечно много общих векторов L( S ) и ( ) 75

8 5 Евклидовы пространства 4 Найдите вектор x, удовлетворяющий условиям: а) ( x, ) = 5, ( xb, ) = 6, где = (3 ) и b = (3 3) б) x, x, = 0 = b = 76 коллинеарен b и ( ), где ( ), ( ) 4 Найдите длины векторов и косинус угла между ними: а) = ( 0), b= ( ) б) = ( 0), b= ( ) в) = (3 0), b= (03 ) 43 Дополните данные векторы, до какого-нибудь ортогонального базиса пространства R 4 : а) = ( 3) = ( 3 4) б) = ( ) = ( 3 3) в) = ( 0 0) = ( ) 44 Даны векторы Укажите ортонормированный базис ( e, e, e 3, e 4) пространства R 4, для которого верно равенство L( e, e) = L(, ) : а) = ( ) = ( ) б) = ( 0 ) = ( 0 ) в) = ( ) = ( ) = 0 = 3 г) ( ) ( ) 45 Докажите, что всякое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом 46 Выясните, образуют ли векторы, 3 4 ортогональный базис пространства R 4 Найдите координаты вектора x относительно базиса, 3 4 : а) = ( 0) = ( 3) 3 = ( 0 0), 4 = ( ), x = ( 4 8 4) б) = ( ) = ( 0 ) 3 = ( 0 0), 4 = ( 6 ), x = ( 4 0 )

9 47 Найдите базис ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов,, в пространстве R 4 : а) = ( 0 ) = ( 0 ) б) = ( ) = ( 3 ) 3 = ( 0 ) 48 Пусть S T подпространства евклидова пространства V Как связаны подпространства S и T? Ответ обоснуйте 49 Докажите, что если евклидово пространство V конечномерно, то верны следующие утверждения: а) V = S + S и S S = 0 б) dimv = dim S + dim S в) ( S ) = S для любого подпространства S Матрицы и операции над ними 50 Вычислите произведения трех матриц: а) б) в) г) а) Проверьте, что матрицы E, E + E, E, где E ij матричные единицы, образуют базис пространства симметрических матриц порядка б) Найдите размерность пространства симметрических матриц порядка 3 в) Найдите размерность пространства кососимметрических матриц порядка 3 77

10 5 Предприятие выпускает 3 вида продукции в количествах, характеризуемых вектором x = ( 7 4) Для ее изготовления ис- пользуются 5 видов сырья Расходы сырья (в кг на единицу продукции) характеризуются матрицей A= ( ij ) = 3 5 4, где ij расход i-го вида сырья на единицу j-го вида продукции, вектор p = ( ) задает стоимости единицы каждого вида сырья Определите: а) количество сырья каждого вида, необходимое для обеспечения плана б) общую стоимость сырья, необходимого для выпуска всей продукции 53 а) Проверьте, что матричные единицы E ij перемножаются по правилу Кронекера: EijEjk = Eik и EE ij kl = 0, ( j k) б) Как меняются строки и столбцы матрицы A, если умножить ее слева или справа на одну из матричных единиц E или E? Тот же вопрос для матричной единицы E ij 54 Какое из тождеств: а) ( ) T T T T ABC = C B A б) ( ) T T T T ABC A B C = верно? 55 Вычислите степени матриц: а) 0 5 б) в)

11 56 Найдите все матрицы, коммутирующие с данной: 7 3 а) 3 4 б) в) г) Пусть матрицы A и B коммутируют с матрицей C Верно ли, что каждая из следующих матриц AB, A + B, ABA, AB BA также коммутирует с матрицей C? 58 Пусть A матрица второго порядка Докажите, что: а) если A коммутирует со всеми матричными единицами, то она коммутирует с произвольной матрицей б) если матрица A коммутирует со всеми матрицами, то она скалярная, те A = λe для подходящего числа λ 59 Докажите эквивалентность условий а) г) для квадратной матрицы A порядка n: T T а) A A = E б) A A= E n в) строки матрицы A образуют ортонормированный базис в R г) столбцы матрицы A образуют ортонормированный базис в n R Матрица, удовлетворяющая указанным условиям, называется ортогональной 60 Пусть x = ( cos α sinα ), X = ( x) T Вычислите A = X x E 6 Пусть x строка единичной длины, X = x и x X = При ( ) T каких значениях λ матрица A = E+ λ X x ортогональна? Матрицы и системы линейных уравнений 6 а) Докажите критерий определенности: система линейных уравнений AX = B с n неизвестными является определенной тогда и только тогда, когда k( A) = k ( A B) = n б) Докажите, что неопределенная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений 79

12 63 Докажите, что любые три арифметические прогрессии линейно зависимы 64 Докажите, что каждое подпространство в R n является пространством решений подходящей системы линейных уравнений 65 а) Пусть U подпространство в R n Проверьте, что для любого n вектора R множество векторов + U является подпространством тогда и только тогда, когда U б) Пусть U и V два подпространства в R n Докажите, что + U = b + V тогда и только тогда, когда выполняются условия: U = V, b U 66 а) Пусть X, X частные решения неоднородной системы AX = B Проверьте, что X X является решением однородной системы AX = 0 б) пусть X 0 частное решение неоднородной системы AX = B, Y частное решение однородной системы AX = 0 Проверьте, что X0 + Y частное решение неоднородной системы AX = B в) как связаны общие решения систем уравнений AX = B и AX = 0? 67 Используя задачу 49, докажите теорему о ФСР 68 Задайте системой линейных уравнений линейную оболочку системы векторов {, } : а) = ( ) = ( 3) б) = ( ) = ( ) в) = ( 0 0) = ( 0 ) г) = ( ) = ( 0 ) 69 Задайте системой линейных уравнений сдвинутое подпространство b + L(, ) : а) = ( 3) = ( ), b = ( ) б) = ( 0 3) = ( 3 ), b = ( 0 ) 80

13 3 Определители 70 Вычислите определитель: а) б) Разложите определитель по степеням x: x b x b а) b x б) x c b x b c x Докажите, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю Верно ли утверждение для кососимметрических матриц порядка 4? 73 Докажите свойства определителей третьего порядка, связанные с элементарными преобразованиями 74 Докажите, что определитель второго порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) пропорциональны 75 Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах = = ( ), ( ) 76 Докажите, что если сумма элементов каждого столбца (каждой строки) определителя кратна числу k, то определитель также кратен k 77 Вычислите значение циркулянта: а) б)

14 78 Вычислите определители следующих матриц: E 0 0 E 0 а) 0 E б) E 0 в) E где E единичная матрица порядка m E 0, 79 Вычислите определитель n-го порядка Δ n : а) Δ n = 3 0 K K 0 3 K K K 0 K K K K K K 0 0 K K K 3 б) Δ n = K K K K K 0 K K K K K K 0 0 K K K 7 80 а) Пусть, n различные числа Докажите, что определитель Ван дер Монда L L L L L L n n L n n n отличен от нуля б) Используя определитель Ван дер Монда, докажите, что ненулевые геометрические прогрессии с различными знаменателями линейно независимы 8

15 4 Обратная матрица 8 Найдите обратную матрицу: 3 4 а) 0 3 б) в) г) Найдите неизвестную матрицу X : а) X 3 = б) X 5 = Решите линейные матричные уравнения AX = B и YA = B : а) A = 3 4, B = б) A = 3 3, B = Пусть матрицы A и B коммутируют Докажите, что матрицы A и B также коммутируют Будут ли коммутировать матрицы A и B? Верно ли, что матрицы A и B антикоммутируют, только если антикоммутируют матрицы A и B? A, если в матрице A поме- 85 Как изменится обратная матрица нять местами: а) две строки б) два столбца? 86 а) Чему равен определитель ортогональной матрицы A? б) Найдите все ортогональные матрицы второго порядка 83

16 87 а) Докажите, что матрица, обратная симметрической, является симметрической Какой будет матрица, обратная кососимметрической? б) Докажите, что матрица, обратная верхней треугольной (нижней треугольной) матрице, является верхней треугольной (нижней треугольной) 88 Чему равен определитель присоединенной матрицы 84 A A A K A A A K A n * n = M M O M A A K A n n nn, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы, A если A =Δ? 89 Укажите, сколько решений имеют следующие системы уравнений: x + x + 3 x3 =, а) 3x + x + x3 = b, x + 3 x + x3 = c x + y + z = α, б) x + y + 4 z = β, x + 3y + 9 z = γ x + x + x3 + x4 =, bx + x + x3 + x4 = c, в) bx + bx + x3 + x4 = c3, bx + bx + bx3 + x4 = c4 где b 90 Исследуйте и решите методом Крамера систему линейных уравнений в зависимости от значений параметра λ : x + x + x3 = 5, а) x + x + x3 =, x + λx + λx3 = 3

17 б) λx + y + z = x + λ y + z = x + y + λz =, λ, λ 9 Найдите все значения параметра λ, при которых система имеет единственное решение: ( λ ) x y z x ( ) y z ( λ ) λ ( λ ) = λ, λ + λ + = λ, 3 + x + y z = 3 9 а) Докажите, что ( ) E A E A A б) Найдите ( E A) + = +, если 3 A = 0, если A нильпотентная матрица, те k A = 0 для некоторого натурального числа k 93 Найдите A B 0, если A = C D, где B невырожденная квадратная матрица порядка m, D невырожденная квадратная матрица порядка k, C матрица k m 94 Найдите A 0 B, если A = C D, где D, C, B невырожденные квадратные матрицы порядка m 5 Преобразование координат вектора при замене базиса 95 Найдите базис E, в котором данные векторы x, x, указанные координаты X, X, : T T а) x = (, ) x = ( 34, ) X = ( 3 ), X = ( 57) x = 3, x = 3, x3 = 4, б) ( ) ( ) ( ) X ( 4 3 ), X ( ), X ( 5) T T T = = = имеют 96 Докажите, что матрица перехода от одного базиса к другому обратима 97 Выведите формулы, связывающие координаты вектора относительно разных базисов 85

18 98 Пусть даны базисы E, E, E и матрицы перехода P от E к E, а Q от E к E Как найти матрицу перехода а) от E к E б) от E к E? 99 Пусть P матрица перехода от базиса E к базису E Что можно сказать а) о матрице P, если E, E ортонормированы б) о базисе E, если базис E ортонормирован, а матрица P ортогональна? 00 Что можно сказать о матрице перехода от одного ортогонального базиса к другому ортогональному базису? 86


1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Аннотация Ортонормированный базис, его свойства и примеры. Процесс ортогонализации Грама

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства.

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства. Вопросы и задачи оретические вопросы ормулировки 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Дайте определение подпространства линейного пространства и сформулируйте критерий линейного подпространства.

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр А.Г.Гейн Практические занятия по алгебре 1 курс 2 семестр Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику задач по алгебре

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Т.А. Капитонова ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для студентов, обучающихся по специальности 64 Таможенное дело очной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее