НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛОМ СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛОМ СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ"

Транскрипт

1 130 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 46, N- УДК НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛОМ СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ В. В. Мельников Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики, Снежинск Представлено решение задачи о нестационарном теплообмене в ограниченных полых цилиндрах, состоящих из различных материалов и сопряженных по торцам. В объеме цилиндров происходит тепловыделение известной интенсивности, зависящее от времени и координат цилиндра. Для решения используются конечные интегральные преобразования по двум координатам. Ключевые слова: уравнение теплопроводности, составной цилиндр, конечное интегральное преобразование, граничные условия. В отличие от известной [1 стационарной задачи рассматривается нестационарная задача теплопроводности для полого составного цилиндра, на внешних границах которого принимаются условия теплообмена первого, второго или третьего рода, зависящие как от координаты, так и от времени. На границе сопряжения составного цилиндра осуществляется полный тепловой контакт (граничные условия четвертого рода). Кроме того, принимается, что в объеме цилиндра происходит тепловыделение, зависящее от координат и времени. Цилиндрическая система координат и геометрические размеры составного цилиндра приведены на рис. 1. Задача определения температурного поля в цилиндре может быть представлена в виде двух уравнений теплопроводности, условий на внешних границах и на границе сочленения цилиндров, а также начальных условий. z e a d b c Рис. 1. Геометрия составного цилиндра r

2 В. В. Мельников 131 Уравнения теплопроводности: 1 T 1 χ 1 τ = T 1 r + 1 r 1 T χ τ = T r + 1 r T 1 r + T 1 z + 1 λ 1 w 1, a r b, c z d, T 1 = T 1 (τ, r, z); T r + T z + 1 λ w, a r b, d z e, T = T (τ, r, z); граничные условия (условия первого рода): на цилиндрических поверхностях T 1 r=a = T 1a (τ, z), T 1 r=b = T 1b (τ, z), T r=a = T a (τ, z), T r=b = T b (τ, z); (3) на торцах цилиндра T z=c 1 = T c (τ, r), T z=d 1 = T z=d T 1 T, λ 1 = λ, z z=d z z=d начальные условия: T z=e = T e (τ, r); (4) T 1 τ=0 = T 10 (r, z), T τ=0 = T 0 (r, z). (5) Здесь T 1, T температура в первом и втором цилиндрах соответственно; χ 1, χ коэффициенты температуропроводности; λ 1, λ коэффициенты теплопроводности; w 1, w мощности внутреннего тепловыделения в объеме цилиндров; τ время; r, z координаты цилиндров (радиус и высота); a, b, c, d, e геометрические характеристики цилиндров (см. рис. 1). Выполним следующую замену переменных: z = χ 1 y, r = χ 1 при c z d, a r b, z = χ y, r = χ при d z e, a r b. Тогда соотношения (1) (5) примут вид (1) () (6) Z 1 τ = Z Z 1 + Z 1 y + χ 1 w 11,, y y, λ 1 Z 1 (τ,, y) = T 1 (τ, r, z); (7) Z τ = Z + 1 Z + Z y + χ w, 4, y y 4, λ Z (τ,, y) = T (τ, r, z); Z 1 =1 = T 1a (τ, y), Z 1 = = T 1b (τ, y), Z =3 = T a (τ, y), Z =4 = T b (τ, y); (9) Z y=y1 1 = T c (τ, ), Z y=y 1 = Z y=y3, Z 1 Z b 1 = b, Z y=y4 = T e (τ, ); y y=y y y=y3 (8) (10) Z 1 τ=0 = T 10 (, y), Z τ=0 = T 0 (, y), (11) где = c/ χ 1 ; y = d/ χ 1 ; = d/ χ ; y 4 = e/ χ ; = a/ χ 1 ; = b/ χ 1 ; = a/ χ ; 4 = b/ χ ; b 1 = λ 1 / χ 1 ; b = λ / χ 1 ; w 11 (τ,, y) = w 1 (τ, r, z); w (τ,, y) = w (τ, r, z).

3 13 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 46, N- Для решения системы (7) (11) определим интегральное преобразование Z(τ,, s) = A 1 Z 1 (τ,, y)u 1 (sy) dy + A Z (τ,, y)u (sy) dy, (1) где функции U 1 (sy), U (sy) удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям: d U 1 dy + d U s U 1 = 0 ( y y ), dy + s U = 0 ( y y 4 ); (13) U y1 1 = 0, U y 1 = U y3 du 1 du, b 1 = b, U y4 = 0. (14) dy y dy y3 Уравнения (13) имеют решения U 1 (sy) = C 1 sin sy + C cos sy, U (sy) = C 3 sin sy + C 4 cos sy, где C 1, C, C 3, C 4 произвольные постоянные; s характеристические числа. Из условий (14) следует система уравнений C 1 sin s + C cos s = 0, C 1 sin sy + C cos sy C 3 sin s C 4 cos s = 0, b 1 (C 1 cos sy C sin sy ) b (C 3 cos s C sin s ) = 0, C 3 sin sy 4 + C 4 cos sy 4 = 0. Система уравнений (15) имеет нетривиальное решение лишь в том случае, если ее определитель обращается в нуль. Из этого условия следует уравнение для определения характеристических чисел s a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 (15) = 0, (16) где a 11 = sin s ; a 1 = cos s ; a 1 = sin sy ; a = cos sy ; a 3 = sin s ; a 4 = cos s ; a 31 = b 1 cos sy ; a 3 = b 1 sin sy ; a 33 = b cos s ; a 3 = b sin s ; a 43 = sin sy 4 ; a 44 = cos sy 4. Путем несложных преобразований, исключив неопределенные константы C, C 3, C 4, получим для функций U 1 (sy) и U (sy) следующие выражения: U 1 (sy) = C 1 (sin sy + f 1 cos sy), U (sy) = C 1 (f 3 sin sy + f 4 cos sy). (17) В коэффициенты f i (i = 1, 3, 4) входят величины a 11, a 1, a 1,.... В интегральном преобразовании (1) и выражениях (17) остаются неопределенными константы A 1, A, C 1. Значения A 1, A определяются из условия ортогональности функций U 1 (sy) и U (sy), а C 1 из условия их ортонормированности. Ортогональность функций предполагает выполнение соотношений U 1 (sy)u 1 (py) dy = 0, U (sy)u (py) dy = 0 при s p, которые следуют из равенства J = A 1 U 1 (sy)u 1 (py) dy + A U (sy)u (py) dy = 0 и граничных условий (14) при s p, A 1 = 1/b, A = 1/b 1. Докажем это утверждение.

4 В. В. Мельников 133 Величину J с использованием уравнений (13) можно записать в виде J = A 1 p U 1 (sy) d U 1 dy dy A p U (sy) Интегрируя два раза по частям каждый интеграл, получим J = A [ 1 p U 1 (sy) du 1(py) y du 1(sy) U 1 (py) dy dy y + A [ p U (sy) du (py) y 4 du (sy) U (py) dy dy d U 1 (sy) dy y 4 + Если учесть условия (14) и принять A 1 = 1/b, A = 1/b 1, то A 1 p J = s s b p U 1 (sy)u 1 (py) dy + b 1 p d U dy d U (sy) dy dy. U 1 (py) dy U (sy)u (py) dy. Сравнивая полученное выражение для J с первоначальным U 1 (sy)u 1 (py) dy + A p U (sy)u (py) dy = = s s b p U 1 (sy)u 1 (py) dy + b 1 p U (py) dy. U (sy)u (py) dy, приходим к заключению, что последнее тождество может выполняться при s p только в том случае, если U 1 (sy)u 1 (py) dy = 0 и U (sy)u (py) dy = 0. Таким образом, доказана ортогональность функций U 1 (sy), U (sy) и найдены величины A 1, A. Определим коэффициент C 1 так, чтобы указанные функции стали ортонормированными: или A 1 [U 1 (sy) dy + A [U (sy) dy = 1 A 1 [C 1 (sin sy + f 1 cos sy) dy + A [C 1 (f 3 sin sy + f 4 cos sy) dy = 1.

5 134 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 46, N- Из этого соотношения следует, что C 1 = 1/ I, где [ I = A 1 (1 + f1 ) y + f 1 1 (sin sy sin s ) f 1 4s s (cos sy cos s ) (sin sy 4 sin s ) f 3f 4 s (cos sy 4 cos s ) Таким образом, интегральное преобразование (1) определено. Подвергая интегральному преобразованию уравнения (7), (8), получим A 1 [ + A (f3 + f4 ) y 4 + f 4 f 3 4s ( Z1 τ Z 1 1 Z 1 Z 1 y χ ) 1 w 11 U 1 (sy) dy + λ 1 + A В результате соотношение (18) примет вид где + ( Z τ Z 1 Z Z y χ ) w U (sy) dy = 0. (18) λ Z τ = Z + 1 Z s Z + F P 1 (τ,, s) + F P (τ,, s), (19) F P 1 (τ,, s) = A 1 du 1 dy du T c (τ, ) A T e (τ, ); (0) y1 dy y4 χ y 1 χ y 4 F P (τ,, s) = A 1 w 11 U 1 (sy) dy + A w U (sy) dy. (1) λ 1 λ Уравнение (19) в силу определения интегрального преобразования (1) справедливо в интервалах и 4. Найдем его решение в каждом из этих интервалов, представив условия на границах,,, 4 в виде Z =1 1 = U 1 (sy)t 1a (τ, y) dy, Z 1 = = Z =3 = U (sy)t a (τ, y) dy, Z =4 = U 1 (sy)t 1b (τ, y) dy, U (sy)t b (τ, y) dy. Для решения уравнения в интервалах и 4 определим интегральные преобразования Z 1 (τ, p, s) = Z(τ,, s) V 1 (p) d, Z (τ, q, s) = где V 1 (p) и V (q) решения дифференциальных уравнений. Z(τ,, s) V (q) d, () d V 1 d + 1 dv 1 d + p V 1 = 0, d V d + 1 dv d + q V = 0 (3)

6 В. В. Мельников 135 с граничными условиями V 1 1 = 0, V 1 = 0, V 3 = 0, V 4 = 0. (4) Решения уравнений (3) имеют вид [ V 1 (p) = D 1 J 0 (p) + D Y 0 (p), V (q) = D 3 J 0 (q) + D 4 Y 0 (q), где D 1, D, D 3, D 4 произвольные постоянные; J 0 (z), Y 0 (z) функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка; p, q характеристические числа. Следуя граничным условиям (4), получим две системы уравнений D 1 J 0 (p ) + D Y 0 (p ) = 0, D 1 J 0 (p ) + D Y 0 (p ) = 0; D 3 J 0 (q ) + D 4 Y 0 (q ) = 0, D 3 J 0 (q 4 ) + D 4 Y 0 (q 4 ) = 0, которые имеют нетривиальные решения лишь в случае, если их определители обращаются в нуль. Отсюда получим два уравнения для определения характеристических чисел p и q: J 0(p ) Y 0 (p ) J 0 (p ) Y 0 (p ) = 0, J 0 (q ) Y 0 (q ) J 0 (q 4 ) Y 0 (q 4 ) = 0. (6) Исключая из каждой системы (5) коэффициенты D, D 4, получим выражения для V 1 (p), V (q) в виде V 1 (p) = D 1 [J 0 (p) + f 5 Y 0 (p), V (q) = D 3 [J 0 (q) + f 6 Y 0 (q), (7) где f 5 = J 0 (p )/Y 0 (p ); f 6 = J 0 (q )/Y 0 (q ). Следует отметить, что решения (7) с граничными условиями (4) представляют ортогональные системы функций V 1 (p), V (q). Потребовав, чтобы эта система функций была ортонормированной, т. е. [V (q) d = 1, определим константы D 1, D. Тогда где [V 1 (p) d = 1, D 1 = 1/ I 1, D = 1/ I, I 1 = [J 0 (p ) + f 5 Y 0 (p ) / + [J 1 (p ) + f 5 Y 1 (p ) / (5) 1[J 0 (p ) + f 5 Y 0 (p ) / 1[J 1 (p ) + f 5 Y 1 (p ) /; I = 4[J 0 (q 4 ) + f 6 Y 0 (q 4 ) / + 4[J 1 (q 4 ) + f 6 Y 1 (q 4 ) / 3[J 0 (q ) + f 6 Y 0 (q ) / 3[J 1 (q ) + f 6 Y 1 (q ) /; J 1, Y 1 функции Бесселя первого и второго рода первого порядка. Таким образом, интегральные преобразования () определены. Применим полученные интегральные преобразования к соотношениям (19) (1): [ dz1 dτ Z 1 1 Z 1 + s Z 1 F P 1 (τ,, s) F P (τ,, s) V 1 (p) d = 0, [ dz dτ Z 1 Z + s Z F P 1 (τ,, s) F P (τ,, s) V (q) d = 0.

7 136 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 46, N- Тогда получим где Z 1 τ Z τ [ Z [ Z + 1 F P 3 (τ, p, s) = Z 1 V 1 (p) d + s Z 1 F P 3 (τ, p, s) = 0, Z V (q) d + s Z F Q 3 (τ, q, s) = 0, [F P 1 (τ,, s) + F P (τ,, s)v 1 (p) d; (8) F Q 3 (τ, q, s) = [F P 1 (τ,, s) + F P (τ,, s)v (q) d. Дифференциальные операторы под знаком интеграла в (8) после повторного интегрирования по частям преобразуются к виду где [ Z [ Z + 1 Z 1 V 1 (p) d = F P 4 (τ, p, s) p Z 1, Z V (q) d = F Q 4 (τ, q, s) q Z. Уравнения (8) запишутся следующим образом: dz 1 dτ dz dτ + (s + p ) Z 1 = F P 3 (τ, p, s) + F P 4 (τ, p, s), + (s + q ) Z = F Q 3 (τ, q, s) + F Q 4 (τ, q, s), F P 4 (τ, p, s) = dv 1 d F Q 4 (τ, q, s) = dv d Z 1 dv 1 1 Z 1, 1 d Z 3 dv 4 Z 4. 3 d 4 Начальные условия для уравнений (9) получим из (11), применив к ним интегральные преобразования (1) и (): Z 1 τ=0 = Z τ=0 = [ A 1 [ A 1 T 01 (, y)u 1 (sy) dy + A T 01 (, y)u 1 (sy) dy + A T 0 (, y)u (sy) dy V 1 (p) d, T 0 (, y)u (sy) dy V (q) d. (9) (30)

8 В. В. Мельников 137 Решения уравнений (9) имеют вид Z 1 (τ, p, s) = ep [ (s + p )τ Z (τ, q, s) = ep [ (s + q )τ [ τ 0 [ τ 0 (F P 3 (τ, p, s) + F P 4 (τ, p, s)) ep [(s + p )τ dτ + Z 1 τ=0, (F Q 3 (τ, q, s) + F Q 4 (τ, q, s)) ep [(s + q )τ dτ + Z τ=0. В силу ортонормированности функций U 1 (s), U (s), V 1 (py), V (qy) окончательное решение задачи имеет вид T 1 (τ, r, z) = ( ) Z 1 (τ, p i, s j )U 1 (s j y) V 1 (p i ), p i s j T (τ, r, z) = ( ) Z (τ, q i, s j )U (s j y) V (q i ) q i s j (суммирование проводится по положительным корням p i, q i, s j уравнений (16), (6)). Переход от координат, y к координатам r, z осуществляется с помощью соотношений (6). Полученное решение задачи теплопроводности составного цилиндра с граничными условиями первого рода на всех поверхностях цилиндра можно легко модифицировать и для иных граничных условий. В частности, на различных его поверхностях может осуществляться теплообмен с различными граничными условиями. При этом кроме граничных условий в исходных уравнениях (3), (4), (9), (10) и граничных условий (14), (4) изменятся также уравнения для определения характеристических чисел (16), (6) и выражения (0), (30). Рассмотрим, например, следующие граничные условия: на нижней и верхней границах составного цилиндра условия второго рода T 1 T λ 1 + g 1 (τ, r) = 0, λ g (τ, r) = 0; z z=c z z=e на внутренней поверхности нижнего цилиндра условие второго рода T 1 λ 1 + g 3 (τ, z) = 0, r r=a на его наружной поверхности условие третьего рода T 1 λ 1 + α 1 [T r=b 1 T 1cp (τ, z) = 0; r r=b на внутренней поверхности верхнего цилиндра условие первого рода T r=a = T a (τ, z), на его наружной поверхности условие третьего рода T λ 1 + α [T r=b T cp (τ, z) = 0. r r=b Здесь g 1, g, g 3 мощность тепловыделения; α 1, α коэффициенты тепловыделения на поверхностях цилиндра; T cp температура окружающей среды. Тогда первое и четвертое уравнения системы (15) принимают вид C 1 cos s C sin s = 0, C 3 cos sy 4 C 4 sin sy 4 = 0,

9 138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 46, N- Т а б л и ц а 1 Значения температуры на оси сплошного цилиндра z, см Метод работы [1 T, C Настоящая работа 5,0 7,76 7,70 5,6 7,79 7,7 6, 7,81 7,73 6,8 7,83 7,75 7,4 7,85 7,76 8,0 7,86 7,77 8,6 7,88 7,78 9, 7,89 7,79 9,8 7,90 7,79 10,4 7,90 7,79 11,0 7,90 7,80 а уравнения (5) вид D 1 J 1 (p ) + D Y 1 (p ) = 0, D 1 [ λ 1 pj 1 (p ) + α 1 J 0 (p ) + D [ λ 1 py 1 (p ) + α 1 Y 0 (p ) = 0, D 3 J 0 (q ) + D 4 Y 0 (q ) = 0, D 3 [ λ qj 1 (q 4 ) + α J 0 (q 4 ) + D 4 [ λ qy 1 (q 4 ) + α Y 0 (q 4 ) = 0. Выражения (0), (30) записываются следующим образом: F P 1 (τ,, s) = A 1 U 1 y1 g 1 (τ, )/b 1 + A U y4 g (τ, )/b, где F P 4 (τ, p, s) = V 1 (p ) g 3 (τ, s)/λ 1 V 1 (p )α 1 T 1cp (τ, s)/λ 1, dv F Q 4 (τ, q, s) = T a (τ, s) d V (q 4 ) α T cp (τ, s), λ g 3 (τ, s) = U 1 (sy)g 3 (τ, y) dy; T 1cp (τ, s) = U 1 (sy)t 1cp (τ, y) dy; T a (τ, s) = U (sy)t a (τ, y) dy; T cp (τ, s) = U (sy)t cp (τ, y) dy. Остальные соотношения останутся неизменными. При численной реализации задачи следует обращать внимание на точность и количество вычисляемых характеристических чисел, так как от этого зависит точность конечного результата. Выполнено численное сравнение полученного аналитического решения задачи о нестационарном теплообмене в цилиндре и стационарного решения [1. В табл. 1 приведены значения температур на оси сплошного цилиндра при идентичных исходных данных в представленном решении и решении [1. В табл., 3 даны значения температур, полученные при решении задачи о нестационарном теплообмене в полом составном цилиндре со следующими граничными условиями:

10 В. В. Мельников 139 Т а б л и ц а Поле температур в верхней части полого составного цилиндра через 0,5 ч после начала процесса T, C z, см r, см ,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 10,4 151, 65,4 34,0 1,8 17,8 18,4 9,8 50,4 140,5 86,9 64,3 56,6 56,7 9, 313,5 193,4 16,0 95,7 85,1 84,6 8,6 355,6 8,3 15,0 116,5 104,1 103,3 8,0 389,4 48,5 165,9 17,6 114,4 114,5 Т а б л и ц а 3 Поле температур в нижней части полого составного цилиндра через 0,5 ч после начала процесса T, C z, см r, см ,0 389,4 48,5 165,9 17,6 114,4 114,5 7,4 415,04 44,5 157,0 11,9 11,5 115,6 6,8 396,4 5,9 141,5 109,1 101,0 104,7 6, 335,9 176,0 105,3 79,7 73,9 78,1 5,6 16,3 89,7 47, 3,9 9,9 33,9 5,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 T, o C _10 _0 _ t, Рис.. Изменение температуры во времени в двух точках составного цилиндра: 1 в нижней части цилиндра; в верхней части цилиндра

11 140 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 46, N- на торцевых поверхностях цилиндра условия первого рода (заданы температуры поверхностей T 1, T ); на внутренних цилиндрических поверхностях условия второго рода (тепловыделение интенсивностью g 1, g ); на наружных цилиндрических поверхностях условия третьего рода (теплообмен с окружающей средой с температурами T 1c, T c и коэффициентами теплообмена α 1, α ). В объеме цилиндров происходит тепловыделение интенсивностью w 1 и w. Начальные температуры цилиндров T 10 и T 0. Исходные величины: a = 10 см; b = 15 см; c = 5 см; d = 8 см; e = 11 см; χ 1 = 4 см /с; χ = 5 см /с; λ 1 = 4,65 Вт/(см K); λ = 7 Вт/(см K); α 1 = 4,6 Вт/(см K); α =,33 Вт/(см K); g 1 = 1,16 Вт/см ; g =,3 Вт/см ; w 1 = 0,9 Вт/см 3 ; w = 0,9 Вт/см 3 ; T 1c = 173 K; T c = 173 K; T 1 = 33 K; T = 33 K; T 10 = 53 K; T 0 = 53 K. На рис. приведены кривые изменения температуры во времени в нижнем и верхнем цилиндрах в точках [r = b, z = c + (d c)/5 и [r = b, z = e (e d)/5 соответственно от начала процесса до наступления стационарного теплового состояния. Видно, что в начальные моменты времени температура в этих точках вначале падает до некоторых значений, а затем растет. Это объясняется близостью этих точек к поверхностям z = c и z = e с температурой T 1 = T = 33 K и воздействием внутреннего тепловыделения в цилиндрах мощностью w 1 = w = 0,9 Вт/см 3. Уровень такого падения зависит также от теплофизических коэффициентов материала цилиндров. ЛИТЕРАТУРА 1. Алифанов А. В., Голуб В. М. Двумерное стационарное температурное поле системы ограниченных разнородных цилиндров, находящихся в идеальном тепловом контакте // Инж.-физ. журн Т. 76, 1. С Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, Поступила в редакцию 31/III 004 г., в окончательном варианте 15/VII 004 г.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ

ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ УДК 54.4 В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н, И. Ю. С а в е л ь е в а ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ Построена математическая

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, включение, матрица, промежуточный слой

Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, включение, матрица, промежуточный слой УДК 541.124 В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н, И. Ю. С а в е л ь е в а ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ИЗМЕНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШАРОВЫМИ

Подробнее

Е.Н. Туголуков РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

Е.Н. Туголуков РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Е.Н. Туголуков РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения

Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения # 8, август 6 УДК 533655: 5357 Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения Волков МН, студент Россия, 55, г Москва, МГТУ им Н Э Баумана, Аэрокосмический факультет,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4.

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4. 12-е занятие. Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр Повторение A1 Перейти к полярным координатам ρ и ϕ и расставить пределы интегрирования в том и другом

Подробнее

Решение многогруппового уравнения для эквивалентного реактора

Решение многогруппового уравнения для эквивалентного реактора Решение многогруппового уравнения для эквивалентного реактора Q D k k k з з a Запишем многогрупповое уравнение в следующем виде где m k k f k f v k Q Рассмотрим критический эквивалентный реактор, для которого

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Экзаменационный билет. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.. Вычисление двойного интеграла. 3. Найти общее решение уравнения y " 5y ' + y = 0. 4. Вычислить y d dy dz. 0 0 y Экзаменационный

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С L-ПАРАМЕТРОМ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С L-ПАРАМЕТРОМ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С L-ПАРАМЕТРОМ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Козлов В. П., Мандрик П. А. Системы интегральных и дифференциальных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение.

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение. УДК 539.3 А. В. М а н ж и р о в, С. А. Л ы ч е в, С. И. К у з н е ц о в, И. Ф е д о т о в АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РАСТУЩЕМ ШАРЕ Работа посвящена исследованию эволюции температурного

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях Министерство образования и науки Украины Государственное высшее учебное заведение «Приазовский государственный технический университет» А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В трех частях Часть ІІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Мариуполь 2009

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность «Техническая физика» Температурное поле с цилиндрической стенке при граничных условиях первого рода

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность «Техническая физика» Температурное поле с цилиндрической стенке при граничных условиях первого рода МОДУЛЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность 300 «Техническая физика» Лекция 4 Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла Температурное поле с цилиндрической стенке при граничных условиях

Подробнее

Функции Бесселя в задачах математической физики

Функции Бесселя в задачах математической физики Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» В.С. Гаврилов Н.А. Денисова А.В. Калинин Функции Бесселя в задачах математической физики Учебно методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Л. К. Мартинсон, Е. В. Смирнов

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Л. К. Мартинсон, Е. В. Смирнов Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Л К Мартинсон Е В Смирнов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ РАЗДЕЛ «ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КВАНТОВЫХ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Тема: Тройной интеграл

Тема: Тройной интеграл Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Рожкова С.В. 013 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть V замкнутая ограниченная область

Подробнее

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ УДК 538 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Тарабара ИЮ Перешиткин КА студенты группы ПГС Бородачева ТИ ст преп Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ УДК 57.956.4+536.4 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ М.Я. Антимиров И.М. Володко Рижский технический университет

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Критические размеры реакторов различной формы

Критические размеры реакторов различной формы Критические размеры реакторов различной формы При рассмотрении в виде бесконечной пластины в диффузионном приближении мы получили решение для одномерного нейтронного потока в виде суммы собственных функций

Подробнее

Е.Н. Туголуков. Утверждено Ученым советом университета в качестве учебного пособия. Тамбов Издательство ТГТУ Рецензенты:

Е.Н. Туголуков. Утверждено Ученым советом университета в качестве учебного пособия. Тамбов Издательство ТГТУ Рецензенты: Е.Н. Туголуков РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ АВТОМАТИЗИРОВАННОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

Подробнее

Примеры типовых задач письменного экзамена

Примеры типовых задач письменного экзамена Неопределенные интегралы Примеры типовых задач письменного экзамена Задача ( ) cos( ) d Решение u, du ( ) cos d cos d dv, v si ( Проверка ( Ответ ( )si cos cos d )si cos C si )si cos C ( ( ( u, du )si

Подробнее

, pˆ. Оператор импульса p определяется через операторы его проекций (например, на декартовы оси координат): v x. . x

, pˆ. Оператор импульса p определяется через операторы его проекций (например, на декартовы оси координат): v x. . x Лекция 3. Постулаты квантовой механики. 3.. Операторы основных физических величин. Подобно тому, как в классической механике свойства системы могут быть выражены заданием координат и импульсов всех частиц,

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1 Содержание Кратные интегралы Понятие кратного интеграла Двойные интегралы. Области на плоскости................. Повторный интеграл................ 3.3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.......................

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля Варианты задач 21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля 21.1. Постановка задачи. Общие сведения Рассматривается краевая задача Ly = (p(x)y ) + q(x)y = λy, (1) где при x (, b) p(x) непрерывно

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

В. Ш. Шагапов, Ю. А. Юмагулова ДИНАМИКА РОСТА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ПРИ ЕЕ НАГРЕВАНИИ

В. Ш. Шагапов, Ю. А. Юмагулова ДИНАМИКА РОСТА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ПРИ ЕЕ НАГРЕВАНИИ Уфа : УГАТУ, 3 Т. 7, (54. С. 68 7 В. Ш. Шагапов, Ю. А. Юмагулова УДК 53.58 ДИНАМИКА РОСТА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ПРИ ЕЕ НАГРЕВАНИИ Предложена и исследована модель повышения давления воды

Подробнее