СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА» СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к расчетной работе САМАРА 004

2 УДК 59.(075) Статистический анализ данных: Методические указания к расчетной работе / Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Сост. Е. А. Денискина, П. Э. Коломиец. Самара, с. Методические указания составлены в соответствии с действующей программой по курсу математики для инженерно технических специальностей вузов. Методические указания представляют полное методическое обеспечение расчетно графической работы «Статистический анализ данных». Методические указания предназначены для студентов второго курса радиотехнического факультета СГАУ, а также могут быть использованы студентам других факультетов СГАУ. Печатаются по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королева Рецензент: Жданов А. И.

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНУЮ РАБОТУ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ДАННЫХ ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГИСТОГРАММА И ПОЛИГОН ЧАСТОТ ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ χ И СТЬЮДЕНТА ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ χ ПИРСОНА ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ ДАННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТИ ЛИНЕЙНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ... 5 ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ

4 ВВЕДЕНИЕ Математическая статистика это прикладная математическая дисциплина, примыкающая к теории вероятностей. Она базируется на понятиях и методах теории вероятностей, но решает свои специфические задачи специальными методами. Основная задача математической статистики получить обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними. В расчетной работе рассматриваются основные методы анализа одномерных статистических данных: определение точечных и интервальных оценок параметров распределения, проверка гипотез о виде распределения. Рассматриваются также элементы корреляционного и регрессионного анализа двумерных статистических данных. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНУЮ РАБОТУ Часть : «СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ДАННЫХ» Дана выборка значений случайной величины X (выборка объема 00 из генеральной совокупности).. Найти выборочную оценку математического ожидания случайной величины X, указать свойства этой оценки.. Найти выборочные оценки дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины X, указать свойства этих оценок. 3. Составить группированный вариационный ряд, разбив выборку на N 0 равных интервалов. 4. Построить гистограмму и полигон относительных частот. На их основе выдвинуть нулевую гипотезу H 0 о виде распределения (нормальное распределение). 4

5 5. На одном чертеже с гистограммой построить график теоретической плотности вероятностей. Сделать вывод об их визуальном совпадении. 6. Составить эмпирическую функцию распределения F (x) и построить ее график. 7. На одном чертеже с эмпирической функцией распределения построить график теоретической функции распределения. Сделать вывод об их визуальном совпадении. χ Пирсона проверить гипотезу H 0 о виде распределения генеральной совокупности для уровня значимости α 0,. 8. С помощью критерия согласия Сделать статистический вывод. 9. Построить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами m x и S0 σ для уровней значимости α 0,, α 0, 05 и α 0, 0. Сделать вывод о ширине доверительного интервала, в зависимости от уровня значимости α. У к а з а н и е: все вычисления проводить с точностью до 0,000 Часть. «СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ ДАННЫХ» Дана выборка из наблюдений случайного вектора ( X, Y ) { x, x, } и Y { y, y,, } X, K x K y.. Определить выборочный коэффициент корреляции величин X и Y. 5. При этом. Составить уравнение линейной регрессии Y на X. Построить график уравнения линейной регрессии на одном чертеже с опытными данными. 3. Оценить качество линейной модели регрессии по коэффициенту детерминации R. 4. На уровне значимости α 0, найти доверительный интервал, в который попадает прогнозное значение фактора y для x xmax +. У к а з а н и е: все вычисления проводить с точностью до 0,000.

6 . СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ДАННЫХ.. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА Предположим, что изучается некоторая случайная величина X, закон распределения которой неизвестен. Требуется приближенно определить этот закон из опыта и проверить гипотезу о том, что случайная величина X подчинена этому закону. Генеральной совокупностью называют всю совокупность реализации случайной величины X, все возможные наблюдения некоторого показателя, все возможные исходы некоторого испытания. Выборкой называют часть генеральной совокупности { x, x, } X, K x, то есть конечное подмножество значений случайной величины из множества элементов генеральной совокупности. Объемом выборки называют количество содержащихся в ней значений случайной величины X. Задача математической статистики состоит в исследовании свойств выборки и обобщении этих свойств на всю генеральную совокупность. Выборка является исходной информацией для статистического анализа и принятия решений о неизвестных вероятностных характеристиках случайной величины X. Для этих целей на выборку следует смотреть как на набор реализаций независимых одинаково распределенных случайных величин ( X, X,, ) K X. Для того чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о генеральной совокупности, выборка должна быть представительной (репрезентативной), то есть достаточно полно представлять признаки и параметры генеральной совокупности. Репрезентативность выборки улучшается при увеличении ее объема. 6

7 .. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Пусть X { x, x,, } выборка объема из генеральной K x совокупности значений случайной величины X с математическим ожиданием M [ X ], дисперсией [ X ] D и среднеквадратическим отклонением D[X ] 7 σ. Выборочным средним выборки называется среднее арифметическое x x. Согласно закону больших чисел, при увеличении объема выборки среднее арифметическое выборки сходится по вероятности к математическому ожиданию генеральной совокупности, то есть lm P x M [ X ] ε 0. Таким образом, среднее арифметическое может служить приближением (оценкой) математического ожидания генеральной совокупности. Выборочной дисперсией называется S ( x x ) x x Модифицированной выборочной дисперсией называется 0 S S ( x x ). Все эти выборочные величины зависят от выборки и сами являются случайными величинами. Их значения лишь приближенно равны соответствующим числовым характеристикам генеральной совокупности. Статистикой называется любая функция, зависящая от выборки и сама являющаяся случайной величиной. Таким образом, выборочное среднее x, выборочная дисперсия это статистики.. S и модифицированная выборочная дисперсия S 0

8 Точечной оценкой θ ~ неизвестного параметра θ распределения случайной величины X называется такая функция от выборки (статистика) ~ ~ θ ( X ) θ ( x, x, K, x ), что ее значение от любой выборки ~ приближенно равно истинному значению параметра, то есть θ ( ) θ. Оценки параметров принято обозначать символом с тильдой наверху: θ ~. Существует несколько методов нахождения точечных оценок: метод наименьших квадратов, метод моментов, метод максимального правдоподобия и другие. Таким образом, для каждого независимого параметра может быть несколько оценок, полученных различными методами. Для того, чтобы точечная оценка давала хорошее приближение оцениваемому параметру, она должна обладать следующими свойствами:. Оценка % θ параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру θ : ~ [ θ ] θ M. Известно, что x несмещенная оценка математического ожидания, смещенная оценка дисперсии и X S 0 несмещенная оценка дисперсии. S. Оценка % θ параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к точному значению оцениваемого параметра θ, то есть ~ ( θ θ ε ) 0 lm P ( ε > 0 ). Состоятельной оценкой математического ожидания является выборочное среднее x, а состоятельными оценками дисперсии выборочная дисперсия и модифицированная выборочная дисперсия S Несмещенная оценка % θ параметра называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра. Доказано, что x и S 0 являются эффективными оценками S 8

9 математического ожидания и дисперсии соответственно, а так как смещенная оценка дисперсии, то это и неэффективная оценка. S П Р И М Е Р (пункты и части Задания): Пусть дана выборка значений случайной величины X (выборка объема 00 из генеральной совокупности) (таблица ). Таблица,88,78 4,90 4,4 4,86 4,46 4,76 4,48 4,7 4,70,94 5,37 7,48-3,3 5,79 8,55 8,7 5,65 7,3 7,95,95,44 7,89,45 5,90,45,67,50,67,5 5,6 4,40 9, 5,5,56 8,46,34 5,69 9,57 -,07 5,0 4,99 9,00 8,47 6,55,88 6,78 5,7 6,0 0,3 4,3 5,5 6,39 4,39 6,56 5,78 6,85 4,40 6,3 0,56 4,3,99 6,46 6,88 9,63 4, 3,58 6,57 5,83 9,35 4,33 3,4 9,97 6,99 5, 8,93 3,69 6,58 7,09 5,68 4,38 3,7 7,9,73 5,9,96 3,7,99,3,30 5,67 3,90 7,38 3,94 5,33 3,98 3,79 4,08 4, 4, Требуется найти выборочные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины X. Указать свойства этих оценок. Оценкой математического ожидания случайной величины X служит выборочное среднее m ~ X x x 49,900 4, 99. Данная 00 оценка ~ является несмещенной, эффективной и состоятельной. m X x Оценкой дисперсии случайной величины X служат выборочная дисперсия и модифицированная выборочная дисперсия, вычисляемые по формулам: S x x 985,739 4,99 5,75, 00 9

10 . S 00 5,75 S0 ( x x ) 5, Оценка S 0 является несмещенной, эффективной, состоятельной, а смещенная, неэффективная, но состоятельная. Следовательно, S S 0 дает лучшее приближение оцениваемой дисперсии, поэтому в дальнейших расчетах в качестве оценки дисперсии используется S 0 : ~ D X S. Оценка среднеквадратического отклонения, являющаяся несмещенной, эффективной, состоятельной: ~ ~ S S 0 σ X D X 0 0,407. Найденные оценки параметров распределения можно найти с помощью статистических функций СРЗНАЧ, ДИСП, ДИСПР и СТАНДОТКЛОН пакета прикладных программ EXCEL..3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЯДЫ Пусть X { x, x,, } выборка объема, содержащая k K x k различных вариант, из генеральной совокупности случайной величины X. Статистическим рядом называется совокупность пар (, x ), полученных в результате эксперимента. Обычно статистические ряды оформляются в виде таблицы (таблица ), в первом столбце которой стоит номер опыта, а во втором наблюденное значение случайной величины, которое называется вариантой. Размахом выборки называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами выборки: R. x max x m Если одна и та же варианта встречается в выборке несколько раз, то статистический ряд удобнее записывать в виде таблицы 3. 0

11 Индекс Таблица Таблица 3 Варианта x Индекс Варианта x Частота Относит. частота x x x x Частотой варианты x в выборке, причем x k x k (, k ) варианты k Относительной частотой или весом называется отношение частоты варианты k., причем. k k x называется число повторений (, k ) варианты x x к объему выборки, то есть При большом числе наблюдений простой статистический ряд перестает быть удобной формой записи статистических данных. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал подвергают дополнительной обработке строят вариационные ряды или группированные вариационные ряды. Вариационным рядом называется упорядоченная совокупность вариант x (, k ) с соответствующими им частотами частотами. или относительными Для построения группированного вариационного ряда интервал изменения наблюденных значений случайной величины [ x m ; x max ] разбивают на N непересекающихся интервалов u x ; ], ( ] [ m u u, ; u 3

12 , ( u ; u x ] N N + max, называемых частичными интервалами или разрядами. Число интервалов группировки зависит от объема выборки и определяется по правилу: [ + 3,3 lg ] + N, где объем выборки, а квадратные скобки обозначают целую часть числа. Разбиение на малое число интервалов может привести к неверным статистическим выводам. Согласно этой формуле, необходимо брать не менее 8 интервалов на 00 наблюдений. Интервалы могут быть как одинаковой длины, так и различной. Для упрощения дальнейшей обработки статистических данных интервалы желательно делать одинаковой длины: вариант Частотой Δ x max x N m R N (, N ) интервала ; ] x, попавших в этот интервал, причем. ( u u + называется число N. При группировке наблюденных значений по разрядам возникает вопрос о том, к какому интервалу отнести значение, находящееся на границе двух разрядов. В этих случаях считают данное значение принадлежащим к левому интервалу. Относительной частотой или весом (, N ) интервала u ; ] называется отношение частоты интервала к объему выборки : ( u + N., причем ( u + Накопленной относительной частотой w (, N ) интервала u ; ] называется сумма относительных частот первых интервалов, то есть w j. j

13 Группированным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность непересекающихся интервалов с соответствующими им частотами, относительными частотами и накопленными относительными частотами w (таблица 4). Индекс Таблица 4 Накопл. относит. частота Относит. Интервал Частота частота ( u ; u + ] w [ u ; u ] w ( u ; u 3 ] w + N u ; ] N ( N u N + N N w N П Р И М Е Р (пункт 3 части Задания): Требуется составить группированный вариационный ряд для выборки из генеральной совокупности значений случайной величины X (таблица ), разбив выборку на N 0 равных интервалов. Данная выборка имеет объем 00. Определим интервал изменения случайной величины X. Для этого в таблице находим максимальный и минимальный элементы: Определим размах выборки: x max 9,97, m 3, 3 x. 3,9 R xmax xm. 3

14 Для удобства дальнейшей обработки статистических данных округляем x max и x m до ближайших целых чисел таких, что x max и x m вошли бы в новый интервал: o x max 0 o, x m 4. o o o Тогда новый размах выборки: R xmax xm 4. Разбиваем выборку на N 0 равных интервалов. Длина каждого частичного интервала равна R o 4 Δ, 4. N Частичные интервалы приведены во втором столбце таблицы 5. 0 Найдем количество вариант, попавших в каждый частичный интервал разбиения, и заполним столбец три таблицы 5. Сумма всех частот должна быть равна 00. частоты Найдем относительные частоты w j j 4 и накопленные относительные (четвертый и пятый столбцы таблицы 5). Группированный вариационный ряд оформим в таблицу 5. Из таблицы 5 видно, что данная выборка имеет одну изолированную точку x m 3, 3, удаленную от группы других экспериментальных точек. В таком случае можно считать эту изолированную точку аномальным наблюдением, грубой ошибкой измерения и удалить ее из выборки. Тогда объем выборки уменьшится и будет равен 99. Изменятся также и выборочные характеристики: x x 4, 996, S 0 ( x x ) 5,33, S0 S0 5,33, 657. В дальнейших расчетах будут использоваться именно эти значения.

15 Индекс Интервал ( u ; u + ] Частота Относит. частота Таблица 5 Накопл. относит. частота [ -4,0; -,6 ] 0,0 0,0 ( -,6; -, ] 0 0 0,0 3 ( -,; 0, ] 0,0 0,03 4 ( 0,;,6 ] 3 0,03 0,06 5 (,6; 3,0 ] 8 0,8 0,4 6 ( 3,0; 4,4 ] 0 0, 0,44 7 ( 4,4; 5,8 ] 4 0,4 0,68 8 ( 5,8; 7, ] 6 0,6 0,84 9 ( 7,; 8,6 ] 9 0,09 0,93 0 ( 8,6; 0,0 ] 7 0,07 Сумма 00 w З а м е ч а н и е: Проверка гипотезы об аномальности наблюдения проводится следующим образом: значение выбрасывается из выборки объема, если значение квантили x m признается аномальным и x m x С p S 0 +, где С p определяется для данной доверительной вероятности p по таблице нормального распределения (таблица П 3 Приложения). Выберем доверительную вероятность p 0, 95 и по таблице П 3 Приложения найдем C 0,95,645. Значения x и 0 объема, то есть x 4, 996 и 0, 657 S определяются по выборке уменьшенного S. Проверим гипотезу об аномальности x m 3, 3: x m x 3,3 4,996 8,36, + 0 С p S0,645,657 3,

16 Так как условие x + m x С p S0 выполняется, точку x 3,3 можно из выборки исключить. Соответственно в таблице 5 можно исключить два первых интервала. Заметим, что число оставшихся интервалов группировки оказалось равно 8, что соответствует условию: N [ + 3,3 lg ] + [ + 3,3 lg99 ] + 8 В противном случае число интервалов пришлось бы увеличить. Новое разбиение на интервалы оформим в таблицу 6. Индекс Интервал ( u ; u + ] Частота Относит. частота. Таблица 6 Накопл. относит. частота ( -,; 0, ] 0,00 0,00 ( 0,;,6 ] 3 0,0303 0, (,6; 3,0 ] 8 0,88 0,33 4 ( 3,0; 4,4 ] 0 0,00 0, ( 4,4; 5,8 ] 4 0,44 0, ( 5,8; 7, ] 6 0,66 0, ( 7,; 8,6 ] 9 0,0909 0,993 8 ( 8,6; 0,0 ] 7 0,0707,0000 Сумма 99, ГИСТОГРАММА И ПОЛИГОН ЧАСТОТ Пусть X { x, x,, } выборка объема, содержащая k K x k различных вариант, из генеральной совокупности случайной величины X с неизвестной плотностью вероятностей f ( x). Приближением (оценкой) неизвестной плотности вероятностей могут служить гистограмма или полигон относительных частот. Гистограмма и полигон относительных частот служат для геометрического изображения группированного вариационного ряда. w 6

17 Гистограмма относительных частот представляется в виде примыкающих друг к другу прямоугольников с основаниями интервалов группировок, и высотами h Δ Δ Δ R N, равными ширине (рис. ). Для гистограммы относительных частот площадь ступенчатой фигуры соответствует сумме вероятностей и равна. Площадь любого прямоугольника гистограммы равна вероятности попадания значений рассматриваемой случайной величины в интервал, соответствующий основанию прямоугольника. h z u z u z u u + z un N u N + Рис. Гистограмма и полигон относительных частот Полигоном относительных частот называется ломаная, соединяющая точки ( z, h ), ( z, h ),, ( ) + u z N, h N (рис. ), где + z u 7

18 середины интервалов группировки; гистограммы. h высоты прямоугольников Δ При увеличении объема выборки и уменьшении длин интервалов гистограмма и полигон относительных частот приближаются к графику неизвестной функции f ( x) плотности вероятности генеральной совокупности. По виду гистограммы или полигона частот можно выдвинуть гипотезу о виде распределения генеральной совокупности. Например, если гистограмма имеет вид, представленный на рис. а, то можно предположить, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения с плотностью вероятностей ( x m) ; рис. б равномерное f( x) e σ σ π распределения с плотностью вероятностей f ( x), b a 0, x x [ a; b ] [ a; b ], ; рис. в показательное распределение с плотностью вероятностей f ( x) λx λ e, 0, x 0 x > 0,. m Ььа ииb а б в Рис. Виды гистограмм 8

19 П Р И М Е Р 3 (пункты 4 и 5 части Задания): Требуется построить гистограмму и полигон относительных частот для известного группированного вариационного ряда (таблица 6). На их основе выдвинуть нулевую гипотезу H 0 о виде распределения генеральной совокупности. В данном случае это нормальное распределение. На одном чертеже с гистограммой построить график теоретической плотности вероятностей. Сделать вывод об их визуальном совпадении. Для удобства заполним таблицу 7. В третий столбец таблицы 7 занесены середины интервалов интервалов относительных частот z u + u +, в четвертый относительные частоты, в пятый высоты прямоугольников гистограммы h Δ Δ. Таблица 7 Индекс Интервал ( u ; u + ] Середина интервала z Относит. частота Высота прямоуг. ( -,; 0, ] -0,5 0,00 0,044 ( 0,;,6 ] 0,9 0,0303 0,06 3 (,6; 3,0 ],3 0,88 0,99 4 ( 3,0; 4,4 ] 3,7 0,00 0,443 5 ( 4,4; 5,8 ] 5, 0,44 0,73 6 ( 5,8; 7, ] 6,5 0,66 0,54 7 ( 7,; 8,6 ] 7,9 0,0909 0, ( 8,6; 0,0 ] 9,3 0,0707 0,0505 Сумма,0000,0000 h По данным таблицы 7 построим гистограмму. Для этого в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладываем значения границ интервалов разбиения и на каждом из интервалов с номером строим прямоугольник с высотой h (рис. 3). 9

20 Для такой гистограммы площадь ступенчатой фигуры соответствует сумме вероятностей и равна. Площадь каждого прямоугольника гистограммы равна вероятности попадания случайной величины в интервал, соответствующий основанию прямоугольника. h ) S 0, f (x π Рис. 3 Гистограмма относительных частот и кривая теоретической плотности вероятностей Полигон относительных частот ломаная, соединяющая точки ( z, h ),, N (рис. 4). Гистограмма и полигон относительных частот, являющиеся статистическими оценками плотности вероятностей генеральной совокупности, схожи с кривой плотности вероятностей нормального закона. На основании этого выдвигаем нулевую гипотезу H 0: Генеральная совокупность, из которой взята выборка, распределена по нормальному закону с параметрами m x 4,996, S 0, 657 σ, то есть теоретическая плотность вероятностей имеет вид: ( x m) f( x) e σ σ π 0

21 h Рис. 4 Полигон относительных частот Вычислим значения теоретической плотности вероятностей в точках z середины интервалов по таблице П Приложения. Результаты вычислений занесем в таблицу 8. Заметим, что f max x f x 0, 76. S0 π Таблица 8 z t ( ) ( ) z x f0 ( t ) S f 0 0 ( t ) e f ( z ) π S0-0,5 -,458 0,00 0,0093 0,9 -,8079 0,0778 0,0344 3,3 -,900 0,965 0, ,7-0,57 0,3387 0, , 0,0459 0,3985 0, ,5 0,6638 0,30 0,43 7 7,9,87 0,755 0, ,3,8996 0,0657 0,090 x 4,996 0,0000 0,3989 0,76 t

22 интервалов Последний столбец таблицы 8 можно вычислить сразу по серединам z с помощью статистической функции НОРМРАСП пакета EXCEL с логическим значением ЛОЖЬ. Для построения теоретической плотности вероятностей на рисунке 3 поставим точки ( ; ( )) z f z,, N и (, f ( x) ) x и соединим их плавной линией. Из рисунка 3 видно, что график теоретической плотности вероятностей и гистограмма достаточно хорошо совпадают..5. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Пусть X { x, x,, } выборка объема, содержащая k K x k различных вариант, из генеральной совокупности случайной величины X, имеющая функцию распределения F ( x ), x R. Неизвестную функцию распределения генеральной совокупности F ( x ) называют теоретической функцией распределения. Эмпирической функцией распределения группированной выборки называется функция F ( x ), определяющая для любого x R относительную частоту события ( X < x ), то есть F ( x ), где середины интервалов группировки; интервалов, середины которых меньше x. z < x u + u X + z относительные частоты тех По определению F ( x ) зависит от выборки и обладает свойствами функции распределения случайной величины. В частности F ( x ) :. неубывающая функция;. непрерывная слева; 3. имеет значения, принадлежащие отрезку [ 0,]; 4. при z x ( x ) 0 F, а при z N x > ( x ) F.

23 Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F ( x ) определяет вероятность события ( X < x ), а эмпирическая функция ( x ) этого же события, найденную по данной выборке. F определяет относительную частоту Значение эмпирической функции распределения для статистики определяется следующим утверждением. Теорема (Гливенко): Пусть F ( x ) эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема из генеральной x и совокупности с функцией распределения F ( x ). Тогда для любого R ε > 0 lm ( ( x ) F( x ) < ε ) P F. Таким образом, при каждом x F ( x ) сходится по вероятности к F ( x ) и, следовательно, при большом объеме выборки может служить приближенным значением (оценкой) функции распределения генеральной совокупности в каждой точке x. Обычно эмпирическую функцию распределения F ( x ) группированной выборки записывают в виде: где w (, N ) F 0, x z, w, z < x z, ( x ) w, z < x z3, K wn, zn < x. накопленные относительные частоты (таблица 4). График эмпирической функции распределения F ( x ) имеет ступенчатый вид (рис. 5)., 3

24 F (x) u z u z u3 Рис. 5 Эмпирическая функция распределения П Р И М Е Р 4 (пункты 6 и 7 части Задания): Требуется составить эмпирическую функцию распределения F ( x ) группированной выборки (таблица 6) и построить ее график. На одном чертеже с эмпирической функцией распределения построить график теоретической функции распределения. Сделать вывод об их визуальном совпадении. Взяв значения накопленных относительных частот из таблицы 6, а значения середин интервалов из таблицы 7, составим эмпирическую функцию распределения и построим ее график (рис. 6): 0,0000, x 0,5, 0,00, 0,5< x 0,9, 0,0505, 0,9< x,3, F ( x ) 0,33,,3< x 3,7, 0,4343, 3,7< x 5,, 0,6768, 5,< x 6,5,. 0,8384, 6,5< x 7,9, 0,993,,0000, u z u+ 7,9< x 9,3, x> 9,3. z un N u N + 4

25 Согласно выдвинутой гипотезе о виде распределения генеральной совокупности, теоретическая функция распределения генеральной совокупности является функция распределения нормального закона: где ( t m) σ 0 σ, x x m F( x) e dt Φ + σ π t 0 u Φ 0( t) e du функция Лапласа. Здесь, как и ранее, π m x 4,996, S 0, 657 (x) F ) F(x σ. Рис. 6 Эмпирическая и теоретическая функции распределения На одном чертеже с эмпирической функцией распределения построим график теоретической функции распределения. Для этого найдем значения теоретической функции распределения в точках z. Для удобства вычислений значений теоретической функции распределения заполним таблицу 9. 5

26 Значения функции Лапласа Φ 0 ( t ), по которой вычисляются значения функции распределения F( z ), приведены в таблице П Приложения. Значения функции распределения F( z ) в точках z можно также найти с помощью пакета прикладных программ EXCEL, используя статистическую функцию НОРМРАСП с логическим значением ИСТИНА. Таблица 9 z z x t Φ 0 ( t ) F( z ) S Φ 0( t) + 0-0,50 -,458-0,494 0,0076 0,90 -,8079-0,4649 0,035 3,30 -,900-0,3830 0,70 4 3,70-0,570-0,57 0, ,0 0,0459 0,060 0, ,50 0,6638 0,454 0, ,90,87 0,3997 0, ,30,8997 0,473 0,973 x 4,996 0,0000 0,0000 0,5000 График теоретической функции распределения строим на рисунке 6 по второму и пятому столбцам таблицы 9, соединив точки плавной линией. Заметим, что точка перегиба кривой теоретической функции распределения имеет координаты ( x ;0,5 ). Сравнивая графики F ( x ) и ( x ) F ( x ) является статистическим аналогом ( x ) F (рис. 6) можно сделать вывод, что F..6. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ χ И СТЬЮДЕНТА Рассмотрим некоторые виды специальных распределений, используемых в математической статистике. Сначала введем определение: Квантилью, соответствующей вероятности p, называется такое значение x p, при котором выполняется соотношение: 6

27 x p ( X < x p ) P f ( x ) dx p, где f ( x ) плотность вероятностей соответствующего закона распределения (слово квантиль женского рода). Геометрическое пояснение смысла квантили, отвечающей вероятности p, приведено на рисунке 8. Пусть X, X,, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ χ X K k нормально распределенные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднеквадратическое отклонение единице, то есть X ( 0, ) N. Тогда сумма квадратов этих величин χ ( k ) X + X + K + распределена по закону f k (x) χ («хи квадрат») с k степенями свободы. k X k X k 6 k 8 Рис. 7 Графики плотности вероятностей распределения χ Плотность вероятностей этого распределения имеет вид: f 0 k x k ( x > 0), ( x ) x e, k / Г ( k / ) 7

28 k t t где Г( k ) e t dt - гамма- функция. 0 График плотности вероятностей f k ( x ) при малых k имеет длинный правый «хвост», а с ростом k становится почти симметричным (рис. 7). Квантили распределения χ обозначаются x χ ( ) p p k (рис. 8) и находятся по таблицам (таблица П 5 Приложения). f k (x) 0 xp Рис. 8 Геометрическое пояснение смысла квантили отвечающей вероятности p РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА x p, Пусть U нормально распределенная случайная величина, причем U N (0,), а V независимая от U случайная величина, распределенная по закону χ с k степенями свободы. Тогда известно, что случайная величина Т U k имеет t -распределение или распределение Стьюдента с k V степенями свободы. Плотность вероятностей этого распределения имеет вид: f k ( t ) k + Г Г πk ( k / ) 8 t + k k+ (рис. 9).

29 При k распределение Стьюдента стремится к нормальному и при k 30 практически не отличается от нормального N (0,). Квантили распределения Стьюдента t p находят по таблицам (таблица П 4 Приложения) в зависимости от вероятности p и числа степеней свободы k. Так как график плотности вероятностей распределения Стьюдента симметричен относительно 0 t, то tp t p (рис. 9). Квантили распределений Стьюдента и χ можно найти с помощью статистических функций СТЬЮДРАСПОБР и ХИОБР пакета прикладных программ EXCEL. f k (t) Рис. 9 Плотность вероятностей и квантили распределения Стьюдента.7. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Для получения обоснованных выводов о параметрах, виде распределения и других свойствах случайных величин необходимо проверить гипотезу о соответствии эмпирической функции распределения одному из известных теоретических законов. t p Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или о параметрах распределения генеральной совокупности. Например, статистическими являются гипотезы: 0. генеральная совокупность распределена по нормальному закону или любому другому конкретно заданному закону (гипотеза о виде распределения); 9 t p

30 . если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то параметры нормального закона равны выборочным ~ S характеристикам: m m% X x, σ σ X 0 (параметрическая гипотеза). Гипотезу о виде распределения выдвигают на основе схожести гистограммы или полигона частот с соответствующей кривой одного из теоретических законов (нормального, равномерного, Пуассона и т. п.). Когда предположение о виде распределения генеральной совокупности принято, следует проверить гипотезу о параметрах этого распределения. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H 0. Альтернативными называют гипотезы, которые противоречат нулевой. Если отвергается H 0, то принимается одна из альтернативных гипотез. При проверке статистических гипотез могут быть допущены ошибки двух родов с вероятностями:. α вероятность отклонить гипотезу H 0, при условии, что она верна (ошибка первого рода);. β вероятность принять гипотезу H 0, при условии, что она неверна (ошибка второго рода). Например, в радиолокации α вероятность пропуска сигнала, β вероятность ложной тревоги. Ясно, что чем меньше будут ошибки первого и второго рода, тем точнее статистический вывод. Однако при заданном объеме выборке одновременно уменьшить α и β невозможно. Единственный способ одновременного уменьшения α и β состоит в увеличении объема выборки. Если формулируется только одна гипотеза H 0 и требуется проверить, согласуются ли статистические данные с этой гипотезой или они ее опровергают, то критерии, используемые для этого, называют критериями согласия. В таких критериях не выставляется конкретная альтернативная гипотеза. 30

31 Прежде, чем привести схему статистической проверки гипотез, дадим используемые ниже определения новых понятий. Статистикой критерия называется специально подобранная функция выборки K K( x, x,, ) K x, которая служит для проверки гипотезы H 0. Статистика K является мерой расхождения экспериментальных данных с гипотетическим распределением. Как правило, перед анализом выборки задается уровень значимости α вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы. Обычно полагают α 0,05, α 0, 0, α 0, 00. Критической областью называется совокупность значений статистики, при которых нулевая гипотеза отвергается. Обычно критическую область выбирают из условия ( K K ) α находят по соответствующим таблицам. P > кр. Критическую точку критерия K кр Схема статистической проверки гипотезы по критерию согласия: ) формулировка нулевой H 0 гипотезы; ) выбор уровня значимости α ; 3) выбор статистики K и соответствующего критерия; 4) определение критической области и области принятия гипотезы; 5) вычисление выборочной статистики K выб и проверка гипотезы; 6) принятие статистического решения..8. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ χ ПИРСОНА Для проверки гипотез о виде распределения применяются различные критерии согласия: χ («хи- квадрат») К. Пирсона, критерий Колмогорова, критерий Смирнова и др. Наиболее удобным и универсальным критерием является критерий χ Пирсона. Он совершенно не зависит ни от вида распределения случайной величины, ни от ее размерности. 3

32 Ограничимся описанием применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений). Схема применения критерия согласия χ : ). Выдвигается гипотеза H 0 : генеральная совокупность имеет нормальное распределение с плотностью вероятностей : с параметрами ( x m) f( x) e σ σ π m m x σ ~ σ X S % X, 0, то есть выборочное среднее x и модифицированная выборочная дисперсия математическое ожидание m случайной величины. и дисперсию S 0 принимаются соответственно за σ нормально распределенной ). По выборке наблюдений случайной величины X составляется группированный вариационный ряд (таблица 4). 3). Вычисляются вероятности случайной величины X в -тый интервал. Для нормального закона p (, N ) попадания значений u m u m p P( u X u + < + ) Φ Φ σ σ. Здесь Φ ( x) функция распределения нормального закона N (0;) которой находят по таблицам. 4). Вычисляется выборочное значение статистики критерия χ :, значения χ выб N ( p), p 3

33 где N число интервалов разбиения выборки; объем выборки; частота -того интервала; случайной величины X в -тый интервал. p теоретическая вероятность попадания значений К. Пирсон доказал, что эта статистика независимо от вида распределения генеральной совокупности при имеет χ - распределение с q N s степенями свободы, где N число интервалов разбиения, s число оцениваемых параметров гипотетического закона распределения. Для нормального закона s (параметры m и σ ). 5). Областью отклонения G (критической областью) гипотезы H 0 называется такая область, при попадании в которую статистики χ выб гипотеза H 0 отклоняется. Область отклонения G выбирается так, чтобы вероятность попадания в нее величины значимости α. Тогда критическая точка определяется из уравнения: χ выб, когда гипотеза H 0 верна, была равна уровню ( ) ( ) χ кр, ограничивающая область G, + выб кр k. χ P χ G H0 P K > χ f ( x) dx α кр Из этой формулы следует, что критическая точка χ кр равна с квантили распределения Пирсона χ р, отвечающей вероятности p α с числом степеней свободы q N s (таблица П 5 Приложения). выб Таким образом, если вычисленная выборочная статистика [ ; χ ) χ, то гипотеза 0 0 кр гипотеза H 0 отвергается. H принимается. Если выб χ кр χ, то Область принятия критерия имеет вид, представленный на рис

34 Выбор области принятия гипотезы можно объяснить следующим образом: значения теоретических вероятностей интервалов p и относительных частот должны быть достаточно близки, поэтому разности ( p ) не должны быть слишком велики. f k (x) H 0.с p 0 χ kp χ Рис. 0 Область принятия критерия Статистический вывод неверно формулировать в виде: генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения. Можно лишь утверждать, что данная выборка согласуется с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами σ ~ σ X S 0 на уровне значимости α. величина З а м е ч а н и е: критерий p p % X, m m x χ использует тот факт, что случайная имеет распределение, близкое к нормальному. Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо выполнение условия p 5 для всех интервалов. Интервалы, для которых это условие не выполняется, следует объединить с соседними. 34

35 П Р И М Е Р 5 (пункт 8 части Задания): Пирсона Требуется для выборки (таблица ) с помощью критерия согласия χ проверить гипотезу H 0 о виде распределения генеральной совокупности (нормальное распределение) на уровне значимости α 0,. Сделать статистический вывод. Для данной выборки объема 99 ранее были вычислены выборочное среднее x 4, 996 и модифицированная выборочная дисперсия 5, S 0, составлен группированный вариационный ряд (таблица 6), а также выдвинута гипотеза H 0 о нормальном распределении генеральной совокупности. Вычислим теперь вероятности p (, N ) попадания значений случайной величины X в -тый интервал и выборочное значение статистики N ( ) критерия χ : p χ выб. p Результаты вычислений занесем в таблицу 0. u x ( t ) Таблица 0 u t S 0 Φ 0 p p -, -,7348-0,4968 0,0 -,69-0,4830 0,038,366 3,60 3 -,4989-0,433 0,0498 4, ,00 8-0,880-0,306 0,6, ,40 0-0,63-0,06 0,080 0, ,80 4 0,3548 0,368 0,394 3, ,0 6 0,978 0,3340 0,97 9,58 8 8,60 9,5907 0,444 0,0 0, ,00 7,086 0,4864 0,043 4,877 Пятый столбец таблицы 0 можно вычислить с помощью статистической функции НОРМРАСП пакета EXCEL. Шестой столбец представляет собой разности значений из пятого столбца: Φ ( t ) ( t ) p 0 + Φ0.

36 Заметим, что в таблице 9 вычислялись значения функции Лапласа в серединах интервалов, а в таблице 0 для проверки критерия концах интервалов разбиения. χ именно в Так как в двух первых и в последнем интервалах не выполняется условие p 5, то объединим эти интервалы с соседними. При объединении интервалов значения и χ выб p суммируются (таблица ). p Таблица ( p) χ p 5 6,964 0,669 8,374, ,590 0, ,7006 0, ,58 0, ,0876 0,055 Сумма 99 3,803 Суммируя элементы последнего столбца таблицы, получим 3,803. Число степеней свободы после укрупнения таблицы 0 равно q N s 6 3 ( 6 интервалов). N, так как в укрупненной таблице 6 Область принятия гипотезы можно записать в виде P χ кр ( K ) f ( x ) dx α χ p, кр k 0 откуда следует, что критическое значение χ кр совпадает с квантилем χ p ( k ) распределения хи- квадрат с доверительной вероятностью p α. В нашем случае 0,, число степеней свободы q 3 α и p α 0, 9. По таблице П 5 Приложения (или функции ХИОБР) находим значение критической точки распределения (квантили) χ χ ( ) 0,9 3 6,5. Так как кр 36

37 выб [ ) χ 3,803 0 ; 6,5, то на данном уровне значимости гипотеза H 0 принимается. Статистический вывод: данная выборка согласуется с гипотезой о нормальном распределении с параметрами 4,996, σ S 0, 657 на уровне значимости α 0,, то есть вероятность отвергнуть гипотезу H 0, при условии, что она верна, равна 0,. m x.9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Интервальное оценивание параметров распределения генеральной совокупности состоит в построении доверительных интервалов. Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал ( θ,θ ), содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью p α. Таким образом, P ( θ < θ < θ ) α. Число p α называется доверительной вероятностью, а значение α уровнем значимости. При построении доверительных интервалов вводят в рассмотрение специально подобранную статистику K, распределение которой известно. Наиболее распространенными являются статистики, имеющие нормальное, Стьюдента и χ распределения. Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров распределения генеральной совокупности зависит как от вида распределения, так и от знания значений остальных параметров закона распределения..9.. Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для математического ожидания m нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии. 37

38 Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m и σ. Найдем доверительный интервал для математического ожидания m в предположении, что дисперсия σ неизвестна и задан уровень значимости α. Английский математик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что x m T имеет распределение Стьюдента с k S статистика 0 степенями свободы. Так как кривая плотности вероятностей распределения Стьюдента симметрична относительно t 0, будем искать доверительную τ k. τ P T < τ P τ < T < τ f t dt p α область в виде: ( ) ( ) ( ) f k (t) p / t α 0 t α Рис. Геометрическое пояснение смысла квантилей распределения Стьюдента Из рисунка видно, что площадь под графиком каждого из симметричных «хвостов» будет равна совпадут с квантилями τ t α и α, тогда значения границ интервала τ t t. α α / 38

39 В таблице П 4 Приложения приведены значения t p ( k ) в зависимости от доверительной вероятности p и числа степеней свободы k. Можно также использовать функцию СТЬЮДРАСПОБР пакета прикладных программ EXCEL. Таким образом, получаем: t α < T < t α или x m t < < t. α α S0 Подставив в полученное неравенство значения 39 t α, x, 0 S, и разрешив это неравенство относительно m, получим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания m нормально распределенной случайной величины X с неизвестной дисперсией значимости α : П Р И М Е Р 6 (пункт 9 части Задания): S S x t < m < x + t. 0 0 α α σ и заданным уровнем Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами m x и S0 σ для уровней значимости α 0,, α 0, 05 и 0, 0 неизвестной дисперсии. α при При построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания m нормально распределенной генеральной совокупности используется статистика T x S m, имеющая распределение 0 Стьюдента с k степенями свободы. Общее уравнение доверительного интервала P T ( θ ; θ )) α в данном случае имеет вид: ( x m t < < t. α α S0

40 Вычислим этот интервал для различных уровней значимости. α α 0,: 05 0,, α 0, 95, k число степеней свободы. Так как в таблице П 4 Приложения нет числа степеней свободы k 98, то для вычисления t p ( k ) можно воспользоваться одним из трех методов.. Известно, что при 30 k t p ( k ) C p, где C p квантиль нормального распределения (таблица П 3 Приложения). Тогда t t C, α (98) 0,95(98) 0,95,645 t (98) t (98) C,645 α 0,05 0,95.. Можно использовать линейную интерполяцию между точками таблицы П 4 Приложения ( k t ) ( 60;,67 ) и ( k t ) ( 0;,658 ) ; ; квантили при k 98 найдем по формуле линейной интерполяции: 0,95 k k. Значение t t,658,67 t (98) ( k k ) + t ( ), tα (98) t (98),663. Тогда 0,05 3. Статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР пакета EXCEL дает значение квантили 0,95 t (98),66. Нужно иметь в виду, что в EXCEL P T > x p. вычисляются значения двусторонних «антиквантилей» ( p ) Поэтому чтобы получить значение односторонней квантили t 0,95 (98), нужно p (см. справку к в этой функции задать вероятность ( 0,95 ) 0, функции СТЬЮДРАСПОБР). В дальнейших расчетах используем значения, даваемые EXCEL.. 40

41 t t, 98) t (98), 66 α (98) 0,95(98),66 4,996 m,66 < 99 <,66, 657 t α ( 0, 05, Выражая из неравенства неизвестный параметр m, получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости α 0, : 4,678 < m < 5,3743. Таким образом, неизвестное математическое ожидание ( 4,678 ; 5,3743 ) p. m с вероятностью 0, 9 Аналогично найдем доверительные интервалы для математического ожидания для уровней значимости α 0,05 и α 0, 0. α α 0,05 : 05 0,, α 0, 975, t α (98) 0,975(98),984 k, t, tα (98) t 0,05(98),984, 4,996 m,984 < 99 <,984.,657 Выражая из неравенства неизвестный параметр m, получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости α 0, 5 : 4,544 < m < 5,4479. Таким образом, неизвестное математическое ожидание ( 4,544 ; 5,4479 ) m с вероятностью 0, 95 p. α α 0,0: 005 0,, α 0, 995, t α (98) 0,995(98),67 k, t, tα (98) t 0,005(98),67, 4,996 m,67 < 99 <,67.,657 4

42 Выражая из неравенства неизвестный параметр m, получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости α 0, 0: 4,3978 < m < 5,5948. Таким образом, неизвестное математическое ожидание ( 4,3978 ; 5,5948 ) p. m с вероятностью 0, Определим теперь доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ нормально распределенной случайной величины X с неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости α. S0 В этом случае рассматривается статистика B ( ), имеющая σ распределение χ с k степенями свободы, где объем выборки. Будем искать доверительную область в виде: P( θ < χ < θ θ p ) fk ( x ) dx p. θ α f k ( x) p 0 / χ α χ α / Рис. Квантили распределения χ 4

43 Как и в предыдущем случае, будем считать площади под «хвостами» кривой распределения равными по α каждая (рис. ). Тогда границы интервала совпадут с квантилями: ( ), θ ( ) θ χ α 43. χ α В таблице П 5 Приложения приведены значения χ p ( k ) в зависимости от доверительной вероятности p и числа степеней свободы k. Можно также использовать функцию ХИОБР пакета прикладных программ EXCEL. Таким образом, получаем χ S0 α χ α σ ( ) < ( ) < ( ). Подставив в полученное неравенство значения χ, α χ α, S 0, и разрешив это неравенство относительно σ, получим доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ нормально распределенной случайной величины X с неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости α : S0 S < σ < 0. α ( ) χα ( ) ( ) ( ) χ Следует отметить, что если математическое ожидание генеральной совокупности известно, то доверительный интервал для дисперсии будет иметь другой вид. Длина доверительного интервала характеризует точность оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности p α. Чем меньше длина доверительного интервала, тем надежнее оценка. При увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается.

44 П Р И М Е Р 7 (пункт 9 части Задания): Требуется построить доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами m x и σ S 0 для уровней значимости α 0,, α 0, 05 и α 0, 0. Для построения доверительного интервала для неизвестной дисперсии σ нормально распределенной генеральной совокупности используется S0 статистика B ( ), имеющая распределение χ с k σ степенями свободы: χ α 44 0 S < ( ) < χ σ Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.. α α α 0,: 05 0,, α 0, 95, k Так как в таблице П 5 Приложения нет числа степеней свободы k 98, то для вычисления χ p ( k ) можно воспользоваться одним из способов:. Известно, что при k 30 χ, где C p ( C p + k ) p ( k ) квантиль нормального распределения (таблица П 3 Приложения). По этой формуле получим: χ χ ( C0, ) (98) (98) 75,88, α χ 0,05 ( С0, ) α χ 0,95 (98) (98),84.. Статистическая функция ХИОБР пакета EXCEL дает следующие значения квантилей распределения хи- квадрат: χ 0,05 ( 98 ) 76,64, ( ) χ 0,95 98,08.

45 Следует иметь в виду, что в функции ХИОБР вычисляются «антиквантили» P( B p ) p 0,05 ( 98 ) > χ. Чтобы получить значение квантили χ, нужно ввести обратную вероятность 0, p. В дальнейших расчетах используются значения квантилей, вычисленные 5,33 < σ в EXCEL: 76,64 (99 ) <, 08 Выражая из неравенства неизвестный параметр σ, доверительный интервал для дисперсии для уровня значимости α 0, : < 4,97 < σ 6,6049. Таким образом, неизвестная дисперсия вероятностью p 0, 9. получим σ ( 4,97 ; 6,6049 ) с Аналогично найдем доверительные интервалы для дисперсии для уровней значимости α 0,05 и α 0, 0. α α 0,05 : 05 0,, α 0, 975, α χ 0,05 χ (98) (98) 7,50, α χ 0,975 k, χ (98) (98) 7,8, 5,33 7,50 < (99 ) < 7,8. σ Выражая из неравенства неизвестный параметр σ, доверительный интервал для дисперсии для уровня значимости α 0, 05: < 3,953 < σ 6,9386. Таким образом, неизвестная дисперсия вероятностью p 0, 95. получим σ ( 3,953 ; 6,9386 ) с α α 0,0: 005 0,, α 0, 995, k,

46 α χ 0,005 χ (98) (98) 65,693, α χ 0,995 5,33 65,693 < (99 ) < 37,803. σ χ (98) (98) 37,803, Выражая из неравенства неизвестный параметр σ, доверительный интервал для дисперсии для уровня значимости α 0, 0: < 3,6505 < σ 7,6576. Таким образом, неизвестная дисперсия вероятностью p 0, 99. получим σ ( 3,6505 ; 7,6576 ) с Заметим, что полученные ранее выборочное среднее x 4, 996 и выборочная дисперсия S 0 5, 33 попадают во все найденные доверительные интервалы соответственно, причем, чем меньше уровень значимости α, то есть больше вероятность соответствующего доверительного интервала. p α, тем больше длина. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ ДАННЫХ В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами. Изучение каждой из этих случайных величин отдельно от другой может привести к недопустимому упрощению вероятностной модели явления. В данном разделе рассматриваются такие методы статистического анализа двумерных данных, как корреляционный и регрессионный анализ. 46

47 .. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТИ Рассмотрим зависимость случайной величины Y от одной величины X (случайной или детерминированной). Если каждому возможному значению X соответствует единственное возможное значение Y, то Y называют функцией аргумента X. Строгая функциональная зависимость между двумя случайными величинами реализуется редко, так как обе величины могут быть подвержены воздействию случайных факторов. Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой. Если статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной величины изменяется среднее значение (математическое ожидание) другой, то зависимость называется корреляционной. Между функциональной и корреляционной зависимостями случайных величин существует связь.. Если случайные величины X и Y функционально зависимы, то они коррелированы. Обратное утверждение, в общем, не верно.. Если X и Y независимы, то они некоррелированы. Обратное утверждение, в общем, не верно. Таким образом, корреляционная зависимость занимает промежуточное значение между функциональной зависимостью и независимостью. Поэтому корреляционную зависимость считают «слабой» зависимостью между случайными величинами... ЛИНЕЙНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ Пусть имеется наблюдений случайного вектора ( X, Y ) { x, x, } и Y { y, y,, } X, K x K y. По данным наблюдениям можно вычислить следующие статистики:. При этом 47

48 x y x y ~ D ~ D ~ K X Y XY x y момент. выборочное среднее случайной величины X ; выборочное среднее случайной величины Y ; x y выборочное среднее произведений случайных величин; ~ σ X ( x x ) выборочная дисперсия случайной величины X ; ~ σ Y ( y y ) выборочная дисперсия случайной величины Y ; ( x x )( y y ) x y x y выборочный корреляционный Все эти статистики являются оценками соответствующих параметров генеральной совокупности, вычисленными по данной выборке наблюдений. Выборочным коэффициентом корреляции r~ XY называется отношение выборочного корреляционного момента K ~ XY среднеквадратических отклонений величин X и Y : ~ ~ K XY x y x y rxy ~ σ ~ σ ~ σ ~ σ к произведению выборочных. X Y X Y Выборочный коэффициент корреляции можно вычислить также с помощью функции КОРРЕЛ пакета EXCEL. Если выборочный коэффициент корреляции равен нулю, то случайные величины называются некоррелированными. Из независимости случайных величин следует некоррелированность, то есть для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Обратное утверждение в общем 48

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

1. Краткие теоретические сведения

1. Краткие теоретические сведения . Краткие теоретические сведения.. Основные распределения, используемые в математической статистике Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х распределена равномерно на отрезке

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд.

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд. 11 Тесты по математической статистике Тест 1 P 1 Для любого x имеет место соотношение F x правую часть Заполните Дана выборка ( 3,1,,3,1,4, 5) Составьте вариационный ряд 3 Что оценивают x и выборочная

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Лабораторный практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Лабораторный практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электронной техники (технический университет) ВВБардушкин, ВВЛесин, ВНЗемсков,

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

DOI: /AUT

DOI: /AUT 30 АВТОМЕТРИЯ. 2016. Т. 52, 1 УДК 519.24 КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ Е. Л. Кулешов Дальневосточный федеральный университет, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8 E-mail: kuleshov.el@dvfu.ru

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

Коломиец Э.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ

Коломиец Э.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез 1. Статистические гипотезы; 2. Критерии проверки гипотез; 3. Проверка параметрических гипотез; 4. Критерий Пирсона Завершить показ Статистические гипотезы. Статистические

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю С Боярович, Ю Е Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практическое руководство

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Теория погрешностей Урок 2. Тема «Случайные величины и их свойства»

Теория погрешностей Урок 2. Тема «Случайные величины и их свойства» 1 Теория погрешностей Урок 2. Тема «Случайные величины и их свойства» 2 Теоретическая часть Принципы исследования на основе методов статистики 3 Объект (процесс) исследования объективная реальность, изучаемая

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Хабаровск 004 3 УДК 56 Статистическая обработка и анализ экспериментальных данных массовых случайных явлений: Методические

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра информатики Н. А. Волорова, А. С. Летохо ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. НК-2, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки

Теория вероятностей и математическая статистика. НК-2, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки Теория вероятностей и математическая статистика. НК-, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки Для заданных выборок: построить вариационный и статистический ряды; найти наименьший

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ Образец заполнения титульного листа Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 УДК 37814788:5192 Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 Л М Гафарова, И Г Завьялова, Н Н Мустафин Национальный исследовательский университет «МИЭТ» Рассматриваются особенности и анализируются

Подробнее

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

Лабораторная работа 3 Оценки параметров распределения

Лабораторная работа 3 Оценки параметров распределения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее