7. Теорема Гильберта-Шмидта.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "7. Теорема Гильберта-Шмидта."

Транскрипт

1 Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ] [, ] и K( 0 В соответствии с результатами предыдущего параграфа этот оператор обладает конечной или бесконечной последовательностью характеристических чисел, которым соответствует ортонормированная система собственных функций,,,, определяемых уравнением = K( ( ds, Определение Функция f ( называется истокопредставимой с помощью ядра K (, если существует непрерывная функция s () такая, что f K( ( ds или, что тоже самое, f = A (те f R(A) - множеству значений оператора A, действующего h[, ] h[, ] ) Любой функции f h[, ] можно формально сопоставить ее ряд Фурье по системе функций (, те f f = Теорема Гильберта-Шмидта Если функция f ( истокопредставима с помощью непрерывного симметрического ядра K (, то она может быть разложена в ряд f = f, где f = ( f, ) = f( ( d = причем этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [, ] Доказательство ) Докажем, что ряд f сходится абсолютно и равномерно = на [, ] Будем рассматривать случай, когда характеристических чисел бесконечно много (в противном случае очевидно, что ряд сходится) Заметим, что f = ( f, ) = ( A, ) = (, A ) = (, ) = Итак, нам надо доказать равномерную и абсолютную сходимость ряда = Для доказательства применим критерий Коши равномерной сходимости Для нас представляет интерес сумма =, = = = где и произвольные натуральные числа (здесь мы использовали неравенство Коши- Буняковского для сумм вещественных чисел) а) Из неравенства Бесселя = = ( ds следует, что ряд = состоит из неотрицательных чисел, и все частичные суммы его ограничены сходится, тк 3

2 б) Заметим, что = K( ( ds, тк собственная функция, соответствующая характеристическому числу Если фиксировать x [, ], то - коэффициент Фурье ядра K (, и можно записать неравенство Бесселя для K( = = K ( ds K o ( ), где K = mx K( o s [, ] В то же время, из неравенства Бесселя для функции ( следует, что числовой ряд = сходится, и выполняется критерий Коши как необходимое условие его сходимости, те ε ε > 0 N N Но тогда при тех же ε, N,, имеет K ( ) место оценка = = o ε, те выполнен критерий Коши как достаточное условие равномерной сходимости функционального ряда = Итак, равномерная и абсолютная сходимость ряда Фурье доказана ) Докажем, что ряд Фурье f сходится к функции f ( Так как ряд = состоит из непрерывных функций и сходится равномерно на [,, ] то его сумма непрерывная на [, ] функция Обозначим ω = f = f Надо доказать, что ω 0 Докажем, что ω ( ортогональна всем собственным функциям i ( Действительно, ( ω, i ) = ω( i dx = f i dx f i dx = fi f i dx = = = = fi fi = 0 i =,, (возможность изменения порядка интегрирования и суммирования следует из равномерной сходимости ряда) Так как функция ω ( ортогональна всем i (, то (см предыдущий параграф), ω ( принадлежит нуль-пространству оператора A, те A ω = 0 Далее ω dx = [ f f ] ω( dx = f ω( dx = ( f, ω) = ( A, ω) = (, Aω) = 0 = Изменение порядка интегрирования и суммирования возможно в силу доказанной выше равномерной сходимости ряда Фурье Так как ω ( непрерывная функция, то ω 0 Теорема доказана В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства некоторые обобщения полученных результатов Можно рассматривать задачу в многомерном случае Пусть Ω - замкнутая ограниченная область Ω R, для которой можно определить указанные ниже интегралы Введем пространство h[ Ω ], состоящее из функций, непрерывных в Ω, со скалярным 3

3 произведением ( y, y) = y( y( d dx = dx dx dx Ω Рассмотрим многомерное интегральное уравнение Фредгольма -го рода с ядром K( yx ( ) = Kxsysds (, ) ( ) + f, xs, Ω Ω Если ядро непрерывно и симметрично по переменным s, то все результаты, полученные выше, остаются верными и в многомерном случае Φ( В курсе методов математической физики рассматриваются ядра K( =, α x s где Φ( непрерывная в Ω по совокупности аргументов и симметрическая функция, x s = r xs - расстояние между точками x и s в пространстве Если α <, где = dim R, то ядро K( называется полярным Для таких ядер доказывается, что интегральный оператор A: h [ Ω] h[ Ω] является вполне непрерывным Таким образом, для интегральных операторов с полярными ядрами справедливы теоремы о существовании хотя бы одного собственного значения и теоремы о построении последовательности собственных значений Если α < ( = dim R ), то ядро K ( называется слабополярным Для таких ядер справедлива также и теорема Гильберта-Шмидта Все результаты могут быть перенесены на случай комплексных пространств h[, ] и h [Ω], но вместо требования симметричности ядра, если ядро является комплексным, надо потребовать K( = K (, для любых s из Ω, где - знак комплексного сопряжения R 8 Неоднородное уравнение Фредгольма -го рода с симметрическим непрерывным ядром Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма -го рода: y = K( y( ds + f Ay + f Пусть ядро K ( непрерывно по совокупности переменных, симметрично и K( / 0; 0 - вещественное число (в противном случае решение находится тривиально); f ( - заданная непрерывная функция; - последовательность характеристических чисел интегрального оператора, которым соответствует ортонормированная система собственных функций,,,, Допустим, что решение уравнения существует Преобразуем искомую функцию так, чтобы она стала истокопредставимой Для этого будем искать решение в виде y = f + ( Подставляя в исходное уравнение, получаем ( f ( + ( ) f + ( = K( ds + f Сократив f ( x ), получим уравнение для ( ) операторная форма которого = A( + f ) 33

4 Решение этого уравнения, если оно есть, является истокопредставимым Следовательно, по теореме Гильберта-Шмидта, функция ( может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра K ( : = ( = Вычисляя коэффициенты Фурье функций и A ( + f ), получаем = Для определения необходимо решить систему уравнений ( ) = f, =,, Возможны два случая ), =,, Тогда ( A( + f ), ) = ( + f, A ) = + f, = ( + f ) =,, = f, и можно формально записать ряды Фурье = ( f и y( = f + f Чтобы последний ряд Фурье = = на самом деле являлся решением, достаточно доказать, что этот ряд сходится равномерно на сегменте [, ] Заметим, что, поэтому при любом, начиная с некоторого номера, выполняется оценка = 5 Тогда для достаточно больших и любого натурального имеем f 5 f Далее, как в предыдущем параграфе, доказывается, что выполняется критерий Коши как достаточное условие равномерной сходимости, те ряд Фурье сходится равномерно Замечание Запишем решение уравнения в следующем виде: f() s () s ds yx ( ) = f + = Предположим, что можно поменять местами суммирование и интегрирование, тогда ( y( f = + f ( ds, = R( ) или y = f + R( ) f ( ds В операторной форме уравнение Фредгольма -го рода имеет вид y = Ay + f, или ( I A) y = f Тк решение существует и единственно, то y = ( I A) f = f + R f, где R - интегральный оператор с ядром R ( ) В операторном виде полученный результат можно записать так: ( I A) = I + R, 34

5 Определение Ядро R( ) называется резольвентой Рассмотрим теперь второй случай ) = Пусть сначала простое характеристическое число Тогда при f ( ) = f, =,,;, следовательно = При = имеем 0 = f, где 0 Если f 0, f = ( f, ), то последнее уравнение не имеет решения, а значит и исходное уравнение решений не имеет Если же f = 0, то получаем = c, где c - произвольная постоянная, те решений бесконечно много Наконец, пусть - характеристическое число кратности r В этом случае получаем систему уравнений: 0 = f 0 = f 0 r = f r Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда все коэффициенты Фурье f, f,, f r равны нулю Если хотя бы один коэффициент Фурье не равен нулю, то система не имеет решений, а, следовательно, и исходное уравнение не имеет решений Другими словами, условием разрешимости является ортогональность функции f ( всем собственными функциям, соответствующим характеристическому числу В этом случае решение не единственно и дается формулой f yx ( ) = f + + c + + c r r, = r где c,, c + r - произвольные константы Ряд, записанный в данном представлении, сходится абсолютно и равномерно В результате проведенного исследования мы доказали две теоремы Теорема Если однородное уравнение Фредгольма -го рода с непрерывным симметрическим ядром имеет только тривиальное решение (те, =,, ), то неоднородное уравнение имеет, и притом, единственное, решение для любой непрерывной функции f ( Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение, те = при некотором, то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, если неоднородность непрерывная функция f ( ортогональна всем собственным функциям, соответствующим данному (те всем решениям однородного уравнения) В последнем случае, если решение существует, то оно не единственно Теорема (Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма -го рода с симметрическими ядрами) Либо неоднородное уравнение имеет решение для любой непрерывной функции f (, либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение 35

6 Экзаменационные вопросы ) Определения и формулировки теорем Сформулировать определение функции, истокопредставимой с помощью ядра интегрального оператора Сформулировать теорему Гильберта-Шмидта 3 Сформулировать определение интегрального оператора с полярным ядром 4 Сформулировать определение интегрального оператора со слабо полярным ядром 5 Сформулировать определение резольвенты интегрального оператора 6 Сформулировать альтернативу Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма -го рода с непрерывным симметрическим ядром 7 При каком условии неоднородное уравнение Фредгольма -го рода с симметрическим непрерывным ядром имеет и притом единственное решение для любой непрерывной функции f ( - неоднородности уравнения? 8 Сформулировать условие разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма -го рода с симметрическим непрерывным ядром в случае, когда однородное уравнение имеет нетривиальное решение Сколько решений имеет неоднородное уравнение, если оно разрешимо? ) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать Теоретические задачи Доказать теорему Гильберта-Шмидта Построить решение интегрального уравнения Фредгольма -го рода с симметрическим непрерывным ядром с помощью разложения в ряд Фурье по собственным функциям ядра и доказать альтернативу Фредгольма 36


12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.

ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. ТЕМА 6 Неоднородное уравнение Фредгольма -го рода Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами Теоремы Фредгольма Основные определения и теоремы Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма yx ( ) = λ Kxs

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов, y определен элемент

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

В. Т. Волков, А. Г. Ягола В Т Волков, А Г Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (курс лекций) Предисловие Учебное пособие "Интегральные уравнения Вариационное исчисление (курс лекций)" написано на основе опыта чтения

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова. С.Е. Биркган

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова. С.Е. Биркган Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С.Е. Биркган Интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория.

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 22 января 2012 г. Определение гильбертова пространства.

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

3. Записать уравнение Фредгольма 1-го рода. Какое уравнение называется

3. Записать уравнение Фредгольма 1-го рода. Какое уравнение называется 1. Записать уравнение Фредгольма 2-го рода. Какое уравнение называется однородным y x = K x, s y s ds f x, x, s [, ] где K x, s - заданная непрерывная по совокупности аргументов функция, называемя ядром

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Тема 2 Ряды Фурье , ; Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций ,, R ;

Тема 2 Ряды Фурье , ; Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций ,, R ; Тема Ряды Фурье Практическое занятие Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пространство кусочно-непрерывных функций Обобщенный ряд Фурье 3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье Пространство

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ЯДЕРНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ЯДЕРНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2005. Том 46, 5 УДК 517.983 ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ЯДЕРНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Аннотация: Доказывается критерий ядерности линейного оператора

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ. Математика 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ. Математика 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ УДК 57.99.7 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ канд. пед. наук, доц. В.С. ВАКУЛЬЧИК, канд. физ.-мат. наук, доц. И.Б. СОРОГОВЕЦ, С.А.

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

2М 0,2, следовательно, М М 2М

2М 0,2, следовательно, М М 2М Глава 3 НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Векторные пространства Пусть поле действительных чисел или поле комплексных чисел и будем рассматривать векторные пространства над этим полем Это значит будем рассматривать:

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Журнал технической физики, том XVIII, вып 7, 1948 А Н Тихонов, А А Самарский О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

{ } существует слабое решение уравнения (1) в пространстве W 1 ( ). 2

{ } существует слабое решение уравнения (1) в пространстве W 1 ( ). 2 УДК 57947537 Тогочуев АЖ Бектемиров МА Сагынтай кызы Н ЫГУ им КТыныстанова О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В данной работе рассматривается нелинейное уравнение эллиптического

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» по теме: «РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО РОДА

Подробнее

1 Принцип сжимающих отображений 2

1 Принцип сжимающих отображений 2 Содержание 1 Принцип сжимающих отображений Применения принципа сжимающих отображений для решения линейных интегральных уравнений -го рода 3.1 Уравнения Фредгольма.................................. 3. Уравнения

Подробнее

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя,

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя, функции Бесселя 8 7/8 8 7в Решить смешанную задачу u Δu < > u u ; u u g( s u u < где g - гладкие на [ ] функции - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя j K j K ; Δu u u yy y s Уроев стр 5 7

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения»

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Сибирский математический журнал Январь февраль, 2. Том 41, 1 УДК 517.948 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Аннотация: Рассмотрено сингулярно

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12А Пространства С. Л. Соболева. 0. Неравенство Фридрихса

ЛЕКЦИЯ 12А Пространства С. Л. Соболева. 0. Неравенство Фридрихса ЛЕКЦИЯ 2А Пространства С. Л. Соболева 0. Неравенство Фридрихса Лемма. Пусть Ω R N ограниченная область. Тогда существует такая константа C Ω, что для всех u W,2 0 (Ω) верно неравенство Фридрихса Доказательство.

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее