С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре"

Транскрипт

1 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6

2 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» УТВЕРЖДАЮ Первый проректор М А Эскиндаров 6 г СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Рекомендовано Ученым советом по специальности «Математические методы в экономике» (протокол от марта 6 г) Одобрено кафедрой «Математика и финансовые приложения» (протокол 8 от февраля 6 г) Москва 6

3 УДК (76) 6 ББК 6 П7 Пчелинцев СВ Вопросы и задачи по линейной алгебре Учебное издание для студентов всех специальностей М: Финансовая академия при Правительстве РФ, 6 с 7 Рецензент: ВМГончаренко, кф-мн, доцент Предлагаемые вопросы и задачи полностью соответствуют программе по линейной алгебре, которая преподается всем студентам общеэкономических специальностей Финансовой академии Предлагаемые материалы отражают основные теоретические положения дисциплины и формируют практические навыки, которыми должны овладеть студенты Кроме того, эти материалы характеризуют уровень требований, предъявляемых на экзамене по данному курсу Предлагаемые материалы могут быть использованы как на практических занятиях, так и при самостоятельной подготовке к экзамену Все задачи снабжены ответами Пчелинцев Сергей Валентинович Компьютерный набор, верстка: Пчелинцев СВ Формат 6х9/6 Гарнитура Times New Roman Усл пл Изд 9-6 Тираж экз, электронное издание Заказ Отпечатано в Финансовой академии при Правительстве РФ 68, Ленинградский пр-т, 9 Полное или частичное воспроизведение или размножение какимлибо способом настоящего издания допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ Финансовая академия при Правительстве РФ, 6

4 СОДЕРЖАНИЕ Линейные I ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ пространства 8 Линейные пространства общего вида Линейная зависимость системы векторов Базис и размерность линейного пространства Подпространства линейного пространства Системы линейных уравнений 9 Однородные системы линейных уравнений Пространство решений однородной системы систем Связь между общими решениями однородной и неоднородной Фундаментальная система решений Евклидовы пространства 9 Неравенство Коши-Буняковского Ортогональный и ортонормированный базисы в Ортогональное дополнение к подпространству Матрицы и определители Ранг матрицы Умножение матриц Невырожденные квадратные матрицы n R

5 Определители Критерий невырожденности квадратной матрицы Обратимые матрицы Правило Крамера Комплексные числа Комплексно-сопряженные числа Геометрическое изображение комплексных чисел Модуль и аргумент комплексного числа Формула Муавра Корни степени n из комплексного числа Комплексные числа и многочлены 6 Линейные преобразования (операторы) пространства n R Определение линейного оператора Матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейных операторов Собственные значения матриц Характеристический многочлен Число Фробениуса Продуктивность неотрицательных матриц 7 Квадратичные формы 6 Матрица квадратичной формы Ортогональные матрицы и операторы Приведение квадратичной формы к нормальному виду

6 Метод Лагранжа приведения формы к нормальному виду Закон инерции квадратичных форм Критерий Сильвестра положительной определенности 8 Прямые и плоскости в точечном пространстве R 7 Прямая в точечном пространстве R Плоскость в точечном пространстве Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями Расстояние от точки до прямой и до плоскости Взаимное расположение прямых и плоскостей 9 Кривые второго порядка 9 Окружность Эллипс Гипербола Парабола Классификация кривых второго порядка Задачи линейного программирования Выпуклые множества в точечном пространстве Угловые точки выпуклых многогранных областей Выпуклая оболочка системы точек Задачи линейного программирования Стандартная и каноническая формы задачи линейного программирования R n R

7 Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования Основные теоремы двойственности II ЗАДАЧИ Линейные пространства базису n Арифметические пространства R Линейная зависимость системы векторов Координаты вектора в данном базисе Преобразование координат векторов при переходе к новому Системы линейных уравнений Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Евклидовы пространства Скалярное произведение векторов в n R Длина вектора и угол между векторами Разложение вектора в ортогональном базисе Матрицы и определители Действия над матрицами Ранг матрицы Умножение матриц Степень матрицы Обратная матрица n R

8 Решение матричных уравнений Определители Правило Крамера Линейные преобразования пространства 8 Определение линейного оператора Матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейных операторов Собственные значения и собственные векторы матриц Число и вектор Фробениуса 6 Квадратичные формы 9 Метод Лагранжа приведения формы к нормальному виду формы Критерий Сильвестра положительной определенности 7 Элементы аналитической геометрии 9 Прямая и плоскость в пространстве Расстояние от точки до плоскости Проекция точки на прямую или на плоскость R Плоскости в трехмерном пространстве Кривые второго порядка 8 Выпуклые множества в точечном пространстве Отрезок n R

9 Системы линейных неравенств и их геометрический смысл Угловые точки выпуклых многогранных областей 9 Задачи линейного программирования Стандартная и каноническая формы Графический метод решения Оптимальные решения Основные теоремы двойственности Симплекс-метод Ответы к задачам

10 I ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Линейные пространства Линейные пространства общего вида Дайте определение линейного пространства Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств n R Линейная зависимость системы векторов Докажите, что ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка линейно независимы Докажите, что три вектора пространства Базис и размерность линейного пространства R линейно зависимы Докажите однозначность разложения вектора по базису Пусть a,, n a - векторы из R Можно ли составить базис n пространства Ответ обоснуйте n R из линейных комбинаций этих векторов? 6 Найдите размерность линейного пространства всех матриц с a b действительными коэффициентами вида, a d Ответ c d обоснуйте Подпространства линейного пространства 7 Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте 8 Какие из множеств, образованных всевозможными векторами, из R такими, что а), б), в),

11 являются подпространствами в обоснуйте R, а какие нет? Ответ Системы линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений 9 Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений Пространство решений однородной системы При каких условиях множество решений системы линейных уравнений обоснуйте A b образует линейное пространство? Ответ Связь между общими решениями однородной и неоднородной ем Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений Ответ обоснуйте, приведите пример A b и однородной системы A? Докажите, что совместная система линейных уpавнений либо имеет одно решение, либо имеет бесконечно много pешений Приведите примеры Фундаментальная система решений Найдите фундаментальный набор решений системы:, Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: X,,), X (,, ) Укажите другой (

12 фундаментальный набор решений этой системы Ответ обоснуйте Евклидовы пространства Неравенство Коши-Буняковского Дайте определение скалярного произведения в пространстве n R Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере 6 Докажите, что для любых векторов неравенство треугольника a b a b Ортогональный и ортонормированный базисы в a b R, n верно 7 Дайте определение ортонормированной системы векторов в n R Приведите пример ортонормированной системы в 8 Докажите, что ортонормированная система в из векторов, является базисом пространства 9 Дайте определение ортогонального базиса в пример ортогонального базиса в n R R R R, состоящая n R Приведите R, не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса (,,), (,,), (,,) Ответ обоснуйте Докажите, что квадратная матрица порядка ортогональна тогда и только тогда, когда ее строки образуют ортонормированный базис в пространстве R Ортогональное дополнение к подпространству Докажите, что ортогональное дополнение к ненулевому вектору v в размерности R является линейным подпространством

13 Пусть S ортонормированная система из двух векторов в R Докажите, что ортогональное дополнение к S в линейным подпространством размерности Ранг матрицы Матрицы и определители R является Дайте определение ранга матрицы Приведите примеры матриц порядка рангов, и Умножение матриц Дайте определение произведения матриц A и B Приведите пример, когда AB определено, а BA - нет Существуют ли ненулевые квадратные матрицы A и B такие, что AB? Ответ обоснуйте Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц A, B, C порядка n n : а) BA AB ; б) C A(BC) AB ; в) T T T ( AB) B A ; г) T T T ( AB) A B Приведите примеры, опровергающие неверные равенства 6 Укажите, какие из равенств не выполняются для любых обратимых матриц A, B, C порядка n n и ненулевого числа : а) ( A) A ; б) ( AB ) A B ; в) ( ) B A AB ; г) ( ABC ) C B A? Приведите примеры, опровергающие неверные равенства Невырожденные квадратные матрицы 7 Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка Приведите примеры таких матриц

14 8 Докажите, что ортогональная матрица является невырожденной Определители 9 Сформулируйте основные свойства определителей, связанные с элементарными преобразованиями строк Напишите разложение определителя строке a b c по второй Проверьте справедливость свойства AB A B для матриц a A, B c b d Критерий невырожденности квадратной матрицы a b d b Докажите, что, где c d c a a b c d Существуют ли матрицы A и B такие, что AB, а BA E Ответ обоснуйте Обратимые матрицы Приведите формулу для вычисления обратной матрицы для матрицы порядка С помощью этой формулы найдите Верно ли, что матричные равенства AB E и BA E равносильны? Ответ обоснуйте Правило Крамера

15 6 Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений A b Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных 7 Проиллюстрируйте применение правила Крамера для решения системы уравнений y, y z, z Комплексные числа Комплексно-сопряженные числа 8 Дайте определение и приведите пример комплексно сопряженных чисел Докажите, что для комплексных чисел z, z справедливы равенства: a) z z z z, б) z z z z Геометрическое изображение комплексных чисел 9 Изобразите на плоскости z i, z i, z z и z z Модуль и аргумент комплексного числа R комплексные числа Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа z yi и укажите способ их нахождения Запишите в тригонометрической форме числа i, i i Найдите модуль комплексного числа i Найдите аргумент числа ai 7 a Формула Муавра Корни степени n из комплексного числа Используя формулу Муавра, вычислите i

16 Докажите, что корень пятой степени из единицы имеет пять комплексных значений? Как эти значения располагаются на плоскости? Комплексные числа и многочлены 6 Сформулируйте основную теорему алгебры комплексных чисел 7 Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь более двух корней? Ответ обоснуйте 8 Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ; б) z iz ; в) 6 9 Многочлен степени с действительными коэффициентами имеет корень является число i Докажите, что корнем этого многочлена i 6 Линейные операторы в пространстве n R Определение линейного оператора Дайте определение линейного оператора Проверьте линейность оператора, переводящего вектор, y, z в вектор y, y, z Матрица линейного оператора Дайте определение матрицы линейного оператора в данном базисе Приведите пример Как изменяется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому? Ответ проиллюстрируйте на примере

17 Найдите матрицу преобразования f пространства R в стандартном базисе: а) f поворот на угол ; б) f симметричное отражение векторов относительно прямой l : y Собственные значения и собственные векторы линейных раторов Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора Приведите пример Как связаны между собой собственные значения линейных операторов f и f? Ответ обоснуйте 6 Как связаны между собой собственные значения линейных операторов f и f? Ответ обоснуйте Собственные значения матриц 7 Могут ли все собственные значения ненулевой матрицы быть равными? Ответы обоснуйте для квадратных матриц порядка 8 Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы порядка, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы 9 Докажите, что квадратная матрица порядка, имеющая три различных собственных значения, подобна диагональной 6 Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц A и T A? Ответ обоснуйте 6 Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц A и C AC матрица? Ответ обоснуйте, где C - невырожденная

18 Характеристический многочлен 6 Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример 6 Докажите, что действительный корень характеристического многочлена матрицы является ее собственным значением 6 Докажите, что характеристический многочлен симметрической матрицы порядка, имеет два действительных корня 6 Докажите, что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены Число Фробениуса 66 Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы Найдите число Фробениуса для матрицы A: (а) A ; (б) A Ответы обоснуйте Продуктивность неотрицательных матриц 67 Дайте определение продуктивной матрицы Докажите, исходя из определения, продуктивность матрицы,,6 A,9, 68 Сформулируйте критерии продуктивности матрицы Приведите пример продуктивной матрицы порядка 7 Квадратичные формы Матрица квадратичной формы 69 Дайте определение матрицы квадратичной формы Найдите матрицу квадратичной формы: а) ;

19 б) 7 Изменится ли определитель матрицы квадратичной формы при ортогональном преобразовании переменных? Ответ обоснуйте Ортогональные матрицы и операторы 7 Дайте определение и приведите пример ортогональной матрицы 7 Докажите, что квадратная матрица порядка ортогональна тогда и только тогда, когда ее строки образуют ортонормированный базис пространства R 7 Какие из следующих линейных операторов пространства являются ортогональными: а) f (, ), ; б) f, ), ( Ответы обоснуйте Приведение квадратичной формы к каноническому виду 7 Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь действительная симметрическая матрица порядка? Ответ обоснуйте 7 Докажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны 76 Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к нормальному виду R

20 77 Приведите форму методом Лагранжа к нормальному виду Закон инерции квадратичных форм 78 Сформулируйте закон инерции квадратичных форм Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду y y y? Ответ обоснуйте 79 Запишите квадратичную форму f,, ) по ее матрице ( A Можно ли форму f (,, ) привести линейным преобразованием переменных к виду Ответ обоснуйте y y y? Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы 8 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных 8 Прямые и плоскости в точечном пространстве R Прямая в точечном пространстве R 8 Выведите канонические уравнения прямой в проходящей через данные точки A a, a a и b, b b, B, R, 8 Выведите уравнение прямой в R, проходящей через данную точку A a, b, c в данном направлении v p, q, r

21 Плоскость в точечном пространстве 8 Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки A a, a a, B b, b b и c, c c,,, R C 8 Выведите уравнение плоскости в R, проходящей через данную точку A a b, c n p, q, r,, перпендикулярно данному вектору Приведите пример уравнения плоскости в проходящей параллельно какой-либо координатной оси Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями 8 Две прямые заданы каноническими уравнениями a y b z c и ними Ответ обоснуйте a y b z c 86 Как найти угол между плоскостями в R, Найдите угол между R по их общим уравнениям A B y C z D, A B y C z D? : Ответ обоснуйте и приведите пример 87 Как найти угол между прямой : a y b z c l : и p q r плоскостью : A By Cz D в R? Ответ обоснуйте и приведите пример Расстояние от точки до прямой и до плоскости 88 Как найти расстояние от точки a b A, до прямой l : P Qy R? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми в R? Ответы обоснуйте 89 Как найти расстояние от точки A a b, c, и до плоскости : P Qy Rz S? Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями в R? Ответы обоснуйте

22 Взаимное расположение прямых и плоскостей 9 Запишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые обоснуйте a y b z c и a y b z c Ответ 9 Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в Окружность R? Ответ обоснуйте и приведите пример 9 Кривые второго порядка 9 Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение 9 Напишите уравнение окружности с центром в точке a, b радиуса r При каком значении параметра y y p определяет окружность? Эллипс p, уравнение 9 Дайте определение эллипса Запишите его каноническое уравнение Каков смысл параметров, входящих в каноническое уравнение эллипса? Постройте линию, заданную уравнением y 9 Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте Гипербола 96 Дайте определение гиперболы Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий y, y, y

23 выберите гиперболы и постройте их 97 Напишите каноническое уравнение гиперболы Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс Нарисуйте ее Парабола 98 Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: y, y? Ответ обоснуйте Классификация кривых второго порядка 99 Дайте определение кривой второго порядка Какие кривые второго порядка задают уравнения y 9, y? Изобразите их Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот Задачи линейного программирования Выпуклые множества в точечном пространстве n R Как задать луч, отрезок в точечном пространстве Приведите примеры R? Дайте определение выпуклого множества Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым X, R, Является ли множество точек,, удовлетворяющих условию, выпуклым? Ответ обоснуйте

24 X, R,,, Является ли множество точек удовлетворяющих условию, выпуклым? Ответ обоснуйте Угловые точки выпуклых многогранных областей Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример Выпуклая оболочка системы точек 6 Дайте определение выпуклой оболочки системы точек Пусть M выпуклая оболочка точек X, 7,, 7 X, X,, X, Принадлежат ли множеству M 9 9 точки: X,, Y,? Ответ обоснуйте Задачи линейного программирования 7 Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение Ответ обоснуйте 8 Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок Ответ обоснуйте 9 Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч Ответ обоснуйте Стандартная и каноническая формы задачи линейного программирования

25 Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:,,, 7, 8, ma z Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:,,, 7, 8, ma z Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу Основные теоремы двойственности Сформулируйте основные теоремы двойственности Имеет ли исходная задача, min b A c z T T T решение, если в двойственной ей задаче, ma y c y A y b y f T T T T целевая функция не ограничена сверху? Ответ обоснуйте

26 II ЗАДАЧИ Линейные пространства Арифметические пространства R n Найдите вектор из уравнения b a b a где a,,,,,,, b, Представьте вектор,, в виде линейной комбинации векторов a,,, b,, и,, c Линейная зависимость системы векторов Являются ли линейно зависимыми векторы: a,,,, a,,,, a,,,,,,, a Найдите значения параметра m, при которых строки заданной матрицы A линейно зависимы: A 7 8 m Координаты вектора в данном базисе Найдите какой-нибудь базис системы векторов a 7,,,9, a,,,, a,,,, a,,, a,,, и все векторы представьте в виде линейной комбинации векторов выбранного базиса 6 Разложить в базисе, составленном из векторов b,,, b,,,,, a,,, 9,, 9 a b, следующие векторы:

27 Преобразование координат векторов при переходе к новому су 7 Найдите координаты вектора в базисе e,,, e,,, если,,6 базисе f, f,,,,,,, 8 В пространстве строк e,,, его координаты в f (неизвестен) и f 8,, f, имеющая в базисе,e f координаты,, f R заданы два базиса: e координаты, e,, e Известно, что строка,, имеет в базисе Напишите формулы, по которым векторы e,e выражаются через векторы f, f Системы линейных уравнений Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 9 Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, заданную в матричной форме: y z Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной Евклидовы пространства Скалярное произведение векторов в n R

28 Найдите вектор, который удовлетворяет условиям:, a,, b 6, где a, и, b Вычислите a b, c, где a,,,,,,, c,,, Пусть,,, b, a Найдите вектор, коллинеарный вектору b,,,, такой, что, a 6 Длина вектора и угол между векторами Даны два вектора a,,, и b,,, n R их модули и косинус угла между ними Дополните векторы a,,,,, ортогонального базиса пространства R Разложение вектора в ортогональном базисе Найдите a до 6 Проверьте, что векторы a,,, a,,, a,, образуют ортогональный базис пространства,, R, и найдите в нем координаты вектора 7 Найдите координаты вектора,, в ортогональном базисе a,,, a,,, a,, 6 пространства R Матрицы и определители Действия над матрицами 8 Найдите матрицу X, если A B X, где

29 A, B 9 Решите систему матричных уравнений: Y X Y X Ранг матрицы Из системы строк заданной матрицы A выделите максимальную линейно независимую подсистему и представьте остальные строки в виде линейных комбинаций выделенных: 6 8 A Из системы столбцов заданной матрицы A выделите максимальную линейно независимую подсистему и представьте остальные столбцы в виде линейных комбинаций выделенных: A Умножение матриц

30 Вычислите BA AB, где A, B Вычислите A A A A T T, где A Степень матрицы Вычислите степень матрицы Вычислите степень матрицы 8 Обратная матрица 6 Найдите обратную матрицу A, если A 7 Используя тождество S A S AS S 7 7, вычислите 7 y Решение матричных уравнений 8 Решите матричное уравнение

31 X 9 Решите матричное уравнение X Определители Вычислите определитель матрицы Найдите определитель матрицы X, если X Правило Крамера Решите систему уравнений с помощью правила Крамера i z i z i i z i z i 6, 7 7 Линейные преобразования пространства n R Определение линейного оператора Линейный оператор f действует в пространстве R Известно, что,, f, а,, f Найдите образ, f

32 Линейный оператор f действует в пространстве Известно, что f,,, а f,, f, Матрица линейного оператора В пространстве строк R Найдите образ R действует линейное преобразование f по правилу: f a, b, c c, a b c, a Напишите матрицу A f этого линейного преобразования в каноническом базисе 6 Напишите формулы поворота плоскости (на угол, меньший прямого), переводящего вектор (,) в вектор, коллинеарный вектору (,) Найдите косинус угла поворота Собственные значения и собственные векторы линейных раторов 7 В пространстве строк R действует линейный оператор f по правилу: f a, b, c c, a 7b c, a его собственные значения Собственные значения и собственные векторы матриц 8 Найдите собственные значения матрицы 8 8 C 9 9 Найдите C, если 9 Найдите собственные значения матрицы A Найдите собственные векторы матрицы

33 8 C 6, если известно, что она имеет 6 6 следующие собственные значения:, Число и вектор Фробениуса Найдите число A и вектор A Фробениуса матрицы 7 A Квадратичные формы Метод Лагранжа приведения формы к нормальному виду Методом Лагранжа приведите к нормальному виду форму f,, Критерий Сильвестра положительной определенности формы Выясните, является ли положительно определенной квадратичная f,, 8 6 форма Выясните, является ли знакоопределенной f,, квадратичная форма Прямая и плоскость в 7 Элементы аналитической геометрии R Найдите канонические уравнения прямых, содержащих стороны треугольника с вершинами A=(,), B=(-8,), C=(6,-) 6 Найдите уравнение прямой, содержащей точку

34 A=(7,7) и перпендикулярной прямой, проходящей через точки B=(,6) и C=(-7,) 7 Найдите общее уравнение прямой, которая проходит через точку 7 M, и отсекает от координатных осей треугольник площади S= 8 Найдите канонические уравнения прямой, которая содержит перпендикуляр, опущенный из точки A (,, ) на прямую y z l : Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A (,, ) и перпендикулярной прямой y z Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точки A(,,), B(,,) и параллельной прямой Расстояние от точки до плоскости y z 6 Найдите расстояние от точки A (,, ) до плоскости : y z Найдите расстояние между параллельными плоскостями : y 6z и : 6y z 8 Проекция точки на прямую или на плоскость Найдите проекцию A точки A (, ) на прямую l : y Найдите проекцию A точки A (,,6) на плоскость

35 : z y Плоскости в трехмерном пространстве Определите взаимное расположение плоскостей : y z, : y z, : y z в пространстве R Кривые второго порядка 6 Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцентриситет равен фокусами равно 9, а расстояние между 7 Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцентриситет равен 6, а расстояние между фокусами равно 6 8 Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой расстояние между фокусами равно 8, а асимптоты имеют уравнения y 9 9 Какая кривая второго порядка содержит график функции y? 6 Определите вид кривой второго порядка 6y y 6 Определите вид кривой второго порядка y 6 y 9

36 8 Выпуклые множества в точечном пространстве n R Отрезок 6 Даны две точки A(6,,,) и B(,,9,) Лежит ли точка C(,,,) на отрезке AB? Системы линейных неравенств и их геометрический смысл 6 Пусть M выпуклая оболочка точек X =(,8), X =(,8), X =(,), X, 8, X,, X, Найдите 6 ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество M Угловые точки выпуклых многогранных областей 6 Найдите угловые точки выпуклого множества,, 8, заданного системой линейных ограничений: 8,, 6 Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений: 6, 9, 7,,,,, 9 Задачи линейного программирования Стандартная и каноническая формы 66 Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных до двух:

37 z ma, 9,,,, Графический метод решения 67 Решите графическим способом задачу линейного z y min ma y 7, программирования: y, 7y,, y 68 Найдите решение задачи линейного программирования z ma, 7 7, 9,,,,, Оптимальные решения 69 Угловые точки X =(,,) и X =(,6,) допустимого множества являются оптимальными для задачи линейного программирования Является ли оптимальным решением этой задачи точка X =(,,)? Ответ обоснуйте 7 Точки X =(,,,), X =(,,,), X =(,,,) составляют множество оптимальных вершин некоторой задачи линейного программирования Выясните, принадлежит ли точка X,,, множеству 9

38 оптимальных решений этой задачи? Основные теоремы двойственности 7 Составьте двойственную задачу и найдите ее решение, используя теоремы двойственности, если известно, что исходная задача линейного программирования z min 6, 6, имеет решение z min,, опт 7,, 7 Используя первую и вторую теоремы двойственности, найдите решение задачи линейного программирования: z y y y min 7 y y y, y y 8y, y, y, y Симплекс-метод 7 Решите симплекс-методом задачу линейного программирования на минимум, если ее начальная симплекс-таблица имеет вид: 7 8 z Решите симплекс-методом задачу линейного программирования на максимум, если ее начальная

39 симплекс-таблица имеет вид: z

40 a b 8,,7, ОТВЕТЫ a b c Векторы линейно независимы, так как A m 7, ранг матрицы равен a, a, a базис; a a a, a a a 6 a b b, a b b b 7,, 8 e f f, e f 7 f 9,,,6,, 6,,6, a, b, 6, a, a 7, 9, 9, cos a,6,, a, a 8 9 X, Y, a 6 a X 9 9 Ранг матрицы A равен ; a a a ; a a a Ранг матрицы A равен ; a a a, a a a

41 8 (,) 7 7 y 7 y y 7 y 7 9 7,, A f 7-8 cos, 7,, 7 8, 9, X 6,,,,,,, f X, 9 является,,, A, Да, Нет, не является AB : y, 8 y BC :, y AC : 6 7 6y y 7 8 y z A

42 9 y z 7 y z 7 6 A =(-,-) A,, Три плоскости пересекаются в одной точке 6 y 9 y 8 y 8 9 Гипербола: y 6 Эллипс: y y 6 Парабола: 6( ) y 6 Да, лежит; поскольку C A B 6, y 8, y 6 A=(,), B=(,7), C=(6,) 6 A=(,,,6,), B=(,7,6,,), C=(8,,,,6) z 6 8 ma 7 8, min z = z(,) = 8, ma z = 9,, ma z 6, 6,,,,8 68 опт 69 Да, является, так как X X X 7 Да, является, так как X X X X Двойственная задача t y y 7y ma 6y y y, y 6 y y, y,, y y

43 8 7 имеет решение: t ma ;,, опт y 7 min z 88, y,, 7 min z = z(,,8,,7) = 7 ma z = z(,,-,,7) = 86 опт


Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1» (1 семестр)

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1» (1 семестр) Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства.

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства. Вопросы и задачи оретические вопросы ормулировки 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Дайте определение подпространства линейного пространства и сформулируйте критерий линейного подпространства.

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются:

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются: Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01.

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Кафедра «Математика» А.В.Тищенко ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Рабочая программа дисциплины

Кафедра «Математика» А.В.Тищенко ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Рабочая программа дисциплины Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ) Москва 2010 Кафедра «Математика»

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Место дисциплины в структуре образовательной программы

Место дисциплины в структуре образовательной программы Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Государственный университет- Высшая школа экономики

Государственный университет- Высшая школа экономики Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Мировая Экономика Программа

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П.

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П. Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Новороссийский филиал (МГЭИ АНО ВПО НФ) Сборник контрольных заданий для студентов

Подробнее

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» С.В.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Направление Экономика

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Направление Экономика Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов-бакалавров очного

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Рабочая программа дисциплины

Рабочая программа дисциплины Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Кафедра «Математика» С.Е. Степанов Г.А. Постовалова

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

В.В. Коннов АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. Рабочая программа дисциплины. Кафедра «Математика»

В.В. Коннов АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. Рабочая программа дисциплины. Кафедра «Математика» Кафедра «Математика» В.В. Коннов АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Рабочая программа дисциплины Для студентов, обучающихся по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика» Профиль «Математическое и информационное

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учреждение образования "Белорусский государственный экономический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор Учреждения образования "Белорусск v сударственный ~,..,.":нй университет" В.Н.Шимов ----...-:~'-1---- ~6'

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Матричная алгебра в экономике: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ по дисциплине

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ по дисциплине МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Xətti cəbr (Rus) ümumi imtahahn sualları

Xətti cəbr (Rus) ümumi imtahahn sualları Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показать, что вектора ;;) ;; ) ; ;) образуют базис вектора и написать линейную комбинацию вектора Если ;; ) на эти вектора найти Х из уравнения Показать, что вектора ; )

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной Матрицей размера содержащая m строк и столбцов Глава Линейная алгебра Матрицы и определители П Основные понятия m называется прямоугольная таблица чисел Каждый элемент матрицы k имеет два индекса: номер

Подробнее

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА» Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА» Кафедра Высшей математики (название кафедры) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Правительство Российской Федерации. Программа дисциплины "Алгебра и геометрия"

Правительство Российской Федерации. Программа дисциплины Алгебра и геометрия Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Московский

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год 1 ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 1 (a) Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова прямоугольная, декартова косоугольная, полярная,

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Костанайский филиал

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Нижегородский филиал. Линейная алгебра

Нижегородский филиал. Линейная алгебра Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - Высшая школа экономики» Нижегородский филиал

Подробнее

«Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

«Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Аналитическая

Подробнее

Квадратичные формы. Пример 1 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Квадратичные формы. Пример 1 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа Квадратичные формы Пример Пример Пример 6 Пример Пример Пример 6 Пример 7 Пример 8 8 Пример 9 Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование: 8 Пример Методом Лагранжа найти

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Методические рекомендации (материалы) преподавателям

Методические рекомендации (материалы) преподавателям Методические рекомендации (материалы) преподавателям Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим результатам должны сопутствовать

Подробнее