Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 1. Элементы линейной алгебры."

Транскрипт

1 Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,, C Положение элемента в матрице характеризуется двойным индексом Через i j будем обозначать элемент матрицы, стоящий в строке с номером i и в столбце c номером j Способы обозначения матриц: n n или m m m n m m m n Если число строк матрицы m) равно числу столбцов n), матрица называется квадратной порядка n Если элементы квадратной матрицы, стоящие на главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол, равны единице, а все остальные нулю, матрица называется единичной и обозначается буквой E Если все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, матрица называется треугольной Матрица размером n или n называется вектором - строкой или вектором - столбцом Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и элементы, стоящие на одних и тех же местах, равны Сумма матриц Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица C той же размерности с элементами c при всех i, j П р и м е р i j i j i j, C Умножение матрицы на число Произведение матрицы на число α есть матрица α, где i j α i j, те умножение происходит поэлементно П р и м е р ; Умножение матриц друг на друга Пусть матрица имеет размерность m n, а матрица имеет размерность n p Тогда матрицы и можно перемножить В результате получается матрица C размерности n m p, ci j i kk j Те элемент, стоящий вi строке и j столбце, k получается как сумма произведений элементов i строки матрицы и j столбца матрицы Заметим, что

2 П р и м е р, Матрица имеет размерность, а матрица - Их можно перемножить В результате получим матрицу C размерности c ) ; c ; c ) ) ; ) c Ответ: C Определители второго, третьего порядка Каждой квадратной матрице порядка n можно поставить в соответствие число, называемое определителем Определитель обозначается det, или, или n n n n Определители второго порядка вычисляются по мнемоническому правилу: произведение элементов на главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали: Определители третьего порядка вычисляются так: Правило для запоминания определителя: П р и м е р Найти определитель

3 ) ) ) ) ) ) Свойства определителей Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной T матрицы: det det T - матрица, транспонированная к матрице Она получается из матрицы заменой строк на столбцы Это свойство делает равноправными строки столбцы Свойства, справедливые для строк, справедливы и для столбцов Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и определитель равен нулю Аналогично для столбцов) При перестановке двух любых строк определителя он меняет знак на противоположный Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя Н а п р и м е р : 9 Если элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то сам определитель равен сумме двух определителей и В определителе указанная строка состоит из первых слагаемых, в - их вторых слагаемых Остальные строки определителей и - те же, что и в c c c c c c Н а п р и м е р : 7 Величина определителя не изменится, если к какой-либо строке определителя прибавить другую, умноженную на какое-либо число k kc kc Н а п р и м е р : Алгебраическим дополнением элемента i j определителя называется число, где M i j - минор элемента i j i j i j ) M i j Минором элемента i j определителя называется число M i j, равное определителю, который получается из исходного определителя вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j Т е о р е м а р а з л о ж е н и я о п р е д е л и т е л я : определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки столбца) на алгебраические дополнения элементов этой строки столбца): det i i i i i n i n

4 Определители второго и третьего порядков мы определили Формула позволяет определить определители четвертого порядка, затем пятого, и тд П р и м е р : Вычислить определитель, разложив по элементам: Первой строки; Второго столбца ) ) ) ; ) ) ) ) ; ) ) ) ) ; ) ) ) ) ) ) ; )) ) ) ; ) П р и м е р : Вычислить определитель: ) 8 Обратная матрица Матрица называется обратной к квадратной матрице, если E, где E - единичная матрица Обозначение обратной матрицы:

5 Если определитель матрицы не равен нулю det ), то обратная матрица существует и находится по формуле det Алгоритм нахождения обратной матрицы: Смотрим, является ли матрица квадратной, если да, переходим к п ; Находим определитель det, если он не равен нулю, переходим к п ; Вместо каждого элемента с матрицы ставим его алгебраическое дополнение; Полученную матрицу транспонируем; Каждый элемент полученной матрицы делим на определитель Обратная матрица получена П р и м е р : - квадратная матрица го порядка det ) ; ) ; ) ; ) П р о в е р к а : О т в е т : П р и м е р : det ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )

6 П р о в е р к а : Обратная матрица позволяет, например, решать матричные уравнения П р и м е р : Решить уравнение: X, где, X, X E 7 X О т в е т : 7 X Примеры применения матриц в экономике Матрицы широко используются в экономике Для примера рассмотрим технологическую матрицу Пусть предприятие из m видов ресурсов производит n видов продукции Пусть для производства одной единицы j вида продукции расходуется ij i вида ресурса, те ij - норма расхода ресурса i на производство продукции j Матрица ij - называется матрицей норм расхода или технологической Рассмотрим план производства единиц -ой продукции, - второй; j - j продукции Такой план обозначим n X - вектор столбец Для осуществления такого плана понадобится n j j j единиц -го ресурса, n j j j - -го ресурса; n j ij j единиц i ресурса Обозначим j c - удельную прибыль, те прибыль от реализации одной единицы j продукции ) c n c C,, - все удельные прибыли CX - величина прибыли, получаемой при реализации X единиц произведенной продукции Обозначим прибыль ) X P

7 Пусть m - имеющийся запас ресурсов, где i означает количество единиц i ресурса, запасенного на складе Рассмотрим следующую задачу оптимального планирования Найти такой план производства, который был бы допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех допустимых планов Эту задачу одну из важнейших во всей экономической теории) символически записывают так: P X ) X C X X Обозначим множество всех планов X, удовлетворяющих условиям X и X через D и назовем это множество допустимым множеством допустимых планов), тогда указанную задачу можно сформулировать так: Найти максимум прибыли P X ) на множестве допустимых планов: P X ) m X D П р и м е р : Цех делает трансформаторы двух видов На один трансформатор первого вида нужно кг железа и кг проволоки, второго вида кг железа и кг проволоки От реализации одного трансформатора цех получает прибыль и долларов соответственно Цех располагает,8 т железа и т проволоки Сколько видов продукции производит цех? Сколько видов ресурсов используется? Составьте матрицу норм расхода, векторы удельной прибыли и запасов ресурсов Рассмотрите несколько планов производства и определите, какие из них допустимы Например, допустимые ли планы,? Р е ш е н и е : Вектор удельных прибылей C, ) Вектор запасов ресурсов 8 Матрица норм расхода Видов продукции, видов ресурсов Чтобы определить допустим ли план производства X, надо либо непосредственно посчитать расход ресурсов на этот план и сравнить с имеющимся запасами, либо проверить выполнение матричновекторного неравенства X В итоге получаем, что оба плана допустимы m Системы линейных уравнений Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными n n n n m m mn n m 7

8 Введем в рассмотрение матрицу системы m n mn размерности m n, векторы и n m Тогда линейную систему можно записать в векторно-матричной форме О п р е д е л е н и е Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения О п р е д е л е н и е Совместная система называется определенной, если она имеет ровно одно решение, и неопределенной, если она имеет множество решений Рассмотрим основные методы решения систем линейных уравнений на примерах трех уравнений с тремя неизвестными Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и назовем матрицей системы Если определитель матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:,,, где, те - определитель,, получаемый из определителя заменой первого столбца на столбец правой части системы 9 П р и м е р : Решить систему по формулам Крамера 7 8

9 ; ; 7 9 ; ; ; О т в е т : ; ; 9 9 Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы Рассмотрим систему Пусть det, те пусть для матрицы существует обратная матрица Запишем систему в векторно-матричном виде: Умножим на слева обе части уравнения: E П р и м е р : Решить систему с помощью обратной матрицы, det ), ), ), ), ), ), ), ), ) 9

10 О т в е т : ; ; Метод Гаусса метод исключения неизвестных) Две системы линейных уравнений назовем эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают Следующие преобразования линейных систем назовем элементарными Перемена местами двух уравнений Умножение или деление одного уравнения на число, не равное нулю Прибавление к одному уравнению другого уравнения Суть метода Гаусса состоит в том, чтобы привести систему с помощью элементарных преобразований к треугольному виду: На первом шаге исключаем из всех уравнений, кроме первого, на втором шаге исключаем из всех уравнений кроме второго и тд П р и м е р : Решить систему методом Гаусса Вместо громоздкой записи системы будем использовать расширенную матрицу системы, отделяя чертой вектор правой части: р шаг Умножим строку матрицы первое уравнение) системы I) на и прибавим ко строке уравнению); первую строку умножим на и прибавим к строке уравнению) Запишем преобразования системы Будем записывать это следующим образом: ) ) ) : ~ II III I II I делим строку на -) ) : ~ III III II

11 Второе уравнение умножаем на и прибавляем к третьему Делим третье уравнение на ~ Получим в результате преобразований следующую систему: Таким образом Подставим во второе уравнение вместо, получим подставляя в первое уравнение вместо, О т в е т : ; Метод Гаусса по сравнению с другими методами менее трудоемок, позволяет решить систему, у которой определитель равен нулю П р и м е р : Затраты трех видов сырья,, C ) на производство каждого из трех типов продукции I, II, III ) и запасы каждого вида сырья даны в таблице: Вид сырья Затраты сырья на единицу продукции I II III Запасы сырья C 7 Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья Пусть,, - количество единиц продукции соответственно I, II, III типов, которую должно выпустить предприятия Расход сырья на производство по такому плану составит единиц, что, по условию, должно быть равно его запасу, те Составляя аналогичные уравнения для других видов сырья, получим систему уравнений: 7 Решаем систему методом Гаусса: ~ I ) II ~ II : 7 7 I ) III III :

12 ) ~ II III Получили систему,, Таким образом, предприятие при сбалансированном плане должно выпустить единиц продукции I типа, единиц продукции II типа, единиц III типа Глава Элементы векторной алгебры О п р е д е л е н и е Вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно самому себе Обозначается,, c или, C,, где - начало, - конец вектора - длина модуль) вектора О п р е д е л е н и е Векторы называются коллинеарными, если они располагаются на параллельных прямых; компланарные векторы векторы, лежащие в параллельных плоскостях Сложение векторов c c - вектор, начало которого совпадает с началом вектора, а конец с концом вектора Сложение по правилу треугольника Сложение по правилу параллелограмма c c c - вектор, направленный по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и, выходящей из общего начала заданных векторов)

13 Свойства коммутативность); c c ассоциативность) ) ) Произведение вектора на число О п р е д е л е н и е Произведение вектора на число α называется вектор, α, а направление совпадает с, если α >, и противоположно направлению, если α < Пусть - ненулевой вектор Рассмотрим вектор Его длина равна единице, и он направлен так же, как и вектор Этот вектор называется ортом Справедливы свойства: α ) α α ; β ) α β ) α ; α β ) α β О п р е д е л е н и е Любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости Т е о р е м а р а з л о ж е н и я Всякий вектор c на плоскости можно представить, и притом единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов и : c α β О п р е д е л е н и е Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве Т е о р е м а р а з л о ж е н и я Всякий вектор d в пространстве можно представить, и притом единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов, и c : d α β γ c О п р е д е л е н и е Коэффициенты разложения вектора по базисной системе векторов называются координатами вектора в заданном базисе У т в е р ж д е н и я : При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число При сложении векторов соответствующие координаты складываются Скалярное произведение векторов О п р е д е л е н и е Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое символом угла между ними: Свойства скалярного произведения ; ; или, ) ), равное произведению длин векторов на косинус cos ϕ, ϕ,

14 если, - ненулевые); α ) α ) ; c) c Тк cos ϕ есть проекция вектора на направление вектора, cos ϕ - проекция вектора на направление вектора, то Пр Пр Пр Скалярное произведение векторов, заданных координатами Вспомогательные соотношения: i i, j j, k k, i j, i k, j k Используя свойства скалярного произведения, получим: i j k i j k i i i j i k ) ) j i j j j k k i k j k k Имеем формулу:, те скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов cos ϕ Примеры При каком "α " векторы,, ) и α,, ) перпендикулярны? Найдем скалярное произведение указанных векторов и приравняем нулю α ) α О т в е т : α Даны вершины C :,, ),,, ), C,,) Определить его внутренний угол при вершине cos cos, C ), ),,,, ) ) ), ), ) 7,,) C C 7 cos C 7 О т в е т : Даны векторы,, );,, ); c,,) Y Найти Пр c ) Находим координаты вектора,, )

15 Пр c ) ) c ) ) ) c ) О т в е т : ) Пр c Векторное произведение векторов О п р е д е л е н и е Векторным произведением векторов и называется вектор c, обладающий следующими свойствами: c sin ϕ, те длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ; c, c Упорядоченная тройка векторов,, c - правая тройка, те кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора c виден происходящим против часовой стрелки Обозначается c или c [, ] Свойства векторного произведения ; ; λ λ λ ; ) ) c) c Векторное произведение векторов, заданных координатами Вспомогательные соотношения: i i, j j, k k, i j k, i k j, j k k, j k i, k i j, k j i Пусть,, ),,, ) i j k ) i j k ) k j ) k ) i i) ) i ) j ) j k Примеры Найти площадь S треугольника C, если заданы вершины треугольника,, ),,, ), C,,) Площадь C равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и C, те S C Находим координаты векторов и C :,, C,, ), ) i j k C i j k 8i j 8k i j k 8,, 8)

16 О т в е т : S C C S C C 8 Найти вектор, перпендикулярный к векторам,, ),,, ) с осью O тупой угол, если Тк вектор и, то, те ) α i j k i j k i j k α, α, α ), 9α α α α, α α, образующий,, ) α ± Тк вектор с осью O образует тупой угол, то j < α < α > Таким образом α и,, 8) О т в е т :,, 8) Смешанное произведение векторов О п р е д е л е н и е Смешанным произведением векторов,, c называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и c Обозначается c c c Таким образом, ) Смешанное произведение некомпланарных векторов,, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,, c, V пар да c c Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны Смешанное произведение левой тройки отрицательно, правой положительно Смешанное произведение векторов, заданных координатами Пусть,, ),,, ), c c, c, c ) Тогда

17 D C G E c c П р и м е р ы Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках,, ),,, ), C,, ), D,, ) H F Объем пирамиды тетраэдра) равен построенного на векторах Найдем координаты векторов V пир Vпар да C D О т в е т : V пир, C и D c, C и D : c объема параллелепипеда ECDGFH,,, ), C,, ),,, ) D mod Установить, является тройка векторов,, ),,, ), c,, ) левой Находим смешанное произведение векторов c следовательно, тройка векторов левая правой или, и c < О т в е т : Тройка векторов,, ),,, ), c,, ) является левой, Глава Элементы аналитической геометрии Прямая линия на плоскости Каноническое уравнение прямой О п р е д е л е н и е Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором Положение прямой определяется однозначно, если даны направляющий вектор и точка на прямой 7

18 Пусть s l, m) - направляющий вектор прямой L,, ) M - точка на прямой L L s ) M M, ), т M ) L, тогда и только тогда, когда векторы s и M M коллинеарны M M s ) l m Уравнение ) называется каноническим уравнением прямой Уравнение прямой, проходящей через две точки L Вектор M M можно принять в качестве направляющего вектора Из ) получаем уравнение: ) Общее уравнение прямой Прямая линия на плоскости представляется уравнением C и, наоборот, всякое уравнение первой степени C определяет прямую линию Обозначим через n, ) прямой Действительно, пусть ) Тогда M ) M ) n,, - нормальный вектор прямой, те вектор, перпендикулярный к M, - точка на прямой M M, следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю: ) n, L ) ), или ) M, C ), где C Обратно, пусть C Пусть, ) удовлетворяет уравнению C Такая точка существует, ибо, одновременно Следовательно, ) ) Неполные уравнения прямой Если C прямая L проходит через начало координат O, ) 8

19 Если прямая L параллельна оси O Если прямая L параллельна оси O Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть s l, m) пусть Уравнение прямой примет вид: k ) или k ), где k - угловой коэффициент прямой Взаимное расположение прямых - направляющий вектор прямой и s j прямая не параллельна оси O ) Число m называется угловым коэффициентом прямой l l s cos ϕ m tgϕ m s sin ϕ l Пусть даны прямые L : C с нормальным вектором, ) с нормальным вектором n ), Прямые L и L пересекаются тогда и только тогда, когда Прямые L и L совпадут тогда и только тогда, когда Прямые L и L параллельны тогда и только тогда, когда C C C n и прямая L Угол между прямыми определяется как угол между их нормальными векторами: n n cos ϕ n n Пример s ϕ Дан C с вершинами в точках, ),, ), C, ) ) Составить уравнение сторон Найти угловой коэффициент прямой ) Составить уравнение высоты CD c) Составить уравнение медианы E d) Найти точку K пересечения медианы E с высотой CD e) Составить уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно f) Найти координаты точки M, симметричной точке относительно CD C 9

20 C L D ) Составляем уравнения сторон как прямых, проходящих через две заданные точки ) ) :, или ) Запишем ответ в виде общего уравнения прямой ) : ) C ) :, или, ) ), C ) : C ) :,, C ) : ) Составим уравнение высоты CD Для высоты CD вектор является нормальным n CD ; вектором, точка C принадлежит высоте CD и координаты ее известны ) Следовательно, CD ) : ) ) CD : c) Тк E - медиана, то точка E делит отрезок DC пополам: C E, ; C E, Теперь составим уравнение медианы E как прямой, проходящей через две точки и E : E : ;,,,, или 7 d) Найдем точку K пересечения медианы E с высотой CD Для этого решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 7, 7 ) 8 7

21 K ; e) Составим уравнение прямой L, проходящей через точку C параллельно прямой Для прямой L вектор является направляющим вектором: s L ; ) Точка C L L :, или Плоскость Прямая линия в пространстве Пусть плоскость α проходит через точку,, ) n,, C ) M перпендикулярно вектору Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве O Вектор n называется нормальным вектором плоскости α Пусть M,, ) - произвольная точка на α n плоскости α Тк M M n, то их скалярное произведение n M M Полученное уравнение в координатной форме запишется так: ) ) C ), или C D, ) где D C ) называется общим уравнение плоскости Если D, плоскость проходит через начало координат Если, плоскость параллельна оси O, если,, параллельна плоскости O и тд аналогично Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам Пусть заданы два неколлинеарных вектора,, ) и,, ), параллельные плоскости α Пусть M,, ) - произвольная точка плоскости,, ) M - заданная, точка Тогда векторы,, M M компланарны, и, следовательно их смешанное произведение равно нулю M M, или ) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой Уравнение плоскости: M M M M

22 ) Взаимное расположение плоскостей Пусть : : D C D C α α ) ),,,, C n C n Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одинаковых переменных: C C ) n n Условием перпендикулярности двух плоскостей является условие ортогональности их нормальных векторов: C C ) n n Прямая линия в пространстве Канонические уравнения прямой Пусть L - прямая в пространстве Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется ее направляющим вектором Положение прямой в пространстве определяется полностью, если задана точка на прямой и ее направляющий вектор Пусть ) L M,,, ) p m l s,, - направляющий вектор Точка ) L M,, тогда и только тогда, когда векторы M M и s коллинеарны Те p m l Эти равенства называются каноническими уравнениями прямой Параметрические уравнения прямой M M и s коллинеарны, если существует t, такое, что s t M M Уравнение в координатах запишем так: pt mt lt Они называются параметрическими уравнениями прямой Прямая, заданная как пересечение плоскостей Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, те как множество точек, удовлетворяющих системе: D C D C

23 C C Тк плоскости пересекаются, то один из определителей,, C C Пусть, например, Положим γ, найдем, s s n n ), те s ) s n и n α n n П р и м е р Написать канонические уравнения прямой, заданной как пересечение плоскостей L : Выберем на прямой L какую нибудь точку Коэффициенты при и не пропорциональны:, придадим произвольное значение, например, положим Решаем систему Сложим уравнения, Точка M ; ; ) L ) n n s, ; ; ), n ;; ) n i j k n n i j k i j k L : О т в е т : L : Пример ; ;, M ; ; ) Даны координаты точек M ) ; ; ), ; ; ), N ; ; ) M Найти M, M, M ; ) Уравнение плоскости α, проходящей через точки ) Записать канонические уравнения прямой L, перпендикулярной плоскости α ; c) Найти точку O пересечения прямой L и плоскости α Р е ш е н и е : ) Воспользуемся уравнением ) и запишем уравнение плоскости, проходящей через точки M, M : M, или Разложим определитель по элементам первой строки: ) ) Вычисляя определители второго порядка, получим уравнение: ) 7 ) Делим обе части на 7: ) ) - уравнение плоскости α, проходящей через точки M, M, M

24 ) Нормальный вектор плоскости α ) ;; α n Для прямой L, перпендикулярной плоскости α, его можно принять в качестве направляющего: ) ;; L s Точка L N, следовательно, можно записать канонические уравнения прямой: c) Найдем точку O пересечения прямой и плоскости Для этого решим систему уравнений: ) ) ) t t t t t t Из последнего уравнения находим t : t t t 7 9 t, или t Находим координаты точки O ) ) или ) ; ; O Контрольная работа для заочного отделения номер варианта соответствует последней цифре в зачетной книжке) Задание Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы матричным методом); в) методом Гаусса 7 7 9

25 Задание Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы матричным методом); в) методом Гаусса

26 Задание Решить однородную системы линейных алгебраических уравнений Задание Даны векторы αmβn и γmδn, где m k, n l, m,n)ϕ Найти: а) λµ)ντ); б) пр ντ); в) cos, τ) α -, β -, γ, δ, k, l, ϕ π/, λ -, µ /, ν, τ α -, β, γ, δ -, k, l, ϕ π, λ, µ, ν -, τ α, β -, γ -, δ -, k, l, ϕ π/, λ, µ, ν -, τ α, β, γ -, δ -, k, l, ϕ π/, λ -, µ /, ν, τ α, β -, γ -, δ, k, l, ϕ π/, λ, µ -, ν, τ α, β -, γ -, δ, k, l, ϕ π/, λ, µ -, ν, τ 7 α, β, γ -, δ -, k, l, ϕ π/, λ, µ -, ν, τ -/ 8 α, β, γ, δ -, k, l, ϕ π, λ, µ -, ν, τ - 9 α -, β -, γ, δ, k, l, ϕ π/, λ -, µ, ν, τ α, β -, γ, δ, k, l, ϕ π/, λ, µ -/, ν, τ

27 Задание По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти: а) модуль вектора а; б) скалярное произведение векторов а и ; в) проекцию вектора c на вектор d; г) координаты точки М, делящей отрезок l в отношении α:β А,, ), В-,, ), С, -, -), C-АС, АВ, ссв, dас, lав, α, β А,, -), В-, -, ), С,, ), -АCСВ, АВ, сас, dсв, lвс, α, β А,, 7), В, -, ), С-, -, ), В-С, сc, d, lв, α, β А,, ), В,, -), С-,, ), ВААС, ВА, с, dс, lв, α, β А,, ), В, -, ), С-, -, ), А-АС, ВC, с, d, lв, α, β А-, -, ), В-,, ), С,, ), АC-7С, А, с, dс, lc, α, β7 7 А,, ), В-,, -), С,, -), АС, АC, с, d, l, α, β 8 А,, ), В,, -), С-,, ), ВААС, с, dс, lв, α, β 9 А,, -), В-,, ), С, -, ), CВАС, с, dс, lв, α, β А,, ), В, -, ), С,, -), -ВС, сc, d, lc, α, β Задание Доказать, что векторы,, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе а,, ), -,, ), с, -, ), d7,, ) а, -, ), -,, -), с,, -), d,, -) а-,, ),, -, -), с-,, -), d8, -9, -7) а,, ), -,, ), с, -, -), d, -, -) а, -, ), -, -, ), с, -, ), d-, -, ) а,, ), -7, -, -), с-,, ), d,, ) 7 а-,, ),, 7, -), с-,, ), d-,, ) 8 а,, ), -,, -), с, -, ), d, -, ) 9 а,, -),, -, -), с-, -, ), d-9, -, -) а, -, ), -,, ), с, -, -), d-,, -)

28 Задание 7 Даны векторы а, и с Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора i-jk, jk, cij-k; ),, c; б), c; в), -c; г), c; д),, c ijk, i-j7k, ci-jk; ),, c; б), c; в), c; г), c; д), -, c i-j-k, 7ij, cij-7k; ),, c; б), -7; в) c, -; г), c; д),, c -7ik, i-jk, ci-jk; ), -, -7c; б), c; в), -7c; г), c; д),, c i-jk, j-k, c-ij-k; ), -, c; б), c; в) -, ; г), c; д),, c -ij-k, ij-k, cjk; ),, c; б), ; в), -c; г), ; д),, c 7 ij-k, ik, c-i-j9k; ),, c; б), ; в), -c; г), c; д),, -c 8 i-jk, ij-k, c7ijk; ) 7, -, c;б), c; в), c; г), c; д) 7,, c 9 -ik, -ijk, c-i-jk; ), -, c; б) 7, -c; в), ; г), c; д) 7,, - c i-jk, 9i-j9k, ci-8k; ), -, c; б), -9c; в), -c; г), ; д), -, - 9c Задание 8 Вершины пирамиды находятся в точках,, C, D Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины пирамиды; в) объем пирамиды CD,, ),,,), C-, -, ), D, -, -); а) CD; б) l, C и D,, ),,,), C-, -, ), D, -, -); а) CD; б) l, C и D,, ), -,, ), C-, -, ), D,, -); а) CD; б) lc, и D -, -, -),,, ), C,, -), D8, -, ); а) CD; б) lc, и D -, -, -),,, ), C,, -), D8, -, ); а) CD; б) lc, и D,, ), -,, -), C, -, ), D, -, ); а) D; б) ld, и C 7 -,, ),, -, ), C,, -), D,, -); а) CD; б) ld, и C 8 7,, 8), -, -, ), C, -, ), D,, -); а) CD; б) lc, и D 9, -, ), -, -, ), C,, -), D,, -7); а) D; б) ld, и C -, -, ), 7,, -), C, -, ), D,, -7); а)cd; б) ld, и C

29 Задание 9 Даны четыре точки А,, ), А,, ), А,, ) и А,, ) Составить уравнения: а) Плоскости А А А ; б) прямой А А ; в) прямой А М, перпендикулярной к плоскости А А А ; г) прямой А N, параллельной прямой А А ; д) плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой А А Вычислить: е) синус угла между прямой А А и плоскостью А А А ; ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А А А А,, ), А -,, ), А -,, ), А,, -) А, -, ), А -,, ), А, 7, ), А 8,, 8) А,, ), А, 8, ), А,, -), А -,, ) А,, ), А,, ), А, 9, ), А,, 7) А 9,, ), А -, 7, ), А, 7, 8), А, 9, ) А, 7, ), А, -, ), А,, ), А, -9, 8) 7 А,, ), А, -, ), А,, ), А, 8, -) 8 А,, ), А,, ), А,, ), А,, ) 9 А 7,, ), А 9,, ), А,, 7), А 7, 9, ) А, 8, ), А,, 7), А,, 7), А 7,, 7) Задание По координатам вершин пирамиды найти: ) длины ребер и ; ) угол между ребрами и ; c) Площадь грани ; d) Объем пирамиды; e) Уравнения прямых и ; f) Уравнения плоскостей и ; g) Угол между плоскостями и ; ; ), ; ; ), ; ; ), ; ; ) ; ;; ), ;; ), ; ; ), ; ;) ; ;; ), ;; ), ; ; ), ; ; ) ; ; ; ), ; ; ), ; ; ), ; ; ) ; ; ), ; ; ), ; ; ), ;; ) ; ;; ), ;; ), ; ; ), ; ; ) ; 7 ; ; ), ; ; ), ; ; ), ; ; ) ; 8 ; ; ), ; ; ), ; ; ), ;; ) ; ;

30 9 ; ; ), ; ; ), ; ; ), ;; ) ; ; ; ), ; ; ), ; ; ), ; ; ) ;

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее