МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического факультета, специальность «Телекоммуникации» ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ, ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ, ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ Ростов-на-Дону 006

2 Генеральная совокупность и выборка Совокупность значений некоторого признака объекта называется генеральной совокупностью. Основная задача математической статистики выяснение вероятностных свойств совокупности распределения, и числовых характеристик. Полное исследование генеральной совокупности практически невозможно или неэкономно. Обычно из генеральной совокупности делают выборку, то есть исследуют только некоторые ее объекты. С помощью выборки оценивают генеральную совокупность по вероятностным свойствам. Чтобы оценки были достоверными, выборка должна быть представительной, те ее вероятностные свойства должны совпадать или быть близкими к свойствам генеральной совокупности. Представительную выборку можно получить, если выбирать объекты для исследований случайно, те гарантировать всем объектам генеральной совокупности одинаковую вероятность подвергнуться исследованию. Вариационный ряд Выбор объекта из генеральной совокупности и измерение значения признака называется статистическим наблюдением. Упорядоченные по возрастанию или убыванию результаты наблюдений наглядно представляются в виде вариационных рядов или таблиц, где в

3 первом столбце записываются всевозможные значения (варианты) х i генеральной совокупности (или случайной величины), а во втором ряду числа i. / относительные частоты (частости) появления i-го значения. Очевидно, что если точки гистограммы соединить плавной кривой, то эта кривая в первом приближении будет представлять график плотности вероятности случайной величины Х. Если число опытов увеличивать и выбирать более мелкие группы в статистической совокупности, то гистограмма будет все более приближаться к плотности вероятности случайной величины. На нижеследующем рисунке в качестве примера показана гистограмма значений уровня радиосигнала, построенная по его временному ряду за время порядка одних суток. Эмпирическая функция распределения Каждая генеральная совокупность имеет свою функцию распределения, которая обычно неизвестна. По выборке можно найти эмпирическую функцию распределения F*(x), где 3

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 на основании теоремы Бернулли вместо вероятностей p i берутся частости i. /. Процесс нахождения эмпирической функции распределения аналогичен процессу нахождения функции распределения дискретной случайной величины. Значениями эмпирической функции распределения являются так называемые накопленные частости. Числовые характеристики выборки Выборочное среднее x i x i x i элементы выборки, - объем выборки. Если составлен вариационный ряд, то x m i x i i m количество вариантов, x i варианты случайной величины, - объем выборки. Выборочная дисперсия ( x i x) i m x i i i Стандартное отклонение Мода ( x) Если вариационный ряд составлен по значениям генеральной совокупности, то модой выборки называется значение, имеющее максимальную частоту. Медиана Медианой выборки является значение серединного элемента вариационного ряда. Оценки параметров распределений и их свойства 4

5 Одним из основных предметов для статистических выводов является построение вероятностных моделей и, далее, получение оценок параметров этих моделей (математического ожидания и дисперсии). Существует два типа оценок точечные и доверительные. Точечная оценка определяется одним числом, которое должно быть как можно ближе к оцениваемому параметру. Доверительной называют статистическую оценку, которая определяется двумя числами концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. За оценку математического ожидания выборочные характеристики. и дисперсии можно принять соответствующие Выборочное среднее (арифметическое) Рассмотрим последовательность независимых испытаний. Проводя каждое последовательное i-е испытание, мы наблюдаем реализацию случайной величины X i. После испытаний мы получаем выборочные значения случайных величин X X, каждая из которых имеет одно и то же распределение. Выборочное значение определяется как численное усреднение наблюдений: X i X i Здесь, в первую очередь, необходимо отметить, что выборочное среднее это функция случайных величин X i, и следовательно, само является случайной величиной, в отличие от математического ожидания случайной величины, которое является числом. Поэтому для выборочного среднего можно найти математическое ожидание и дисперсию. По известным свойствам математического ожидания и дисперсии получаем: M D [ X ] M [ X ] M [ X ] i ( ) M [ X ] i [ X ] D X D[ X ] D[ X ] i i i i i [ X ] D При неограниченном росте дисперсия выборочного среднего убывает, и при сходится к M[X]. X Свойства оценок Выборочной оценкой неизвестного параметра θ будем называть произвольную функцию 5

6 ~ θ f ( x,..., x ) Состоятельность Оценку ~ θ параметра θ называют состоятельной, если ~ θ при вероятности к θ. Другими словами, сходится по для ε, ηсуществует такое N, что при >N ~ ( θ θ < ε ) > η, η P при Смещение Оценку ~ θ параметра θ называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, то есть M [ ~ θ ] θ Это свойство означает, что если пользоваться несмещенной оценкой, то в одних случаях можно завысить искомый параметр, в других занизить, но в среднем мы будем «попадать в цель». Эффективность Несмещенную оценку ~ θ, которая имеет наименьшую выборочную дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметраθ, вычисленных по выборкам одного и того же объема, называют эффективной оценкой. Выборочное среднее X, вычисляемое по независимым наблюдениям над случайной величиной X, которая имеет математическое ожидание µ и ограниченную дисперсию < является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания. В случае нормального распределения эта оценка еще и эффективна. Если случайная выборка состоит из независимых наблюдений над случайной величиной X, которая имеет математическое ожидание µ и ограниченную дисперсию < то выборочная дисперсия является смещенной состоятельной оценкой дисперсии. Несмещенная и состоятельная оценка дисперсии (исправленная выборочная дисперсия) равна ( ). x i x i 6

7 Оценки, не являются эффективными. При больших, очень близки. Однако при 0, а, напротив, не определена. Поскольку дисперсия это мера разброса случайной величины, то невозможно оценить этот разброс только по данным одного наблюдения. Поэтому оценка 0 полностью нелогична. С другой стороны, оценка по двум наблюдениям i ( ) ( X ) x x X i дает четкое представление о разбросе значений Х. Доверительные интервалы При малом объеме выборки точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Чтобы избежать грубых ошибок при малом объеме выборки вводят интервальную оценку, которая определяется двумя числами границами интервала. Надежность Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра θ по вероятность γ, с которой осуществляется неравенство ( θ θ < δ ) γ P ~ ~ θ θ < δ ~ θ называют На практике обычно стараются сделать так, чтобы надежность γ была как можно ближе к : γ-α, где α называется уровнем значимости. Интервал ( ~ θ -δ, ~ θ + δ) называют доверительным интервалом для неизвестного параметра θ, соответствующий доверительной вероятности (надежности) γ. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии Пусть выборка Х,,Х состоит из независимых нормально распределенных с параметрами µ и случайных величин, причем известно, а величину µ оцениваем выборочным средним: 7

8 µ X x i i Оценим точность этого приближенного равенства, то есть укажем доверительные пределы ~ θ, в которых практически достоверно лежит число µ. Величина X распределена (по центральной предельной теореме) нормально с математическим ожиданием µ и среднеквадратичным отклонением. Нормированное отклонение X µ распределено также нормально с параметрами 0 и. Поэтому вероятность любого отклонения может быть вычислена по формуле X µ Р( < δ )Ф(δ)- или Р( X µ < δ )Ф(δ)-, где Ф(δ) функция Лапласа. Зададим надежность γ так, чтобы событие с вероятностью γ можно было считать практически достоверным, то есть Р( X µ < δ )γ Теперь мы можем найти δ как корень уравнения Ф(δ)- γ Пусть δ γ - корень этого уравнения. Тогда находим, что P (( X δ ) < µ < ( X + δγ )) γ Таким образом, с вероятностью γ интервал со случайными концами X δ, X γ + δ γ γ покрывает неизвестное значение µм[x]. Этот интервал является доверительным интервалом для µ, соответствующим надежности γ. Получена так называемая классическая оценка. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии 8

9 Ранее мы получили, что нормированное отклонение распределение с параметрами 0 и. Как поступить, когда дисперсия неизвестна и является случайной величиной, определяемой по выборке? Распределение χ X µ имеет нормальное χ Пусть x i, где Х i независимые случайные величины, распределенные по i стандартному нормальному закону (с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Тогда можно показать, что величина χ имеет следующее распределение: / x / Κ ( x) x e / - распределение Пирсона, или χ. Здесь Γ( ) Γ z p ( p) e z dz 0 - гамма-функция. Отметим, что М[χ ], D[χ ]. При P(χ <x) Ф( x) -Ф( ), поэтому таблицы распределения (до 30). χ приводятся обычно лишь для небольших значений Можно показать, что в выборке из нормальной генеральной совокупности с характеристиками µ и смещенная выборочная дисперсия в виде параметра следует закону χ - (с - степенями свободы). При этом выборочное среднее и выборочная дисперсия взаимно независимы. Таким образом, мы можем исключить неизвестную нам дисперсию, переходя к отношению X µ X µ t Теперь требуется определить распределение величины t. t это показатель Стьюдента и в общем виде определяется следующим образом: 9

10 z t, где величины z и v независимы, z распределена нормально стандартно, а v v следует закону χ - (с - степенями свободы). При таких условиях плотность вероятности величины t имеет вид s ( x) Β x ( + ) +, где + Γ( ) Β - Γ( ) π закон Стьюдента с степенями свободы. При увеличении распределение s (x) стремится к нормальному закону. Справедливо утверждение: lim s ( x) e π x Таким образом, мы получили, что величина X µ Стьюдента с - степенями свободы. распределена по закону Теперь мы можем найти вероятность P X µ < δ ( γ, ) γ, где γ-надежность. Здесь δ зависит уже не только от γ, но и от. Раскрывая модуль, запишем вероятность в следующем виде: P( X δγ, < µ < X + δγ, ) γ Следовательно, доверительный интервал, отвечающий надежности γ, будет иметь вид: ( X δ γ,, X δ γ, ) + Напомним, что в данном выражении фигурирует среднеквадратичное отклонение, соответствующее смещенной дисперсии. Значение δ γ,- определяется из уравнения (δ γ,-) )- (δ γ,- )γ или с учетом (-x)-(x) (δ γ,- )+γ, где 0

11 x x) s ( z) dz ( - интегральная функция распределения Стьюдента, -. Тогда δ γ,- это корень уравнения (δ γ,- )(+γ)/. Так, для надежности γ0,99 получим (δ γ,- )(+0,99)/0,995. В таблицу сведены некоторые значения корней данного уравнения для двух значений надежности и трех значений степеней свободы: δ 0.99, δ 0.9, Таким образом, видно, что при увеличении надежности доверительный интервал расширяется, а при уменьшении сокращается. При малом числе оценки, полученные при использовании распределения Стьюдента, заметно отличаются от оценок, основанных на использовании нормального распределения. Так, для нормального распределения δ 0.99,576.,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 Лаплас Стьюдент 3 Стьюдент 9-3,00 -,80 -,60 -,40 -,0 -,00 -,80 -,60 -,40 -,0 -,00-0,80-0,60-0,40-0,0 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0,40,60,80,00,0,40,60,80 3,00 3,0 3,40 3,60 Интегральные функции распределения Лапласа и Стьюдента

12 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, Гаусс Стьюдент 3 Стьюдент 9 0,5 0, 0,05 0-3,00 -,80 -,60 -,40 -,0 -,00 -,80 -,60 -,40 -,0 -,00-0,80-0,60-0,40-0,0 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0,40,60,80,00,0,40,60,80 3,00 Дифференциальные функции распределения Лапласа и Стьюдента Литература. Н.В.Смирнов, И.В.Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики (для технических приложений). Москва, Наука, Л.З.Румшиский. Элементы теории вероятностей. Москва, Наука, R.D.Yates, D.J.Goodma Probability ad tochastic Processes (A friedly itroductio for electrical ad computer egieers). Joh Wiley, NY, 005.

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

Лабораторная работа 3 Оценки параметров распределения

Лабораторная работа 3 Оценки параметров распределения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008.

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008. Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 008. ВАРИАНТ (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. НК-2, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки

Теория вероятностей и математическая статистика. НК-2, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки Теория вероятностей и математическая статистика. НК-, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки Для заданных выборок: построить вариационный и статистический ряды; найти наименьший

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних 1. Генеральная средняя. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ» Министерство сельского хозяйства РФ Департамент научно-технологической политики и образования ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Работа. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Целью данной комплексной работы является практическое ознакомление с алгоритмами моделирования случайных чисел с заданным законом

Подробнее

Автор(ы): преподаватель: Арамян Р. Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЕРЕВАН

Автор(ы): преподаватель: Арамян Р. Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЕРЕВАН ГОУ ВПО РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ Составлена в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по указанным направлениям и Положением

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Формализовано понятие гиперслучайной выборки и определены ее свойства предложена методология формирования оценок характеристик гиперслучайной величины и исследована

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.И. Положинцев Теория вероятностей и математическая статистика Введение в математическую статистику Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГОУ СПО ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ» УТВЕРЖДАЮ Ректор Минского института управления Н.В.Суша 2009 г. Регистрационный УД- /р. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебная

Подробнее

1. Краткие теоретические сведения

1. Краткие теоретические сведения . Краткие теоретические сведения.. Основные распределения, используемые в математической статистике Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х распределена равномерно на отрезке

Подробнее

Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка

Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка Курс Основы теории вероятностей и математической статистики относится к циклу естественнонаучных

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Учебное пособие Часть Фарафонов В. Г., Фарафонов Вяч. Г., Устимов В. И., Бутенина Д. В. 009 г. i 1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Массовые случайные

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка

Генеральная совокупность и выборка Генеральная совокупность и выборка 150 тыс.человек 250 человек Генеральная совокупность Выборка Какая доля неженатых мужчин? Какая доля неженатых мужчин? 2 Параметры и статистики Параметры - характеристики

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ГОУ ВПО РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ Составлена в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по указанным направлениям и Положением

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ 3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5

ОГЛАВЛЕНИЕ 3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие...3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 1. Решение систем линейных уравнений...5 1.1. Линейные уравнения...5 1.2. Системы линейных уравнений...7 1.3. Разрешенные системы линейных

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Хабаровск 004 3 УДК 56 Статистическая обработка и анализ экспериментальных данных массовых случайных явлений: Методические

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" ГЛАЗОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее