Функции Уолша и их приложения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функции Уолша и их приложения"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» М. С. Беспалов В. А. Скляренко Функции Уолша и их приложения Учебное пособие Владимир 22

2 УДК ББК 22.6 Б53 Рецензенты: Доктор физико-математических наук, профессор зав. кафедрой геометрии и методики преподавания математики Владимирского государственного университета Ю. А. Алхутов Кандидат технических наук, доцент зав. кафедрой прикладной математики и информатики Автономной некоммерческой организации высшего профессионального образования «Владимирский институт бизнеса» Д. В. Кравченко Печатается по решению редакционно-издательского совета ВлГУ Беспалов, М. С. Б53 Функции Уолша и их приложения : учебн. пособие / М. С. Беспалов, В. А. Скляренко ; Владим. гос. ун-т. имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых Владимир : Изд-во ВлГУ, с. ISBN Приводятся определения и свойства различных вариантов системы функций Уолша. Может быть использовано студентами, бакалаврами, магистрантами и аспирантами математических, информационных и радио-технических специальностей, занимающимися вопросами передачи, приема и анализа цифровых сигналов в информационных системах. Рекомендовано для формирования профессиональных компетенций в соответствии с ФГОС 3-го поколения. Ил. 2. Библиогр.: 5 назв. УДК ББК 22.6 ISBN c ВлГУ, 22

3 Предисловие Настоящее пособие посвящено определению и рассмотрению свойств системы функций Уолша, каждая из которых кусочно-постоянна и принимает на промежутках постоянства значения + или. Это одна из полных ортонормированных систем функций, широко используемых в теории функций действительного переменного. Существует три основных варианта определения системы функций Уолша, отличающихся в основном порядком функций в пачках и значениями их в точках разрыва. Система функций Уолша была введена в 923 г. Дж. Уолшем, видимо, как упрощенный аналог тригонометрической системы функций. В 932 г. Р. Пэли предложил иной порядок нумерации функций, оказавшийся более удобным, и сейчас, говоря о системе функций Уолша, подразумевают именно систему Уолша Пэли. Часть работ посвящена также системе функций Уолша в нумерации Качмажа, введенной в 948 г. в работе А.А. Шнейдера. В пособии свойства системы Уолша Качмажа не рассматриваются. Предположение Уолша оказалось верным: ряды Фурье по системе Уолша обладают в большинстве случаев теми же свойствами, что и тригонометрические ряды Фурье, но вывод этих свойств заметно проще. Если тригонометрическая система функций издавна широко используется для представления аналоговых сигналов, то для представления цифровых сигналов и их анализа более удобна, в силу своих свойств, система функций Уолша. Этим обстоятельством и руководствовались авторы при написании пособия, надеясь, что оно будет полезно студентам и аспирантам, занимающимся вопросами передачи, приема и анализа цифровых сигналов. Данная работа выполнена в рамках НИР по госзаданию «Наука» (Регистрационные номера: и от 23..2). 3

4 . Функции Радемахера Существует три подхода к определению функций Радемахера. В математической дисциплине «Теория функций» их принято определять как r n (x) = sgn(sin(2 n+ πx)) и рассматривать на [,] [8, 5]. Предложим другое определение, согласно которому функции Радемахера рассматриваем на [, ), где они принимают только два значения. Введем начальную функцию Радемахера {, если x [, r (x) = 2 ),, если x [ 2, ) и периодически с периодом Т= продолжим на полуось [, ). Каждую следующую функцию Радемахера определим как сжатие по горизонтальной оси в два раза предыдущей: r n (x) = r n (2x) (рис. ). По окончании процесса построения функций Радемахера договоримся рассматривать их только на участке [, ). Второй подход можно описать и по-другому. Введем понятие и обозначение интервала n-го ранга с номером k (точнее, полуинтервала): k n = [ k 2 n, k+ 2 n ). Тогда во втором подходе r n (x) = ( ) k при x k n. () r (x) r (x) r 2 (x) r 3 (x) O O O O Рис.. Функции Радемахера 4

5 Третий подход соответствует построению функций Радемахера на модифицированном отрезке [, ]. Модифицированный отрезок [, ] получается добавлением к отрезку [,] счетного множества точек Q 2 (, ), состоящего из всех двоично-рациональных чисел (то есть чисел вида k 2, m где m N, k =, 2,..., 2 m ), попавших на интервал (, ). В результате этого добавления каждую двоично-рациональную точку рассматриваем как две точки: ( k 2 ) левая и ( k m 2 ) + правая. Например, в двоичной m системе счисления ( 2 ) =,..., ( 2 )+ =,... с помощью представления в виде бесконечных дробей. В третьем подходе сохраним обозначение для интервала n-го ранга с номером k, но определять его будем по-другому: k n = [ k 2 n +, k+ 2 n ]. Любопытно, что в топологии модифицированного отрезка [, ] он является одновременно и отрезком (закрытым множеством), и интервалом (открытым множеством), о чем подробнее в [8, 5]. В третьем подходе функции Радемахера определяем также формулой () относительно нового определения k n. Третий подход соответствует изложению гармонического анализа на группах [], который служит основным примером абстрактного гармонического анализа []. Желающие углубить свои познания в данных направлениях могут обратиться к указанным источникам. Первый подход удобен при решении задач математического анализа и ортогональных рядов, так как позволяет не выходить из класса регулярных функций, для которых значение в каждой точке разрыва равно полусумме односторонних пределов в этой точке. При решении прикладных задач, в частности при цифровой обработке информации, удобней второй подход. Именно вторым подходом к определению функций Радемахера мы и будем пользоваться. Его преимущество еще и в том, что важные групповые свойства рассматриваемых функций здесь выполняются без дополнительных оговорок. Лемма. Интеграл от любой функции Радемахера по интервалу ранга, совпадающего с номером функции, равен нулю; то есть r n (x) dx =. k n Доказательство. Функция Радемахера r n (x) постоянна на интервале k m, ранг которого больше номера функции ( n < m ). В частности, по формуле () {, если x 2k n+, r n (x) =, если x n+ 2k+. 5

6 Так как k n = 2k n+ 2k+ n+ и 2k n+ = 2k+ n+ = 2 (n+), то r n (x) dx =. k n Следствие. Интеграл от любой функции Радемахера по всему интервалу = [, ) равен нулю: r n (x) dx =. Доказывается разбиением интервала [, ) на объединение интервалов ранга n. Система функций Радемахера {r n (x)} n= орто- Утверждение. нормирована на [,). Доказательство. Если n < m, то r n (x) постоянна на k m, и по лемме r n (x)r m (x) dx = для любого k. Поэтому k m (r n, r m ) = r n (x)r m (x) dx =. Квадрат любой функции Радемахера равен тождественной единице, которую далее будем обозначать w (x). Поэтому (r n, r n ) = (r n (x)) 2 dx =. Утверждение 2. Система функций Радемахера {r n (x)} n= не полна на [, ). Доказательство. Действительно, функция {, если x [, f(x) = 4 ) [3 4, ),, если x [ 4, 3 4 ) ортогональна всем функциям Радемахера, но не является нулевой функцией в L 2 [, ). 6

7 2. Функции Уолша. Система Уолша Пэли Определение. Функция Уолша есть произведение функций Радемахера. Множество функций Уолша есть множество всевозможных произведений функций Радемахера. В этом определении уместно говорить о различных функциях Радемахера, так как квадрат любой функции Радемахера равен начальной функции Уолша w (x), которая и служит единственным исключением из этого замечания к определению. Замечание. Если бы мы остановились на определении функций Радемахера формулой r n (x) = sgn(sin(2 n+ πx)), то это групповое свойство не выполнялось бы. Система Уолша есть множество функций Уолша, занумерованных целыми неотрицательными числами, то есть элементами множества N. Основной нумерацией системы Уолша является нумерация, предложенная Пэли в 932 г. [3]. Если говорят о системе Уолша, то подразумевают нумерацию Пэли. Систему Уолша Пэли будем обозначать {w n (x)} n=. Разложим номер n в двоичной системе счисления * : n = n 2 + n n m 2 m, (2) где n i {, }, n m =. Число m, равное числу разрядов в двоичной записи числа n, находится из условия 2 m n < 2 m. Для разложения (2) часто используется форма записи в виде n = k= n k 2 k, где полагаем n k = при k > m, что позволяет представить и число в аналогичном виде. Определение 2. Полагаем w (x). Для n N вида (2) определим m w n (x) = (r k (x)) n k+ = r n (x) rn 2 (x)... rn m m (x) (3) k= (несколько первых функций Уолша изображено на рис. 2). * Часто вместо данного разложения числа n, которое удобно при работе с преобразованием Уолша, предлагается n = n 2 + n n m 2 m, что приводит к сдвигу на единицу и в других формулах [5, 8, 5]. 7

8 Все натуральные числа в соответствии с двоичным представлением (2) группируются по пачкам, где m-й пачкой (которую обозначаем ]m[) называем множество чисел от 2 m до 2 m+ включительно. Если в разложении (2) числа n ]m [ оставим только ненулевые слагаемые, то получим разложение n = 2 ε + 2 ε ε ν, (4) где ε < ε 2 <... < ε ν = m. Тогда функции Уолша Пэли при n определяют как произведение различных функций Радемахера: w n (x) = r ε (x) r ε2 (x)... r εν (x). Равносильно (3) следующее индуктивное определение функций системы Уолша Пэли. Определение 3. Полагаем w (x). Образующие функции для системы Уолша Пэли совпадают с функциями Радемахера: w (x) = = r (x), w 2 (x) = r (x),..., w 2 n(x) = r n (x),.... Если n = 2 m + k, где k < 2 m, то положим w n (x) = w 2 m(x) w k (x). (5) Приведем простейшие свойства функций Уолша. Утверждение 3. Для любого n N верно w n (x) dx =, где n ]m[ и k =,, 2..., 2 m, k m и, следовательно, w n(x) dx =. Доказательство. В формуле (3) множитель r m (x) соответствует функции Радемахера с наибольшим номером. Все предыдущии сомножители r s (x) в формуле (3) постоянны на k m. По лемме получили k m w n (x) dx =. Утверждение 4. Функции системы {w n (x)} n= ортонормированы на [,). 8

9 w (x) = w (x) = r (x) w 2 (x) = r (x) w 3 (x) = r (x)r (x) O O O O w 4 (x) = r 2 (x) w 5 (x) = r 2 (x)r (x) w 6 (x) = r 2 (x)r (x) w 7 (x) = r 2 r r O O O O Рис. 2. Функции Уолша в нумерации Пэли Доказательство. Согласно (3) произведение различных функций Уолша есть снова функция Уолша, отличная от начальной w (x), и интеграл от нее по утверждению 3 равен нулю: (w n, w m ) = w s(x) dx =. Так как квадрат любой функции Уолша есть тождественная единица, то и ее скалярный квадрат равен : (w n, w n ) = w (x) dx =. Утверждение 5. Число перемен знака на интервале [, ) у различных функций Уолша разное. Доказательство. Используем метод индукуции по пачкам функций. Для начальных пачек это свойство легко проверяется непосредственно. Введем функцию z, равную числу перемен знака на интервале [, ); через эту функцию запишем: z(w ) =, z(w ) =, z(w 2 ) = 3, z(w 3 ) = 2 (см. рис. 2). Предположим, что это свойство выполняется для всех функций с но- 9

10 мерами от до 2 m включительно. Функцией с наибольшим числом перемен знака из следующей пачки ]m[ служит функция w 2 m(x), для которой z(w 2 m) = 2 m. Для нее смена знака происходит в каждой точке дробления интервала, то есть в точках вида s 2. Все функции m-й пачки задаются формулой (5). Двойная смена знака есть от- m сутствие смены знака. Поэтому z(w 2m +k) = z(w 2 m) z(w k ). Причем минимальное значения числа перемен знака функции в m-й пачке равно z(w 2m +2 m ) = z(w 2 m) z(w 2 m ) = 2m (2 m ) = 2 m > z(w 2 m ). Так как при k l имели z(w k ) z(w l ), то и z(w 2m +k) z(w 2m +l). 3. Система Уолша в нумерации Уолша Изначально система Уолша была введена в другой нумерации [4]. Повторим определение системы Уолша в нумерации Уолша [2, 5] (в [5] она названа оригинальной системой Уолша): {ϕ n (x)} n=. Произвольное целое n > представим в виде n = 2 m + k, где k 2 m, и обозначим ϕ n (x) := ϕ (k) m (x). Полагаем ϕ (x), ϕ (x) = ϕ () (x) = r (x). Определим (при k =, 2) { ϕ (k) 2 (x) = ϕ () (2x), если x [, 2 ), ( ) k ϕ () (2x ), если x [ 2, ). Если m 2 и k 2 m, то ϕ (2k ) m+ (x) = ϕ (2k) m+ (x) = { { ϕ (k) m (2x), если x [, 2 ), ( ) k+ ϕ (k) m (2x ), если x [ 2, ), ϕ (k) m (2x), если x [, 2 ), ( ) k ϕ (k) m (2x ), если x [ 2, ). В публикациях первой половины XX века систему Уолша Уолша часто определяли не на [, ), а на [ /2, /2], стараясь найти близость ее к тригонометрической системе. Даже вводили специальные названия sal и cal для функций с нечетным и четным числом перемен знака []. Из утверждения 5 вытекает свойство, которое примем за определение системы Уолша в нумерации Уолша. Определение 4. Функции Уолша, упорядоченные по числу перемен знака на интервале [, ), составляют систему Уолша Уолша {ϕ n (x)} n=.

11 Это характерное свойство можно вывести из приведенного выше классического определения. Аналогичное свойство присуще сквозным образом занумерованной тригонометрической системе. Возможно, система Уолша вводилась как упрощенный аналог тригонометрической системы [4]. Утверждение 6. Систему Уолша Уолша можно определить по формуле, аналогичной формуле (5), с другими образующими. А именно: ϕ o (x) ; ϕ (x) = r (x), ϕ 2 n(x) = r n (x) r n (x) при n N; ϕ 2n +k(x) = ϕ 2 n(x) ϕ k (x) при k < 2 n. Доказательство. Ранее вычислили, что z(ϕ 2 n) = 2 n при всех n. Для первой пачки проверяем дополнительно, что z(ϕ 3 ) = 3. Используем доказательство по индукции. Предположим, что z(ϕ k ) = k при всех k < < 2 n (для n = 2 это уже доказано). Так как функции Радемахера имеют наибольшее число перемен знака среди функций Уолша рассматриваемой пачки, накрывающее все возможные места перемен знака данной пачки, то у функции ϕ 2 n(x) места перемен знака не повторяют места перемен знака ни одной из функций Уолша с меньшим номером. Поэтому z(ϕ 2n +k) = z(ϕ 2 n) + z(ϕ k ) = 2 n + k. 4. Групповое свойство функций Уолша Двоичное представление (2) целых неотрицательных чисел n N изоморфно представлению в виде бесконечных финитных последовательностей из нулей и единиц: ñ = (n, n 2,..., n m,,,...) X. (6) Множество финитных последовательностей X относительно операции покоординатного сложения по модулю 2 является абелевой группой, все элементы которой (кроме нейтрального) имеют порядок 2. Аналогично введем операцию на N : если n = n i+ 2 i, k = k i+ 2 i N, то n k = i= (n i+ k i+ )2 i. Обозначим символом W множество функций Уолша. i= i=

12 Теорема. Группа функций Уолша (W, ) есть мультипликативное представление изоморфных групп: группы целых неотрицательных чисел относительно операции и группы бесконечных финитных последовательностей (6) из нулей и единиц с операцией покоординатного сложения по модулю 2: (W, ) (N, ) (X, ). Основную часть доказательства этой теоремы составляет следующая лемма. Лемма 2. Функции Уолша мультипликативны по номеру: w n (x) w m (x) = w n m (x). Доказательство. Воспользуемся формулой (3), которую формально запишем как бесконечное произведение (чтоб не уточнять максимальный разряд): w n (x) w m (x) = (r k (x)) n k++m k+. k= Так как квадрат функции Радемахера есть тождественная единица, то сложение в показателе можно заменить на сложение по модулю 2, что приводит к доказываемой формуле. Функции Уолша можно рассматривать как функции, определенные на группе. В этом случае упрощенная форма записи функций Уолша на [, ), предложенная в первом параграфе, не применима. Областью определения функций Уолша считаем модифицированный отрезок [, ]. Тогда для любых x, y [, ] существуют единственные двоичные представления x = k= x k 2, y = k k= y k 2 k, (7) которым соответствуют последовательности из нулей и единиц x = (x, x 2,..., x k,...), ỹ = (y, y 2,..., y k,...) Z 2. Перенесем операцию покоординатного сложения по модулю 2 с множества X финитных последовательностей на множество последовательностей Z 2 : определим z = x ỹ Z 2, если z k = x k y k. Аналогично вводится операция для x, y [, ] вида (7) через операцию в группе Z 2 по правилу: 2

13 x y = z [, ], где z = k= z k 2 k, z k = x k y k. Изоморфные топологические группы двоичная группа Кантора (Z 2, ) и ее геометрическая модель ([, ], ) в виде модифицированного отрезка (они же компактные топологические пространства) являются областью определения функций Уолша. Для n N вида (2) и x [, ] вида (7) введем бинарную операцию скалярного произведения по формуле (n, x) = (ñ, x) = n k x k (mod 2). k= Так как последовательность ñ финитна, то в данной сумме имеется конечное число ненулевых слагаемых. Лемма 3. Определение функций Уолша в нумерации Пэли, данное формулой (3), можно представить в виде w n (x) = ( ) (n, x). (8) Доказательство. Представление (7) разобьем на два слагаемых x = m n= x n 2 + n n=m+ x n 2 n, первое из которых обозначим k 2, где k = m m n= x n 2 m n. В этих обозначениях x k m. Число x m {, } определяет четность числа k. Из () вытекает r m (x) = ( ) k = ( ) x m. Подставим в формулу (3): m w n (x) = (( ) x k+ ) n k+ = k= m ( ) x kn k = ( ) k= m k= n k x k. Значение выражения не изменится, если последнюю сумму понимать как сумму по модулю 2 и бесконечно продолжить нулевыми слагаемыми. 3

14 Лемма 2 о мультипликативности функций Уолша по номеру вытекает из леммы 3 и следующего свойства (n m, x) = (n, x) (m, x) скалярного произведения. Из свойства (n, x y) = (n, x) (n, y) скалярного произведения вытекает лемма 4. Лемма 4. Любая функция Уолша мультипликативна по аргументу: w n (x) w n (y) = w n (x y). Лемма 5. Если x = [, /2), то w 2k (x) = w 2k+ (x) = w k (2x), а также w 2k (x + /2) = w 2k (x), w 2k+ (x + /2) = w 2k+ (x). Доказательство. Рассмотрим на модифицированном отрезке, предполагая x [, ]. По (2), (6), (7), (8) имеем w 2k (x) = w 2k (x). По лемме 4 w 2k (x + 2 ) = w2k (x), так как w 2k ( + 2 ) =. По лемме 2 w 2k+ (y) = w 2k (y)w (y) при y [, ], что влечет w 2k+ (x) = w 2k (x), w 2k+ (x 2+ ) = w2k+ (x). Перейдем от модифицированного отрезка к полуинтервалу [, ), удалив все особые представления двоичнорациональных чисел (те, у которых единица в периоде в двоичном коде). Введенное скалярное произведение есть отображение N [, ] Z 2 (или отображение X Z 2 {, } для представлений в виде последовательностей), которое при фиксированном одном сомножителе можно также рассматривать как линейный функционал над полем F 2. Следовательно, линейные пространства X и Z 2 над полем F 2 являются сопряженными. Во множестве последовательностей Z2 выделим цепочку вложенных подмножеств Z 2 = X () X ()... X (m) X (m+)..., где X (m) = {x x = (,,...,, x m+, x m+2,...)}, составляющую систему окрестностей нуля в топологическом пространстве последовательностей Z2. Последовательность вложенных множеств { m} есть система окрестностей нуля в изоморфной топологической группе ([, ], ). Система окрестностей нуля задает топологию на группе. Согласно отмеченным свойствам мультипликативности система Уолша является системой характеров сопряженных топологических групп 4

15 X и Z 2 последовательностей из нулей и единиц [, ]. Каждая функция Уолша есть характер на группе Z 2, а все функции Уолша при фиксированном аргументе есть характер на группе X финитных последовательностей. Система характеров определяется следующими условиями, которые проверены для функций Уолша. Во-первых, значение каждого характера по модулю равно единице. Во-вторых, произведение характеров является снова характером. В-третьих, обратная величина характера (характер в минус первой степени) есть снова характер []. 5. Ядро Дирихле Полагаем f L[, ). Применяем обозначения σ[f] = c k w k (x) k= для ряда Фурье функции f(x) по системе Уолша Пэли, а S n (f, x) = c k w k (x) для его частной суммы, где c k = c k [f] = f(x)w k (x) dx = n k= коэффициенты Фурье функции f(x) по системе Уолша Пэли. Свойство мультипликативности функций Уолша позволяет получить интегральное представление частной суммы n S n (f, x) = k= f(t)w k (t) dt w k (x) = n f(t) w k (t x) dt. Определение 5. Ядром Дирихле для системы Уолша Пэли назовем сумму первых слагаемых системы: n D n (t) = w k (t). k= k= Получим интегральное представление частной суммы S n (f, x) = f(t)d n (t x) dt, 5

16 которое согласно соотношению t x x = t и инвариантности интеграла относительно сдвига на x приводится к виду S n (f, x) = Из утверждения 3 вытекает, что D n (t) dt =. Если значение функции в точке представим в виде f(x) = f(t x)d n (t) dt. (9) (9), то получим отклонение частной суммы от функции: S n (f, x) f(x) = f(x)d n (t) dt и вычтем его из [f(x t) f(x)]d n (t) dt. () Двоичной сверткой функций f(x) и g(x) называется (f g)(x) = f(t x)g(t) dt = f(t)g(t x) dt. () Формулу (9) можно записать в виде S n (f) = f D n. Отметим основные свойства ядра Дирихле системы Уолша Пэли. Лемма 6. Если n = 2 m + k, где k < 2 m, то D n (x) = D 2 m (x) + w 2 m (x)d k (x). (2) Доказательство. В следующем представлении применим (5): D n (x) = 2 m s= n k w s (x) + w s (x) = D 2 m (x) + w 2 m (x) w l (x). s=2 m l= Лемма 7. Ядро Дирихле с номером 2 m выражается через функции Радемахера: D 2 m(x) = ( + r (x)) ( + r (x))... ( + r m (x)). Доказательство. Лемма 6 верна и при k = 2 m : 6

17 D 2 m(x) = D 2 m (x) + w 2 m (x)d 2 m (x) = ( + r m (x)) D 2 m (x). Повторяем это преобразование m раз. Из леммы 7 при подстановке значений функций Радемахера вытекает лемма Пэли. Лемма Пэли. Для ядра Дирихле имеем { 2 D 2 m(x) m, если x m = [, 2 m ), =, если x [2 m, ). Как продолжение и обобщение лемм 6, 7 и Пэли выступает следующая лемма. Лемма 8. Для любых s, m N, < k < 2 m и x [2 m, ) имеем D s2 m(x) = и D s2m +k(x) = w s2 m(x) D k (x). Существует другой способ доказательства леммы Пэли [7]. Лемма 9 (ядро Дирихле с четным номером). Для любого n N верно { 2D n (2x), если x [, /2), D 2n (x) =, если x [/2, ). Доказательство. Сгруппируем слагаемые и по лемме 5 получаем { n 2 n k= D 2n (x) = (w 2k (x) + w 2k+ (x)) = w k(2x), если x [, /2),, если x [/2, ). k= Следствие 2. Выполняется равенство { 2 k D n (2 k x), если x k D 2k n(x) =,, если x [/2 k, ), что при n = дает лемму Пэли. Лемма (ядро Дирихле с нечетным номером). Для любого n N верно 7

18 D 2n+ (x) = { D n (2x) + D n+ (2x), если x [, /2), w 2n (x), если x [/2, ). Доказательство. Значения ядер D n (x) и D n+ (x) в каждой точке x различаются на. Значит, по лемме 9 при x [, /2) значения D 2n (x) и D 2n+2 (x) различаются на 2 и, следовательно, D 2n+ (x) = 2 (D 2n(x) + D 2n+2 (x)) = D n (2x) + D n+ (2x). Если x [/2, ), то по лемме 9 получим D 2n+ (x) = D 2n (x) + w 2n (x) = w 2n (x). Введем понятие срезки числа n = k= n k 2 k (см. (2), где добавлены нулевые слагаемые): [n] i = n 2 + n n i 2 i, (3) двоичный код которой можно записать как i младших разрядов числа n: n i n i... n 2 n. Следующие свойства срезки очевидны: ) [n] i = n при i m, где 2 m n < 2 m ; 2) [n] i 2 i ; 3) 2[n] i = [2n] i ; 4) если n четное, то [n] i + [n + ] i = [2n + ] i. При доказательстве последних двух свойств используется следующее наблюдение. Переход от числа n, представленного в двоичной системе счисления, к числам 2n и 2n+ есть сдвиг на одну позицию всех разрядов и добавление в младшем разряде знака в случае 2n или добавление в младшем разряде знака в случае числа 2n +. Введем отклонения числа n (см. (2)) как минимум из двух чисел: Назовем его отклонением i-го ранга. < n > i = min ( [n] i, 2 i [n] i ). (4) 8

19 Замечание 2. Представление отклонения i-го ранга в виде i-значного двоичного числа содержит в i-м (старшем) разряде (первый пункт следующей леммы). Отклонение равно срезке, если в старшем разряде срезки стоит число (n i = ). Если же в старшем разряде срезки стоит число (n i = ), то двоичное представление отклонения получается из двоичного числа n i n i... n 2 n по известному в информатике правилу построения дополнительного кода: все разряды инвертируются и добавляется. Лемма (свойства отклонения).. Величина < n > i не превосходит 2 i. 2. Отклонение выражается через отклонение чисел предыдущей пачки предыдущего ранга, а именно: для четных чисел < 2n > i = 2 < n > i, для нечетных чисел < 2n+ > i =< n > i + < n+ > i. 3. Если 2 m n < 2 m, то < n > m = 2 m n и < n > i = n при i > m. Доказательство. Первое утверждение вытекает из (4). Второе утверждение для четных чисел очевидно по свойствам срезки: < 2n > i = min([2n] i, 2 i [2n] i ) = = min(2[n] i, 2(2 i [n] i )) = 2 < n > i. Докажем утверждение: [n] i +[n+] i = [2n+] i, если [n] i 2 i, которое установлено в случае четного n. Если n нечетное и [n] i 2 i, то обозначим k номер младшего нулевого разряда; то есть n = n 2 =... = n k =, n k = в (2) и k < i. Итак, в двоичной системе счисления числа [n] i и [n + ] i имеют вид n i... n k+... и n i... n k+... соответственно. Старшие разряды чисел одинаковые. Поэтому их сложение соответствует умножению на два, которое осуществляется сдвигом вправо на разряд и добавлением в конце знака. Младшие разряды все различны и при простом сложении дадут в каждом разряде. То есть переход от числа [n] i к сумме можно осуществить по правилу: сдвинуть все разряды на одну позицию влево и поместить в образовавшемся младшем разряде. Так же осуществляется переход от числа [n] i к числу [2n+] i. Отсюда получаем второе утверждение для отклонений: если [n] i < < 2 i 2, то 9

20 < n > i + < n + > i = [n] i + [n + ] i =< 2n + > i ; если 2 i 2 [n] i < 2 i, то < n > i + < n + > i = (2 i [n] i ) + (2 i [n + ] i ) = = 2 i [2n + ] i =< 2n + > i ; если [n] i = 2 i, то непосредственным вычислением получаем < n > i =, < n + > i =, < 2n + > i =. При 2 m n < 2 m представим n = [n] m = 2 m + n и получим < n > m = 2 m [n] m = 2 m n. При i > m пункт 3 очевиден. Теорема 2 (явный вид модуля ядра Дирихле) [5]. x (, ) верно D n (x) =< n > k, Для любого где натуральное k определяется из условия x k = [ 2 k, 2 2 k ). Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по номеру k. Так как (, ) = m= m, то для любого x (, ) найдется натуральное k, равное рангу интервала с номером, содержащему x. При x = [ 2, ) по лемме 9 имеем D 2n(x) =, по лемме имеем D 2n+ (x) =, что соответствует D n (x) =< n >. База индукции доказана. Пусть известно, что D m (y) =< m > k при y k и k 2. Для произвольного x k имеем 2x k и D m(2x) =< m > k при всех m N. Применим это соотношение при m равном n и n +. Так как x k, то для четных номеров по лемме 9 получаем D 2n (x) = = 2 D n (2x) = 2 < n > k =< 2n > k ; а для нечетных номеров по леммам и (учитывая совпадение знаков ядер Дирихле): D 2n+ (x) = = D n (2x) + D n+ (2x) =< n > k + < n + > k =< 2n + > k. Следствие 3. (2) следующая: Явная формула L p -норм ядер Дирихле при n вида D n ( ) p p = D n (x) p dx = n p 2 m + m (< n > k ) p 2 k. k= Используя ортонормированность функций Уолша, отсюда выводим интересный (возможно новый) результат для чисел. 2

21 Следствие 4. Для любого n вида (2) в символах отклонения числа: n = n 2 2 m + m (< n > k ) 2 2 k. k= Например, 9 = 9 2 / /6 + /8 + /4 + /2. Определение 6. Мажорантой ядра Дирихле назовем функцию h(x) = 2 m при x m+, m N. (5) Из теоремы 2 по первому свойству отклонения (лемма ) заключаем, что функция h(x) на (, ) является точной (что вытекает из леммы Пэли) мажорантой ядра Дирихле D n (x) h(x). Вывод о поведении модуля ядра Дирихле. В любой фиксированной точке x (, ) значение модуля ядра Дирихле D n (x) как функция целочисленного аргумента n совершает периодические колебания (сначала растет, а потом убывает) с равномерной скоростью, равной от исходного положения (от функции e(x) ) до своей мажоранты (до функции h(x)) и обратно. Подтверждением сформулированного вывода служит следующая лемма. Лемма 2 (самоподобия системы Уолша). Если k < 2 m, то 2 m + k, если x m = [, 2 m ), D 2 m +k(x) = 2 m k, если x m = [2 m, 2 m+ ), w 2 m (x) D k (x), если x [2 m+, ). (6) Доказательство. Уточним значение ядра Дирихле, приведенное в лемме 6. Интервал m представим в виде m m и подставим значение функции Радемахера: w 2 m (x) = r m (x) = при x m и w 2 m (x) = r m (x) = при x m. Вычислим значение ядра с меньшим номером (ссылкой на лемму Пэли) D k (x) = k при x m и подставим во второе слагаемое. 2

22 6. Константы Лебега Определение 7. Интеграл от модуля ядра Дирихле L n = D n (x) dx называется константой Лебега для системы Уолша Пэли. Утверждение 7. Если n = 2 m + k, где < k < 2 m, то L n = Доказательство. Из леммы 2 L n = (2 m + k) dx + (2 m k) dx + m Добавим и вычтем число m L n = (2 m + k)2 m + (2 m k)2 m k + k 2 m + L k. (7) 2 m+ D k (x) dx. k 2 m, добавляя его в виде m k dx. Получим 2 m + m k dx + Так как D k (x) = k при x m, то получим (7). 2 m+ D k (x) dx. Хотя эту формулу доказали при < k < 2 m, она верна при всех k 2 m, что доказывается ссылкой на лемму Пэли. Формулы для вычисления констант Лебега получил Н. Я. Файн [2]. Предложим новые их доказательства. Утверждение 8. Для номера n, записанного в виде (4), справедлива формула Файна для констант Лебега [2] L n = ν 2 ε i ε j. (8) i<j ν Доказательство. Используем метод математической индукции по длине записи числа. База индукции L 2 n = вытекает из леммы Пэли, а по формуле (7) получается при k =. В частности, L = L 2 =. Полагаем справедливость формулы (8) для k = n 2 ε ν = n 2m (то есть для числа k длины ν ): 22

23 L k = (ν ) 2 ε i ε j. i<j ν По формуле (7) ν L n = 2 ε l ε ν + (ν ) 2 ε i ε j = ν 2 ε i ε j. l= i<j ν i<j ν Из (8) Файн выводит [2] следующее утверждение. Утверждение 9. Справедливы рекуррентные соотношения L 2n = L n, L 2n+ = 2 (L n + L n+ + ). (9) Доказательство. Как следствие леммы 9 получаем L 2n = D 2n (x) dx = /2 2 D n (2x) dx = D n (x) dx = L n. В случае нечетного номера применим лемму и утверждение о том, что в одной и той же точке 2x величины D n и D n+, различающиеся на, не могут принимать значения с противоположными знаками: L 2n+ = /2 = D n (2x) + D n+ (2x) dx + /2 D n (2x) dx + /2 /2 w 2n (x) dx = D n+ (2x) dx + /2 dx = = 2 L n + 2 L n В следствии 3 при p = приведена еще одна явная формула для констант Лебега. Из сформулированного в предыдущем пункте работы вывода о поведении модуля ядра Дирихле вытекает лемма 3. Лемма 3 (симметрии [3]). Константы Лебега симметричны внутри пачки: L 2 n +k = L 2n k для всех k < 2 n. 23

24 Лемму симметрии также легко доказать методом математической индукции через рекуррентные соотношения Файна. Файн ввел функцию f(n) = log 2 3n, которую назвал почти-мажорантой констант Лебега [2]. Обозначим вслед за Файном e(n) = L n f(n) отклонение констант Лебега от своей почти-мажоранты. В [4] доказана следующая теорема о константах Лебега. Теорема 3. Во всех точках, кроме точек t 2m = m, константы Лебега меньше f(n) = log 2 3n. То есть e(n) < при n t 2m. В отмеченных точках отклонение от функции f(n) мало: < e(t 2m ) < 4 m < (t 2m ). Данная теорема служит уточнением и во многом повторяет доказательство теоремы Радемахера Файна, в которой утверждается, что lim e(n) =. Файн указал, что этот результат был получен Радемахером n в 92 году, но не опубликован. При этом сам Файн предложил более короткое, по его словам, доказательство [2]. Однако в нем присутствует небольшая неточность, которая устранена в [4]. 7. Ряд Фурье по системе Уолша Обозначим Λ n класс 2 n -ступенчатых функций. Полагаем f Λ n, если f(x) постоянна на каждом интервале n-го ранга k n = [ k 2 ; k+ n 2 ), n k =,,..., 2 n. Символом m (x) обозначим интервал m-го ранга, где содержится x. Лемма 4. Частная сумма с номером 2 m в любой точке x [, ) равна среднему значению функции на интервале m-го ранга, содержащем x; то есть S 2 m(f, x) = 2 m f(t) dt. m (x) Если f Λ m и k 2 m, то S k (f) f. 24

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл.

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Е. В. Щепин октябрь декабрь 2 года Оглавление Интегральная формула Коши................... 2 2 Особые точки и вычеты....................... 2. Топология плоскости.....................

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА В. А. Шарафутдинов В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие без края. Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

Ветвящиеся процессы и их применения

Ветвящиеся процессы и их применения Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 8 Издание выходит с 26 года В. А. Ватутин Ветвящиеся процессы и их применения Москва 28 УДК 519.218.23 ББК

Подробнее

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Утверждено научно-методическим советом физического факультета

Подробнее

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин С. А.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин С. А. АКАДЕМИЯ НАУК СССР Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин С. А. Чуканов НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ в оптимальном управлении Ответственный

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный проект «Образование» Инновационная образовательная программа ННГУ. Образовательно-научный

Подробнее

1 Общий обзор теории алгоритмов

1 Общий обзор теории алгоритмов 1 Общий обзор теории алгоритмов Уже на самых ранних этапах развития математики (Древний Египет, Вавилон, Греция) в ней стали возникать различные вычислительные процессы чисто механического характера; с

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ И ИННОВАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС "НОВЫЕ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И НАНОТЕХ- НОЛОГИИ"

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень 1990 г. январь февраль т. 45, вып. 1 (271) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 517.11 МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

Принятие решений при многих критериях

Принятие решений при многих критериях ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ- ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Принятие решений при многих критериях Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2007 УДК 658.012.41 В.Д. Ногин.

Подробнее

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Курс лекций для организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Курс лекций для организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный педагогический университет»

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Тензорное исчисление для «чайников»

Тензорное исчисление для «чайников» Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для «чайников» - Инварианты Понятие тензора Вектор Компоненты вектора4 Матричное представление4 Переход к другим координатам4 Длина вектора в прямоугольных координатах5

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II Управление при случайных возмущениях Оптимальные линейные системы КЮ Поляков Санкт-Петербург 9 КЮ Поляков, 9 «В ВУЗе нужно излагать материал на

Подробнее

Представления групп и их применение в физике Функции Грина

Представления групп и их применение в физике Функции Грина Представления групп и их применение в физике Функции Грина Д.А.Шапиро кафедра теоретической физики НГУ Конспект лекций по математическим методам физики Часть II 21 января 2004 г. Оглавление 1 Симметрии

Подробнее

Задача 21 на ЕГЭ по математике

Задача 21 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задача 21 на ЕГЭ по математике Здесь приведены задачи 21 (в прошлом С6), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО

Подробнее

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Институт проблем информатики Академии наук Республики Татарстан Казанский государственный технологический университет И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Казань Отечество 2001

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее