ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания для студентов всех специальностей заочной формы обучения НОВОСИБИРСК 1999

2 Методические указания разработаны и.о. доцента И.А. Бертиком, ст. преподавателем Т.В. Вахромеевой Утверждены методической комиссией ВиЗО 30 марта 1999 г. Рецензент: - М.С. Сопла, к.ф -м.н. доцент (НГАСУ); Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, 1999

3 Глава I Определители 1. Определители второго и третьего порядка Определение. Квадратной матрицей второго порядка называется таблица чисел вида: Определение. Определителем квадратной матрицы второго порядка (определителем второго порядка) называется число, определяемое равенством: Определение. Квадратной матрицей третьего порядка называется таблица чисел вида: Определение. Определителем квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называется число, определяемое равенством: Если в последнем равенстве вычислить все определители второго порядка, то получится следующее равенство: Чтобы запомнить, какие произведения со знаком плюс, какие со знаком минус, можно пользоваться правилом треугольников (рис. 1).

4 Пример: Вычислить определитель двумя способами: по определению и с помощью правила треугольников. 2. Свойства определителей второго и третьего порядка 1. Если матрицу транспонировать, т.е. строки и столбцы с одинаковыми номерами поменять местами, то от этого определитель матрицы не изменится: a a a a a a a a a = a a a a a a 2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 3. Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю a a a

5 4. Если элементы строки (столбца) матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. 5. Если элементы строки (столбца) матрицы равны нулю, то определитель матрицы равен нулю. 6. Определитель матрицы не изменится, если к элементам строки (столбца) матрицы прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель, например: 3. Разложение определителя по элементам строки (столбца) Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: Определение. Минором элемента a ij матрицы называется определитель матрицы, полученной из данной в результате вычеркивания i-й строки и j-ro столбца. Пример: Для данной матрицы Определение. Алгебраическим дополнением элемента a ij матрицы называется число, определяемое равенством: Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения. Например для данного определителя: Равенство (3.1) называется разложением определителя по элементам второй строки. Аналогично можно записать два разложения по элементам первой и третьей строк и три разложения по элементам первого, второго и третьего столбцов.

6 Решение. Здесь удобно произвести разложение по элементам третьего столбца: Таким образом, при вычислении определителя целесообразно производить разложение по тем строкам (столбцам), которые имеют наибольшее количество нулей. 4. Понятие об определителях четвертого порядка Определение. Определителем квадратной матрицы четвертого порядка (определителем четвертого порядка) называется число, определяемое равенством Вычислять определители четвертого порядка с помощью определения не рационально, так как нужно вычислить четыре определителя третьего порядка. Определители четвертого порядка обладают всеми свойствами определителей третьего порядка, включая теорему о разложении определителя по элементам строки (столбца). Поэтому, используя свойство 6 2, матрицу нужно преобразовать так, чтобы ее строка (столбец) имела три нуля, затем произвести разложение определителя по этой строке (столбцу). Пример. Вычислить определитель Решение:

7 Второй определитель четвертого порядка получен из первого в результате вычитания первого столбца из второго, третьего, четвертого столбцов; затем определитель четвертого порядка разложен по элементам четвертой строки; определитель третьего порядка можно вычислить либо по определению, либо по правилу треугольников. Можно ввести понятие определителя n-го порядка, если известно понятие определителя n-1 порядка. Определители n-го порядка обладают всеми свойствами определителей 3- го порядка. Глава II Алгебра матриц 1 Общее понятие матрицы Определение. Множество действительных чисел, записанных в виде таблицы, состоящей из m строк и n столбцов: называется прямоугольной матрицей с размерами га -п. Коротко матрицу обозначают так: ( a ), ( i = l, m; j : l n) A = ij, Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной и число ее строк (столбцов) называется порядком квадратной матрицы. Ранее были рассмотрены квадратные матрицы 2-го, 3-го и 4-го порядка. Пример: Здесь А - прямоугольная матрица размерами 2x3, В - матрица столбец размерами 3x1. Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое количество соответственно строк и столбцов и элементы матрицы, стоящие на одном и том же месте равны. 2. Линейные операции над матрицами Определение. Суммой двух матриц А=(а ij ) и B=(b jj ) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется новая матрица C=(c jj ), элементы которой определятся равенством: a ij + b ij = c ij,( i = l, m ; j = l, n )

8 Сумма матриц обозначается А+В=С. Пример. Аналогично определяется разность матриц. Определение. Произведением числа (λ) на матрицу A=(a jj ) называется новая матрица C=(c jj ), элементы которой определятся равенством: Произведение числа на матрицу обозначается ША=С. Пример: 3.Умножение матриц Пусть даны две квадратные матрицы А=(а ij ) и B=(b jj ) одного и того же порядка n: i = l, n; j = l, n Определение. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица C=(c ij ), элементы которой вычисляются по следующей формуле: т.е. элемент, стоящий в i-й строке и j-ом столбце матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ro столбца матрицы В. Произведение матриц обозначается АВ. Пример. Найти АВ и ВА. Решение. Таким образом, АВ не равно ВА, т.е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону. Можно умножать и прямоугольные матрицы, но в этом случае число столбцов множимого должно равняться числу строк множителя. Пример:

9 Определение. Квадратная матрица вида называется единичной матрицей n-го порядка. Для любой квадратной матрицы А справедливо равенство: АЕ = ЕА = А, т.е. при умножении матриц единичная матрица играет такую же роль, как и единица при умножении чисел. Для любых матриц А, В, С и любых чисел (α) и (β) справедливы следующие свойства: 1.А + В = В + А. 2.(А + В) + С = А + (В + С). 3. α (А + В) = α А + α В. 4.( α + β)а = α А + β А. 5. (А В)С = А(В С). 6.А(В + С) = АВ + АС. 4. Обратная матрица Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Пусть дана невырожденная матрица: Определение. Матрицей обратной матрице А называется матрица, обозначаемая символом А и обладающая следующим свойством: Теорема. Невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу, элементы которой вычисляются по следующей формуле

10 Пример. Найти матрицу обратную матрице Решение. Найдем сначала определитель матрицы: Следовательно, матрица невырожденная и значит имеет обратную. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы: Глава III Системы линейных уравнений. 1. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными: (1.1)

11 Определение. Решением системы называется упорядоченная тройка чисел (x 1, x 2, x 3 ), которая обращает каждое из уравнений системы в верное числовое равенство. С данной системой свяжем четыре определителя: Δ- называется главным определителем системы. Теорема. Если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам Крамера: Аналогичные формулы справедливы для системы любого порядка. Пример. Решить систему: Замечание. Если Δ=0, то систему по формулам Крамера решать нельзя, смотрите ниже метод Гаусса. 2. Матричная запись и матричное решение системы линейных уравнений С системой (1.1) 1 свяжем три матрицы:

12 Применяя правило умножения матриц, систему можно записать в матричной формуле: Если матрица А невыраженная, то матрицу столбец X из неизвестных можно найти по формуле: (2.1) Решение 1 называется матричным решением системы. Пример. Решить систему матричным способом: Решение. Запишем систему в матричном виде 3. Ранг матрицы Пусть дана матрица прямоугольная

13 Выделим в данной матрице произвольные К строк и К столбцов. Элементы, стоящие на пересечении К строк и К столбцов, образуют квадратную матрицу порядка К. Минором К-го порядка матрица А называется определитель квадратной матрицы, получающаяся из данной матрицы вычислением произвольных К строк и К столбцов. Например: для матрицы А Одним из миноров 2-го порядка является определитель Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры 1-го порядка. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора згой матрицы, т.е. если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор r-го порядка, отличный от нуля, в то время как все ее миноры порядка r+1 и выше равны нулю. Ранг матрицы А обозначают r(а). Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к возможно более простому виду с помощью элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1. Перестановка двух строк (столбцов). 2. Умножение всех элементов строки (столбца) на любое число С Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. 4. Удаление нулевой строки (столбца). Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется. Теорема. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к трапецевидному виду: Причем ранг трапецевидной матрицы равен r, а значит и ранг исходной матрицы равен r.

14 Пример. Найти ранг матрицы: Решение. Приведем данную матрицу к трапецевидному виду с помощью элементарных преобразований. Здесь знак (~) означает, что матрицы имеют один и тот же ранг. Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, r(а)=2. Последовательность элементарных преобразований такова: в данной матрице переставлены местами 1-й и 3-й столбцы; во 2-й матрице первая строка оставлена без изменения, затем ко второй строке прибавлена первая и из третьей строки вычтена первая, умноженная на пять; в 3-й матрице первая и вторая строки оставлены без изменения и к 3-й строке прибавлена 2-я, умноженная на 3; в 4-й матрице удалена нулевая строка. 4. Решение произвольных систем линейных уравнений методом Гаусса Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными: Определение. Решением системы называется упорядоченное множество чисел (хь х 2... х ) которое обращает каждое из уравнений системы в верное числовое равенство. Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение называется совместной. Решение системы методом Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме. Выпишем расширенную матрицу системы

15 Затем над строками и столбцами матрицы производят элементарные преобразования. Разрешается производить следующие элементарные преобразования строк расширенной матрицы: изменять порядок строк (что соответствует изменению порядка уравнений); умножать строки на любые, не равные нулю, числа (что соответствует умножению уравнений на эти числа); прибавлять к любой строке матрицы любую другую строку, умноженную на любое число (что соответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на это число). Допускается также перестановка столбцов, стоящих до черты. С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной данной. При этом стараются привести расширенную матрицу к возможно более простому виду, из которого легко найти решение системы. Причем указанные элементарные преобразования не меняют как ранг расширенной матрицы, так и ранг матрицы системы. Пример. Решить систему методом Гаусса: x1 2x1 3x1 2x 3x 2 4x x 7x 5x = 2 = 7 = 6 Будем преобразовывать расширенную матрицу системы (4.1) Первый шаг: в этой матрице первую строку оставляем без изменения и из 2-й строки вычитаем первую строку, умноженную на 2, а из 3-й строки вычитаем первую строку умноженную на 3 получаем 2-ю матрицу. Второй шаг: во 2-й матрице 1-ю и 2- ю строки оставляем без изменения и из 3-й строки вычитаем 2-ю, умноженную на 2. Элементы матрицы, с помощью которых получены нули, называются ведующими (взяты в рамочку). От последней расширенной матрицы перейдем к системе: (4.2)

16 Из системы (4.2) легко найти неизвестные: находим x 3 = 1 из третьего уравнения, затем x 3 = 2 из второго уравнения и x 1 = 3 из первого уравнения. Система (4.2) равносильна данной системе (1), следовательно, данная система имеет единственное решение (3;2;1). Заметим, что расширенная матрица данной системы привелась к треугольному виду и ранг системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен 3. Пример. Решить систему: (4.3) Нулевую строку можно удалить, то есть ей соответствует уравнение 0x 1 + 0х 2 + 0х 3 + 0x 4 = 0, имеющее решение при любых x 1, x 2, x 3, x 4. От расширенной матрицы перейдем к системе x1 + 2x2 3x3 + x4 = 4 x2 + 7x3 + 4x4 = 7 (4.4) которая равносильна данной системе (4.3). Из второго уравнения системы (4.4) выразим х 2 : х 2 = 7 + 7x 3 + 4x 4. Выражение для x 2 подставим в первое уравнение и найдем x 1 = -10x 11x 3 9x 4. Совокупность выражений: x 1 = x 3 9x 4 x 2 = 7 + 7x 3 + 4х 4 называется общим решением системы, общее решение охватывает все решения системы, неизвестные x 3, x 4 называются свободными, они могут принимать любые значения. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Заметим, что в данном случае матрица системы привелась к трапецевидному виду и ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Пример. Решить систему:

17 Следовательно, система несовместна, так как равносильная ей система содержит уравнение: 0 x 1 +0 x 2 +0 x 3 +0 x 4 =14, Здесь ранг матрицы системы равен двум, а ранг расширенной матрицы равен трем. 5. Критерий совместности системы линейных уравнений Теорема Кронеке Капели. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Теорема. Если система линейных уравнений приводится к равносильной системе следующего вида (ранг матрицы системы равен числу неизвестных): c11x1 + c12x c1 n xn = d1 c22x c2n xn = d cnn xn = d n С ii 0, то система имеет единственное решение. Теорема. Если система линейных уравнений приводится к равносильной системе следующего вида (ранг матрицы системы r меньше числа неизвестных): c11x c c x x c + c c 1r 2r rr x x x r r r c c 1n 2n c 2n x n n n = d x = d x = d n С ii 0, то система имеет бесконечное множество решений, x r+1, х r+2,..x n.

18 5. Однородные системы линейных уравнений Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если правые части уравнений системы равны нулю. Однородная система всегда имеет нулевое решение (0;0;0... 0), то есть всегда совместна. Представляет интерес выяснить, при каких условиях однородная система имеет ненулевые решения. Теорема. Для того, чтобы однородная система имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных. Пусть дана однородная система, у которой число уравнений равно числу неизвестных: (6.1) Теорема. Для того, чтобы однородная система (6.1) имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был и равнялся нулю: Глава IV Линейные пространства 1. Понятие линейного пространства Определение. Множество Z называется линейным пространством, а его элементы векторами, если: а) задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам x и y из Z сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначается x + y ; б) задан закон (операция умножения на число), по которому элементу x из Z и числу α сопоставляется элемент из Z, называемый произведением x

19 на α и обозначается α u ; в) для любых элементов x, y, z из Z и любых чисел α и β выполнены следующие требования (аксиомы): 1. x + y = y + x 2. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 3. Существует элемент 0 такой, что для каждого x из Z выполнено равенство x + 0 = x 4. Для каждого x уществует элемент x такой, что x + ( - x )= α( x + y ) = α x + α y. 6. (α + β) х = α x + β x. 7. α (β x ) =( α β) x x = x. Примеры линейных пространств: 1. Множество свободных векторов геометрического пространства которые складываются и умножаются на число по обычным правилам векторной алгебры. 2. Множество всех многочленов степени не выше второй, которые складываются и умножаются на число по обычным правилам алгебры. 3. Множество упорядоченных наборов чисел (строк) x = (x 1, x 2,, x n ), если действия над строками определяются следующим образом: x + y = (x 1, x 2, x n ) + (y 1, y 2, y n ), = (x 1 +y 1, x 2 +y 2, x n +y n ). α x = α (x 1, x 2, x n ) = (αx 1, αx 2, αx n ). Данное линейное пространство строк обозначим R n. 2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства Определение. Векторы ( x 1, x 2, x m ) называются линейно«зависимыми, если существуют такие числа α 1, α 2, α m, из которых хотя бы одно не равно нулю, что α 1 x 1 +α 2 x α m x n = 0. Определение. Векторы ( x 1, x 2, x m ) называются линейно независимыми, если равенство α 1 x 1 +α 2 x α m x m = 0 возможно только при α 1 = α 2 = α m = 0. Определение. Если вектор x, выражается через векторы x 1, x 2, x 3 в виде x = α 1 x 1 +α 2 x α s x s, то вектор x называется линейной комбинацией векторов x 1, x 2, x s Теорема. Векторы x 1, x 2, x m линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Пусть даны га векторов пространства R n :

20 x 1 =( x 11, x 12, x 1n ),, x m =( x m1, x m2, x mm ). Необходимо выяснить, при каких условиях данные m векторов линейно зависимы или линейно независимы. Рассмотрим векторное равенство: α 1 (x 11, x 12, x 1n ) + α 2 (x 21, x 22, x 2n ) + + α m (x m1, x m2, x mn ) = (0; 0; 0...0). Векторное равенство равносильно системы уравнений: Если данная однородная система имеет только нулевое α 1 = α 2 = α m = 0, то векторы линейно независимы. Если система имеет ненулевое решение, то векторы линейно зависимы. Пример. Исследовать на линейную зависимость векторы x 1 =(1;2;3;4;1), x 2 =(2;-1;1;2;3), x 3 =(3;1;4;6;4) Решение: α 1 (1;2;3;4;1) + α 2 (2;-1;1;2;3) + α 3 (3;1;4;6;4) = (0;0;0;0;0) Систему решаем методом Гаусса. Система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Следовательно, векторы линейно зависимы. 3. Ранг и базис системы векторов Пусть дана система m векторов линейного пространства x 1 =( x 11, x 12, x 1n ), x 2 =( x 21, x 22, x 2n ), x m =( x m1, x m2, x mm ). Определение. Базисом системы векторов называется такая ее подсистема, которая обладает следующими свойствами: 1) эта подсистема линейно независима;

21 2) любой вектор всей системы является линейной комбинацией векторов указанной подсистемы. Из координат векторов составим матрицу: Определение. Неравный нулю минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором. Теорема. Строки матрицы, пересекающие матрицу базисного минора, образуют базис данной системы строк (векторов). Пример. Найти любой базис системы векторов: x 1 =(1;2;3;4;1), x 2 =(2;-1;1;2;3), x 3 =(3;1;4;6;4). Разложить x 3 по этому базису. Решение. Найдем ранг матрицы 1 2 Следовательно, ранг данной матрицы равен 2. Минор 2 1 не равен 0, следовательно, он будет базисным и строки пересекающие матрицу данного минора x 1 =(1;2;3;4;1), x 2 =(2;-1;1;2;3) образуют базис данной системы векторов. Найдем разложение x 3 по базису (3;1;4;6;4) = α 1 (1;2;3;4;1) + α 2 (2;-1;1;2;3). Откуда следует α 1 = 1; α 2 = 1. Следует заметить, что базис также образуют пары векторов ( а 2, а 3 ), ( а 1, а 3 ). 4. Размерность и базис линейного пространства Определение. Базисом линейного пространства называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами: а) она линейно независима; б) каждый вектор линейного пространства является линейной комбинацией векторов этой системы. Определение. Линейное пространство, в котором базис состоит из п векторов, называется n-мерным. Пусть e 1, e 2,... e n базис линейного пространства, тогда для любого вектора х пространства справедливо равенство: x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n ), причем числа x 1, x 2,...х n - определяются однозначно и называются координатами вектора, при этом пишут x 1 =( x 1, x 2, x n ).

22 При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении векторов на число все его координаты умножаются на это число. Теорема. В пространстве Rn любые n-линейно независимы от векторов, образуют базис. Теорема. n - векторов пространства Rn x 1 =(x 11, x 12, x 1n ), x 2 =(x 21, x 22, x 2n )... x n =(x n1 x nn ) линейно независимы, то есть образуют базис тогда и только тогда, когда Пример. Доказать, что векторы x 1 ={1;-1;2;2), x 2 =(1;-2;3;2), x 3 = (4;-1;5;15), x 4 =(6;- 8;7;9) образуют базис в линейном пространстве R 4. Разложить вектор x = (-4; 15;-5; 12) по базису. Решение. следовательно, данные векторы линейно независимы и образуют базис. Разложим x по базису: (-4;15;-5;12) = α 1 (1;-1;2;2) + α 2 (1; -2;3;2) + α 3 (4 ;-1;5;15)+ α 4 (6;-8;7;9). Векторное равенство равносильно системе: Система имеет единственное решение α 1 = 1; α 2 = -1; α 3 = 2; α 4 = -2. Таким образом, x = x 1 - x x 3 - x Преобразование координат при изменении базиса Пусть в n- мерном линейном пространстве даны два базиса e 1, e 2, e n и e 1, e 2, e n. Первый базис назовем старым, а второй - новым. Каждый элемент нового базиса можно разложить по старому базису

23 Матрица, составленная из коэффициентов разложения: называется матрицей перехода от базиса e 1, e 2, e n к базису e 1, e 2, e n. Определитель матрицы А не равен нулю. Пусть координаты вектора x в старом базисе: x = (x 1, x 2,... х n ), а в новом базисе: x = (x 1, x 2,... х n ). Тогда старые координаты выражаются через новые по следующей форме: а новые через старые: 6. Подпространство линейного пространства Подпространство решений однородной системы линейных уравнений. Определение. Множество Z векторов линейного пространства Z называется линейным подпространством если: а) сумма любых векторов из Z принадлежит Z; б) произведение любого числа на вектор из Z также принадлежит Z. Пусть дана однородная система, имеющая бесконечное множество решений: Каждое решение системы (x 1, x 2,... х n ) является вектором пространства R n. Легко проверить, что множество всех решений данной системы образует подпространство в R n.

24 Теорема. Размерность подпространства решений однородной системы линейных уравнений равна n-r, если n - число неизвестных, r - ранг матрицы системы. Определение. Базис подпространства решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Базис подпространства решений можно построить по следующему алгоритму: 1. Приводим систему к равносильной методом Гаусса: где r - ранг матрицы системы (r < n). 2. Выразим неизвестные x 1, x 2,... х r через свободные неизвестные x r+2, x n (свободных неизвестных n-ч). (6.2) 3. Будем придавать свободным неизвестным значения, которые являются строками единичной матрицы порядка n-r: и вычисляя x 1, x 2,... х r по формулам (6.2) получим n-r решений однородной системы: а 1 = (d 11, d 21...d r1, 1,0,0 0) а 2 = (d 12, d 22...d r2, 0,l,0...0).. a n-r = (d 1,n-r, d 2,n-r d 2,n-r, 0,0 1) Построенные n-r решений однородной системы образуют базис линейного подпространства решений. Пример. Дана однородная система: x1 + 2x2 5x3 3x4 = 0 2x1 + 5x2 6x3 x4 = 0 5x1 + 12x2 17x3 + x4 = 0 Найти базис подпространства решений и выразить любое решение через базис. Применяя метод Гаусса, находим общее решение

25 x1 = 13х3-17x4 х2 = -4х3 + 7х4 (6.3) Будем придавать свободным неизвестным значения, которые являются строками единичной матрицы Вычисляя x 1, x 1 по формулам (6.3), найдем решения, образующие базис: а 1 =(13;-4;1;0); а 2 = (-17;7;0;1) Любое решение системы раскладывается по базису: (13х 3-17х 4 ; -4x 3 +7x 4 ; х 3 ;х 4 )=х 3 (13;-4;1;0)+ x 4 (-17;7;0;1) 7. Евклидовы пространства 7.1. Понятие Евклидова пространства Определение. Говорят, что в линейном пространству задано скалярное произведение векторов, если каждой паре векторов x, y пространства поставлено в соответствии число, обозначаемое символом х у и обладающее свойствами: 1. x + y = y + x 2. (α x ) y = α ( x y ) для любого числа α 3. ( x + y ) z = x z + y z 4. x x 0, из равенства x x = 0, следовательно, x = 0 Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям (1-4) называется евклидовым. Примеры евклидовых пространств: 1. Множество векторов обычного геометрического пространства, в котором скалярное произведение определено как произведение модулей векторов на косинус угла между ними. 2. Множество функций непрерывных на отрезке [а; в], где скалярное произведение функций f(x) и φ(х), определено формулой: b ( f, ϕ) = a ( f ) x ϕ( x) dx, (f, φ) - обозначение скалярного произведения функций; свойства (1-4) вытекают из свойств определенных интегралов. число 7.2. Длина вектора, угол между векторами Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется x = x x Определение. Нормировать вектор x, значит построить новый вектор e единичной длины по следующей формуле Определение. Углом между векторами x и y называется число

26 Определение. Векторы x и y называются ортогональными, если угол между ними равен /2, т.е. x y = Ортогональный базис в евклидовом пространстве. Скалярное произведение в координатах Определение. Базис e 1, e 2,. e n евклидова пространства называется ор тогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, если кроме того, все векторы базиса имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным. Теорема. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства является линейно независимой. Теорема. В евклидовом, пространстве существует ортонормированный базис. Теорема. Скалярное произведение векторов, заданных координатами от носительно некоторого ортонормированного базиса x =(х 1, x 2,... х n ); y =( y 1, y 2,... y n ) вычисляется по формуле: x y = х 1 y 1 + х 2 у x n у n Следствие. Длина вектора х = (х 1, x 2,... x n ) вычисляется по формуле: Пример. Найти угол между векторами: x = (1 ;-1 ;1 ;1); y = (-] ;-1 ;0;1) (базис ортонормированный). Решение. x y = 1 (-1)+(-1) (-1) = Построение системы ортогональных векторов с помощью процесса ортогонализацни Пусть дана система f 1, f 2, f m линейно независимых векторов, которая не ортогональна. Тpe6yeтcя из данной системы построить систему ортогональных векторов g 1, g 2, g m. Построение осуществляется по следующему алгоритму (который называется процессом ортогонализации). 1. Положим g 1= f Вектор g 2 ищем в виде: Число α 1 выбирают из условия: g 1 g 2 = 0, следовательно, (7.1) 3. Вектор g 3 ищем в виде:

27 g 3 = f 3 + β 1 g 1 + β 2 g 2 Числа β 1 и β 2 выбирают из условия: g 3 g 1 =0, g 3 g 2 =0, следовательно, Продолжая указанный процесс, за конечное число шагов строим ортого нальную систему g 1, g 2.g m. Если ортогональную систему нормировать, то получим ортонормированную систему. Пример. В пространстве R 3 дан базис: f 1 = (l;l;l), f 2 = (2;l;l), f 3 = (l;l;3). С помощью процессу ортогонализации нужно построить новый ортонормированный базис e 1, e 2, e 3. Решение. Сначала построим ортогональный базис g 1, g 2, g g 1 = f 1= (1;1;1) 2. g 2 = f 2+ α 1 g 1, (не по формуле (1)). α 1 = - 4/3, следовательно, g 2 = f 2-4/3 g 1, = (2/3;-l/3; -1/3). 3. g 3 = f 3 + β 1 g 1 + β 2 g 2, (не по формулам (2)): β 1 = -5/3; β 2 = 1, следовательно, g 3 = f 3-5/3 g 1 + g 2. g 3 = (0;-l;l). Векторы g 1, g 2, g 3 нормируем; Глава V Линейное преобразование линейных пространств 1. Понятие линейного преобразования. Матрица линейного преобразования. Умножение линейных преобразований. Изменений матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису Говорят, что в линейном пространстве Z задано преобразование А, если каждому вектору x Є Z поставлен в соответствие определенный вектор x Є Z. Образ x вектора x обозначим А( x ).

28 Определение. Преобразование А линейного пространства Z называется линейным, если для любых векторов x и y и любого числа α выполнены равенства: А(х+у) = А(х) + А(у), А(а х) = α А(х). Пример. Посмотрим обычное геометрическое пространство. Каждому радиусу вектору x поставим в соответствие вектор x, который является проекцией x на координатную плоскость xoy (рис. 2) Рис.2 Z Данное соответствие является линейным преобразованием, так как проекция суммы векторов равна сумме проекций, а при умножении вектора на число его проекция умножается на это число. Пусть в линейном пространстве задан некоторый базис: e 1, e 2,. e n Найдем образы данных векторов и разложим их по указанному базису: А( e 1 ) = e 1 = a 11 e 1 + a 21 e a n1 e n А( e 2 ) = e 2 = a 12 e 1 + a 22 e a n2 e n А( e n ) = e n = a 1n e 1 + a 2n e a nn e n Определение. Матрица А называется матрицей линейного преобразования. Определитель, указанной матрицы может, в частности, быть равным нулю, так как образцы векторов базиса могут и не образовывать базиса. Теорема. Если дан вектор x = (x l, x 2,... х n ), то координаты вектора х = (xi,х2,...х ), вычисляются по формулам: x 1 = a 11 x 1 + а 21 х а 1n х n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x а 1n х n. x n = а 21 x 1 + a 22 x а 2n х n то есть координаты образа являются линейными однородными функциями переменных x 1, x 2,...x n.

29 Теорема. Каждому линейному преобразованию в некотором базисе соответствует определенная матрица и обратно каждой матрице однозначно отвечает линейное преобразование. Пример. Найти матрицу линейного преобразования - проектирования вектора на плоскость х о у (рис.1) А( e 1 )=1 e e e 3 А( e 2 )=0 e e e 3 А( e 3 )=0 e e e 3 и искомая матрица имеет: Определение. Произведением АВ - линейных преобразований А и В называется линейное преобразование С, которое определяется следующим образом: С (х) = А (В (х)). Таким образом, умножение линейных преобразований состоит в последовательном их выполнении. Матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований, то есть умножение линейных преобразований не обладает переместительным законом. Матрица линейного преобразования зависит от выбора базиса. Пусть даны два базиса e 1, e 2,. e n ; e 1, e 2, e 3,. e n Теорема. Пусть А - матрица линейного преобразования в первом базисе; В - матрица линейного преобразования во втором базисе; С - матрица перехода от первого базиса ко второму, тогда В = С -1 А С. Пример. В базисе e 1, e 2 преобразование А имеет матрицу Найти матрицу преобразование в базисе. e 1 = e e 2 ; e 2 = 2 e e 2. Решение. Матрица перехода хода:, матрица, обратная матрице пере- тогда 2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 1. Основные понятиями определения Определение. Вектор x 0 называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число λ, что А( x ) = λ x ; это чис-

30 ло λ называется соответствующим вектору x собственным значением линейного преобразования. Замечание. Если x собственный вектор, то α x также будет собственным при любых α. Пусть дана матрица линейного преобразования в некотором базисе: Теорема. Все собственные значения линейного преобразования являются корнями характеристического уравнения А координаты собственного вектора x = (x 1, x 2,... х n ), собственные значения которого λ являются ненулевыми решениями однородной системы линейных уравнений Особенно простой вид принимает матрица линейного преобразования n -мерного линейного пространства, когда линейное преобразование имеет n линейно независимых собственных векторов. В этом случае собственные векторы можно принять за базис и матрица линейного преобразования в этом базисе имеет вид Такая матрица называется диагональной, по диагонали стоят собственные значения линейного преобразования. Однако далеко не каждое линейное преобразование в n-мерном линейном пространстве имеет n - линейно независимых собственных векторов. 3. Симметрические линейные преобразования евклидовых пространств Ниже будет рассматриваться трехмерное евклидово пространство с ортонормированным базисом e 1, e 2, e 3.

31 Определение. Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве называется симметрическим, если для любых двух векторов x, y пространства выполняется равенство: А(х) у = х А (у) Теорема. Матрица симметричного линейного преобразования в любом ортонормированием базисе будет симметричной. где a 12 = a 21, a 13 = a 31, a 23 = a 32. Теорема. Все корни характеристического урэвнения симметрического линейного преобразования действительны. Теорема. Собственные векторы симметрического линейного преобразования, соответствующие различны м собственным значениям, ортогональны между собой. Теорема. Симметрическое линейное преобрззование трехмерного евклидова пространства имеет три попарно ортогональных собственных вектора. Следствие. В трехмерном евклидовом пространстве всегда существует ортонормировзнный базис, в котором матрица симметрического преобразования диагональная, то есть где λ 1, λ 2, λ 3 - собственные значения преобразования. Пример. В ортонормированием базисе e 1, e 2, e 3 матрица линейного преобразования имеет вид: Найти новый ортонормированный базис, в котором матрица преобразования будет диагональной, и найти эту матрицу. Решение. Так как преобразование симметрическое, данная задача всегда имеет решение. Составим характеристическое уравнение и решим его: Корни уравнения λ 1 =3, λ 2 =6, λ 3 =2. Составим систему уравнений, определяющую координаты собственных векторов

32 (1) Подставим в систему (1) λ 1 = 3 С помощью метода Гаусса система приводится к равносильной системе общее решение которой Положим x 3 = 1 и найдем собственный вектор, соответствующий значению λ 1 = 3. f 1 = (1;-1;1) Подставим в систему (1) λ = 6 Система приводится к равносильной системе: общее решение которой Положим х 3 = 1 и найдем соответственный вектор соответствующий собственному значению λ 2 =6, f 1=(l;2;l) Подставим в систему (1) λ 3 = -2 которая приводится к равносильной системе общее решение системы Положим x 3 = 1 и найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению λ 3 = -2, f 3 = (l;0;-1)

33 Собственные векторы f 1 f 2, f 3 попарно ортогональны, поэтому образуют базис. Нормируем собственные векторы: (2) В ортонормированном базисе e 1, e 2, e 3 матрица линейного преобразования имеет диагональный вид: Пример. В ортонормированном базисе e 1, e 2, e 3 матрица линейного преобразования имеет вид: Найти новый ортонормированный базис e 1, e 2, e 3 в котором матрица преобразования будет диагональной. Решение. Составим характеристическое уравнение: Корни уравнения λ 1 = -3, λ 2 = λ 3 =6. Система, определяющая координаты собственных векторов: В систему подставим λ= 6 Система приводится к равносильному системе уравнению: x 1-2х 2-2х 3 = 0. (4) Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, проходящей через начало координат (рис.2):

34 Все собственные векторы с собственным значением λ = 6 лежит в этой плоскости. Нормальный вектор плоскости f 2 = (1 ;-2;-2) будет собственным с собственным значением λ = -3 (собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны). Найдем одно из решений уравнения (4), например f 1 = (2;-1;2) - это будет второй собственный вектор. Третий собственный вектор ортогональный первым двум найдем как векторное произведение f 3 = f 1 x f 2 = Векторы f 1, f 2, f 3 нормируем и получим базис: искомый ортонормированный В указанном базисе матрица будет диагональной: 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы Определение. Квадратичной формой от трех переменных называется функция вида: φ (х 1, х 2, х 3 ) =а 11 x а 22 x а 33 x а 12 x 1 x 2 + 2а 13 x 1 x а 23 x 2 x 3 (1) Определение. Матрицей квадратичной формы называется матрица: причем а 12 = a 21, а 13 = a 31, a 23 = а 32, то есть матрица симметрична. Переменные (x 1, х 2, х 3 ) будем рассматривать как координаты векторов в евклидовом пространстве относительно ортонормированного базиса e 1, e 2, e 3. Матрицу квадратной формы будем рассматривать как матрицу симметрического линейного преобразования в этом базисе. От базиса e 1, e 2, e 3 перейдем к новому ортонормированному базису e 1, e 2, e 3, векторы которого являются собственными векторами указанного линейного преобразования

35 соответственно с собственными значениями λ 1, λ 2, λ 3 ; Разложим векторы e ' 1, e ' 2, e ' 3 по векторам e 1, e 2, e 3 : Матрица перехода от первого базиса ко второму имеет вид: Матрица В обладает свойствами: В - В т = Е, где В т матрица транспонированная по отношению к В; Е - единичная матрица. Матрицы, обладающие указанным свойством, называются ортогональными. Выразим координаты вектора (x 1,x 2,x 3 ) в первом базисе через координаты вектора (x 1, х 2, х 3 ) во втором базисе: Если выражения из равенств (2) подставить в выражения (1), то квадратная форма примет вид: (3) где - собственные значения линейного пространства. Указанный вид квадратичной формы называется каноническим. Таким образом, с помощью ортогональной матрицы квадратичную форму всегда можно привести к каноническому виду. Существуют и другие способы приведения квадратичных форм к каноническому виду. Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду: (2) Решение. Найдем матрицу квадратичной формы: Для данной матрицы все вычисления сделаны в примере 1 2: λ 1 =3, λ 1 =6, λ 1 =-2 и, следовательно, канонический вид квадратичной формы: φ(x 1, x 2, x 3 ) = = 3x x 2 2 2x 3 2 Преобразования переменных, приводящие квадратичную форму к каноническому виду: (см. формулу (2.2) 2).

36 Составители Илья Абрамович Бертик Татьяна Васильевна Вахромеева ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания для студентов всех специальностей заочной формы обучения Редактор Г.К. Найдёнова Подписано к печати Формат 60x84 1/16 д.л. Бумага типографская. Печать офсетная. Объем 2 п.л. Тираж 300 экз. Заказ 57-Р. Новосибирский государственный архитектурностроительный университет Новосибирск, ул. Ленинградская, 113 Отпечатано мастерской оперативной полиграфии НГАСУ


Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов 1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.3

Линейная алгебра. Лекция 2.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее