Линейная алгебра Лекция 7. Векторы
|
|
- Фаина Гендрикова
- 4 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление зародилось вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусса 8 г) Термин вектор (лат vector, несущий) предложил ирландский математик Уильям Гамильтон (85-865) и описал некоторые операции векторного анализа В 88-е годы вышли «Элементы векторного анализа» американского математика Джозайя Гиббса (89-9), затем английский математик Оливер Хевисайд (85-95) разработал векторный анализ в современном виде (9 г) В разных разделах математики понятие вектор определяется по-разному от определения общего вида в абстрактной алгебре до частных случаев в линейной алгебре и геометрии Вектор в арифметическом евклидовом -мерном пространстве Определение -мерный вектор Х - упорядоченная совокупность чисел x x,, x (компоненты) Обозначение вектора ( x, x,, x ), O (,,, ) нулевой вектор Например, сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина, так как обладает направлением, скорость материальной точки - тоже вектор Линейные операции Равенство векторов Два вектора равны Y тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты x y,,, Сложение векторов Суммой векторов и Y называется вектор + Y Z, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, z x + y,,,, Умножение вектора на число Произведением вектора на число является вектор Y, компоненты которого вычисляются по формуле x y,,, 4 и - противоположные векторы Определение Множество всех -мерных векторов, в котором определены выше перечисленные линейные операции, называется арифметическим векторным пространством размерности Обозначение R (или R ) Определение Алгебраическая сумма Y,, где коэффициенты, называется линейной комбинацией векторов, компоненты вектора Y представляют собой линейную комбинацию соответствующих компонентов векторов,,, Если, где не все, то векторы,,, линейно зависимы Если некоторые из векторов,,, линейно зависимые, то и все они линейно зависимые, так как все оставшиеся векторы можно включить в равенство с нулевыми коэффициентами Из равенства x + x + + x x x x, получим систему однородных уравнений x + x + + x Если других решений нет, кроме нулевого решения, то есть все, то векторы,,, - линейно независимые векторы
2 Примеры ) (-,,5), (6,-,5) линейно независимы, ) (,,,), (,,,), (-,,-,) линейно зависимые ( ) + 6 Действительно, из равенства + получаем систему + ( ), решением которой является, Значит, векторы линейно независимые Решение примера Из равенства + + получаем систему + + ( ) ( ) + + Решаем ее методом Гаусса, получим ~ 6 6 ~ Общее решение системы, Следовательно, существуют ненулевые решения системы Поэтому векторы линейно зависимые Размерность векторного пространства Определение Любая совокупность векторов некоторого векторного пространства называется базисом этого пространства, если все векторы данной совокупности линейно независимы и любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов данной совокупности Пусть e,,, e e базис в пространстве R Тогда, где называют координатами вектора в данном базисе Если в качестве базиса выбрать векторы e (,,,), e (,,, ),, e (,,, ), то компоненты вектора совпадают с его координатами в этом базисе, то есть x x,,, x e + e + + e x Для нахождения e + e + + e x нужно решить систему e + e + + e x Пример В базисе e (,, ), e (,, ), e (,, ) даны векторы (,, ), a (,,), b (,, ), c (,,) Найти координаты вектора в базисе a, b, c Решение Убедимся, что векторы a, b, c образуют базис Для этого вычислим определитель, составленный из координат этих векторов - Определитель отличен от нуля, значит, векторы a, b, c линейно независимы Покажем, что вектор представим линейной комбинацией векторов данной совокупности Найдем коэффициенты в линейной комбинации векторов a + b + c Это векторное уравнение равносильно системе + ( ) + + +, или Решение этой системы, 7, 4 Тогда 8a + 7b 4c, и (8, 7, -4) координаты вектора в базисе 8 a, b, c e
3 Определение Размерностью векторного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства Размерность равна числу его базисных векторов Рангом системы векторов,,, называется наибольшее число ее линейно независимых векторов Евклидово пространство Введем способ измерять длины и углы Это сделаем с помощью скалярного произведения Определение Скалярным произведением Y двух векторов и Y называется сумма произведений одноименных координат этих векторов, то есть Y x y Скалярное произведение можно записывать в круглых скобках (, Y ), или применять знак умножения в виде точки Применять квадратные скобки или знак умножения в виде крестика для обозначения скалярного произведения нельзя Они предназначены для обозначения векторного произведения Пример 4 Пусть заданы два вектора своими координатами (,,) и Y (,,5) Найти их скалярное произведение Решение Y + ( ) Свойства скалярного произведения: Y Y Сомножители в скалярном произведении можно менять местами, то есть произведение коммутативно Действительно, ( + Y ) Z Z + Y Z Y - распределительное свойство x y y x Y Из определения суммы векторов имеем + Y ( x + y, x + y,, x + y ) Тогда скалярное произведение ( + Y ) Z ( x + y ) z ( z + y z ) x x z + y z Z + Y Z (, Y ) (, Y ) Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения В самом деле, Действительно,, Y ) x y ( 4 > нуля x y (, Y ), если Скалярный квадрат ненулевого вектора больше x x x > Определение Пространство R, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам -4, называется Евклидовым Модуль вектора (длина вектора или норма) в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата, то есть x вектора, удовлетворяющий следующим свойствам: - корень квадратный из суммы квадратов координат O Модуль вектора равен нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой
4 Модуль произведения вектора на число равен произведению модуля числа на модуль вектора Y Y - неравенство Коши-Буняковского Модуль скалярного произведения векторов меньше или равен произведению модулей этих векторов Определим число так, чтобы вектор Y был перпендикулярным вектору Y Это Y возможно, потому что ( Y )Y, или Y Y Отсюда На основании Y свойств модуля вектора имеем ( Y )( Y ) Раскроем скобки, получим Y + Y Учитывая величину, последнее неравенство запишется в виде ( Y ) / Y или Y Y 4 + Y + Y Модуль суммы векторов меньше или равен сумме модулей этих векторов Оценим длину вектора, используя предыдущее свойство, + Y ( + Y )( + Y ) + Y + Y + Y + Y ( Y ) или + + Y + Y Определение Ненулевые векторы называются параллельными или коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Определение Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице Обозначение и вычисление единичного вектора сонаправлен с вектором, Вектор параллелен и Следовательно, признаком параллельности (коллинеарности) ненулевых векторов Y будет равенство в векторной форме Y,, или в координатной форме пропорциональность координат, то есть x x Y y y x y При значении > векторы сонаправлены, при значении < направлены противоположно Если в знаменателе одной из дробей будет ноль, то отношение надо понимать так, что и в числителе этой дроби тоже должен быть ноль Нуль-вектор параллелен любому вектору Пример 5 Дан вектор ( 4,, ) Найти его единичный вектор Решение Вычислим длину вектора ( ) Найдем координаты единичного вектора (4/5,, / 5) Пример 6 Найти вектор, параллельный вектору Y (,, ), длина которого равна 5 Решение Из условия параллельности векторов следует пропорциональность координат, то x x x есть или x, x, x Вычисляя длину вектора, получим или 5 5 Тогда значение ± 5 В результате будем иметь два вектора, параллельных вектору Y, с длиною, равной 5 ( 5,, 5) и ( 5,, 5) 4
5 Величина угла между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства определяется числом, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к Y произведению их длин, то есть cos( Y ) Y x y + x y + + x y Или в координатной форме cos( Y ) x + x + + x y + y + + y Пример 7 Найти угол между векторами, заданными своими координатами, (,, ) и Y (,,) Решение Воспользуемся формулой вычисления косинуса в координатной форме cos( Y ) Следовательно, угол между векторами равен arccos 45 Признак перпендикулярности векторов Пусть ( x, x,, x ) и Y ( y, y,, y ) - ненулевые векторы Тогда Y (, Y ), то есть два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю И наоборот, если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю В координатной форме x y + x y + + x y Например, в евклидовом пространстве E базисные векторы (,,), j (,, ), (,, ) взаимно попарно ортогональны (В скалярном произведении участвуют только два вектора), j,, (, j) (, ) ( j, ) Нуль-вектор можно считать перпендикулярным к любому вектору Пример 8 При каком значении векторы (,, ) и Y + 4 j + будут взаимно перпендикулярны? Решение Вычислим скалярное произведение этих векторов Y ( ) ( ) Оно должно равняться нулю по условию перпендикулярности векторов Это возможно при значении, 5 Альтернативное определение скалярного произведения Скалярное произведение векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними Y Y cos( Y ) Это свойство можно принять за определение скалярного произведения векторов Тогда определение скалярного произведения через координаты векторов будет свойством Пример 9 Найти скалярное произведение двух векторов Y, если m, Y + m, где m,, ( m ) π / 6 Решение Y ( m )( + m) m + ( m,m) (,m ) 5m + mm π 5 m cos + m Физический смысл скалярного произведения Если вектор S изображает смещение материальной точки, а вектор F - силу, действующую на материальную точку, то скалярное произведение S F численно равно работе силы F Пространство E вещественная прямая, E евклидова плоскость, E евклидово трехмерное пространство В них геометрическое изображение вектора имеет наглядность 5
ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.
ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...
Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
4. Координаты вектора
4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая
определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)
Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов
8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе
Линейная алгебра. Лекция 1.2
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
Элементы высшей математики
Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства
Основы векторной алгебры
) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе
Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.
Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
Лекция 3: Скалярное произведение векторов
Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится
Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.
Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,
Решение типовых задач к разделу «Матрицы»
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать
ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное
Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.
Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.
Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение
Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.
ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического
Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический
Аналитическая геометрия. Лекция 1.4
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.
Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
11. Скалярное произведение векторов
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),
6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат
6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения
1. Требования к знаниям, умениям, навыкам
ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:
Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве
Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Основы векторной алгебры
Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и
2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.
Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти
Базис. Координаты вектора в базисе
Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной
Линейные пространства
Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по
Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.
01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»
Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания
ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.
ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава II. Векторная алгебра.
Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный
10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным
Образцы базовых задач по ЛА
Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6
МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева
МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева
Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.
2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов
1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.
Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости
Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему
Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:
Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на
Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7
Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =
Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302
a b и вычисляемое по формуле a b a b cos
2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для
Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых
«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.
Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной
8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)
8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление
8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения
8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика
Линейные пространства
ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)
Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение
14. Евклидовы пространства
9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов Рассматриваем векторы на плоскости или в пространстве. b a a, b длины векторов, ϕ угол между векторами 0 ϕ π. Скалярное произведение векторов можно определить так: a, b
~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только
~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется
1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра
Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.
Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах
49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный
Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть
Вращения твердых тел
Вращения твердых тел. Группа вращений твердого тела с закрепленной осью: O(2). 2. Группа вращений твердого тела закрепленной точкой: O(3). 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Существование неподвижной
L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости
Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы
Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M
Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между
Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?
Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.
Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.
Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве
Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
Лекция 6. Геометрические векторы.
Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
Глава 7 Плоскость в пространстве
Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны
1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.
1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный
Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1
Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет
МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев
МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного
«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет
. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.
Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.
2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы