Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Транскрипт

1 Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление зародилось вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусса 8 г) Термин вектор (лат vector, несущий) предложил ирландский математик Уильям Гамильтон (85-865) и описал некоторые операции векторного анализа В 88-е годы вышли «Элементы векторного анализа» американского математика Джозайя Гиббса (89-9), затем английский математик Оливер Хевисайд (85-95) разработал векторный анализ в современном виде (9 г) В разных разделах математики понятие вектор определяется по-разному от определения общего вида в абстрактной алгебре до частных случаев в линейной алгебре и геометрии Вектор в арифметическом евклидовом -мерном пространстве Определение -мерный вектор Х - упорядоченная совокупность чисел x x,, x (компоненты) Обозначение вектора ( x, x,, x ), O (,,, ) нулевой вектор Например, сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина, так как обладает направлением, скорость материальной точки - тоже вектор Линейные операции Равенство векторов Два вектора равны Y тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты x y,,, Сложение векторов Суммой векторов и Y называется вектор + Y Z, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, z x + y,,,, Умножение вектора на число Произведением вектора на число является вектор Y, компоненты которого вычисляются по формуле x y,,, 4 и - противоположные векторы Определение Множество всех -мерных векторов, в котором определены выше перечисленные линейные операции, называется арифметическим векторным пространством размерности Обозначение R (или R ) Определение Алгебраическая сумма Y,, где коэффициенты, называется линейной комбинацией векторов, компоненты вектора Y представляют собой линейную комбинацию соответствующих компонентов векторов,,, Если, где не все, то векторы,,, линейно зависимы Если некоторые из векторов,,, линейно зависимые, то и все они линейно зависимые, так как все оставшиеся векторы можно включить в равенство с нулевыми коэффициентами Из равенства x + x + + x x x x, получим систему однородных уравнений x + x + + x Если других решений нет, кроме нулевого решения, то есть все, то векторы,,, - линейно независимые векторы

2 Примеры ) (-,,5), (6,-,5) линейно независимы, ) (,,,), (,,,), (-,,-,) линейно зависимые ( ) + 6 Действительно, из равенства + получаем систему + ( ), решением которой является, Значит, векторы линейно независимые Решение примера Из равенства + + получаем систему + + ( ) ( ) + + Решаем ее методом Гаусса, получим ~ 6 6 ~ Общее решение системы, Следовательно, существуют ненулевые решения системы Поэтому векторы линейно зависимые Размерность векторного пространства Определение Любая совокупность векторов некоторого векторного пространства называется базисом этого пространства, если все векторы данной совокупности линейно независимы и любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов данной совокупности Пусть e,,, e e базис в пространстве R Тогда, где называют координатами вектора в данном базисе Если в качестве базиса выбрать векторы e (,,,), e (,,, ),, e (,,, ), то компоненты вектора совпадают с его координатами в этом базисе, то есть x x,,, x e + e + + e x Для нахождения e + e + + e x нужно решить систему e + e + + e x Пример В базисе e (,, ), e (,, ), e (,, ) даны векторы (,, ), a (,,), b (,, ), c (,,) Найти координаты вектора в базисе a, b, c Решение Убедимся, что векторы a, b, c образуют базис Для этого вычислим определитель, составленный из координат этих векторов - Определитель отличен от нуля, значит, векторы a, b, c линейно независимы Покажем, что вектор представим линейной комбинацией векторов данной совокупности Найдем коэффициенты в линейной комбинации векторов a + b + c Это векторное уравнение равносильно системе + ( ) + + +, или Решение этой системы, 7, 4 Тогда 8a + 7b 4c, и (8, 7, -4) координаты вектора в базисе 8 a, b, c e

3 Определение Размерностью векторного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства Размерность равна числу его базисных векторов Рангом системы векторов,,, называется наибольшее число ее линейно независимых векторов Евклидово пространство Введем способ измерять длины и углы Это сделаем с помощью скалярного произведения Определение Скалярным произведением Y двух векторов и Y называется сумма произведений одноименных координат этих векторов, то есть Y x y Скалярное произведение можно записывать в круглых скобках (, Y ), или применять знак умножения в виде точки Применять квадратные скобки или знак умножения в виде крестика для обозначения скалярного произведения нельзя Они предназначены для обозначения векторного произведения Пример 4 Пусть заданы два вектора своими координатами (,,) и Y (,,5) Найти их скалярное произведение Решение Y + ( ) Свойства скалярного произведения: Y Y Сомножители в скалярном произведении можно менять местами, то есть произведение коммутативно Действительно, ( + Y ) Z Z + Y Z Y - распределительное свойство x y y x Y Из определения суммы векторов имеем + Y ( x + y, x + y,, x + y ) Тогда скалярное произведение ( + Y ) Z ( x + y ) z ( z + y z ) x x z + y z Z + Y Z (, Y ) (, Y ) Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения В самом деле, Действительно,, Y ) x y ( 4 > нуля x y (, Y ), если Скалярный квадрат ненулевого вектора больше x x x > Определение Пространство R, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам -4, называется Евклидовым Модуль вектора (длина вектора или норма) в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата, то есть x вектора, удовлетворяющий следующим свойствам: - корень квадратный из суммы квадратов координат O Модуль вектора равен нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой

4 Модуль произведения вектора на число равен произведению модуля числа на модуль вектора Y Y - неравенство Коши-Буняковского Модуль скалярного произведения векторов меньше или равен произведению модулей этих векторов Определим число так, чтобы вектор Y был перпендикулярным вектору Y Это Y возможно, потому что ( Y )Y, или Y Y Отсюда На основании Y свойств модуля вектора имеем ( Y )( Y ) Раскроем скобки, получим Y + Y Учитывая величину, последнее неравенство запишется в виде ( Y ) / Y или Y Y 4 + Y + Y Модуль суммы векторов меньше или равен сумме модулей этих векторов Оценим длину вектора, используя предыдущее свойство, + Y ( + Y )( + Y ) + Y + Y + Y + Y ( Y ) или + + Y + Y Определение Ненулевые векторы называются параллельными или коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Определение Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице Обозначение и вычисление единичного вектора сонаправлен с вектором, Вектор параллелен и Следовательно, признаком параллельности (коллинеарности) ненулевых векторов Y будет равенство в векторной форме Y,, или в координатной форме пропорциональность координат, то есть x x Y y y x y При значении > векторы сонаправлены, при значении < направлены противоположно Если в знаменателе одной из дробей будет ноль, то отношение надо понимать так, что и в числителе этой дроби тоже должен быть ноль Нуль-вектор параллелен любому вектору Пример 5 Дан вектор ( 4,, ) Найти его единичный вектор Решение Вычислим длину вектора ( ) Найдем координаты единичного вектора (4/5,, / 5) Пример 6 Найти вектор, параллельный вектору Y (,, ), длина которого равна 5 Решение Из условия параллельности векторов следует пропорциональность координат, то x x x есть или x, x, x Вычисляя длину вектора, получим или 5 5 Тогда значение ± 5 В результате будем иметь два вектора, параллельных вектору Y, с длиною, равной 5 ( 5,, 5) и ( 5,, 5) 4

5 Величина угла между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства определяется числом, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к Y произведению их длин, то есть cos( Y ) Y x y + x y + + x y Или в координатной форме cos( Y ) x + x + + x y + y + + y Пример 7 Найти угол между векторами, заданными своими координатами, (,, ) и Y (,,) Решение Воспользуемся формулой вычисления косинуса в координатной форме cos( Y ) Следовательно, угол между векторами равен arccos 45 Признак перпендикулярности векторов Пусть ( x, x,, x ) и Y ( y, y,, y ) - ненулевые векторы Тогда Y (, Y ), то есть два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю И наоборот, если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю В координатной форме x y + x y + + x y Например, в евклидовом пространстве E базисные векторы (,,), j (,, ), (,, ) взаимно попарно ортогональны (В скалярном произведении участвуют только два вектора), j,, (, j) (, ) ( j, ) Нуль-вектор можно считать перпендикулярным к любому вектору Пример 8 При каком значении векторы (,, ) и Y + 4 j + будут взаимно перпендикулярны? Решение Вычислим скалярное произведение этих векторов Y ( ) ( ) Оно должно равняться нулю по условию перпендикулярности векторов Это возможно при значении, 5 Альтернативное определение скалярного произведения Скалярное произведение векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними Y Y cos( Y ) Это свойство можно принять за определение скалярного произведения векторов Тогда определение скалярного произведения через координаты векторов будет свойством Пример 9 Найти скалярное произведение двух векторов Y, если m, Y + m, где m,, ( m ) π / 6 Решение Y ( m )( + m) m + ( m,m) (,m ) 5m + mm π 5 m cos + m Физический смысл скалярного произведения Если вектор S изображает смещение материальной точки, а вектор F - силу, действующую на материальную точку, то скалярное произведение S F численно равно работе силы F Пространство E вещественная прямая, E евклидова плоскость, E евклидово трехмерное пространство В них геометрическое изображение вектора имеет наглядность 5