2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B ="

Транскрипт

1 Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица A записывается следующим образом: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn или сокращенно: A = (a ij, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Числа a ij, входящие в матрицу, называются её элементами Целые числа i и j называются индексами Они являются аналогами координат точки на плоскости и определяют положение элемента в матрице: первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j номер столбца, в котором стоит элемент Матрица размера m 1 называется вектор-столбцом или просто столбцом, а матрица размера 1 n называется векторстрокой или просто строкой 13

2 Иногда мы будем записывать (m n-матрицу в виде набора ее строк: A = (A 1, A 2,, A m, где A i = (a i1, a i2,, a in это i-я строка матрицы A Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, m = n, называется квадратной матрицей порядка n Диагональ квадратной матрицы, на которой стоят элементы a 11, a 22,, a nn, называется главной, а другая диагональ называется побочной Определим операцию над матрицами, которая меняет стороки и столбцы местами Пусть A = (a ij есть (m n-матрица Поместим первую строку матрицы A в первый столбец новой матрицы, вторую строку - во второй столбец и тд Полученная (n m-матрица называется транспонированной к матрице A и обозначается символом A t : a 11 a 21 a m1 A t a 12 a 22 a m2 = a 1n a 2n a mn Пример ( A = (2 3-матрица, A t = (3 2-матрица Если A квадратная матрица, то её транспонирование сводится к отражению ее элементов относительно главной диагонали Задача 11 Транспонировать следующие матрицы: a A = Ответ: a A = ( ( ; bb = ( ; b B =

3 Матрицы можно складывать и умножать на числа Произведением матрицы A на число λ называется матрица λa = (λa ij Таким образом, при умножении матрицы на число каждый ее элемент умножается на это число Суммой матриц A = (a ij и B = (b ij одного и того же размера m n называется (m n-матрица C = A+B, у которой c ij = a ij +b ij, те при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах В частности, определены операции умножения строки (столбца матрицы на число и сложения строк (столбцов матрицы Задача 12 Найти матрицу 2A + 3B, где Ответ: A = ( ( , B = ( Определители: определение, свойства и вычисление Определителем квадратной матрицы A = (a ij называется число, которое обозначается A и которое сопоставляется матрице A по некоторому правилу Ниже мы приведем это правило в случае, когда порядок матрицы (=порядок определителя n = 1, n = 2 и n = 3, а затем дадим понятие об определителе произвольного порядка n Определителем первого порядка (n = 1, те определителем матрицы A = (a, называется само число a, которое стоит в этой матрице, A = a Определителем второго порядка (n = 2, те определителем матрицы ( a11 a A = 12, a 21 a 22 называется число 15

4 A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21, равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали Определителем третьего порядка, (n=3, те определителем матрицы a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 называется число, определяемое формулой A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 (1 В этой формуле имеется 6 слагаемых Каждое слагаемое является произведением трех элементов определителя, по одному из каждой строки и каждого столбца В качестве мнемонического правила для запоминания формулы (1 можно использовать следующее правило треугольников (или правило Саррюса В формулу (1 входят три слагаемых со знаком плюс (соответственно со знаком минус, которые являются произведениями элементов главной (соответственно побочной диагонали и произведениями элементов, стоящих в вершинах двух треугольников, у которых имеется сторона, параллельная этой диагонали:, + - Свойства определителей, которые перечисляются ниже имеют место для определителей любого порядка Для определенности мы будем рассматривать определители третьего порядка Для компактности записи формул мы будем использовать следующее обозначение: 16

5 определитель матрицы A = (A 1, A 2, A 3, записанной в виде набора трех ее строк, мы будем обозначать A = A 1, A 2, A 3 Свойство 1 (кососимметричность Если в определителе поменять местами какие-либо две строки, то определитель изменит знак Например, a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 = или в наших сокращенных обозначениях a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A 2, A 1, A 3 = A 1, A 2, A 3 Свойство 2 Если в определителе какая-то строка, например первая, представляется в виде суммы двух строк, A 1 = A 1 + A 1, то определитель равен сумме двух определителей:, A 1 + A 1, A 2, A 3 = A 1, A 2, A 3 + A 1, A 2, A 3 Свойство 3 Если какую-то строку определителя умножить на число, то определитель умножится на это число, например, A 1, λa 2, A 3 = λ A 1, A 2, A 3 Другими словами, общий множитель строки определителя можно выносить за знак определителя Свойства 1, 2 и 3 являются основными свойствами определителя Остальные свойства являются формальными следствиями основных Свойство 4 Если в определителе две строки равны, то определитель равен нулю Свойство 5 Если в определителе какие-то две строки пропорциональны, то определитель равен нулю

6 Элементарное преобразование первого рода над строками определителя I((i, (j меняет местами i-ю и j-ю строки определителя Элементарное преобразование второго рода II((i + λ(j над строками определителя состоит в том, что к i-й строке прибавляется j-я, умноженная на число λ Свойство 1 можно переформулировать так: при элементарных преобразованиях первого рода определитель меняет знак Свойство 6 При элементарных преобразованиях второго рода определитель не меняется Свойство 7 При транспонировании определитель не меняется Следствие Свойства 1-6, сформулированные выше для сторок определителя, выполняются также и для его столбцов Определители обычно вычисляют не с помощью определения данного выше, а с помощью так называемой теоремы о разложении Для ее формулировки нам потребуются два определения Минором M ij элемента a ij определителя A порядка n называется определитель порядка n 1, который получается вычеркиванием из A строки и столбца, в которой стоит элемент a ij Например, если A матрица третьего порядка, n = 3, а a ij = a 23, то A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, M 23 = a 11 a 12 a 31 a 32 Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор со знаком: A ij = ( 1 i+j M ij, те { Mij, если сумма i + j четная, A ij = M ij, если сумма i + j нечетная Например, A 23 = M 23 18

7 Для определителей третьего порядка знаки ( 1 i+j, с которыми миноры входят в алгебраические дополнения, таковы: Теорема о разложении определителя Определитель равен сумме произведений элементов какой-то строки (столбца на соответствующие алгебраические дополнения Например, разложение определителя третьего порядка по первой строке имеет вид A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 Всего имеется 6 таких формул Задача 13 Вычислить определитель с углом нулей: a A = ; b B = Ответ: a A = 6; b B = 30 На самом деле самый эффективный способ вычисления определителя состоит в сочетании теоремы о разложении и свойств определителя: сначала с помощью элементарных преобразований мы делаем нули в какой-то строке или столбце (кроме одного места, а затем разлагаем определитель по этой строке или этому столбцу Задача 14 Вычислить определитель тремя способами: 1 по определению (по правилу Саррюса; 2 по теореме о разложении; 3 "делая нули" 19

8 a A = , b B = a 1 По фоормуле (1 (правилу Саррюса получаем A = 1 ( 5 ( ( ( = = 33 2 Разложим определитель по первому столбцу = A = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 = = = 33 3 С помощью элементарных преобразований над строками сделаем нули в первом столбце (во второй и третьей строке, а затем разложим определитель по первому столбцу A = II((2 3(1 = II((3 2( = = 33 Ответ: a 33; b 27 Теперь мы дадим понятие об определителях произвольного порядка n Имеются различные способы это сделать Один из способов это обобщить формулу (1 для n = 3 Другой способ воспользоваться теоремой о разложении в качестве определения: определителем порядка n называется сумма произведений элементов какой-то строки (столбца на соответствующие алгебраические дополнения Дело в том, что алгебраические дополнения это определители порядка n 1 Мы получаем возможность последовательно определить понятие определителя сначала четвертого порядка, затем пятого и тд (в математике такое определение называется индуктивным 20

9 Задача 15 Вычислить определитель с углом нулей: a A = ; b B = a A = 2 ( Ответ: a 24; b 30 Задача 16 Вычислить определитель a A = ; b B = a Разложим определитель по первой строке A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = = Обозначим три полученных определителя D 1, D 2 и D 3 Находим D 1 = 0, D 2 = 0, D 3 = 0 и, следовательно, A = 0 Ответ: a A = 0; b B = 48 Контрольные вопросы 1 Что такое определитель второго порядка? 2 Что такое определитель третьего порядка (правило Саррюса? 3 Что такое минор и алгебраическое дополнение некоторого элемента квадратной матрицы? 4 Сформулируйте теорему о разложении определителя 5 Что такое определитель четвертого порядка? 6 Перечислите свойства определителя 21

10 Дополнительные вопросы и задачи D1 Сколько всего миноров у определителя порядка n D2 Дана квадратная матрица A = (a ij порядка n Чему равна сумма n i,j=1 a ija ij? D3 Доказать, что определитель с углом нулей равен произведению диагональных элементов D4 Вычислить определитель: a cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ; b x x 1 x 2 + x + 1 x 2 Ответ: a cos 2x ; b 1 D5 Решить уравнение: a x + 3 x + 1 x 1 x 2 = 0; b sin 2x sin 3x cos 2x cos 3x = 0; x x 1 1 c 2 2 x 1 = 0; d x x = 6 Ответ: a 7, b πn 5, c 5 3 ; 2; d 1 D6 Доказать, что если числа a, b, c действительные, то уравнение a x b b c x = 0 имеет действительные корни D7 Числа 255, 391, 578 делятся на 17 Не вычисляя значение определителя 3 9 1, доказать, что он тоже делится на D8 Доказать, что если все элементы определителя третьего порядка по модулю равны единице, то значение определителя четное число D9 Доказать, что a 0 a 1 a 2 a n 1 a n x x = a 0 + a 1 x + + a n x n x 1

11 Занятие 2 Системы линейных уравнений Правило Крамера 21 Определения Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Числа a ij называются коэффициентами, а числа b i свободными членами Коэффициенты a ij образуют матрицу A = (a ij, которая называется матрицей системы Решением системы называется набор чисел X 0 = (x 0 1, x0 2,, x0 n, при подстановке которых в систему все уравнения превращаются в верные числовые равенства Решить систему значит найти все ее решения Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, иначе несовместной Если система имеет одно- (1 23

12 единственное решение, то она называется определенной, а если больше одного неопределенной Две системы система (1 и некоторая другая система (1 называются эквивалентными, если они имеют одинаковые решения, те если каждое решение одной из них является также решением и другой Система (1 называется следствием системы (1, если каждое решение системы (1 является также решением системы (1 Процесс решения системы (1 состоит в выполнении последовательности шагов-преобразований, приводящих к системе (1, которую решить не представляет труда Если на каждом шаге получается система, эквивалентная данной, то все сводится к решению системы (1 Если система (1 является лишь следствием системы (1, те имеет больше решений, чем система (1, то требуется еще проверка решений системы (1 для того чтобы отбросить лишние решения На этом занятии мы будем заниматься только системами, у которых число уравнений равно числу неизвестных, m = n Такие системы мы будем называть системами порядка n Простейший случай это системы линейных уравнений второго порядка, n = 2, { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, (2 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Все дальнейшее справедливо для систем произвольного порядка n Для определенности мы рассмотрим случай n = 3, те системы линейных уравнений третьего порядка a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Обозначим через определитель системы (3, а через i, i = 1, 2, 3, определители, полученные из заменой i-го столбца столбцом свободных членов: (3 24

13 = A = 2 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a Правило Крамера, 1 =, 3 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 Теорема(правило Крамера 1 Если определитель системы 0, то система совместна и определенна, и её единственное решение находится (в случае n = 3 по формулам Крамера x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 ;, (Cr 2 Если = 0, а хотя бы один из i 0, то система несовместна Рассмотрим теперь случай n = 2, те системы линейных уравнений второго порядка и их геометрическую интерпретацию Мы не проанализировали решение систем линейных уравнений порядка n в случае, когда = 0, и при этом все i = 0 При n = 2 это легко сделать: если = 1 = 2 = 0, то есть a 11 a 22 = a 12 a 21, b 1 a 22 = a 12 b 2, a 11 b 2 = a 21 b 1, то уравнения системы (2 пропорциональны ( либо одно из них нулевое Мы получаем теорему Теорема Для системы линейных уравнений (2 второго порядка возможны три случая: если 0, то решение единственно; если = 0, а 1 или 2 0, то решений нет; если = 1 = 2 = 0, то решений бесконечно много, либо их нет 25

14 Мы можем рассматривать x 1 и x 2 как координаты точки на плоскости Как известно, уравнение первой степени Ax 1 +Bx 2 = C на плоскости определяет прямую (если либо A, либо B 0 Поэтому, с геометрической точки зрения, решить систему (2 это значит найти точки пересечения двух прямых Геометрически три случая предыдущей теоремы соответсвуют тому, что: 1 прямые пересекаются; 2 прямые параллельны; 3 прямые совпадают Замечание Аналогично, с геометрической точки зрения, решение системы (3 означает нахождение точек пересечения трех плоскостей в пространстве с координатами x 1, x 2, x 3 В общем случае решение системы (1 означает нахождение точек пересечения m гиперплоскостей в n-мерном арифметическом пространстве R n Задача 21 Решить систему по правилу Крамера: a { 2x + 5y = 1, 3x + 7y = 2; b { 3x 2y = 1, 6x 4y = 3; x + 2y + z = 4, d 3x 5y + 3z = 1, 2x + 7y z = 8; c { x 3y = 1, 3x 3y = 3;, x + 2y + 3z = 4, e 2x + 4y + 6z = 1, 3x + y z = 1 d (Дополнительное требование: вычислять определители i разными способами Вычислим определители (см задачу 41 = A = y = = 33, x = = 33, z = = 33 = 33, По формулам Крамера находим x = x z = 1 26 y = 1, y = = 1, z =

15 Ответ: a x = 3, y = 1, b система несовместна; c система неопределенна, x = 3c + 1, y = c, где c произвольная постоянная; d x = 1, y = 1, z = 1; e система несовместна, так как = 0, а 1 0 Контрольные вопросы 1 Что такое решение системы и что значит решить систему? 2 Что такое несовместная, определенная и неопределенная системы? 3 Сформулируйте теорему о ложном разложении (см лекции [K] 4 Сформулируйте правило Крамера 5 Какой геометрический смысл имеет решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Какие имеются случаи для таких систем? Дополнительные вопросы и задачи Система (1 называется однородной, если все свободные члены равны нулю, b 1 = = b m = 0 Если в системе (1 положить все b i = 0, то получится однородная система (1 0, соответствующая системе (1 При этом сама система (1 называется неоднородной D1 Покажите, что если X = (x 1,, x n решение системы (1, а X 0 = (x 0 1,, x0 n решение системы (1 0, то X = X +X 0 решение системы (1 Наоборот, каждое решение X системы (1 можно представить в виде X = X + X 0, где X некоторое фиксированное решение системы (1 (которое называется частным, а X 0 некоторое решение системы (1 0 Таким образом, все решения системы (1 можно получить прибавляя к одному какому-то решению X все решения системы (1 0 Это выражают словами: общее решение неоднородной системы равно сумме частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы D2 Покажите, что если X 1 и X 2 решения системы (1 0, то X = c 1 X 1 + c 2 X 2, где c 1 и c 2 некоторые числа, также является решением системы (1 0 27

16 D3 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера: a { x1 x 2 + x 3 = 0, 2x 1 + x 2 x 3 = 0; b { 3x1 + 7x 2 + 4x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 3x 3 = 7 Указание Перенести неизвестное x 3 направо и считать параметром (произвольной постоянной a Пусть x 3 = c произвольная постоянная Перепишем ее в виде { x1 x 2 = c, Находим = 3, c 1 c 1 2x 1 + x 2 = c = 0, 1 c 2 c = 3c Находим x 1 = 1 = 0, x 2 = 2 = c Ответ: a x 1 = 0, x 2 = c, x 3 = c, где c произвольная постоянная; b x 1 = 41c 24, x 2 = 17c + 1, x 3 = c, где c произвольная постоянная 28

17 Занятие 3 Алгебра матриц Решение систем линейных уравнений матричным методом 31 Операции над матрицами На первом занятии мы уже определили две операции над матрицами: умножение матрицы на число и сложение матриц При этом складывать можно только матрицы одинаковых размеров Теперь мы определим операцию умножения матриц Также как и сложение, умножение матриц определено не всегда Произведение двух матриц определено только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы Умножение матриц Пусть имеются две матрицы a 11 a 12 a 1k b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2k A =, B = b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mk b k1 b k2 b kn 29

18 Произведением матриц A размера (m k и B размера (k n называется матрица C размера (m n, A B = C, (m k (k n = (m n, элементы которой определяются по правилу строка на столбец: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj, 1 i m, 1 j n Таким образом, мы должны сложить произведения соответствующих элементов i-ой строки первой матрицы и j-ого столбца второй матрицы и поместить сумму на место элемента c ij И так заполняются все m n мест матрицы C, j-ый i ая = c ij Пример Найдем произведения A B и B A матриц ( ( A = и B = Получаем A B = ( ( = = ( ( ( = ( ( B A = = ( ( ( = = ( , 30

19 Замечание Этот пример имеет важное значение Он показывает, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, те произведение зависит от порядка сомножителей Остальные свойства (почти такие же, как и для чисел Перечислим эти свойства операций: A + B = B + A, A + (B + C = (A + B + C, (ABC = A(BC, A(B + C = AB + AC, (B + CA = BA + CA, λ(a + B = λa + λb, λ R, (λ + µa = λa + µa, λ, µ R, (λa B = λ(ab Здесь A, B и C матрицы, причем предполагается, что они имеют такие размеры, для которых выполнение всех указанных операций возможно Кроме того, существует матрица E, которая играет роль единицы по отношению к операции умножения матриц, те E A = A, A E = A Легко проверить, что такой матрицей является квадратная матрица (произвольного порядка n, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах нули Такая матрица называется единичной матрицей Задача 31 Найти сумму A + B и произведение AB матриц A = ( и B = ( ( ( Ответ: A + B =, AB = Задача 32 Найти произведения AB и BA матриц A и B, где 2 a A = 1, B = ( ; 3 31

20 ( b A = 0 2 1, B = a По правилу "строка на столбец"получаем AB = = BA = ( = ( Ответ: a AB = 1 2 3, BA = (13; ( b AB =, BA = Задача 33 Найти произведение матрицы A: a на матрицу E и b на матрицу X, где ( a11 a A = 12 a 21 a 22 ( 1 0, E = 0 1 ; ( x1, X = x 2 ( a11 x Ответ: a AE = A; b AX = 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 Теперь мы займемся вопросом о возможности деления матриц В случае чисел деление сводится к умножению на обратное число Аналогом обратных чисел являются обратные матрицы Матрица, обратная к матрице A, это такая матрица A 1, что A A 1 = E и A 1 A = E Пусть A квадратная матрица порядка n Заменим каждый её элемент a ij его алгебраическим дополнением A ij и транспонируем эту матрицу Полученная матрица, 32

21 à = (A ij t, называется присоединенной ( к матрице A a11 a Пример Если A = 12 квадратная матрица второго порядка, то a 21 a 22 ( ( a22 a (A ij = 21, a 12 a à = (A ij t a22 a = a 21 a 11 Из теоремы о разложении определителя и теоремы о ложном разложении следует, что произведение квадратной матрицы A на её присоединенную матрицу равно единичной матрице, умноженной на определитель = A, A à = E, à A = E В качестве следствия получается следующая теорема Теорема Если определитель квадратной матрицы A не равен нулю, = A 0, то обратная матрица A 1 существует и равна A 1 = 1 à 32 Матричный способ решения систем линейных уравнений Матричная запись системы линейных уравнений Пусть имеется система линейных уравнений (1 из занятия 2 Для примера рассмотрим систему (3 трех уравнений с тремя неизвестными, a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, (3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 33

22 Пусть A матрица системы, X столбец неизвестных, а B столбец свободных членов, a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 A = a 21 a 22 a 23, X = x 2, B = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 Рассмотрим произведение матриц A X, a 11 a 12 a 13 x 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 AX = a 21 a 22 a 23 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a 31 a 32 a 33 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 Это столбец, элементы которого совпадают с левыми частями уравнений системы (3 Поскольку две матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы, мы получаем, что систему линейных уравнений (3 можно переписать в виде одного матричного уравнения AX = B ( 3 Решение систем линейных уравнений матричным методом Пусть матрица системы A невырождена, те определитель = A 0 Умножим уравнение ( 3 слева на A 1 Получим A 1 AX = A 1 B Откуда получаем матричное решение системы X = A 1 B Выпишем решение X = A 1 B в случае n = 3 подробно: X = A 1 B = 1 A 11 A 21 A 31 b 1 A 12 A 22 A 32 b 2 = A 13 A 23 A 33 b 3 3 Мы видим, что матричное решение системы ( 3 есть не что иное, как правило Крамера, записанное в другом виде 34

23 Задача 34 Решить систему линейных уравнений матричным методом { { 2x + 5y = 1, 3x 5y = 13, a b 3x + 7y = 2; 2x + 7y = 81; x + 2y + z = 4, c 3x 5y + 3z = 1, 2x + 7y z = 8; x + 2y + 3z = 6, d 4x + 5y 6z = 9, 7x + 8y 0z = 6 c ( см задачу 21 d Найдем матрицу A 1, обратную к матрице системы A Для этого найдем матрицу (A ij алгебраических дополнений элементов матрицы A, (A ij = Используя матрицу (A ij, можем найти определитель = A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = 1 ( = 33 Так как A 0, то обратная матрица A 1 существует и A 1 = 1 Ã, где Ã = (A ij t присоединенная матрица к матрице A Теперь мы можем найти столбец из неизвестных X = A 1 B = 1 (A ij t B: = 1 33 x y z = ( ( ( ( = = Ответ: a x = 3, y = 1; b x = 16, y = 7; c x = 1, y = 1, z = 1; d x = 2, y = 1, z =

24 Контрольные вопросы 1 Всегда ли можно перемножить две матрицы? 2 Сформулируйте правило умножения матриц 3 Зависит ли произведение матриц от порядка сомножителей? Приведите пример 4 Что такое обратная матрица? 5 Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы 6 Как записать систему линейных уравнений и ее решение матричным способом? Дополнительные вопросы и задачи D1 Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей? D2 Найти значение ( матричного многочлена f(a, где f(x = 2 3 3x 2 + 2x + 5, A = 0 4 ( Ответ: f(a = 0 61 D3 Найти A 3, если A = D4 Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица? D5 Найти матрицы A n и B n, где a A = ( ; b B = ( cos α sin α sin α cos α ( ( 1 n cos nα sin nα Ответы: a A n = ; b B 0 1 n = sin nα cos nα D6 Найти все квадратные матрицы A порядка 2, для которых A 2 = E, те решить уравнение X 2 = E D7 Найти все квадратные матрицы A порядка 2, для которых A 2 нулевая матрица D8 Доказать, что если AB = BA для любой матрицы B, то A = λe 36

25 D9 Решить матричное уравнение AX = B, где ( ( a A =, B = ; ( ( b A =, B = ( ( Ответ: a X = ; b X = D10 Решить матричное уравнение XA = B, где ( ( a A =, B = ; ( ( b A =, B = ( ( Ответ: a X = ; b X = D11 Решить матричное уравнение AXC = B, где ( ( ( A =, B =, C = Ответ: X = (

26 Занятие 4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Пусть A = (a ij матрица системы Добавляя к матрице A столбец свободных членов B, получим расширенную матрицу системы (A B: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 (A B = a m1 a m2 a mn b m Метод Гаусса решения системы (1 это метод исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований уравнений системы Поскольку преобразованиям уравнений системы (1 38

27 соответствуют аналогичные преобразования строк расширенной матрицы, то часто (для компактности записи эти преобразования выполняют со строками матрицы Обозначим i-ую строку расширенной матрицы (или i-ое уравнение системы через s i Элементарное преобразование первого рода (s i, s j меняет местами i-ую и j-ую строки Элементарное преобразование второго рода λs i + µs j заменяет i-ую строку на сумму этой строки, умноженной на число λ, и j-ой стороки, умноженной на число µ (обратите внимание на то, что первой записывается строка, которая меняется В частности, если µ = 0, то это преобразование сводится просто к умножению i-ой строки на число λ Легко проверить, что, применяя элементарные преобразования, мы получаем систему равносильную исходной (если λ 0 Опишем процесс исключения неизвестных по методу Гаусса Пусть в первом уравнении коэффициент a 11 при неизвестной x 1 отличен от нуля Этого всегда можно добиться с помощью элементарного преобразования первого рода, если неизвестная x 1 присутствует в системе Исключим переменную x 1 из второго уравнения Для этого сначала выравняем коэффициенты при x 1 в первом и втором уравнениях: умножим первое уравнение на a 21, а второе уравнение на a 11, а затем вычтем из второго уравнения первое Таким образом, элементарное преобразование a 11 s 2 a 21 s 1 исключает x 1 из второго уравнения системы Аналогичным образом мы можем исключить x 1 из всех уравнений системы, кроме первого Если теперь забыть про первое уравнение, то мы получим систему у которой на одно уравнение меньше, и, кроме того, на одну неизвестную меньше Описанный процесс можно применить к полученной системе: мы можем исключить x 2 из всех уравнений системы, кроме первого, если неизвестная x 2 присутствует в системе и тд В результате мы получим систему (1 или расширенную матрицу (A B ступенчатого вида 39

28 или, подробней (A B = a 11 a 1k 2 a 1k r a 1n b 1 0 a 2k 2 a 2k r a 2n b a rk r a rn b r b r b m,, (1 где в i-ой строке (i = 1, 2,, r первый (самый левый ненулевой элемент обозначен через a ik i Метод Гаусса состоит из двух шагов Это прямой ход: элементарными преобразованиями приводим систему к ступенчатому виду, те к системе (1, которая соответствует матрице (1 И обратный ход: последовательно, двигаясь снизу вверх, находим неизвестные, начиная с последнего уравнения системы (1 Если хотя бы одно из чисел b r+1,, b m не равно нулю, то система (1 (а следовательно, и система (1 несовместна, так как мы получаем равенство нуль равен не нулю, которое невозможно ни при каких значениях неизвестных Если b r+1 = = b m = 0, то система совместна Если b 1 = b 2 = = b m = 0, то система (1 называется однородной Однородная система всегда совместна, так как x 1 = 0, x 2 = 0,, x n = 0 является ее решением 40

29 Если система (1 приведена к (равносильной ступенчатой системе (1, то r переменных x 1, x k2,, x kr, которые стоят первыми в уравнениях системы (1 называются базисными (или главными, или основными, а остальные n r переменных называются свободными (или неосновными Мы можем придать свободным переменным произвольные значения, а затем последовательно найти x kr, затем x kr 1 и тд, и, наконец, x 1 Если r = n, те если свободных переменных нет (в этом случае говорят, что система приводится к треугольному виду, то система определённа Если r < n, то система неопределённа, имеет бесконечное множество решений, которые описываются с помощью n r произвольных постоянных Задача 41 Решить систему методом Гаусса: a { 2x 3y = 1, 4x 6y = 5; b { 3x 4y = 1, 3x + 4y = 17 a Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: ( ( s2 2s Получаем систему { x 3y = 1, 0 = 3, которая, очевидно, несовместна Ответ: a система несовместна; b x = 3, y = 2 Задача 42 Решить систему методом Гаусса: x + 2y + z = 4, a 3x 5y + 3z = 1, 2x + 7y z = 8; 5x + 8y + z = 2, b 3x 2y + 6z = 7, 2x + y z = 5 a Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: 41

30 s 2 3s 1 s 3 2s 1 s 3 s 2 Получаем систему треугольного вида x + 2y + z = 4, y = 1, z = s s 3 Здесь все неизвестные являются базисными Из последнего уравнения находим z = 1, из второго y = 1, и, наконец, из первого уравнения находим x = 1 Ответ: a x = 1, y = 1, z = 1; b x = 3, y = 2, z = 1; Задача 43 Решить систему методом Гаусса: a 2x 1 + 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 6, 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4, 9x 1 + 4x 2 + x 3 + 7x 4 = 2; b 9x 1 3x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 4, 6x 1 2x 2 + 3x x 4 = 5, 3x 1 x 2 x x 4 = 8 a Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: s 2 3s s 3 5s s 3 9s Получаем систему ступенчатого вида: 42

31 { 2x 1 + 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 6, 11x 2 5x 3 + x 4 = 10 Неизвестные x 1 и x 2 являются базисными, а x 3 и x 4 свободными Пусть x 3 = c 1, x 4 = c 2, где c 1 и c 2 произвольные постоянные Из второго уравнения находим x 2 : x 2 = 1 11 (10 5x 3 + x 4 = c c 2 Наконец, из первого уравнения находим x 1 : x 1 = 1 2 (6 7x 2 3x 3 x 4 = 1 70 ( c c 2 3c 1 c 2 = Ответ: a = c c 2 x 1 = c c 2, x 2 = c c 2, x 3 = c 1, x 4 = c 2, где c 1 и c 2 произвольные постоянные; b (c; c; 7; 0 Ответ a можно записать в векторном виде: X = x 1 x 2 x 3 x 4 = c c Контрольные вопросы 1Что такое элементарные преобразования первого и второго рода? 2 В чем суть метода Гаусса? 3 В каком случае система ступенчатого вида несовместна (совместна? 43

32 4 В каком случае система ступенчатого вида является неопределенной (определенной? Дополнительные вопросы и задачи D1 Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения? D2 Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, но с разным числом уравнений? D3 Решить методом Гаусса систему x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4, 2x 1 x 2 + 3x 3 2x 4 = 2, 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 6x 4 = 3, 4x 1 + 3x 2 + 5x 3 5x 4 = 6 Ответ Система несовместна D4 Исследовать систему линейных уравнений в зависимости от параметра λ: a { 2x y = 5, 4x 2y = λ; b { x1 x 2 + 2x 3 = 5, λx 1 2x 2 + 4x 3 = 10 Ответ: a при λ = 10 система совместная и неопределенная, а при λ 10 система несовместна b при λ = 2 система совместная и неопределенная, а ее общее решение зависит от двух произвольных постоянных, (c 1 2c 2 + 5; c 1 ; c 2 ; при λ 2 система совместная и неопределенная, а ее общее решение зависит от одной произвольной постоянной, (0; 2c 5; c D5 Полиграфическое предприятие выпускает продукцию трех видов: Π 1, Π 2, Π 3 Уровень выпуска лимитируется ограниченностью ресурсов: 44

33 Ресурсы Запас ресурса Нормы затрат на единицу продукции Π 1 Π 2 Π 3 Сырье, кг Материалы, кг Оборудование, ед Построить математическую модель и найти план выпуска продукции, предполагая полное использование ресурсов (Решить задачу тремя методами: методом Гаусса, по правилу Крамера, матричным методом 45


Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Оглавление Предисловие 9 I Линейная алгебра и геометрия 12 1 Определители Матричные обозначения. Основные определения Определители: опр

Оглавление Предисловие 9 I Линейная алгебра и геометрия 12 1 Определители Матричные обозначения. Основные определения Определители: опр Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 1 семестр. В.С.Куликов, Н.Д.Беклемишев, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова, М.Я.Спиридонов Оглавление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее