Бюджетное образовательное учреждение Омской области «Омский колледж транспортного строительства»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Бюджетное образовательное учреждение Омской области «Омский колледж транспортного строительства»"

Транскрипт

1 Бюджетное образовательное учреждение Омской области «Омский колледж транспортного строительства» Учебно-научно исследовательских проектов обучающихся и талантливой молодежи Омского Прииртышья «Поколение будущего» Решение математических задач с использованием математического моделирования и табличного процессора MS Excel Автор работы: Картешкина Анна Николаевна Студентка группы ИС-54 руководитель: Шишина Татьяна Васильевна, Преподаватель математики, информатики Омск, 2015

2 Содержание: 1. Введение Теоретическая часть Практическая часть Заключение Литература...14

3 Введение Цель работы: 1. Исследование возможности моделирования математических функций, при помощи современных компьютерных средств. 2. Рассмотрение возможностей применения электронных таблиц для решения некоторых задач из разделов высшей математики (системы линейных уравнений, интегралы, матрицы). Задачи исследования: 1. Изучить теоретические основы математического анализа. 2. Научиться решать системы уравнений различными способами, вычислять интегралы, выполнять действия с матрицами. Методы проведенных исследований: математическое моделирование. Актуальность темы работы: При решении систем линейных уравнений у студентов, как правило, возникают проблемы при их решении. Учитывая свою специальность ИС в своей работе я рассмотрела возможность использования электронных таблиц Microsoft Excel с целью упрощения учебной деятельности студентов при изучении дисциплины «Элементы высшей математики». Постановка и формулировка проблемы: данная работа посвящена использованию электронных таблиц EXCEL в анализе функций. В ней, используя знания и навыки работы с мастером функций и диаграмм Excel, будет проведен анализ функций с проведением расчетов по формулам и с построением графиков. Для анализа элементарных функций необходимо уметь решать следующие задачи: определение возрастания или убывания функции на заданном интервале, определение макс/мин данной функции на заданном интервале, нахождение точек пересечения функции с осью ОХ, нахождение производной функции

4 I. Теоретическая часть. Табличные формулы и операции с матрицами Табличные формулы или формулы массива очень мощное вычислительное средство Excel, позволяющее работать с блоками рабочего листа как с отдельными ячейками. Табличные формулы в качестве результата возвращают массив значений. Поэтому перед вводом такой формулы необходимо выделить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты. Потом набирается сама формула. Ввод ее в выделенный диапазон ячеек осуществляется нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter. Это принципиально. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При активизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы. Для выделения всего блока, содержащего табличную формулу, необходимо выделить одну из его ячеек, после чего нажать комбинацию клавиш Ctrl+/.Невозможно редактировать содержимое только одной ячейки из интервала с табличной формулой. Изменить можно только весь блок целиком, для чего он и должен быть предварительно выделен. Например, пусть необходимо сложить две матрицы размера 3 3. Элементы первой матрицы (9 элементов) разместим в интервале A1:C3, второй в диапазоне E1:G3. Под результат выделим интервал A5:C7. После чего, не снимая выделения, введем формулу =A1:C3+E1:G3, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В ячейках интервала A5:C7 отобразится результат сумма соответствующих элементов матриц, а в строке формул мы увидим {=A1:C3+E1:G3}. Пусть вместо сложения нам надо умножить первую матрицу на число 2. Для этого перемещаемся внутрь интервала A5:C7, выделяем его, нажав комбинацию Ctrl+/, вносим в формулу исправления =A1:C3*2, вводим ее нажатием Ctrl+Shift+Enter. В интервале A5:C7 увидим результат умножения, а в строке формул табличную формулу {=A1:C3*2}. К простейшим операциям с матрицами принято относить следующие: сложение и вычитание матриц, умножение и деление матрицы на число, перемножение матриц, транспонирование, вычисление обратной матрицы. Умножение (деление) матрицы на число, сложение (вычитание) матриц в Excel реализуются достаточно просто: с помощью обычных формул (поэлементное сложение или вычитание, умножение или деление на число), либо с использованием табличных формул, как это было описано выше. Для остальных матричных операций в Excel предусмотрены функции рабочего листа из категории «Арифметические и тригонометрические функции»: МОПРЕД (матрица) вычисление определителя матрицы, МОБР (матрица) вычисление обратной матрицы, МУМНОЖ (матрица 1, матрица 2) произведение матриц, ТРАНСП (матрица) транспонирование матрицы.

5 Первая из этих функций в качестве результата возвращает число (определитель матрицы), поэтому вводится как обычная формула (Enter). Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как табличные формулы (Ctrl+Shift+Enter). Нахождение определителя матрицы Перед нахождением определителя необходимо ввести матрицу в диапазон ячеек Excel в виде таблицы. Для нахождения определителя матрицы в Excel необходимо: сделать активной ячейку, в которой в последующем будет записан результат; в меню Вставка Функция в категории Математические выбрать функцию МОПРЕД и нажать OK; на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы матрицы, и нажать OK.

6 Нахождение обратной матрицы Для нахождения обратной матрицы необходимо выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы матрицы ( количество строк и количество столбцов должны равняться соответствующим параметрам исходной матрицы). в меню Вставка Функция в категории Математические выбрать функцию МОБР и нажать OK; на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы исходной матрицы, и нажать OK. после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F2 и комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

7 Перемножение матриц. Для перемножения матриц необходимо 1. выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы результирующей матрицы. 2. в меню Вставка Функция в категории Математические выбрать функцию МУМНОЖ и нажать OK; 3. на втором шаге задать два диапазона ячеек с элементами перемножаемых матриц, и нажать OK. 4. после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F2 и комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Решение системы уравнений в Excel. Решение системы уравнений при помощи нахождения обратной матрицы. Пусть дана линейная система уравнений. Данную систему уравнений можно представить в матричной форме:, где Матрица неизвестных вычисляется по формуле:, где A -1 обратная матрица по отношению к A. Для вычисления уравнения в Excel необходимо: 1. ввести матрицу A; 2. ввести матрицу B; 3. вычислить обратную матрицу по отношению к А; 4. перемножить полученную обратную матрицу с матрицей B. Решение систем уравнений методом Крамера Если определитель, составленный из коэффициентов системы, отличен от 0, то система является определённой и её решение находится по формулам: 1 2 х 1 =, х2 =, х = 3 3. Где Ι - определитель матрицы системы, где вместо I го столбца стоит столбец правых частей. Вычисление определенных интегралов

8 b 1. С геометрической точки зрения определенный интеграл f ( x) dx есть a площадь фигуры, ограниченной графиком функции f (x) и прямыми x = a, x = b, y = 0. Функция f (x) называется подынтегральной функцией. Чтобы приближенно вычислить эту площадь, разделим интервал b a интегрирования [ a, b] на N равных отрезков длиной x = каждый. Тогда N координата левого конца i-го отрезка определяется по формуле x i = x 0 + i x, где x 0 = a, i = 0,1,, N 1. Простейший приближенный расчет площади под кривой f (x) состоит в нахождении суммы площадей прямоугольников, у каждого из которых основание совпадает с отрезком [ x i, x i+ 1], а высота равна значению функции в точке x i (метод левых прямоугольников). Можно высоту брать равной значению функции в точке x i+ 1 (метод правых прямоугольников) или в точке x i + x i+1 (метод центральных прямоугольников). При использовании метода левых 2 прямоугольников формула для вычисления площади выглядит следующим образом: b a N 1 f ( x) dx = f ( xi ) x. i= 0 Можно повысить точность вычисления определенного интеграла, если заменить на каждом интервале x, ], i = 0, 1,, N 1 дугу графика f (x) отрезком [ i x i+ 1 (хордой), соединяющем точки с координатами ( x i, f ( xi )) и ( x i+ 1, f ( xi+ 1)). В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми x = xi, x = x i+ 1, приближенно заменяется не прямоугольником, а трапецией, и искомый определенный интеграл рассчитывается как сумма площадей всех таких трапеций: b a N 1 1 f ( x) dx ( f ( xi+ 1 ) + f ( xi )) x. 2 i= 0 Формула может быть существенно упрощена, но оставим это для курса вычислительной математики (сейчас можете попытаться упростить ее самостоятельно). 2. Замена графика функции f (x) хордами, описанная в методе трапеций, позволяет при помощи электронных таблиц довольно легко определять приближенное значение длины дуги графика f (x) на интервале [ a, b]. В этой задаче рассматриваемая кривая представляется в виде ломанной, длина s которой равна сумме длин s i её звеньев. Длину s i звена, построенного на отрезке [ x i, x i+ 1], можно найти как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными x и yi = f ( xi 1) f ( xi ), используя известную теорему Пифагора. В результате суммирования длин всех звеньев, получаем:

9 N 1 i= 0 N 1 2 i = ( x) + ( y i i= 0 2 s = s ). Заметим, что точность приближенного вычисления интегралов зависит от величины N, то есть от количества отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования [ a, b]. При отсутствии погрешностей округления, чем больше N, тем выше точность (с ростом N погрешность вычислений сходится к нулю). II. Практическая часть. Пример 1. Составить алгоритм решения системы уравнений при помощи электронной таблицы. Рассмотрим решение следующей системы уравнений: y = x 2 y = 2x+9 на отрезке [-10; 10] с шагом 1. Первая строка строка заголовков. При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента х= -10, для автоматического заполнения всего столбца в ячейку А3 занести формулу «=А2+1» и скопировать ее до ячейки А22. При заполнении столбца В: в ячейку В2 заносится формула «=А2*А2», которая затем копируется до ячейки В22. При заполнении столбца С: в ячейку С2 заносится формула «=2*А2+9», и также копируется до С22. Рис. 1 С помощью Диаграммы построить в одной системе координат графики заданных функций для первоначальной оценки решений. Рис. 2 На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения координаты этих точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента достаточно велик, то мы получим приближенные значения решений: (-2, 5) и (4, 17)

10 Рис. 3 Уточним их, построив в интервалах от -3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5, где находится второе решение. Составим новые таблицы (шаг = 0,1). Для первого решения (рис.4) и второго решения (рис.5) Первое решение Рис. 4 Второе решение Рис. 5

11 Для более точного построения мы уменьшили шаг изменения аргумента. Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: Пример 2. Решить систему уравнений методом Крамера Т.е. будем решать систему из трех алгебраических уравнений относительно трех неизвестных. Размерность системы n=3, матрица системы A размерности 3 3 имеет вид: а вектор-столбец свободных членов B=(-24, -48, 18) T. где det A = A определитель матрицы А системы (главный определитель), det A i = A i (i = 1, 2,, n) определители матриц A i (вспомогательные определители), которые получаются из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B. Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det A=0. Для рассматриваемой системы уравнений вспомогательные матрицы имеют следующий вид

12 Разместим их на рабочем листе. Причем сделаем это не путем простого копирования соответствующих значений, а вводом формул с использованием абсолютных ссылок на элементы матрицы A из интервала A3:C5 и элементы вектора B из интервала D3:D5. Во-первых, это ускорит процесс ввода матриц A i (i = 1, 2, 3) (формулы введем только в интервалa11:c13 матрицы A 1 и в интервал E11:E13 первого столбца матрицы A 2, далее же будем их блоками только копировать: A11:A13 в F11:F13 и в K11:K13, B11:B13 в J11:J13, C11:C13 в G11:G13, E11:E13 вi11:i13). Во-вторых, это сделает проектируемую таблицу универсальной в том смысле, что можно будет изменять только исходные данные (матрицу системы A в интервале A3:C5 и вектор-столбец свободных членов B в D3:D5), а все остальное (в том числе и решение системы уравнений) будет автоматически вычисляться. Далее, воспользовавшись функцией МОПРЕД (матрица), вычислим определители всех матриц. Аналогичная формула (=МОПРЕД(A3:C5)) для вычисления определителя матрицы A записана в ячейку E8. По формулам Крамера найдем решение системы: Соответствующие формулы Excel запишем в интервал решения B7:B9, в котором и увидим результат. Заметим, что при вычислении x i (i = 1, 2, 3) анализируется значение определителя матрицы системы A, вычисленное в ячейке E8, и, если оно равно нулю (система несовместна), то в B7 помещается текст Решения нет, а в ячейки B8 и B9 пустые строки.

13 Пример 3. Решить систему уравнений: 1. Ввести значения элементов матриц A и B уравнения в ячейки Excel. 2. Вычислить обратную матрицу с помощью матричной функции МОБР. 3. Перемножить обратную матрицу A -1 на матрицу B с помощью матричной функции МУМНОЖ (Порядок умножения важен первой должна идти матрица A -1 а второй B.) 4. Проверить правильность полученной матрицы корней X.

14 Заключение. В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Программа Microsoft Excel одна из наиболее практически значимых, востребованных. Электронные таблицы не только позволяют автоматизировать расчеты, но и являются эффективным средством моделирования различных вариантов и ситуаций. Меняя значения исходных данных, можно проследить за изменением получаемых результатов и из множества вариантов решения задачи выбрать наиболее подходящий. Литература: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа М.: Просвещение, Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.

15 Заявка участника Картешкина Анна Николаевна Название номинации: Учебно-научно исследовательских проектов обучающихся и талантливой молодежи Омского Прииртышья «Поколение будущего» Название проекта:решение математических задач с использованием математического моделирования и табличного процессора MS Excel. Сведение об участнике конференции Дата рождения Паспортные данные: Серия 5212 номер Выдан ОУФМС России по Омской обл. в Октябрьском Административном округе города Омска. Дата выдачи: Домашний адрес: Индекс Город Омск, Улица 75 Гвардейской бригады, дом 1/Б, квартира 99 Контактный телефон участника: участника: Полное название образовательного учреждения, которое представляет участник: Бюджетное образовательное учреждение Омской области «Омский колледж транспортного строительства» образовательного учреждения: Сведения о руководителе, подготовившем участника: Шишина Татьяна Васильевна Должность преподаватель, место работы «Омский колледж транспортного строительства» Контактный телефон руководителя: руководителя:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX=b, где

Эту систему можно представить в матричном виде: AX=b, где Тема: Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических

Подробнее

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Кузбасский государственный технический университет» Кафедра вычислительной техники

Подробнее

Часть 1. Матричная алгебра

Часть 1. Матричная алгебра Практическое занятие 3 Оглавление ЧАСТЬ 1. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА... 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА... 1 МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ В EXCEL... 2 ЗАДАНИЕ 1.... 2 ЗАДАНИЕ 2.... 5 ЗАДАНИЕ 3.... 7 ЧАСТЬ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

Подробнее

4.5 Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах. Пример 4.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений:

4.5 Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах. Пример 4.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений: . Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах Пример.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений: - -. В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов

Подробнее

ВАРИАНТЫ З А Д А Н И Й

ВАРИАНТЫ З А Д А Н И Й ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Тема: Решение систем линейных уравнений работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем

Подробнее

Лабораторная работа 3. Обработка матриц

Лабораторная работа 3. Обработка матриц Лабораторная работа. Обработка матриц Цель работы: изучение возможностей пакета MS Excel при решении задач линейной алгебры. Задачи: изучить возможности применения табличных формул при работе с матрицами;

Подробнее

Рис Ввод матриц на рабочий лист

Рис Ввод матриц на рабочий лист МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

Подробнее

OpenOffice.org Calc. x 1. x 2. a 12

OpenOffice.org Calc. x 1. x 2. a 12 Глава 3 Решение систем линейных уравнений. Работа с матрицами OpenOffice.org Calc В этой главе мы изучим возможности пакета OpenOffice.org Calc при решении систем линейных алгебраических уравнений и выполнении

Подробнее

соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева:

соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева: Практическая работа 5.. Использование функций работы с массивами Microsoft Ecel в моделировании (на примере модели межотраслевого баланса) Цель работы. Выполнив эту работу Вы научитесь: использовать функции

Подробнее

Балансовые задачи - средствами Excel

Балансовые задачи - средствами Excel Балансовые задачи - средствами Excel В статье приведена методика решения балансовых задач в экономике с помощью реализованных в Excel методов линейной алгебры (см. также статью [1]), которая может использоваться

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Тема: Цель: Время: Задание: Литература:

Тема: Цель: Время: Задание: Литература: Тема: Цель: Время: Задание: Литература: Практическая работа 0. Использование абсолютных и относительных адресов ячеек в формулах, решение уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с помощью

Подробнее

Оглавление. 3. Относительные и абсолютные ссылки

Оглавление. 3. Относительные и абсолютные ссылки Оглавление 1. Электронные таблицы 2. Электронные таблицы. Состав 3. Относительные и абсолютные ссылки Электронные таблицы Современные технологии обработки информации часто приводят к тому, что возникает

Подробнее

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MS EXCEL ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MS EXCEL ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА Ревчук И.Н. Пчельник В.К. УО «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы» г. Гродно Республика Беларусь ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MS EXCEL ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

Подробнее

Тема 6.8. Вычисление определенного интеграла

Тема 6.8. Вычисление определенного интеграла Тема 6.8. Вычисление определенного интеграла Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближѐнного вычисления определѐнного интеграла. Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое

Подробнее

Глава 18. Функция массива МУМНОЖ

Глава 18. Функция массива МУМНОЖ Глава 18. Функция массива МУМНОЖ Это глава из книги: Майкл Гирвин. Ctrl+Shift+Enter. Освоение формул массива в Excel. Предыдущая глава Оглавление Следующая глава Функция МУМНОЖ используется в Excel для

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Расчетно-графическая работа по информатике

Расчетно-графическая работа по информатике Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

Подробнее

Дифференцирование функций, заданных таблично. x 1 1,2 1,3 1,55 y(x) ,5 16,5

Дифференцирование функций, заданных таблично. x 1 1,2 1,3 1,55 y(x) ,5 16,5 Дополнение к Вычислительному практикуму. Глава 1 1 Дифференцирование функций, заданных таблично Для функции, заданной таблицей, найти разностные производные всех типов. Найти эластичность этой функции,

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

«MICROSOFT OFFICE EXCEL»

«MICROSOFT OFFICE EXCEL» «MICROSOFT OFFICE EXCEL» Дисциплина «Программные средства профессиональной деятельности» Лектор: Ст. преподаватель кафедры «Электропривода и электрооборудования» Воронина Наталья Алексеевна Назначение

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ для проведения лабораторных занятий по учебной дисциплине

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ для проведения лабораторных занятий по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и компьютерных технологий Допущены к проведению занятий в 2016-2017 уч.году Заведующий кафедрой

Подробнее

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Балансовые экономико-математические модели и их моделирование на Excel и MathCad

Балансовые экономико-математические модели и их моделирование на Excel и MathCad Лабораторная работа 4 Балансовые экономико-математические модели и их моделирование на Excel и MathCad Цель работы приобретение навыков построения балансовых экономико-математических моделей и решения

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Лекция 11 ВЫЧИСЛЕНИЯ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ MS EXCEL 2010

Лекция 11 ВЫЧИСЛЕНИЯ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ MS EXCEL 2010 Лекция 11 ВЫЧИСЛЕНИЯ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ MS EXCEL 2010 Цель лекции. Изучить особенности проведения вычислений с использованием формул в табличном процессоре Ms Excel 2010. Вопросы лекции: 1. Формулы

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Формула (в математике) это равенство (комбинация математических символов), которое выполняет вычисления.

Формула (в математике) это равенство (комбинация математических символов), которое выполняет вычисления. Формула (в математике) это равенство (комбинация математических символов), которое выполняет вычисления. Формула может включать числовые значения, ссылки на отдельные ячейки и диапазоны ячеек, математические

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными: Системы уравнений Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными f(x, y)=0 и g(x, y)=0, где f(x, y), g(x, y) некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА».

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА». Приложение 3 к рабочей учебной программе дисциплины МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА». Практическое занятие 1 Тема: «Установки. Инструктажи по пожарной безопасности и по технике

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» «ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ»

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» «ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ» Тюрикова Татьяна Леонидовна Краевое государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Кунгурский сельскохозяйственный колледж» Пермский край, г. Кунгур КОНСПЕКТ

Подробнее

Формулы массива в Excel

Формулы массива в Excel 1 Формулы массива в Excel Массив набор элементов, который обрабатывается как единое целое. Разновидности массивов: 1. Одномерные вектор, значения которого хранятся в одной строке (столбце). Вектор-строка

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Формулы. Microsoft Excel

Формулы. Microsoft Excel Формулы Microsoft Excel Введение... 2 Математические Операторы... 2 Ссылки на ячейки... 2 Создание формул... 4 Копирование формул с помощью автозаполнения... 6 Редактирование формул... 7 Порядок операций...

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

Лабораторная работа 8. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ В EXCEL

Лабораторная работа 8. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ В EXCEL Лабораторная работа 8. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ В EXCEL Цель работы: научиться пользоваться средствами графического отображения информации в среде Ecel, способах ее форматирования и использования

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Глава 5 Финансовые расчеты

Глава 5 Финансовые расчеты Глава 5 Финансовые расчеты Данная глава посвящена приемам создания небольших электронных таблиц. Однако используемые при этом приемы рассматриваются здесь в несколько ином разрезе, нежели в предыдущей

Подробнее

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА К ЗАЧЁТУ ПО ИНФОРМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ (ДЛЯ ЗАЧЁТА MIN БАЛЛОВ!) СамГТУ ИТФ 5/6 Задание Построить график функции y на отрезке ; с шагом h, (,5 балла) С точностью, найти корень нелинейного уравнения

Подробнее

15. ТАБЛИЧНЫЙ ПРОЦЕССОР EXCEL. ВВОД И ОБРАБОТКА ДАННЫХ

15. ТАБЛИЧНЫЙ ПРОЦЕССОР EXCEL. ВВОД И ОБРАБОТКА ДАННЫХ 15. ТАБЛИЧНЫЙ ПРОЦЕССОР EXCEL. ВВОД И ОБРАБОТКА ДАННЫХ 15.1. Общие сведения Цель данного урока получить навыки работы по вводу и обработке данных различных типов с помощью табличного процессора Excel,

Подробнее

Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет. Факультет информационных технологий

Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет. Факультет информационных технологий Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет Факультет информационных технологий кафедра высшей математики "УТВЕРЖДАЮ" Декан ФЭУ Рычка И.А. " " 007г. РАБОЧАЯ

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Работа с табличным процессором Microsoft Excel

Работа с табличным процессором Microsoft Excel Работа с табличным процессором Microsoft Excel Краткие теоретические сведения Приложение Windows Excel позволяет формировать и выводить на печать документы, представленные в табличном виде, выполнять расчеты

Подробнее

Основы обработки данных всредеms Exel

Основы обработки данных всредеms Exel Основы обработки данных всредеms Exel Определение табличного редактора Внешний вид MS Excel и объекты ЭТ Данные в ЭТ Действия с данными и объектами в ЭТ. Относительная и абсолютная адресация Функции в

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы

Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы научитесь: использовать линии тренда для аппроксимации

Подробнее

Лабораторная работа по Excel. Текст

Лабораторная работа по Excel. Текст Лабораторная работа по Excel (файл.xls на странице www.matburo.ru/sub_appear.php?p=l_excel ) Создание, заполнение, редактирование и форматирование таблиц Что осваивается и изучается? Ввод и форматирование

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f ( ) C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

Подробнее

Г р а ф и ч е с кое решение систем уравнений

Г р а ф и ч е с кое решение систем уравнений Г р а ф и ч е с кое решение систем уравнений Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты по их уравнениям. MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных уравнений. В Excel

Подробнее

Кафедра «САПР транспортных конструкций и сооружений»

Кафедра «САПР транспортных конструкций и сооружений» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «САПР транспортных конструкций и сооружений» В. Ю. СМИРНОВ О. В. СМИРНОВА Утверждено редакционно-издательским советом университета

Подробнее

три столбца и одну строку, и занимает 24 байта памяти;

три столбца и одну строку, и занимает 24 байта памяти; Лабораторная работа Работа с векторами в MatLab Цель работы: выработать навыки работы с векторами в MatLab. Требуемое оборудование и программное обеспечение: ПЭВМ класса Pentium или выше, операционная

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина. Э. П.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина. Э. П. Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Э. П. Макаров ЭЛЕКТРОННЫЕ ТАБЛИЦЫ MS Excel 2007 Часть 2 Вычислительная

Подробнее

1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel.

1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Ecel ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе Microsoft

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1.

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1. Лабораторная работа Решение уравнений средствами Mthcd Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений

Подробнее

Excel. Имена диапазонов

Excel. Имена диапазонов Excel. Имена диапазонов Возможно, вам приходилось работать с листами, в которых использовалась, формула типа: =СУММ(А5000:А5078). Вы гадали, что же находится в ячейках А5000:А5078!? Если в ячейках А5000:А5078

Подробнее

Электронные таблицы ФОРМУЛЫ

Электронные таблицы ФОРМУЛЫ Электронные таблицы ФОРМУЛЫ Понятие формулы Назначение электронной таблицы в первую очередь состоит в автоматизации вычислений над данными. Для этого в ячейки таблицы вводятся формулы. Ввод формулы начинается

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Контролируемые виды деятельности. (Тема) Максимальный балл. МАТЕМАТИКА, 5 класс, УМК 1 Аннотация, Май 2011

Контролируемые виды деятельности. (Тема) Максимальный балл. МАТЕМАТИКА, 5 класс, УМК 1 Аннотация, Май 2011 МАТЕМАТИКА, 5 класс, УМК Аннотация, Май 20 к краевой диагностической работе по МАТЕМАТИКЕ 5 класс (2 мая 20 г.) для учащихся, обучающихся по учебно-методическим комплектам: Н.Я. Виленкина и др.; И.И. Зубаревой

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее