Решение уравнений в целых числах

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение уравнений в целых числах"

Транскрипт

1 Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение. Пусть количество кроликов у количество фазанов тогда имеем уравнение 4 y 8 или y 9. Если то y 7. Если то y. Если то y. Если 4 то y. При получаем 0 9. Ответ: (;7) (;) (;) (4;).. Использование неравенств Пример. Решите в натуральных числах уравнение 8y 9. Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства 9 8y 0 8 y 9 0 y 4 7. Проведем перебор по неизвестной у. Если y то 6 не является Если y то 4 6 не является Если y то. Если y 4 то 4 не является Ответ: (; ).. Использование отношения делимости Пример. Имеются контейнеры двух видов: по 0 кг и 60 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида если вместе они весят тонны? Указать все решения. Решение. Обозначим количество контейнеров первого вида через второго через у. Получаем уравнение 0 60y 000 или 6y 00. Далее имеем y y y ( y). Отсюда следует что разность y делится на. Если y 0 то у не является Если y то у не является Если y 6 то y 9 и. Если y 9 то у не является Если y то у не является Если y 6 то y но Ответ: контейнеров по 0 кг и 9 по 60 кг. 4. Выделение целой части Пример 4. У осьминога 8 ног а у морской звезды. Сколько в аквариуме тех и других если всего у них 9 ног? Решение. Пусть количество осьминогов у количество морских звезд тогда получаем уравнение 8 y 9. Выразим у из уравнения и выделим целую часть: y 7. Отсюда следует что разность 4 делится на. Если 4 0 то не является Если 4 то и y. Если 4 0 то не является Если 4 то не является Если 4 0 то 8 но Ответ: и. Замечание. В двух последних примерах использовано отношение делимости при этом уравнения приводились к разному виду.. Метод остатков Пример. Решить в целых числах уравнение 4y.

2 Решение. Перепишем уравнение в виде 4y. Поскольку левая часть уравнения делится на то должна делиться на и правая часть. Рассмотрим три случая.. Если y m где m Z то 4y m не делится на.. Если y m то 4y 4(m ) m не делится на.. Если y m то 4y 4(m ) m 9 делится на поэтому m 9 4m. Ответ: 4m y m где m Z. 6. Метод «спуска» Пример 6. Решить в целых числах уравнение 7y. Решение. Выразим из уравнения то неизвестное коэффициент при котором меньше по модулю: 7y y y. y Дробь должна быть равна целому y числу. Положим z где z целое число. Тогда y z. Из последнего уравнения выразим то неизвестное коэффициент при котором меньше по модулю и проделаем аналогичные преобразования: z z y z. z Дробь должна быть целым числом. Обозначим z t где t целое число. Отсюда z t. Последовательно возвращаемся к неизвестным х и у: y (t ) t t 9 y z t 9 t 7t. Ответ: 7t y t 9 где t Z. 7. Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Пример 7. Решить в целых числах уравнение 79y. Решение. Проведем деление с остатком 79 0 и перепишем исходное уравнение в виде 79y 69y 0y 69y 0y. Левая часть последнего уравнения делится нацело на поэтому и правая часть должна делиться на. Имеем 0y t где t Z. Для полученного нового уравнения повторим процедуру уменьшения коэффициентов. 0y t (0 ) t ; 0y 0t t ; t 0u где u Z. Проведем еще раз процедуру уменьшения коэффициентов. t 0u ( ) u; t 9u u ; u Z. Выразим х и у через. Так как u то t 0u 0( ) 0 9; t 0. 0y t (0 ) 0 70; y 7. 79y 79( 7) 79 ; Ответ: 79 4; y 7 где Z. Замечание. В последних двух примерах применен метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю при этом уравнения приводились к разному виду.

3 8. Использование формул Теорема 9. Уравнение a a... a b разрешимо в целых числах тогда и только тогда когда d b где d=нод ( a a... a). Любое уравнение которое требуется решить в целых числах называют диофантовым уравнением. Простейшими из них являются линейные диофантовы уравнения вида a by c где a b c Z. Его решение ( y) пара целых чисел. При решении этого уравнения используется следующая теорема. Теорема 0. Линейное диофантово уравнение a by c где a b c Z имеет решение тогда и только тогда когда c делится на НОД чисел a и b. Если d НОД( a b) a ad b bd c cd и 0; y 0 некоторое решение уравнения a by c то все решения задаются формулами 0 bt y y0 at () где t произвольное целое число. Доказательство. Пусть d НОД( a b) т.е. существуют такие числа a и a a d b d. Тогда уравнение преобразуется к виду ad bdy c d a b y c. или Отсюда следует уравнение имеет решение в целых числах тогда и только тогда когда c делится на d т.е. c c d. Переписывая уравнения в виде d a b y c d и сокращая на d получим уравнение a b y c () где ( a b) т.е. числа a и b взаимно просты. Пусть теперь ( 0 y0) некоторое решение этого уравнения. Рассмотрим пару чисел заданных формулами () и покажем что эта пара также является решением уравнения (). Подставив их в уравнение () получим или a ( b t) b ( y a t) c 0 0 a b y a b t b a t c 0 0 c 0 т.е. равенство верно при любом t. Пусть ( * y*) также решение уравнения a b y c т.е. a * b y* c. Вычитая из левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства a b y c получим 0 0 a * b y * y Заметим что при a b 0 если * 0 то и y* y0 и наоборот. Так как ( a b) то где * и a t y y b 0 t Z. Тогда имеем * () t y * y * * y * y 0 или t y y * * т.е. t. Отсюда из () получаем формулы (). Теорема доказана. Замечание. Теорема 0 утверждает что если линейное диофантово уравнения имеет решения то их все можно представить в виде () однако для этого нужно знать некоторое решение 0; y 0. Пример 8. (МГУ 969). Остаток от деления некоторого натурального числа на 6 равен 4 остаток от деления на равен 7. Чему равен остаток от деления на 0? Решение. Из условия задачи следует что существует натуральное число такое что 6 4. Аналогично имеем l 7 где l N. Исключая из этих двух равенств получим уравнение l. (*) Для решения этого уравнения найдем какое-нибудь частное решение в целых

4 (не обязательно неотрицательных) числах. Подбором в качестве такого частного решения можно взять например l. Согласно следствия уравнение (*) имеет решения t l t где t Z. Чтобы числа и l были неотрицательными параметр t должен принимать натуральные значения. Теперь имеем 6(t ) 4 0t 8 0( t ). Ответ:. Пример 9. Решить в целых числах уравнение 47 y 4. Решение. Числа 47 и взаимно просты следовательно уравнение разрешимо в Z. Найдем одно частное решение: 47 ( ) Итак 47 Следовательно Значит пара чисел (; 68) образует частное решение данного уравнения. Следовательно общее решение t y 6847t где t Z. 9. Использование конечных цепных дробей Пример 0. Решить в целых числах уравнение 7 y 0. Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего выделим целую часть 7 неправильной дроби ; Правильную 7. дробь заменим равной ей дробью. Тогда получим 7. Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью. Теперь исходная дробь примет вид: 7 6. Повторяя те же рассуждения для дроби 6 получим 7. Выделяя целую часть неправильной 6 дроби придем к окончательному результату: 7 Мы получили выражение которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби одну пятую превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую 7 и вычтем ее из исходной дроби : 6 4

5 Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его тогда Из сопоставления полученного равенства с уравнением 7 y 0 следует что 9 y будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в формулах 9 t y 7t где t Z. Ответ: 9 t y 7t где t Z. Нелинейные уравнения. Метод разложения на множители а) вынесение общих множителей за скобку Пример. Решить в целых числах уравнение y 7 0. Решение. Приведем данное уравнение к виду ( y) 7. Так как ( 7) 7 ( ) то рассмотрим четыре системы ) ) y 7. y 7. ) 4) 7 y. 7 y. Из каждой системы получаем решения. Ответ: ( ;); ( ; 9); ( 7; 97); ( 7; 99). б) применение формул сокращенного умножения Пример. Найти все пары натуральных чисел разность квадратов которых равна. Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения или ( )( ). Поскольку и то возможны два случая или Решая эти уравнения получим два ответа: 8 7 и 8. Ответ: ( 8;7); ( 8;). в) способ группировки Пример. Решить в целых числах уравнение y y 6. Решение. Запишем уравнение в виде ( y ) ( y ) или ( )( y ).

6 Так как ( ) ( ) то рассмотрим четыре системы ) ) y. y. ) 4) y. y. Из каждой системы получаем решения. Ответ: ( 4; ); ( ; 4); ( ;0); ( 0; 6). г) разложение квадратного трехчлена Пример 4. Решить в целых числах уравнение y y. Решение. Решим уравнение y y 0 относительно неизвестной х:. Тогда получаем y ( y)( y). y и Так как ( ) ( ) то рассмотрим четыре системы ) ) y y. y y. ) 4) y y. y y. Из каждой системы получаем решения. Ответ: ( ;0); ( 9; 0); ( ; 0); ( 9;0). д) использование параметра Пример. Решить в целых числах уравнение y 9 y. Решение. Перепишем уравнение в виде (y 9) y a a и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Находим дискриминант D 4y 44 y 97 8a. Очевидно если 97 8a то дискриминант будет полным квадратом. При этом a и 6 y 9 (y ). Отсюда 4 0 и y. Уравнение принимает вид ( )( y ). Рассмотрите самостоятельно решение последнего уравнения. Ответ: ( ;9); ( ;); ( ;8); ( 0;).. Метод решения относительно одной переменной а) выделение целой части Пример 6. (МГУ 997). Найти все пары целых чисел х и у удовлетворяющие уравнению y 4 7y 7 0. Решение. Выразим из данного уравнения у через : 4 7 y. 7 При этом следует отметить что величина 7 0 (так как целое число). Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя): 4( 7) y Умножим обе части последнего равенства на : 6 9 y 7 7 или y 4. 7 Поскольку числа у и 4 целые то 7 должно быть делителем числа : 7 ; ; всего 6 возможностей. Отсюда для получаем три возможных значения: (в остальных трех случаях не является целым). Соответствующие значения у равны. Ответ: ( 4; ); ( 6; ); ( 4; ). Замечание. В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при в знаменателе. Этот прием домножения

7 также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители. б) использование дискриминанта (неотрицательность) Пример 7. Решить в целых числах уравнение ( y y ) 8y. Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно : (y ) y 8y 0. Найдем дискриминант D этого уравнения D 7 y 90 y. Данное уравнение имеет корни если D 0 т.е. 7 y 90 y 0. Так как y Z то получаем 0 y. Перебирая эти значения получим что исходное уравнение в целых числах имеет решения ( 0;0) и ( ; ). Ответ: ( 0;0); ( ; ). в) использование дискриминанта (полный квадрат) Пример 8. Решить в целых числах уравнение y y y. Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно : ( y ) y y 0. Его дискриминант D y 6y t должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение y 6y t ( y ) t 0; 4. Из последнего уравнения следует что t 4 т.е. t.. Если t 0 то уравнение ( y ) не имеет целого решения у.. Если t то уравнение ( y ) имеет целые решения y и y 0. При y получаем квадратное 4 уравнение 0 с корнями или. При y 0 получаем квадратное уравнение 0 с корнями 0 или.. Если t 4 то уравнение ( y ) 0 имеет одно целое решение y. При y получаем квадратное уравнение 0 с корнями 0 или. Ответ: ( ;); ( ;); ( 0;0); ( ;0) ( 0;); ( ;). Метод оценки а) использование известных неравенств Пример 9. Решить в натуральных числах уравнение. y Решение. Пусть для определенности y. Проведем перебор для первых значений неизвестной х.. Если то получаем неверное равенство так как при y y любых натуральных у.. Если то получаем неверное равенство так как y y при любых натуральных у.. Если то получаем y y 6. y 6 4. Если 4 то получаем 4 y y 4. y 4. Если то получаем y 0 y N. y 0 Пусть 6. По условию y следовательно y 6. Тогда 7

8 6 y 6 а значит. y Таким образом при 6 и y исходное уравнение решений не имеет. Заметим что в уравнении y неизвестные и у равноправны поэтому снимая условие y имеем еще одно решение ( 6;). Кроме того можно сделать вывод что при 6 и y 6 исходное уравнение не имеет решений. Ответ: ( 4;4); ( 6;); ( ;6). Пример 0. (ММО 96 8 класс). Решить в целых числах уравнение y z yz z y. Решение. Можно вначале найти решения только в натуральных числах так как если ( 0; y0; z0) решение то изменив знак у любых двух чисел этой тройки снова получим решение. Данное уравнение умножим на yz и воспользуемся неравенством a b ab; 6yz y z y z ( y z ) ( y y z ) ( z y z ) yz y z z y yz( y z) откуда y z. Но у z натуральные поэтому y z единственное решение в натуральных числах. Остальные решения исходного уравнения таковы: ( ; ;); ( ; ; ); ( ;; ). Ответ: ( ;; ); ( ; ;); ( ; ; ); ( ;; ). б) приведение к сумме неотрицательных выражений Пример. (ММО классы). Решить в целых числах уравнение y y y. Решение. Приведем уравнение к виду ( ) ( y ) ( y). Так как ( ) то имеем ( ) 0 или ( ). Отсюда получаем три значения : 0. Подставляя эти значения в исходное уравнение найдем значения у. Ответ: ( 0;0);(;0);(0;);(;);(;);(;). 4. Метод остатков Пример. Решить в целых числах m уравнение 7. Решение.. Если m 0 то уравнение не имеет решений в целых числах. Действительно 0 m тогда правая часть уравнения m 7 является целым числом при 0 (что невозможно) или правая часть уравнения m 7 меньше 7 при 0.. Пусть m 0 тогда из уравнения 8 получаем.. Теперь считаем что m 0. Так как уравнение содержит степень с основанием то имеет смысл рассмотреть остатки при делении на. Левая часть исходного уравнения при делении на имеет остаток. Когда правая часть имеет остаток? Легко показать что при четном выражение 4 ( )... t имеет остаток. При нечетном выражение 4 (t ) 6t имеет остаток. Итак. Тогда уравнение m запишем в виде Правая часть последнего уравнения имеет остаток при делении на 4 (число 7 попадает в множество-класс остатков содержащее ). Когда левая часть имеет остаток? Легко показать что при четном m p выражение 8 p p p 9 (8 ) s 8

9 имеет остаток. При нечетном m p выражение p 9 p (8s ) 4s имеет остаток. Итак m p. Тогда уравнение запишем в виде p 7 или p p ( )( ) 7. Так как единственный случай p p и p 0 p p 7. то имеем Отсюда получаем p и m 4. Ответ: m 4 или m 0.. Метод «спуска» а) конечного «спуска» Пример. Решить в целых числах уравнение y 7. Решение. Так как четное число а 7 нечетное то y должно быть нечетным т.е. у нечетное. Пусть y z z Z тогда данное уравнение можно переписать в виде 0z 0z 6. Отсюда видно что должно быть четным. Пусть m тогда последнее уравнение примет вид m z( z ) что невозможно так как число z ( z ) четно а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений. б) бесконечного «спуска» Пример 4. Решить в целых числах уравнение y z. Решение. Запишем уравнение в виде z y. Отсюда следует что левая часть последнего уравнения кратна. Рассмотрим остатки при делении выражения z на. х Из таблицы видно что для разрешимости в целых числах исходного уравнения числа и z должны быть кратны. Предположим что z z тогда исходное уравнение (после сокращения на ) примет вид 0 y z. Отсюда следует что значения у кратны т.е. y y. Последнее уравнение (после сокращения на ) примет тот же вид y z что и исходное уравнение. Из приведенных рассуждений следует что числа y и z должны быть кратными далее числа y z y z т.е. также кратны. Итак оказалось что числа удовлетворяющие исходному уравнению должны делиться на и сколько бы раз не делили эти числа будем получать новые числа которые также делятся на и удовлетворяют уравнению. Единственное число обладающее этим свойством есть нуль. Следовательно уравнение y z имеет единственное решение в целых числах ( 0;0;0). Ответ: ( 0;0;0). 6. Метод от противного Пример. Доказать что уравнение y z yz неразрешимо в натуральных числах. Решение. Предположим что данное уравнение разрешимо в натуральных числах. Тогда так как его правая часть делится на то и левая часть также должна делиться на. Это возможно если либо одно из них четное а два других нечетные либо y z четные числа. Рассмотрим эти случаи. 9

10 . Пусть например y y z z. Подставляя эти числа в исходное уравнение получим: 4 z 4 4y 4y 4z 4 (y )(z ). После сокращения на получаем z y y z (y )(z ). В последнем уравнении правая часть четное число а левая нечетное число. Следовательно решений нет.. Пусть y z четные числа т.е. y y z z. Подставляя эти числа в исходное уравнение получим: y z 4 yz. Применяя к полученному уравнению те же рассуждения что и для исходного уравнения находим y y z y z z. Тогда y 8 z и т.д. На каждом шаге выполняется условие y y z z. В итоге получаем например для бесконечную последовательность Но эта последовательность натуральных чисел должна быть конечной. Получаем противоречие. Следовательно исходное уравнение неразрешимо в натуральных числах. Замечание. В данном примере использован метод бесконечного спуска заключающийся в построении алгоритма приводящего к созданию бесконечной последовательности убывающих целых положительных чисел. Поскольку убывающая последовательность целых положительных чисел имеет лишь конечное число членов то получается противоречие. Решение. Положим a b y a b. Так как y a 6ab то исходное уравнение принимает вид a 6ab z. Положив a получим z 6 b. Считаем теперь b 6t. Отсюда 6t y 6t z 6t. Таким образом получено бесконечное множество решений исходного уравнения соответствующих целочисленным значениям параметра t. Ответ: 6t y 6t z 6t где t Z. 8. Функционально-графический метод Пример 7. (00). Найдите все пары натуральных и таких что и. Решение.. Преобразуем исходное равенство: l l l l f ( ) f ( ) l где f ( ) 0. l. f ( ) поэтому f ( ) 0 при e и f ( ) 0 при 0 e. Значит функция f () возрастает на 0 ;e и убывает на e ;. Так как равенство f ( ) f ( ) может выполняться только при условии e откуда следует или причем для каждого может найтись не более одного значения удовлетворяющего уравнению в паре с этим значением. 7. Параметризация уравнения Пример 6. Решите уравнение y z в целых числах. 0

11 числами. Найдите а b и корни трехчлена f ().. В случае из данного уравнения получаем что не соответствует условию. 4. В случае получаем уравнение решение которого легко находится подбором: 4 причем в силу вышесказанного это единственное решение e. Ответ: 4. Задачи для самостоятельного решения. Уравнение с одной неизвестной.. Найдите все такие целые а и b для которых один из корней уравнения равен. a b 0.. Найдите рациональные p и q при условии что один из корней уравнения p q 0 равен... Может ли квадратное уравнение a b c 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный?.4. (00). Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена f ( ) (a 0) b 4 и его значение при являются простыми.. (00). Квадратный трехчлен f ( ) p q имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке являются простыми числами. Найдите корни трехчлена..6. (00). Найдите все такие целые а и b что корни уравнения (a 9) b 0 являются различными целыми числами а коэффициенты a 9 и b - простыми числами.. Уравнения первой степени с двумя неизвестными.. Решите уравнение 4y в целых числах... (00). Найдите все целые решения уравнения 79y 7 удовлетворяющие неравенствам 0 y Уравнения второй степени с двумя неизвестными.. (МГУ 007). Найдите все целочисленные решения уравнения 4 4y y Решите уравнение y y в целых числах... (МФТИ 004). Найдите все пары целых чисел и у удовлетворяющие уравнению y 0 y Решите в целых числах уравнение y 8y y 0... Решите в целых числах уравнение 6y y Уравнение y y решите в натуральных числах..7. Найдите все пары целых чисел сумма которых равна их произведению.

12 .8. Решите уравнение y y в целых числах..9. (ММО классы). Решите в целых числах уравнение y y y.0. Решите в натуральных числах y z 4 систему уравнений yz 9... (Московская математическая регата 00/006 класс). Найдите все целые решения уравнения: y y 0... (00) Решите в целых числах уравнение y 9 y... (00). Найдите все целые решения уравнения 4y 7y..4. (ММО класс). При каких натуральных числах а существуют такие натуральные числа х и у что y ay?.. (ММО 98 7 класс). Найдите все пары целых чисел ( ; y) удовлетворяющих уравнению y y..6. Решите в целых положительных числах уравнение y y 7y Уравнения высшей степени 4.. Уравнение y 9z 0 решите в целых числах. 4.. Решите в целых числах уравнение 4 y z Решите уравнение 4y 7y в целых числах Решите в целых числах уравнение y y Уравнение целых числах. 9 y решите в 4.6. Какие целые положительные числа могут удовлетворять уравнению y z yz? 4.7. Решите в целых числах уравнение 9 84 y (00). Найдите все решения в натуральных числах ( y ) 4 y (00). Решите в целых числах уравнение m 0 m (00). Найдите все натуральные числа х и у для которых выполняется 4 равенство y. 4.. (ММО 00 9 класс) (МИОО 00). Решите в целых числах уравнение m (00). Существуют ли рациональные числа y u v которые удовлетворяют уравнению 6 6 y u v 7? 4.. (ММО 97 9 класс). Существуют ли рациональные числа a b c d которые удовлетворяют уравнению a b c d 4 (где натуральное число)? 4.4. (00). Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения при которых уравнение ( y ) 00 y имеет натуральные решения. 4.. (00). Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения при которых уравнение 0 l( y ) l( y) имеет натуральные решения (ММО 98 0 класс). Решите в целых положительных числах уравнение ( ) ( ) y y y 4.7. (МГУ 989). Найдите все целые числа х и у удовлетворяющие равенству.

13 9 y 6y 9 y y 8 y 7 y (МГУ 989). Найдите все целые числа х и у удовлетворяющие равенству y 8y 8 y y 8y 8 4y (МГУ 979). Найдите все тройки целых чисел ( ; y; z) для каждой из которых выполняется соотношение ( ) 6y z y z (МГУ 979). Найдите все тройки целых чисел ( ; y; z) для каждой из которых выполняется соотношение y z yz 0.. Дробно-рациональные уравнения.. Решите в натуральных числах уравнение. y z.. Решите в натуральных числах уравнение. y.. (МИОО 00). Найдите все пары натуральных чисел разной четности удовлетворяющие уравнению.4. (МИОО 00). Решите в m натуральных числах уравнение где m. m 6. Иррациональные уравнения 6.. (Московская математическая регата 00/00 класс). Найдите все целые решения уравнения y Решите в целых числах уравнение y Показательные уравнения 7.. (00). Найдите все пары натуральных чисел m и являющиеся решениями уравнения m. 7.. (00). Найдите все пары натуральных чисел m и являющиеся решениями уравнения m. 7.. (00). Решите в натуральных числах уравнение y Решите в целых числах уравнение y. 7.. (00). Решите в целых числах уравнение (00). Решите в целых числах уравнение (ММО 998 класс) (МИОО m 00). Решите уравнение 4 в натуральных числах. 8. Уравнения смешанного типа 8.. (МИОО 00). Найдите все пары натуральных и таких что и. 8.. (МГУ 979). Найдите все целые корни уравнения cos (МГУ 979). Найдите все целые корни уравнения cos Уравнения содержащие знак факториала 9.. (МИОО 00). Решите в натуральных числах уравнение! где!... произведение всех натуральных чисел от до. 9.. Уравнение! y! ( y)! решите в целых числах. 9.. (Московская математическая регата 00/004 класс). Найдите

14 все натуральные значения для которых выполняется равенство:!. 0. Уравнения с простыми числами 0.. Уравнение y решите в простых числах. 0.. Решите в простых числах уравнение y z.. Неразрешимость уравнений.. Докажите что уравнение! y! 0z 9 не имеет решений в натуральных числах... (ВМО 99 9 класс). Докажите что уравнение y 4( y y ) не имеет решений в целых числах... (ММО классы). Докажите что выражение 4 4 y y y 4y y не равно ни при каких целых значениях х и у..4. (ММО классы). Докажите что равенство y z yz для целых чисел y z возможно только при y z 0... Существуют ли целые числа m и удовлетворяющие уравнению m Докажите что уравнение y не имеет решений в целых числах.? 4

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Из истории математики.

Из истории математики. Из истории математики Первой достаточно объемной книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок нэ) В истории арифметики её роль сравнима с ролью

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр.

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр. Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С6) СОДЕРЖАНИЕ стр Делимость целых чисел Деление без остатка Свойства делимости целых

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 1. Разложение на множители a) ( x 1)( y+ ) 9. б) x(y 98). в) x + y= xy. г) x + 4xy 7y. д) 19x yz 995, решить в простых числах. Делимость чисел а) y = 5x + 6. б) в) г) д) x + 1=

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Делимость целых чисел в задачах

Делимость целых чисел в задачах Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический

Подробнее

так что x = , и подставим в выражение числителя: 11)

так что x = , и подставим в выражение числителя: 11) 5 Решение уравнений в целых числах В решении даже таких простейших уравнений, как линейное уравнение с одним неизвестным, есть свои особенности, если коэффициенты уравнения являются целыми числами, и требуется

Подробнее

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем Многочлены Многочленом с одной переменной х степени n называют выражение вида, где - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем называют старшим коэффициентом многочлена Если вместо переменной

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

Делимость целых чисел

Делимость целых чисел Делимость целых чисел Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а=bc При этом число c называется частным от деления а на b Обозначения: a - а делится на b или ba b делит

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Уравнения и системы. Задание 4 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Уравнения и системы. Задание 4 для 9-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Многочлены. Уравнения и системы.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс.

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. 1. Определение натуральных, целых, рациональных чисел. 2. Признаки делимости на 10, на 5, на 2. 3. Признаки делимости на 9, на 3. 4. Основное свойство

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины =

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины = Цепные дроби Конечные цепные дроби Определение Выражение вида a 0 + a + a + + a m где a 0 Z a a m N a m N/{} называется цепной дробью а m - длиной цепной дроби a 0 a a m будем называть коэффициентами цепной

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике.

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике. ВВ Мирошин, Гимназия 5 (Москва), e-mail: vmiroshin@gmailcom Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике В статье рассматриваются задачи группы С6, предлагаемые

Подробнее

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2.

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач ТЕСТ Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно и не превосходит по величине ) ) 8 ) 9 ) 8 Найти сумму всех двузначных натуральных чисел,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Особенности решения уравнений в целых числах

Особенности решения уравнений в целых числах Краевой конкурс творческих работ учащихся «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Особенности решения уравнений в целых числах Селькова Мария Александровна,

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ

Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ Учебно-методическое пособие Составитель: Т. Г. Скударнова,

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ. 1. Разложить в конечную цепную дробь:.

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ. 1. Разложить в конечную цепную дробь:. РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ РЕЙТИНГОВАЯ РАБОТА 1 1 Разложить в конечную цепную дробь: 2 Найти НОД и НОК: 14 16i и 3 9i 3 Разложить на простые множители 8 15i 4 Найдите все

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства 1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел. Теоретический материал

Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел. Теоретический материал Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел Теоретический материал 1. Цепные дроби. Конечной цепной дробью называется выражение a +, (1) где a - целое число, a, i > 0, натуральные числа,

Подробнее

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m ) Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения-. Первообразные корни, индексы. Теоретический материал Пусть а, m натуральные взаимно простые числа, причем m, тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ. Алгоритм Евклида

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ. Алгоритм Евклида ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ Алгоритм Евклида При работе с большими составными числами их разложение на простые множители, как правило, неизвестно. Но для многих прикладных задач теории

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

q и пишут a b. Число b называют делителем

q и пишут a b. Число b называют делителем ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Определение. Говорят, что целое число a нацело делится на целое число b, если a b q и пишут a b. Число b называют делителем существует такое целое число q, что числа a. виде Определение.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел.

Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел. Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела. 2) Записи под значком предела,.

Подробнее

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей.

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей. Тест по теме «НОД и НОК» Фамилия, Имя. Натуральные числа называются взаимно простыми, если: а) у них более двух делителей; б) их НОД равен ; в) у них один делитель.. Наибольшим общим делителем чисел а

Подробнее

Дата проведения 8а 8б 1 Повторение материала 7 класса Кол-во часов. Требования к уровню подготовки учащихся. Примечание.

Дата проведения 8а 8б 1 Повторение материала 7 класса Кол-во часов. Требования к уровню подготовки учащихся. Примечание. Тематический план составлен на основе программного материала 206-207 уч.года по учебнику «Алгебра 8» под ред. А.Г.Мордковича с учетом рекомендованного обязательного минимума содержания образования Тема

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Математика 7 класс Задачи на делимость

Математика 7 класс Задачи на делимость МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства

Подробнее

и q 2 целые числа. Следовательно, a + b = c(q 1 +q 2 ), а a b= c(q 1 q 2

и q 2 целые числа. Следовательно, a + b = c(q 1 +q 2 ), а a b= c(q 1 q 2 Делимость целых чисел. Часть 1. Определение целое число а делится на не равное нулю целое число b, если существует такое число q, что a = bq. В таком случае число a называется делимым, b делителем, а q

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель Глава Целые, рациональные и действительные числа. Деление с остатком. Каждое из чисел ±23, ±4 разделите с остатком на каждое из чисел ±5. 2. Найдите все положительные делители числа 42. 3. Сейчас 3 часов.

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов Тематическое планирование по алгебре 11а класса 2011 2012 у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов I полугодие [1 неделя] [1 2] Контрольная работа по курсу 10 класса [3 5] Первообразная. Неопределенный

Подробнее

Олимпиада по алгебре. Тестовый тур

Олимпиада по алгебре. Тестовый тур Олимпиада по алгебре. Тестовый тур 13 ноября 1. Учитель написал на доске многочлен (6x 8x + 3) 100 (8x + 4x + 1) 100. (a) Какую степень имеет этот многочлен? (i) 100; (ii) 00; (iii) 400; (iv) ; (v) среди

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7 ) ( )

Подробнее

Способы решения диофантовых уравнений. / научно-исследовательская работа /

Способы решения диофантовых уравнений. / научно-исследовательская работа / Министерство образования и науки РБ Муниципальное образование «Закаменский район» МКУ «Закаменское районное управление образования» Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная

Подробнее