ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ"

Транскрипт

1 УДК 6-5:59 НС Демин СВ Рожкова ОВ Рожкова ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ II НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В данной работе рассматривается общая задача постановка которой приведена в [] когда одновременно наблюдаются процессы с непрерывным и дискретным временем Осуществлен синтез фильтра Доказаны свойства нечувствительности фильтра к неточному знанию матрицы интенсивности аномальных помех и оптимальности процедуры исключения аномальных компонент векторов наблюдений Рассмотрена проблема зависимости точности оценивания от количества и структуры аномальных каналов наблюдения 8 Система обозначений та же что и в [] СИНТЕЗ ФИЛЬТРА Утверждение Пусть f ( Тогда на интервалах времени < оптимальный в среднеквадратическом смысле несмещенный в классе линейных фильтр определяется уравнениями (3 (9 из [] с начальными условиями μ ( μ( K ( η ( ; ( μτ ( μτ ( K ( η ( ; ( k k k Γ ( Γ( K ( G ( ; (3 Γ ( τ Γ ( τ K ( G ( ; (4 kk k kk k k k Γ ( τ Γ ( τ K ( G ( ; (5 k k k k k Γkl ( τl τ k Γkl ( τl τk Kk ( G l ( (6 где η ( η( G ( μ( j ( ( G μ τ ; (7 j j G ( G ( Γ( j ( ( G Γ τ ; (8 j j j G ( G ( Γ ( τ k k kk k ( ( G Γ τ τ ; (9 j k j kj j k K( G ( W ( Kk ( G k ( W ( ; ( W ( W( CΘ( C ; ( W ( V ( G( G ( ; ( G ( [ G( G ( G ( ]; (3 Γ( Γ ( τ Γl ( τl ( τ Γ( Γ( τ Γjl ( τl τj Γ l ( Γjl ( Γll ( τl l ; j ; l> j (4 а g ( lig( при то есть обозначает решение соответствующего дифференциального уравнения для g( на предыдущем интервале времени которое вычисляется в точке Сформулированный результат очевидным образом следует из Теоремы в [] и Теоремы в [] с учетом независимости f ( и ξ ( Ведем в рассмотрение матрицу K( размера [( n ] вида K ( K ( K ( K ( (5 Тогда из (5 в [] ( ( μ ( τ μ K( η ( (6 Используя в (6 вместо неизвестного f ( оценку f ˆ ( Y( η ( в виде линейного преобразования процесса η ( приходим к тому что структура фильтра в момент времени имеет вид μ ( τ μ K ( η ( (7 K ( K( Y ( Y ( I CY( (8 с условиями несмещенности Y ( C O Y( C I (9 В качестве критерия оптимальности фильтра в момент времени выбираем среднеквадратичный критерий то есть критерий вида J [ ] где ( τ M{ μ μ } С учетом условий постановки задачи получаем что J [ ] [ K ( Y ( W ( Y ( K ( ] [ G ( Y ( K ( ] [ K ( Y ( G ( ] ( Итак пришли к следующей задаче: на классе фильтров (7 удовлетворяющих условиям несмещенности (9 найти матрицу K( доставляющую минимум функционалу ( Теорема На интервалах времени < оптимальный в среднеквадратическом смысле несмещенный фильтр (ОСКСНФ в классе линейных фильтров вида (9 из [] и (7 определяется уравнениями (3 (9 из [] с начальными условиями μ ( μ( K ( η ( ; ( μτ ( k μτ ( k K k ( η ( ; ( Γ ( Γ( K ( G ( ; (3 Γkk ( τ k Γkk ( τk K k ( G k ( ; (4 Γk ( τ k Γk ( τk K ( G k ( ; (5 Γkl ( τl τ k Γkl ( τl τk K k ( G l ( ; (6 K ( K ( I CY( ; K k ( Kk ( I CY( ; (7

2 Y( C W ( C C W ( (8 а η ( G ( G k ( W ( W ( K ( Kk ( определяются формулами (7 (3 Доказательство Необходимое условие оптимальности J K( согласно ( приводит к матричному алгебраическому уравнению для нахождения K ( вида K ( Y ( W ( Y ( G ( Y ( (9 Из сравнения (9 с уравнением (33 из [] следует что дальнейшее доказательство будет повторять доказательство Теоремы из [] и поэтому опускается Отметим лишь что вместо формул (9 (39 здесь получатся их аналоги вида (8 и K ( G ( W ( (3 АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ Как и в [] считаем что Φ ( и Θ ( истинные Φ ( и Θ ( используемые в фильтре матрицы интенсивности Тогда для ( τ { ( M μ τ μ } где μ ошибка реальной оценки μ получаем на основе (7 с учетом условий постановки задачи выражение ( τ I( n K ( G( ] I( n K ( G( K ( V ( Cf( f ( CK ( K ( CΘ ( C K ( (3 Согласно [] Π ( Θ ij ij Θ ij Θij является функцией чувствительности фильтра относительно (ij-го элемента матрицы интенсивности помехи f ( ( i j Непосредственные вычисления с использованием (3 дают Π ( K ( CIijC K ( где I ij является матрицей размера ( у которой (ij-й элемент равен единице а остальные элементы нулю Использование (8 (9 приводит к свойству Π ( O для всех i ; ij j ; Таким образом получили следующее утверждение Теорема ОСКСНФ синтезированный в п является нечувствительным к неточному знанию матрицы интенсивности Θ ( аномальной помехи f ( ij 3 ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПРОЦЕДУРЫ ИСКЛЮ- ЧЕНИЯ АНОМАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ Пусть η ( вектор дискретных наблюдений размера ( который получается из вектора η( путем исключения компонент с номерами i i i по которым действуют компоненты вектора аномальной помехи f ( Пусть G ( Gk ( k ; матрицы размеров [( n] а V ( матрица размера [( ( ] которые получаются из матриц G ( Gk ( и V ( исключением строк и соответственно строк и столбцов с номерами i i i Тогда оптимальный в среднеквадратическом смысле фильтр в котором используются вектора наблюдений z( и η ( будем называть аналогично [] усеченным Утверждение Усеченный фильтр на интервалах времени < определяется для μ ( μ( τ k Γ ( Γkk ( τ k Γ k ( τ k Γkl ( τl τ k уравнениями Утверждения из [] с начальными условиями ( (6 в которых η ( η ( K ( Kk ( G ( Gk ( G ( G k ( G ( V ( W ( Γ ( заменяются соответственно на η ( η ( K ( Kk ( G ( Gk ( G ( G k ( G ( V ( W ( Γ ( Данное утверждение непосредственно следует из утверждения из [] и утверждения Теорема 3 Фильтр определяемый теоремой и усеченный фильтр эквивалентны Доказательство Пусть есть первый момент появления аномальной помехи а это означает что μ и в усеченном фильтре совпадают с соответствующими величинами в фильтре из Теоремы Поскольку доказательство данной теоремы строится аналогично доказательству Теоремы 3 из [] то выделим лишь основные моменты Введем в рассмотрение булеву матрицу E размера [( ] которая получается из I исключением строк с номерами i i i Так как η ( Eη ( то доказательство равенства K ( η ( K ( η ( в чем заключается доказательство теоремы сводится как это следует из (7 (8 (3 к доказательству матричного тождества G ( W ( E G ( W ( Y ( (3 Так как G ( EG ( V ( EV ( E то доказательство (3 сводится к доказательству соотношения E EW ( E E W ( Y ( (33 Из сравнения формул (5 из [] и (33 следует что дальнейшее доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 3 из [] При этом аналогом промежуточных формул (57 (58 будут формулы W ( W ( C C W ( C C W ( W ( W ( C C W ( C C W ( (34 8

3 8 W ( E EW ( E E C C W ( C C W ( I (35 Произвольность момента следует по индукции 4 ТОЧНОСТЬ ОЦЕНИВАНИЯ Введем в рассмотрение булев вектор I размерности в котором компоненты с номерами i i i являются нулевыми Под точностью оценивания J(( соответствующей вектору I будем понимать величину J(( [ A ] где A произвольная ( симметричная неотрицательно определенная матрица ( а матрица вторых моментов ошибок оценок μ соответствующая вектору I Теорема 4 Пусть первый момент появления аномальной помехи Тогда для векторов I( I( I( последовательно отличающихся друг от друга значением лишь одной компоненты точности оценивания при ; удовлетворяют неравенству J( ( J(( (36 Доказательство Рассмотрим два вектора I ( и I ( отличающихся друг от друга значением лишь одной компоненты то есть и соответствующие этим векторам матрицы C i E i ( i ; Тогда доказательство (36 сводится к доказательству неравенства ( Δ J( J( ( ( ( J Пусть Γ i ( τ ( матрица вторых моментов ошибки оценки μ i соответствующей i то есть матрице C i Тогда из (3 (6 (4 с учетом (3 и (34 для C i получаем ( i ( τ G ( W ( I C i i ( Ci W ( G ( (37 где i( Ci W ( Ci i ; В (37 учтено что первый момент появления аномальной помехи поэтому ( ( ( τ Тогда с учетом [ BB ] [ BB] Δ J( L ( L( W ( ; (38 L ( G ( A G ( ; (39 L ( C ( C C ( C W ( (4 Так как A то L ( [3] Используя (35 при C C и E E из (4 получаем L ( I ( A A где A W( E EW( E E A C ( C W ( (4 По построению матриц C и E имеем что EC O Тогда A A O AA O (4 Аналогично теореме 3 из [] можно получить что k[ A ] k[ A ] Из (4 следует что A A A A то есть матрицы A и A являются проекционными [4] Поскольку эти матрицы удовлетворяют условию (4 матрица A A A также является проекционной [4] и k[ A ] k[ A] k[ A ] Матрица L ( I A также является проекционной так как ( I A Последнее равенство следует I A A I A из того что матрица A проекционная Поскольку для проекционной матрицы ранг равен следу [4] то k[ L ] [ L ] [ I] [ A ] [ I] k[ A ] ( Пусть { λi ( Φ } ( i означает спектр матрицы Φ Так как собственные числа проекционной матрицы равны либо либо а ( L ( λ i L ( i { ( } { } то λ i L ( i ; то есть L ( Так как L ( L ( то λi( L ( i ; где L ( L ( L ( [3] то есть L ( Так как L ( W ( > то λ L ( W ( i ; Следовательно ( i ( Δ J ( L ( W ( λi L ( W ( i что и требовалось доказать Теорема 5 Пусть ( ( (43 где Тогда неравенства (36 справедливы для произвольного момента Доказательство Справедливость теоремы будет доказана если из неравенства ΔJ( следующего из теоремы 4 с учетом (43 записанного для момента будет следовать неравенство ΔJ( Согласно [3] ( с учетом (43 может быть представлена в виде ( ( где Тогда из ( следует W( ( ( ( ( ( W G G (44 Записывая все выражения для i из (3 (6 (4 с учетом (8 (8 (3 (34 (35 следует ( i ( i ( τ I( n G ( ( i Ei EW i ( ( ( ] ( i Ei EG i τ (45 Полагая в (45 с учетом (44 получаем оконча-

4 ( тельное представление для Γ ( τ в виде ( ( I n ( ( τ ( ( τ Γ G ( E EW( ( E EG ( Γ G ( E EG ( ] ( Γ ( (46 Введем в рассмотрение матричную функцию ( ΦαΓ ( α скалярного переменного ( α Рассматривая Γ ( τ как функцию α то ( ( есть ( τ ; α получаем из (46 ( ( I( n ( G ( E τ ; α Φ α EW( ( ( ( E EG G E α Γ EG ( ] Φ( α (47 Отсюда используя формулу da A [ da dα ] A получаем ( d ; α dα BB ; (48 B I( n Φ( α G ( E EW( ( E αeg ( G ( E EG ( (49 Так как Γ то из (48 следует что ( d ( ; α dα то есть ; α монотонно неубывающая по α в смысле определенности матрица Тогда ( ( ; α α Γ ; α α (5 ( Так как согласно (46 (47 ( τ ( ( ; α ( Γ ( τ Ψ ( Ψ I( n G ( E ( EW E EG ( τ α то из (47 (5 следует (5 ( ( ( ] τ (5 Из (35 для C E W ( в момент времени следует E EW ( ( ( ( E E W I C CW ( ( ( ( C CW (53 С использованием (53 E EW ( ( ( ( E E E EW E E W( ( ( ( ( ( I W E EW E E C CW( ( ( ( C CW (54 Из сравнения (4 и (54 следует что аналогично доказательству L ( может быть доказано что L ( I W( ( ( ( E EW E E C CW( ( ( ( C CW Аналогично тому как при доказательстве теоремы 4 было доказано что L ( W ( может быть доказано свойство W( ( L ( а тем самым что E EW ( ( E E E EW( ( E E (55 Полагая i получаем из (45 (5 с учетом (55 ( ( Ψ ( τ G ( E EW ( ( ( ( ] E E E EW E E ( G ( ( то есть Ψ а это приводит к свойству ( ( ( τ Γ Из определения J( i ( имеем ( ( Δ J( [ A[ ] ] Так как A то ( ( λ j ( A[ ] Тогда ( ( [ A[ ( τ ]] ( n ( ( λ j ( A[ ] (56 j Из (56 следует ΔJ( что и требовалось доказать Пример Пусть ненаблюдаемый процесс x( является скалярным с корреляционной функцией экспоненциального типа (процесс Орнстейна Уленбека и задан уравнением ( из [] в котором F ( a a > Q ( Q cons Процесс z ( определяет наблюдения без памяти вида ( из [] при отсутствии аномальных помех где Hk ( k ; H ( H cons R ( R cons B Дискретный канал наблюдения формируется как совокупность двух скалярных каналов с полезным сигналом X ( τ Gx( Gx( τ где G cons G cons который наблюдается на фоне некоррелированных регулярных помех ξ ( ξ ( с одной интенсивностью V ( V cons Рассмотрим три случая: аномальные помехи отсутствуют; аномальная помеха действует по первой компоненте η ( ; 3 аномальные помехи действуют по обеим компонентам η ( η ( двумерного вектора наблюдений η ( Соответствующие этим случаям ошибки оценок интерполяции в момент будем обозначать γ ( τ γ ( τ γ ( τ Дифференциальные уравнения (4 (6 из [] совпадающие для рассматриваемого примера с (6 (8 из [] допускают точные решения стационарный вид которых при таков (см (39 в [5]: γ λ ( a δ λ a δ Q ( { } δ H R γ γexp λ κ ( λ a λ 83

5 ( ( { } γ γ κ κexp λ (57 где τ Рассмотрим ситуацию редких дискретных наблюдений когда интервал между соседними наблюдениями η ( и η ( настолько велик что указанные дифференциальные уравнения при [ достигает своих стационарных значений то есть γ( γ γ( τ γ ( γ( τ γ ( Пусть Δ γ ( τ γ ( τ Δ γ ( τ γ ( τ Тогда с использованием (4 получаем VG [ γ Gγ] Δ V ( G γ G γ GG γ V ( G γ G γ GG γ [ Gγ Gγ] Δ V ( G γ G γ GG γ (58 (59 где γ γ γ определяются формулами (57 Из (58 (59 с учетом (57 следует что Δ > Δ > то есть γ ( τ >γ ( τ >γ ( τ (6 Согласно принятым обозначениям для задачи интерполяции γ ( τ J(( γ ( τ J(( γ ( τ J(( Таким образом неравенства (6 отражают свойство (36 для рассматриваемого примера относительно задачи интерполяции причем при конечных значениях параметров достигаются строгие неравенства означающие что наличие аномальных каналов наблюдения только ухудшают качество интерполяции Пусть Δ означает соответствующую величину для случая дискретных наблюдений без памяти ( G Тогда из (59 следует что Δ G γ ( V G γ (6 Введем меру эффективности ε Δ Δ ε( a Q δ G G дискретных наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в рассматриваемой задаче Если ε > то наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти а при ε < имеем обратное свойство Исследуем зависимость ε от глубины памяти Большая глубина памяти ( Пусть ε li ε при Использование (57 (59 (6 дает что ε G γ ( κ V ( G G γ ( κ γ (6 Из (6 следует что ε > то есть при большой глубине памяти аномальный канал с памятью в задаче интерполяции эффективнее аномального канала без памяти поскольку составляющая Gx ( τ сигнала η ( в этом случае привносит дополнительную информацию Пусть ε li ε Малая глубина памяти ( при Использование (57 (59 (6 дает что ( G G ( V G ε γ ( V G V ( G G γ γ (63 Из (63 следует что ε > если ( G G M и ε если ( G G M где M ( G G : G { GG } то есть при малой глубине памяти аномальный канал с памятью эффективнее аномального канала без памяти в случае ( G G M и менее эффективен в противоположном случае Поскольку при малой глубине памяти α k >> где α k a время корреляции процесса x( то коэффициент корреляции между x( и x( τ близок к единице и сигнал X ( τ Gx( Gx( τ воспринимается как X ( τ ( G G x( Так как среднеквадратические ошибки оценок в случае наблюдений с памятью и без памяти определяются интенсивностями сигналов X ( τ и Gx ( которые пропорциональны соответственно G G и G а условие ( G G M означает G G G то этим и объясняется полученное свойство Для случая ( G G M величина eff которая может быть определена в рассматриваемой задаче как эффективная глубина памяти определяется формулой G G κ( κ G eff ln (64 λ κ G которая получается как единственный положительный корень уравнения ε ( причем условие ( G G M является условием существования такого корня 84 ЛИТЕРАТУРА Демин НС Рожкова СВ Рожкова ОВ Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помехах I Непрерывные наблюдения // Вестник ТГУ 3 8 С Абакумова ОЛ Демин НС Сушко ТВ Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью II Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика 995 С Маркус М Минк Х Обзор по теории матриц и матричных неравенств М: Наука Абгарян КА Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем М: Наука Демин НС Рожкова СВ Рожкова ОВ Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв РАН Теор и системы упр 4 С 39 5 Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета и кафедрой высшей математики факультета естественных наук и математики Томского политехнического университета поступила в научную редакцию мая 3 г

НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ КАНАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ

НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ КАНАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. Ивин А.А. Основания логики оценок. М.: МГУ, 970 229 с. 2. Баранов А.Н. Когнитивный статус естественно языковой оценки (к типологии языковых стратегий оценивания). Формальные и неформальные

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ Управление вычислительная техника и информатика УДК 6-5:59 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ НС Дёмин ОВ Рожкова* Томский государственный университет

Подробнее

Естественные науки. Н.С. Демин, С.В. Рожкова*

Естественные науки. Н.С. Демин, С.В. Рожкова* УДК 59.:6.39 КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ ПО ШЕННОНУ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ Н.С. Демин С.В. Рожкова* Томский государственный

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

УДК Н.С. Демин, Е.В. Кулешова УПРАВЛЕНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ С УЧЕТОМ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАТРАТ

УДК Н.С. Демин, Е.В. Кулешова УПРАВЛЕНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ С УЧЕТОМ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАТРАТ УДК 517977 НС Демин ЕВ Кулешова УПРАВЛЕНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ С УЧЕТОМ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАТРАТ Рассматривается задача оптимального управления односекторной экономикой на

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ.

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ. УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Подробнее

Оптимальная фильтрация случайных процессов

Оптимальная фильтрация случайных процессов Оптимальная фильтрация случайных процессов Олег Николаевич Граничин Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет 13 марта 2013 О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1252 УДК 517.926 ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Е.И. Атамась Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, кафедра Нелинейных динамических

Подробнее

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ Известия Томского политехнического университета 29 Т 34 5 УДК 62-5:592 ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ НС Дёмин, ОВ Рожкова*, CB Рожкова* Томский

Подробнее

Доклады ТУСУРа г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования

Доклады ТУСУРа г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования 177 УДК 658.310.8: 519.876.2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ПРИ РЕЗЕРВИРОВАНИИ ДАТЧИКОВ Л.И. Лузина В статье рассматривается возможный подход для получения новой схемы резервирования датчиков. Традиционная

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010 4 (0) 00 Байесовский анализ когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом Рассмотрена задача байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений q q... q... по

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Управление, вычислительная техника и информатика 3(4)

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Управление, вычислительная техника и информатика 3(4) ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Управление вычислительная техника и информатика 3(4) УДК 6239; 592 СВ Лопухова ИССЛЕДОВАНИЕ ММР-ПОТОКА АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ -го ПОРЯДКА В работе рассматривается

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 93 УДК 5798 К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ АД Мижидон Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 673, Улан-Удэ, Ключевская ул, В E-ail:

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1377 УДК 51797756 НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ АА Коробов Институт математики им С Л Соболева СО РАН Россия,

Подробнее

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА Материалы Международной научно-технической школы-конференции, 3 ноября 8 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ 8, часть 4 МИРЭА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ДВОИЧНЫХ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ УДК 681.5(07) ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Д.Н. Вятченников, В.В. Кособуцкий, А.А. Носенко, Н.В. Плотникова Недостаточная информация об объектах при разработке их

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipeno.stu.neva.ru Дифференциально-разностные уравнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

ВЕСТНИК МАТЕМАТИКА АНАЛОГ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ БЕЗ ВЫБОРА ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА

ВЕСТНИК МАТЕМАТИКА АНАЛОГ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ БЕЗ ВЫБОРА ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА 22 МАТЕМАТИКА Владимир Николаевич КУТРУНОВ заведующий кафедрой математического моделирования Анна Александровна РАЗИНКОВА старший преподаватель филиала ТюмГУ в г Сургуте УДК 596 АНАЛОГ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Глава 3 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 3 Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов (часто называемый МНК) обычно упоминается

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов Сибирский математический журнал Июль август, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В С Лугавов

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

МНОГОМОДОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ С ТОЧКАМИ ЛОКАЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

МНОГОМОДОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ С ТОЧКАМИ ЛОКАЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ УДК 62.37 МНОГОМОДОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ С ТОЧКАМИ ЛОКАЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ ДИКАРЕВ В.А. Исследуются установившиеся электромагнитные колебания в конечномодовых системах, содержащих точки локального вырождения

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее