Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского АА Федюков Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией института ИТММ для студентов ННГУ обучающихся по направлению подготовки 9 «Социология» Нижний Новгород

2 УДК 79 ББК Ф- Ф- Федюков АА ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ: учебно-методическое пособие [электронный ресурс] Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет с Рецензент: ассистент РС Бирюков В учебно-методическом пособии изложен теоретический материал по решению линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами В каждом разделе поставлена задача и разобраны примеры с подробным алгоритмом решения Приведены вопросы для самопроверки которые позволяют закрепить полученные теоретические знания Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ обучающихся по направлению подготовки 9 «Социология» УДК 79 ББК Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского

3 Содержание Введение Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 7 Алгоритм нахождения общего решения 8 Примеры Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 7 Метод вариации произвольных постоянных 7 Пример 8 Метод неопределенных коэффициентов Примеры Задача Коши 9 Примеры 9 Вопросы для самопроверки Задания для самостоятельной работы Литература

4 Введение Дифференциальные уравнения описывают множество процессов в физике химии биологии технике экономике социологии и изучаются студентами различных направлений подготовки бакалавриата и магистратуры Учебно-методическое пособие посвящено важному разделу дисциплины линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами и нацелено на формирование способности выпускников применять в профессиональной деятельности методы математического моделирования Пособие разбито на разделы в соответствии с видами дифференциальных уравнений второго порядка В каждом разделе изложен теоретический материал который позволяет обучающимся систематизировать знания основных понятий теорем и методов их практического применения при подготовке к контрольным работам и экзаменам; рассмотрены основные типы задач разобраны примеры Пособие содержит комплект заданий который может быть использован в качестве типового для выработки навыков решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка Количество заданий достаточно как для занятий в аудитории так и для самостоятельной работы студентов Данное учебно-методическое пособие может быть полезно преподавателям при проведении практических занятий и формировании индивидуальных заданий обучающихся а также студентам заочной формы обучения и аспирантам

5 Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее между собой независимую переменную искомую функцию ее производные или дифференциалы Символически дифференциальное уравнение записывается как: n F F F Дифференциальное уравнение называется обыкновенным если искомая функция зависит от одного независимого переменного Решением дифференциального уравнения называется такая функция которая обращает это уравнение в тождество Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной входящей в это уравнение Например функция ln является решением дифференциального уравнения первого порядка Действительно тк тождество то подставляя производную в уравнение получим Интегрированием дифференциального уравнения называется процесс нахождения решения дифференциального уравнения Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида n в которую входит столько независимых произвольных постоянных порядок уравнения n каков Видно что функции ln ln также являются решениями дифференциального уравнения Общее решение в данном примере имеет вид ln где произвольная постоянная Частным решением дифференциального уравнения называется решение полученное из общего решения при различных значениях произвольных постоянных Значения

6 произвольных постоянных находим при определенных начальных значениях аргумента и функции График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой Например для случая частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид ln Его график приведен на Рис Рис График интегральной кривой

7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение вида f где коэффициенты постоянные называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Если f то уравнение называется однородным Если f то уравнение называется неоднородным Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: Общим решением уравнения является функция где фундаментальная система решений уравнения произвольные постоянные Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений содержащая столько функций каков порядок дифференциального уравнения Функции называются линейно независимыми на интервале b если существуют постоянные числа не равные нулю такие что для любых b Если же указанное тождество выполняется только в случае когда и то функции называются линейно независимыми на интервале b Кратко критерий линейной независимости может быть сформулирован следующим образом: функции являются линейно независимыми если определитель Вронского W отличен от нуля для любых b В противном случае функции линейно зависимы 7

8 Алгоритм нахождения общего решения Эйлер предложил искать частные решения и уравнения в виде где число lim t t t Если принять частным решением линейного однородного дифференциального уравнения то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество Подставим: Мы получили так называемое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Решения квадратного уравнения имеют вид Утверждение В общем виде решения квадратного уравнения имеет вид 7 8 Доказательство Представим 8 в виде: Умножим обе части уравнения на выражение 9 и добавим слева и справа в равенстве слагаемое Выражение стоящее в справа представляет собой полный квадрат 8

9 Учитывая что уравнение имеет два корня получим формулы 9 Утверждение доказано Таким образом полученное квадратное уравнение может иметь в зависимости от дискриминанта D два различных действительных решения два совпадающих действительных решения кратный корень или пару комплексно-сопряженных решений В зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения соответствующие корням характеристического уравнения образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение Корни и вид общего решения дифференциального уравнения представлены в Таблице Таблица Корни и вид общего решения дифференциального уравнения случай случай случай действительные и различные действительные и совпадают комплексно-сопряженные те i b i b cosb sin b В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются Функции действительно линейно независимые тк для этих функций определитель Вронского 9

10 Вывод: общее решение дифференциального уравнение имеет вид: Во втором случае одним частным решением является функция В качестве второго решения берется функция Покажем что функция действительно является частным решением дифференциального уравнения Подставим в уравнение Тогда Заметим что является корнем уравнения и что в случае равенства корней уравнения дискриминант D те То есть Что и требовалось показать Таким образом является частным решением дифференциального уравнения Покажем линейную независимость функций и Для этого вычислим определитель Вронского Вывод: общее решение дифференциального уравнение имеет вид:

11 В третьем случае имеем пару комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнения ib и ib Воспользовавшись формулой Эйлера из теории функций комплексного переменного связывающей комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями представим решения в виде ib i cos i sin ib cosb i sin b ib ib cosb i sin Далее построим линейные комбинации этих решений следующего вида: cosb * sin b * По теореме о линейных свойствах решений данные функции также будут являться решениями исходного дифференциального уравнения Составим определитель Вронского * * ' * * ' cosb cosb sin b sin b sin b b b b cosb Так как экспоненциальная функция строго положительна а характеристическое уравнение имеет комплексные корни значит b то этот определитель отличен от нуля * В соответствии с критерием фундаментальности решения cosb * sin b являются линейно независимыми и для уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений Таким образом общее решение имеет вид Обобщим теорию cosb sin b

12 Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Записываем характеристическое уравнение Находим корни характеристического уравнения В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в виде: если R ; если R ; cosb sin b если i b Рассмотрим примеры для каждого случая i b Примеры Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его Откуда Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения те имеем первый случай в Таблице В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

13 Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения 9 Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение То есть Что и требовалось показать Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его Откуда

14 Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных корня или один действительный корень кратности два те имеем второй случай в Таблице В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения и получить общее решение исходного дифференциального уравнения Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение То есть Что и требовалось показать

15 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 7 Составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его 7 Откуда где 7 7 i i i Характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения те имеем третий случай в Таблице В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения cos sin и получить общее решение исходного дифференциального уравнения cos sin Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin

16 Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение cos cos 7 7 cos То есть Что и требовалось показать cos 7 sin cos sin sin sin sin

17 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим теперь решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами : f Покажем решение данного дифференциального уравнения двумя методами: методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов Метод вариации произвольных постоянных метод Лагранжа В общем случае это уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных методом Лагранжа Алгоритм нахождения решения методом Лагранжа состоит в следующем: Находим общее решение линейного однородного уравнения соответствующее исходному неоднородному уравнению Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде общего решения однородного уравнения считая что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной те в виде 7 Таким образом функции уравнения 7 могут быть найдены как решения системы уравнений f 8 которая является линейной системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными относительно Представим систему 8 в матричном виде f 9 Так как функции являются линейно независимыми то определитель Вронского 7

18 W для любых Тогда система 9 имеет единственное решение f Поэтому и система двух уравнений 8 имеет единственное решение g g Интегрируя полученные равенств найдем функции и тем самым получим общее решение исходного неоднородного уравнения Пример Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Шаг Найдем те уравнения одн общее решение соответствующего однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решая квадратное уравнение получим корни характеристического уравнения Эти корни являются действительными и различными первый случай поэтому фундаментальная система решений соответствующая этим корням будет иметь вид: Следовательно общее решение однородного уравнения определяется формулой: одн Шаг Будем искать общее решение неоднородного линейного уравнения в виде общего решения однородного линейного уравнения считая что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной те в виде 8

19 9 Функции могут быть найдены из решения системы 8 где f те Преобразуем уравнения откуда Так как функция то d d Тогда где произвольная постоянная Так как функция то d d Найдем интеграл применяя формулу интегрирования по частям: vdu uv udv где u d dv d du v

20 d d где произвольная постоянная Подставляя в получим решение дифференциального уравнения Раскроем в формуле скобки и сгруппируем элементы Обозначив произвольные постоянные запишем решение исходного неоднородного линейного уравнения в виде Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения 8 Подставим общее решение вместе с найденными производными в левую часть исходного уравнения

21 То есть Что и требовалось показать

22 Метод неопределенных коэффициентов Метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен поэтому в ряде случаев когда правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид можно использовать другой метод метод неопределенных коэффициентов Для этого воспользуемся следующим утверждением о структуре общего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения Утверждение Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения одн соответствующего однородного уравнения и частного решения част исходного неоднородного уравнения одн част Общее решение одн линейного однородного уравнения находим по алгоритму приведенному выше Далее необходимо найти частное решение част неоднородного уравнения В случае когда правая часть исходного дифференциального уравнения имеет вид: f P cosb Q sin b n где P n Q m полиномы степени n m соответственно b некоторые постоянные числа то частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру: где N l част r m N cosb M sin b M l полиномы степени l m n m l l записанные с неопределенными коэффициентами; величина r равна числу корней характеристического уравнения 8 совпадающих с числом Таким образом i b r если среди корней характеристического уравнения нет числа r если один корень совпадает с этим числом; r если оба корня совпадают с этим числом i b ; Далее в соответствии с алгоритмом зная структуру частного решения неоднородного уравнения неизвестными которого являются коэффициенты полиномов подставим его вместе с производными в исходное уравнение Приравниваем коэффициенты подобных

23 членов слева и справа Получим систему линейных алгебраических уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов Таким образом процесс нахождения частного решения част неоднородного уравнения сводится к применению таких элементарных операций как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений Заметим что в этом методе не используется операция интегрирования которая необходима в методе вариации произвольных постоянных Примеры Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 7 Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Его общее решение имеет вид: где одн част 8 одн общее решение соответствующего однородного уравнения част частное решение исходного неоднородного уравнения Шаг Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения получено выше в Примере : Шаг Найдем одн част частное решение исходного неоднородного уравнения Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения f Видно что правая часть исходного уравнения имеет специальный вид где f P cosb Q n m sin b полином P n те n полином Q m те b m Так как правая часть имеет специальный вид то структура частного решения в общем случае будет иметь вид: част r N cosb M sin b l где величины r l и полиномы N l M l находятся следующим образом Так как l

24 r i b i b m m n l m n Q P m n Значит N l D M l где D постоянные Тогда структура частного решения исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид: D част sin cos Коэффициенты определим методом неопределенных коэффициентов Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение предварительно вычислив первую и вторую производные Тогда Подставим данное выражение в уравнение 7 Разделим обе части уравнения на и приравняем коэффициенты при и Получим систему из которой найдем коэффициенты :

25 Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид: част а общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения 7 определяется формулой 8: Видно что общее решение дифференциального уравнения 7 полученное с помощью применения метода неопределенных коэффициентов совпадает с решением полученным методом вариации произвольных постоянных в Примере Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 9 cos Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Его общее решение имеет вид: где одн част одн общее решение соответствующего однородного уравнения част частное решение исходного неоднородного уравнения уравнения Шаг Найдем одн общее решение соответствующего однородного уравнения те Для этого составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его Откуда i i Мы имеем два комплексно-сопряженных корня третий случай поэтому фундаментальная система решений соответствующая этим корням будет иметь вид:

26 cos sin Следовательно общее решение однородного уравнения определяется формулой: Шаг Найдем одн cos sin част частное решение исходного неоднородного уравнения Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения f cos где Видно что правая часть исходного уравнения имеет специальный вид f cos P cosb Q sin b n b полином P n те n полином Q m те m m Так как правая часть имеет специальный вид то структура частного решения в общем случае будет иметь вид: част r N cosb M sin b l где величины r l и полиномы N l M l находятся следующим образом Так как l Значит N l b Pn n Qm i b i m l m где постоянные M l r n m Тогда структура частного решения исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид: cos sin cos sin част Коэффициенты определим методом неопределенных коэффициентов Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение предварительно вычислив первую и вторую производные cos sin

27 Тогда cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin Подставим данное выражение в уравнение 9 Разделим обе части уравнения на Получим систему cos sin cos из которой найдем коэффициенты : и приравняем коэффициенты при Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид: част cos cos и sin а общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения 9 определяется формулой : cos sin cos Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения 7

28 8 sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 9 cos sin sin cos Подставим общее решение вместе с найденными производными в левую часть исходного уравнения 9 cos cos 8 sin sin 8 cos 8 cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos То есть cos cos Что и требовалось показать

29 Задача Коши Общее решение любого дифференциального уравнения как следует из алгоритма его получения содержит бесчисленное множество частных решений Возникает естественный вопрос: как из полученного множества решений выделить интересующее нас частное решение или другими словами как выделить нужную интегральную кривую? Задача Коши это одна из основных задач теории дифференциальных уравнений Она состоит в нахождении решения интеграла дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям начальным данным Задачи Коши обычно возникают при анализе процессов определяемых законом эволюции и начальным состоянием математическим выражением которых являются дифференциальные уравнения и начальное состояние Начальные данные задаются при а искомое решение ищется для Примеры Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения если В примере получено общее решение исходного дифференциального уравнения Так как тогда Учитывая получим систему уравнений: 9

30 Откуда Искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид: Пример 8 Найти частное решение дифференциального уравнения cos если В примере получено общее решение исходного дифференциального уравнения Так как cos sin cos тогда sin cos sin cos ' Учитывая получим систему уравнений:

31 Откуда Искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид: cos sin cos

32 Вопросы для самопроверки Какой вид имеет линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами? Какие функции называются линейно независимыми? Какой вид имеет определитель Вронского? Как связаны линейная независимость системы функций и определитель Вронского для них? Что называют характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами если корни его характеристического уравнения действительные и различные? Дайте обоснование 7 Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами если корни его характеристического уравнения комплексные? Дайте обоснование 8 Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами если корни его характеристического уравнения действительные и совпадают? Дайте обоснование 9 Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций: Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций: cos sin Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций: sin cos sin В чем состоит метод вариации произвольных постоянных? В чем состоит метод неопределенных коэффициентов? Что такое задача Коши?

33 Задания для самостоятельной работы Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' 9 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения ' ' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' ' Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения '' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' '

34 Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' 8' Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения ' ' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' ' Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения '' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' '

35 Литература Креймер НШ Путко БА Тришин Им Фридман МН Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов М: Банки и биржи ЮНИТИ c Шипачев ВС Высшая математика: учебник для вузов М: Высшая школа с Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах В -х ч Ч М: Высшая школа 98 с Барбаумов ВЕ Ермаков ВИ Кривенцова НН Справочник по математике для экономистов М: Высшая школа с Карасев АИ Аксютина ЗМ Савельева ТИ Курс высшей математики для экономических вузов В -х ч Ч М: Высшая школа 98 7 с Бронштейн ИН Семендяев КА Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов М: Наука 98 с

36 Александр Анатольевич Федюков ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Учебно-методическое пособие Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского» 9 Нижний Новгород пр Гагарина


5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч

С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное Практическая работа 19 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия.

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. Практическая работа 8 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее