Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского АА Федюков Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией института ИТММ для студентов ННГУ обучающихся по направлению подготовки 9 «Социология» Нижний Новгород

2 УДК 79 ББК Ф- Ф- Федюков АА ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ: учебно-методическое пособие [электронный ресурс] Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет с Рецензент: ассистент РС Бирюков В учебно-методическом пособии изложен теоретический материал по решению линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами В каждом разделе поставлена задача и разобраны примеры с подробным алгоритмом решения Приведены вопросы для самопроверки которые позволяют закрепить полученные теоретические знания Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ обучающихся по направлению подготовки 9 «Социология» УДК 79 ББК Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского

3 Содержание Введение Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 7 Алгоритм нахождения общего решения 8 Примеры Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 7 Метод вариации произвольных постоянных 7 Пример 8 Метод неопределенных коэффициентов Примеры Задача Коши 9 Примеры 9 Вопросы для самопроверки Задания для самостоятельной работы Литература

4 Введение Дифференциальные уравнения описывают множество процессов в физике химии биологии технике экономике социологии и изучаются студентами различных направлений подготовки бакалавриата и магистратуры Учебно-методическое пособие посвящено важному разделу дисциплины линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами и нацелено на формирование способности выпускников применять в профессиональной деятельности методы математического моделирования Пособие разбито на разделы в соответствии с видами дифференциальных уравнений второго порядка В каждом разделе изложен теоретический материал который позволяет обучающимся систематизировать знания основных понятий теорем и методов их практического применения при подготовке к контрольным работам и экзаменам; рассмотрены основные типы задач разобраны примеры Пособие содержит комплект заданий который может быть использован в качестве типового для выработки навыков решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка Количество заданий достаточно как для занятий в аудитории так и для самостоятельной работы студентов Данное учебно-методическое пособие может быть полезно преподавателям при проведении практических занятий и формировании индивидуальных заданий обучающихся а также студентам заочной формы обучения и аспирантам

5 Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее между собой независимую переменную искомую функцию ее производные или дифференциалы Символически дифференциальное уравнение записывается как: n F F F Дифференциальное уравнение называется обыкновенным если искомая функция зависит от одного независимого переменного Решением дифференциального уравнения называется такая функция которая обращает это уравнение в тождество Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной входящей в это уравнение Например функция ln является решением дифференциального уравнения первого порядка Действительно тк тождество то подставляя производную в уравнение получим Интегрированием дифференциального уравнения называется процесс нахождения решения дифференциального уравнения Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида n в которую входит столько независимых произвольных постоянных порядок уравнения n каков Видно что функции ln ln также являются решениями дифференциального уравнения Общее решение в данном примере имеет вид ln где произвольная постоянная Частным решением дифференциального уравнения называется решение полученное из общего решения при различных значениях произвольных постоянных Значения

6 произвольных постоянных находим при определенных начальных значениях аргумента и функции График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой Например для случая частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид ln Его график приведен на Рис Рис График интегральной кривой

7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение вида f где коэффициенты постоянные называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Если f то уравнение называется однородным Если f то уравнение называется неоднородным Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: Общим решением уравнения является функция где фундаментальная система решений уравнения произвольные постоянные Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений содержащая столько функций каков порядок дифференциального уравнения Функции называются линейно независимыми на интервале b если существуют постоянные числа не равные нулю такие что для любых b Если же указанное тождество выполняется только в случае когда и то функции называются линейно независимыми на интервале b Кратко критерий линейной независимости может быть сформулирован следующим образом: функции являются линейно независимыми если определитель Вронского W отличен от нуля для любых b В противном случае функции линейно зависимы 7

8 Алгоритм нахождения общего решения Эйлер предложил искать частные решения и уравнения в виде где число lim t t t Если принять частным решением линейного однородного дифференциального уравнения то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество Подставим: Мы получили так называемое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Решения квадратного уравнения имеют вид Утверждение В общем виде решения квадратного уравнения имеет вид 7 8 Доказательство Представим 8 в виде: Умножим обе части уравнения на выражение 9 и добавим слева и справа в равенстве слагаемое Выражение стоящее в справа представляет собой полный квадрат 8

9 Учитывая что уравнение имеет два корня получим формулы 9 Утверждение доказано Таким образом полученное квадратное уравнение может иметь в зависимости от дискриминанта D два различных действительных решения два совпадающих действительных решения кратный корень или пару комплексно-сопряженных решений В зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения соответствующие корням характеристического уравнения образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение Корни и вид общего решения дифференциального уравнения представлены в Таблице Таблица Корни и вид общего решения дифференциального уравнения случай случай случай действительные и различные действительные и совпадают комплексно-сопряженные те i b i b cosb sin b В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются Функции действительно линейно независимые тк для этих функций определитель Вронского 9

10 Вывод: общее решение дифференциального уравнение имеет вид: Во втором случае одним частным решением является функция В качестве второго решения берется функция Покажем что функция действительно является частным решением дифференциального уравнения Подставим в уравнение Тогда Заметим что является корнем уравнения и что в случае равенства корней уравнения дискриминант D те То есть Что и требовалось показать Таким образом является частным решением дифференциального уравнения Покажем линейную независимость функций и Для этого вычислим определитель Вронского Вывод: общее решение дифференциального уравнение имеет вид:

11 В третьем случае имеем пару комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнения ib и ib Воспользовавшись формулой Эйлера из теории функций комплексного переменного связывающей комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями представим решения в виде ib i cos i sin ib cosb i sin b ib ib cosb i sin Далее построим линейные комбинации этих решений следующего вида: cosb * sin b * По теореме о линейных свойствах решений данные функции также будут являться решениями исходного дифференциального уравнения Составим определитель Вронского * * ' * * ' cosb cosb sin b sin b sin b b b b cosb Так как экспоненциальная функция строго положительна а характеристическое уравнение имеет комплексные корни значит b то этот определитель отличен от нуля * В соответствии с критерием фундаментальности решения cosb * sin b являются линейно независимыми и для уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений Таким образом общее решение имеет вид Обобщим теорию cosb sin b

12 Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Записываем характеристическое уравнение Находим корни характеристического уравнения В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в виде: если R ; если R ; cosb sin b если i b Рассмотрим примеры для каждого случая i b Примеры Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его Откуда Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения те имеем первый случай в Таблице В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

13 Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения 9 Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение То есть Что и требовалось показать Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его Откуда

14 Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных корня или один действительный корень кратности два те имеем второй случай в Таблице В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения и получить общее решение исходного дифференциального уравнения Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение То есть Что и требовалось показать

15 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 7 Составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его 7 Откуда где 7 7 i i i Характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения те имеем третий случай в Таблице В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения cos sin и получить общее решение исходного дифференциального уравнения cos sin Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin

16 Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение cos cos 7 7 cos То есть Что и требовалось показать cos 7 sin cos sin sin sin sin

17 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим теперь решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами : f Покажем решение данного дифференциального уравнения двумя методами: методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов Метод вариации произвольных постоянных метод Лагранжа В общем случае это уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных методом Лагранжа Алгоритм нахождения решения методом Лагранжа состоит в следующем: Находим общее решение линейного однородного уравнения соответствующее исходному неоднородному уравнению Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде общего решения однородного уравнения считая что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной те в виде 7 Таким образом функции уравнения 7 могут быть найдены как решения системы уравнений f 8 которая является линейной системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными относительно Представим систему 8 в матричном виде f 9 Так как функции являются линейно независимыми то определитель Вронского 7

18 W для любых Тогда система 9 имеет единственное решение f Поэтому и система двух уравнений 8 имеет единственное решение g g Интегрируя полученные равенств найдем функции и тем самым получим общее решение исходного неоднородного уравнения Пример Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Шаг Найдем те уравнения одн общее решение соответствующего однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решая квадратное уравнение получим корни характеристического уравнения Эти корни являются действительными и различными первый случай поэтому фундаментальная система решений соответствующая этим корням будет иметь вид: Следовательно общее решение однородного уравнения определяется формулой: одн Шаг Будем искать общее решение неоднородного линейного уравнения в виде общего решения однородного линейного уравнения считая что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной те в виде 8

19 9 Функции могут быть найдены из решения системы 8 где f те Преобразуем уравнения откуда Так как функция то d d Тогда где произвольная постоянная Так как функция то d d Найдем интеграл применяя формулу интегрирования по частям: vdu uv udv где u d dv d du v

20 d d где произвольная постоянная Подставляя в получим решение дифференциального уравнения Раскроем в формуле скобки и сгруппируем элементы Обозначив произвольные постоянные запишем решение исходного неоднородного линейного уравнения в виде Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения 8 Подставим общее решение вместе с найденными производными в левую часть исходного уравнения

21 То есть Что и требовалось показать

22 Метод неопределенных коэффициентов Метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен поэтому в ряде случаев когда правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид можно использовать другой метод метод неопределенных коэффициентов Для этого воспользуемся следующим утверждением о структуре общего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения Утверждение Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения одн соответствующего однородного уравнения и частного решения част исходного неоднородного уравнения одн част Общее решение одн линейного однородного уравнения находим по алгоритму приведенному выше Далее необходимо найти частное решение част неоднородного уравнения В случае когда правая часть исходного дифференциального уравнения имеет вид: f P cosb Q sin b n где P n Q m полиномы степени n m соответственно b некоторые постоянные числа то частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру: где N l част r m N cosb M sin b M l полиномы степени l m n m l l записанные с неопределенными коэффициентами; величина r равна числу корней характеристического уравнения 8 совпадающих с числом Таким образом i b r если среди корней характеристического уравнения нет числа r если один корень совпадает с этим числом; r если оба корня совпадают с этим числом i b ; Далее в соответствии с алгоритмом зная структуру частного решения неоднородного уравнения неизвестными которого являются коэффициенты полиномов подставим его вместе с производными в исходное уравнение Приравниваем коэффициенты подобных

23 членов слева и справа Получим систему линейных алгебраических уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов Таким образом процесс нахождения частного решения част неоднородного уравнения сводится к применению таких элементарных операций как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений Заметим что в этом методе не используется операция интегрирования которая необходима в методе вариации произвольных постоянных Примеры Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 7 Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Его общее решение имеет вид: где одн част 8 одн общее решение соответствующего однородного уравнения част частное решение исходного неоднородного уравнения Шаг Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения получено выше в Примере : Шаг Найдем одн част частное решение исходного неоднородного уравнения Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения f Видно что правая часть исходного уравнения имеет специальный вид где f P cosb Q n m sin b полином P n те n полином Q m те b m Так как правая часть имеет специальный вид то структура частного решения в общем случае будет иметь вид: част r N cosb M sin b l где величины r l и полиномы N l M l находятся следующим образом Так как l

24 r i b i b m m n l m n Q P m n Значит N l D M l где D постоянные Тогда структура частного решения исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид: D част sin cos Коэффициенты определим методом неопределенных коэффициентов Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение предварительно вычислив первую и вторую производные Тогда Подставим данное выражение в уравнение 7 Разделим обе части уравнения на и приравняем коэффициенты при и Получим систему из которой найдем коэффициенты :

25 Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид: част а общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения 7 определяется формулой 8: Видно что общее решение дифференциального уравнения 7 полученное с помощью применения метода неопределенных коэффициентов совпадает с решением полученным методом вариации произвольных постоянных в Примере Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 9 cos Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Его общее решение имеет вид: где одн част одн общее решение соответствующего однородного уравнения част частное решение исходного неоднородного уравнения уравнения Шаг Найдем одн общее решение соответствующего однородного уравнения те Для этого составим характеристическое уравнение по приведенному выше способу Получим квадратное уравнение Решим его Откуда i i Мы имеем два комплексно-сопряженных корня третий случай поэтому фундаментальная система решений соответствующая этим корням будет иметь вид:

26 cos sin Следовательно общее решение однородного уравнения определяется формулой: Шаг Найдем одн cos sin част частное решение исходного неоднородного уравнения Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения f cos где Видно что правая часть исходного уравнения имеет специальный вид f cos P cosb Q sin b n b полином P n те n полином Q m те m m Так как правая часть имеет специальный вид то структура частного решения в общем случае будет иметь вид: част r N cosb M sin b l где величины r l и полиномы N l M l находятся следующим образом Так как l Значит N l b Pn n Qm i b i m l m где постоянные M l r n m Тогда структура частного решения исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид: cos sin cos sin част Коэффициенты определим методом неопределенных коэффициентов Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение предварительно вычислив первую и вторую производные cos sin

27 Тогда cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin Подставим данное выражение в уравнение 9 Разделим обе части уравнения на Получим систему cos sin cos из которой найдем коэффициенты : и приравняем коэффициенты при Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид: част cos cos и sin а общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения 9 определяется формулой : cos sin cos Сделаем проверку найденного общего решения Для этого найдем первую и вторую производные общего решения 7

28 8 sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 9 cos sin sin cos Подставим общее решение вместе с найденными производными в левую часть исходного уравнения 9 cos cos 8 sin sin 8 cos 8 cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos То есть cos cos Что и требовалось показать

29 Задача Коши Общее решение любого дифференциального уравнения как следует из алгоритма его получения содержит бесчисленное множество частных решений Возникает естественный вопрос: как из полученного множества решений выделить интересующее нас частное решение или другими словами как выделить нужную интегральную кривую? Задача Коши это одна из основных задач теории дифференциальных уравнений Она состоит в нахождении решения интеграла дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям начальным данным Задачи Коши обычно возникают при анализе процессов определяемых законом эволюции и начальным состоянием математическим выражением которых являются дифференциальные уравнения и начальное состояние Начальные данные задаются при а искомое решение ищется для Примеры Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения если В примере получено общее решение исходного дифференциального уравнения Так как тогда Учитывая получим систему уравнений: 9

30 Откуда Искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид: Пример 8 Найти частное решение дифференциального уравнения cos если В примере получено общее решение исходного дифференциального уравнения Так как cos sin cos тогда sin cos sin cos ' Учитывая получим систему уравнений:

31 Откуда Искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид: cos sin cos

32 Вопросы для самопроверки Какой вид имеет линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами? Какие функции называются линейно независимыми? Какой вид имеет определитель Вронского? Как связаны линейная независимость системы функций и определитель Вронского для них? Что называют характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами если корни его характеристического уравнения действительные и различные? Дайте обоснование 7 Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами если корни его характеристического уравнения комплексные? Дайте обоснование 8 Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами если корни его характеристического уравнения действительные и совпадают? Дайте обоснование 9 Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций: Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций: cos sin Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций: sin cos sin В чем состоит метод вариации произвольных постоянных? В чем состоит метод неопределенных коэффициентов? Что такое задача Коши?

33 Задания для самостоятельной работы Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' 9 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения ' ' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' ' Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения '' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' '

34 Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' 8' Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения ' ' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' ' Вариант Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение однородного дифференциального уравнения '' ' Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения '' ' Найти частное решение дифференциального уравнения '' ' '

35 Литература Креймер НШ Путко БА Тришин Им Фридман МН Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов М: Банки и биржи ЮНИТИ c Шипачев ВС Высшая математика: учебник для вузов М: Высшая школа с Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах В -х ч Ч М: Высшая школа 98 с Барбаумов ВЕ Ермаков ВИ Кривенцова НН Справочник по математике для экономистов М: Высшая школа с Карасев АИ Аксютина ЗМ Савельева ТИ Курс высшей математики для экономических вузов В -х ч Ч М: Высшая школа 98 7 с Бронштейн ИН Семендяев КА Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов М: Наука 98 с

36 Александр Анатольевич Федюков ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Учебно-методическое пособие Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского» 9 Нижний Новгород пр Гагарина