Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Матрицы, определители и системы линейных уравнений"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2 УДК ) Матрицы определители и системы линейных уравнений: Методические указания к решению задач / Сост: Е А Толкачева М Н Абрамова А И Куприянов СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ» с Содержат примеры решения основных типов задач элементарной линейной алгебры Разобраны различные методы решения этих задач Предназначены для студентов-заочников всех специальностей Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

3 При изучении курса высшей математики включающего наряду с другими разделами матрицы определители и системы линейных уравнений делается упор на умение студента самостоятельно решать задачи с использованием различных методов Поэтому настоящие методические указания призваны помочь студентам-заочникам младших курсов в такой самостоятельной работе Несмотря на то что студент может использовать любые источники содержащие сведения по линейной алгебре в частности [] []) в данных указаниях в качестве основного выбран один из них «Конспект лекций по высшей математике» Д Т Письменного [] издание наиболее доступное с точки зрения составителей Поэтому в начале каждой темы дается ссылка на конкретные страницы названного учебного пособия Решения каждого примера в предлагаемых указаниях заканчивается ответом который или подчеркнут или при необходимости) выделен отдельно МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Алгебра матриц Определения и утверждения к можно найти в [ ч с ] Матрицу по главной диагонали которой стоят единицы а ее остальные элементы нули называют единичной и обозначают E При решении примеров в будем использовать следующие матрицы: B и ) C D Пример Вычислите B для матриц из ) Решение Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера результат будет того же размера Суммой матриц будет матрица элементы которой получены суммированием элементов слагаемых: B B номером матрицы прибавляем элемент с тем же К каждому элементу матрицы ) )

4 Пример Вычислите B для матриц из ) Решение Найдем сначала матрицы и B При умножении матрицы на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число: число на матрицы Умножаем каждый элемент Для матрицы B аналогично: B Сложим результаты: B Пример Вычислите B и B для матриц из ) Решение Перемножить матрицы можно если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя Если умножается матрица размера m k на матрицу размера k n то в результате получится матрица размера m n Для получения ее -го элемента необходимо элементы i-й строки левой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца правой матрицы и сложить полученные результаты j i B запишем эту сумму как элемент сложим результаты правой элементы столбцов на матрицы Умножим элементы строк левой ) ) ) ) ) ) ) ) ) ; B Произведение матриц не коммутативно т е для произвольных матриц и B: B B что и показывают полученные результаты

5 Пример Вычислите для матрицы из ) Решение Возвести матрицу в n-ю степень значит умножить ее на себя n раз те Пример Вычислите C D и D C для матриц из ) Решение Произведение C D не определено так как число столбцов матрицы которых три не совпадает с числом строк матрицы которых две Напоминаем что перемножить матрицы можно если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя C D Если умножается матрица размера на матрицу размера то в результате получится матрица размера : ) ) C D Пример Вычислите C т D для матриц из ) Решение При выполнении операций над матрицами в первую очередь выполняется транспонирование затем умножение матриц Для того чтобы найти транспонированную матрицу надо строки матрицы записать в столбцы или наоборот столбцы в строки) т C т D

6 Пример Вычислите D E для матриц из ) Решение На главной диагонали матрицы E стоят другие элементы равны нулю: D E D Легко проверить что E DD Полученные равенства верны для произвольных матриц Единичная матрица E при умножении матриц играет роль числа при умножении чисел Пример Найти значение многочлена f) для D из ) Решение: Запись fd)d D будет не корректна: выражение D D есть матрица размера к которой нельзя прибавить число Поэтому fd)d DE где E единичная матрица подходящего размера Подставим данные: ) D f ее саму на себя умножив в квадрат матрицу Возводим D Пример Вычислите: Решение При вычислениях следует помнить о последовательности выполнения действий сначала умножение матриц и умножения матрицы на число потом сложение матриц: число на матриц умножение Выполним

7 Выполним сложение и вычитание матриц находящихся в скобках Умножим матрицы размерности и т к количества столбцов-й и строк -й совпадают Определители Основные определения и утверждения необходимые для решения примеров можно найти в [ ч с ] Следует помнить свойства определителей: Определитель меняет знак если какие-либо две строки столбца) поменять местами Если у определителя есть две равные или пропорциональные строки столбца) то он равен нулю так же как и в том случае когда он имеет нулевую строку столбец) Если какую-либо строку столбец) умножить на число отличное от нуля то весь определитель умножится на это число Определитель не изменится если к какой-либо строке столбцу) прибавить какую-либо другую строку столбец) умноженную на число отличное от нуля n Обозначения определителя детерминанта) матрицы: det или или n n n nn иногда

8 Пример Вычислите определитель матрицы Решение Воспользуемся правилом вычисления определителя -го порядка который равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей Тогда det det i i Пример Вычислите определитель матрицы i i Решение: i det i i i i i i i Определитель порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей i i) i) i) i i i i i ) i i i i i ) i i i i cosα sinβ Пример Вычислите определитель матрицы Решение Запишем сразу искомый определитель cos α sin α Пример Вычислите определитель матрицы sin β cos β Решение: sin α Применим формулу cosα cosβ sin α sinβ cosβ косинуса суммы cos α β ) Пример Вычислите Решение При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса правилом треугольников) Составим произведения элементов по ставя перед ними необходимые знаки или :

9 ) ) ) ) Вычислять определители третьего порядка можно и приписыванием строк или столбцов см примеры и ) Пример потом -ю сначала-ю строку а Припишем к определителю снизу побочной диагонали и параллельных ей отрезков» запишем произведения по элементов Со знаком «главной диагонали и параллельных ей отрезков запишем произведения по элементов» Со знаком «) ) Пример e d c потом -й а сначала-й столбец к определителю справа Припишем е e d c побочной диагонали и параллельных ей отрезков» запишем произведения элементов Со знаком «главной диагонали и параллельных ей отрезков запишем произведения элементов» Со знаком «d e c e d c Для вычисления определителей высших порядков пользуются возможностями приведения их к определителям меньших порядков Это можно сделать при помощи разложения определителя по строке или по столбцу Пример Разложите определитель d c по элементам -го столбца а затем вычислите его

10 Решение Обозначим данный определитель через Определитель может быть записан в виде суммы произведений всех элементов столбца на соответствующие алгебраические дополнения ij : c d номер столбца номер строки где ) умноженными на заменены минорами Алгебраические дополнения могут быть j i j i ) ) ) ) d c d c Видим что вычисление определителя -го порядка свелось к вычислению четырех определителей -го порядка которые можно вычислить при помощи одного из правил или разложить по какой-либо строке столбцу) в сумму определителей -го порядка: ) ) ) c ) d c) d) Пример Вычислите определитель d c Решение Разложим определитель по элементам -й строки умножив их на миноры с соответствующим знаком: ) ) ) c d c

11 ) d c d c d Пример Вычислите определитель Решение Разложим определитель по первому столбцу заметив что в разложении будет всего одно слагаемое так как остальные слагаемые равны нулю Повторим в дальнейшем этот шаг для полученного определителя третьего порядка: Получим что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов Этот факт верен для определителей матриц произвольных порядков Пример Вычислите определитель Решение Используя свойства определителей постараемся увеличить число нулей например в -м столбце: вместо -й строки сумму запишем сложим результат с -й строкой ) на -ю строку Умножим

12 Прибавим -ю строку Разложим детерминант ко -й К -й строке по -му столбцу прибавим -ю первые три слагаемых умноженную на ) при этом равны нулю В полученном определителе сложим -ю и -ю строки ) К -й строке прибавим -ю умноженную на ) Разложим определитель по -му столбцу ) Вынесем множители: из -й строки ) из -й строки Видно что уменьшение порядка определителя может быть применимо и к определителям -го и -го порядков Пример Решите уравнение в комплексных числах Решение Для решения данного уравнения применив к левой части правило Саррюса для вычисления определителей -го порядка можно найти алгебраическое выражение с переменной и приравнять его к нулю: ) ) Применим формулу извлечения корня -й степени из комплексного числа: π π k k i cos i sin cos i sin πk πk cos i sin где k ;

13 Подставив необходимые значения параметра k получим: π π cos isin cos i sin i π π cos i sin i Ответ: i i Ранг матрицы Основные определения и утверждения можно найти в [ ч с ] Обозначения ранга матрицы : rng или r Следует помнить что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях к которым относятся: перестановки строк столбцов); умножение строки столбца) на число не равное нулю; сложение строк столбцов); вычеркивание нулевой строки столбца) Матрица полученная при помощи элементарных преобразований называется подобной данной Приведем матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду с разным числом нулей в строках в частном случае к треугольному виду) Ранг такой матрицы равен количеству ненулевых ее строк Тогда вопрос о ранге матрицы сводится к вопросу о строках подобной ей ступенчатой матрицы Пример Сколько миноров второго порядка имеет матрица? Выписать все эти миноры Решение Для того чтобы перечислить все миноры -го порядка в данной матрице будем выделять по две произвольные строки и по два произвольных столбца Определители -го порядка составленные из элементов матрицы расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов будут искомыми минорами -го порядка Напомним что матрица размера

14 m n имеет C k m C C C k n миноров k-го порядка т е в рассматриваемом случае миноров -го порядка: Выделили сначала -й и -й столбцы при этом -ю и -ю строки затем -ю и -ю строки потом -ю и -ю строки); далее поменяли выбор столбцов и рассмотрели те же наборы строк Пример Найти ранг матрицы Решение Выбрав -ю и -ю строки а так же -й и -й столбец составим определитель из элементов матрицы расположенных на пересечении вы- деленных строк и столбцов: следовательно rng Все миноры данной матрицы -го порядка равны нулю поскольку в составлении минора участвует вторая нулевая строка Значит ранг матрицы равен При решении этой задачи можно использовать и элементарные преобразования Вычеркнув из матрицы -ю строку а затем -й -й и -й столбцы получим матрицу B имеющую тот же ранг что и : B rng B rng Пример Найти ранг матрицы Решение Все миноры -го -го и -го порядков матрицы равны нулю так как элементы их строк пропорциональны Миноры же -го порядка сами элементы матрицы) отличны от нуля Следовательно rng

15 Пример Найти ранг матрицы Решение Вычислять ранг матрицы будем с помощью метода Гаусса приводя матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду: rng результат на место -й строки записав -ю Вычтем из -й строки результат запишем во -ю строку Вычтем из -й строки удвоенную-ю rng сумму запишем в -ю строку сложим с -й ) -ю строку на Умножим rng строку нулевую Вычеркнем rng Таким образом данная матрица приведена к виду когда ранг равен количеству ненулевых ее строк Следовательно rng Пример Найти ранг матрицы Решение Приведем данную матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями: rng rng -ю строки и -ю местами Поменяем rng удвоенную -ю строки -й из а -ю строки -й из Вычтем rng Пример Найти ранг B при разных значениях

16 Решение Следует обратить внимание что применяя элементарные преобразования получим подобные матрицы а не равные Поэтому между ними ставить знак равенства нельзя а можно использовать знак подобия При помощи элементарных преобразований приведем данную матрицу к ступенчатому виду: B ) ) Поясним выполненные действия: ) вычтем из -й строки удвоенную -ю строку вычтем из -й строки -ю; ) вычтем из -й строки удвоенную -ю строку Видим что в полученной ступенчатой матрице при последняя строка становится нулевой в остальных случаях это не так Ответ: rng B при rng B при Обратная матрица Основные определения можно прочесть в [ ч с ] Следует помнить что только невырожденная матрица обратима Рассмотрим два основных метода поиска матрицы обратной данной: Метод Гаусса Процесс поиска обратной матрицы состоит в выполнении элементарных преобразований со строками расширенной матрицы E) переводящих данную матрицу в матрицу E ) Причем при этом преобразуются строки расширенной матрицы т е строки длинной n Метод союзной матрицы Применяется формула * det где матрица * союзная присоединенная) к матрице Пример Существует ли если? Решение Матрица вырождена -й столбец нулевой) и не обратима те не имеет обратной

17 Пример Обратима ли матрица? Решение Матрица обратима т е имеет обратную Так как det Пример Найдите матрицу обратную к Решение Матрица обратима так как det Воспользуемся методом Гаусса для поиска обратной матрицы Запишем расширенную матрицу состоящую из двух частей: слева запишем данную матрицу справа единичную соответствующего порядка С помощью элементарных преобразований над строками всей расширенной матрицы приведем эту матрицу к виду когда слева будет стоять единичная матрица Тогда матрица которая получится справа будет искомой обратной матрицей: Для проверки воспользуемся равенством E из определения обратной матрицы: ; ; Пример Найдите матрицу обратную к матрице

18 Решение Данная матрица обратима так как Заметим что она уже имеет треугольный вид те задача облегчается и необходимо провести только «обратный ход» метода Гаусса: det Проверка: Пример Найдите если Решение Покажем применение метода союзной матрицы: det т е матрица обратима Найдем алгебраические дополнения используя равенство связывающее их с минорами : ij ij j i ij M ) ij M Составим из этих алгебраических дополнений матрицу союзную к :

19 * т т Следовательно det * Заметим что если в дальнейшем необходимо использовать обратную матрицу для каких-либо вычислений то лучше не вносить числовой множитель а записывать его перед всей матрицей Проверка: ) Аналогично E Пример При каких и матрица обратима? Решение Матрица обратима если ее определитель не равен нулю Найдем условия накладываемые на и при которых это не так те Для этого разложим левую часть полученного равенства на множители: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) Итак если или то определитель равен нулю и следовательно обратной матрицы не существует Ответ: обратная матрица существует если

20 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения и утверждения содержатся в [ ч с ] Исследование на разрешимость систем линейных уравнений Системы линейных уравнений СЛУ) могут быть совместными то есть разрешимыми и несовместными т е не иметь решений Для совместности СЛУ необходимо и достаточно чтобы ранги основной и расширенной матриц совпадали теорема Кронекера Капелли) Исследовать СЛУ это значит решить вопрос совместности и если она совместна то указать число ее решений Известно: если ранг совместной системы равен числу неизвестных то система имеет одно решение; если ранг совместной системы меньше числа неизвестных то она имеет бесконечное множество решений Пример Запишите основную и расширенную матрицы для Запишите данную СЛУ в виде матричного уравнения Решение Основной матрицей СЛУ называется матрица коэффициентов при неизвестных т е вида ) Расширенная матрица СЛУ матрица где основная матрица системы столбец свободных членов СЛУ Вертикальная черта проводится для визуального отделения левой и правой частей В рассматриваемом случае расширенная матрица: Левые части равенств СЛУ представляют собой суммы произведений элементов строк основной матрицы на неизвестные Следовательно по определению произведения матриц левую часть СЛУ можно записать в виде произведения основной матрицы на столбец состоящий из неизвест-

21 ных: При умножении этих матриц получим столбец состоящий из трех элементов По определению равенства матриц исходная СЛУ равносильна матричному уравнению Пример Запишите основную и расширенную матрицы для системы Запишите данную СЛУ в виде матричного уравнения Решение Если в каком-либо уравнении не участвует некоторая неизвестная то соответствующий элемент в основной матрице будет равен нулю Основной матрицей рассматриваемой СЛУ будет матрица Расширенной матрицей рассматриваемой СЛУ будет матрица Система может быть записана в виде Пример Исследовать на разрешимость систему Решение По теореме Кронекера Капелли СЛУ совместна если ранги ее основной и расширенной матриц равны Для сравнения рангов СЛУ удобно пользоваться методом Гаусса приведения матриц к ступенчатому виду подробно этот процесс рассматривался при поиске рангов матриц) При этом возможно появление строк вида ) Если хотя бы одна такая строка появилась то СЛУ несовместна Это значит что ранг расширенной

22 матрицы больше ранга основной Запишем расширенную матрицу СЛУ и приведем ее к ступенчатому виду: Видим что ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен следовательно система совместна При этом ранг совпадает с числом неизвестных т е СЛУ имеет единственное решение Пример Исследовать на совместность систему Решение Запишем расширенную матрицу СЛУ и приведем ее к ступенчатому виду: Ранг расширенной матрицы равен а ранг основной матрицы равен те СЛУ несовместна Пример Исследовать на совместность СЛУ Решение Система линейных уравнений все свободные коэффициенты которой равны нулю называется системой однородных линейных уравнений или однородной СЛУ Однородные системы всегда разрешимы так как имеют нулевое решение ) n Однако существуют решения отличные от нулевого решения которые называются нетривиальными Проверим сколько решений имеет рассматриваемая система линейных уравнений Для этого ранг ее системы сравним с числом неизвестных:

23 Ранг матрицы равен и он меньше числа неизвестных которых следовательно система имеет бесконечное множество решений Пример Исследовать систему Решение Запишем расширенную матрицу СЛУ и приведем ее к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований: Ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен т е система совместна При этом в системе неизвестных следовательно ранг меньше числа неизвестных и система имеет бесконечное множество решений Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Подробное описание метода Гаусса решения систем линейных уравнений можно найти в [ ч с ] Метод Гаусса заключается в приведении системы линейных уравнений к ступенчатому в частности к треугольному) виду при помощи элементарных преобразований над уравнениями системы Например если в системе менять местами уравнения складывать их умножать на не равные нулю числа то в результате получим равносильную СЛУ Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду называют «прямым ходом» метода Гаусса «Обратным ходом» метода Гаусса называют последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы Все эти преобразования можно проводить как с уравнениями записанными в СЛУ так и с расширенной матрицей системы В качестве примеров рассмотрим некоторые разрешимые системы линейных уравнений из

24 Пример Исследовать и решить СЛУ Решение К ступенчатому виду удобно приводить не саму систему уравнений а ее расширенную матрицу поскольку попутно решается вопрос о совместности системы уравнений В рассматриваемом случае Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен следовательно система совместна При этом ранг совпадает с числом неизвестных т е СЛУ имеет единственное решение Исходная СЛУ равносильна системе из которой следует система Ответ: Пример Исследовать и решить СЛУ Решение Запишем расширенную матрицу СЛУ и приведем ее к ступенчатому виду: Ранг расширенной матрицы системы равен а ранг основной матрицы равен следовательно система уравнений несовместна Это же показывает и

25 последняя строка расширенной матрицы ) которой соответствует уравнение или Пример Решить систему Решение Выполним «прямой ход» метода Гаусса т е приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду: Ранги основной и расширенной матриц равны и совпадают с числом неизвестных т е система совместна и имеет единственное решение «Обратный ход» метода Гаусса можно выполнить используя полученную уже ступенчатую матрицу: Для записи ответа можно использовать одну из следующих форм: или Пример Решить систему Решение Данная СЛУ однородна т е всегда имеет по крайней мере тривиальное решение При помощи элементарных преобразований приведем основную матрицу СЛУ к ступенчатому виду:

26 В результате преобразований получим матрицу размера которая равносильна СЛУ и имеет бесконечное множество решений ранг системы меньше числа неизвестных) Ранг системы значит можно выразить три неизвестные переменные через оставшуюся одну Обозначим через параметр α и выразим остальные неизвестные через него для удобства начнем записывать систему с последней строки): α α α α α α α α Запишем столбец неизвестных в виде α где α некоторое действительное число α R) Обе записи равноправны и называются общим решением данной однородной системы Для того чтобы получить какое-либо частное ее решение достаточно подставить вместо параметра конкретное значение Например ) т частное решение при α α α R Ответ:

27 Пример Найти общее решение и какое-нибудь частное решение СЛУ Решение Выполним «прямой ход» метода Гаусса для расширенной матрицы рассматриваемой системы линейных уравнений: Ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен следовательно система совместна При этом в системе неизвестных следовательно ранг меньше числа неизвестных и система имеет бесконечное множество решений Полученная матрица равносильна СЛУ Выполним «обратный ход» метода Гаусса Ранг матрицы СЛУ равен следовательно две неизвестные можно выразить через остальные Будем выражать и через которые в этом случае называются свободными переменными) Обозначим через параметр α через параметр β: β α β α α β α β α α ) β α ; α β R общее решение

28 Запишем одно из частных решений при значениях параметров α β : Пример Найти общее решение и какое-нибудь частное решение СЛУ Решение Выполним «прямой ход» метода Гаусса: Исходная СЛУ равносильна системе уравнений Ранг системы равен значение одной из переменных известно осталось выразить одну неизвестную Общее решение СЛУ: или β α αβ β α ; α β R Частное решение при α β : Пример Решить систему линейных уравнений сравнить ее решение с решением соответствующей ей однородной системы

29 Решение Однородная система соответствующая данной получается из неоднородной системы заменой в ней свободных коэффициентов нулями Решим сначала неоднородную СЛУ: Исходная СЛУ имеет бесконечное множество решений и равносильна системе Обозначим через параметр α и выразим все остальные неизвестные через него: α α α α α α ) ) ) α α α α α α ) α α α α α α R это общее решение рассматриваемой неоднородной системы линейных уравнений

30 Система будет решаться так же как и неоднородная но свободные члены при преобразованиях так и останутся нулями Общее решение однородной системы: α ; α R Решения неоднородной и соответствующей ей однородной систем отличаются только наличием столбца свободных членов который является частным решением неоднородной системы Решение невырожденных систем линейных уравнений Подробное описание методов решения невырожденных СЛУ можно найти в [ ч с ] Невырожденными системами являются системы основная матрица которых невырожденна Такие системы могут быть решены уже разобранным методом Гаусса Рассмотрим на примерах те методы которые применимы только к невырожденным системам Пример Решить СЛУ Решение Рассмотрим матрицы: основная матрица СЛУ столбец неизвестных СЛУ столбец свободных членов уравнений системы X B Основная матрица СЛУ невырождена так как det следовательно существует

31 Запишем СЛУ в виде равносильного ей матричного уравнения XB Домножим равенство XB на слева: X B X B E X B X B Столбец неизвестных может быть найден как произведение матриц и B Вычислим любым из разобранных нами ранее способов: Найдем решение данной системы уравнений: Пример Решить СЛУ Решение Применим к решению рассматриваемой системы метод Крамера основанный на следующей теореме Если СЛУ невырожденна то она имеет единственное решение вычисляемое по формулам i i n i : формулы Крамера) В этих формулах определитель основной матрицы СЛУ; i определитель полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов Для данной системы следовательно она невырожденна и имеет единственное решение Применим формулы Крамера:

32 ; Ответ: ; Список литературы Письменный Д Т Конспект лекций по высшей математике: В ч М: Айрис Пресс Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в упражнениях и задачах: В ч М: Высш шк Куликов Л Я Москаленко А И Фомин А А Сборник задач по алгебре и теории чисел М: Просвещение

33 Оглавление МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Алгебра матриц Определители Ранг матрицы Обратная матрица СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Исследование на разрешимость систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Решение невырожденных систем линейных уравнений Список литературы Редактор И Б Синишева Подписано в печать Формат / Бумага офсетная Печать офсетная Гарнитура «Times New Romn» Печ л Тираж экз Заказ Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» С-Петербург ул Проф Попова


МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ФГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МП Мисник ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua mtemorgu Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ОВБугрим ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

Линейная алгебра 12(6) 18(9)

Линейная алгебра 12(6) 18(9) Линейная алгебра Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. E-mail: vachurikov@list.ru. 1 Линейная

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее