НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 ФГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МП Мисник ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей и направлений подготовки Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Саратов

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МАТРИЦЫ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 9 РАНГ МАТРИЦЫ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Контрольные вопросы к главе Глава СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 9 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 9 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ПРАВИЛО КРАМЕРА 9 МЕТОД ГАУССА КОМПАКТНАЯ СХЕМА ИСКЛЮЧЕНИЯ МЕТОД ЖОРДАНА ГАУССА Контрольные вопросы к главе ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 9 ОТВЕТЫ Список рекомендованной литературы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

3 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и рабочей программой курса «Математика» для студентов Института химии СГУ Курс «Математика» является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной Ее изучение предусматривает: развитие логического и алгоритмического мышления; овладение основными методами исследования и решения математических задач; овладение основными численными методами; выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач Цель пособия помочь студентам первого курса Института химии СГУ освоить первоначальные понятия линейной алгебры и получить практические навыки при решении систем линейных алгебраических уравнений Пособие содержит следующие главы: основные понятия линейной алгебры системы линейных алгебраических уравнений Более подробное содержание приведено в оглавлении В пособии кратко изложены необходимые теоретические сведения и формульные соотношения основной материал иллюстрируют примеры В конце каждой главы приведены контрольные вопросы позволяющие оценить качество освоения теоретического материала Задачи для самостоятельного решения приведенные в конце пособия позволят обучающимся научиться применять полученные знания на практике тем самым будут способствовать лучшему пониманию и усвоению материала а ответы помогут проконтролировать правильность решения задач Пособие может быть полезно при изучении данной темы студентами нематематических специальностей и направлений подготовки изучающих высшую математику Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

4 Глава ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МАТРИЦЫ Пусть имеется m произвольных не обязательно различных действительных чисел Эти числа можно расположить в виде таблицы состоящей из m строк и столбцов Определение Прямоугольная таблица чисел расположенных в m строк и столбцов называется матрицей размера m (читается "эм на эн") Пример матрица размера Каждое число определяется номером строки и номером столбца на пересечении которых оно находится Например число находится во второй строке и первом столбце Матрицы обозначаются прописными буквами: B C и тд Элемент матрицы (число) стоящий в общем случае в i -й строке и j -м столбце обозначается строчными буквами ij b ij ij и тд Запись где i m j обозначает матрицу размера ( ) ij m с элементами ij Если это важно то размерность матрицы указывают в ее названии: m Матрица может быть записана в виде m m m m Здесь и далее точками обозначается продолжение записи элементов матрицы или определителя Определение Квадратной матрицей -ого порядка называется матрица состоящая из строк и столбцов: Главная диагональ квадратной матрицы это элементы Побочная диагональ квадратной матрицы это элементы ( ) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

5 Определение Верхней треугольной матрицей называется квадратная матрица вида Определение Нижней треугольной матрицей называется квадратная матрица вида Определение Диагональной матрицей называется квадратная матрица вида E называется квадрат- Определение Единичной матрицей ная матрица вида Очевидно что элементы единичной матрицы E определяются если i j соотношением e ij где i j если i j Определение Нулевой матрицей называется матрица (любого размера) все элементы которой нули Нулевая матрица обозначается O Определение Матрица m называется равной матрице B m если для элементов матриц выполняется равенство i m j Обозначается ij b ij В Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

6 ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Сложение (вычитание) матриц Определение 9 Суммой (разностью) двух матриц m и m B одинакового размера называется матрица C того же размера элементы которой определяются по формуле ) ( ij ij ij ij ij ij b с b с m i j Обозначается ) ( B А С В А С Замечание Матрицы разного размера складывать нельзя Пример Найти сумму матриц B Решение B C Умножение матрицы на число Определение Произведением матрицы m и числа α называется матрица C того же размера что и матрица с элементами ij ij с α m i j Обозначается А С α Пример Вычислить линейную комбинацию B матриц и B Решение B Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

7 Умножение матриц Определение Произведением матрицы размера p m и матрицы B размера p называется матрица C размера m элементы которой определяются по формуле к kj ik j i j i j i ij b b b b () где j m i Обозначается АB С Произведение матриц АB определено только в том случае когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B Пример Найти произведение матриц B Решение Для заданных матриц определено только произведение АB : ( ) ( ) ( ) ( ) B 9 Для квадратных матриц одного размера в общем случае B АB Пример Найти произведение матриц B Решение B но B Отметим что существуют матрицы со свойством B АB Такие матрицы называются коммутирующими Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

8 Транспонирование Определение Для матрицы размера m транспонированной называется матрица C размера m элементами с ij ji Обозначается T C Пример Найти матрицу транспонированную по отношению к матрице Решение Для транспонирования матрицы необходимо переставить местами строки и столбцы: -й столбец заменить -й строкой -й столбец заменить -й строкой и тд Таким образом T T Свойства операций над матрицами B B (коммутативность сложения); ( B) C ( B C) (ассоциативность сложения); O (сложение с нулевой матрицей); O (вычитание матрицы из самой себя); (умножение матрицы на единицу); ( α β) α ( β) (ассоциативность относительно произведения чисел); ( α β) α β (дистрибутивность относительно суммы чисел); α ( B) α αb (дистрибутивность относительно числового множителя); 9 α ( B) ( α)b (ассоциативность относительно произведения на число); ( B C) B C (дистрибутивность); ( BC) ( B)C (ассоциативность); E E (произведение с единичной матрицей); O EO O (произведение с нулевой матрицей); T T ( B) T B (транспонирование суммы матриц); T T T ( B ) B (транспонирование произведения матриц) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

9 Элементарные преобразования матриц К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие действия над ее элементами: ) перестановка двух строк (столбцов); ) умножение всех элементов строки (столбца) на число отличное от нуля; ) прибавление ко всем элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженных на одно и то же число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определитель второго порядка Пусть дана квадратная матрица -го порядка: Определение Определителем второго порядка матрицы называется число равное разности произведения элементов главной и произведения элементов побочной диагонали матрицы: Определитель второго порядка обозначается следующим образом: det Пример Вычислить определитель матрицы Решение Определитель третьего порядка Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка: Определение Определителем третьего порядка матрицы называется следующая алгебраическая сумма произведений элементов определителя: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 9

10 Схематично формулу для вычисления определителя третьего порядка можно изобразить так: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o При использовании схемы для вычисления определителей следует обращать внимание на знаки слагаемых суммы Пример Вычислить определитель матрицы А Решение При вычислении определителя воспользуемся вышеприведенной схемой ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 Вычисление определителей -го порядка Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка: Матрице можно поставить в соответствие некоторое число которое будем называть определителем матрицы -го порядка и обозначать Рассмотрим элемент ij квадратной матрицы где i ; j Вычеркнем i -ю строку и j -й столбец матрицы Останется матрица порядка Обозначим ее определитель чрез D и будем его называть минором элемента Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского ij Определение Величина ij ( ) D называется алгебраическим дополнением элемента ij i j ij ij i ; j

11 Из определений минора и алгебраического дополнения видно что они будут различаться только знаком Если сумма индексов i j четная то они равны если нечетная то они будут отличаться знаком Пример Найти минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы Решение Элемент Чтобы получить минор этого элемента необходимо вычеркнуть вторую строку второй столбец и вычислить оставшийся определитель второго порядка: D ( ) Для вычисления алгебраического дополнения этого элемента необходимо полученный минор умножить на ( ) те ( ) D В данном случае (сумма индексов элемента четная) значения минора и алгебраического дополнения будут совпадать ТЕОРЕМА (о разложении определителя по элементам строки или столбца) Определитель матрицы равен сумме произведений элементов одной строки (столбца) на их алгебраические дополнения: det K i i i i ( j j j j K j j det ) Приведенная теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца) позволяет сводить вычисление определителя -го порядка к вычислению определителей ( ) -го порядка Используя теорему вычислим определитель -го порядка из предыдущего примера разложив его по элементам первой строки: ( ) D ( ) D i i ( ) ( ( ) ( ) ) (( ) ( ) ( ) ) 9 Примеры Вычислить определитель единичной матрицы Решение Разложим определитель порядка по первой строке Так как в строке только один элемент отличен от нуля то получится только один -го порядка: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского определитель ( ) D

12 Определитель порядка опять разложим по первой строке Повторяя операции раз получим что данный определитель равен Вычислить определитель верхней треугольной матрицы Решение Разложим определитель порядка по первому стролбцу: Определитель порядка опять разложим по первому столбцу Повторяя операции раз получим что данный определитель равен произведению элементов главной диагонали Вычислить определитель четвертого порядка разложив его по элементам второй строки Решение ( ) ( ) ( ) ( ) Свойства определителей Определитель не меняется если строки поменять местами со столбцами Из этого свойства следует что строки и столбцы определителя равноправны и все свойства справедливые для строк справедливы и для столбцов Определитель произведения матриц равен произведению определителей: det B det det B Определитель у которого строка (столбец) состоит из нулей равен нулю Если в определителе переставить местами две строки (столбца) то определитель изменит знак Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

13 Если в i -й строке (столбце) матрицы все элементы представлены суммами то det det det где и отличаются от только i -й строкой (столбцом): у в i -й строке (столбце) стоят первые слагаемые сумм а у вторые слагаемые Определитель не изменится если одну строку (столбец) заменить на сумму или разность этой строки (столбца) и любой другой строки (столбца) определителя (В случае разности заменять следует ту строку (столбец) из которой вычитали) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя 9 Определитель у которого одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов) равен нулю Используя свойства определителя можно значительно упростить процесс вычисления определителей высоких порядков Пример Вычислить определитель -го порядка Решение Для упрощения вычислений прежде чем применять теорему следует используя свойства определителей преобразовать исходный определитель так чтобы в получившемся определителе в какой-либо строке или столбце было как можно больше нулей Этого можно добиться используя свойства определителей: прибавим ко вычтем из второму первой строки столбцу вторую первый разложимпо вычтемиз элементам ( ) второй строки первойстроки третью Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

14 прибавим ковторому столбцутретий ( ) РАНГ МАТРИЦЫ разложим по элементам второй строки Рассмотрим матрицу размера m Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов ( k mi( m ) ) Определитель составленный из выделенных элементов матрицы называется минором k -го порядка матрицы Определение Рангом матрицы ( r () ) называется наибольший порядок не равного нулю минора Пусть r ( ) r - ранг матрицы Определение Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор порядка r ТЕОРЕМА (о базисном миноре) Любая строка матрицы может быть представлена как линейная комбинация строк входящих в базисный минор (Аналогичное утверждение имеет место и для столбцов) Свойства ранга матрицы При транспонировании матрицы ее ранг не меняется Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (столбец) то ранг матрицы не изменится Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы Метод вычисления ранга матрицы состоит в том чтобы применяя элементарные преобразования привести матрицу к виду m m m m поскольку в этом случае легко указать ненулевой минор: его образуют первые столбцов где m Если окажется что > m то следует сначала транспонировать матрицу Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

15 Отметим что произвольную матрицу всегда можно привести к указанному ступенчатому виду например следующим способом: ) вычитается первая строка умноженная на подходящий множитель из всех остальных чтобы получить нули в первом столбце со второй по последнюю строку; ) вычитается вторая строка умноженная на подходящий множитель из всех остальных кроме первой чтобы получить нули во втором столбце с третьей по последнюю строку (полученные ранее нули в первом столбце при этом не изменятся так как от них будем отнимать те же нули) и так далее спускаясь по строкам вниз получается требуемое На практике совсем не обязательно пользоваться именно описанным методом Лучше вычитать строку и столбцы (не обязательно соседние) в которых много одинаковых элементов а затем переставить строки и столбцы чтобы получить нужное расположение нулей Пример Найти ранг матрицы Решение (вычтем из первой строки четвертую) (поскольку первая строка пропорциональна второй (с коэффициентом ) вычеркнем ее) (умножим третий столбец на и вычтем его из первого столбца) (поменяем местами первую строку с третьей и второй столбец с третьим) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

16 Поскольку первые три столбца полученной матрицы образуют треугольную матрицу с определителем ранг исходной матрицы равен ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Пусть матрица размера Определение Квадратная матрица называется невырожденной если det в противном случае матрица называется вырожденной Определение 9 Если для квадратных матриц и B имеющих одинаковую размерность B B E то матрица B называется обратной к матрице Обратная матрица обозначается Обратная матрица существует не для любой квадратной матрицы Например очевидно нулевая матрица не может иметь обратную поскольку при умножении ее на любую другую матрицу будем получать нулевую а не единичную ТЕОРЕМА (о существовании обратной матрицы) Всякая невырожденная матрица имеет обратную Вычисление обратной матрицы производится следующим образом: ) вычисляется det ; ) если det то делается вывод о существовании обратной матрицы; ) вычисляется матрица полученная из исходной матрицы заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическим дополнениями ~ ; ) транспонируется матрица ~ ; ~ T ) вычисляются элементы обратной матрицы det Пример Найти матрицу обратную к матрице Решение ) Подсчитаем определитель матрицы : Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского det ( ) ( ) ( ) ( ) ;

17 ) det следовательно у матрицы существует обратная матрица; ) Вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы : ; ; ; ; ; ; ; ; ~ ) Транспонируем матрицу ~ : ~ T ) Вычислим элементы обратной матрицы : Проведем проверку вычислений: E Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

18 В результате вычислений получена единичная матрица следовательно обратная матрица вычислена верно Контрольные вопросы к главе Какая матрица называется прямоугольной? Какая матрица называется квадратной? Какая матрица называется верхней треугольной нижней треугольной? Какая матрица называется диагональной? Какая матрица называется единичной? Какие существуют операции над матрицами? Что должно быть выполнено чтобы существовало произведение матрицы на матрицу B? Если матрицы и B можно умножать следует ли из этого что их можно складывать? 9 Если матрицы и B можно складывать следует ли из этого что их можно умножать? Может ли произведение прямоугольных матриц быть квадратной матрицей? Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая? Перечислить свойства операций над матрицами? Какие действия над элементами матрицы относят к ее элементарным преобразованиям? Что называется определителем второго порядка? Как вычислить определитель третьего порядка? Сформулировать свойства определителей Сформулировать теорему о разложении определителя по элементам строки Что называется рангом матрицы? 9 Какая матрица называется невырожденной? Какая матрица называется обратной? Указать формулу получения обратной матрицы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

19 где Глава СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Рассмотрим систему m линейных уравнений с неизвестными: ij m известные числа j m K K K m b b b m искомые неизвестные Числа ij () i m j называются коэффициентами системы b b b m свободными членами Определение Система () называется однородной если все b b bm и неоднородной в противном случае Определение Решением системы () называется совокупность чисел ( ; ; ) которые будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения системы обращают эти уравнения в тождества Определение Система называется совместной если она имеет по крайней мере одно решение и несовместной если у нее нет решения Определение Совместная система называется определенной если она имеет только единственное решение и неопределенной если она имеет больше одного решения В этом случае каждое ее решение называется частным решением Определение Совокупность частных решений называется общим решением Решить систему это значит выяснить совместна она или несовместна и в случае совместности найти ее решение Определение Матрицы m m m где b b () m m m bm называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы Введем в рассмотрение столбец неизвестных X и столбец свободных членов B : b X B b b m () Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 9

20 В сделанных обозначениях СЛАУ может быть записана в матричной форме: X B () ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРЕМА (Кронекера Капелли) Для совместности системы () необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу расширенной матрицы Таким образом система () совместна тогда и только тогда когда r ( ) r( ) r В этом случае число r называется рангом системы () ТЕОРЕМА Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (те r ) то система является определенной ТЕОРЕМА Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных то система неопределенная При исследовании произвольной СЛАУ необходимо выполнить следующие действия: ) найти ранг матрицы r () и ранг расширенной матрицы r ( ) системы; ) если r( ) r( ) то система несовместна если r ( ) r( ) r то система совместна; ) если система совместна и r то она определенная если r < то система неопределенная Для получения решения совместной СЛАУ необходимо выполнить следующие действия: ) выбрать какой-либо базисный минор порядка r ; ) выбрать r уравнений из коэффициентов которых составлен базисный минор отбросив остальные Неизвестные коэффициенты которых входят в базисный минор называются базисными и остаются в уравнении слева а остальные r неизвестных называются свободными и переносятся в правую часть уравнений; ) найти выражения базисных неизвестных через свободные которые определяют общее решение системы Частные решения системы получаются из общего решения если свободным неизвестным придавать произвольные значения Примеры Исследовать СЛАУ и в случае совместности найти решение 9 Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

21 Решение Определим ранги матрицы и расширенной матрицы системы Выпишем расширенную матрицу системы отделяя вертикальной чертой элементы матрицы системы от свободных членов системы: 9 Прибавим к элементам -й строки соответствующие элементы -й строки а затем разделим все элементы -й строки на : 9 9 ~ 9 ~ 9 Вычтем из элементов -й строки соответствующие элементы -й строки: 9 ~ ; 9 9 ~ ~ Нетрудно видеть что r ( ) r ( ) те r( ) r( ) следовательно система несовместна Решение Расширенная матрица имеет вид Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

22 Прибавим элементы -й строки к соответствующим элементам -й и -й строк а затем разделим элементы -й строки на а элементы -й строки на : ~ ~ Вычтем из элементов -й строки соответствующие элементы -й строки а из элементов -й строки элементы -й строки после этого вычеркнем и -ю строки: ~ ~ ; ~ Найдем определитель матрицы А: Следовательно ) ( r Так как найденный определитель является минором матрицы то ) ( r Получили ) ( ) ( r r и следовательно система совместная и определенная Для определения трех неизвестных нужны три уравнения Возьмем например первое третье и пятое уравнения а остальные уравнения можно отбросить: Отсюда легко находим что Решение Расширенная матрица системы имеет вид Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

23 Вычтем из -й строки -ю: ~ Разделим элементы -й строки на и вычтем из полученной -й строки -ю; затем вычеркнем -ю строку: ~ ~ Нетрудно видеть что ) ( ) ( r r Следовательно система совместна Возьмем первое и второе уравнения заданной системы: За базисные неизвестные примем и Это можно сделать так как определитель из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля Свободными неизвестными служат и Переписав систему в виде выразим и через и Полученные выражения определяют общее решение системы Задав произвольные значения свободным неизвестным и получим частные решения системы Однородные системы Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с неизвестными: m m m K K K () Однородная система всегда совместна так как ее решением являются нули (тривиальное решение): Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

24 У любой однородной системы r ( ) r( ) так как расширенная матрица отличается от матрицы только нулевым столбцом Если у однородной системы r ( ) r( ) то она имеет только нулевое решение Если помимо нулевых решений у однородной системы имеются другие решения то такая система называется нетривиально совместимой ТЕОРЕМА Пусть матрица однородной системы линейных уравнений размера m Для того чтобы система была нетривиально совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы был меньше те r ( ) < Для линейной однородной системы уравнений в которой число уравнений равно числу неизвестных утверждение «ранг матрицы меньше числа неизвестных» равносильно условию det Пусть однородная СЛАУ имеет k ненулевых линейно независимых решений (ни одно из них нельзя выразить линейно через остальные) X X X k Эти решения образуют фундаментальную систему если любое решение системы X можно представить в виде X X X k X k где k произвольные постоянные Число решений k в фундаментальной системе равно числу свободных неизвестных и определяется по формуле k r() Примеры Имеет ли однородная СЛАУ ненулевые решения? Если имеет то найти их выписав фундаментальную систему решений Решение Запишем расширенную матрицу системы Приведем матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду: умножим элементы -й строки на и прибавим к соответствующим элементам -й строки Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского ~ Число неизвестных ; r ( ) r( ) Поскольку r ( ) r( ) то однородная система определенная и имеет единствен-

25 ное нулевое решение: Таким образом общее решение ; системы: ( ) Решение Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: умножим -ю строку на и прибавим ко -й затем -ю строку разделим на ~ ~ Так как D то r ( ) r( ) < то система неопределенная Количество базисных переменных равно r ( ) а количество свободных переменных равно k r( ) Для определения базисных переменных выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка например D Его столбцы -й и -й столбцы матрицы соответствуют переменным и это будут базисные переменные а свободная переменная Заметим что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару так как соответствующий им минор равен нулю: Запишем систему соответствующую полученной матрице: Выразим базисные переменные через свободную Из второго уравнения Подставляя значение в первое уравнение получим Обозначив свободную переменную через t получим общее решение системы X t t Таким образом общее решение сис- t темы X t Фундаментальную систему решений образует решение t Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

26 X и X t X Для удобства общее решение будем записывать в виде ( ) t t; ; а фундаментальную систему решений ( ) ; ; Решение Расширенная матрица системы имеет вид Преобразуем матрицу : умножим элементы -й строки на и прибавим к соответствующим элементам -й строки; умножим элементы -й строки на и прибавим к соответствующим элементам -й строки ~ Вычеркнув -ю строку равную -й получим ~ Число неизвестных ; ) ( ) ( r r Поскольку r r < ) ( ) ( то однородная система имеет ненулевые решения За базисные неизвестные выберем Неизвестные и - свободные их можно задавать произвольно Выпишем систему которая соответствует полученной матрицы и выразим базисные неизвестные через свободные ; Обозначим t и s где s t произвольные постоянные Выпишем решение системы X в матричном виде: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

27 sx tx s t s t s t s t s t X Решения X и X образуют фундаментальную систему решений Таким образом общее решение системы ( ) t s t s t ; ; ; фундаментальную систему решений образует пара решений ( ) ( ) { } ;;; ;;; РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными: b b b K K K () Матрица системы квадратная В матричной форме система имеет вид B X () Определение Определитель det составленный из коэффициентов системы называется определителем системы Определение Если то система называется невырожденной По теореме матрица имеет обратную матрицу Умножив обе части уравнения () на матрицу слева получим B X Так как E и E EX то B X где X матрицастолбец искомых неизвестных Пример Решить СЛАУ с использованием обратной матрицы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

28 Решение В матричной форме СЛАУ примет вид B X где B X Определитель матрицы равен Обратная матрица примет вид 9 Теперь можно получить решение системы в матричном виде B X X 9 Таким образом Следовательно Решение матричных уравнений Иногда необходимо решить матричное уравнение вида B X ( B X ) Если квадратная невырожденная матрица то решение этого уравнения имеет вид B X ( B X ) где обратная к матрица Примеры Решить матричное уравнение B X где B Решение Матрица квадратная невырожденная матрица так как det Решением матричного уравнения является матрица X которая определяется по формуле B X Поскольку то X Проверка: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

29 9 Решить уравнение B X где B Решение Для матрицы обратной является матрица следующего вида (см п): Для упрощения дальнейших вычислений множитель оставим перед матрицей Решением уравнения будет матрица B X 9 В конечном итоге решение матричного уравнения примет вид X ПРАВИЛО КРАМЕРА Следствием решения СЛАУ с использование обратной матрицы является метод Крамера Невырожденная система линейных уравнений () имеет единственное решение которое может быть найдено по правилу Крамера i i i () где i определитель полученный из определителя системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

30 Системы двух линейных уравнений Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными: b (9) b Система (9) если определитель системы имеет единственное решение которое находится по формулам Крамера: b b b b ; () Если определитель то система является либо несовместной либо неопределенной В последнем случае система сводится к одному уравнению (например первому) второе же уравнение является следствием первого Условие несовместности системы (9) можно записать в виде b () b Условие неопределенности системы (9) можно записать в виде b () b Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными () Если то система сводится к одному уравнению (например первому) из которого одно из неизвестных выражается через два других значения которых остаются произвольными Если условие не выполнено то решения системы находятся по формулам: t t t () Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского где t может принимать любые значения

31 Эти решения можно записать также в виде t При этой форме записи решений необходимо помнить что если один из знаменателей обращается в нуль то соответствующий числитель следует приравнять к нулю Примеры Решить СЛАУ: Решение Находим определитель системы и определители входящие в числители формул (): ( ) ( ) Отсюда ; Решение Используя формулы () находим t t t t t t где t можно придавать любые значения Системы трех линейных уравнений Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными b b () b при находится по формулам Крамера: () где Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

32 b b b Если то исходная система либо неопределенная либо несовместная Если и то система неопределенная Если и среди определителей есть хотя бы один не равный нулю то система несовместная Рассмотрим однородную систему трех уравнений: () Если определитель системы () то она имеет единственное (нулевое) решение: Если определитель системы () то система имеет бесчисленное множество решений Во втором случае если среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один отличный от нуля то система сводится к двум независимым уравнениям (третье является следствием) а если все миноры этого определителя равны нулю то система сводится к одному уравнению (остальные два являются его следствием) Примеры Решить СЛАУ Решение Находим определитель системы При вычислении определителя воспользуемся теоремой о разложении по элементам первой строки: Вычислим определители входящие в числители формул (): Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского b b b b b b

33 Подставляя найденные значения в формулы () получим решение системы: Решение Находим определитель системы При вычислении определителя к элементам -й строки прибавим элементы -й строки умноженные на а к элементам -й строки элементы -й умноженные на : Так как то система имеет только нулевое решение: 9 Решение Определитель системы уравнений Следовательно система имеет решения отличные от нулевого Решаем систему первых двух уравнений (третье является их следствием): 9 Отсюда по формулам () получаем 9 9 t t t t t t Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

34 МЕТОД ГАУССА Решение СЛАУ с помощью определителей можно производить только в случае квадратной матрицы системы Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения является метод Гаусса состоящий в последовательном исключении неизвестных Этот метод применим и для случая систем произвольного вида Вначале рассмотрим метод Гаусса для СЛАУ в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы те система имеет единственное решение Система имеет следующий вид: K K () K Процесс решения состоит из двух этапов Первый этап называемый прямым ходом метода Гаусса заключается в приведении системы к треугольному виду Второй этап называемый обратным ходом метода Гаусса заключается в последовательном определении неизвестных из полученной прямым ходом системы уравнений Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Прямой ход Допустим (если то изменим порядок уравнений выбрав первым такое уравнение в котором коэффициент при не равен нулю) Коэффициенты системы ii называются главными шаг -е уравнение системы делим на Умножаем полученное уравнение на и вычитаем из -го; затем умножаем на и вычитаем из -го; наконец умножаем на и вычитаем из -го В результате первого шага получаем эквивалентную систему с в которой j с j j ; ij ij i j i j шаг Действия первого шага применяем к уравнениям полученной системы начиная со -го: делим -е уравнение на Далее умножаем полученное уравнение сначала на и вычитаем из -го затем на и вычитаем из -го и наконец умножаем на -го и вычитаем из

35 Продолжаем этот процесс пока возможно В ходе приведения системы к ступенчатому виду могут появиться нулевые уравнения то есть равенства вида Такие уравнения следует отбросить В итоге исходная система может быть преобразована к так называемому треугольному виду: с (9) Обратный ход Из системы уравнений (9) начиная с последнего уравнения последовательно определяем неизвестные подставляя найденные значения неизвестных в предыдущие уравнения: с или i j j j i i i i Решение получено Контроль вычислений Дополним расширенную матрицу системы () ) ( -м так называемым контрольным столбцом элементов где i j ij i то есть является суммой всех элементов i -й строки При линейных преобразованиях элементов матрицы такому же преобразованию должны подвергнуться элементы контрольного столбца Каждый элемент контрольного столбца преобразованной матрицы должен быть равен сумме элементов соответствующей строки Метод Гаусса является инструментом не только решения систем уравнений произвольного размера но и ее исследования Если система имеет единственное решение то в результате прямого хода метода Гаусса система уравнений приведется к треугольному виду в котором последнее уравнение будет содержать одно неизвестное Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

36 В случае неопределенной системы допускающей бесчисленное множество решений треугольной системы не получится В этом случае система приводится к ступенчатому виду: k k k k k k k Если же система уравнений несовместна то после приведения к ступенчатому виду она будет содержать хотя бы одно уравнение вида i те уравнение в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты а правая часть отлична от нуля Такая система не имеет решений Замечание На практике удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений а матрицу из коэффициентов и свободных членов Примеры Используя метод Гаусса решить СЛАУ Решение Расширенная матрица имеет вид Введем контрольный столбец каждым элементом которого является сумма четырех элементов i -й строки При линейных преобразованиях будем проводить контроль вычислений сравнивая значение контрольного столбца с суммой всех элементов строки Прямой ход Для упрощения вычислений поменяем местами первое и второе уравнения: ~ Выполним -й шаг метода Гаусса: из и -й строк вычтем -ю умноженную соответственно на и : 9 Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

37 Изменив знаки во -й строке и умножив ее на прибавляем к -й: ~ Система уравнений приняла треугольный вид: Она имеет единственное решение Обратный ход Из последнего уравнения имеем Подставляя это значение во второе уравнение получаем и наконец из первого уравнения находим Решение Расширенная матрица контрольным столбцом имеет вид Прямой ход Вычтем из -й строки -ю умноженную на из -й -ю умноженную на : ~ Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

38 Прибавим к -й строке -ю а из -й вычтем -ю: ~ Вычеркнем нулевые строки: Запишем систему соответствующую полученной матрице: Система имеет ступенчатый вид В этом случае она является неопределенной то есть допускает бесчисленное множество решений Обратный ход В качестве базисного минора возьмем минор составленный из коэффициентов при неизвестных (так как ) Сами неизвестные в этом случае будут являться базисными а неизвестные свободными неизвестными Отправив свободные неизвестные в правую часть уравнений системы получим Подставляя выражение для в первое уравнение системы получим общее решение системы в виде Для получения частного решения следует свободным неизвестным присвоить произвольные значения например Тогда одним из частных решений будет решение: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского КОМПАКТНАЯ СХЕМА ИСКЛЮЧЕНИЯ Компактный метод решения системы () требует меньшего количества промежуточных вычислений чем метод Гаусса и становится особенно простой когда матрица системы симметрична ( ij ji ) Схема предполагает последовательное определение неизвестных

39 в указанном порядке из уравнений после вычисления элементов матрицы размера ( ) полученной из расширенной матрицы системы: b b b () b b b b Элементы последней матрицы () вычисляются с помощью рекуррентных формул прямого хода метода которые могут быть легко реализованы с использованием компьютерной техники Прямой ход Вычисления элементов матрицы () проводятся последовательно начиная с элемента главной диагонали в следующем порядке: сначала вычисляются элементы расположенные в столбце под элементом главной диагонали затем элементы расположенные в строке справа от элемента главной диагонали по формулам: j bi i ( i ); j ( j ); j bij ij bik kj; ( i j ); i j; () k i ij ij bik kj ( i ; j ); i < j bii k Обратный ход В результате обратного хода метода получаем решение исходной системы i i ij j ( i ) ( ) j i Контроль вычислений Дополним расширенную матрицу столбцом элементов в котором каждый элемент является суммой всех элементов данной строки т е i j ij i Матрицу () дополним столбцом элементов которые вычисляются по формулам () b b b b b b b с i i Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 9

40 При заполнении этой матрицы должно выполняться равенство ij i i j i то есть элемент последнего столбца должен быть на единицу больше суммы элементов строки начиная с элемента следующего за элементом главной диагонали Контроль проводится при заполнении каждой строки матрицы () Кроме того должны выполняться следующие соотношения: y i i где yi i ij y j i j i Пример Решить СЛАУ используя компактную схему: Решение Здесь m Р асширенная матрица системы с -м контрольным столбцом каждым элементом которого является сумма пяти элементов соответствующей строки имеет вид Прямой ход Заполнение матрицы () производится начиная с -го столбца который в соответствии с формулами () совпадает со столбцом расширенной матрицы системы Элементы -й строки начиная со -го делятся на коэффициент при : b b b b b b Проведем контроль -й строки: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

41 Вычислим элементы -го столбца ( j ; i ): bi i bi тогда b b b j b j Вычислим элементы -й строки ( i ; j ): j b тогда 9 b b b 9 Проведем контроль -й строки: Вычислим элементы -го столбца ( j ; i ): b ( b b ) тогда i i i i j 9 b Вычислим элементы -й строки ( i ; j ): j ( b j b j ) тогда b 9 b Проведем контроль вычислений -й строки: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

42 Вычислим элементы -го столбца: b ( b b b ) и элементы -й строки j ( b j b j b j ) ( i ; j ): j тогда b 9 Проведем контроль вычислений -й строки: Обратный ход y Контроль вычислений дает y ( ) y y ( ) Контроль вычислений: y 9 9 ( ) ( ) y y y ( ) Контроль вычислений: y ( ) ( ) y y y y ( ) Контроль вычислений: y Решение системы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

43 МЕТОД ЖОРДАНА - ГАУССА Метод Жордана Гаусса позволяет после специальных преобразований элементов матрицы системы сразу находить значения неизвестных Пусть дана система m линейных уравнений с неизвестными: K K () m m K m m где известные числа ij искомые неизвестные j В матрице этой системы выберем отличный от нуля элемент Этот элемент называется разрешающим элементом p-й столбец qp матрицы разрешающим столбцом а q-я строка разрешающей строкой Преобразуем элементы матрицы с помощью следующих формул: qj qj j ( ); ipqj () ij ij i q i m; j ( ) qp Новая система уравнений с матрицей будет иметь вид K p p K K p p K q q K qp p K q q () m m K mp p K m m В полученной системе элементы q-й с троки расширенной матрицы совпадают с q-й строкой расширенной матрицы исходной системы () а элементы p-го столбца матрицы за исключением pq равны нулю Следует отметить что системы () и () одновременно совместны или несовместны В случае совместности эти системы равносильны то есть их решения совпадают Для определения элемента матрицы полезно знать правило прямоугольника Для этого рассмотри элемента матрицы Преобразующийся элемент ij ij Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Для того чтобы получить элемент ij необходимо из элемента вычесть произведение элементов расположенных в противоположных ij qj ip pq разрешающий элемент

44 вершинах прямоугольника: ip и qj деленное на разрешающий элемент pq (ср ()) Аналогичным образом можно преобразовать систему () приняв за разрешающий элемент матрицы элемент sr причем s q r p После этого преобразования все коэффициенты при r кроме sr обратятся в нуль Полученная система опять может быть преобразована и тд Если ранг системы равен числу неизвестных то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида b b b из которой находятся значения неизвестных В этом методе удобно в качестве разрешающего элемента выбирать элемент равный единице Таким образом при решении СЛАУ методом Жордана-Гаусса необходимо выполнить следующие действия: ) выбрать отличный от нуля разрешающий элемент (удобнее выбрать равный единице если такой имеется); ) в преобразованной матрице разрешающую строку переписать без изменения; ) все элементы разрешающего столбца кроме самого разрешающего элемента заменить нулями; ) все остальные элементы преобразовать по правилу прямоугольника Примеры Решить СЛАУ используя метод Жордана Гаусса Решение Расширенная матрица системы с контрольным столбцом имеет вид Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Примем за разрешающий элемент коэффициент при в первом уравнении Перепишем без изменения разрешающую строку таблицы а все элементы -го столбца кроме разрешающего заменим нулями При-

45 менив правило прямоугольника преобразуем все остальные элементы включая элементы контрольного столбца: Отметим что в контрольном столбце получаются суммы элементов соответствующих строк Разделив на элементы -й строки получим матрицу: Примем за разрешающий элемент -й строки -го столбца -й столбец перепишем без изменения элементы -го столбца кроме разрешающего заменим нулями -ю разрешающую строку перепишем без изменения остальные элементы преобразуем по правилу прямоугольника: строки на й элементы - разделим Преобразуем элементы приняв за разрешающий элемент -го столбца -й строки и проведем контроль вычислений строки на й элементы - разделим Примем за разрешающий элемент -й строки -го столбца и преобразуем элементы матрицы 9 Значения элементов контрольного столбца показывают правильность вычислений В результате система уравнений примет вид Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

46 Отсюда Решение Расширенная матрица системы с контрольным столбцом имеет вид Преобразуем матрицу выбрав разрешающим элемент -й строки и -го столбца: строке й - знаки в изменим За разрешающий примем элемент -й строки -го столбца и преобразуем элементы матрицы осуществляя контроль вычислений: Вычтем из -й строки -ю и вычеркнем -ю строку все элементы которой нули: Примем за разрешающий элемент -й строки -го столбца матрицы и проведем очередную серию преобразований проверяя вычисления по контрольному столбцу: Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

47 Матрица системы имеет ранг равный следовательно система содержит три базисных неизвестных и и одно свободное неизвестное Получаем систему уравнений Отсюда Полагая t где t произвольное число получим однопараметрическое решение исходной системы: t t t Решение Расширенная матрица системы с контрольным столбцом имеет вид 9 Выберем разрешающим элемент -й строки и -го столбца и преобразуем матрицу элементов проводя контроль вычислений: 9 (разрешающий -й элемент -го столбца) (изменим знаки элементов -й строки на противоположные) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

48 9 9 В результате система уравнений примет вид 9 Очевидно что второму уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных Следовательно полученная система уравнений а следовательно и исходная система несовместны Контрольные вопросы к главе Какая система называется системой линейных алгебраических уравнений? Какая СЛАУ называется однородной; неоднородной? Что называют решением СЛАУ? Какая СЛАУ называется совместной; несовместной? Какая СЛАУ называется определенной; неопределенной? Какую матрицу называют матрицей системы? Сформулировать теорему Кронекера-Капелли Может ли однородная СЛАУ иметь ровно одно решение? ровно два? ровно? 9 Может ли у неоднородной СЛАУ быть фундаментальная система решений? Что представляют собой формулы Крамера? В каком случае можно применять метод Крамера при решении СЛАУ? В чем заключается метод Гаусса решения СЛАУ? В чем отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса решения СЛАУ? (разрешающий -й элемент -го столбца) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

49 9 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Найти линейные комбинации матриц B ; ; B E λ ; B ; ; B B ; ; B Найти произведения матриц B и B (если возможно) ; B ( ) ; B ; B ; B Найти произведение матриц C B ) ( ; B ; C ; B ; C ( ) ; B ; C Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

50 ; B ; C Найти матрицу T ( ) Вычислить определители ; ; ; ; ; ; ; ; Найти ранг матрицы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

51 Найти обратную матрицу для матрицы Сделать проверку 9 Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной СЛАУ 9 Дана СЛАУ Требуется: а) решить систему с использованием формул Крамера; б) решить систему с помощью обратной матрицы Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

52 Решить СЛАУ методом Гаусса Исследовать СЛАУ Для совместных систем найти общее и одно частное решения Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

53 ОТВЕТЫ λ ; ; ; λ 9 ; B B ; B ( ) 9 B ; B B 9 ; 9 B B ; ; 9 9 ; ( ) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ( ; t) ; ( ; ) ; не существует; t ; ( ; ; ); фундаментальной системы решений нет; ( ; t; t) ; ( ; ; ) ( t s; t; s; s) ; {( ; ; ;) ; ( ; ; ; ) } ;9 ( ; ; ); t ; 9 ( ; ; ); 9 ( ; ; ); 9 ( ; ; ); 9 ( ; ; ); 9 ( ; ; ); 9 ( ; ; ); 9 ( ; ; ); 99 ( ; ; ); ( ; ;); ( ; ; ; ); ( ; ; ; ); Совместная определенная: орчр ( ; ; ); Несовместна; Совместная неопреде- Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

54 ленная: ор ( t ; t; t ); чр ( ; ; ); Совместная неопределенная: ор ( t s r; t; ; s; r); ;; ; ; чр ( ) Список рекомендованной литературы Баранова ЕС Васильева НВ Федотов ВП Практическое пособие по высшей математике Типовые расчеты: Учебное пособие СПб: Питер 9 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я В ч: Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб пособие для вузов М: Издательский дом «ОНИКС век»: Мир и Образование Демидович ВП Кудрявцев ВА Краткий курс высшей математики: Учеб пособие М: Астрель Лунгу К НПисьменный ДТ Федин СН Шевченко ЮА Сборник задач по высшей математике курс -е изд испр и доп М: Айрис-пресс Минорский В П Сборник задач по высшей математике: Учеб пособие М: Физ- мат лит Письменный ДТ Конспект лекций по высшей математике: полный курс Дмитрий Письменный -е изд М: Айрис-пресс 9 Щипачев В С Высшая математика: Учебник для немат спец вузов / Под ред акад А Н Тихонова М: Высшая школа 9 Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского


И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ)

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ) Семинар Однородные СЛАУ ОСЛАУ) Рассмотрим систему, состоящую из m однородных линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a n x n =, a { x + a x + + a n x n =, a m x + a m x + + a mn x n =. Введём

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее