Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница"

Транскрипт

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница

2 Оглавление Глава Матрицы и определители Матрицы Операции над матрицами Определители Свойства определителей Невырожденные матрицы Обратная матрица Ранг матрицы Задачи для самостоятельной работы Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Теорема Кронекера-Капелли Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Невырожденные системы линейных уравнений Формулы Крамера Системы линейных однородных уравнений Матричные вычисления в экономических задачах Межотраслевой баланс Задачи для самостоятельной работы Глава Системы линейных неравенств Основные понятия Решение систем линейных неравенств Задачи для самостоятельной работы Ответы Литература

3 Глава Матрицы и определители Матрицы Прямоугольная таблица чисел вида m m m содержащая m строк одинаковой длины или столбцов одинаковой длины называется матрицей размера где m Сокращенно матрица записывается в виде: i m номер строки j номер столбца Если необходимо указать её размеры то пишут - m либо Числа ij m m называются элементами матрицы Строки и столбцы матрицы называют также её рядами Две матрицы и B размера m называются равными если равны все их соответствующие элементы: где i m j ij ij Если число строк матрицы равно числу её столбцов те m то матрица называется квадратной Квадратную матрицу размера называют матрицей -го порядка Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы Квадратная матрица называется диагональной если равны нулю все её элементы кроме элементов главной диагонали и она имеет следующий вид Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице то она называется единичной Единичная матрица обозначается буквой E и имеет вид E Матрица называется нулевой если все её элементы равны нулю Обозначается буквой О: О Квадратная матрица называется треугольной если все элементы расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю Возможны два варианта треугольной матрицы: ij

4 или B Матрица называется треугольной сверху В треугольной снизу Квадратная матрица называется симметрической если для всех i j Данное равенство означает что элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали равны Матрица может состоять из одного столбца или одной строки Их называют вектором-столбцом или вектором-строкой соответственно Такие матрицы имеют вид: m - вектор-столбец B - вектор-строка Матрица может состоять из одного числа тогда её размерность При помощи матриц удобно описывать экономические модели Например предприятие производит четыре вида продукции для которых используются три вида сырья Сведения о расходах сырья для производства можно записать в виде матрицы: где ij i j - норма расхода для производства единицы j - го вида продукцииiго вида сырья ij ji Операции над матрицами Транспонирование матриц Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на её столбцы с сохранением их порядка Полученная матрица T обозначается и называется транспонированной к А Те если исходная матрица имеет вид m m то = m T m m m Например если то T если T то

5 Свойства транспонирования матриц Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице те T T При транспонировании квадратных матриц элементы находящиеся на главной диагонали не меняют своих позиций Симметрическая матрица не изменяется при транспонировании Сложение матриц Операция сложения матриц определяется только для матриц одинаковых размеров Суммой матриц m ij и Bm ij называется матрица Cm cij такая что cij ij ij для всех i m j Пример Умножение матрицы на число Произведением матрицы m ij называется матрица B для всех i m Пример m ij такая что ij ij Матрица на число j называется противоположной матрице Разность матриц B определяется как B ( B) Свойства операций сложения матриц и умножения матрицы на число B B ( B C) ( B) C O ( ) ( ) ( B) B O ( ) где числа B C - матрицы одних и тех же размеров и - любые действительные Умножение матриц Данная операция определена только для согласованных матриц Матрица называется согласованной с матрицей B если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы B

6 Произведением матрицы ) ( ij l m на матрицу ) ( ij l B называется такая матрица ) ( ij m c C для которой j i j i j i ij c где m i k те элемент i -й строки и j -го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В Если и B квадратные матрицы одного размера то произведения B и B всегда существуют Матрицы и B называются перестановочными если B B Если - квадратная матрица и E - единичная матрица того же размера то E E Пример Даны две матрицы B Матрица состоит из трех строк и четырех столбцов матрица В из четырех строк и двух столбцов Матрица согласована с матрицей B следовательно произведение матриц B определено и матрица B С из трех строк и двух столбцов Не определено произведение B поскольку матрица B не согласована с матрицей ) ( ) ( ) ( B Свойства умножения матриц C B C B ) ( ) ( BC C C B ) ( C B C B ) ( B B ) ( ) ( Свойства транспонирования матриц

7 B T B T T T T T B B B T T Пример Предприятие выпускает четыре вида продукции для которых используются три вида сырья Сведения о расходах сырья для производства можно записать в виде матрицы: где i j - норма расхода для производства единицы j - го вида ij продукции i-го вида сырья Допустим что выпуск продукции определяется матрицей в в В в в где в j - выпуск j - го вида продукции Тогда затраты сырья j необходимого для выпуска продукции определяются матрицей С АВ в в в в в в в в в в в в в в в в с = с с Если стоимость единицы каждого вида сырья задана матрицей р р то стоимость всего затраченного сырья равна Р р с S PC р р р с с р c рc рc Этот же результат можно получить и таким способом: S PB Элементарные преобразования матрицы Элементарными преобразованиями матрицы называются: перестановка двух строк или столбцов;

8 умножение всех элементов строки или столбца на число отличное от нуля; прибавление к элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца умноженных на некоторое число Две матрицы и B одного размера называются эквивалентными если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований Записывается это так: ~ B Элемент строки матрицы называется крайним если он не равен нулю а все элементы этой строки находящиеся левее него равны нулю Матрица называется ступенчатой если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи элементарных преобразований Пример Приведем матрицу к ступенчатому виду Первую строку умноженную на - сложим со второй строкой и вычтем из третьей: ~ Вычтем вторую строку из третьей: ~ Определители Квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие число det (или или ) которое называется определителем Определитель матрицы называют также детерминантом Порядок определителя полагается равным порядку соответствующей матрицы Если порядок матрицы равен единице и она состоит из одного элемента ( ( ) ) то определителем первого порядка называется число и det Для матрицы второго порядка определителем второго порядка называется число det

9 число det Определителем третьего порядка для матрицы называется Необходимо учесть что выражения для определителей представляют алгебраические суммы всевозможных произведений элементов матрицы взятых по одному из каждого столбца и каждой строки Пример Вычислить определитель матрицы Пример Вычислить определитель матрицы det ( ) ( ) det ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) Пусть дана матрица порядка : Определителем матрицы -го порядка называется алгебраическая сумма! произведений элементов этой матрицы причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы Напомним что! Свойства определителей Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: det T det Действительно det и

10 T det = Данное свойство позволяет сказать что в определителе строки и столбцы равноправны Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два столбца то знак определителя меняется на противоположный Определитель у которого две строки или два столбца одинаковы равен нулю Общий множитель элементов любой строки или столбца определителя можно вынести за знак определителя Если все элементы некоторой строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки то такой определитель равен нулю Если элементы какой-либо строки или столбца определителя представляют собой суммы двух слагаемых то определитель может быть представлен в виде суммы двух соответствующих определителей Например («Элементарные преобразования определителя») Определитель не изменится если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на любое число Доказать что k k k Действительно применив последовательно свойства и получим k k k k Введем понятия минора и алгебраического дополнения Минором m некоторого элемента определителя ij ij k го порядка называется определитель ( ) го порядка полученный из исходного определителя после вычеркивания i й строки и j го столбца произведение Так например если то m m Алгебраическим дополнением ij к элементу ij определителя называется Так m m ij i j ( ) mij

11 («Разложение определителя по элементам некоторой строки или столбца») Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения Докажем это свойство в случае определителя -го порядка Разложим определитель по элементам первой строки: Далее записав алгебраические дополнения через элементы определителя получим значение определителя: ) ( ) ( ) ( Свойство позволяет свести вычисление определителя порядка к определителям порядка Разложение определителя порядка по элементам i - й строки: i i i i i i i Разложение определителя порядка по элементам j - го столбца: Пример Вычислить определитель матрицы j j j j j j j Для разложения определителя обычно выбирают строку или столбец где больше нулевых элементов так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю В данном случае можно взять первый столбец или вторую строку Разложим определитель по элементам первого столбца:

12 det ( ) ( ) Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю Например Определитель произведения С B двух квадратных матриц и B порядка равен произведению их определителей те С B Невырожденные матрицы Квадратная матрица -го порядка называется невырожденной (неособенной) если её определитель не равен нулю ( det ) В противном случае матрица называется вырожденной (особенной) Присоединенной матрицей или матрицей союзной к матрице называется матрица вида: * где ij - алгебраические дополнения элементов ij матрицы определяемые аналогично алгебраическому дополнению элемента определителя Обратная матрица порядка называется обратной к матрице если выполняется Матрица условие: где E - единичная матрица -го порядка E Теорема Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда когда исходная матрица невырожденная Доказательство необходимости Пусть матрица имеет обратную матрицу те справедливо равенство E Применим к данному равенству свойство определителей Имеем E отсюда вытекает что и

13 Доказательство достаточности Пусть и матрица det Запишем присоединенную матрицу * и вычислим произведение матриц * используя свойства определителей: * det det det det E det Значит * det E Подобным образом вычислив * можно получить равенство * * * det E Полученные равенства перепишем в виде E и E det det Сравнив последние два равенства с определением обратной матрицы можно сделать вывод что * или det det Свойства обратной матрицы T T ( ) ( ) det( ) det ( B) B Пример Найти матрицу если Вычислим определитель матрицы det и алгебраические дополнения элементов матрицы :

14 Составим присоединенную матрицу: * Тогда * det Проверим результаты вычислений: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Обратную матрицу можно вычислять и элементарными преобразованиями Пусть дана квадратная матрица А порядка Необходимо записать матрицу E B где Е - единичная матрица Затем элементарными преобразованиями матрицу В преобразуют к виду E B причем главным моментом здесь является вычисление на месте матрицы А единичной матрицы Пример Найти матрицу для элементарными преобразованиями Запишем матрицу E B и преобразуем её : ~ ~ ~ B

15 ~ ~ ~ Следовательно Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу размера m = m m m Выделим в ней k строк и k столбцов ( ) ; mi( m k ) Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k -го порядка Все такие определители называются минорами этой матрицы Количество таких миноров равно k k m C C где )!!(! k k C k - число сочетаний из элементов по k Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличных от нуля называется рангом матрицы Обозначается ) ( или ) ( g Очевидно что ) ; mi( m где ) ; mi( m - меньшее из чисел m и Минор порядок которого определяет ранг матрицы называется базисным У матрицы может быть несколько базисных миноров Пример Найти ранг матрицы: Все миноры -го порядка равны нулю Есть минор -го порядка отличный от нуля M Значит ) ( Свойства ранга матрицы При транспонировании матрицы ее ранг не меняется Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд то ранг матрицы не изменится Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк Пример Найти ранг матрицы

16 При помощи элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду: ~ ~ Следовательно ранг матрицы равен двум

17 Задачи для самостоятельной работы В следующих задачах выполнить действия над матрицами Даны матрицы и В Вычислить В А и В А Даны матрицы В и С Вычислить С В А Даны матрицы и В Вычислить Е В А Т Даны матрицы и В Вычислить Е В А Т Даны матрицы и В Найти матрицу Х из уравнения О В Х А Даны матрицы и В Вычислить матрицу Х удовлетворяющую условию Е Х В А Т Даны матрицы и В Вычислить произведение АВ Даны матрицы и В Вычислить произведение АВ Даны матрицы В и С Вычислить произведение ВАС Даны матрицы и В Вычислить произведения АВ и ВА

18 В следующих задачах вычислить определители Решить уравнение х х Решить уравнение х х х В следующих задачах вычислить обратную матрицу В задачах и найти значения параметра а при которых данная матрица имеет обратную матрицу а а а а В следующих задачах вычислить ранг матрицы

19 В задачах и вычислить ранг матрицы в зависимости от значения параметра а а а а Верно ли матричное равенство А В А В А В? Верно ли матричное равенство А В А АВ В? Верно ли матричное равенство А ЕА Е А Е? Дано матричное равенство А pв С g Чему равны p и q? Дано матричное равенство Аp Вq С Чему равны p и q? Верно ли матричное равенство? Верно ли следующее утверждение для произвольных матриц и B: если B E то B E? Укажите пару равносильных равенств: ) ХА В и Х В А; ) ХА В и Х А В ; ) ХА В и Х В ; ) ХА В и Х ВА Изменится ли ранг матрицы при вычеркивании нулевых строк или нулевых столбцов матрицы? Известно что g()= Чему равен g()?

20 Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: = = m + m + + m = m () где неизвестные величины числа ij (i = m; j = ) - коэффициенты системы (первый индекс задает номер уравнения второй номер неизвестной) числа m - свободные члены Решением системы называется набор чисел обращающий каждое уравнение системы в верное числовое равенство Решить систему значит найти все ее решения или доказать что ни одного решения нет Система имеющая хотя бы одно решение называется совместной Если система имеет только одно решение то она называется определенной Система имеющая бесконечное количество решений называется неопределенной (совместной и неопределенной) Если система не имеет решений то она называется несовместной Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=) то система называется квадратной Две системы множества решений которых совпадают называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает что каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой) Две несовместные системы считаются эквивалентными Преобразование применение которого превращает систему в новую систему эквивалентную исходной называется эквивалентным или равносильным преобразованием Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений умножение обеих частей любого уравнения системы на число не равное нулю Теорема Кронекера-Капелли Систему линейных уравнений () можно записать в матричном виде: X B где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

21 m m m Х вектор-столбец неизвестных: X B вектор-столбец свободных членов: B m Произведение X определено так как размерности матрицы А и вектора столбца Х согласованы Расширенной матрицей системы уравнений называется матрица ( B) m m m m Теорема Кронекера-Капелли Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы те ( ) ( B) Эту теорему примем без доказательства Методика решения систем линейных уравнений вытекает из следующих рассуждений Система несовместна если ( ) ( B) Пусть система совместна и её ранг равен ( ) ( B) Очевидно что ранг совместной системы не может быть больше количества неизвестных Если то система имеет единственное решение (система определённа) Если же то система имеет бесконечное количество решений (система неопределённа) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Расширенную матрицу ( B) системы уравнений () элементарными преобразованиями приведем к ступенчатому виду:

22 m k k k k k B ) ( Если хотя бы одно из чисел m не равно нулю то ) ( ) ( B и система не совместна Если же m то система совместна B ) ( ) ( и расширенной матрице ) ( B соответствует система уравнений = ++ = = k k k k k k k k k k () где коэффициенты k k не равны нулю Полученная система эквивалентна исходной системе при этом ) ( ) ( и ) ( ) ( B B Базисным минором матрицы может быть выбран например минор составленный из элементов находящихся на пересечении первых строк и столбцов с номерами k k Переменные k k соответствующие базисному минору называются базисными (главными) а остальные - переменных свободными Не нарушая общности предположим что базисными переменными являются переменные а свободными - Систему уравнений () перепишем перенеся все слагаемые со свободными переменными в правую часть равенств: - = = = () Так как коэффициенты k k не равны нулю то систему () можно однозначно разрешить относительно базисных переменных Свободным переменным присвоим значения Из последнего уравнения системы () получим значение для переменной : ) ( ) - (

23 Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы () получим значение для переменной : ) ( Продолжив подстановку полученных значений в другие уравнения системы () получим выражения для всех базисных переменных через значения Следовательно каждому набору свободных переменных соответствует единственное решение системы линейных уравнений () и системы (): X ) ( ) ( () Формула () задает общее решение системы () Рассмотрим примеры решения систем линейных уравнений методом Гаусса Пример Исследовать систему линейных уравнений и если она совместна решить её Для этой системы матрица коэффициентов системы (основная матрица) и B вектор-столбец свободных членов тогда расширенная матрица системы Преобразуем её элементарными преобразованиями к ступенчатому виду Сначала переставим первую и вторую строки: ~

24 Теперь из второй строки вычтем первую умноженную на и а из третьей строки вычтем первую строку умноженную на : ~ ~ Далее изменим знаки элементов второй строки умножив её на - а затем умножив вторую строку на сложим её с третьей строкой: ~ ~ И наконец разделим третью строку на -: ~ ~ Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: ) ( ) ( B Значит система совместна и так как количество неизвестных также равно то система имеет единственное решение (система определенна) Система уравнений соответствующая расширенной матрице имеет вид: Из третьего уравнения подставив это значение во второе уравнение находим И подставив в первое уравнение найденные значения и получаем Следовательно исходная система имеет единственное решение: Пример Исследовать систему линейных уравнений и если она совместна решить её Запишем расширенную матрицу системы:

25 Преобразуем её к ступенчатому виду Для этого первую строку умноженную на прибавим ко второй строке умноженной на - затем первую строку умноженную на прибавим к третьей строке умноженной на -: ~ Вычтем из третьей строки вторую: ~ ~ Ранг матрицы системы ) ( ранг расширенной матрицы ) ( следовательно исходная система несовместна Если записать уравнение соответствующее последней строке расширенной матрицы то увидим что оно не имеет решения: + + = Пример Исследовать систему линейных уравнений и если она совместна решить её Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её к ступенчатому виду: ~ ~ ) ( B Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: ) ( ) ( B Значит система совместна и так как количество неизвестных равно то система имеет бесконечное множество решений (система неопределенна) Количество главных переменных равно ) ( количество свободных переменных равно ) ( Базисным минором выберем минор составленный из первого второго и четвертого столбцов Следовательно базисные переменные переменные а свободные - Запишем систему уравнений соответствующую расширенной матрице:

26 = Свободным переменным присвоим значения Решив эту систему относительно переменных получим общее решение исходной системы: Если свободным переменным присвоить любые числовые значения например то получим частное решение Невырожденные системы линейных уравнений Пусть дана система линейных уравнений c неизвестными или в матричном виде: B X где X m B Если определитель системы то система называется невырожденной Обратная матрица существует Умножим равенство B X слева на : B X Отсюда учитывая равенства E и X X E получаем B X

27 Данная формула дает решение невырожденной системы уравнений методом обратной матрицы Пример Решить систему уравнений Решение Запишем систему уравнений в матричном виде: Вычислим определитель системы: Система невырожденная значит можно вычислить обратную матрицу Запишем присоединенную матрицу: * Тогда det И решение системы найдем по формуле B X Следовательно Формулы Крамера Перепишем равенство B X в виде и перемножив матрицы в правой части получим

28 Выражение есть разложение по элементам первого столбца определителя который получается из определителя системы заменой первого столбца столбцом свободных членов Следовательно Далее где где Формулы i i i называются формулами Крамера Пример Решить систему уравнений Решение Вычислим определитель системы: Система имеет единственное решение которое можно вычислить по формулам Крамера:

29 Системы линейных однородных уравнений Система у которой все свободные члены равны нулю называется однородной: = = m + m + m + + m = Однородная система всегда совместна так как набор из нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы Такое решение называется тривиальным или нулевым Условие при котором однородная система имеет ненулевое решение определяется следующей теоремой Теорема Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных те ( ) Необходимость Пусть однородная система имеет ненулевое решение Ранг основной матрицы системы не может быть больше количества неизвестных те ( ) Если ( ) то один минор порядка основной матрицы не равен нулю и тогда система имеет единственное нулевое решение: i i i i Поэтому если система имеет ненулевое решение то ( ) Достаточность Пусть ( ) тогда совместная однородная система имеет бесконечное множество решений в том числе и ненулевые Из этой теоремы следует утверждение что система линейных однородных уравнений c неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда определитель основной матрицы системы равен нулю те Пример Решить систему линейных однородных уравнений Решим систему методом Гаусса Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её к ступенчатому виду:

30 ( B) ~ ~ Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: ( ) ( B) Значит система совместна и так как количество неизвестных то система имеет бесконечное множество решений Выберем базисный минор состоящий из первых двух столбцов Тогда главными переменными будут а свободная переменная Система уравнений после преобразований выглядит так: Отсюда найдем бесконечное множество её решений: p p p где p произвольное действительное число Пусть решением однородной системы является набор чисел =( ) Решения однородной системы уравнений обладают следующими свойствами Если решением однородной системы уравнений является X=( ) то решением этой системы является и kx=(k k k ) Если решениями однородной системы уравнений являются X=( ) и Y =( ) то решением этой системы является и линейная комбинация kx+ky=(k +l k +l k +l ) Справедливость этих свойств можно проверить непосредственной подстановкой решений в систему уравнений Из этих свойств следует что любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы

31 Матричные вычисления в экономических задачах Рассмотрим задачу производственного планирования Пример Предприятие выпускает три вида продукции p p p на производство которых затрачиваются четыре вида сырья s s s s Нормы расхода сырья и его запасы заданы в таблице: Продукция p p p Запасы Сырьё сырья s s s s Определить план выпуска продукции при котором расходуется полностью всё сырьё Пусть три вида продукции выпускаются в количестве Тогда по условиям задачи получим систему уравнений: Решим систему методом Гаусса Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её к ступенчатому виду: ( B) ~ ~ ~ Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: ( ) ( B) количество неизвестных значит система совместна и имеет единственное решение Запишем систему уравнений: Отсюда получаем Межотраслевой баланс Рассмотрим экономическую систему состоящую из трех отраслей промышленности сельского хозяйства и домашнего хозяйства При производстве товаров и услуг в каждой отрасли используются ресурсы

32 производимые как в данной отрасли так и в других отраслях системы Следовательно каждая отрасль системы является одновременно производителем и потребителем В качестве единицы измерения объемов продукции и услуг выберем их стоимость Следующая таблица определяет потоки продукции и услуг между отраслями системы в течении некоторого периода времени например года Промышленность Сельское Домашнее Общий хозяйство хозяйство выпуск Промышленность Сельское хозяйство Домашнее хозяйство Общее потребление Такая таблица называется таблицей межотраслевого баланса Числа расположенные по строкам задают распределение общего выпуска продукции каждой отрасли Так промышленность производит продукцию и услуги на денежных единиц из них используется для собственных потребностей отрасли и по единиц в сельском хозяйстве и в домашнем хозяйстве В столбцах указана стоимость продукции и услуг потребляемых каждой отраслью Промышленность кроме «своих» продукции и услуг на денежных единиц потребляет на единиц продукцию и услуги произведенные в сельском хозяйстве и на - в домашнем хозяйстве Пусть экономическая система состоит из отраслей каждая из которых производит свою однородную продукцию и разные отрасли производят различные виды продукции В процессе производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей Систему из отраслей будем рассматривать в течении календарного года Обозначим: i - общий объем продукции i - й отрасли (валовой выпуск); ij - объем продукции i - й отрасли необходимый для работы j- й отрасли (производственное потребление); i - общий объем продукции i - й отрасли предназначенный в непроизводственной сфере (конечное потребление) Запишем эти величины в таблицу Валовой выпуск Производственное потребление Конечное потребление

33 Так как валовой выпуск i расходуется на производственное потребление и непроизводственное то справедливы равенства: i i i i i i которые называются уравнениями межотраслевого баланса Все величины могут быть заданы в натуральном или в стоимостном выражении Впервые уравнения баланса применил ВВЛеонтьев для анализа ij экономики США Леонтьев отметил важное обстоятельство: отношения течении ряда лет остаются постоянными Это объясняется постоянством применяемой технологии Пусть ij ij i j j Эти величины называются коэффициентами прямых затрат они указывают затраты i - й отрасли на производство единицы продукции j- й отрасли Так как ij ij j i j то уравнения межотраслевого баланса примут вид: i i i i i i Введя обозначения X Y получим матричную запись уравнений межотраслевого баланса: E X Y где X вектор валового выпуска матрица прямых затрат Y вектор конечного потребления Основной задачей межотраслевого баланса является определение такого вектора валового выпуска X который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного потребления Если существует обратная к матрице E то X E Y Матрица S E называется матрицей полных затрат Выясним экономический смысл элементов матрицы S s ij Для этого вектор конечного выпуска зададим единичными векторами j в

34 Y Y Y Тогда соответствующие векторы валового выпуска равны s s s s X s X s X s s s Значит элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска i-й отрасли необходимого для обеспечения выпуска единицы продукта j-й отрасли j j В соответствии с экономическим смыслом значения i должны быть неотрицательными при неотрицательных значениях i и i j Матрица называется продуктивной если для любого ij вектора Y существует решение X уравнения E X Y Критерий продуктивности матрицы Если максимум сумм элементов столбцов матрицы не превосходит единицы и хотя бы для одного из столбцов строго меньше единицы то матрица продуктивна Пример Данные межотраслевого баланса за отчетный год приведены в таблице Промышленность Сельское Конечное Валовой хозяйство потребление выпуск Промышленность Сельское хозяйство Необходимо вычислить валовой выпуск каждой отрасли на следующий год если конечное потребление промышленности увеличится на % а сельского хозяйства на % Из таблицы имеем: X Y ij По формулам ij i j вычислим коэффициенты прямых затрат: j Матрица А удовлетворяет условию продуктивности: m ; m ;

35 Для нового вектора конечного выпуска Y по формуле Y E X вычислим валовой выпуск: Х Задачи для самостоятельной работы В следующих задачах решить системы уравнений методом Гаусса х х u z u z u z u z u z u z u z u z u z В следующих задачах решить системы уравнений по формулам Крамера В следующих задачах решить системы уравнений при помощи обратной матрицы

36 В следующих задачах найти общее решение однородной системы уравнений В следующих задачах решить матричные уравнения X X X X X X X X X X

37 ресурсов Задачи - Для производства видов продукции s s s p p p используется m разных видов т Нормы затрат каждого из видов ресурсов на единицу продукции каждого вида и запасы ресурсов приведены в таблице Определить план выпуска продукции при котором все виды ресурсов используются полностью p p p Запасы s s s s p p Запасы s s s s s p p p Запасы s s s s p p Запасы s s s s s Задачи - Данные межотраслевого баланса за отчетный год приведены в таблице Промышленность Сельское хозяйство Конечное потребление Валовой выпуск Промышленность Сельское хозяйство Необходимо вычислить валовой выпуск каждой отрасли на следующий год если конечное потребление промышленности увеличится до а сельского хозяйства на % Промышленность Сельское хозяйство Конечное потребление Валовой выпуск Промышленность Сельское хозяйство Необходимо вычислить валовой выпуск каждой отрасли на следующий год если конечное потребление промышленности увеличится на % а сельского хозяйства на % Промышленность Сельское хозяйство Конечное потребление Валовой выпуск Промышленность Сельское хозяйство Необходимо вычислить валовой выпуск каждой отрасли на следующий год если конечное потребление и промышленности и сельского хозяйства увеличится на % Промышленность Сельское хозяйство Конечное потребление Валовой выпуск Промышленность Сельское хозяйство Необходимо вычислить валовой выпуск каждой отрасли на следующий год если конечное потребление и промышленности и сельского хозяйства увеличится на % Задачи - Экономическая система состоит из двух отраслей для которой задана таблица межотраслевого баланса

38 Задание: Вычислить матрицу прямых затрат Проверить продуктивность матрицы Вычислить матрицу коэффициентов полных материальных затрат S Вектор валового выпуска X Найти необходимый объем валового выпуска каждой из двух отраслей если конечное потребление первой отрасли увеличится на % а второй увеличится на % -я отрасль -я отрасль Конечное потребление -я отрасль -я отрасль Валовой выпуск -я отрасль -я отрасль Конечное потребление Валовой выпуск -я отрасль -я отрасль -я отрасль -я отрасль Конечное потребление Валовой выпуск -я отрасль -я отрасль -я отрасль -я отрасль Конечное потребление Валовой выпуск -я отрасль -я отрасль Задачи - Экономическая система состоит из трех отраслей для которой задана матрица прямых затрат и вектор конечного потребления Y Задание: Проверить продуктивность матрицы Вычислить матрицу коэффициентов полных материальных затрат S Вектор валового выпуска X Межотраслевые поставки продукции ij Y Y Y Y

39 Глава Системы линейных неравенств Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач Системой линейных неравенств из m с неизвестными система соотношений вида m m m m называется где числа ij i m i называются коэффициентами системы числа i i m - свободными членами Если i i m то система линейных неравенств называется однородной Решением системы линейных неравенств называется такая последовательность вещественных чисел для которой после замены каждого j на j все неравенства системы оказываются верными числовыми неравенствами: i i i i i m Если система линейных неравенств имеет хотя бы одно решение она называется разрешимой а если не имеет ни одного решения неразрешимой Две системы линейных неравенств называются эквивалентными или равносильными если любое решение одной из них является решением и для другой Другими словами множество решений одной системы совпадает с множеством решений другой При установлении эквивалентности двух систем линейных неравенств обычно используются общие свойства неравенств для вещественных чисел В системе неравенств могут быть так же неравенства со знаком : Такие неравенства умножив на - изменим знак неравенства на противоположный: Следовательно системы линейных неравенств с разными знаками неравенств всегда можно свести к системам одного знака неравенства Вместе с системами линейных уравнений и системами линейных неравенств рассматривают также системы содержащие как линейные уравнения так и линейные неравенства Уравнение можно заменить двумя неравенствами: Таким образом любая система линейных соотношений состоящая из уравнений и неравенств может быть сведена к системе линейных неравенств одного знака

40 Для систем линейных неравенств с двумя или с тремя неизвестными можно дать геометрическую интерпретацию Рассмотрим линейное неравенство с двумя неизвестными и на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат Если х у - координаты точки на этой плоскости то данное неравенство определяет на плоскости некоторое множество точек координаты которых удовлетворяют этому неравенству Уравнение задает на плоскости прямую (см рис ) Для определения множества точек удовлетворяющих неравенству возьмем любую точку не лежащую на прямой например O() Координаты этой точки удовлетворяют этому неравенству: Следовательно неравенству удовлетворяют координаты всех точек расположенных по одну сторону с точкой O() от указанной прямой с («ниже» этой прямой) и на самой прямой (рис) Y O X Рис Неравенство определяет на плоскости множество точек плоскости лежащих справа от этой прямой и на этой прямой а неравенство определяет множество точек плоскости лежащих выше прямой и на этой прямой (рис ) Y O X Рис

41 Таким образом неравенству c удовлетворяют координаты точек принадлежащих одной из двух полуплоскостей определяемых прямой с уравнением c т е множество точек лежащих по одну сторону от этой прямой и на самой прямой Рассмотрим теперь систему m линейных неравенств с двумя неизвестными: c c m m cm Эта система определяет множество точек плоскости координаты которых удовлетворяют этой системе Следовательно это множество есть пересечение полуплоскостей каждое из которых определяется одним неравенством системы Из системы линейных неравенств можно получить выпуклый многоугольник выпуклую неограниченную область луч отрезок точку или пустое множество Пример Система линейных неравенств у определяет четырехугольник с вершинами в точках заданных своими координатами: O(;) (;) В(;) С(;) (рис ) Y O X Пример Система неравенств Рис

42 определяет на плоскости луч (рис ) Y -+= += O X Пример Система линейных неравенств Рис представляет неограниченную область (рис ) Y O X Рис

43 Решение систем линейных неравенств Между системами линейных неравенств и системами линейных уравнений устанавливается следующее соотношение Произвольной системе т линейных неравенств с п неизвестными: m m m m сопоставим систему т линейных уравнений с п + т неизвестными: m m m m m Теорема Если m решение указанной системы линейных уравнений и m то решение исходной системы линейных неравенств При этом всякое решение системы линейных неравенств может быть получено указанным образом Доказательство ) Если m i i i i i i i i i i i то ) Пусть теперь ) ( есть какое-нибудь решение системы линейных неравенств т е m i i i i i Обозначая i i i i i получаем что m является решением построенной системы линейных уравнений Пример Решить систему линейных неравенств Запишем соответствующую систему линейных уравнений: добавив в уравнения неизвестные

44 Находим общее решение этой системы: где Отсюда получаем общий вид решений исходной системы линейных неравенств: p q p q p q Пример Решить систему линейных неравенств Преобразуем систему неравенств к одному знаку неравенств: Запишем соответствующую систему линейных уравнений: добавив в уравнения неизвестные Решая систему методом Гаусса получим уравнение Значит эта система уравнений не имеет решения с условием Следовательно исходная система линейных неравенств не имеет решения Пример При помощи системы линейных неравенств задать треугольник с вершинами в точках (;) В(;) С (;) Запишем уравнения прямых на которых лежат стороны треугольника: B: + - = BC: - + = C: - = Тогда система неравенств определяющая треугольник BC имеет вид: у Преобразуем систему неравенств к виду удобному для решеня: у

45 Запишем соответствующую систему линейных уравнений: где Общее решение этой системы: у p q p q p q где p q Если учесть условие то решение исходной системы неравенств имеет вид: p q p q где p q p q Пример Предприятие выпускает два вида изделий p и p на производство которых необходимо соответственно и часа; издержки производства одной единицы которых соответственно равны и д ед; прибыль от продажи одной единицы продукции соответственно равны и д ед Необходимо выполнить заказ соблюдая следующие условия: изготовить по меньшей мере и изделий соответственно каждого вида; на выполнения всего заказа должно быть затрачено не более часов; общие издержки производства не должны превышать д ед; общая прибыль должна быть не менее д ед Изобразить графически область допустимых значений количеств выпускаемых изделий соответствующих условиям задачи и указать одно из возможных решений задачи Пусть и - количества выпускаемых изделий тогда по условиям задачи получим систему неравенств: у На координатной плоскости искомая область изображена на рис

46 Y (;) (;) O X Рис Допустимыми количествами выпускаемых изделий могут быть например и Это не единственное решение таких решений несколько Причем для значений и прибыль максимальна Задачи для самостоятельной работы В следующих задачах изобразить множества заданные системами неравенств

47 В следующих задачах найти решения систем неравенств Ответы

48 ; -; ; Обратная матрица не существует При а= ранг равен двум если ранг равен трем При а= ранг равен двум если ранг равен трем Да если В B Да если В B Да p= q= p= q= Да Нет В ХА и ВА Х Не изменится (;;) (;-;) Система несовместна Система несовместна p p p ; ; р р р ; ; q р q p q р ; ; ; р р ; ; ; Система несовместна Система несовместна (;;-) (;;-) (-;-;-) (;;) (;;-;) (;;-;) (;;) (;-;) (;-;;) (; -; -; -) (;;) (;;) р р; р р; p р р ; ; (;;) q р q р ; ; q p q р q р ; ; ; p р p p р ; ; ; ; p p p р р ; ; ; ;

49 () () () () (; ) (; ) (; ) Литература Гусак АА Высшая математика Т Мн БГУ г Гусак АА Высшая математика Т Мн БГУ г Гусак АА Задачи и упражнения по высшей математике Т Мн Высш школа г Гусак АА Задачи и упражнения по высшей математике Т Мн Высш школа г Лунгу КН и др Сборник задач по высшей математике курс М: г Лунгу КН и др Сборник задач по высшей математике курс М: г Кремер НШ Высшая математика для экономистов Учебник для вузов/ М: ЮНИТИ г Общий курс высшей математики для экономистов Под ред проф ВИ Ермакова г Минюк СА Самаль СА Шевченко ЛИ Высшая математика для экономистов том Мн Красс МС Чупрынов БГ Основы математики и ее приложения в экономическом образовании г Красс МС Математика для экономических специальностей г Солодовников АС и др Математика в экономике Ч М г Солодовников АС и др Математика в экономике Ч М г

50


где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Линейная алгебра в примерах и задачах

Линейная алгебра в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова О В Куликова Линейная алгебра в примерах и задачах Сборник

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций И А Никифорова Н П Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Курс лекций Министерство образования и науки Российской Федерации Байкальский государственный университет экономики и права И А Никифорова Н П Шерстянкина

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ФГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МП Мисник ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее