N $ " /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* +">

, &-$.% & &- / "0& 1 & & % :!#, I & & % L% & M> N $ " /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* +

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ", &-$.% & &- / "0& 1 & 1 2-3 &- 45 2 % 6 7 8 + 7 :!#, I & & % L% & M> N $ " /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* +"
N $ " /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* +.pdf" class="btn bg-purple-seance" href="#" target="_blank" style="margin-top: 10px; display: none;"> Download Document

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУ ВПО «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. МОКШИН, Р.М. ЮЛЬМЕТЬЕВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА РАЗДЕЛ 2: КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА КАЗАНЬ 2012

2 УДК Издание осуществлено при финансовой поддержке фонда РНП (грант ) Н а у ч н ы й р е д а к т о р д-р физ.-мат. наук, проф. Р.Х. Сафаров Р е ц е н з е н т ы : канд. физ.-мат. наук, доц. (КГЭУ) А.С. Ситдиков канд. физ.-мат. наук, доц. (КФУ) Ф.М. Гафаров Мокшин А.В., Юльметьев Р.М. Квантовомеханические операторы и их свойства: учебно-методическое пособие по квантовой механике. Казань: КФУ, с. В данном учебно-методическом пособии представлены задачи по курсу «Квантовая механика», основные положения и формулы, необходимые для решения задач, а также примеры с решениями типичных задач. Пособие предназначено для студентов физических факультетов педагогических специальностей. А.В. Мокшин, Р.М. Юльметьев, 2012

3 !#" " $!#" % $ & '(!)* +, &-$.% & &- / "0& 1 & & % : ;<-==> :? % " $, & 2 / ", % &8 & 1 & & "? A B5!(C D C E %#4 F E5C G H D I 4 K 7 :!#, I & & % L% & M> N $ " /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* +, 2#4 & Q 3 & 1 N & M! M & &#E I " N ( 2 O, E N 'N & MP " I M #4 R$, 3 Q & P, " - N -&, &>, & Q!.I M E#&, & / " - 1 / 45S &!) PP 0 % T &, 3 0", & M 5E I!) I " $ 1 3 M $ & E U V W V X Y Z X V \ W V ^ _ Z _ X \ `)a)b X \ c W d Z e W WPW f a5\ Z b V X \ X g ^ b g `<Wh(W i ` ^ X V j Z d W k \ ` 4 ( 1% &O!(% & & P, & 2 Q P $ & 0, 2#E# I & 6!), & % 1 3!) $ M#4? 2 % 2 2!) & & M, M MO, I 2 &!# N + 2R!)! & & 2R % % E 2( * & &l % 4 1 & 2<& 1, <!# &, M % & & M- " & + M &>! % T E#&* Q & 2<1!. /!(7 & + "!)!#? 2 &!#& &#E & I M N!)M + I P" M#E 0 & P" % Q % &!) & 0& 1 " & &-$ & 6 & 1 & + & % T, 3, /& P &!4 m

4 2!!) & I % % 2P!) & &PM, M + M_ ^ X V W! g W d ^ " d `#f # Z \ X # X U V! h.^ d d `)f X U ^ V Z _ X V X i E & & 2 / 206& 1 & 2P, & & %, M M % &, & % 0 / & 4!R, " 0I M E *6 & 1 & &, & & (& 1 $ / ' M %!)&#4 *!!) & E & 1 E %!- 1 M% &, E %!#"- %, M ' M0 6 " T & & u(x) & & 1 I P&- + f(x) I /!# / 4 " I &!#&P,!)&#E % %, M Y ^ "$# _ i W ^ 4, M* I E $, & 3< % <%!) *& 6 " T & 2#E & * $ $ 1 ', & &!#&>$ "!)&> 1! "0A % &!# #E 4 L % % Â 1 M'& ( ) * + ),- E, & ", M ", + & ' I &, E & C 1 C & 2. Ψ 1 Ψ 2. Â(C 1 Ψ 1 + C 2 Ψ 2 ) = C 1 ÂΨ 1 + C 2 ÂΨ 2, % & 1, 3 P N P&, &*!#%,, 6 " T & &#4 / : /!)", & 2!#" % "!# / % & 3 + Â &, & 2 2#E$ * ) ), +<!#" E % Â +E ", + M 'N & 2P", & ' Ψ 1ÂΨ 2dx = Ψ 2 (Â+ Ψ 1 ) dx. 8!) &!* 2 % M / % a) (Â+ ) + = Â9 b) (αâ)+ = α Â + 9 F

5 c) (Â + B) + = Â+ + B + 9 d) (Â B) + = B + Â +E, &( % #E % M / 2(!#" E % <- &!E 4 4 Â = Â+E % Â 1 M 3-'( $1 $,-l&, & 0-1$ * ) ), % Â & 1 M % B " 'N & 2% % &, " (Â + B) E 2 + (Â + B)Ψ = ÂΨ + BΨ. 3 1 ( 5* * ) ( * -* ", & 2 O!)& % Â & B 1 M % Ĉ = Â B E 2 " 'N & 2P% % &, " ĈΨ = Â( BΨ). 1$ $-> " % Â & 1 M % #E B $ 1!#2 &!#,! Â, B & %, M!#2, " 'N &!0 $ + 1!K Â, BΨ = (Â B BÂ)Ψ = Â BΨ BÂΨ., & Â, B = 0 E % Â & 1 ' M 1$-- ( 3 B ( -'(4 % Â 1 1 M 1 3 ),- % " Â E), &* + %, M M (ÂÂ 1 )Ψ = (Â 1 Â)Ψ Ψ. % Ê 1 M * ( ) ( ),- E, & I 2 &, '+ $ " '., " '.6" T & '!) M E 4 4 Ψ ÊΨ Ψ.

6 % * & &1 6 ( * & $) 4 0 $* 2 * ), & 2 I *!# % M / + I % 3 Â n Ψ = ÂÂ... (Â Ψ), } {{ } n I % M & &P% &,! % & 1 & MP % PA!4 2 4

7 E E & B# $, & T PC K$0 ) 1 $),* ) $1 51$-* ) ( * 0 (*1 2* 3 1 3, &!#& M %!) M % P 2P!) & &, & 20!# & & & " + L&L & K ˆ r = ˆx i + ŷ j + ẑ k E r = x i + y j + z I k ˆx = x E ŷ = y E ẑ = z!#% ", 3 K p = p x i + p y j + p z k ˆ p = px ˆ i + ˆp y j + ˆp z E k I pˆ x = i h ˆp y = i h y P!) &!#% ", 3 K M = r, p E I M x = yp z zp y E M y = zp x xp z E M z = xp y yp x :!)!# &!#% ", 3 K M 2 = M 2 x + M 2 y + M 2 z : & & MPO I & M#K, MO I & M#K T = p 2 2m E = T + U( r) E U( r) + % T &, 3 MO I & M ˆp z = i h z ˆ M = ˆ r, ˆ p E Mx ˆ E = y p z z ˆp E y ˆM y = zpˆ x x ˆp z ˆMz = x ˆp y ypˆ x ˆ M 2 = M ˆ x + ˆMy + ˆMz I ˆT = ˆ p 2 2m!)&, 3 & #K H = p 2 2m + U( r) = = h2 2m + U( r)e = y z 2 3 ( -* 3 % 5S 2 &P!)!)", x4 5, M I E $ 2 &!)!)" #E " / % &!. 0% & 1, 3 " ', " ' 6 " T & ' Ψ Â = B = x 4 B5 I I, %, & '.!!#" 1 % & Q! ( x x ) Ψ = (xψ) x Ψ = Ψ + x Ψ x Ψ = Ψ.,, 3 E#!!#", x %, M $ 2< & & 2 H

8 % Ê E 4 4, x = ÊE 4 #4 $ " " &P% &!#!*P% & 1, 3 + 2P, 2P6" T & & E!# M 4 Ψ 3 ( -* 3 / 1 3, " 'N % K ( ) 2 ( + x = ) 2 + 2x + x2 + 1.!l % 0 / & 0, 2 & 4, M O I % 2 "!-&!- % & 1, 3 " '*, + " 'l6" T & ' Ψ K ( ) 2 ( ) ( ) Ψ + x Ψ = + x + xψ = ( ) Ψ + xψ + ( ) Ψ + x + xψ = 2 Ψ 2 + Ψ + x Ψ + ( + x Ψ ) 2 + x2 Ψ = + 2x + x2 + 1 Ψ. 3 ( -* E P, &0 %, M MP", & %, &, " 'N K Â, B 2 = 2 B 4 & M %, &!!#" E!# / % 6!#", & 3 1 &, " 'N &!< $ 1!K 1 3 E, &P %, M M Â, B 2 = Â B 2 B 2 Â = 2 B, Â, B = Â B A BÂ = 1. Â, B = 1 E, M 1, 3 % & Q!& 1)", & M A 5, " 'N Q &, M % I % & 1 & M Â B E!#, 3 2 Q!$ "! & %, Â B = 1 + BÂ. A C A m

9 2 "!, "!,!- %!- / &!- A C ) Ψ 4 Â B BΨ B BÂΨ = (1 + BÂ) BΨ B BÂΨ = Ψ + BÂ BΨ B BÂΨ = = BΨ + B(1 + BÂ)Ψ B BÂΨ = I P% &> P!) 1, &#E = 2 BΨ + B BÂΨ B BÂΨ = 2 BΨ, & %, 3 1, &<", & A m 4B# &!l $ 1!E!# Â, B 2 = 2 B. 3 ( -* 3 5S 2 &P% &,!)!)" T & &P % & ˆMx ŷ 4 2 "!<!!#"! ˆM x, ŷ % & 1, 3 " ', " '>6 " T & ' Ψ E 1 & % % T & &!#!) &!)% ", % > & (&P&!#% ", 3 K ˆM x, ŷψ = ˆM x ŷψ ŷ ˆM x Ψ = (ŷˆp z ẑ ˆp y )ŷψ ŷ(ŷˆp z ẑ ˆp y )Ψ = = ŷˆp z ŷψ ẑ ˆp y ŷψ ŷ 2 ˆp z Ψ ŷẑ ˆp y Ψ = = ŷ 2 ˆp z Ψ ŷ 2 ˆp z Ψ + ẑ (ŷˆp y ˆp y ŷ) Ψ = i hẑψ. } {{ } ŷ,ˆp y &>%, " & &( 1 ", 3 & %, 3 1, & 3<& 1 +!!#" Q & M ŷ, ˆp y = i h, ŷ, ˆp z = 0 ŷˆp z = ˆp z ŷ, A F 3 ( -* E % Â = 2 M, M M0!) + % M /!4 2 I & " M-% 0 M!>&% & &!) M P & +! & E Â = Â = 2 2, G A

10 4 E 4 6" T & & & % *& $ N ' M " Ψ 1 Ψ 2., 3 I & T $, &P %, & M#E %, "! Ψ 1ÂΨ 2dx = + = Ψ 2 Ψ dx = Ψ 1 Ψ 1,, 3 E Â = 2 2. Ψ 2 dx = Ψ 1 Ψ 2 (ÂΨ 1) dx. Ψ 2 Ψ 2 +!# % M / 2 % #4 2 Ψ 1 2 Ψ 2dx = 3 ( -* 3 5S 2 & % Â +E % M / 2!)" % + " Â = 5 I & " M % M!& " & M#E, 6" + T & & & % *& $ N ' M " Ψ 1 Ψ 2., 3 I & T & +, (, ) E %, "! Ψ 1ÂΨ 2dx = Ψ Ψ 2 1 dx = Ψ 1Ψ 2 Ψ 2 Ψ 1 dx = ( Ψ 2 Ψ ) 1 dx, I Â = Â + =!) &! / E % Â M, M M!# % M /!E 4 #4 Â Â+4 C D

11 4 4 ' & 3, " 'N & % Q & M5K % Â ˆBΨ = ĈΨE Â = E E ˆB = ˆx Ĉ = 1 + ˆx 4 / 8 x 2 d dx 1 x = x d dx 14 ( 1 + d ) 2 = d dx dx + d2 dx 2 4 ( x + d ) 2 = 1 + x 2 + 2x d dx dx + d2 4 dx 2 ( ) 2 1 d x dx x = d2 dx d x dx ( + ) 2 = 2 y y y 2 S 2 & Â 3E, & Â = d!# / & 3 % dx + 1 x (Â ˆB) & (Â + ˆB) 4 S 2 &0 1 ", 3.% &!# & M0 % d 2, " 'N &!<6 " T & M!K a) cos(x) E b) exp(x) E c) sin(kx) exp( αx) E I k, α = const E d) cos(kx) exp( βx) E I k, β = const 4 % S 2 &0, " 'N &!!#" K E d 2 E d 3 x d dx, x dx 2, x2 dx 3, x3 dx 2 x2 & E x 2 d2 & 3, " 'N &, MP!!#" K C C ( ) 2 d dx x dx 2, x2 4

12 4 4 %$% % / ˆx, ˆp x = i h E ˆx 2, ˆp x = 2i hˆx 4 f(x), ˆp x = i h f(x) 4 % 8 f(x), ˆp 2 f(x) x = 2i h ˆp x + h 2 2 f(x) 4 2 % ˆx, = 2i h ˆp x % ˆx 2, ˆx, ˆp 2 x = 4 h2ˆx 4 % x, Ĥ = i h m ˆp E I x % Ĥ, ˆpx = i h Û % Ĥ = ˆp2 x 2m + Û (x)4 Ĥ, ˆp 2 U x = 2i hˆp x + 2 U 4 h2 2 % ˆMx, ˆp z ˆMx, ˆp x / = i hˆp y E ˆMx, ˆp y = ˆMy, ˆp y = ˆMz, ˆp z ˆMx, ˆp x 2 = 0 E ˆMx, ˆp x = 0 4 = i hˆp z E = 0 E ˆMx, x /5% ˆM+, ˆM = 2 h ˆM z E I ˆM± = ˆM x ± i ˆM y 4 /$/ ˆMx, ˆp 2 / 8 ˆ M 2, ˆMα / ˆMx, ˆM y = 0 E ˆM 2 x, ˆp 2 = 0 4 = 0 E I α = x, y, z 4 = 0 4 = i h ˆM E z ˆMy, ˆM z = i h ˆM E x ˆMz, ˆM x = i h ˆM 4 y / 1 3 E, & Â, ˆB = 0 E ) ) (Â + ˆB, (Â ˆB = 0 4 / 1 3 E, & Â, ˆB = 1 E Â, ˆB3 Â2, ˆB ) 4 2 = 2 (Â ˆB + ˆBÂ C = 3 ˆB 2 9

13 9 9 / 1 3!!#" Q & M#K ( i Â, ˆBĈ Â ˆB, Ĉ Â, ˆB, Ĉ ) Â i, ˆB Âi, ˆB E = i = Â, ˆB Ĉ + ˆB Â, E Ĉ = Â ˆB, Ĉ + Â, Ĉ ˆBE + ˆB, Ĉ, Â + Ĉ, Â, ˆB = 0 4 / S 2 &P", & E % &0!<I!)&, 3 & P1 M / 2P & + T ( Q!<!) I &!<%, Ĥ K Ĥ = 1 e (ˆ p A 2m c ) 2, I A + 2>% T &, E!# / 1 % & 3*, " 'N 2 6!# Ĥ = ˆ p 2 2m e mcˆ p A + e2 2mc 2 A 2. / S 2 &% &,!)!)" T & & ˆ p, A E I A +# 2% T & +,, " I!) I & I %, M#4 8 & 3 E M, M M, &, & 2!< % #K % T & &P 1 M & MP!#%, I % M / & M % T & M +)& 1..., & I M ˆp x 9 ˆMx, ˆM y, ˆM z 9 9 Ĥ9 "!# / & % M &, C 4 C m

14 8 % 1 3 E, &P % Â & ˆB M, M ' M, & 2!#&#E % Â + ˆB & Â ˆB / M, M ' M, & 2!#&#4 85/ & 3!) % M / 3, " 'N & % K x9 9 i 9 4 8$8 1 3 E % E ˆp M x, M ' MP!# % M /!#&#4 ˆp 2E ˆMz E ˆM2 E Ĥ 8, & Â & M ˆB, M ' M0!) % M /!)&P %!)&#E $ " ", &0!# % M /!#&0, " 'N & % K Â + ˆB E Â ˆB + ˆBÂE i (Â ˆB + ˆBÂ ) E, & Â & +!) % M /!)!)" & " + ˆB 'N & % E + /!) % M / 2P % #4 Â ˆB 8 % Â & +!!#" & " 'N & E# 0!# % M / 4 ˆB " ", &P O!*, " % M /!#&#K % Â, ˆB E % i Â, ˆB 4 8 S 2 &P % #E % M / 20 %! d E E i d xe dx + d i d 1 E d 2 4 : dx & & 1 O & dx % M dx x dx, M ' MP!# % M / 2!#& E % Â ne I T., %, / &, 3 &, E M, M M0!) % M /!E, &0 % +!# % M / + Â 2#4 8 % Â = ˆBĈ4 1 3 E % Â +E % M / + 2- % " E 0% & 1 & ' % M / P % + Â & ˆB+ Ĉ +E 4 4 Â + = 4 Ĉ+ ˆB+ S 2 & % #E % M / 2P %!K % 1 3!# % M / 3 % C F 4 ˆp 2 x xˆp x 9 iˆp x 4

15 / S 2 &P % #E % M N & 2 Ψ(x) Ψ(x + a) & 3 % 0%,,, 3 I % ˆT Ψ( r) = Ψ( r + a) 1 % P&!#% ", 3 4 $ S 2 &- 1 ", 3 2 & M0 % T & ' Ψ(x) 4 e k, " 'l6 " +, M M, &* % *!#%, I < % M / & M(A ÂΨ = Ψ, & 2! C

16 d 3 dx d 2 4 x dx 2 ) (Â ˆB (Â + ˆB) = Â2 ˆB 2 + (Â ˆB ˆBÂ ) 4 ( ) 2 x 2 cos x 4x sin x9 ( ) ( 2 + 4x + x 2 e x 9 ) 1 + 3x + x 2 e x4 ( 1 x 2 ) cos x 3x sin x9 % / / x E 2 + 4x E ( ) A = diva = 0 4 ˆ p, A = i h rot A 4 8 E E x 2 E + 9x2 2 x 34 8 E 4 8 E i E x i E 1 d E d2 4!) % M /!)&M x dx dx, M ' MP % E >& 2 4 V W \ ^ Z d W ^!# 3>> & " E > <$ &(, 6 " T & & $ N ' M ", 3 4 ˆp x x E iˆp x 4 %!# 3-- & " E# - 0$ &<, P6" T & &<&*& % & 1 $ N ' M ", 3 4 / S! $ " M. 2 &. % " N, M 'N & 2(% ˆTa, 3 & x, & & " a E 4 4 ˆTa Ψ(x) = Ψ(x + a) 4, I M a!,!e 1, / &! M P% % M! Ψ(x + a) a K ˆT a Ψ(x) = Ψ(x+a) = Ψ(x)+a dψ dx + a2 2! C d 2 Ψ dx = n=0 a n n! d n Ψ(x) dx n.

17 & M%, " / & 1, / &! e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... = n=0 a n n! d n E %, " &! dx n 8 E P ˆTa = e i( a, p)/ h p = h i &, & = ī h p4 $ 9 E $ M1 F E, &P%, / & 3 4 a = k 4 4 ˆTa = e a d dx C H

18 1., & T # d X i `lb i Z d _ X i X "<\ ^ f Z d W b W 4 Q, E5C G m "04 4 E5 & Q & T- 4 4 i Z d _ X i Z!\ ^ f Z d W b Z 4! I & 1 E C G m 4. 4 K Q M. 4 K 8 & 1 +, ; 4 ; 4 E " 4 4 E B5 4 4 i Z d _ X i Z!P\ ^ f Z d W b Z 4 4 K N & E5C G 4, -; 4 ; 4 E B5 4 4 i Z d _ X i Z!<\ ^ f Z d W b Z-W*Z _ X \ d Z! W k W b Z 4 4 K N & E C G H D 4 0 <; 4 S4 i Z d _ X i Z!*\ ^ f Z d W b ZW # _V X ^ d W ^0Z _ X \ Z 4 4 K Q MQ, E5C G 4 ; 4 4 i Z d _ X i Z!P\ ^ f Z d W b Z 4 4 K S " E C G H m 4 8!)& 4 i Z d _ X i Z!P\ ^ f Z d W b Z 4 4 K P& #E#C G 4 & i Z d _ X i Z!P\ ^ f Z d W b Z 4 4 K P& #E#C G G , 3!) 44 E#: & 04 4)c X V d W b0k Z Y Z -U XPb i Z d _ X i X " \ ^ f Z d W b ^ 4 K & 1 E#C G H 4 : I 4 4 E, & T & 24 4 c X V d W b k Z Y Z U X b i Z d _ X i X "\ ^ f Z d W b ^ 4 K & 1 E#C G 4 4 4)c X V d W b k Z Y Z U XZ _ X \ d X "W! Y ^ V d X " W k W b ^ 4 4 K ;!)& 1 E#C G H C & #4 c X V d W b k Z Y Z U X!5Y ^ V d X " W k W b ^ 4 4 K ; +!)& 1 E#C G m ^ " d \ Z d X i # b W ^g ^ b e W W0U X W k W b ^ , 'I I 9 4 Z Y Z W0U X b i Z d _ X i X "P\ ^ f Z d W b ^ 4. 4 K P& #E#C G G 4 4 K P& #E5C G H m 4 C

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Министерство образования и науки РФ Федеральное агенство по образованию Пермский государственный технический университет Кафедра теоретической механики ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие

Подробнее

Производная и ее приложения

Производная и ее приложения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Л.И. Лесняк, В.А. Старенченко Производная и ее приложения

Подробнее

Домашняя работа по геометрии за 11 класс

Домашняя работа по геометрии за 11 класс АА Кадеев Домашняя работа по геометрии за класс к учебнику «Геометрия 0- класс: Учеб для общеобразоват учреждений / ЛС Атанасян и др -е изд М: Просвещение, 00 г» Глава V Метод координат в пространстве

Подробнее

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ УЛЬЯНОВСК 2001 УДК 539.9(076) ББК30.12я7 М23 Манжосов

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

РЕГЛАМЕНТ о порядке перехода обучающихся в федеральном государственном автономном образовательном

РЕГЛАМЕНТ о порядке перехода обучающихся в федеральном государственном автономном образовательном РЕГЛАМЕНТ о порядке перехода обучающихся в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» с платного обучения на бесплатное обучение

Подробнее

«М> 4-0 20 г. iж-свмгш. Казань УТВЕРЖДАЮ

«М> 4-0 20 г. iж-свмгш. Казань УТВЕРЖДАЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» «М> 4-0 20 г. iж-свмгш. Казань Ректор УТВЕРЖДАЮ И.Р. Гафуров г. РЕГЛАМЕНТ подготовки и защиты

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное. учреждение высшего образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное. учреждение высшего образования Приложение 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского»

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

Функция Грина и ее применение

Функция Грина и ее применение Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные

Подробнее

«ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА»

«ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ РАЗДЕЛЫ

ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ РАЗДЕЛЫ Физическая механика или просто механика раздел физики, в котором описывается наиболее простая форма движения материи: механическое движение, состоящее из изменения взаимного

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ по ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ по ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ И.А. Семиохин СБОРНИК ЗАДАЧ по ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ Часть II Москва 007 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

Задачи с зачётов по теории вероятностей

Задачи с зачётов по теории вероятностей Задачи с зачётов по теории вероятностей Преподаватель Александр Евгеньевич Кондратенко 4 семестр, архив за 4 8 г Издание -е, исправленное и дополненное Предисловие ко второму изданию В прошлом семестре

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

КУРСОВАЯ РАБОТА. КУРСОВОЙ ПРОЕКТ Требования

КУРСОВАЯ РАБОТА. КУРСОВОЙ ПРОЕКТ Требования http://smk.nspu.ru/ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный педагогический

Подробнее

20 П год ПОЛОЖЕНИЕ ОБ ОПЛАТЕ ПРОЕЗДА ДО ПОСТОЯННОГО МЕСТА ЖИТЕЛЬСТВА ДЛЯ ИНОГОРОДНИХ СТУДЕНТОВ. Версия 1.0

20 П год ПОЛОЖЕНИЕ ОБ ОПЛАТЕ ПРОЕЗДА ДО ПОСТОЯННОГО МЕСТА ЖИТЕЛЬСТВА ДЛЯ ИНОГОРОДНИХ СТУДЕНТОВ. Версия 1.0 Система Менеджмента Качества Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный

Подробнее

ПРОЕКТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (МИНОБРНАУКИ РОССИИ) П Р И К А З. 2013 г. Москва

ПРОЕКТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (МИНОБРНАУКИ РОССИИ) П Р И К А З. 2013 г. Москва ПРОЕКТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (МИНОБРНАУКИ РОССИИ) П Р И К А З 2013 г. Москва Об утверждении Порядка применения организациями, осуществляющими образовательную деятельность,

Подробнее

ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ПЛЕНКАХ ПОЛИМЕРА, ДИСПЕРГИРОВАННОГО НЕМАТИЧЕСКИМ ЖИДКИМ КРИСТАЛЛОМ

ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ПЛЕНКАХ ПОЛИМЕРА, ДИСПЕРГИРОВАННОГО НЕМАТИЧЕСКИМ ЖИДКИМ КРИСТАЛЛОМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ПЛЕНКАХ ПОЛИМЕРА, ДИСПЕРГИРОВАННОГО НЕМАТИЧЕСКИМ ЖИДКИМ

Подробнее

ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Направление подготовки. Профиль подготовки. Квалификация (степень) Бакалавр

ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Направление подготовки. Профиль подготовки. Квалификация (степень) Бакалавр Утверждено УМС МПГУ протокол 1 от 28.03.2012 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ПОЛОЖЕНИЕ об основной образовательной программе среднего профессионального и высшего профессионального образования. 1.

ПОЛОЖЕНИЕ об основной образовательной программе среднего профессионального и высшего профессионального образования. 1. Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Пятигорский государственный лингвистический

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) -е издание Рекомендовано Учебно-методическим

Подробнее

Программа дисциплины

Программа дисциплины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Отделение

Подробнее

А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ. Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов

А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ. Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

Мониторинговые исследования учащихся 6, 8, 10 классов школ Республики Татарстан 2011, 2012 гг.

Мониторинговые исследования учащихся 6, 8, 10 классов школ Республики Татарстан 2011, 2012 гг. КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ И ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ Мониторинговые исследования учащихся 6, 8, 10 классов школ Республики Татарстан 2011, 2012 гг.

Подробнее

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Институт проблем информатики Академии наук Республики Татарстан Казанский государственный технологический университет И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Казань Отечество 2001

Подробнее