= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ."

Транскрипт

1 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление с основными понятиями и методами статистического анализа данных. 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. В практике экспериментальных исследований определяемая на опыте величина обычно измеряется многократно при одинаковых условиях. При этом результаты измерений не оказываются одинаковыми, а изменяются самым нерегулярным образом, причем каждый из этих результатов является случайной величиной. Набор зарегистрированных случайных значений называется случайной выборкой. Как известно из теории погрешностей, разброс значений в случайной выборке получается изза неконтролируемых воздействий окружающей среды на показания приборов, т.е. за счет так называемых случайных погрешностей. Однако этот разброс может появиться и по другой причине: сама измеряемая величина по своей природе может быть случайной. Тогда статистический подход нужен не только для обработки результатов измерений, но и для исследования самой природы процесса. Именно с такой ситуацией мы имеем дело в настоящей работе, в которой изучается процесс радиоактивного распада ядер. Одной из характеристик источника ионизирующего излучения является его активность А-число распадов в единицу времени. Временную зависимость этой характеристики легко получить из основного закона радиоактивного распада λt X = X e (1) Здесь λ - постоянная распада, равная Ln / Т ; T - период полураспада, т.е. время, в течение которого распадается половина всех ядер; X - исходное число ядер в препарате; t- время; X число не распавшихся ядер в момент времени t. Тогда t A = dx / dt = X λ e λ () Величины X и λ - константы, характерные для выбранного образца. Следовательно, активность должна экспоненциально убывать с течением времени. Однако, для препаратов с большим периодом полураспада ( T 1 лет), т.е. с очень малой λ, e λt 1 и A λ X, т.е. величина А за время эксперимента остается постоянной. Если измерять экспериментально число распадов, регистрируемых счетчиком за некоторое фиксированное время, то полученная величина, пропорциональная активности А, тоже должна быть постоянной. Однако, проделав N измерений, мы обнаружим довольно сильный разброс результатов. Он и отражает случайный характер процессов распада, когда лишь средние величины, вычисленные из многократных измерений, остаются постоянными с течением времени, а каждый данный результат является непредсказуемым, случайным. Итак, если многократно измерить активность А (или пропорциональную ей величину), то получится экспериментальный набор случайных результатов, или случайная выборка. Эту выборку можно описать с помощью функции распределения. Среди многих известных функций распределения для описания случайных выборок чаще всего используются: а) функция Гаусса (так называемое нормальное распределение), б) функция Пуассона. Функция Гаусса используется, если измеряемая на опыте величина может принимать непрерывный ряд значений; Функция Пуассона - когда измеряемая величина меняется дискретно. Функция Гаусса имеет вид: f Г 1 ( x x) ( x ) exp( πσ σ = (3) ) 1

2 Здесь f Г ( x ) - функция распределения Гаусса. Физический смысл ее таков: f Г ( x ) dx- это вероятность появления результата в бесконечно малом интервале dx вблизи выбранного значения x ; тогда f ( ) Г x - вероятность появления результата, попадающего в единичный интервал вблизи x, или, иными словами, плотность вероятности появления в случайной выборке результата x. (Заметим здесь, что часто рассматривается функция F x ) Г ( f ( x Г ) dx, которая называется интегральной функцией распределения. Она дает вероятность появления в выборке результата х, меньшего или равного x ). N Символ x означает выборочное среднее, т.е. x = N x число значений выбранного результата = 1 x = / N, где N- число измерений, а N - x в выборке. Как легко видеть из (3), чем больше отклонение некоторого это выборочное стандартное отклонение, а x от x, тем меньше вероятность его появления в случайной выборке. σ - σ - дисперсия случайной выборки: σ = N N ( x = 1 x) /( N 1). (4) Видно, что дисперсия характеризует разброс результатов вблизи выборочного среднего. Поскольку величина x - случайная и, следовательно, в принципе, может принимать любые значения от - до +, то f Г ( x ) для каждого данного x зависит от двух параметров определяемых в ходе эксперимента - x и σ. Функция Пуассона имеет вид: f n n n n( n ) = e (5) n! Функция Пуассона f n ( n ) дает вероятность появления в случайной выборке результата n ; n - выборочное среднее измеряемой дискретной величины. В отличие от функции Гаусса величина функции ) f n определяется единственным параметром выборочным средним - n. n ( В данной лабораторной работе предполагается выполнить многократные измерения числа распадов радиоактивных ядер, регистрируемых счетчиком излучений за некоторый фиксированный интервал времени (скажем, за 1 с.). Число распадов за любой промежуток времени может быть только целым и может меняться не менее чем на единицу, т.е. минимальный "скачок" этой величины n =1. Если количество импульсов, регистрируемых за 1 с., n 1-15, то при n =1 мы имеем дело с дискретно меняющейся величиной и следует предположить, что случайная выборка описывается функцией Пуассона. В случае если n ~-4, "скачок" n =1 можно считать пренебрежимо малым и поэтому рассматривать n как непрерывно меняющуюся величину и попробовать описать такую случайную выборку функцией Гаусса. (В математической статистике доказывается, что при больших значениях n функция Гаусса совпадает с функцией Пуассона с дисперсией σ = n ). Итак, в данной работе мы хотим экспериментально получить две случайные выборки, характеризующие процесс радиоактивного распада ядер, и показать, что они описываются функцией распределения Пуассона или Гаусса. Так как экспериментальные результаты не могут в точности соответствовать теоретической функции, то мы воспользуемся так называемыми критериями согласия, чтобы выяснить, можно ли допустить высказанную гипотезу (о том, что наша выборка описывается функцией Гаусса или Пуассона), или отвергнуть ее. Если гипотезу придется отвергнуть, то это будет говорить либо о неисправности каких- либо приборов в установке, либо о том, что объем выборки (число сделанных измерений) недостаточен для проведения статистического анализа.

3 . ТРЕБОВАНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ На счетчик Гейгера подается высокое напряжение порядка 4В. Поэтому при работе с ним необходимо руководствоваться инструкцией "Правила работы с электроустановками и радиоэлектронными приборами". Кроме того, поскольку в работе используется радиоактивный препарат, нужно строго выполнять все требования инструкции по радиационной безопасности. 3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Блок-схема установки приведена на рис.1. СЧ ПП ЦПУ БП Рис. 1 - схема установки: СЧ - счетчик Гейгера, ПП - пересчетный прибор, БП - блок питания, ЦПУ - цифропечатающее устройство. Для регистрации частиц, вылетающих из ядер при радиоактивном распаде, используется счетчик Гейгера, импульсы напряжения, с выхода которого подаются на пересчетный прибор. Фиксируемое за заданный промежуток времени пересчетным прибором количество импульсов передается на цифропечатающее устройство. Задание 1. Провести измерения естественного космического фона в лаборатории за определенный промежуток времени. Повторить измерения не менее двухсот раз. Задание. Установив под счетчиком радиоактивный препарат, выполнить N измерений количества импульсов, регистрируемых пересчетным прибором за заданный промежуток времени. 4.ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА. 1. Полученные экспериментально результаты необходимо представить в виде гистограмм. Гистограммы отличаются от обычного графического изображения функций тем, что нанесенные на графике точки соединяются не плавными линиями, а вертикальными и горизонтальными отрезками прямых. Примерный вид гистограммы показан на рис.. ( n ) f п Рис.. Примерный вид гистограммы 1. Светлыми квадратами обозначены значения f n ( n ), полученные экспериментально, а ромбами те же величины, рассчитанные теоретически по формуле (5). n 3

4 . Для построения гистограммы 1 следует разбить все результатов, полученных при измерениях фона и составляющих первую случайную выборку, на группы, содержащие N одинаковых элементов. Скажем, результат встречается в выборке 1 раз (N =1), результат 1-17 раз (N 1 =17), результат -5 раза (N =5) и т. д. Ясно, что N 1 должна быть в нашем опыте равна. Теперь, строя гистограмму, надо по оси ординат для каждого n отложить величину f n ( n )=N /. Эта величина приблизительно равна вероятности появления в выборке результата n (точное значение этой вероятности P( n )= lm N / N при N ). Теперь на том же графике следует построить гистограмму теоретических значений функции Пуассона для тех же значений n, рассчитанных по формуле (5). 3. Для построения гистограммы по результатам, полученным во втором эксперименте, следует опять разбить случайную выборку на группы элементов. Так как результаты x самые разнообразные, то для упрощения в каждую группу предлагается вносить не в точности одинаковые результаты x, а результаты, попадающие в некоторый заданный интервал x. Скажем, внимательно рассмотрев выборку, мы увидим, что минимальный результат в ней 46, а максимальный 317. Тогда все элементы выборки можно проклассифицировать по интервалам с шириной, равной 1. Скажем, вначале подсчитать все элементы, попадающие в интервал (46-55), а затем - все элементы, попадающие в следующий интервал (56-65) и т.д., пока не будут подсчитаны все элементы, попавшие в последний интервал. В таком случае N - число результатов, попавших в интервал с номером, x - середина этого интервала, а сумма всех N по - прежнему равна. Затем нужно построить теоретическую (функция Гаусса) и экспериментальную гистограммы точно так же, как это делали в пункте. Однако в этом случае N / вероятность попадания результата в интервал, равный 1, а функция Гаусса, как уже говорилось в разделе "КРАТКАЯ ТЕОРИЯ" есть плотность вероятности, т.е. вероятность того, что x попадает в единичный интервал вблизи заданного значения. Поэтому для сопоставления экспериментальной и теоретической гистограмм следует f ( x ) рассчитать так: f ( x ) = 1/1 N /. Поскольку любые статистические формулы не должны оперировать с малыми числами, то необходимо сделать следующее замечание. Если в какой либо из интервалов попало очень малое количество результатов, скажем, в самом первом или в самом последнем из интервалов N <1, то следует объединить два или три соседних интервала в один. Понятно, что в этом случае изменятся значения ширины и середины объединенных интервалов и количество значений, попавших в интервал. Можно заранее предсказать, что теоретические и экспериментальные гистограммы не будут тождественны друг другу. Поэтому статистический анализ должен ответить на вопрос: существенно ли различие между экспериментальной и теоретической гистограммами, построенными в предположении, что экспериментальные результаты могут быть описаны определенной функцией распределения? Само предположение о возможности описания экспериментальной выборки какой либо функцией распределения называется нуль гипотезой(h ). Анализ может подтвердить или опровергнуть нуль гипотезу. Для анализа используются количественные методы статистических критериев согласия. Наиболее распространенными критериями согласия являются критерий χ (критерий Пирсона) и критерий Колмогорова. Прежде чем воспользоваться каким либо критерием согласия надо установить уровень значимости, т.е. задать некоторое малое число α =1 γ, где γ - доверительная вероятность. Смысл уровня значимости следующий: пусть мы получаем какую то выборку многократно, скажем n раз, при одинаковых условиях и с фиксированным количеством элементов выборки. Среди большого числа таких выборок в α n (%) случаях мы можем получить результаты, не согласующиеся с выбранной нуль гипотезой. 4

5 После выбора α в зависимости от используемого критерия согласия рассчитывается величина ς определенного параметра. Выбранная нами величина уровня значимости α указывает границы доверительного интервала для параметра ς. Если значение ς окажется больше табличного значения ς, соответствующего данному α, значит, оно выходит из границ доверительного интервала и попадает в так называемую критическую область. Тогда с уровнем значимости α (или с доверительной вероятностью γ ) мы должны отвергнуть нуль гипотезу. ς При ς гипотеза принимается с доверительной вероятностью γ. При проверке гипотез возможны следующие ситуации: а). Справедлива гипотеза H, критерий допускает H. b). Справедлива гипотеза H, критерий отвергает H. с). Справедлива другая (альтернативная гипотеза) H, критерий отвергает H. d). Справедлива альтернативная гипотеза H, критерий допускает H. Только в случае а) и с) проверка гипотез приводит к правильному результату. Ошибка типа b) называется ошибкой первого рода. Вероятность ее численно равна уровню значимости α. Ошибка типа d) называется ошибкой второго рода. Если ее вероятность обозначить β, то (1- β ) называется мощностью критерия. Часто мощность критерия можно увеличить, лишь увеличив уровень значимости, и приходится искать компромиссное решение. Иногда большая мощность важнее малого уровня значимости, то есть важнее не совершить ошибку второго рода, чем совершить ошибку первого рода (например, в медицине). Более подробное обсуждение мощности критерия выходит за рамки данной работы. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА (КРИТЕРИЙ χ ). Этот критерий является одним из самых распространенных. Пользуются им следующим образом: По экспериментальным результатам рассчитывается величина, равная = r ( N N f x теор ) = 1 N f x теор χ (6) Здесь r число интервалов на гистограмме, N число результатов попавших в -ый интервал; N полное число элементов выборки; f - теоретическое значение функции распределения, теор рассчитанное по формуле (3) или по формуле (5), причем x и σ рассчитываются на основании данных эксперимента. Из (6) видно, что χ характеризует разброс экспериментальных результатов относительно теоретической кривой. Далее эту величину следует сравнить с теоретическим значением функции в табл.1 приложения к данному описанию. Так как кривые плотности χ χ, приведенным χ - распределения зависят от количества интервалов r или от числа степеней свободы k, табличное значение разным для разных k. Поэтому для сравнения χ с теоретическим значением χ будет χ надо определить число степеней свободы k. Согласно ГОСТ "Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим", следует брать k=r-1. Если при заданном k χ < χ, то можно утверждать с вероятностью γ (или с уровнем значимости α ), что наше предположение о возможности описания экспериментальной выборки распределением Гаусса или Пуассона χ > допустимо (высказанная нуль- гипотеза H верна). Если же наша гипотеза H отвергается с уровнем значимости α. Критерий Колмогорова. χ при выбранном γ, то Для того чтобы воспользоваться критерием Колмогорова, следует вычислить величину λ = D / N. Здесь N по-прежнему число элементов выборки. Буквой D мы обозначили эксп. максимальное значение разности между теоретической и экспериментальной интегральными 5

6 эксп теор функциями распределения (Пуассона или Гаусса), D = max( F F ). Напомним, что физический смысл интегральной функции это вероятность появления в выборке результата, эксп меньшего или равного x (или n ). Из этого ясно, что F N N N N = ( ) /. Величина теор же F приведена в табл. а и б приложения к описанию. Для того чтобы воспользоваться табл. б, следует для каждого x подсчитать величину y = ( x x) / σ. эксп теор Теперь для каждого интервала, начиная с первого, следует найти разность ( F F ), максимальная из которых и войдет в формулу для λ. λ следует сравнить с табличными значениями λ для заданной доверительной вероятности γ (табл.3). Если λ гипотезу следует принять с доверительной вероятностью γ. <λ, нуль- Есть и другие критерии согласия, но их использование требует значительно большего объема вычисления. Контрольные вопросы. 1. Каков физический смысл понятия "функция распределения"?. Какие функции распределения Вам известны? 3. Когда при описании случайной выборки следует пользоваться функцией Пуассона, а когда функцией Гаусса? 4. Почему в настоящей работе случайная выборка, состоящая из одних и тех же физических величин (активностей), описывается в одном случае функцией Пуассона, а в другомфункцией Гаусса? 5. Что такое: а) выборочное среднее случайной выборки; б) дисперсия случайной выборки? 6. Что такое критерии согласия и какие вопросы решаются с их помощью? 7. Какие критерии согласия Вам известны? 6

7 Приложение Число степеней свободы k Таблица 1. Функция χ для некоторых заданных значений доверительной вероятности γ. Вероятность γ,5,7,8,9,95 7 6,34 8,4 9,8 1, 14,1 8 7,34 9,5 11, 13,4 15,5 9 8, , 14,9 16,9 1 9,34 11,8 13,4 16, 18,3 11 1,3 1,9 14,6 17,3 19,7 1 11,3 14, 15,8 18,5 1, 13 1,3 15,1 17, 19,8, ,3 16, 18, 1,1 4,1 Таблица а. Интегральная функция распределения Пуассона n \ n 3,5 4 4,5 5 6,3,18,11,7, 1,136,9,61,4,17,31,38,174,15,6 3,537,443,34,65,151 4,75,69,53,44,85 5,858,785,73,616,446 6,934,889,831,76,66 7,973,949,913,867,744 8,99,979,96,93,847 9,996,99,983,968,916 1,999,997,993,986,957 11,999,999,998,994,98 7

8 Таблица б Интегральная функция распределения Гаусса y F y ) ( -,5,6 -,,3-1,5,67-1,,159 -,5,39,5,5,691 1,,841 1,5,933,,977,5,993 γ (вероятность) λ,6,89,7,97,8 1,7,9 1,,95 1,36,98 1,5,99 1,63 Таблица 3 Теоретические значения функции λ 8

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 4. Идентификация формы распределений

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 4. Идентификация формы распределений Курс: Статистические Методы Обработки Данных Лекция 4. Идентификация формы распределений Специальность: 1-53 01 0 Автоматизированные системы обработки информации УО «ГГУ им. Ф. Скорины» Преподаватель:

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО РАДИАЦИОННОГО ФОНА

ИЗУЧЕНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО РАДИАЦИОННОГО ФОНА ИЗУЧЕНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО РАДИАЦИОННОГО ФОНА Цель работы: исследование флуктуаций потока естественного фона излучения и изучение статистических закономерностей случайных процессов.

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

СТАТИСТИКА ЯДЕРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

СТАТИСТИКА ЯДЕРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. И. Вайсбурд А. В. Макиенко ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. И. Вайсбурд А. В. Макиенко ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. И. Вайсбурд А. В. Макиенко ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 3. Гистограммы и Операции над ними

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 3. Гистограммы и Операции над ними Курс: Статистические Методы Обработки Данных Лекция 3. Гистограммы и Операции над ними Специальность: 1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации УО «ГГУ им. Ф. Скорины» Преподаватель: Бабич

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Кафедра общей физики Лаборатория молекулярной физики Лабораторная работа 5 Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В лабораторном практикуме вы постоянно будете иметь дело с измерениями физических величин. Необходимо уметь правильно обрабатывать

Подробнее

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а).

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а). Лекция 8 8.1. Законы распределения показателей надежности Отказы в системах железнодорожной автоматики и телемеханики возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

DOI: /AUT

DOI: /AUT 30 АВТОМЕТРИЯ. 2016. Т. 52, 1 УДК 519.24 КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ Е. Л. Кулешов Дальневосточный федеральный университет, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8 E-mail: kuleshov.el@dvfu.ru

Подробнее

Лабораторная работа 1.1. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Лабораторная работа 1.1. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Лабораторная работа 11 ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Цель работы: ознакомиться с методами обработки результатов эксперимента и применить их к расчету удельного сопротивления

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Статистическое моделирование

Статистическое моделирование Статистическое моделирование. Общая характеристика метода статистического моделирования На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное высшее учебное заведение «Национальный горный университет» Методические указания к лабораторной работе 11 ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ

Подробнее

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе 3 Проверка статистических гипотез 3 Основные положения теории проверки статистических гипотез На практике часто приходится проверять на основе выборочных данных различные предположения относительно генеральной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ АНАЛИЗА СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ ЗНАЧАЩИЕ

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

Статистическая обработка результатов эксперимента в MathCAD. методические рекомендации

Статистическая обработка результатов эксперимента в MathCAD. методические рекомендации Статистическая обработка результатов эксперимента в MathCAD методические рекомендации 1. Законы распределения случайных чисел Распределение случайной величины это функция, позволяющая определить вероятность

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Направление 280700.68 «Техносферная безопасность» ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Для проверки практических навыков

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Работа 5.13 Определение периода полураспада долгоживущего изотопа

Работа 5.13 Определение периода полураспада долгоживущего изотопа Работа 5.13 Определение периода полураспада долгоживущего изотопа Оборудование: эталонный препарат. счетная установка, соль калия (KCl), секундомер, Введение Ядра большого количества изотопов могут самопроизвольно

Подробнее

Лабораторная работа 1.71 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева

Лабораторная работа 1.71 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Лабораторная работа 1.71 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Цель работы: изучение распределения случайных величин на механической модели. Задание: по экспериментально

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений Приложения Обработка результатов измерений 1. Введение Величины, измеряемые в эксперименте, по своему характеру случайны, и это обусловлено либо статистической природой самого исследуемого явления, либо

Подробнее

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Пусть у нас есть серии значений двух параметров. Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами.

Подробнее

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

3.7. Нормальное распределение

3.7. Нормальное распределение 3.7. Нормальное распределение Нормальное распределение, распределение Гаусса предельный закон распределения событий и явлений, являющихся результатом действия множества детерминированных факторов (физических

Подробнее

Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями. Получение в этом

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА: ЧАСТЬ 4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ Практикум для вузов Составители: В.И. Кукуев, В.В. Чернышев, И.А.Попова. ВОРОНЕЖ 009

Подробнее

Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева

Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Цель работы: изучение распределения случайных величин на механической модели (доска Гальтона). Задание:

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов

Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. - 5. - С.56-63. УДК 519.2 О зависимости предельных распределений статистик хи-квадрат Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных Б.Ю. Лемешко,

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ВВЕДЕНИЕ Одним из основных разделов математической статистики является проверка статистических гипотез. В этом разделе разрабатываются методы проверки соответствия экспериментальных данных или наблюдений

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью:

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью: ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины измеряются и анализируются в терминах их статистических и вероятностных свойств, главным выразителем которых является функция

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

Лабораторная работа 62.2 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ. Теоретическое введение

Лабораторная работа 62.2 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ. Теоретическое введение 1 Лабораторная работа 62.2 ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ Теоретическое введение Во многих случаях при многократных измерениях физической величины, проведенных в одних

Подробнее

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии Элементы математической статистики. Пример. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равно нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ Краткая теория Цель любого исследования установление связей между различными явлениями и параметрами Количественная зависимость

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение "Оренбургский государственный университет" Кафедра математических методов и моделей в экономике А.Г. РЕННЕР, О.А.

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГБОУ ВПО АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Н.В.НИГЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ г. Благовещенск

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Лекция 7 Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Содержание темы Свойства средней арифметической Свойства выборочной дисперсии Интервальный ряд и его характеристики Основные категории

Подробнее

Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева

Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Лабораторная работа 1.17 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН М.В. Козинцева Цель работы: изучение распределения случайных величин на механической модели (доска Гальтона). Задание:

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ Методические указания к лабораторному практикуму по курсу физики для студентов всех специальностей 1. Абсолютная и относительная погрешности Пусть X некоторая физическая величина,

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Цель работы - изучение закономерностей радиоактивного распада путем компьютерного моделирования; определение постоянной распада и периода полураспада радионуклида.

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Планирование полного двухфакторного эксперимента. Регрессионный анализ

Планирование полного двухфакторного эксперимента. Регрессионный анализ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет

Подробнее

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Работа 13 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Оборудование: штатив, маятник, линейка, электронный счетчик-секундомер Описание метода Графический метод является наиболее простым

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

μ (3) n n i= = xi (4)

μ (3) n n i= = xi (4) При измерении физических величин очень важно уметь правильно оценить точность полученных результатов. Каждый экспериментальный результат, например результат измерения скорости счета препарата, представляет

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее