МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов СГГА Новосибирск

2 УДК 96 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ИМ СОРАН СМ Зеркаль Кандидат физико-математических наук, доцент Сибирского университета потребительской кооперации ИЗ Меражов Доцент Сибирской государственной геодезической академии ГП Мартынов Комиссарова НВ С 6 Математика Ч 6 Ряды Метод указания: Новосибирск: СГГА, с Методические указания подготовлены старшим преподавателем кафедры высшей математики Сибирской государственной геодезической академии НВ Комиссаровой Указания предназначены для студентов -го и -го курсов всех специальностей, обучающихся в СГГА и ее филиалах Они содержат краткую теорию определения, формулы и теоремы) раздела «Ряды», примеры решения типовых задач и типовые задания по вариантам Рекомендованы к изданию учебно-методическим советом ИГиМ УДК 96 Сибирская государственная геодезическая академия СГГА), Комиссарова НВ,

3 СОДЕРЖАНИЕ Ряды Ряд и его сумма Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Сходимость знакопеременных рядов 6 Степенные ряды 8 Дифференцирование и интегрирование рядов 9 6 Разложение функции в степенной ряд 9 7 Приближенные вычисления с помощью рядов 8 Тригонометрические ряды Фурье 9 Применение рядов к решению дифференциальных уравнений Примеры решения задач Типовой расчет «ряды» 9 Основные требования к оформлению типовых расчѐтов 9 Типовые задачи Задача Задача Задача Задача Задача 6 Задача 6 Теоретические вопросы 6 Список литературы 7

4 РЯДЫ Ряд и его сумма Определение Пусть задана бесконечная последовательность чисел,,,, Составленный из этих чисел символ ) называется числовым рядом, а сами числа,,,, называются членами ряда ); -й член ряда называется также общим членом ряда Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру его члена записать этот член ряда Определение Сумма первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда и обозначается символом S : S k k Определение Если существует конечный предел называется сходящимся, а число расходящимся, если S или не существует S S, то ряд S суммой ряда Ряд называется Определение Ряд, полученный из ряда ) отбрасыванием первых его m членов, m m m m называется m-м остатком ряда ) и обозначается R m Если ряд ) сходится, тогда S m + R m = S Справедливы следующие теоремы: Отбрасывание от ряда или присоединение к ряду любого конечного числа начальных членов не меняет его сходимости или расходимости Если ряд ) сходится, то предел его m-го остатка при m равен нулю, т е R m m Если члены сходящегося ряда ), имеющего сумму S, умножить на число, то полученный ряд будет также сходящимся, а число S его суммой Умножение членов расходящегося ряда на число не нарушает его расходимости Необходимый признак сходимости числового ряда ) Если ряд ) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

5 Отсюда вытекает, что если, то ряд расходится Если же, то о сходимости ряда еще ничего нельзя сказать, но есть смысл исследовать ряд дальше с помощью других признаков Определение Ряд знакоположительным числовым рядом, у которого все >, >,, >, называется Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Рассмотрим два знакоположительных числовых ряда:, ) ) Признак сравнения I Пусть даны два числовых ряда ) и ) Исследуется на сходимость ряд ) Известно поведение ряда ) Если начиная с некоторого номера : члены ряда ) не больше соответствующих членов ряда ), и ряд ) сходится, то и ряд ) также сходится; члены ряда ) не меньше соответствующих членов ряда ), и ряд ) расходится, то и ряд ) также расходится Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими известными рядами: q, геометрическая прогрессия, сходящаяся при q < и расходящаяся при q ); расходящийся гармонический ряд); p обобщенный гармонический ряд, сходящийся при p > и расходящийся при p ) Признак сравнения II Пусть даны два числовых ряда ) и ) Исследуется на сходимость ряд ) Известно поведение ряда ) Если существует конечный предел, то оба ряда ) и ) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся Если же, то из сходимости ряда ) следует сходимость ряда ) Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквивалентны как бесконечно малые при ~ ), то оба ряда в смысле сходимости) ведут себя одинаково Замечание При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих!, часто бывает полезна формула Стирлинга! ~ e,

6 которая означает, что! / e Признак Даламбера Пусть дан числовой ряд ) Если существует предел q, то при q < ряд ) сходится, при q > ряд ) расходится, при q = вопрос о сходимости ряда ) остается открытым Замечание Признак Даламбера целесообразно применять тогда, когда общий член ряда содержит факториал или содержит одновременно степенную и показательную функции относительно Признак Коши радикальный) Пусть дан числовой ряд ) Если существует предел q, то при q < ряд ) сходится, при q > ряд ) расходится, при q = вопрос о сходимости ряда ) остается открытым Замечание Признак Коши радикальный) целесообразно применять в том случае, если общий член ряда представляет собой -ю степень некоторого выражения Интегральный признак Коши основан на сравнении рядов с несобственными интегралами) Пусть общий член ряда ) = f) > Если функция f), принимающая в точках =, =,,, значения f), монотонно убывает в некотором интервале A<<, где A>, то числовой ряд несобственный интеграл Сходимость знакопеременных рядов Определение 6 Ряд ) A f )d сходятся или расходятся одновременно и с членами произвольных знаков называется знакопеременным Если знакопеременный ряд содержит конечное число отрицательных членов, то его исследование на сходимость сводится к исследованию знакоположительного ряда, так как отбрасывание от ряда конечного числа начальных членов до членов одного знака) не нарушит его сходимости или расходимости Аналогично, если знакопеременный ряд содержит конечное число положительных членов, так как умножение ряда на -) не меняет поведение ряда в смысле сходимости) Определение 7 Знакопеременный ряд ) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, ) составленный из модулей членов данного ряда

7 Оказывается, что всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся, т е из сходимости ряда ) всегда следует сходимость ряда ) Определение 8 Знакопеременный ряд ) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд ), составленный из модулей его членов, расходится Справедливы следующие теоремы: Сходящийся знакопеременный ряд в том числе и знакопостоянный) остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой группировке его членов, произведенной без изменения порядка их следования Замечание Обратная теорема в общем случае неверна Так, например, ряд расходится, а ряд - ) + - ) + = + +, полученный попарной группировкой его членов, является сходящимся Абсолютно сходящийся ряд в том числе и знакопостоянный) остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов Изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся Если знакопеременный ряд ) сходится абсолютно, то сходятся ряды составленные из его а) положительных членов; б) отрицательных членов Если же знакопеременный ряд сходится лишь условно, то упомянутые выше ряды расходятся Исследовать на сходимость знакопеременный ряд значит не только ответить на вопрос, сходится он или расходится, но и как сходится: абсолютно или условно Среди знакопеременных рядов особо выделяют класс знакочередующихся рядов Определение 9 Ряд u u u ) u u u u ), 6) в котором все, =,,, числа одного знака, называется знакочередующимся Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости Признак Лейбница Пусть дан знакочередующийся ряд 6) Если u u члены, начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине; u выполнен необходимый признак, то ряд 6) сходится Исследование сходимости знакочередующихся рядов рекомендуется начинать с исследования их абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся При исследовании знакопеременных рядов на абсолютную сходимость пользуются всеми известными признаками сходимости для рядов с положительными членами

8 Следствие Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка остатка: R, т е остаток ряда меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов Указанную оценку можно использовать для вычисления суммы ряда с любой, наперед заданной точностью Степенные ряды Определение Пусть, c, c, c c ) c ) c ) c ) = = ) c 7) c,, c, заданные числа Ряд вида называется степенным Членами ряда 7) являются степенные функции u c ), а c, c, c,, c, называются коэффициентами ряда 7) Этот ряд всегда сходится, по крайней мере, при При фиксированном ряд 7) представляет из себя числовой ряд, который либо сходится, либо расходится Определение Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной, для которых ряд 7) сходится Теорема Абеля Если степенной ряд ) c сходится при, то он сходится, и притом абсолютно, для всех значений, удовлетворяющих неравенству Если же степенной ряд расходится при, то он расходится и для всех значений, для которых Из теоремы Абеля вытекает: ) всякая точка сходимости степенного ряда 7) расположена не дальше от точки, чем всякая точка его расходимости; ) существует интервал R R, для всех точек которого степенной ряд сходится, а для всех, таких, что R, расходится Определение Интервал R; R ), внутри которого ряд сходится, а вне его расходится, называется интервалом сходимости, а число R радиусом сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формул c R или c R 8) c при условии, что пределы, в них входящие, существуют Замечание Для каждого степенного ряда вида 7), если только он не является всюду расходящимся, область сходимости представляет собой сплошной промежуток от R до R, со включением концов или нет Промежуток этот может быть и бесконечным Замечание Внутри области сходимости степенной ряд 7) сходится абсолютно

9 Исследовать степенной ряд на сходимость значит, найти интервал его сходимости и выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости Замечание При фиксированном степенной ряд 7) представляет из себя конкретный числовой ряд знакопеременный в общем случае) Для этого ряда если он знакопеременный) сначала проводится исследование на абсолютную сходимость, т е составляется ряд из модулей Следовательно, для определения области сходимости степенных рядов можно использовать признак Даламбера, u u т е нужно найти те значения, при которых предел, а затем отдельно исследовать те значения, при которых данный предел равен единице Дифференцирование и интегрирование рядов Теорема Степенной ряд 7) можно почленно интегрировать сколько угодно раз на любом отрезке [а, ], целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда Таким образом, c d c d 9) Теорема Степенной ряд 7) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз в каждой точке его интервала сходимости Таким образом, c c ) 6 Разложение функции в степенной ряд Если функция f) имеет в точке = и некоторой ее окрестности производные до -го порядка включительно, то в каждой точке этой окрестности она представима формулой Тейлора f f ) ) f ) )! f )! ) ) R ), f )! ) где R п х) остаточный член формулы Тейлора, который может быть записан в виде R п х) = o - ) ) форма Пеано) ) R ) ) Запись ) означает, что, т е что остаточный член формулы Тейлора является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с - ), при Если функция f) имеет в окрестности точки = производные до + )- го порядка включительно, то остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде f )! R п х) = ), форма Лагранжа) )

10 Пусть теперь функция f) имеет в точке = и некоторой ее окрестности производные любого порядка Тогда число членов формулы ) можно неограниченно увеличивать, и получается в пределе при бесконечный ряд f ) f )! ) f )! ) f ) )! ) ) Определение Ряд ) независимо от того, сходится он к функции f) или нет, называется рядом Тейлора для функции f) Если же для всех значений из некоторой окрестности точки а имеет место равенство f ) f ) f ) )! f )! ), ) f )! ) то функция f) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки = или по степеням )) При = ряд Тейлора имеет вид f ) f )! ) + ) f ) f ) 6)!! и называется рядом Маклорена При разложении функций в степенные ряды применяют следующие приемы Непосредственное разложение функции f) в ряд Тейлора Прием состоит в следующем: ) формально составляют ряд Тейлора для функции f); с этой целью находят производные функции f) в точке = находят столько производных, сколько потребуется для вывода рекуррентной формулы для -й производной) и подставляют их в разложение ); ) находят область сходимости полученного ряда; c) выясняют, для каких значений из области сходимости между функцией f) и суммой ее ряда Тейлора можно поставить знак равенства Использование табличных разложений Основными табличными разложениями являются следующие ряды Маклорена: e )!!!! 7 si cos!!!!!! m m m m m m )! ) m m m ; 7) 7! 6 6! ) m! ) m! ) ; 8) ) ; 9) ); ) ) ) ) ) m любое действительное число; ряд называется биномиальным); l ) ) ) ; )

11 rctg ) 7 7 ) ) Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других функций При этом отпадает необходимость исследовать остаточные члены соответствующих формул Тейлора с целью выяснения, можно ли между составленным рядом и самой функцией поставить знак равенства, так как области сходимости табличных рядов известны 7 Приближенные вычисления с помощью рядов Для приближенного вычисления значения функции f) в точке о можно использовать следующий прием Функцию f) раскладывают в степенной ряд В полученном разложении полагают = х Затем, с помощью выражения для остаточного члена ряда, определяют минимальное значение число начальных членов), обеспечивающих требуемую точность вычисления f o ) Особо отметим следующие случаи I При вычислении различных степеней числа е пользуются приближенной формулой e, )!! допуская при этом ошибку R, которая при R! ) ) При можно пользоваться более простой оценкой R 6) )! оценивается неравенством II При вычислении значений синуса и косинуса пользуются приближенными формулами III si!! ) )!, 7) при этом ошибка оценивается неравенством R R ; 8) )! cos!! ) )!, 9) в данном случае ошибка оценивается неравенством R R ) )! l Для вычисления логарифмов чисел можно пользоваться рядом ) Ошибка, получаемая при замене суммы ряда суммой его первых слагаемых, может быть оценена с помощью формулы

12 R ) ) ) IV При вычислении корней k-й степени из числа A > полагают A = k + y где k число, близкое к A, из которого извлекается точный корень, и такое, что y k k ), тогда A k y / k y / k / k ) Полученную функцию от y раскладывают в биномиальный ряд и берут затем необходимое число первых слагаемых V Для приближенного вычисления интеграла f )d его предварительно представляют в виде числового ряда, для суммирования которого берут необходимое число начальных членов Замечание Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: R 8 Тригонометрические ряды Фурье Определение Тригонометрическим рядом Фурье периодической функции f ) с периодом, определенной на промежутке,, называется ряд где cos f )cosd, f )sid, si),,,,),,,);, называются коэффициентами ряда Фурье Если ряд ) сходится, то его сумма S ) есть периодическая функция с периодом, т е S ) S ) Определение Функция f ) называется кусочно-монотонной на отрезке,, если этот отрезок можно разбить конечным числом точек,,, на интервалы,,,,,, так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т е либо не возрастает, либо не убывает Из определения следует, что если функция f ) кусочно-монотонная и ограничена на,, то f ) имеет разрывы только первого рода Определение 6 Функция f ) называется кусочно-гладкой, если на каждом конечном интервале она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва, и притом лишь -го рода Теорема Дирихле достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье) ) )

13 Если периодическая функция f ) с периодом T удовлетворяет одному из условий: f ) кусочно-гладкая, f ) кусочно-монотонная и ограничена, то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках Сумма полученного ряда S ) равна значению функции f ) в точках непрерывности функции В точках разрыва функции f ) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f ) справа и слева, т е f ), S ), [ f ) f )], точка разрыва функции f ) где Замечание Если непериодическая кусочно-гладкая функция f ) задана лишь в интервале, ), ее тоже можно разложить в ряд Фурье Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, но к функции f ) только в тех точках интервала, ), в которых функция f ) непрерывна Суммой ряда будет периодическое продолжение функции f ) на всю ось O А в точках разрыва сумма ряда будет равна среднему арифметическому правого и левого пределов периодического продолжения данной функции Если функция f ) задана на сегменте [, ], где произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье: где cos f )si f )cos si d, d,,,,,),,,) В случае, когда f ) четная функция, еѐ ряд Фурье содержит только свободный член ) и косинусы, т е ) f ) cos, 7) где 6) f )cos d,,,,) 8) В случае, когда f ) нечетная функция, еѐ ряд Фурье содержит только синусы, т е f ) si, 9) где

14 f )si d,,,) ) В случае, когда f ) задана на произвольном интервале ; ), обозначим, зададим конкретное значение функции на одном из концов интервала например, при ) и продолжим данную функцию периодически, с периодом T на всю числовую ось Полученная функция будет удовлетворять условиям теоремы Дирихле Коэффициенты ряда Фурье в этом случае можно определить следующим образом: f )cos f )si d, d,,,,),,,), тогда ряд Фурье принимает вид cos si ) ) 9 Применение рядов к решению дифференциальных уравнений В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно, решение такого уравнения ищут в виде степенного ряда Если для уравнения y f,y ) требуется решить задачу Коши при начальном условии y y, решение можно искать с помощью ряда Тейлора y ) y ), )! ) где y ) y, y ) f,y ), а дальнейшие производные y ) находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо, y, y, значений, y, y, и всех остальных найденных последующих производных Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков

15 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример Исследовать на сходимость ряд Замечаем, что Необходимый признак сходимости не выполнен Ответ: ряд расходится Пример Исследовать на сходимость ряд Так как > l для, тогда l l для, а общий член расходящегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения I данный ряд расходится Ответ: ряд расходится l Пример Исследовать на сходимость ряд Применим признак сравнения II Имеем ) 8 8 ) Степень числителя равна, степень знаменателя равна 8/ Подберем для сравнения обобщенный гармонический ряд, где показатель p = 8/ - = / p p = степень знаменателя степень числителя) Т е ряд для сравнения где p = / >, следовательно, данный ряд сходится и Тогда 8 8, ) значит, сравниваемые ряды ведут себя одинаково Следовательно, исследуемый ряд тоже сходится Ответ: ряд сходится ) 8 Пример Исследовать на сходимость ряд Заметим, что l l ~ ~ l, /

16 знак ~ означает эквивалентность бесконечно малых при используется эквивалентность l ~ при ) Здесь, так как Тогда данный ряд, по признаку сравнения II, ведет себя в смысле сходимости) так же, как ряд Последний сходится как обобщенный гармонический с показателем p=> Следовательно, сходится и исследуемый ряд Ответ: ряд l сходится Пример Исследовать на сходимость ряд Предел отношения! в данном случае вычислить затруднительно Поэтому применение признака Даламбера отпадает Используем признак Коши радикальный) При вычислении предела воспользуемся формулой Стирлинга и заменим! на e : e! / следовательно, ряд расходится Ответ: ряд! расходится e ; Пример 6 Исследовать на сходимость ряд ; e e, )l Применим интегральный признак Коши Заменяем в заданном выражении общего члена ряда = f) = )l номер непрерывной переменной Полученная функция f) непрерывна в промежутке и монотонно в нем убывает Вычислим несобственный интеграл от f) с бесконечным верхним пределом = )l l d ) ) l l )) ) ) dl l )) Несобственный интеграл сходится Следовательно, согласно интегральному признаку, и данный ряд сходится Ответ: ряд )l ) сходится Пример 7 Исследовать на сходимость ряд l! )

17 Применяем признак Даламбера По известному члену ряда, заменяя в нем на +, находим следующий за ним член Здесь q,!, )!! )! следовательно, ряд сходится Ответ: ряд! сходится <, Пример 8 Исследовать на сходимость ряд Общий член ряда представляет собой -ю степень некоторого выражения, поэтому удобнее всего применение признака Коши радикального): q следовательно, ряд расходится Ответ: ряд расходится Пример 9 Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд Применяем признак Лейбница Так как, ) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, выполнен необходимый признак, данный ряд сходится Однако он сходится лишь условно, так как ряд, составленный из модулей его членов, расходится Это можно доказать с помощью первого признака сравнения Так как - <, то и расходится Так как гармонический ряд, про который известно, что он расходится, а умножение ряда на константу не меняет его расходимости Ответ: ряд ) сходится условно Пример Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд ) )! Исследуем данный знакочередующийся ряд сразу на абсолютную сходимость С этой целью составим ряд из модулей членов данного ряда: )! Применим к этому ряду признак Даламбера:

18 , )!, где + )! = )! + ) + ), ) )! )! )! ) ) )! ) e = < Здесь использован -й замечательный предел ) )! Ряд из модулей сходится Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно Ответ: ряд ) )! сходится абсолютно Пример Найти область сходимости степенного ряда Используем теорему Абеля И с помощью одной из формул 8) найдем радиус сходимости Здесь R c c ) ) c, c, следовательно, Интервал сходимости характеризуется неравенством < < Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала При степенной ряд принимает вид ) ) Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому признаку сходимости Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: ; Ответ: область сходимости ; Пример Найти область сходимости степенного ряда По известному члену ряда следующий за ним член u ), u : u u ) Далее, используя признак Даламбера, ищем предел q u u e, заменяя в нем на +, находим и определяем, при каких значениях этот предел будет меньше единицы, т е решаем неравенство ; ; - < < Согласно признаку Даламбера, при любом значении из найденного интервала данный ряд сходится Исследуем граничные точки )

19 При = - получим ряд с положительными членами, который расходится как обобщенный гармонический ряд с показателем p = / < При = получим ) ) / ) знакочередующийся ряд, который сходится согласно признаку Лейбница Так как члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю Следовательно, областью сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал ; Ответ: область сходимости ; Пример Вычислить приближенно 68 с точностью до, Преобразуем Используем биномиальный ряд ) Раскладываем в ряд функцию!! 8!!! Полагая в полученном разложении ! 6 и умножая ряд на, получаем 6 76,8 Получили знакочередующийся ряд По следствию из признака Лейбница, остаток ряда меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов Здесь взятые три члена ряда обеспечивают нужную точность, так как R,! 6 Ответ: 68,8, Пример Вычислить приближенно Используем приближенную формулу 7) Поскольку si si 8! 8! 8,7,89,76 si с точностью до,, радиан, то 8 Получили знакочередующийся числовой ряд По следствию из признака Лейбница, остаток ряда меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов Здесь взятые два члена ряда обеспечивают нужную точность, так как R! 8,,

20 Итак, si,7,89, 76 Ответ: si,76, Пример Вычислить приближенно e с точностью до, Используем приближенную формулу ) для функции e и оценку ) Полагаем = /: e!!! Если взять пять членов этого ряда = ), то ошибка вычислений не будет превышать,: R 86,! )! Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов ряда, получим e 6 6,8 Ответ: e,8, Пример 6 Вычислить приближенно l с точностью до, В разложении ) для следовательно, l 7 7 l положим, тогда = / и, Заданную точность обеспечивают четыре члена, так как, используя оценку ) для погрешности, имеем неравенство 9 R, 9 9 ) ) 9 8 Таким образом, с точностью до, получаем l 69 7 Ответ: l 69, si ) d Пример 7 Вычислить интеграл с точностью до, Используем табличный ряд Маклорена 8), тогда si ) )! при ; ) Поэтому при si ) si ) : ) 6 9! )!! 9! 7!! 7!

21 6 8 ) ) ) )!! )! А при si si : 8 суммы степенного ряда ) при = Т е можно считать, что si ) 8!! 7! ;! ) 6 6 )! 6 )!, что совпадает со значением при любом ) По свойствам степенных рядов см 9)), их можно почленно интегрировать внутри области их сходимости, поэтому si ) d 9! 9 d 8 d!! d! ) 6 8 ) 6 ) )! ) ) 6 6 d )! Получили знакочередующийся числовой ряд, по следствию из признака Лейбница, остаток ряда меньше абсолютного значения первого отброшенного 8 слагаемого В данном случае,, поэтому с точностью до,: si ) d si 7 ), Ответ: d,, Пример 8 Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки =, используя табличные разложения Указать область, в которой справедливо полученное разложение Учитывая свойства логарифма, данную функцию можно представить в виде l ) )l e e Теперь, используя табличное разложение 7), подставив, вместо переменной в данный ряд выражение - )l, получаем e )l )l ) l! l! ) l! ) l! )! ) l! Так как ряд 7) сходится для всех, то полученное разложение справедливо для всех ; )

22 Ответ: )l ) l! всех ; ) Пример 9 Разложить функцию ) l! ) l!, сходится для 9 в ряд Тейлора в окрестности точки = -, используя табличные разложения Указать область, в которой справедливо полученное разложение Разложение в окрестности точки = -, т е по степеням + Преобразуем данное выражение 9 9 ) ) ) Теперь используем биномиальный ряд ), в котором m = /, а вместо переменной будем подставлять выражение ), и полученный ряд умножаем на 9 ) )! )! ) 8 ) ) )! Учитывая условия, при которых биномиальный ряд сходится, находим ) ограничения для нашего разложения Преобразовывая ) ; ; Ответ: ; ), находим область ; ) 8 ) ) )! 9, сходится для Пример Разложить функцию f ) в ряд Фурье в интервале ; 6) Данная функция рис ) является кусочно-монотонной и непрерывной в заданном интервале Доопределим ее f 6 ) и продолжим функцию f ), заданную для, 6 ] периодически, с периодом T на всю числовую ось Полученная функция будет удовлетворять условиям теоремы Дирихле Коэффициенты ряда Фурье, используя формулы ), можно определить следующим образом: 6 ;

23 6 6 d 6 8 ; 6 cos d dv 6 UdV U cos UV ; d ; V du VdU d si si ) cos 6 ) si si si cos d ) )) 6 dv ) cos cos 6 UdV si U si d UV ; ; 6 ) V du d cos VdU ) d cos cos ) cos ) ; ) cos cos cos ) ) cos ) cos cos cos ) ) 6 ) ) 6 cos si si ) ) ) si cos Подставим найденные коэффициенты в формулу ) Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид: 8 f ) ) si Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, но к функции f ) только в точках ; 6 ) Суммой ряда S ) будет периодическое продолжение функции f ) на всю ось O рис ) А в точках разрыва сумма ряда ) [ f ) f )], где,,, ) f S разрыва функции ) d 6 )) ) точки

24 Рис Рис Ответ: ) si Пример Разложить функцию, f ) в ряд Фурье в, интервале ; Данная функция рис ) является кусочно-гладкой в интервале ;, а ее периодическое продолжение при дополнительном условии f [ k ) ] /, k,,, удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле Вычислим коэффициенты Фурье, используя формулы ): f )d d )d / / ; cos d )cosd cos d cos d = cos d, так как подынтегральная функция четная, а cos d вычисляем с помощью интегрирования по частям, где U, du d, dv cos d, V si = si sid cos ) ; sid )sid sid sid = sid sid, так как подынтегральная функция нечетная, а sid вычисляем с помощью интегрирования по частям, где U, du d, dv sid, V cos =

25 cos si cos cos ) cos Подставим найденные коэффициенты в формулу ) Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид: ) ) f ) cos si Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, но к функции f ) только в точках ; Суммой ряда S ) будет периодическое продолжение функции f ) на всю ось O рис ) А в точках разрыва сумма ряда ) [ f ) f )], где,,, ) f S разрыва функции ) d cos точки Рис Рис Ответ: ) ) f ) cos si Пример Разложить в ряд Фурье функцию f ) с периодом, если f ) в интервале ;, продолжив ее на интервале ; четным или нечетным образом Найдѐм разложение функции рис ) в ряд Фурье для различных продолжений исходной функции: а) доопределим функцию f ) на интервале ; Полученная функция будет четной Продолжим еѐ периодически, с периодом T на всю числовую ось В результате полученная функция будет удовлетворять условиям теоремы Дирихле Используем формулы 7) и 8) Таким образом, для полученной четной функции ; ; d ;

26 cosd cos si ) cos Отличны от нуля только коэффициенты с нечетными индексами ) Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид: f ) cos ) ) Найденное разложение имеет место при всех значениях ;, однако ряд, стоящий справа, сходится при всех Суммой ряда S ) будет периодическое продолжение функции f ) на всю ось O рис ) Ответ: f ) cos ) ; ) б) аналогично предыдущему случаю строим нечетное, периодическое продолжение исходной функции Доопределим функцию f ) на интервале ; Положим для простоты f ) Используем формулы 9) и ) Коэффициенты Фурье ; ; sid cos si cos ) Для всех f ) f ) f ) Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид: ) f ) si Найденное разложение имеет место при всех значениях ;, однако ряд, стоящий справа, сходится при всех Суммой ряда будет периодическое продолжение функции f ) на всю ось O рис c) А в точках разрыва сумма ряда S ) [ f ) f )], где,,, ) точки разрыва функции ) f Рис а Рис Рис c

27 Ответ: ) f ) si Пример Найти шесть первых, отличных от нуля, членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y y, удовлетворяющего условию y ) Из уравнения и начальных условий находим y ) Дифференцируя исходное уравнение, последовательно получаем y yy ; y y yy ; y IV 6 y y yy ; y V 6 y 8 y y yy IV Полагая и используя значения ) находим y ) ; y 8 ; y IV 6 8 8; y V y, y ) Используем ряд Маклорена 6) Искомое решение имеет вид y!! 8 8!! 8!!!! 8!! Ответ: y, последовательно Пример Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения si y удовлетворяющего условиям ) y, y ) y, Точка не является особой для данного уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда Тейлора, используя формулу ) Из уравнения и начальных условий находим ) si y Дифференцируя исходное уравнение, последовательно получаем y si y y cos y ; y IV y y cos y cos y y cos y si y y y si y y cos y cos y Полагая и используя значения ) последовательно находим y si cos ; IV y cos si cos Подставляя найденные значения производных в ряд y f ) f )! ) f )! получаем решение данного уравнения ) y f ) ) ),! ) y, y ), y ),

28 y )! ) ) ) 6 ) ) )!!! Ответ: y )

29 ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «РЯДЫ» Основные требования к оформлению типовых расчѐтов Типовой расчѐт состоит из 6 задач по вариантов для каждой задачи) Номер варианта, сроки выполнения задания и срок защиты типового расчѐта устанавливаются для студентов преподавателем, ведущим в группе практические занятия по высшей математике Расчѐтно-пояснительный текст работы выполняется на отдельных листах формата А- чернилами или пастой любого цвета, кроме красного При выполнении чертежей должны быть использованы необходимые чертѐжные инструменты и принадлежности Чертежи выполняются так, чтобы основная часть чертежа находилась в центре листа После окончания работы все листы брошюруются В центре титульного листа должна быть помещена надпись следующего содержания: Министерство образования Российской Федерации СГГА Кафедра высшей математики ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Ряды» вариант Выполнил: студент группы Фамилия, Имя, Отчество Проверил: Фамилия, Имя, Отчество / учебный год г Новосибирск Каждая новая задача типового расчѐта должна начинаться с новой страницы, сами же задачи должны располагаться в порядке следования номеров; решению задачи должно предшествовать условие, которое формулируется не в общем виде, как в задании, а уже применительно к варианту, по которому работает студент должно сопровождаться подробными выкладками и необходимыми пояснениями В конце задачи должен быть чѐткий ответ

30 Вариант Типовые задачи Задача Исследовать на сходимость ряды! )! 6! rctg )! tg ) )! 7 si! 8 9! rcsi! )!! si 6 7 7! Исследовать на Исследовать на сходимость ряды сходимость и абсолютную сходимость c d )! ) ) rctg 9 si 8 ) rctg ) l l ) l ) ) ) e rcsi l l 9 ) l ) l l l e rctg l ) ) ) ) l ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) tg ) ) ) ) si ) tg ) ) ) ) ) )

31 Вариант 8 9 )!!!! )! ) si ! )!! )!! ) Задача l ) rcsi 6 l rcsi 9 rctg rcsi ) l ) 6 l ) 9 l e rctg 6 l l ) ) ) ) ) ) e ) ) ) ) si si ) l ) ) / ) ) 7 ) ) si ) c d Исследовать на Исследовать на сходимость ряды сходимость и абсолютную сходимость Найти область сходимости ряда Вариант Ряд Вариант Ряд ) ) ) ) ) ) l ) 7 )

32 ) ) ) ) ) )! ) ) ) ) )l )! ) ! ) ) ) ) ) Вариант Ряд Вариант Ряд Задача Вычислить приближенно данное выражение с указанной точностью Вариант Данное выражение Точность Вариант Данное выражение Точность e, 6, ) ) ) 7 ) ) ) ) ) )! ) cos d, l ) d, 7, 8, 8, si )d cos, 6,9 cos d,, 9 cos 8,, d, rctgd, cos ), 7 8, e d,

33 8 e d, l, 9,,, l e d )d rctg, 7 l, 8, 9 e d,,,, 6 rctg ),,, rctgd, rctg d, e d, 9 cos,,,, d, Вариант Данное выражение Точность Вариант Данное выражение Точность Задача Разложить данную функцию f) в ряд Тейлора в окрестности указанной точки, используя табличные разложения Указать область сходимости полученного степенного ряда Вариант Функция f) Точка Вариант Функция f) Точка - 6 ) 7 / - ) 8 cos - 9 si / ) ) / l ) 7 ) si ) - ) - l l ) -/ 7 ) e - 8 e 9 ) cos Вариант Функция f) Точка Вариант Функция f) Точка

34 Задача Разложить данную функцию f) в ряд Фурье в указанном интервале ; ) Интервал ; Интервал ; Вариант Функция f) Вариант Функция f) ) ) ; 6 ;,, ; 7 ; ; 8 ; 9 ;, ; ;, 6 ; ; 7,, 8 ; 9,, ; 6 + ; ; 8,, ; ; ; ; ; ; + ; ; 7 ; ; 9 ;, ;, ; Вариант 6 Задача 6 Функция f) Интервал ; ) Вариант,, Функция f) ; ; Интервал ; ) Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям Вариант Дифференциальное уравнение Начальные условия y rcsi y y ) y y l y ) y ) y y y ) y cos y y ) y y y ) ; y ), 6 y y y y ) ; y ) 7 8 y ye 9 y y cos e y ) ) y y y y ) y ; y )

35 y y ) y ) y si y y ) y )y y ) ; y ) y y e y ) y y y ) y y cos y ) ; y ) 6 y y 7 ) y y y ) y ; y ) 8 y tg y e y ) 9 y yy y ) ; y ) y y y y cos y y ) y y y ) y y e y ) y y y e y ) y y y y ) ; y ) ) y ; y ) 6 y y cos y ) 7 y l y y y ) 8 y y y ) ; y ) 9 y y e y ) y y e y ) Вариант Дифференциальное уравнение Начальные условия

36 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Числовой ряд, его частичные суммы Сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда Гармонический ряд Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии Необходимый признак сходимости ряда Знакоположительные ряды Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши 6 Знакопеременные и знакочередующиеся ряды Признак Лейбница Условная и абсолютная сходимости знакопеременных рядов 7 Степенные ряды, область сходимости, радиус сходимости Теорема Абеля 8 Теоремы о почленном дифференцировании и о почленном интегрировании степенных рядов 9 Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Маклорена для основных элементарных функций Приближенные вычисления с помощью степенных рядов Оценка точности Тригонометрические ряды Фурье Теорема Дирихле Ряд Фурье -периодической функции, коэффициенты Фурье Ряды Фурье для четных и нечетных функций Ряд Фурье функции с произвольным периодом

37 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах Т М: Высшая школа, с Запорожец ГИ Руководство к решению задач по математическому анализу М: Высшая школа, 96 с Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов Т М, 968 с Фихтенгольц ГМ Курс дифференциального и интегрального исчисления Т М: Наука, 97 8 с Чехонадских ВМ Ряды Типовой расчет Метод указания Новосибирск: СГГА, 98 6 Шмелев ПА Теория рядов в задачах и упражнениях М: Высшая школа, с


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И М Аксененкова ТР Игонина ОА Малыгина НС Чекалкин АГ Шухов Редактор: НС Чекалкин Математический анализ семестр

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8 9 ПО РЯДАМ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл Например Вы

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее