Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница"

Транскрипт

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница 00 г

2 Глава Ряды Числовые ряды Основные понятия Свойства числовых рядов 4 Необходимый признак сходимости числового ряда 4 Гармонический ряд 6 Ряд геометрической прогрессии 7 6 Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов 8 7 Знакопеременные ряды 8 Знакочередующиеся ряды 9 Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда 4 0 Экономические приложения числовых рядов 4 Степенные ряды Задачи для самостоятельного решения 7 Ответы 9 Литература

3 Глава Ряды Числовые ряды Основные понятия Числовым рядом или просто рядом) называется бесконечная сумма вида где - числа действительные или комплексные Слагаемые,,, называются членами ряда, - общий член ряда Ряд задан, если известно правило, по которому для каждого значения можно вычислить значение члена ряда Для этого необходимо задать функцию натурального аргумента, выражающую общий член ряда: f ),,, Например, члены ряда определяются как значения функции f ) Числовой ряд представлен бесконечной суммой, для этого необходимо соответствующее определение Сумма первых членов числового ряда называется частичной суммой ряда и обозначается :, Частичные суммы,,, образуют числовую последовательность Если существует конечный предел последовательности частичных сумм числового ряда, то этот предел называется суммой ряда Это значит, что В этом случае говорят, что числовой ряд сходится и называют ряд сходящимся Если же предел не существует или равен бесконечности, то ряд называют расходящимся Пример Найдем сумму ряда ) ) Частичная сумма ряда ) Каждое слагаемое представим в виде суммы простейших дробей по формуле: ) Тогда

4 В последнем выражении сокращаются все дроби кроме первой и последней В итоге получим Теперь можно вычислить Значит, ряд сходится и его сумма равна Пример Ряд расходится, так как его последовательность частичных сумм, 0,, 0, не имеет предела Свойства числовых рядов ) 4 Если ряд сходится и его сумма равна, то ряд где - число, также сходится и его сумма равна, Действительно, пусть ) и ) частичные суммы соответственно рядов и то, те Так как ) и ) ) ) ), ) ) ) Если сходится ряд к и сходится ряд к v, то сходятся и ряды v ), причем v ) v Доказательство этого свойства можно выполнить по аналогии с предыдущим Если от ряда отнять конечное число членов, то исходный ряд и полученный ряд m, m, сходятся или расходятся одновременно 4

5 Данное свойство примем без доказательства, пояснив его на примере Выше см пример ) было показано, что ряд ) сходится и его сумма равна Удалив из этого ряда первые 0 членов, получим ряд ) Исследуем сходимость этого ряда по определению Частичная сумма ) Далее, Следовательно, полученный ряд также сходится, но его сумма равна другому значению Дополнение к свойству Сходимость ряда не изменится, если к ряду добавить конечное число членов Необходимый признак сходимости числового ряда Вычисление частичной суммы и еѐ предела для произвольного ряда может быть сложной задачей Для выяснения сходимости числовых рядов применяют признаки сходимости Необходимый признак сходимости Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т е 0 Действительно, пусть ряд конечный предел его частичных сумм то и ) ) Далее, так как,, получим сходится и его сумма равна, те существует : Тогда и если, ) Следует отметить, что необходимый признак сходимости не позволяет определять сходимость рядов Так, если 0, то о сходимости ряда нельзя ничего сказать Но невыполнение необходимого признака указывает на расходимость ряда Если 0 или этот предел не существует, то ряд расходится Действительно, если бы ряд сходился, то по необходимому признаку 0 Пример Исследовать сходимость ряда Так как то ряд расходится , 0

6 Пример 4 Исследовать сходимость ряда e 0, Следовательно, данный ряд расходится Пример Исследовать сходимость ряда Предел общего члена равен нулю: 0 Составим частичную сумму и оценим еѐ Получили, что, поэтому Следовательно, ряд расходится 4 Гармонический ряд Ряд называется гармоническим Очевидно, что Но ряд расходится Покажем это Известно, что 6 e Отсюда следует, что при любом натуральном имеет место неравенство e Прологарифмируем это неравенство: l Отсюда l или l ) l Подставляя в последнее неравенство вместо числа,,,,, получим последовательность неравенств: 0

7 l, l l, l 4 l,, l ) l Сложив эти неравенства, получим в левой части частичную сумму: l ) Из последнего неравенства следует, что Следовательно, гармонический ряд расходится Ряд геометрической прогрессии Ряд геометрической прогрессии имеет вид q q q, где, q - действительные числа, причем 0 Ряд геометрической прогрессии используется при исследовании сходимости других рядов Для частичной суммы ряда имеет место формула: q ), q q Вычислим предел частичной суммы ряда: q ) q q q q Если q, то q 0 при и, значит, q Следовательно, ряд геометрической прогрессии сходится при q Если q, то геометрической прогрессии расходится при q и так как q при q, и Значит, ряд Если q, то при q ряд геометрической прогрессии принимает вид,,, значит, ряд геометрической прогрессии расходится При q ряд геометрической прогрессии принимает вид и при 0, а при Предел частичных сумм не существует и ряд геометрической прогрессии расходится Следовательно, ряд геометрической прогрессии сходится при q и расходится при q 7

8 Пример 6 Исследовать сходимость ряда Данный ряд ряд геометрической прогрессии как q, и его сумма равна 9 7 9, q ), он сходится, так 6 Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов Необходимый признак сходимости не позволяет сказать, сходится данный ряд или нет Сходимость или расходимость ряда можно установить при помощи достаточных признаков сходимости Рассмотрим знакоположительные ряды вида: 0) Признак сравнения Пусть заданы два знакоположительных ряда выполняется неравенство v и v, причем для всех Если сходится ряд v, то сходится и ряд ; если расходится ряд, то расходится и ряд Доказательство v что Обозначим частичные суммы рядов и v через ) и ) v) v) Из условия теоремы v следует, поэтому ) Пусть ряд v сходится и его сумма равна v, тогда v ) v и, значит, с учетом неравенства v и ) ),,,, монотонно возрастает 0 v ) v Члены этого ряда положительны, ) v Следовательно, последовательность ) и ограничена сверху числом v По признаку существования предела, последовательность ) имеет предел ), значит, ряд сходится Пусть ряд расходится Так как 0, то ) Тогда с учетом неравенства v имеем, что v ), следовательно, ряд v расходится Признак сравнения применим и в том случае, когда неравенство v выполняется не для всех членов рядов и v, а, начиная с некоторого номера N 8

9 Предельный признак сравнения Пусть даны два знакоположительных ряда отличный от нуля, предел v A,0 A, ) v и существует конечный, Тогда ряды и Доказательство v сходятся или расходятся одновременно По определению предела последовательности для любого 0 существует такой номер N, что для всех N выполняется неравенство Выполнив несложные преобразования: получим v A Av v, v Av v, A ) v A ) v Если ряд сходится, то по признаку сравнения сходится ряд A ) v Отсюда по свойству числовых рядов следует сходимость ряда Если же ряд v расходится, то по признаку сравнения расходится ряд A ) и по свойству числовых v рядов расходится ряд v Пример 7 Исследовать сходимость ряда Ряд Для любого натурального справедливо неравенство сходится, как ряд геометрической прогрессии q ), следовательно, сходится и исходный ряд по признаку сравнения Пример 8 Исследовать сходимость ряда Данный ряд будем сравнивать с гармоническим рядом расходящимся) Так как для любого натурального справедливо неравенство, то по признаку сравнения исходный ряд расходится 9

10 Пример 9 Исследовать сходимость ряда tg Применим предельный признак сравнения Исходный ряд сравним с гармоническим рядом Так как то исходный ряд расходится Признак Д Аламбера Пусть дан ряд tg 0, с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел q Тогда, если q, то ряд сходится, если q, то ряд расходится При q ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся Доказательство Так как q, то по определению предела для любого 0 найдѐтся такое натуральное число N, что при N выполняется неравенство или q q Пусть q, тогда можно выбрать настолько малым, чтобы выполнялось неравенство q p q, p Тогда p или p Это неравенство выполняется для всех N N, N, В силу свойства числовых рядов можно считать, что p,,, Из данного неравенства запишем цепочку неравенств: p,, p p q, 4 p p p, p Обозначим, т е для Отсюда следует, что члены ряда меньше соответствующих членов ряда p, который является рядом геометрической прогрессии со знаменателем p, а, значит, сходящимся рядом Поэтому на основании признака сравнения сходится ряд, следовательно, сходится ряд 0

11 q В этом случае q Пусть неравенство или Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, справедливо Следовательно, члены ряда возрастают с увеличением, поэтому 0 на основании следствия из необходимого признака сходимости числовых рядов ряд расходится Значит, Замечание Признак Д Аламбера рекомендуется применять, когда общий член ряда содержит выражение вида или! Пример 0 Исследовать сходимость ряда! Вычислим : )!! Следовательно, по признаку Д Аламбера ряд сходится Пример Исследовать сходимость ряда Применим признак Д Аламбера: : ) ) ) Ряд расходится Признак Коши Пусть дан ряд 0) и существует q Тогда ряд сходится при q и расходится при q Если же q, то вопрос о сходимости ряда остаѐтся не решѐнным Пример Исследовать сходимость ряда По признаку Коши Следовательно, ряд расходится Пример Исследовать сходимость ряда 0 Ряд сходится e

12 Интегральный признак Коши Пусть члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке ; функции f ) так, что f ), f ),, f ), Тогда, если f ) d сходится, то ряд сходится, если же f ) d расходится, то и ряд расходится Пример 4 Исследовать сходимость ряда Функция f ) удовлетворяет условию интегрального признака Действительно, эта функция непрерывна и так как f ) 0, то монотонно убывает на промежутке ; Кроме того, f ) Следовательно, можно применить интегральный признак Коши, для этого вычислим d d rctg rctg rctg 4 4 Так как несобственный интеграл сходится, то исходный ряд также сходится Пример Исследовать сходимость ряда l Функция f ) удовлетворяет условию интегрального признака на l промежутке ; докажите это) Применяя интегральный признак, вычислим d d ll ) l l Несобственный интеграл расходится, значит, и ряд 7 Знакопеременные ряды Ряд ll ) ll ) расходится l называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов Например, ряд знакопеременный si - Будем рассматривать также и ряд, из модулей членов исходного ряда:

13 Если ряд сходится, то сходится и ряд В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся Так как ряд с положительными членами, то для исследования его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки признаки сравнения, Д Аламбера, Коши, интегральный признак Коши) Если ряд сходящимся расходится, а ряд сходится, то ряд называется условно 8 Знакочередующиеся ряды Знакочередующимся рядом называется ряд вида: ) ), где 0, N Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Признак Лейбница Знакочередующийся ряд ) сходится, если последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, те, и общий член ряда стремится к нулю: 0 При этом сумма ряда удовлетворяет условию 0 Пример 6 Исследовать сходимость ряда ) Абсолютные величины членов этого ряда убывают: и 0 Значит, ряд сходится Если учесть, что ряд из модулей членов исходного ряда сходится докажите), то ряд ) сходится абсолютно Пример 7 Исследовать сходимость ряда Условия признака Лейбница для этого ряда выполнены и 0 ), значит, ряд сходится

14 Ряд из модулей членов исходного ряда расходящийся) Следовательно, ряд ) сходится условно 9 Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда - гармонический ряд Условие 0 дает удобную оценку погрешности, которая появляется при замене суммы ряда его частичной суммой ) ), r, r ) r -остаток, также ряд, сумма которого меньше первого члена, Пример 7 Вычислить приближѐнно сумму ряда ) ) r Данный ряд сходится абсолютно, так как ряд ) сходится Это можно доказать, применив признак Д Аламбера Вычислим сумму первых четырех слагаемых и оценим еѐ погрешность ,78 Погрешность r 4 0, 000 Значит, 0, 78 и все цифры верные 0 Экономические приложения числовых рядов В экономике бесконечные ряды и их суммы применяются в основном в теоретических исследованиях Предположим, что рассматривается задача о рыночной цене бессрочной облигации номиналом 000$ и -% купоном Это значит, что владелец этой облигации каждый год должен получать 0$ Необходимо определить истинную цену этой бесконечной последовательности платежей Любая валюта подвержена инфляции Если инфляция составляет % в год, то 0$, 0 которые получим через год, сейчас равны 0$, которые планируем получить через,0 0 года, сейчас равны и т д В итоге получаем, что бесконечный ряд платежей в 0$,,0) которые будем получать каждый год, сейчас эквивалентны сумме ряда 0,0) Применив формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим 0 0,0 00,0,0 0,0,0 4

15 Степенные ряды Степенным рядом называется 0 0, где - переменная, 0,,, - числа, называемые коэффициентами ряда Задавая переменной различные значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться Множество значений переменной, для которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда Любой степенной ряд сходится при 0 Исследования сходимости степенных рядов основаны на применении следующей теоремы Теорема Абеля Если степенной ряд 0 сходится при некотором значении 0 0, то он сходится абсолютно при любом 0 Если ряд расходится при некотором, то он расходится при всех Теорема Абеля позволяет определять множество точек сходимости степенного ряда Геометрическая иллюстрация теоремы состоит в следующем Если степенной ряд сходится в точке 0, то во всех точках интервала 0 ; 0 ) ряд сходится абсолютно, а если ряд расходится в точке, то он расходится во всех точках множества ; х ) х ; ) Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что при R ряд сходится, а при R ряд расходится Интервал R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля фактически следует, что радиус сходимости существует Если радиус сходимости R 0, то степенной ряд сходится только в одной точке 0 Если радиус сходимости 0 R, то степенной ряд сходится на интервале R ; R) В точках R, R ряд может сходиться и расходиться, для этих точек необходимы дополнительные исследования Если радиус сходимости R, то степенной ряд сходится на всей числовой оси Следовательно, областью сходимости может быть или единственная точка 0, или интервалы R ; R), R ; R], [ R ; R), [ R ; R], или вся числовая прямая Радиус сходимости степенного ряда можно находить с помощью признаков Д Аламбера и Коши: R, R Пример 8 Найти область сходимости степенного ряда Коэффициент общего члена ряда найдем по признаку Коши: ) ) и Радиус сходимости

16 R Следовательно, ряд сходится только в точке 0 Пример 9 Найти область сходимости степенного ряда 0 Коэффициенты этого ряда положительны: Радиус сходимости найдем по признаку Д Аламбера: R : Значит, ряд сходится на интервале ; ) Исследуем сходимость ряда на концах интервала При подстановке в степенной ряд получим знакочередующийся ряд: Этот ряд сходится по признаку Лейбница При получим гармонический ряд:, который расходится Следовательно, областью сходимости ряда является промежуток ; Пример 0 Найти область сходимости степенного ряда 0!! Коэффициенты этого ряда положительны: Радиус сходимости найдем по! признаку Д Аламбера: R : )! )! Значит, ряд сходится на всей числовой прямой Пример Найти область сходимости степенного ряда ) х ) ) После замены переменной t получим степенной ряд t Коэффициенты этого ряда: Радиус сходимости найдем по признаку Д Аламбера: ) R : ) 6

17 Значит, ряд сходится на интервале ;) Исследуем сходимость ряда на концах ) ) интервала При t получаем ряд Это знакочередующийся ряд, который сходится в соответствии с признаком Лейбница При t получаем гармонический ряд, который расходится Следовательно, областью сходимости степенного ряда промежуток [ ;), те ряд сходится при всех t [ ;) Для исходного ряда ) этот ряд сходится при любых [ ; ) t является областью сходимости является промежуток [ ; ), Задачи для самостоятельного решения В задачах -0, применяя частичные суммы ряда, найти сумму ряда или установить его расходимость ) ) 4 7 ) ) ) ) 7 ) ) ) В задачах -0 исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости числовых рядов Найти предел общего члена ряда: Если 0, то ряд расходится 6 7 si ) l В задачах -0 исследовать сходимость ряда, применяя признаки сравнения числовых рядов Указать общий член ряда, с которым выполняется сравнение cos

18 7 9 si tg 7 В задачах -40 исследовать сходимость ряда, применяя признак Д Аламбера Указать значение 7 )! 4 ) 6 )! )! 8! ) )!!)! 9 40! В задачах 4-0 исследовать сходимость ряда, применяя признак Коши Указать значение cos rctg l ) si ) 49 0 В задачах -60 исследовать сходимость ряда, применяя интегральный признак Указать значение ) d ) 8

19 )l 8 ) 4 l l l l 9, p 0 60 p В задачах 6-70 исследовать сходимость знакочередующегося ряда Указать применяемый признак ) ) ) ) ) ) 68 ) ) ) ) ) l )! В задачах 7-80 найти область сходимости степенного ряда ) ) ! 78 ) ) ) 80 0! 0 0 ) ) Ответы Расходится 4 Расходится , ряд расходится , ряд расходится 4 4 4, ряд расходится 7 7 4, ряд расходится 9

20 si не существует, ряд расходится 6 cos, ряд расходится 7 e, ряд расходится e 4, ряд расходится ) 7 9 не существует, ряд расходится 0 l l, ряд расходится,, ряд расходится, 4 ряд расходится, ряд расходится 4, ряд расходится, ряд расходится6, ряд 7 расходится 7, ряд сходится 8, ряд сходится 9, ряд расходится 0, ряд сходится, ряд сходится, ряд расходится 0, ряд, ряд сходится 6, ряд сходится 70, сходится 4, ряд расходится ряд сходится 8 4, ряд расходится 9 e, ряд сходится 40 e, ряд сходится 4, ряд сходится 4 7, ряд расходится 4, ряд сходится 44, ряд сходится 4, признак Коши не дает результата 46 0, ряд сходится 47 e, ряд сходится 48, ряд сходится 49 0, ряд сходится 0 0, ряд сходится, ряд e сходится, ряд расходится, ряд сходится 4, ряд сходится rctg, ряд сходится 6, ряд расходится 7, ряд расходится 8, ряд расходится 9 Ряд расходится при 0 p и сходится при p 60, ряд расходится 6 Сходится абсолютно, интегральный признак 6 Сходится абсолютно, интегральный признак 6 Сходится условно, признак Лейбница 64 Сходится условно, признак Лейбница 6 Сходится абсолютно, интегральный признак или признак сравнения 66 Сходится абсолютно, интегральный признак или признак сравнения 67 Сходится абсолютно, ряд геометрической прогрессии 68 Сходится абсолютно, признак сравнения с рядом геометрической прогрессии 69 Сходится абсолютно, интегральный признак 70 Сходится абсолютно, признак Д Аламбера 7 ; ) 7 4;4) 7 [ ; ) 74 [ ; ) 7 ; ] 76 ;) 77 ; ) ; ] 80 ; ] 0

21 Литература Гусак АА Высшая математика Т, Мн, БГУ, 998 г Гусак АА Задачи и упражнения по высшей математике Т, Мн, Высш школа, 988 г Гусак АА Задачи и упражнения по высшей математике Т, Мн, Высш школа, 988 г 4 Лунгу КН и др Сборник задач по высшей математике курс, М: 00 г Общий курс высшей математики для экономистов Под ред проф ВИ Ермакова, 007 г 6 Красс МС, Чупрынов БГ Основы математики и ее приложения в экономическом образовании 00г 7 Красс МС Математика для экономических специальностей 999 г 8 Солодовников АС и др Математика в экономике Ч М,00 г


Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и задания по высшей математике для

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n Тема 9 Пусть дана числовая последовательность { } {, 2,..., 1...}. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: 1 2 3...... 1 Упрощенно : ряд это «бесконечная» сумма. { } Вместе с последовательностью

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

Лекция 4. Рис.1. называется знакоположительным, если a

Лекция 4. Рис.1.  называется знакоположительным, если a С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Знакопостоянные и знакочередующиеся ряды Рис http://casioru/educatio/program/serie/ Знакопостоянные ряды Ряд a называется знакоположительным, если a 0, и знакоотрицательным,

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Несобственные интегралы 1.Определения, теоремы и формулы для решения задач.

Несобственные интегралы 1.Определения, теоремы и формулы для решения задач. Несобственные интегралы.определения, теоремы и формулы для решения задач. Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций называются несобствнными интегралами I и II рода соответственно.

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее