Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики"

Транскрипт

1 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики и информатики Ряды Практикум по математическому анализу Самара Самарский государственный технический университет 2

2 УДК Ряды: практикум по математическому анализу / Г.Ф. Егорова, М.Н. Саушкин, О.С. Афанасьева; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2.,64 с. В практикум по математическому анализу включены задания и методические указания к ним по темам «Числовые ряды», «Функциональные ряды» и «Cтепенные ряды». Пособие предназначено для студентов специальности «Прикладная математика и информатика». Библиогр.: 3 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ Рецензент: к.ф.-м.н. А.А. Заусаев c Г.Ф. Егорова, М.Н. Саушкин, О.С. Афанасьева, 2 c Самарский государственный технический университет, 2

3 Предисловие Предлагаемый практикум по математическому анализу «Ряды» предназначен для студентов специальности «Прикладная математика и информатика», а также для студентов инженерных специальностей. Целью опубликования этой работы является углубление знаний и выработка навыков решения задач по темам «Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов», «Признаки сходимости знакопеременных рядов», «Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов», «Степенные ряды». Практикум содержит методические указания к решению задач [, 2] и варианты индивидуальных заданий [3]. Практикум состоит из трех частей. В первой части представлены основные теоретические положения, относящиеся к данным темам, во второй части приведены примеры решения типовых задач с подробными выкладками, а в третьей приведены варианты заданий для самостоятельной работы студентов. 3

4 Часть. Теоретическая часть Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.. Общие понятия и определения Определение... Пусть a произвольные элементы линейного пространства L, в котором определена сходимость, N. Рядом элементов a называют выражение a + a a +... = a, () а элементы a его членами. В частности, если a R или a C, то ряд () называют числовым. Определение..2. Сумма первых членов ряда () называется частичной суммой и часто обозначается через S, т. е. S = a + a a, Определение..3. Если существует конечный предел lim S = S, S L, то ряд () сходится в L, а элемент S называют суммой ряда. Если lim S = или не существует, то ряд () называют расходящимся. Определение..4. Ряд k=+ a k, a k L, (2) 4

5 называется ным остатком ряда () или остатком после го члена. Определение..5. Пусть a R. Если a, то ряд () называют положительным; если a >, N, то ряд () называют строго положительным..2. Необходимое условие сходимости ряда Для того чтобы ряд (), сходился в L, необходимо, чтобы lim a = θ, θ L, где θ нулевой элемент линейного пространства L..3. Критерий Коши Пусть L есть R или C. Для того чтобы ряд (), сходился в L, необходимо и достаточно, чтобы ε > такое, что > p N выполнялось бы неравенство S +p S = a + + a a +p < ε..4. Обобщенный гармонический ряд Определение.4.. Числовой ряд называется обобщенным гармоническим рядом, а при p = гармоническим. Он сходится при p > и расходится при p..5. Признаки сравнения числовых рядов p Теорема.5.. Если ряды (), и b (3) 5

6 положительны и a b >, то из сходимости ряда (3) вытекает сходимость ряда (), а из расходимости ряда () вытекает расходимость ряда (3). Теорема.5.2. Если ряды a и b строго положительны и > выполняются неравенства a + a b + b, то справедливы выводы предыдущей теоремы. Теорема.5.3. Если ряды a и b строго положительны и a lim = c, b < c <, то они сходятся или расходятся одновременно. Теорема.5.4. Если при a = O ( p ), то при p > ряд (), сходится, а при p расходится..6. Признаки д Аламбера и Коши Если ряд (), строго положителен и a + lim = L, a то при L < этот ряд сходится, а при L > расходится. При L = ряд (), также расходится, а если L =, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (признак д Аламбера в предельной форме). Если ряд () положителен и lim a = L, 6

7 то относительно сходимости ряда () делаем те же выводы, что и в признаке д Аламбера (признак Коши в простейшей предельной форме)..7. Признак Раабе Если ряд () строго положителен и ( ) lim a = p, a + то при p > он сходится, а при p < расходится. При p = ряд () сходится, а если p =, то для выяснения вопроса о его сходимости или расходимости следует применять другие признаки..8. Признак Гаусса Если ряд (), строго положителен и a = λ + µ a + + θ, +ε λ, µ = cost, где ε >, θ < c, то при λ > ряд () сходится, а при λ < расходится. Если же λ =, то ряд сходится при µ > и расходится при µ..9. Интегральный признак Коши Маклорена Если функция f неотрицательна при x > и не возрастает, то ряд f() сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом f(x)dx. 7

8 Признаки сходимости знакопеременных рядов.. Абсолютная и условная сходимость ряда Определение... Ряд a называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд a, где a R или C. Определение..2. Если ряд a сходится, а ряд a расходится, то ряд a называется условно сходящимся. Теорема..3. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Теорема..4. Если ряд сходится абсолютно к сумме S, то члены ряда можно переставлять в любом порядке и сумма переставленного ряда также будет равна S. Теорема..5.(Римана) Если ряд сходится условно, то путем соответствующей перестановки его членов можно получить ряд с наперёд заданным значением суммы (при этом не исключается ± )... Признак Лейбница Если a = ( ) b, b, и последовательность (b ), начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, то ряд a сходится. Для остатка такого ряда справедлива оценка: R = ( ) θ b +, θ, >. 8

9 .2. Признак Абеля Ряд a b (4) сходится, если сходится ряд a и последовательность (b ) есть монотонная и ограниченная..3. Признак Дирихле Ряд (4) сходится, если последовательность (b ), начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда a ограничена..4. Ассоциативное свойства ряда Члены сходящегося ряда можно группировать произвольно; при этом сумма ряда не изменяется. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.5. Понятие равномерной сходимости последовательностей рядов Определение.5.. Последовательность функций (f ), f : X R(C), N, называется сходящейся поточечно к функции f: X R(C), если при каждом фиксированном x X числовая последовательность (f (x )) сходится к числу f(x ), т. е. ε > N = N(ε, x ) такое, что > N справедливо неравенство f (x ) f(x ) < ε. 9

10 Функция f называется предельной для последовательности (f ). Определение.5.2. Последовательность функций (f ), f : X R(C), N, называется равномерно сходящейся к функции f: X R(C) на множестве X, если ε > N = N(ε) такое, что > N x X выполняется неравенство f (x) f(x) < ε. В этом случае пишут f f(x) на X. Определение.5.3. Функциональный ряд u k (x) = u (x) + u 2 (x) u k (x) +..., (5) k= где u k : X R(C), X X, называется сходящимся поточечно на множестве X к своей сумме S(x), x X, если сходится поточечно последовательность его частичных сумм (S (x)), т. е. x X lim S (x ) = S(x ). Определение.5.4. Функциональный ряд (5) называется равномерно сходящимся к своей сумме S(x) на множестве X, если последовательность частичных сумм (S (x)) этого ряда равномерно сходится на X к S(x)..6. Критерий Коши Для равномерной сходимости ряда (5) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы ε > N = N(ε) такое, что > N p N x X выполнялось неравенство S +p (x) S (x) < ε..7. Важнейшие достаточные признаки равномерной сходимости рядов Мажорантный признак Вейерштрасса. Если a k R такие, что x X справедливы неравенства u k (x)

11 k= a k, k N, и ряд a k сходится, то ряд (5) сходится равномерно на X. Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда a k (x) равномерно ограничены на X, т. е. M > такое, k= что x X N выполняется неравенство S (x) = a k (x) M, а функциональная последовательность k= (b (x)) удовлетворяет двум условиям: а) x X: b + (x) b (x) > ; б) b (x) на X при, то функциональный ряд a k (x)b k (x) (6) k= сходится равномерно на X. Признак Абеля. Ряд (6) сходится равномерно на X, если ряд a k (x) сходится равномерно на X, а функции k= b k удовлетворяют двум условиям: а) M > такое, что x X k N выполняется неравенство b k (x) M; б) x X последовательность (b k (x )) монотонна при k > k..8. Непрерывность предельной функции и суммы ряда Если последовательность непрерывных функций (f ), f : X R(C), сходится равномерно на X к функции f: X R(C), то f непрерывна на X. Если все члены ряда u k (x) непрерывны на X и ряд сходится равномерно на k= X к сумме S(x), то функция S непрерывна на X.

12 .9. Почленный предельный переход в рядах и функциональных последовательностях Если функциональный ряд (5) сходится равномерно в некоторой окрестности точки x и если lim u k (x) = c k, x x k N, то числовой ряд c k сходится, причем k= lim x x u k (x) = k= c k. k= Если последовательность функций (f ), N, равномерно сходится в окрестности точки x и N lim f (x) = x x A, то последовательность чисел (A ), N, также сходится и ( ) ( ) lim lim f (x) = lim lim f (x). x x x x.2. Предельный переход под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда Если последовательность интегрируемых функций (f ), f : [a, b] R, N, сходится равномерно на [a, b] к функции f: [a, b] R, то x [a, b]: x x f (t)dt x x f(t)dt x [a, b],. Если ряд (5) члены которого интегрируемы на [a, b], сходится равномерно на [a, b], то справедливо равенство x x S(t)dt = x k= x u k (t)dt, 2

13 т. е. ряд (5) можно почленно интегрировать на отрезке [x, x] [a, b]..2. Предельный переход под знаком производной и почленное дифференцирование ряда Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций (f ), f : [a, b] R, N, сходится к функции f: [a, b] R, а последовательность (f ), N, сходится равномерно к функции ϕ: [a, b] R, то функция f также дифференцируема на [a, b] и f (x) = ϕ(x) = lim f (x), т. е. допустим предельный переход под знаком производной. Если ряд (5) с непрерывно дифференцируемыми членами сходится на [a, b], а ряд производных σ(x) = u k(x) k= сходится равномерно на [a, b], то сумма ряда (5) дифференцируема на [a, b], причем на этом отрезке выполняется равенство S (x) = σ(x) = u k(x), k= т. е. ряд (5) можно почленно дифференцировать. Степенные ряды.22. Круг и радиус сходимости степенного ряда Определение.22.. Ряд вида a (z a), (7) 3

14 где a, z, a C, называется степенным рядом; a коэффициенты степенного ряда (они не зависят от z), a фиксированная точка на комплексной плоскости. Теорема Каждый степенной ряд сходится абсолютно внутри некоторого круга z a R, где радиус круга R определяется по формуле Коши Адамара, если < l = lim a <, l R =, если l =,, если l =, или по формуле R = lim a a +, (8) если этот предел существует хотя бы в несобственном смысле. Вне круга z a R ряд (7) не сходится ни в одной точке z C. Вопрос сходимости ряда (7) в точках окружности z a = R, R >, остается открытым и решается отдельно для каждого ряда. В случае, когда a, z, a R, внутренность круга сходимости вырождается в интервал (a R, a + R), R >, на действительной прямой. При R = круг вырождается в точку z = a, а при R = представляет комплексную плоскость (или числовую прямую, если ряд (7) действителен)..23. Основные свойства степенных рядов Сумма степенного ряда внутри круга сходимости представляет собой непрерывную функцию. Если ряд (7) действительный и на конце его интервала сходимости z = R + a, R >, расходится, то сходимость ряда на интервале [a, R + a) не может быть равномерной. 4

15 Если действительный степенной ряд сходится при z = R + a, R >, то сходимость ряда будет равномерной на отрезке [a, R + a]. Сумма действительного степенного ряда внутри интервала сходимости имеет производные любого порядка. Теорема.23.. (Абеля) Если действительный степенной ряд сходится в точке z = R + a, R >, то его сумма S(z) представляет собой значение непрерывной слева функции в этой точке, т. е. S(R + a) = lim S(z) = a R. z R+a Аналогичные утверждения справедливы и для левого конца интервала сходимости..24. Разложение функции в ряд Тейлора Определение.24.. Пусть f: (a R, a + R 2 ) R, R i >, i =, 2. Говорят, что функция f раскладывается в степенной ряд на интервале (a R, a + R), где < R mi(r, R 2 ), если a R, Z, такие, что x (a R, a + R) справедливо равенство f(x) = a (x a). Теорема (Тейлора). Для того чтобы функция f могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (a R, a + R), R >, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируема и остаточный член в форме Тейлора для этой функции стремился к нулю при на указанном интервале. Разложение имеет вид f(x) = k= f (k) (a) (x a) k. (9) k! 5

16 Функция f, разлагающаяся в ряд Тейлора, называется аналитической и ее разложения (9) единственно. Практически важным являются случаи представления остаточного члена разложения (9) в форме Лагранжа R (x) = f(x) и в форме Коши k= f (k) (a) (x a) k = k! = f (+) (a + θ(x a)) (x a) + ( + )! R (x) = f (+) (a + θ (x a)) ( θ ) (x a) +,! где < θ <, < θ <..25. Разложение основных элементарных функций Полагая в формуле (9) a =, получаем пять основных разложений: ) e x = x, x < ;! 2) si x = ( ) x 2+, x < ; (2 + )! 3) cos x = ( ) x 2, x < ; (2)! 4) ( + x) m = + m(m )... (m + ) x, <! x < ; 5) l( + x) = ( ) x, < x <. Разложения ) 3) справедливы для всех комплексных значений x, разложение 4) выполняется при x <, m R, а равенство 5) при x, x. 6

17 .26. Операции над степенными рядами Ряды a (z a) и b (z a) всегда имеют общее множество сходимости и внутри этого множества справедливы следующие операции сложения и умножения: λ a (z a) + µ b (z a) = a (z a) b (z a) = (λa + µb )(z a) ; c (z a), где c = a b + a b a b ; λ, µ числа. Если степенной ряд (5) действителен, то внутри интервала сходимости его можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать; при этом интервал сходимости полученного таким образом ряда совпадает и интервалом сходимости исходного ряда. Соответствующие формулы имеют вид: ( ) a (x a) = ( + )a + (x a) ; ( ) a (x a) dx = a + (x a)+ + C. 7

18 Часть 2. Методические указания к решению задач. Найдите сумму следующих рядов: a) ; b) ( + )( + 2)( + 3). Решение. a) Квадратный трёхчлен знаменателя имеет корни 2/7 и 2/7, поэтому общий член ряда как правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей: a = = Найдём частичные суммы ряда: ( S = 5 ) ( ) ( ) ( ) = Легко видеть, что S = lim S = 3. b) Представим данный ряд методом неопределённых коэффициентов в виде разности двух рядов: ( + )( + 2)( + 3) = = 3 2 ( + 2)( + 3) 2 ( + )( + 2). 8

19 Далее каждый ряд разложим на сумму простейших, в результате получим: S = lim N N ( + 2)( + 3) = ( ( 3 ) ( ) = lim N + ( N + 2 ) ) = N ; S = lim N N ( + )( + 2) = ( ( 2 ) ( ) = lim + S = S + S = 5/6. Ответ: a) S = 3/; b) S = 5/6. ( N + ) ) = N ; 2. Исследуйте сходимость следующих рядов: a) d) f) cos 2 ( + ) ; b) si ; 4 arctg 2 π 4 ; e) ( ( ) cos ). =2 ( 2 ) l ; 9 3! ;

20 Решение. a) Так как cos2 ( + ) ( + ), то данный ряд сходится по первому признаку сравнения. b) Поскольку lim =, то используя эквивалентность бесконечных малых можем записать, что сходится, следовательно исходный ряд схо- Ряд дится. si 4/ = ( ) o 4/3 Ряд сходится по признаку д Аламбера: a + a = 3 ( + a +, lim = 3 ) a e >. d) Ряд сходится по радикальному признаку Коши: a = 4 lim arctg 2 π 4, arctg2 π 4 = π o ( 2 ), 4 =, lim e) Можно оценить общий член ряда: a = π =. ( 2 ) l l = b. 2

21 Ряд из b расходится по интегральному признаку, так как 2 dx x l x = lim l l x B =. B 2 Ряд из a по первому признаку расходится. f) По признаку Лейбница ряд сходится условно: a = cos = ( ) 2 + o. Ответ: a) сходится; b) сходится; сходится; d) сходится; e) расходится; f) сходится условно. 3. Вычислите сумму следующего ряда с точностью до α: ( ) + 2, α =,. Решение. Погрешность суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого из отброшенных членов, поэтому найдём количество членов ряда достаточное для заданной погрешности из соотношения Отсюда + 2, =. S =,63. Ответ: S, Докажите справедливость равенства (ответом служит число ρ, получаемое при применении признака д Аламбера или признака Коши) lim ( ( + 2)! ) 2 =. 2

22 Решение. Необходимым признаком сходимости ряда является стремление к нулю общего члена ряда, поэтому если доказать, что ряд ( ( + 2)! ) 2 сходится, то тем самым будет доказано и данное соотношение. По признаку д Аламбера a ( + ρ = lim = lim + ) + a ( + 3) =. 2 Ответ: ρ =. 5. Найдите области сходимости следующих функциональных рядов: a) ( ) ( x) ; b) /3 ( 3 + ) 4 2 x ; 3 /2 tg x; d) (x + 2) (2 + )3. Решение. a) При всех x = k N числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства R (x) < u + (x), т. е. R (x) < ( + x) /3. Если x, то R (x) < 3 +. Так как неравенства 3 + ε и равносильны, то, взяв N N, ε 3 где N, приходим к неравенству R ε 3 (x) < ε. Если x (k, k +), то R (x) < 3 k. Взяв N N, где N +k, также приходим к неравенству R ε 3 (x) < ε. 22

23 Итак, данный ряд сходится равномерно при x R \ N. b) Применим радикальный признак Коши, полагая Тогда u = 3 /2 tg x. u = tg x 3 ; tg x < 3; lim u = tg x 3 < ; π 3 + πk < x < π 3 + πk. То есть ряд сходится внутри найденных интервалов, причём равномерно. Чтобы исследовать сходимость на концах интервалов, необходимо выяснить сходятся ли соответствующие численные ряды. Левым границам интервалов соответствует условно сходящийся ряд ( 3) /2 ( ) = 3 /2. На правых границах ряд расходится. Таким образом область равномерной сходимости ряда будет иметь вид π 3 + πk x < π 3 + πk, k Z. Применим радикальный признак Коши, полагая Тогда u = ( 3 + ) 4 2 x. ( u = 3 + ) { 4 x ; lim, x > u =, x. 23

24 Итак, данный ряд сходится равномерно при x >. d) Применим признак д Аламбера, полагая Тогда u + = u = (x + 2) (2 + )3. (x + 2)+ ; lim (2 + 3)3+ u + u = x <. То есть, ряд сходится равномерно при x ( 5, ). При x = 5, получаем числовой ряд, который сходится условно по признаку Лейбница, при x = получается расходящийся числовой ряд. Итак, данный ряд сходится равномерно при x [ 5, ). Ответ: a) x R \ N; b) x [ π/3 + πk, π/3 + πk), k Z; x (, ); d) x [ 5, ). 6. Исходя из определения докажите равномерную сходимость ряда на отрезке [, ]. При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит, для любых x из отрезка [, ]? ( ) x Решение. При каждом x [, ] последовательность { } u, где u = 3 x 6, имеет предел, равный нулю, и монотонно убывает, так как функция ϕ(t) = x 3 t3 6 убывает для каждого x [, ], поскольку при t, ϕ (t) = x 3 4 (t 6) 3 <. 24

25 Итак при всех x [, ] ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства R (x) < u + (x), т. е. R (x) < x + 3 ( + )3 6 3 ( + )3 6. Так как неравенства 3 (+) 3 6 ε и 3 ε равносильны, то, взяв N N, где N 3 ε 3 + 6, приходим к неравенству R (x) < ε. При ε =, имеем N 3 6 9,2. Ответ: = Для данного функционального ряда постройте мажорирующий ряд и докажите равномерную сходимость на заданном отрезке: (x 3) 2, x [2, 4]. + Решение. На отрезке [2, 4] заданный ряд мажорируется числовым рядом +. По признаку Вейерштрасса заданный ряд сходится равномерно на отрезке [2, 4]. Ответ: ; исходный ряд сходится равномерно + по признаку Вейерштрасса. 8. Найдите суммы следующих функциональных рядов: a) =2 + ( ) ( ) x ; b) (2 2 + )x. 25

26 Решение. a) Представим исходный ряд в виде суммы двух рядов: S(x) = =2 x ( ) + ( ) x ( ). Оба степенных ряда сходятся равномерно в интервале (, ). Первый ряд несложно преобразовать к разложению функции l( x): x =2 x ( ) =2 = x l( x). Второй ряд сначала продифференцируем: ( =2 ( ) x ) ( ) x = ( ) ( ) =2 = l( + x). Теперь для нахождения суммы исходного ряда проинтегрируем l( + x): l( + x)dx = x l( + x) x l( + x) + c. Таким образом S(x) = x l + x x + l( + x). x Здесь c =, так как S() =. b) Исходный ряд сходится равномерно в интервале (, ). Отметим, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле x = x. () 26

27 Продифференцируем ряд из левой части () и получим следующее соотношение: ( ) x = x = x x. () Теперь продифференцируем ряд из правой части (): ( ) x = 2 x = x Из () следует, что аналогично из (2), вычисляется 2 x. (2) ( ) x x = x = x ( x), (3) 2 ( 2 x x ) x(x + ) = x = ( x) 2 ( x). (4) 3 Таким образом с использованием (), (3) и (4) получаем S(x) = 2x(x + ) ( x) + x ( ) 3 ( x). 2 x Ответ: a) S(x) = x l + x x + l( + x); x 2x(x + ) b) S(x) = ( x) + x ( ) 3 ( x). 2 x 9. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x (2 e x ) 2 27

28 Произведем возведение в квадрат, получим следующее выражение для нашей функции 4 4e x + e 2x, учитывая известное разложение e x = x!, можем сразу записать разложение для заданной функции (2 e x ) 2 = 4 4 x! + x 2!. 2. Вычислить интеграл с точностью до, si x 2 dx Воспользуемся разложением функции si x, данный интеграл будет заменен на интеграл от суммы степенных функций si x 2 dx (x 2 x6 3! + x 5!... ( ) x 2+2 ) dx = (2 + )! = x3 3 x7 3!7 + x 5!... = Учитывая, что ряд знакопеременный, можем утверждать (теорема Лейбница), что погрешность его суммы не будет превышать по модулю первого из отброшенных членов. Поэтому для достижения требуемой точности можем ограничиться суммой из 2 членов ряда si x 2 dx 3 42 =,

29 Часть 3. Варианты индивидуальных заданий Вариант. Найдите сумму следующих рядов: a) ; b) =3 4 5 ( )( 2). 2. Исследуйте сходимость следующих рядов: a) si 2 ; b) ; =2 + 2 ( )! ; d) ( ) 2 ; e) 3 + =2 l 2 (3 + ) ; f) ( ) ( + ). 3. Вычислите сумму следующего ряда с точностью до α: ( ) + 3, α =,. 4. Докажите справедливость равенства (ответом служит число ρ, получаемое при применении признака д Аламбера или признака Коши)! lim =. 5. Найдите области сходимости следующих функциональных рядов: a) ( ) (x + ) ; b) /5 9 x2 si(x + π); 29

30 2 2 x 2 exp( 2 /(x ) 3 ) ; d) ( 2) 3 (x + 3) Исходя из определения докажите равномерную сходимость ряда на отрезке [, ]. При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит, для любых x из отрезка [, ]? x ( ) Для данного функционального ряда постройте мажорирующий ряд и докажите равномерную сходимость на заданном отрезке: x + cos x 3, x [, 2] Найдите суммы следующих функциональных рядов: a) ( ( ) + ) x ; b) ( )x Разложите функцию f(x) в ряд Тейлора по степеням x: f(x) = 9 2 x x 2.. Вычислите интеграл с точностью до,:, exp( 6x 2 )dx. 3

31 Вариант 2. a) = ; b) + 6 ( + 3)( + 2). 2. a) si 2 + ( ) 3 ; b) tg ; (!) ; d) f) a) 6. ( + ) 2 ; e) 4 ( ). ( ) a) ( ) +! ( ) 2 l 2 (2 + ) ;, α =,. 4. lim (2)! =. l (x + /) (x e) ; d) x ( ) 5 6. ( x ) ; 4 b) + x x4 si(2x π); 7. x 2 (2 3)(2 2) ; b) =2, 9. f(x) = x 2 4 5x.. (x 3) ( ) ( + )5. x, x [ 3/2, 3/2]. 2 ( )x. si(x 2 )dx. Здесь и далее формулировка заданий совпадает с формулировкой заданий первого варианта. 3

32 Вариант 3. a) ; b) ( + )( + 3). 2. a) cos 2 (π/2) ( + )( + 2) ; b) l ; 2 + ( 3 + ) ; d) ( + )! ( ) 2 ; e) (2 + 3) l 2 (2 + ) ; f) =2 ( ) + l( + ). 3. ( ) + (2), α =,. 3 2!! 4. lim =. 5. a) + (3x 2 + 4x + 2) ; b) a) ( + 2 ) 5 (x+) 2 ; d) ( ) 4 6. x x, x [ 2, 2]. ( ) + ( + 2 (x ) 2 9. ) x +2 ; b) 32 3 x4 cos(x + π); ( )x +3.

33 9. f(x) = l( x 6x 2 ).. Вариант 4. a) ; b) cos x 2 dx. 4 2 ( 2 )( 2). 2. a) l 3 ; b) 7 si ; 2! (2)! ; d) ( 2 ) ; 4 e) (3 5) l 2 (4 7) ; =3 f) 3. =3 4. lim 5. a) ( ) (l l ) l. ( )!(2 + ), α =,. (2) (2 )! =. + 3 (x2 4x+6) ; b) ( 5 3 ) x 2 cos(x π); 2 x exp x ; d) ( + ) 5 x ( ) x x ), 3 x [ + ( 2 2, 3 2 ]. 33

34 8. a) ( ) x 2 4 (2 ) ; b) ( )x f(x) = 2x cos 2 x 2 x..,5 dx 4 + x 4. Вариант 5. a) ; b) ( + )( + 3). 2. a) 2 + ( ) l ; b) arctg 3 ; =2 (2 + 2)! ; d) ( ) 2 ; e) lim 5. a) (3 + 4) l 2 (5 + 2) ; f) ( ) ( + ), α =,. (2)! =. 2 2! x x ; b) ( ) x 4 si(3x + π); exp ( x ) 2 ; d) (x 2)2 ( ). 2 34

35 a) x ( ) 4 5. x!, x [ 2, 2 ]. + ( ) 2 + x2+ ; b) sh 2x 9. f(x) = 2. x, exp 2x. dx. x Вариант 6. a) 2. a) ; arctg +( ) ; b) b) =3 ( )x. 3 5 ( 2 ). ( 2 + 3) l 4 ; + 5 si 2! 3 ; d) ( ) ( + ) 3 ; e) 3 + (2 + ) l 2 ( 5 + 2) ; f) 3. =3 4. lim 5. a) ( ) ( + ) l. ( ) (2 + )!, α =,. (!) = (27x 2 + 2x + 2) ; b) 35 6 x2 si(5x π);

36 a) ( + ) 3 (x ) ; x ( ) 5 9. (x 3) d) (x 5) , x [, 6]. 5 ( ( ) ) x ; b) ( )x f(x) = 2 + x x. 2 l( + x 5. ) dx. x Вариант 7. a) ; b) ( + 2)( + 3). 2. a) (2 + cos π) ; b) si 2 ; arctg 5 ;! d) ( 4 3 ) 3 ; e) 5 + ( 2 + ) l 2 ( 3 + ) ; f) 3. =3 ( ) l( + ). ( ) 2, α =,. 36

37 4. lim 5. a) (2)!! =. 5 2 x + x ; b) x 2 cos(x + π); a) 5 3 si(x 2 +) ; d) x ( ) 3 4. =2 9. f(x) = (x 2). ( ) (x 3) (2 + ), x [2, 4]. + ( ) x ( ) ; b) ( )x +2.,5 x x. dx x 3. Вариант 8. a) ; b) =3 ( 2 4). 2. a) =2 arcsi ; b) 2 + cos 3 + si ; 3! ; d) ( + 5 ) 2 ; e) =5 ( 2) l( 3) ; f) 37 ( )

38 3. 4. lim 5. a) a) ( ) 2 3, α =,. 2! =. 2 + (3x 2 + 8x + 6) ; b) l (x ) ; ( ) x d)! x. (π x) cos 2 x 4, x [, π] ( ) x 2+ ; b) f(x) = l( + x 6x 2 )..,2 Вариант 9. a) =2 exp 3x2 dx ; b) 9 2 x2 si(3x π); ( )x. 3 2 ( + )( + 2). 2. a) si ; b) cos 2 6 ; (2)! tg 5 ; d) arcsi π 4 ; e) (2 ) l(2) ; f) ( ) si π

39 3. 4. lim 5. a) a) ( ) (2 ) 2 (2 + ) 2, α =,. ( + )! =. ( + x + 3 x 5 x arctg ( ) 6. (x ) 2 ) ; b) 2 x 3 si x ; x 7 x (x ) ; d) x 9, x [, 3]. x ( + ) ; (x + 5) 2 4 (2 ). b) ( )x f(x) = (x ) si 5x..,2 Вариант. a) si(25x 2 )dx ; b) =3 + 2 ( )( 2). 2. a) =2 l ; b) 5 si ; + 6 ( 2 ) ;! d) ( + 2 ) 2 ; e) 3 ( + ) l(2) ; f) ( ) cos π 6. 39

40 3. 4. lim 5. a) a) ( ) (2 + )!!, α =,. (2 + )! =. (x 2 6x + 2) ; b) 4 ( 2 + ) l (x + 2) ; ( )!(x + 3) 9. f(x) =.,5 Вариант. a) 2. a) =2 x d), x [ 5, ]. (x 7) 2 (2 2 5) x si x 2 ; ( ) x (2 + ) ; b) ( )x. ch 3x x 2. cos(4x 2 )dx ; arccos ( ) + ; b) b) =3 3 arctg 5 2 ( )( + 2). π 4 ; 2 ( + 2)! ; d) ( ) 5 ; e) =2 (3 ) l ; f) si.! 4

41 3. 4. lim 5. a) ( ) (2)!!, α =,. (2 )!! =. ( ; b) + ) 2x+ 2 3 x si 2x ; a) ( + 5 ) 3 x 2 ; d) x ( ) 7. (x 2) (3 + )2. ( ) (x 2) 2, x [, 3]. ( + ) 2 l( + ) x 2+2 (2 + )(2 + 2) ; b) 6 9. f(x) = 8 + 2x x. 2 dx x 4 Вариант 2. a) 2. a) ; cos ; b) b) 2 l ; (2 )x ( + 2)( + ). (!) 2 ; d) ( ) 2 ; e) =2 (2 ) l( + ) ; f) ( ) l(2). =3 4

42 3. 4. lim 5. a) ( 2, α =,. 5) 8. a) x (3) (2 )! =. ( ) (x + ) ; b) 3 l (x + e) ; x ( ) 6 8. d), x [ 3, 3].! 9. f(x) =.,2 Вариант 3. a) 2. a) =2 =2 ( ) ( x. e x dx. x ; l 2 3 ; b) =2 3 x 3 si 3x ; 3(x 2) 3 (5 8) 3. ) x ; b) b) si ( + )( + 2). ; ( 2 + )x. 7 2 (2 )! ; d) ( ) ( ) 2 ; e) 4 =2 42 (2 3) l(3 + ) ;

43 f) lim 5. a) ( ) tg. ( ) 7, α =,. (3)! =. 2 2 ( ) 3 ; b) x + 3 x tg 3x ; a) e 2 si(x 2 +) ; d) ( ) x x 2 (4 3), x [, 2 2 ( ) x + ( + ) ; 9. f(x) = l( x 2x 2 ).,4 l( + x 2. ) dx. x (x + 5) tg 3. 2 ]. b) (2 2 )x. Вариант 4. a) ; b) =3 + 5 ( 2 )( + 2). 2. a) (2 + si( π)); b) arctg ; 43

44 3. 4. lim 5. a) 6. 7.! (3!) ; d) =2 ( ( 2, α =,. 3) 8. a) (!) 3 =. (x 2 5x + ) ; b) 5 ( 2 + 5) ( ) + e x cos x ; ( ) 2 3. x ) 2 ; e), x [ 2, 2]. 3 l e x ; =2 ( + 2) l 2 ; f) cos. 2 8 x 3 tg x 4 ; d) si 2 + (x 2). b) ( )x f(x) = (3 + e x ) 2. 2 dx x 3 Вариант 5. a) ; b) =3 8 ( )( 2)( + ). 2. a) = ( ) si π; b) (e );

45 e) 3. =2 4. lim 5. a) a) (2 ) ; d) 3 ( + )! ( + 3) l 2 (2) ; f) ( ) (2)!, α =,. 5 (2)! =. ( + x) ; b) ( 3 + ( ) ( + )2 2. x 3 tg 2x 3 ; (l( + ) + l l x) ; d) x e e x ( ) 8 2. (x + 5) 2 2 4, x [ 7, 3]. x 2 2(2 ) ; 9. f(x) = arcsi x. x.,3 Вариант 6. a) e 2x2 dx ; ) 2+; 9 (x ) 2. b) ( )x. b) 45 =3 3 ( 2 ).

46 2. a) l ; b) 2 + l ;! ; d) ( ) 2 ; e) 3. =2 4. lim 5. a) a) (2 + 3) l 2 ( + ) ; f) ( ), α =,. 3! 2 3 =.! ( + x) ; ( ) + l x ; d) x ( ) 6 7. (x + 2) 2 b) 3 2 x 2., x [ 3, ]. [ ( ) + ] x 2 ; b) 7 9. f(x) = 2 x x. 2,4 ( 5x ) 2dx.. si 2 cos π 3 2 x 3 arcsi x 3 ; 46 ( ) l (2 2 2)x +.

47 Вариант 7. a) ; b) =3 4 ( )( 2). 2. a) + si π 2 2 ; b) 3 arctg 3 ; e) =3 (!) 2 (3 + )(2)! ; d) l( ) ; f) 2 + ; ( ) ( ). ( + ) 3 2 ( ) (2 + ) 3., α =,. (2)!! ( + 2)! 4. lim =. ( ) 5. a) (x + ) ; b) 6 x 3 arcsi 3 x ; a) l (x + e ); x ( ) 5 8. d) (x + 2) 2. ( ) x, x [ 2, 2 ]. ] [ + ( )+ x ; b) 47 ( )x.

48 9. f(x) = x 2 4 3x..,2 Вариант 8. a) cos(25x 2 )dx ; b) ( + )( + 3). 2. a) cos 2 π ; b) 3 l 3 + ;! si π 2 ; d) 2 si π 2 ; e) 3. =2 4. lim 5. a) l(3 ) ; f) ( ) 2!, α =,. (2 )! =. + x x ; b) si x l x ; x ( ) 6. d) ( + ) 4 x 2, x [ 2 + 2, 2 ]. ( ) x 5 arcsi x ; 5 ( + )! (x + 5)2+. 48

49 8. a) ( ) + ( + )x + ; b) ( )x f(x) = l( + 2x 8x 2 ).,5 dx x 4 Вариант 9. a) ; b) =2 5 2 ( )( + 2). 2. a) (2 + cos π) 2 4 ; b) =3 3 tg 5 π ; ( + )! ; d) =2 3 (l ) ; e) 3. =5 4. lim 5. a) ( 2) l( 3) ; f) ( ) 3!, α =,. (2 + )!! =. + x ; x b) ( ) ( + 3). l( + 4) 2 x arctg 2x + ; ( ) + e si x ; d) (3 2)(x 3) ( + )

50 a) x ( ) 4 7. (x 2)2 ( ), x [ 3 2, 5 2 ]. ( ) x + ( + )( + 2) ; b) ( )x f(x) = 2x si 2 ( x 2 ) x..,4 Вариант 2. a) e x 2 dx. x ; b) ( + )( + 2). 2. a) (2 + si π 4 ) 2 ctg ; b) =2 + ( 3 )( 4 3 ) ; ( + )! ; d) ( ) 3 ; 3 e) 3. =4 4. lim 5. a) (3 ) l( 2) ; f) ( ) (2)!!, α =,. (2) (2 + )! =. ; x2 b) 2 x 3 arctg 5 ( ) +. 3 x 2( + 3) ;

51 a) ( ) 5 2 arcta( x ) ; d) x ( ) 5 7. (x + 5) =2 2, x [ 6, 4]. si x ( ) ; 9. f(x) = (x ) sh x., l( + 2x). dx. x Вариант 2. a) 2. a) ; si ; b) (x 5) ( + 4) l( + 4). b) ( )x +. b) ( cos π ) ; ( + )( + 2). 2! ; d) 3 arctg π 3 ; e) 3. =2 4. lim ( + 5) l 2 ( + ) ; f) cos π 3 ( + ), α =,. (4)! 2 2 =. 5 ( ) tg π 4. 5

52 2 5. a) 2 ( 2 + ) (25x2 +) ; b) a) ( ) 3 2 l(+ x ) ; d) x ( ) 7 3. x 2+ 2(2 + ) ; =2 27 x 3 arctg 3x ; ( + 2) l( + 2)(x 3) 2. (x 2), x [, 3]. (2 )2 b) ( )x f(x) = 6 + x x. 2 2,5 dx x 3 Вариант 22. a) = ; b) =3 2 ( + )( + 2). 2. a) l 5 + ; b) 3 si ; e) =2 5 ( + )! ; d) (2)! 3 l2 ( + 7) ; f) 5 3 (2 + ) ; ( ) (2 + )

53 3. 4. lim 5. a) a) ( ) 4 (2 + ), α =,. (( + )!) =. 3 2 x 2 + ; b) 2 ( cos x e x ( ) ) ; d) x =5 8 2 si3 x; 2 2 (x + 2). (x + ) si 2 x, x [ 3, ]. + ( + ) x ; b) + 9. f(x) = x x..,4 Вариант 23. a) 2. a) =2 =3 e 3x2 4 dx ; 2 l + 3 l 2 ; b) b) =2 ( )x. + 6 ( + )( + 2). ( e 3 ); 3 ( + 2)!4 ; d) 2 e ; 53

54 e) 3. 2 ( 3 + ) l ; f) =2 4. lim 5. a) a) si( π 2 + π) 3, α =,. 3 ( ) si( ). = (3x 2 + x + 9) ; b) 8 2 si 3 x; x arcsi x 3 x ; d) x ( ) 3 5. x, x [, ]. ( + 2) x +2 ( + )( + 2) ; b) 9. f(x) = l( + x 2x 2 )..,5 si(4x 2 )dx. (x 4) 2 +. ( 2 2 )x +. Вариант 24. a) ; b) =3 2 ( )( + ). 2. a) 3 arctg π 2 ; b) 2 si ( + ) 2 ; 54

55 e) = (2 + ) (3 ) ; d) ( ( 2 3) l 2 ; f) ( ) 2 3. ( + ), α =,.! 4. lim =. 2 2 ( ) 5. a) x + 2 ; b) a) 2x arctg ( ) ( ) 2 + cos( +4 ). 2 si 2 (2x); x 2 ; d) 5 x x. x (x + 5) , (2 + ( ) si 3x 9. f(x) = cos 3x. x,4 ( 5x ) 2dx.. cos 2 Вариант 25. a) ; x [ 6, 4]. ) x ; b) b) =2 55 ) 2; ( )x. ( 2 ).

56 2. a) si ( π si π 4 ); b) si 2π 2+ ; (3 2) (2 + 5) ; d) ( ) 2 ; e) 3. =4 4. lim 5. a) a) ( ) f) 3 l2 ( ); 2 ( ) ( + ), α =,. ( ) si π 2. ( + 3)! =. (x + )(x + + ) ; b) ( ) 2 x 2 x 2 l x 2 + ; ( ) , x [ 2, 2]. d) =5 x 2 (2 2)(2 ) ; b) =2 9. f(x) = arctg x. x 2 dx x (x + 3). 3 tg2 x; ( 2 2 2)x +.

57 Вариант 26. a) ; b) ( + )( + 3). 2. a) =2 2 cos 2π ; b) ; 2! ; d) +2 ( ; (2 2 + ) 2 e) 3. =2 4. lim 5. a) a) ( 2 + 5) l ; f) ( ) 2 + si 2. si( π + π) 2, α =,. 3 + (2 + 3)! =. x + x ; b) 2 ( l x ) e l x ; 2 ( ) x si (3x); 4 (x + ) 2 d). (si π ) (x 2), x [, 3]. 2 =2 x ( ) ; b) ( )x. 57

58 5 9. f(x) = 6 x x. 2,5 dx x 3 Вариант 27. a) ; b) =3 3 + ( )( + ). 2. a) 3 + ( ) 2 +2 ; b) (e ) 2 ; (3 + 2)! 2 ; d) ( 3 ) 2; e) 3. =2 4. lim 5. a) 6. 3 ( ) l ; f) ( ) 3 ( + 3), α =,. (2 + 3)!! =. x ( + e x ) ; l x ; ( ) d) x b) si 3 ( ) si2 x; (2 + 9) 5 (x + 2) 2. 58

59 7. 8. a) (x ), x [, 2]. 2 ( + 3) ( ) + cos + x ; b) ( + ) 9. f(x) = 4 6 5x. 2,5 dx x 4 Вариант 28. a) 2. a) ; ) arctg (2 + ( ) ; b) l( + ) b) ( )x +. 4 ( + )( + 2). si 3 4 ; e) =2 = ; d) ( )! ( + ) 2 2 ; + (5 2 9) l( 2) ; f) ( ) l ( + ) lim 5. a) cos(π) ( 3 + ) 2, α =,. (5) (2 + )! =. ( ) ( e x )( 2 + ) ; b) 3 tg (2x); 59

60 a) ( ) 5 l x 2 ; d) ( ) (x + ) 2 x =5 4, x [, ]. ( ) + tg x ; b) ( + ) 9. f(x) = l( x 2x 2 ). dx x (x + 4). (2 + )x +2. 6

61 Список используемой литературы. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды. Учеб.пособие / Под редакцией Л.Д. Кудрявцева. - М.: Наука, c. 2. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Том 2. Ряды. М.: УРСС, c. 3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М.: Высшая школа, c. 6

62 Содержание Часть. Теоретическая часть 4.. Общие понятия и определения 4.2. Необходимое условие сходимости ряда 5.3. Критерий Коши 5.4. Обобщенный гармонический ряд 5.5. Признаки сравнения числовых рядов 5.6. Признаки д Аламбера и Коши 6.7. Признак Раабе 6.8. Признак Гаусса 7.9. Интегральный признак Коши Маклорена 7.. Абсолютная и условная сходимость ряда 8.. Признак Лейбница 8.2. Признак Абеля 9.3. Признак Дирихле 9.4. Ассоциативное свойства ряда 9.5. Понятие равномерной сходимости последовательностей рядов 9.6. Критерий Коши.7. Важнейшие достаточные признаки равномерной сходимости рядов.8. Непрерывность предельной функции и суммы ряда.9. Почленный предельный переход в рядах и функциональных последовательностях.2. Предельный переход под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда 2.2. Предельный переход под знаком производной и почленное дифференцирование ряда Круг и радиус сходимости степенного ряда Основные свойства степенных рядов Разложение функции в ряд Тейлора Разложение основных элементарных функций Операции над степенными рядами 6 62

63 Часть 2. Методические указания к решению задач 8 Решение задачи Решение задачи Решение задачи Решение задачи Решение задачи Решение задачи Решение задачи Решение задачи Решение задачи Часть 3. Варианты индивидуальных заданий 29 Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант

64 Вариант Вариант Вариант Вариант


Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Р о д и н а Т. В., Т р и ф а н о в а Е. С., Б о й ц е в А. А.

Р о д и н а Т. В., Т р и ф а н о в а Е. С., Б о й ц е в А. А. К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и Р о д и н а Т. В., Т р и ф а н о в а Е. С., Б о й ц е в А. А. Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т П О М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М У А Н А Л И З У д л я н а п р а в л

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет им СА Есенина» ЛГ Насыхова, МТ Терехин ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности Часть I Лекция (4.09.5) Числовые ряды и последовательности Информация о семестре. Темы: (a) Ряды (b) Теория функций комплексных переменных. Литература: (a) Воробъев Н.Н. - Теория рядов (b) Вся высшая математика

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Тема: Ряды в комплексной плоскости

Тема: Ряды в комплексной плоскости Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости Лектор Янущик О.В. 217 г. 9. Ряды в комплексной плоскости 1. Числовые ряды Пусть задана последовательность

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее