и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды» Ростов на Дону 2007

2 Р. М. Г а в р и л о в а, Г. С. К о с т е ц к а я. Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды». Ростов н/д: УПЛ ЮФУ, Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от апреля 2007 г. (протокол )

3 Оглавление 1 Функциональные последовательности и ряды Свойства функциональных последовательностей и рядов Степенные ряды Функциональные свойства степенного ряда Разложение функций в степенные ряды Разложение основных элементарных функций в степенные ряды Применение степенных рядов Литература

4 п. 1 Функциональные последовательности и ряды Рассмотрим последовательность {f n (x)}. Членами этой последовательности являются функции, определенные на некотором [a, b]. Зафиксируем произвольно {f n ( )}. [a, b] и рассмотрим числовую последовательность Определение 1. Последовательность {f n (x)} называется сходящейся в точке x =, если сходится числовая последовательность {f n ( )}. Если {f n (x)} сходится в любой точке [a, b], то очевидно, что ее пределом будет некоторая функция переменного x, которую мы обозначим f(x). Определение 2. Последовательность {f n (x)} называется сходящейся к функции f(x) на [a, b], если для ε > 0 N = N(ε, x) : f(x) f n (x) < ε, n > N = N(ε, x). Определение 3. Последовательность {f n (x)} называется равномерно сходящейся к функции f(x) на [a, b], если для ε > 0 N = N(ε) : f(x) f n (x) < ε, n > N = N(ε), x [a, b]. Понятие равномерной сходимости имеет простую геометрическую интерпретацию: f(x) ε < f n (x) < f(x) + ε, n > N(ε). (1) y y = f(x) + ε y = f(x) y = f(x) ε 0 a b x Двойное неравенство (1) утверждает, что все функции данной последовательности, начиная с некоторого номера N, зависящего только от ε, попадут в нарисованную криволинейную полосу шириной 2ε сразу на всем протяжении [a, b]. 4

5 sin nx Пример 1. Пусть f n (x) =, x (, + ). Покажем, что {f n(x)} n 5/7 сходится равномерно к f(x) 0. Действительно, зададим ε > 0 и укажем N = N(ε): f n (x) f(x) = sin nx n 5/7 1 < ε n5/7 при n > N. Значит n 5/7 > 1 [ ] 1 ε n > N =. ε 7/5 Поскольку N зависит только от ε, то данная последовательность сходится к f(x) 0 равномерно на всей прямой. Пример 2. Пусть f n (x) = x n, x [0, 1]. Предельной функцией является 0, x [0, 1) f(x) = 1, x = 1 Нарисуем график этой предельной функции. y 1 ε ε 0 1 x ε ε Из графика предельной функции f(x) и геометрической интерпретации равномерной сходимости следует, что в данном примере сходимость последовательности {f n (x)} к функции f(x) равномерной не будет, так как каким бы большим мы не выбрали номер n все функции f n (x) «выскочат» за пределы горизонтальной полосы шириной 2ε, чтобы попасть в точку (1, 1). Пример 3. Пусть f n (x) = Рассмотрим 2nx 1 + n 2 x2, 0 x < ; f(x) 0. f(x) f n (x) = 2nx 1 + n 2 x 2. Найдем максимальное значение этого отклонения ( 2nx 1 + n 2 x 2 ) x = 2n(1 + n2 x 2 ) 2nx 2n 2 x (1 + n 2 x 2 ) 2 = 2n 2n3 x 2 (1 + n 2 x 2 ) 2; 5

6 2n 2n 3 x 2 = 0 1 n 2 x 2 = 0 x = 1 ( ) 2nx n = n 2 x 2 max Отсюда следует, что сходимость данной последовательности к функции f(x) равномерной не будет. Все сказанное выше легко распространяется на функциональные ряды. Рассмотрим ряд u k (x), (2) где u k (x) есть некоторые функции, определенные на [a, b]. Рассмотрим функциональную последовательность частичных сумм n S n (x) = u k (x), {S n (x)}. Определение 4. Ряд (2) называется сходящимся на [a, b] к S(x), если на этом сегменте последовательность его частичных сумм {S n (x)} сходится к функции S(x), то есть ε > 0 N = N(ε, x) : S(x) S n (x) = где S(x) = u n (x). n=1 u k (x) < ε, n > N(ε, x), Определение 5. Ряд (2) называется равномерно сходящимся на [a, b] к функции S(x), если ε > 0 N = N(ε) : S(x) S n (x) = n > N(ε), x [a, b]. u k (x) < ε, Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда. Сначала введем вспомогательное утверждение. Наряду с (2) рассмотрим числовой ряд a k. (3) 6

7 Определение 6. Ряд (3) называется мажорирующим для функционального ряда (2) на [a, b], если имеет место неравенство u k (x) a k, k, x [a, b]. Теорема 1 (мажорантный признак Вейерштрасса). Ряд (2) будет равномерно сходиться на [a, b], если для него на этом отрезке существует сходящийся мажорирующий ряд (3). Доказательство. Зададим произвольное ε > 0 и покажем, что Оценим N = N(ε) : u k (x) u k (x) u k (x) < ε, n > N(ε). a k <, n > N(ε) (так как (3) сходится, то для выбранного ε > 0 N = N(ε), такой что будет выполняться a k < ε, n > N(ε)). Значит, в силу определения 5, данный ряд сходится равномерно. Пример 4. n=1 cos n 2 x n 3/2, < x <. Воспользуемся признаком Вейерштрасса: u n (x) = cos n 2 x n 3/2 1 n = a n, 3/2 Очевидно, что мажорирующий ряд a n = n=1 x (, + ). n=1 исходный ряд сходится равномерно на всей прямой. 1 n 3/2 сходится (α = 3/2 > 1) Пример 5. ( 1) k+1, 0 x <. x + k 7

8 Построим мажорирующий ряд u k (x) = 1 x + k 1 k. Ряд 1/k расходится. Значит, равномерная сходимость исходного ряда неизвестна. Воспользуемся тем, что исходный ряд знакочередующийся, следовательно для него справедлива следующая оценка S S n u n. В нашем случае S S n = ( 1) k+1 x + k 1 x + n 1 n < ε, n > N = [ ] 1. ε Таким образом, мы нашли номер N(ε) и, следовательно, исходный ряд сходится равномерно по определению 5. Значит признак Вейерштрасса носит достаточный характер и не является необходимым условием сходимости. п. 2 Свойства функциональных последовательностей и рядов Теорема 2 (непрерывность). I. Если все члены функциональной последовательности {f n (x)} непрерывны на [a, b] и {f n (x)} сходится равномерно на этом сегменте, то предельная функция f(x) также непрерывна на [a, b]. II. Если все члены ряда u k (x) непрерывны на [a, b] и ряд сходится равномерно на этом сегменте, то сумма этого ряда S(x) также непрерывна на [a, b]. Доказательство. Докажем I. Покажем непрерывность f(x) в любой точке x (a, b). Воспользуемся определением непрерывности по Коши. Зададим произвольное ε > 0 и найдем такое δ(ε), что будет выполняться f(x + x) f(x) < ε, x < δ. Оценим разность f(x + x) f(x) = f(x + x) f N+1 (x + x) + f N+1 (x + x) f N+1 (x) + f N+1 (x) f(x) f(x + x) f N+1 (x + x) + + f N+1 (x + x) f N+1 (x) + f N+1 (x) f(x) < (4) 8

9 В силу равномерной сходимости функциональной последовательности первое и третье слагаемые могут быть сделаны меньше ε/3 каждое и это будет при n > N(ε), x [a, b]. Оценим второе слагаемое, для чего воспользуемся непрерывностью функции f N+1 (x) в точке x. По выбранному ε найдется такое δ, зависящее от ε, что будет выполняться неравенство f N+1 (x + x) f N+1 (x) < ε, x < δ(ε). 3 Возвращаясь к исходному неравенству (4), получим < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, x < δ. Докажем утверждение II. Рассмотрим последовательность частичных сумм {S n (x)}, S n (x) = k u k (x). Заметим, что каждый член этой последовательности, то есть каждая функция S n (x) непрерывна на [a, b], как сумма конечного числа непрерывных функций. Кроме того, по условию теоремы ряд u k (x) сходится равномерно на [a, b], что означает равномерную сходимость последовательности {S n (x)} на этом сегменте. Поэтому в силу I предельная функция S(x) этой последовательности {S n (x)} (являющаяся в то же время суммой функционального ряда) будет функцией непрерывной на [a, b]. Теорема доказана. Замечание 1. Равномерная сходимость функциональной последовательности или функционального ряда является достаточным условием непрерывности предельной { функции} или суммы ряда. Например, рассмотрим 2nx последовательность, члены ее непрерывны на всей прямой. А 1 + n 2 x 2 выше (см. пример 3) мы показали, что она не является равномерно сходящейся. Тем не менее, предельная функция f(x) 0 очевидно является непрерывной на всей прямой. Теорема 3 (интегрируемость). Если все члены ряда u k (x) непрерывны на [a, b] и ряд сходится равномерно на [a, b], то сумма ряда S(x) ин- 9

10 тегрируема на [a, b] причем где, x [a, b]. S(x) dx = u k (x) dx, (5) Доказательство. В силу предыдущей теоремы функция S(x) непрерывна на [a, b] и следовательно все интегралы, фигурирующие в равенстве (5), существуют. S(x) = Отсюда, интегрируя, имеем S(x) dx S(x) dx n ( n n u k (x) + ) u k (x) dx = u k (x) dx = u k (x). ( ( ) u k (x) dx = ) u k (x) dx. (6) Воспользуемся теперь равномерной сходимостью ряда. Зададим произвольно ε > 0, по нему найдется N, так чтобы u k (x) < ε, n > N, x [a, b]. Тогда ( ) u k (x) dx x u k (x) dx < ε dx ε(x ) ε(b a). Возвращаясь к равенству (6), запишем n S(x) dx u k (x) dx < ε(b a) = ε 1, n > N. x Отсюда следует, что число S(x) dx является пределом переменной величины n x u k (x) dx, что и означает справедливость равенства (5). 10

11 Теорема 4 (дифференцируемость). Если все функции u k (x) непрерывно дифференцируемы на [a, b], причем ряд u k (x) сходится, а ряд u k (x) сходится равномерно на [a, b], то сумма ряда u k (x) = S(x) дифференцируема на [a, b] и имеет место равенство S (x) = u k(x). (7) Доказательство. Напомним, что непрерывная дифференцируемость u k (x) на [a, b] означает, что на [a, b] существуют u k (x) и они непрерывны на [a, b]. Рассмотрим ряд u k (x). Так как его члены непрерывные на [a, b] функции и ряд по условию теоремы сходится равномерно, то сумма этого ряда S (x) = u k (x) в силу предыдущей теоремы интегрируема на [a, b]: S (t) dt = = u k(t) dt = u k (t) x = x 0 u k (x) u k ( ) = S(x) S( ), (8) где S(x) сумма ряда u k (x). Воспользуемся свойством интеграла с переменным верхним пределом: x S (t) непрерывна на [a, b] S (t) dt дифференцируемая функция переменного x на этом сегменте, причем справедливо равенство: ( x ) d S (t) dt = S (x). dx Поэтому продифференцировав равенство (8) по x, мы получим: что и требовалось доказать. S (x) = (S(x) S( )) = S (x), 11

12 п. 3 Степенные ряды ряды: Частным случаем общих функциональных рядов являются степенные a k (x ) k = a 0 + a 1 (x ) + a 2 (x ) , (9) где a k заданные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; некоторая фиксированная точка. Мы будем рассматривать также частный случай, когда = 0: a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 (x) (10) Очевидно, что всякий ряд (10) сходится в точке x = 0, поскольку он вырождается в постоянную a 0 ; а ряд вида (9) сходится в точке x =. Пример 6. x k k! ; a k = 1 k!. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, используя признак Даламбера: x k+1 k! 1 lim = x lim k (k + 1)! x k k k + 1 = 0, x (, + ). То есть данный ряд сходится абсолютно на всей прямой. Пример 7. Аналогично примеру 6: k! x k, a k = k!. x k+1 (k + 1)! lim k x k k! = x lim k (k + 1) =, x 0. Ряд сходится только в одной точке x = 0. Теорема 5 (первая теорема Абеля). Если ряд a k x k сходится в некоторой точке x 1 0, то он сходится абсолютно во всякой точке x, такой что x < x 1. Если ряд расходится в точке x 2, то он расходится для всех x: x > x 2. 12

13 Доказательство. Рассмотрим числовой ряд a k x k 1, он сходится по условию, поэтому a k x k 1 0 при k, то есть последовательность {a k x k 1} сходится, значит она ограничена, то есть M > 0: a k x k 1 M, k. Покажем теперь абсолютную сходимость исходного ряда для всех x: x < x 1. Воспользуемся признаком сравнения: a k x k = a kx k x k 1 = a kx k 1 x k 1 ( ) k x M x 1 x Ряд M ( x/x 1 ) k сходится, так как x/x 1 < 1 геометрическая прогрессия со знаменателем q < 1, следовательно исходный ряд сходится абсолютно. Пусть теперь x > x 2, покажем что в этом случае степенной ряд расходится. Предположим, что это не так и ряд a k x k сходится при x > x 2, но тогда по только что доказанному выше этот ряд должен сходиться в точке x 2, что противоречит условию теоремы. Значит, наше предложение не верно и ряд расходится при x > x 2. Замечание 1. Из теоремы следует, что если ряд a k x k сходится в некоторой точке x = α, то он сходится также на интервале ( α ; α ). x 1 k. Теорема 6 (об области сходимости). Если область сходимости степенного ряда (10) не стягивается в точку x = 0 и не вырождается во всю прямую, то существует такой интервал ( R; R), во всех точках которого ряд сходится абсолютно; вне сегмента [ R; R] ряд расходится; в точках x = ±R нужны дополнительные исследования. Интервал ( R; R) называют интервалом сходимости степенного ряда; число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Если область сходимости вырождается в точку x = 0, то полагают R = 0; если область сходимости есть вся прямая ( ; + ), то считают R =. (без доказательства) Выведем формулы для вычисления радиуса сходимости. 13

14 Теорема 7. Пусть существует предел Тогда 1) если l = 0, то R = ; 2] если l =, то R = 0; a k+1 lim k a k = l. 3) если 0 < l <, то R = 1/l. Доказательство. Рассмотрим a k x k и исследуем его на абсолютную сходимость, пользуясь признаком Даламбера. a k+1 x k+1 a k+1 lim = x lim k a k x k k a k = x l. 1) пусть l = 0, тогда для любого конечного x, x l = 0 < 1 и ряд сходится абсолютно на всей прямой, R =. 2) пусть l =, тогда для x 0, x l > 1 и ряд расходится во всех точках, кроме x = 0, то есть R = 0. 3) пусть 0 < l <, тогда сходимость будет иметь место для всех x < 1/l 1/l < x < 1/l, следовательно, для этих x ряд будет сходиться абсолютно, то есть R = 1/l. Теорема 8. Если lim k k a k = l, тогда 1) если l = 0, то R = ; 2) если l =, то R = 0; 3) если 0 < l <, то R = 1/l. (без доказательства.) Обобщая теоремы 7 и 8, мы можем записать следующие формулы для вычисления радиуса R = lim n a n a n+1 ; R = lim n 1 an. (11) Отметим, что формулы (11) можно применять только к полным рядам, т. е. у которых a n 0 n. Если это не так, то к самому степенному ряду применяют признаки Даламбера или Коши. 14 n

15 Пример 8. Исследовать на сходимость ряд n=1 Воспользуемся признаком Даламбера 2 n n! n n x2n. u n (x) = 2n n! n n x2n ; u n+1 (x) = 2n+1 (n + 1)! (n + 1) n+1 x2n+2 ; lim u n+1 (x) n u n (x) = lim 2 n+1 (n + 1)! x 2n+2 n n n (n + 1) n+1 2 n n! x 2n = 2 x 2 lim = 2 x 2 1 lim ( ) n n = 2 x 2 e. n n n! (n + 1)n n (n + 1) n (n + 1)n! = Если 2 x 2 /e < 1, то ряд сходится абсолютно, то есть x < e/2 или e/2 < x < e/2 интервал сходимости. Исследуем сходимость на концах: e 2 n n! e n x = = 2 2 n n n n=1 n=1 n! e n n n. Проверим необходимое условие сходимости, используя формулу Стирлинга n! 2π ( n e ) n, n. Имеем u n = n! en n n n 2πn n n e n при n, следовательно, ряд расходится. e n n n = 2πn 0 Аналогично на конце x = e/2 ряд расходится. п. 4 Функциональные свойства степенного ряда Теорема 9 (вторая теорема Абеля). Степенной ряд a k x k сходится равномерно на всяком [α, β], целиком принадлежащим интервалу сходимости ( R; R). 15

16 Доказательство. Выберем произвольно ( R; R), так чтобы > max{ α ; β }. Очевидно ряд a k x k 0 сходится абсолютно, кроме того для любого x [α, β] имеет место неравенство a k x k a k x k 0. Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд a k x k сходится равномерно на [α; β]. Если степенной ряд сходится на каком-то интервале, то его сумма будет функцией переменного x, обозначим ее S(x) = a k x k. Теорема 10 (непрерывность суммы). Сумма степенного ряда S(x) есть функция непрерывная во всякой точке x, принадлежащей интервалу сходимости ( R; R). Доказательство. Выберем произвольное x ( R; R). Рассмотрим [α; β] такой, что [α; β] ( R; R) и x [α; β]. Так как по теореме 9 ряд a k x k сходится равномерно на [α; β] и члены ряда a k x k есть функции непрерывные на [α; β], то в силу соответствующей теоремы (теорема 2) для общих функциональных рядов функция S(x) непрерывна на [α; β], следовательно и подавно в точке x. Теорема 11 (интегрируемость суммы). Сумма степенного ряда S(x) есть функция интегрируемая на ( R; R), причем имеет место равенство и ряд 0 S(t) dt = a k k + 1 xk+1 a k k + 1 xk+1 (12) имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Доказательство. Пусть x ( R; R). Рассмотрим [α; β] такой, что [α; β] ( R; R) и x [α; β]. Как и в предыдущей теореме ряд a k x k сходится 16

17 равномерно; члены ряда функции непрерывные и, следовательно, по теореме 3 для общих функциональных рядов степенной ряд можно интегрировать почленно. Теперь покажем что R = R, где R радиус сходимости ряда (12), а R радиус сходимости ряда a k x k. Вычислим R, используя первую из формул (11) R = lim a n n n + 1 : a n+1 n + 2 = lim n a n n + 2 a n+1 n + 1 = lim a n n a n+1 = R. Теорема 12 (дифференцируемость суммы). Функция S(x) есть функция дифференцируемая во всякой точке интервала сходимости, причем имеет место равенство и радиус сходимости ряда S (x) = ka k x k 1 ka k x k 1 (13) совпадает с радиусом сходимости исходного ряда. Доказательство. Прежде всего докажем, что радиус сходимости ряда (13) (обозначим его R ) совпадает с радиусом сходимости исходного ряда (R). (11) a n R = lim n a n+1 ( + 1) = lim a n n a n+1 = R. Теперь докажем дифференцируемость S(x) в произвольной точке x ( R; R). Рассмотрим [α; β] ( R, R), такой что x [α; β]. Для этого сегмента выполнены все условия теоремы 4 о дифференцируемости общего функционального ряда. Поэтому S(x) можно дифференцировать и имеет место равенство S (x) = ka k x k 1. 17

18 Замечание 1. Рассмотрим ряд (13) это степенной ряд, который сходится по-прежнему на ( R; R), поэтому к нему можно применить только что доказанную теорему, то есть продифференцировать почленно, при этом вновь полученный ряд будет снова иметь радиус сходимости такой же, что и (13), то есть R: S (x) = k(k 1)a k x k 2. (14) k=2 Вновь полученный ряд (14) опять удовлетворяет условиям теоремы 12 и его можно дифференцировать почленно вновь S (x) = k(k 1)(k 2)a k x k 3 и так далее S (n) (x) = k=3 k(k 1)... (k n + 1)a k x k n. k=n Таким образом, сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функция и полученные при дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. п. 5 Разложение функций в степенные ряды Определение 7. Говорят, что функция f(x) на ( r, r) разлагается в степенной ряд a k x k, если этот ряд сходится на ( r, r) и его сумма совпадает с функцией f(x). Теорема 13 (единственности). Если функция y = f(x) на ( r, r) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно. Доказательство. Пусть f(x) разлагается в степенной ряд, то есть f(x) = a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x Положим в этом равенстве x = 0, тогда получим f(0) = a 0, то есть a 0 = f(0). 18

19 Продифференцируем степенной ряд (это можно делать в силу теорему 12): f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x и положим x = 0 f (0) = a 1 a 1 = f (0). Продифференцируем еще раз (это можно делать в силу замечания к теореме 12) f (x) = 2a a 3 x + 4 3a 4 x и положим x = 0 f (0) = 2a 2 a 2 = f (0). 2! Продолжая этот процесс, мы получим a n = f (n) (0). Таким образом, n! коэффициенты степенного ряда a k однозначно определяются с помощью функции и ее производных, вычисленных в нуле и, следовательно, разложение функции в степенной ряд единственно. Замечание 1. В ходе доказательства мы получим, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд будет рядом Тейлора: f(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x f (n) (0) x n +... (15) n! Замечание 2. Из равенства (15) вытекает, что любой бесконечно дифференцируемой функции легко поставить в соответствие степенной ряд Тейлора. Однако при этом остается открытым вопрос будет ли этот ряд сходящимся и если да, то будет ли его сумма совпадать с исходной функций f(x)? Теорема 14 (необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Для того, чтобы функция y = f(x) на ( r, r) разлагалась в степенной ряд необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируемой на этом интервале и чтобы остаточный член формулы Тейлора R n (x) 0, n, x ( r; r). Доказательство. Необходимость. Функция разлагается в степенной ряд, тогда из доказанных ранее теорем (каких?) она бесконечно дифференци- 19

20 руема. В силу того, это разложение единственно (почему?) и имеет вид f(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x f (n) (0) x n n! Отсюда [ f(x) f(0) + f (0) x + f (0) x f ] (n) (0) x n = f(x) S n (x) = 1! 2! n! = R n (x) 0 при n, x ( r, r). Достаточность. Функция бесконечно дифференцируема, поэтому ее можно разложить по формуле Тейлора f(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + R n (x), n. n! Кроме того, дано, что R n (x) 0 при n, x ( r, r). Поэтому [ f(x) f(0) + f (0) x + f (0) x f ] (n) (0) x n 0 1! 2! n! при n, x ( r, r). f (k) (0) Отсюда следует, что ряд x k сходится во всякой точке k! x ( r, r) и его сумма равна f(x), что и требовалось доказать. Теорема 15 (достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Для того, чтобы функция y = f(x) на интервале ( r, r) разлагалась в степенной ряд достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируемой на этом и чтобы имело место равенство f (n) (x) M, n, x ( r, r). (16) Доказательство. Поскольку бесконечная дифференцируемость f(x) у нас уже есть согласно условию теоремы, то в силу теоремы 14 достаточно показать только, что R n (x) 0, n, x ( r, r). Запишем остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа: R n (x) = f (n+1) (θx) x n+1 < M rn+1 (n + 1)! (n + 1)!, 0 < θ < 1. 20

21 Покажем, что ряд сходится. Для этого воспользуемся признаком Даламбера: lim n n=0 r n+1 (n + 1)! r n+1 (n + 1)! n! r = lim n n r n + 1 = 0 < 1 r n+1 ряд сходится и значит его общий член стремится к 0, то есть (n + 1)! 0 при n. Следовательно, R n (x) 0, n, x ( r, r). п. 6 Разложение основных элементарных функций в степенные ряды 1) Рассмотрим y = sin x, тогда ( y (n) (x) = sin x + πn ) 1, 2 n, x (, + ). Таким образом, в силу теоремы 15 функцию y = sin x можно разложить в степенной ряд sin x = x x3 3! + x5 5!... + x 2n+1 ( 1)n +..., x (, + ). (17) (2n + 1)! 2) Рассмотрим y = cos x, тогда ( y (n) (x) = cos x + πn ) 1, 2 n, x (, + ). Поэтому cos x = 1 x2 2! + x4 4! x2n... + ( 1)n +..., x (, + ). (18) (2n)! 3) Рассмотрим y = e x. y (n) (x) = e x < e r = M, x ( r, r), n, r. В силу теоремы 15 функцию y = e x на любом интервале ( r, r), а значит на всей бесконечной прямой раскладывается в следующий степенной ряд e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! xn n! , x (, + ). (19)

22 4) Рассмотрим y = ln(1 + x). Найдем производную y = x = 1 x + x2 x , 1 < x < 1. Мы получим сходящуюся геометрическую прогрессию. Отсюда, интегрируя обе части в пределах от 0 до x (все это можно делать согласно свойствам суммы степенного ряда), мы получим ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x ( 1)n 1xn n +..., 1 < x 1. (20) Покажем, что разложение (20) остается справедливым и в точке x = 1. Правая часть при этом будет иметь вид ( 1)n 1 n +... = ln 2 как было показано ранее в числовых рядах. Очевидно, что и левая часть равна ln 2 при x = 1, следовательно, (20) справедливо на ( 1, 1]. 5) Рассмотрим y = (1 + x) α, α любое вещественное число. Запишем для нее ряд Тейлора 1 + αx + α(α 1) x ! α(α 1)... (α n + 1) x n +... n! Покажем, что этот ряд сходится на ( 1, 1). С этой целью найдем его радиус сходимости R = lim n (n + 1)! α(α 1)... (α n + 1) n! α(α 1)... (α n + 1)(α n) = 1. То есть ряд действительно сходится на ( 1, 1). Можно показать, что на этом интервале имеет место равенство (1 + x) α (19) α(α 1) = 1 + αx + x ! α(α 1)... (α n + 1) + x n +..., x ( 1, 1). (21) n! Заметим, что если α натуральное число, то данная формула станет формулой бинома Ньютона. 22

23 Пример 9. Разложить в ряд Тейлора функцию y = e 3x 1 а) по степеням x; б) по степеням (x 1). Решение. а) y = e 3x 1 = e 1 e 3x e 3x 1 = e 1 n=0 (3x) n n! = e 1 n=0 3 n n! xn, x ( ; + ). б) Сделаем замену x 1 = t x = t + 1 y = e 3(t+1) 1 = e 3t+2 нужно разложить по степеням t: y = e 3t+2 = e 2 e 3t = e 2 n=0 (3t) n n! = e 2 п. 7 Применение степенных рядов n=0 3 n n! (x 1)n, < x < +. В этом пункте мы рассмотрим некоторые применения степенных рядов. а) Разложения основных элементарных функций, полученные в предыдущем пункте, могут применяться для приближенных вычислений значений функций. Ряды (17) (19) могут быть использованы для вычисления значений sin(x), cos(x), e x при любых значениях x с любой степенью точности, т. к. равенства (17) (19) имеют место на всей оси x. При этом, если в качестве приближенных значений функций sin x, cos x брать частичные суммы рядов (17), (18), то, учитывая, что эти ряды есть ряды знакопеременные, допускаемая при этом погрешность легко оценивается в силу признака Лейбница. Для вычисления числа π с любой степенью точности можно использовать ряд для функции y = arctg x, который легко получается тем же способом, что и ряд для функции y = ln(1 + x): (arctg x) = x 2 = 1 x2 + x 4 x , 1 < x < 1. Мы опять получили сходящуюся геометрическую прогрессию. Интегрируя последнее равенство от 0 до x, получим arctg x = x x3 3 + x5 5 x , 1 < x < 1. (22) 23

24 Справедливость этого равенства в точке x = 1 доказывается так же, как была доказана справедливость разложения (20) в точке x = 1. Полагая теперь в (22) x = 1, получим π 4 = , при этом, в силу знакопеременности этого ряда, легко оценивается погрешность, допускаемая при замене суммы ряда его частичной суммой. Ряд (21) можно использовать для приближенного вычисления корней. Здесь надо учитывать, что сходимость ряда имеет место на интервале ( 1, 1). Напри- мер, вычислим приближенно 9 10: ( = ) [ 1/9 = ( ) ] б) Разложение функций в степенные ряды можно использовать для вычисления интервалов, которые через элементарные функции не выражаются. Например, рассмотрим интеграл В силу разложения (17) имеем Si x = 0 sin t t sin t = t t3 3! + t5 5!... + t 2n+1 ( 1)n +..., t (, ). (2n + 1)! Отсюда sin t = 1 t2 t 3! + t4..., t 0. (23) 5! Полагая (sin t)/t = 1 при t = 0, получим справедливость равенства (23) и dt. при t = 0, интегрируя это равенство будем иметь Si x = 0 sin t t dt = x x3 3 3! + x5 5 5! x7 7 7! +... (24) Мы вновь получили знакопеременный ряд, для которого очень удобно оценивается погрешность. 24

25 в) Наиболее широкое применение находят степенные ряды при решении дифференциальных уравнений. Подробный и очень интересный разговор об этом пойдет в других курсах математики (дифференциальные уравнения, уравнения математической физики), мы же ограничимся сейчас одним достаточно простым примером. Рассмотрим уравнение xy + y + xy = 0, y = y(x). Будем искать решение в виде ряда с неопределенными коэффициентами y(x) = a m x m. (25) m=0 Продифференцируем его дважды, считая ряд сходящимся на всей оси y (x) = ma m x m 1, y (x) = m(m 1)a m x m 2. (26) m=1 m=2 Подставляя рязложения (25), (26) в исходный ряд, получим a 1 + (m(m 1)a m + ma m + a m 2 )x m 1 = 0 или m=2 a 1 + (m 2 a m + a m 2 )x m 1 = 0. m=2 Отсюда следует a 1 = 0, m 2 a m + a m 2 = 0 (m = 2, 3,... ). Из последнего равенства имеем, что все a 2k 1 = 0 (k = 1, 2,... ), a 2 = a 0 2 2, a 4 = a = ( 1)2 a 0 (2!) , a 6 = ( 1)3 a (3!) 2,..., a 2k = ( 1)k a 0 (k!) 2 2 2k. (точное доказательство формулы для a 2k можно провести методом полной математической индукции). Итак, с точностью до произвольного множителя a 0, мы получаем решение y(x) y(x) = a 0 [1 + ] ( 1) m x 2m. (27) (m!) 2 2 2m m=1 25

26 Ряд в равенстве (27) сходится абсолютно, x, что проверяется непосредственно. lim m Обозначим x 2m+2 m! 2 2n (m + 1)! 2 2m+2 x 2m = x2 4 lim 1 + m 1 m + 1 = 0 ( 1) m x 2m (m!) 2 2 = L 0(x). 2m m=1 x (конечного). Функция L 0 (x) нызывается функцией Бесселя порядка ноль, эта и более общие функции Бесселя порядка «k» играют важную роль в математической физике, небесной механике и др. Литература [1] Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., [2] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.,


ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Тема: Ряды в комплексной плоскости

Тема: Ряды в комплексной плоскости Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости Лектор Янущик О.В. 217 г. 9. Ряды в комплексной плоскости 1. Числовые ряды Пусть задана последовательность

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан SOME APPLICATION OF EXPONENTIAL SERIES Toraeva N.E., Akhmesabyrova

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Функциональные комплексные ряды

Функциональные комплексные ряды Тема Функциональные комплексные ряды Определение. Если выполняется сразу k, N, N U k G сходящимся в области G., то ряд называется равномерно Достаточным признаком равномерной сходимости ряда является признак

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее