Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления"

Транскрипт

1 УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных функционалов исследуются их свойства. Рассматриваются возможные приложения полученных результатов при решении задач анализа и синтеза нелинейных нестационарных стохастических систем управления с использованием спектральной формы математического описания в частности для определения моментных характеристик вектора состояния маргинальных и условных плотностей вероятности. Введение В работах [ 3] был предложен метод вероятностного анализа нелинейных нестационарных стохастических систем управления основанный на спектральной форме математического описания [45] а в [67] этот подход был развит для решения задачи вероятностного анализа стохастических систем с переменной структурой (систем со случайными изменениями структуры и стохастических непрерывно-дискретных систем. Для решения перечисленных выше задач были введены понятия спектральных характеристик функций (нестационарных спектральных характеристик и спектральных характеристик линейных операторов (нестационарных передаточных функций и исследованы их свойства на основании которых были построены эффективные алгоритмы решения задачи вероятностного анализа т.е. алгоритмы определения плотности вероятности вектора состояния системы управления как наиболее полной вероятностной характеристики. Однако в некоторых случаях для анализа и синтеза ряда систем требуется определение моментных характеристик вектора состояния вероятностных характеристик активности структур для систем управления со случайными изменениями структуры нахождение маргинальных и условных плотностей вероятности [89] причем на всех этапах вычислений удобно использовать спектральную форму математического описания систем управления. В связи с этим для решения подобных задач спектральным методом возникает необходимость представления линейных функционалов в спектральной форме математического описания. Спектральные характеристики линейных функционалов Пусть W линейный функционал определенный на действительном пространстве L ( W

2 где { } W Í R ; p( базис пространства L ( W [] [ ] T = L. Будем предполагать что существует такая действительная функция w( что для любой функции Î h L W справедливо равенство W h = ò w h d. ( W Будем называть спектральной характеристикой линейного функционала W определенной относительно базисной системы { (... } (... p =... гиперстрочную матрицу W = W (см. приложение элементы которой вычисляются по формуле ( (... ( W W = p w (... L где (.. L ( W скалярное произведение в пространстве L W т.е. ( u( v( = u ( v( d L ( W ò для любых u ( v( L W Î W. Отображение ставящее в соответствие линейному функционалу его спектральную характеристику называется спектральным преобразованием и обозначается S : [ ] = W ( S W. Нетрудно видеть что соотношение ( также задает элементы спектральной характеристики ( W W = функции... w определенной относительно базисной системы { (... } p =... T (см. приложение и [36]. Таким образом W ( = éw ( ù ë û где ù T éë W û транспонированная многомерная матрица []. Замечание. Если функционал W непрерывен то по теореме Рисса [] существует единственная функция Î w L W = w( ( W однако в ряде случаев функция L W такая что справедливо представление ( и при этом w может принадлежать пространству обобщенных функций тем не менее ее спектральная характеристика вычисляется так же как и спектральные характеристики функций из пространства L ( W [45]. Теорема. Пусть W линейный функционал определенный на пространстве L ( W h( Î L ( W W ( спектральная характеристика функционала W а ( H спектральная

3 характеристика функции h(. Спектральные характеристики W ( и ( относительно базисной системы { (... } = ( ( p =. Тогда... H определены W h W H (3 т.е. значение функционала W h( равно произведению спектральных характеристик функционала W и функции h(. Доказательство. Из соотношения ( следует что формально W h( = w( h( d = ( w( h( L ( W тогда представляя функцию ò W h в виде ряда по функциям базисной системы { (... } p =... и используя свойства скалярного произведения получаем следующее выражение: æ ö Wh( = ç w( å H p (... = å ( w( p (... H = L ( W è øl... W å ( (... L ( W = p w H = W H å где W... элементы спектральной характеристики функционала W (см. ( а... H элементы спектральной характеристики функции h( т.е. ( (... ( W H = p h L С учетом правила умножения многомерных матриц [] отсюда следует что = ( ( W h W H. < Приведем примеры линейных функционалов.. Линейный функционал функции в точке Î W т.е. d h ( d ставящий в соответствие функции Î h =. h L W значение этой Известно [] что d h ( можно представить в виде d h ( d ( h ( d = ò - где d ( - d -функция векторного аргумента []. Тогда по определению спектральной характеристики линейного функционала S [ ] = D ( где элементы гиперстрочной матрицы D ( задаются выражением d (... d ( (... D = ò p - d = p W W

4 следовательно значение функции h( в заданной точке вычисляется по правилу ( ( h = D H где H ( спектральная характеристика функции h( определенная относительно базисной системы { (... } p =.... Заметим что полученное соотношение представляет собой формулу обращения спектральных характеристик функций (см. приложение : å ( = (... h H p где H элементы спектральной характеристики (... H Î W.. Линейный функционал J ставящий в соответствие функции Î интеграла от этой функции по множеству W т.е. J h( = ò h d. W h L W значение Нетрудно видеть что функционалу J соответствует функция w( = следовательно по определению спектральной характеристики линейного функционала S[ J ] = J ( гиперстрочной матрицы J ( ( W задаются соотношением J = ò p d Тогда значение функционала J определяется выражением = ( ( ò h d J H W где элементы при условии что интеграл в левой части этого выражения существует и существуют интегралы в соотношении для вычисления элементов спектральной характеристики функционала J. Следует отметить что спектральная характеристика J ( функционала J может быть выражена через спектральную характеристику W ( функции w( = определенную относительно базисной системы { p(... } а именно J ( = éw ( ù T... Пример. Вычислим интеграл + - спектрального преобразования функции Эрмита [3]. Рассмотрим функции Эрмита с параметрами и ò - e ë û. d используя в качестве базисной системы для D =. Известно [3] что элементы спектральной характеристики W ( функции w( = определенной относительно выбранной

5 базисной системы вычисляются следующим образом: W = 4 p W 4 - W = W - = T é 4 4p 3 4p ù = éë ùû = ê 4p... ú. ë û Тогда J W Найдем спектральную характеристику функции h( - = e относительно системы функций Эрмита. По определению элементы спектральной характеристики функции h( задаются соотношением H + ò ( h( d... - = F где ( = F функция Эрмита с номером. Таким образом + - ì 4 ï p = H = ò F ( e d = í - ïî =... т.е. H = é ù ë û. 4 p... T Следовательно в силу теоремы и правила умножения многомерных матриц значение интеграла определяется выражением e = ( ( = å = 4 = - = ò d J H W H p p p. < Введем новые обозначения. Пусть множество W представляется в виде W = W W ( где W Í R ( - W Í R < а вектор в виде = é ( ( ù где ë û T T = [... ] Î W [ +... ] ( T = Î W. Пусть также система функций { p (... }... образует базис пространства L W а система { p (... } является базисом пространства ( L W. Функцию h будем записывать в виде h (. Кроме того будем полагать что функции базисной системы { p(... } пространства L... W порождаются всевозможными произведениями

6 функций базисных систем p... ( { } и { p (... } ( ( ( ( p = p... p Рассмотрим линейный функционал W заданный на пространстве L W (. Тогда в выражении W h ( координаты ( играют роль числовых параметров. т.е. Теорема. Пусть W линейный функционал определенный на пространстве L W ( ( ( ( h Î L W h ( Î L W почти всюду на ( W W спектральная характеристика функционала W определенная относительно базисной системы { p (... }... ( H спектральная характеристика функции h ( определенная относительно базисной системы { p(... } E (... единичная матрица размерности ( -. Тогда ( ( ( ( ( - - S é h ù ( = W Ä E - - H ë W û (4 ( где спектральное преобразование применяется к функции h ( = W h относительно { } + базисной системы p +... (... Доказательство. Из теоремы следует что = ( = ( ( ; ( ; h W h W H где. H спектральная характеристика функции h ( при фиксированном ( { } определенная относительно базисной системы p... ( H элементы спектральных характеристик и... ( Тогда = ( h å W H Обозначим через W... W и H ; ( соответственно. Найдем элементы спектральной характеристики функции h ( относительно базисной

7 { } + системы p +... (... ( ( ( L W( : ( æ ö H = p h p W... H = ç + å = è... øl ( W( å ( ( ( +... ( ( L W( = W p H = W H + = ( ( где числа H... = p... ( + H... представляют собой элементы L ( W спектральной характеристики H (. Формулу для вычисления H... + можно переписать следующим образом: H = å W % H j j... j j j... j j j... j где упорядоченная совокупность чисел % ìï W = j... = j = í ï î в остальных случаях j j... j + + W +... j j... j образует многомерную матрицу W ( - %. Следовательно по определению произведения и тензорного произведения многомерных матриц получаем выражение для спектральной характеристики функции h ( : % S éh( ù ( = W - H ë û где W% ( - = W ( Ä E ( - - å. Отсюда следует формула (4. < Замечание. Аналогичное утверждение можно сформулировать в случае если и ( образуются другим способом. Например = [ ] T [ ] T = [ ] T [ ] T = если четное; и т.п. = или... H - = S éw h ù ë û к функции Переход от спектральной характеристики ( ( h осуществляется по формуле обращения: ( ( - = é ( - ù = ( h S ë H û å H p (5 +...

8 H + элементы спектральной характеристики H ( где... - Î W (. Пример. Запишем выражение для спектральных характеристик функций = ò ( и h ( = ò h( d где h( L h h d W W Î W W W W Í R. Пусть { p ( } базис пространства L ( W а { p ( } базис пространства ( L W. Положим = ( = и рассмотрим линейный функционал J определенный на пространстве L ( W и ставящий в соответствие функции f ( L функции по множеству W т.е. J f = ò f d W Î W интеграл от этой. Нетрудно видеть что h ( = J h( при фиксированном. Тогда из теоремы следует что спектральная характеристика функции h ( определенная относительно базисной системы { p ( } образом: é ù H ( = S éë h ( ùû = S êò h( d ú = ( J ( Ä E ( H ( êë W úû где выражается следующим J спектральная характеристика функционала J определенная относительно базисной системы { p ( } E ( двумерная единичная матрица ( характеристика функции h( { p ( p ( }. H спектральная определенная относительно базисной системы Переход от спектральной характеристики H ( к функции ( формуле (5 которая в рассматриваемом примере примет вид: - ò h( d = S éë H ( ùû = å H p ( W где H элементы спектральной характеристики H Î W. h осуществляется по Теперь предположим что = а =. Проводя аналогичные рассуждения получаем выражение для спектральной характеристики функции h ( определенной относительно базисной системы { p ( } :

9 é ù H ( = S éë h ( ùû = S ê ò h( d ú = ( E ( Ä J ( H ( êë W úû J спектральная характеристика линейного функционала J заданного на где пространстве L ( W и ставящего в соответствие функции f ( L ( функции по множеству W т.е J f = ò f d W определена относительно базисной системы { p ( } W. Î W интеграл от этой. Спектральная характеристика J ( Формула обращения для спектральной характеристики H ( функции - ò h( d = S éë H ( ùû = å H p ( где H элементы спектральной характеристики h имеет вид: H Î W. < Рассмотрим линейные функционалы заданные на множестве функций времени t и вектора в предположении что переменная времени играет роль параметра. Будем предполагать что функции базисной системы { (... } L ( T W где T Í [ e t = пространства... + промежуток времени порождаются всевозможными произведениями функций систем { q( t } и { (... } p =... которые в свою очередь являются базисами пространств L ( T и L ( W соответственно т.е. e(... t q ( t p (... =. Теорема 3. Пусть W линейный функционал определенный на пространстве L ( W ( Î ( W h( t Î L ( W почти всюду на T W ( h t L T спектральная характеристика функционала W определенная относительно базисной системы { (... } H ( + спектральная характеристика функции ( системы { (... } e t =. Тогда... ( ù = ( ( Ä ( ( + p =... h t определенная относительно базисной S éë W h t û E W H (6 где спектральное преобразование применяется к функции h ( t h( t системы { q( t }. = W относительно базисной

10 Доказательство проводится так же как и доказательство теоремы. Запишем формулу обращения для спектральной характеристики H S W h ( t функции h ( t h( t = W : = é ù ë û - h ( t = S éë H ( ùû = å H q ( t (7 где H элементы спектральной характеристики H t Î T. Пример 3. Запишем выражение для спектральной характеристики функции времени ( h t h t d d = ò ò где h( t L ( T W W Î W W W W Í R. Пусть { q( t } базис пространства L ( T а { p ( p ( } базис пространства L ( W W. Тогда по теореме 3 получаем искомую спектральную характеристику в виде é ù H ( = S éë h ( t ùû = S êò ò h( t dd ú = ( E ( Ä J ( H ( 3 êë W W úû где H ( 3 спектральная характеристика функции h( t базисной системы { q( t p ( p ( } ( определенная относительно J спектральная характеристика линейного функционала J заданного на пространстве L ( W W и ставящего в соответствие функции f ( L Î W W интеграл от этой функции по множеству W W т.е. ( ( J f f d d = ò ò W W базисной системы { p ( p ( }. Спектральная характеристика J ( определена относительно. Напомним что J ( = éw ( ù T ë û где ( W спектральная характеристика функции w( = определенная относительно базисной системы { p ( p ( }. Для перехода от спектральной характеристики H ( к соответствующей функции времени применяется формула обращения (7. < Сформулируем важное следствие из теорем и 3. Пусть функции базисной системы { (... } e t =... порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем

11 { q( t } и ( { p (... } = ( (... { p (... } + и ( + ( L W т.е.... пространств ( + + L T L W e t = q t p... p.... Пусть также W линейный функционал заданный на пространстве ( ( L W. Будем предполагать что в выражении h t ( = W h t переменная времени t и координаты ( играют роль числовых параметров. Функцию ( Теорема 4. Пусть h t будем записывать в виде h t (. W спектральная характеристика функционала W определенная { } относительно базисной системы p... ( ( ( h t Î L W почти всюду на ( функции ( Тогда T W (... ( h t Î L T W ( H + спектральная характеристика h t определенная относительно базисной системы { (... } ( ( ( ( ( ( S éw h t ù ( = E ÄW Ä E - - H + ë û e t =.... (8 ( где спектральное преобразование применяется к функции h t = W h t { q t p (... } относительно базисной системы ( ( + ( +... Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы. Переход от спектральной характеристики ( ( ( h t осуществляется по формуле обращения: ( (. H - + = S éw h t ù ë û к функции - ( = S é ( - + ù = ( h t ë H û å H q t p +... H + элементы спектральной характеристики H ( где... (9 - + t Î T Î W (. Замечание. Следует отметить что в общем случае и ( могут формироваться произвольным образом из координат вектора. Пример 4. Найдем выражения для спектральных характеристик функций

12 ( = ò ( и h ( t = ò h( t d где h( t L ( T h t h t d W W Î W W W W Í R. Пусть { q( t } базис пространства L ( T а { p ( } и { } p = базисы пространств L ( W и ( L W соответственно. Тогда используя результаты полученные в примере и утверждение теоремы 4 запишем искомые выражения для спектральных характеристик: é ù H ( = S éë h ( t ùû = S êò h( t d ú = ( E ( Ä J ( Ä E ( H ( 3 êë W úû é ù H ( = S éë h ( t ùû = S ê ò h( t d ú = ( E ( Ä E ( Ä J ( H ( 3 êë W úû где J ( и ( J спектральные характеристики функционалов J и J определенные относительно базисных систем { p ( } и { } p соответственно (см. пример H ( 3 спектральная характеристика функции h( t системы { q( t p ( p ( }. Для перехода от спектральных характеристик H ( и ( функциям применим формулу (9 тогда W - ò h( t d = S éë H ( ùû = å H q ( t p ( W - ò h( t d = S éë H ( ùû = å H q ( t p ( где H и H элементы спектральных характеристик H и определенная относительно базисной H к соответствующим H соответственно t ÎT ÎW ÎW. < Вычисление моментных характеристик вектора состояния стохастических систем Рассмотрим задачу вычисления моментных характеристик вектора состояния стохастических систем управления с фиксированной структурой [45] по известной спектральной характеристике плотности вероятности вектора состояния. Пусть ( t f плотность вероятности вектора состояния тогда математическое ожидание ( t и ковариационная матрица R( t определяются следующим образом:

13 = é ù T t ë t t L t û R t где L L ér t R t R t ù ê ú ê R t R t R t ú M M O M ê ú êë R ( t R ( t L R ( t úû = ê ú размерность вектора состояния f ( t = ò t d ( R = f ( - ò R t t d t t j j j R j =.... ( Операцию вычисления математического ожидания можно рассматривать как линейный функционал J (см. примеры линейных функционалов заданный на пространстве функций времени и вектора состояния при условии что переменная времени t фиксирована Перейдем к определению функций ( t и Rj W = R. t с использованием спектральной формы математического описания. Пусть M ( спектральная характеристика функции определенная относительно базисной системы { q( t } пространства L T ( спектральная характеристика функционала J X ( умножения на функцию t J спектральная характеристика оператора a = (нестационарная передаточная функция усилительного звена с коэффициентом передачи a ( = ; спектральные характеристики J ( X ( относительно базисной системы { (... } p пространства ( =... определены L R ( F + спектральная характеристика плотности вероятности вектора состояния определенная относительно базисной системы { (... ( (... } L T R ( e t = q t p пространства =... E двумерная единичная матрица. Тогда по теореме 3 и свойству спектрального преобразования произведения функций [45] имеем ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F + ( =... так как спектральная характеристика подынтегральной функции в выражении ( равна

14 ( E ( X ( ( Ä F +. Запишем выражение для представления функции R характеристикой функции ( t получаем что é ù S ê ò jf ( t dú = ( E ( Ä J ( E ( Ä X j ( F + ê ër úû где X ( X ( X ( j j j j j t. По аналогии со спектральной = спектральная характеристика оператора умножения на функцию a =. По свойству спектрального преобразования произведения функций времени [5] S é ( t ( t ù = M ( M ( где ( ë û j j M спектральная характеристика оператора умножения на функцию ( t определенная относительно базисной системы { q( t } M ( спектральная характеристика функции j M ( можно найти по известной спектральной характеристике ( ( ( ( M = V e M j = а t причем спектральную характеристику M [45]: где V ( спектральная характеристика множительного звена (трехмерная нестационарная передаточная функция множительного звена определенная относительно базисной системы { q( t } соотношением. Следовательно спектральная характеристика R ( функции R ( ( j j t определяется R = E Ä J E Ä X F + - V e M M (3 j j j j =.... Спектральные характеристики функций ( t и Rj Определим линейные функционалы M h = ò h d W M и j M h j j = ò h d W M на пространстве h( Î L ( W t можно найти другим способом. L W : тогда M ( = S é M ù = éx ( ù T M ( S é M ù éx ( ù T где X ( и ( ë û ë û = ë û = ë û j j j спектральные характеристики функций a ( = и { } j j X a = соответственно определенные относительно базисной системы p(... пространства L =... W. Следовательно если W = R то по теореме 3 свойству линейности спектрального преобразования и свойству j

15 спектрального преобразования произведения функций времени ( ( ( ( ( M = E Ä M F + (4 ( R = E Ä M F + - V e M M (5 j j j j =.... Покажем что соотношения ( и (4 эквивалентны. Для этого преобразуем выражение ( E ( J ( ( E ( X ( Ä Ä используя свойства операций над многомерными матрицами []: ( E ( J ( ( E ( X ( ( E ( E ( ( J ( X ( Ä Ä = Ä = T T T T ( éë ùû ( éë ùû éë ùû = E Ä J X = E Ä X J. Известно [45] что спектральные характеристики операторов умножения представляют собой симметрические матрицы т.е. é T ëx ùû = X (. Кроме того J ( = éw ( ù T T ë û и следовательно é T ëj ùû = W ( где W ( спектральная характеристика функции w( = определенная относительно базисной системы { (... } T ( é ù é ù T T T p = поэтому... E Ä ëx û ëj û = E Ä X W. По свойству спектрального преобразования произведения функций [45] X ( W ( X ( T T ( Ä ( ( ( = ( Ä é ( ù = ( Ä ( E X W E ëx û E M т.е. ( E ( J ( ( E ( X ( E ( M ( =. Таким образом Ä Ä = Ä из чего следует эквивалентность соотношений ( и (4. Эквивалентность соотношений (3 и (5 доказывается аналогично. Переход от спектральных характеристик M ( и ( времени осуществляется по формуле (7: ; j R к соответствующим функциям - ( t = S éë M ( ùû = å M q ( t (6 - R ( t = S é ër ( ù û = å R q( t (7 j j j; где M ; и j; j =.... R элементы спектральных характеристик M ( и ( R соответственно t Î T Замечание. В одномерном случае ( = функция R( t называется дисперсией и j

16 обозначается D( t. Спектральную характеристику функции D( t будем обозначать ( D. Пример 5. Запишем выражения для спектральных характеристик математического ожидания и дисперсии состояния одномерной стохастической системы. Формулы ( и ( для одномерной стохастической системы примут вид: f ( t = ò t d R ò D( t = f ( t d - ( t R. Для получения искомых спектральных характеристик воспользуемся результатами полученными выше. Пусть { q( t } базис пространства L ( T ( V спектральная характеристика множительного звена определенная относительно этой базисной системы; { ( } p = базис пространства L ( R а J ( и ( X спектральные характеристики функционала J и оператора умножения функцию a( относительно базисной системы { p( } ; ( вероятности состояния т.е. функции f ( t { ( ( } q t p = = соответственно определенные F спектральная характеристика плотности определенная относительно базисной системы. Тогда спектральные характеристики M ( и D ( функций ( t и D( t соответственно выражаются следующим образом: ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F ( ( D = E Ä J E Ä X F - V Ä M M. Переход от спектральных характеристик M ( и ( D к соответствующим функциям времени осуществляется по формулам (6 и (7. < Замечание. Используя понятие спектральных характеристик линейных функционалов можно получить соотношения аналогичные ( и (3 (или (4 и (5 для определения начальных и центральных моментов любого порядка по известной спектральной характеристике плотности вероятности. Перейдем к определению спектральных характеристик математического ожидания и ковариационной матрицы вектора состояния для систем со случайными изменениями структуры [6 8]. Пусть f < > ( t ненормированная плотность вероятности вектора состояния [6 8] для структуры с номером N число структур системы. Тогда координаты вектора ( t и элементы матрицы R( t выражаются следующим образом [7]:

17 N < > < > = å t t = j < > ( t N < > < > æ t t ö Rj t = å Rj t + - t j t ç = è P ø < > где размерность вектора состояния а функции ( t соотношениями f ( < > < > R j =... (8 < > и R ( t j определяются t = ò t d (9 j < > ( t t t < > < > < > < > j = ò jf ( - P R R t t d j =... =... N ; ( t < > P вероятность работы структуры с номером : P R ( t f ( = ò < > < > < > j R ( t d. ( Наряду с ненормированными плотностями вероятности f < > < > ( t функциями ( t ( t будем рассматривать нормированные плотности f ( t ( t < > % < > ( t = = < > f P и моментные характеристики < > < > < > = f % ò ( = < > P R % t t d ( t ( t < > < > < > < > < > j j = jf % ò ( - j = < > P R R% t t d % t % t j =... =... N. Замечание. Функция f < > ( t ( R ( t ( t (3 представляет собой совместную плотность вероятности f ( t вектора состояния и номера структуры при фиксированном а f < > ( t плотность вероятности f ( t и % условная. По принятой в [7] терминологии будем называть функции < > < > < > < > = é ë ù û и R ( t = érj ( t ù = ë û взвешенными а ( t = é j = ë t ù û = < > < > t t % % и = é ë j ù û j = % % условными моментными характеристиками. < > < > R t R t Спектральные характеристики M < > < > ( функций ( t определяются аналогично спектральным характеристикам координат математического ожидания вектора состояния стохастических систем с фиксированной структурой (см. (:

18 ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F + (4 < > < > =... =... N < > где ( F + спектральная характеристика ненормированной плотности вероятности f < > ( t определенная относительно базисной системы { (... } e t =.... Из соотношения ( и теоремы 3 следует что спектральная характеристика P < > ( < > функции P ( t определенная относительно базисной системы { q( t } следующим образом: ( ( ( ( ( < > < > P E J = выражается = Ä F + =... N. (5 Для спектральной характеристики R < > < > ( функции R ( t < > - < > < > ( V ( e P ( ( V ( e M ( M j ( ( j < > < > R = E Ä J E Ä X F + - j - j j справедливо соотношение (6 j =... =... N. Данное выражение получено с использованием свойства спектрального преобразования произведения функций времени [45] а именно < > ( t é t t ù S ê ú = êë P úû < > < > j где P < > ( и M < > ( < > - < > < > ( P ( M ( M j ( спектральные характеристики операторов умножения на функции < > < > P ( t и ( t соответственно определенные относительно базисной системы { q( t } < > < > < > < > причем P ( = V ( e P ( и M ( = V ( e M ( ; M < > ( j спектральная < > характеристика функции j ( t определенная относительно базисной системы { q( t }. Для спектральных характеристик M % < > ( и R % < > < > ( функций % ( t и R% < > ( t соответственно справедливы формулы ( = ( ( Ä ( ( ( Ä ( F ( + < > < > M% E J E X % (7 < > < > ( V ( e M% ( M% j ( ( j R% < > < > = E Ä J E Ä X F % + - j - j =... =... N < > где F % ( + спектральная характеристика функции f < > ( t j j (8 % определенная относительно

19 базисной системы { (... } e t =.... < > < > Нетрудно показать что спектральные характеристики функций % ( t и ( t а также функций R % < > ( t и < > R ( t j j связаны следующими соотношениями: - M% < > = V e P < > M < > - j R% < > = V e P < > R < > j j =... =... N. Переход от спектральных характеристик M < > ( и R < > ( j к соответствующим функциям времени осуществляется по формуле (7: < > - < > < > ë û å ; = é ( ù = ( t S M M q t (9 < > - < > < > j ë j û å j; = é ( ù = ( R t S R R q t (3 где M < > ; и j; R < > элементы спектральных характеристик M < > ( и R < > ( t Î T j =... =... N. Формулы обращения спектральных характеристик M % < > ( и R < > ( (3 а именно < > - < > < > ë û å ; = é % ( ù = % ( j j соответственно % аналогичны (9 % t S M M q t (3 < > - < > < > j ë j û å j; = é ( ù = ( R% t S R% R% q t (3 где M % < > ; и j; % элементы спектральных характеристик M % < > ( и R < > ( R < > t Î T j =... =... N. Запишем формулу обращения для спектральной характеристики ( % соответственно j P < > : < > - < > < > P ( t = S é ëp ( ù û = å P q( t (33 где P < > элементы спектральной характеристики ( P < > t Î T =... N. Замечания. < >. В одномерном случае функции R( t R ( t и R % < > ( t будем обозначать через D t D < > ( t и D % < > ( t а их спектральные характеристики через D ( D < > ( и D % < > (

20 соответственно.. Формулы (4 (6 (8 могут быть записаны с использованием спектральных характеристик линейных функционалов M и M (см. (4 и (5. j 3. Как и в случае стохастических систем с фиксированной структурой можно получить соотношения для спектральных характеристик начальных и центральных моментов любого порядка причем как взвешенных так и условных. Определение маргинальных и условных плотностей вероятности Пусть ( t управления вероятности f f плотность вероятности вектора состояния стохастической системы Î W = R. Не ограничивая общности будем рассматривать маргинальную плотность ( t f ( t d = ò - R где (34 < [ ] T = Î R [ ] T вероятности f ( t ( (... ( t ( t - = +... Î R и условную плотность f =. (35 f Будем предполагать что функции базисной системы { (... } e t = пространства... L T R порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем { q( t } { p (... }... базисами пространств { p (... } + и ( + (... - L T L ( R и L - линейный функционал определенный на пространстве L ( R которые в свою очередь являются R соответственно. Обозначим через J ( который ставит в соответствие функции h ( f ( t f ( t - L Î R значение интеграла h = J при фиксированных t и. ò- R d (. Следовательно Из теоремы 4 и замечания к ней следует что спектральная характеристика F ( + функции t { q t p (... } f определенная относительно базисной системы ( ( (...

21 задается следующим выражением: F + = E Ä E Ä J - F + (36 ( где E ( двумерная единичная матрица ( ( E единичная матрица размерности J - спектральная характеристика функционала J ( определенная относительно { } + базисной системы p +... (... ( F + спектральная характеристика функции f ( t определенная относительно базисной системы { (... } f e t =.... Формула обращения для спектральной характеристики ( F + имеет вид: - ( t = S éf ( + ù = F q( ( t p... ë û å ; F элементы спектральной характеристики ( где ;... (37 F + t Î T Î R. Перейдем к определению спектральной характеристики условной плотности вероятности f t (. Перепишем формулу (35 в виде ( f t = f t f t и применим спектральное преобразование к левой и правой части полученного выражения. Тогда из свойства спектрального преобразования произведения функций следует что ( ( ( F + = F + + F + где ( F + + спектральная характеристика оператора умножения на функцию f t ( определенная относительно базисной системы { e(... t }... ( спектральная характеристика функции f t ( F + определенная относительно той же базисной системы. Функция f t не зависит от ( поэтому F ( + + = F ( + + Ä E ( - - где ( характеристика оператора умножения на функцию f t { q t p (... } базисной системы ( ( (... F + + спектральная E ( размерности ( -. Спектральная характеристика ( определенная относительно - - единичная матрица F + + в свою очередь выражается

22 через спектральную характеристику ( F + [45]: F + + = V ÄV % e F + где V ( спектральная характеристика множительного звена определенная относительно базисной системы { q( t } а V ( определенная относительно базисной системы p... ( % спектральная характеристика множительного звена { }.... Таким образом ((( % e ( F + = V ÄV F + Ä E - - F + и следовательно - (( F + = V ÄV% e F + Ä E - - F +. Учитывая свойства операций над многомерными матрицами окончательно получаем выражение для спектральной характеристики условной плотности вероятности: - ö ( F ( + = æ ç V ( ÄV% ( e F + Ä E - - F +. (38 è ø Для перехода от спектральной характеристики ( применяется формула обращения f - ( t = éf ( + ù = F e ( t ; где F + к функции f t ( ( S ë û å... (39 F элементы спектральной характеристики ( ;... - F + t Î T Î R ( Î R. Пример 6. Найдем выражения для спектральных характеристик маргинальной плотности вероятности f ( t и условной плотности вероятности ( t характеристике плотности вероятности ( t f по известной спектральной f вектора состояния двумерной стохастической системы. Пусть { q( t } базис пространства L ( T а { p ( } и { } p = базисы пространства L ( R. В рассматриваемом примере f ( = òf ( f ( t ( t ( t f = поэтому соотношения (36 и (38 примут вид: f ( ( E ( E ( J ( ( 3 F = Ä Ä F t t d R

23 где F ( спектральная характеристика функции f ( t базисной системы { q( t p ( } ( определенная относительно J спектральная характеристика функционала J (см. пример определенная относительно базисной системы { p ( } ( 3 спектральная характеристика функции f ( t { q( t p ( p ( } ; - ((( V V E F 3 = Ä % e F Ä F 3 где F ( 3 спектральная характеристика функции f ( t базисной системы { q( t p ( p ( } ( F определенная относительно базисной системы определенная относительно V спектральная характеристика множительного звена определенная относительно базисной системы { q( t } а ( V% спектральная характеристика множительного звена определенная относительно базисной системы { p ( }. Переход от спектральных характеристик F ( и ( 3 вероятности осуществляется по формулам обращения (37 (39: f f - ( t = éf ( ù = F q( t p ( ; S ë û å - ( t = éf ( 3 ù = F q( t p ( p ( S ë û å ; где F ; и ; F к соответствующим плотностям F элементы спектральных характеристик F и F соответственно 3 t Î T Î R. < Замечание. Соотношения (34 (39 с точностью до обозначений справедливы для маргинальных и условных плотностей вероятности вектора состояния систем управления со случайными изменениями структуры. Примеры вероятностного анализа стохастических систем Приведем примеры вероятностного анализа стохастической системы с фиксированной структурой и системы со случайными изменениями структуры с использованием спектральной формы математического описания систем управления.

24 Замечание. При решении задач анализа и синтеза спектральным методом на вычислительных машинах можно оперировать только с конечными матрицами поэтому спектральные характеристики функций линейных операторов и линейных функционалов усекаются по всем измерениям бесконечного порядка до некоторого порядка L называемого порядком усечения. Методика вычисления погрешности расчета обусловленной усечением матриц приведена в [3 5]. Пример 7. Рассмотрим задачу вероятностного анализа линейной стационарной детерминированной системы второго порядка заданной уравнением X + X X Î R с начальным условием X ( = X X ( = X && где t T [ p ] Î = & & причем X и X & независимые случайные величины имеющие гауссовское распределение с математическим ожиданием = и дисперсией D =. Поскольку начальное условие для рассматриваемой системы является случайной величиной решение X ( t представляет собой случайный процесс следовательно задача состоит в нахождении плотности вероятности состояния системы. Отметим что данная задача относится к классу задач анализа систем управления ансамблем траекторий [8]. Сделаем замену переменных. Пусть X = X а X уравнение сводится к следующей системе дифференциальных уравнений: ì ïx & = X í X& ïî = -X = X & тогда исходное дифференциальное начальные условия для которой определяются выражениями X ( = X и X ( = X &. Эту систему можно рассматривать как частный случай двумерной стохастической системы с функцией сноса f ( t é ù = ê - ú ë û и нулевой матрицей диффузии [4] т.е. g ( t é ù = ê ú ë û. Следовательно плотность вероятности f ( t вектора [ ] T Фоккера-Планка-Колмогорова [49] ( t ( t ( t f f f = - + t с начальным условием f ( ep ( ( X X удовлетворяет уравнению = и нулевыми краевыми условиями. p { } Выберем в качестве базисной системы пространства L ( T полиномы Лежандра P ( t { } [45] а для пространства L ( R функции Эрмита F ( и { } F с параметрами

25 и D = [35]. Пусть P ( двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена первого рода определенная относительно системы полиномов Лежандра [45] q ( ; вектор значений функций этой системы при t = ; ( P двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена второго рода определенная относительно системы функций Эрмита [3]; F ( 33 и ( 33 функции f ( t = и ( { } F спектральные характеристики операторов умножения на f t = - соответственно определенные относительно базисной системы P ( t F ( F ( ( 3 F спектральная характеристика плотности вероятности f ( t определенная относительно той же базисной системы а спектральная характеристика начальной плотности вероятности f ( { } относительно базисной системы ( ( F определенная F F. Применяя спектральное преобразование к левой и правой части уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с учетом начальных и краевых условий [] и принимая во внимание тот факт что матрица двумерной нестационарной передаточной функции дифференцирующего звена второго рода определенной относительно системы функций Эрмита является кососимметрической [3] получаем уравнение обобщенной характеристической функции [3]: P t ( 33 F( 3 - q( ; Ä F ( = = - P F F - P F F где спектральные характеристики операторов дифференцирования первого порядка по времени и координатам и задаются соотношениями ( 33 ( ( ( t P P E E = Ä Ä = Ä P Ä P E E P 33 E E 33 = Ä Ä P. Выражая из полученного уравнения неизвестную спектральную характеристику F ( 3 получаем следующее выражение: - ( P P F P F ( q t F 3 = ; Ä F. Так как состоянием исходной системы является координата X то необходимо найти

26 маргинальную плотность вероятности f ( f ( характеристику F ( функции ( t t = ò t d R причем спектральную f можно выразить через спектральную характеристику F ( 3 используя теорему 4 и результаты полученные в примере 6. Тогда ( ( E ( E ( J ( ( 3 F = Ä Ä F где J ( спектральная характеристика функционала J (см. пример определенная относительно системы функций Эрмита. По формуле обращения получаем что f - ( t = éf ù = F P ( t F ( S ë û å где F элементы спектральной характеристики График функции ( t F t Î T Î R. f и графики ее сечений при различных значениях переменной времени t изображены на рис. и соответственно (порядок усечения характеристик равен восьми. спектральных t t t t t t t 3 t Рис.. Плотность вероятности состояния системы. Рис.. Плотность вероятности состояния системы в различные моменты времени. Вычислим математическое ожидание состояния системы ( t M X ( t воспользуемся результатами полученными в примере 5: ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F = éë ùû для этого где M ( спектральная характеристика функции ( t определенная относительно системы полиномов Лежандра J ( спектральная характеристика функционала J (см. пример определенная относительно системы функций Эрмита а X ( спектральная характеристика оператора умножения на функцию a ( = также определенная относительно системы функций

27 Эрмита. Переход от спектральной характеристики M ( к соответствующей функции времени осуществляется по формуле (7: - ( t = S éë M ( ùû = å M P t где M элементы спектральной характеристики ( M t Î T. Для проверки точности проведенных расчетов определим функцию ( t другим способом. Найдем математическое ожидание левой и правой части уравнения X && + X тогда && +. & =. Аналогичным образом можно получить начальные условия а именно ( = Интегрируя дифференциальное уравнение && + с учетом начальных условий получаем выражение для математического ожидания состояния системы: ( t = cost + st. На рис. 3 сплошной линией изображен график математического ожидания полученного спектральным методом а пунктиром график функции ( t = cost + s t. Как видно из результатов спектральный метод обеспечивает достаточную точность даже при небольших порядках усечения спектральных характеристик. t Рис. 3. Математическое ожидание состояния системы. Пример 8. Найдем ненормированные плотности вероятности и моментные характеристики состояния одномерной системы стабилизации [7]. Первая структура этой системы изображена на рис. 4. При выходе координаты X из множества [ ] -D D возможен срыв стабилизации и переход в режим поиска (рис. 5 причем интенсивность этого перехода постоянна и равна c. <

28 V p+ X V p+ X Рис. 4. Первая структура системы стабилизации. Рис. 5. Вторая структура системы стабилизации. В режиме поиска при попадании координаты X в область [-D D ] где D > D система может перейти обратно в первое состояние таким образом осуществляется захват сигнала. Интенсивность захвата также постоянна и равна c. На рис. 4 и 5 используются следующие обозначения: V стандартный гауссовский белый шум; числовые параметры. Отрезок времени функционирования системы [ ] Распределение начального состояния < > < > вероятности f ( = af ( f ( = ( - a f ( где ( N X N стандартной гауссовской случайной величины a. T =. = X определяется ненормированными плотностями f плотность вероятности Изменение состояния системы стабилизации для первой структуры описывается стохастическим дифференциальным уравнением N æ + ö dx = ç - X t + + dw è ø как переход в состояние поиска происходит вне отрезка [ ] (см. рис. 4. Так -D D с интенсивностью f < > -D D соответствующая функция поглощения [6 8] имеет вид [ ] I [ ] ( -D D индикатор множества [-D D ] (см. [] f < > ( t вероятности состояния для первой структуры. Для второй структуры справедливо уравнение c то b t = c - I t где ненормированная плотность æ ö dx = ç - X t + + dw è ø (см. рис. 5. Функция поглощения характеризующая обратный переход в состояние захвата задается формулой b ( t c [ ] ( f < > = I ( t где I [ ] индикатор множества [-D D ] ( t -D D -D D ненормированная плотность вероятности состояния для второй структуры. Ненормированные плотности вероятности f < > ( t и f < > ( t f < > удовлетворяют системе обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова [6 8] которые в рассматриваемом случае записываются следующим образом:

29 ( t < > (( f t f ( t < > < > f + - = + - t < > < > ( I [ ] f I [ ] f -D D -D D - c - t + c t f ( t < > ( t ( - f ( t < > < > f = + - t f f - c I t + c - t. [ ] f I -D D [-D D ] < > < > < > Данные уравнения следует интегрировать с начальными условиями f ( < > -a - < ( = e и краевым условием > < ( t > f f ( t p =. =± =± a - = e p { } Выберем в качестве базисной системы пространства L ( T полиномы Лежандра P ( t { } для пространства L ( R функции Эрмита = а F с параметрами и D =. Пусть P ( двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена первого рода определенная относительно системы полиномов Лежандра q ( ; вектор значений функций этой системы при t = ; ( P двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена второго рода определенная относительно системы функций Эрмита; X ( I и a( = [ ] -D D I спектральные характеристики операторов умножения на функции I и I [ ] соответственно а ( -D D F спектральная характеристика функции f (. Спектральные характеристики X ( I I и ( N N < > < > относительно системы функций Эрмита; F ( и ( F определены F спектральные характеристики N функций f < > ( t и f < > ( t соответственно определенные относительно базисной системы { } P t F. Запишем уравнения обобщенных характеристических функций для рассматриваемой системы стабилизации [6]: < > < > < > < > ( ( ( ( ( ( ( ; ( < > < > < > < > F - F - F = Ä F t ì ïp F - A F - A F = q Ä F í t ïî P A A q ;

30 где = Ä t P P E æ æ + öö A ( = -( E ( Ä P ( ç E ( Ä ç - X ( + E ( + è è øø ( + ( E ( Ä P ( - c E ( Ä E ( - I ( ( ( A = c E Ä I A = c E Ä E - I æ æ öö A ( = -( E ( Ä P ( ç E ( Ä ç - X ( + E ( + è è øø + ( E ( Ä P ( - c ( E ( Ä I ( a ( a F = F F = - F. < > < > N N Известно [6] что решение полученной системы уравнений определяется следующим образом: - ( Z Z q ( q - ( Z Z q ( q < > < > < > F = - G ; Ä F - G ; Ä F < > < > < > F = - G ; Ä F - G ; Ä F где t ( = ( - ( Z ( = - A ( Z ( A ( Z P A = - t ( = ( - ( G ( = Z ( Z - ( ( Z ( Z - ( Z P A < > < > Переход от спектральных характеристик F ( и ( плотностям вероятности осуществляется по формуле обращения: f < > - ë < > û < > å где ( t = éf ( ù = F P ( t F ( S < > F элементы спектральной характеристики < > ( G =. F к соответствующим F t Î T Î R =. На рис. 6 9 изображены графики функций f < > ( t f < > ( t и их сечений при различных значениях переменной времени t (порядок усечения спектральных характеристик равен шестнадцати причем при расчете были выбраны следующие параметры системы стабилизации: a.7 =.4 =.5 D = D =.5 c = c.4.

31 t t t.5 t. t t t Рис. 6. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме захвата. Рис. 7. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме захвата при различных значениях переменной времени. t t t t. t.5 t t Рис. 8. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме поиска. Рис. 9. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме поиска при различных значениях переменной времени. Перейдем к определению вероятностей работы структур и взвешенных моментных характеристик. Воспользуемся формулой (5 тогда спектральные характеристики функций < > < > P ( t и ( t P определяются соотношением ( ( ( ( ( < > < > P E J = Ä F = где J ( спектральная характеристика функционала J (см. примеры и 5 определенная относительно системы функций Эрмита. Для перехода от спектральных характеристик P < > ( и P < > ( к соответствующим функциям времени используется формула обращения (33: < > - ë < > û < > å ( t = ép ( ù = P P ( t P S где P < > элементы спектральной характеристики ( P < > t Î T =.

32 На рис. изображены графики вероятностей работы структур полученных спектральным методом (сплошная линия и методом ортогонального разложения (пунктир []. Спектральные характеристики взвешенных математического ожидания и дисперсии состояния системы стабилизации определяются соотношениями (4 и (6 которые в данном случае принимают вид: ( ( ( ( ( ( ( ( < > < > M E J E X = Ä Ä F = Ä ( Ä F ( - < > - < > < > ( V e P ( V e M M ( < > < > D E J E X - где V ( спектральная характеристика множительного звена определенная относительно системы полиномов Лежандра =. Рис.. Вероятности работы системы стабилизации в режимах захвата и поиска. Переход от спектральных характеристик M < > ( и D < > ( к соответствующим функциям времени осуществляется по формулам обращения: < > - ë < > û < > å = é ( ù = t S M M P t < > - ë < > û < > å = é ( ù = D t S D D P t где M < > и D < > элементы спектральных характеристик ( M < > и D < > ( соответственно =. Математическое ожидание и дисперсия состояния системы стабилизации определяются

33 < > < > выражениями ( t = ( t + ( t и ê < > < > ( ( t < > P ( t D t = D t + ú - t å = é ê ë Графики взвешенных моментных характеристик состояния системы стабилизации и графики функций ( t и D( t показаны на рис. и причем сплошной линией изображены графики функций полученных спектральным методом а пунктиром графики функций полученных методом ортогонального разложения. На рис. и видно что графики функций полученных спектральным методом и методом ортогонального разложения практически совпадают а на рис. заметны расхождения. Это объясняется тем что дисперсия не может быть представлена в виде значения линейного функционала (см. ( ( и (3 что приводит к необходимости использования свойства спектрального преобразования произведения функций или недостаточной точностью метода ортогонального разложения. Тем не менее точность вычислений может быть повышена посредством увеличения порядка усечения спектральных характеристик. ù ú û. t D t t t D t D t Рис.. Математическое ожидание состояния системы стабилизации. Рис.. Дисперсия состояния системы стабилизации. Замечание. Все расчеты проводились с помощью специализированного программного обеспечения спектрального метода анализа и синтеза систем управления Spectru []. < Приложение Многомерные матрицы Пусть и заданные натуральные числа M = +. Каждый из индексов... j j... j пробегает бесконечный ряд целых неотрицательных чисел т.е j... j j...

34 Упорядоченная совокупность в общем случае комплексных чисел A... j j... j называется многомерной матрицей размерности M имеющей строчных и столбцовых индексов и обозначается ( A или (... j j... j A. Таким образом первые индексов являются строчными а остальные столбцовыми. Числа A... j j... j называются элементами многомерной матрицы. Разделение множества индексов на строчные и столбцовые позволяет задать структуру многомерной матрицы. Например упорядоченную совокупность чисел X X X... можно интерпретировать как матрицу столбец тогда в принятых обозначениях X ( é X ù ê X ú ê ú. Эту же = ê X ú совокупность чисел можно рассматривать как матрицу строку и тогда ( [ ] X = X X X L. Двумерная матрица A ( представляется в виде прямоугольной таблицы чисел т.е. ê ë M ú û A ( éa A A ê ê A A A = ê A A A L ú ê ë ú M M M Oû Lù L ú ú. Способ представления многомерных матриц в случае когда количество строчных или столбцовых индексов больше единицы изложен в []. Если элементы многомерной матрицы ( A являются функциями времени то эту зависимость целесообразно указывать в обозначении матрицы отделяя переменную t от количества строчных и столбцовых индексов точкой с запятой т.е. ( ; Многомерная матрица A( совпадает т.е. A t. у которой количество строчных и столбцовых индексов = называется гиперквадратной. Многомерная матрица ( A называется гиперстрочной если все ее индексы являются столбцовыми т.е. и гиперстолбцовой если все ее индексы строчные т.е. =. Матрицу вида ( Рассмотрим основные операции над многомерными матрицами. A следует понимать как число.

35 . Суммой (разностью многомерных матриц A ( ( A j j j = и ( = ( называется многомерная матрица C ( C... j j... j B B j j j ( = ( + ( ( C ( A( B( C A B C A B... j j... j... j j... j... j j... j = - если = + ( C... j j... j = A... j j... j - B... j j... j для всех j j... j.... Произведением многомерной матрицы A ( ( A j j j многомерная матрица B ( ( B j j j = т.е. = на число a называется = т.е. B( a A( = если B = a A для всех j j... j j j... j... j j... j 3. Произведением многомерных матриц A ( ( A = и 3 ( 3 = ( называется многомерная матрица C ( C... j j... j B B j j j 3 = т.е. C ( = A( 3 B( 3 если C... j j... j = å A B... j j... j для всех j j... j Произведением многомерных матриц A( = ( A... j j... j... и B ( = B... называется многомерная матрица C ( ( C j j j = т.е. C ( A( B( = e C = å A B для всех если... j j... j... j j... j j j... j Тензорным произведением многомерных матриц A ( ( A j j j ( 3 4 ( = и B = B называется многомерная матрица l l l ( 3 4 ( C C j j j l l l + + = т.е. C ( A( B ( = Ä если C = A B для всех j 3 j... j l l... l 4... j j... j... l 3 l... l 4

36 j j... j... 4 l l... l Многомерная матрица B ( ( B j j j = называется транспонированной по отношению к многомерной матрице A ( ( A j j j B j j... j j j... j = т.е. T = A для всех j j... j Гиперквадратная матрица A ( гиперквадратной матрице A( если справедливо равенство ( - ( - ( ( ( A A = A A = E где гиперквадратная матрица ( матрицы ( B выполняется тождество ( ( ( ( ( B E = E B = B. B = éë A ùû если называется обратной по отношению к E называется единичной т.е. для любой гиперквадратной Свойства операций сложения вычитания умножения на число умножения тензорного умножения транспонирования и обращения многомерных матриц приведены в []. Приложение Спектральные характеристики функций и линейных операторов Пусть принадлежит множеству образует базис пространства L ( W. Гиперстолбцовая матрица H ( ( H коэффициенты разложения функции Î { (... } p = т.е.... ( (... ( W... L { } W Í R а система функций p( = элементы которой представляют собой... h L H = p h называется спектральной характеристикой функции h(. W в ряд по функциям базисной системы Отображение ставящее в соответствие функции h( ее спектральную характеристику H ( называется спектральным преобразованием функции h( и обозначается S : ù = S éë h û H. Обратный переход от спектральной характеристики H ( к функции h( осуществляется

Программное обеспечение спектрального метода Spectrum

Программное обеспечение спектрального метода Spectrum УДК 681.3 Программное обеспечение спектрального метода Spectrum К.А. Рыбаков Описывается алгоритмическое и программное обеспечение, предназначенное для решения задач теории автоматического управления с

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

ГЛАВА 2 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Скалярные гиперслучайные функции

ГЛАВА 2 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Скалярные гиперслучайные функции ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Определено понятие гиперслучайной функции и разработан математический аппарат описания гиперслучайных функций различных типов скалярных и векторных вещественных и комплексных).

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9 ЧАСТЬ 5 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 9 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин;

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита . СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. Многочлены Чебышева - Эрмита Вводные замечания При решении многих важных задач математической физики, квантовой механики, теоретической физики приходится

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

Тема 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ФУНКЦИЯМ ЛАГЕРРА И УОЛША

Тема 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ФУНКЦИЯМ ЛАГЕРРА И УОЛША Тема 4 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ФУНКЦИЯМ ЛАГЕРРА И УОЛША Полиномы и функции Лагерра Разложение сигналов по функциям Лагерра Выбор значения масштабного коэффициента Функции Радемахера Функции

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Комментарии к теме «Характеристические функции»

Комментарии к теме «Характеристические функции» Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.

Подробнее

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ 3 2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ Рассмотрим пару скалярных ПОСДУ с параметрами a i, σ i, ζ i, f i, i = 1, 2. ξ i (θ) = x + θ y i () = ζ i + a i (, ξ i (), y i (), z i ())d + θ f i (θ, ξ i (θ), y i (θ),

Подробнее

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Л Е К Ц И Я 2 СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Согласно принципу, если система может находиться в состояниях ψ 1 и ψ 2, то она может находиться и в состоянии ψ, описываемом

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 2 53 УДК 57.944+533.6 МЕТОД A-ОПЕРАТОРОВ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ю. А. Чиркунов Новосибирский государственный университет

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 38.03.01

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

η η η (2.2) η η η η η η ζ η (2.3) (2.4) η η η : (2.5) jdζ

η η η (2.2) η η η η η η ζ η (2.3) (2.4) η η η : (2.5) jdζ 2. Элементы тензорного исчисления В предыдущих разделах были введены в рассмотрение некоторые векторы, например, скорость v, перемещение dr. Что же такое вектор? Вектор не скаляр, но в то же время, как

Подробнее

Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 9 Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

1. Применение метода конечных элементов в расчете конструкций

1. Применение метода конечных элементов в расчете конструкций 1 Применение метода конечных элементов в расчете конструкций Посмотрим вначале как метод конечных элементов соотносится с другими методами инженерного анализа которые могут быть разделены на две категории

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Разложение Вольда для полиномиальных последовательностей

Разложение Вольда для полиномиальных последовательностей Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна Серiя "Математика, прикладна математика i механiка" УДК 517.948 850, 2009, с.57 70 Разложение Вольда для полиномиальных последовательностей

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

Алгоритм восстановления изображения по его коду

Алгоритм восстановления изображения по его коду Алгоритм восстановления изображения по его коду П.Г. Агниашвили В рамках дискретно-геометрического подхода к распознаванию образов представлен алгоритм, вычисляющий по коду все классы а -эквивалентных

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Занятие 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

Занятие 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ Занятие 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ Основные этапы построения математической модели: 1. составляется описание функционирования системы в целом; 2. составляется

Подробнее

Законы сохранения. ( ) непрерывные функции (на рис. (1) изображены несколько траекторий движения частиц во времени) x 2 t. Рис. 1

Законы сохранения. ( ) непрерывные функции (на рис. (1) изображены несколько траекторий движения частиц во времени) x 2 t. Рис. 1 Законы сохранения. 1. Уравнение неразрывности. В качестве примера разберём одномерный случай движения частиц (n = 1). Пусть в начальный момент времени (t = 0) частицы сплошной среды заполняют отрезок [a,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов.

Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов. УДК 6780153083 Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов Мартышенко ВА (Военная академия радиационной, химической и бактериологической защиты и инженерных войск) Процессы

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Лекция 12. Байесовские сети Методы анализа выживаемости. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 12. Байесовские сети Методы анализа выживаемости. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 12 Байесовские сети Методы анализа выживаемости Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 12

Подробнее