Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления"

Транскрипт

1 УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных функционалов исследуются их свойства. Рассматриваются возможные приложения полученных результатов при решении задач анализа и синтеза нелинейных нестационарных стохастических систем управления с использованием спектральной формы математического описания в частности для определения моментных характеристик вектора состояния маргинальных и условных плотностей вероятности. Введение В работах [ 3] был предложен метод вероятностного анализа нелинейных нестационарных стохастических систем управления основанный на спектральной форме математического описания [45] а в [67] этот подход был развит для решения задачи вероятностного анализа стохастических систем с переменной структурой (систем со случайными изменениями структуры и стохастических непрерывно-дискретных систем. Для решения перечисленных выше задач были введены понятия спектральных характеристик функций (нестационарных спектральных характеристик и спектральных характеристик линейных операторов (нестационарных передаточных функций и исследованы их свойства на основании которых были построены эффективные алгоритмы решения задачи вероятностного анализа т.е. алгоритмы определения плотности вероятности вектора состояния системы управления как наиболее полной вероятностной характеристики. Однако в некоторых случаях для анализа и синтеза ряда систем требуется определение моментных характеристик вектора состояния вероятностных характеристик активности структур для систем управления со случайными изменениями структуры нахождение маргинальных и условных плотностей вероятности [89] причем на всех этапах вычислений удобно использовать спектральную форму математического описания систем управления. В связи с этим для решения подобных задач спектральным методом возникает необходимость представления линейных функционалов в спектральной форме математического описания. Спектральные характеристики линейных функционалов Пусть W линейный функционал определенный на действительном пространстве L ( W

2 где { } W Í R ; p( базис пространства L ( W [] [ ] T = L. Будем предполагать что существует такая действительная функция w( что для любой функции Î h L W справедливо равенство W h = ò w h d. ( W Будем называть спектральной характеристикой линейного функционала W определенной относительно базисной системы { (... } (... p =... гиперстрочную матрицу W = W (см. приложение элементы которой вычисляются по формуле ( (... ( W W = p w (... L где (.. L ( W скалярное произведение в пространстве L W т.е. ( u( v( = u ( v( d L ( W ò для любых u ( v( L W Î W. Отображение ставящее в соответствие линейному функционалу его спектральную характеристику называется спектральным преобразованием и обозначается S : [ ] = W ( S W. Нетрудно видеть что соотношение ( также задает элементы спектральной характеристики ( W W = функции... w определенной относительно базисной системы { (... } p =... T (см. приложение и [36]. Таким образом W ( = éw ( ù ë û где ù T éë W û транспонированная многомерная матрица []. Замечание. Если функционал W непрерывен то по теореме Рисса [] существует единственная функция Î w L W = w( ( W однако в ряде случаев функция L W такая что справедливо представление ( и при этом w может принадлежать пространству обобщенных функций тем не менее ее спектральная характеристика вычисляется так же как и спектральные характеристики функций из пространства L ( W [45]. Теорема. Пусть W линейный функционал определенный на пространстве L ( W h( Î L ( W W ( спектральная характеристика функционала W а ( H спектральная

3 характеристика функции h(. Спектральные характеристики W ( и ( относительно базисной системы { (... } = ( ( p =. Тогда... H определены W h W H (3 т.е. значение функционала W h( равно произведению спектральных характеристик функционала W и функции h(. Доказательство. Из соотношения ( следует что формально W h( = w( h( d = ( w( h( L ( W тогда представляя функцию ò W h в виде ряда по функциям базисной системы { (... } p =... и используя свойства скалярного произведения получаем следующее выражение: æ ö Wh( = ç w( å H p (... = å ( w( p (... H = L ( W è øl... W å ( (... L ( W = p w H = W H å где W... элементы спектральной характеристики функционала W (см. ( а... H элементы спектральной характеристики функции h( т.е. ( (... ( W H = p h L С учетом правила умножения многомерных матриц [] отсюда следует что = ( ( W h W H. < Приведем примеры линейных функционалов.. Линейный функционал функции в точке Î W т.е. d h ( d ставящий в соответствие функции Î h =. h L W значение этой Известно [] что d h ( можно представить в виде d h ( d ( h ( d = ò - где d ( - d -функция векторного аргумента []. Тогда по определению спектральной характеристики линейного функционала S [ ] = D ( где элементы гиперстрочной матрицы D ( задаются выражением d (... d ( (... D = ò p - d = p W W

4 следовательно значение функции h( в заданной точке вычисляется по правилу ( ( h = D H где H ( спектральная характеристика функции h( определенная относительно базисной системы { (... } p =.... Заметим что полученное соотношение представляет собой формулу обращения спектральных характеристик функций (см. приложение : å ( = (... h H p где H элементы спектральной характеристики (... H Î W.. Линейный функционал J ставящий в соответствие функции Î интеграла от этой функции по множеству W т.е. J h( = ò h d. W h L W значение Нетрудно видеть что функционалу J соответствует функция w( = следовательно по определению спектральной характеристики линейного функционала S[ J ] = J ( гиперстрочной матрицы J ( ( W задаются соотношением J = ò p d Тогда значение функционала J определяется выражением = ( ( ò h d J H W где элементы при условии что интеграл в левой части этого выражения существует и существуют интегралы в соотношении для вычисления элементов спектральной характеристики функционала J. Следует отметить что спектральная характеристика J ( функционала J может быть выражена через спектральную характеристику W ( функции w( = определенную относительно базисной системы { p(... } а именно J ( = éw ( ù T... Пример. Вычислим интеграл + - спектрального преобразования функции Эрмита [3]. Рассмотрим функции Эрмита с параметрами и ò - e ë û. d используя в качестве базисной системы для D =. Известно [3] что элементы спектральной характеристики W ( функции w( = определенной относительно выбранной

5 базисной системы вычисляются следующим образом: W = 4 p W 4 - W = W - = T é 4 4p 3 4p ù = éë ùû = ê 4p... ú. ë û Тогда J W Найдем спектральную характеристику функции h( - = e относительно системы функций Эрмита. По определению элементы спектральной характеристики функции h( задаются соотношением H + ò ( h( d... - = F где ( = F функция Эрмита с номером. Таким образом + - ì 4 ï p = H = ò F ( e d = í - ïî =... т.е. H = é ù ë û. 4 p... T Следовательно в силу теоремы и правила умножения многомерных матриц значение интеграла определяется выражением e = ( ( = å = 4 = - = ò d J H W H p p p. < Введем новые обозначения. Пусть множество W представляется в виде W = W W ( где W Í R ( - W Í R < а вектор в виде = é ( ( ù где ë û T T = [... ] Î W [ +... ] ( T = Î W. Пусть также система функций { p (... }... образует базис пространства L W а система { p (... } является базисом пространства ( L W. Функцию h будем записывать в виде h (. Кроме того будем полагать что функции базисной системы { p(... } пространства L... W порождаются всевозможными произведениями

6 функций базисных систем p... ( { } и { p (... } ( ( ( ( p = p... p Рассмотрим линейный функционал W заданный на пространстве L W (. Тогда в выражении W h ( координаты ( играют роль числовых параметров. т.е. Теорема. Пусть W линейный функционал определенный на пространстве L W ( ( ( ( h Î L W h ( Î L W почти всюду на ( W W спектральная характеристика функционала W определенная относительно базисной системы { p (... }... ( H спектральная характеристика функции h ( определенная относительно базисной системы { p(... } E (... единичная матрица размерности ( -. Тогда ( ( ( ( ( - - S é h ù ( = W Ä E - - H ë W û (4 ( где спектральное преобразование применяется к функции h ( = W h относительно { } + базисной системы p +... (... Доказательство. Из теоремы следует что = ( = ( ( ; ( ; h W h W H где. H спектральная характеристика функции h ( при фиксированном ( { } определенная относительно базисной системы p... ( H элементы спектральных характеристик и... ( Тогда = ( h å W H Обозначим через W... W и H ; ( соответственно. Найдем элементы спектральной характеристики функции h ( относительно базисной

7 { } + системы p +... (... ( ( ( L W( : ( æ ö H = p h p W... H = ç + å = è... øl ( W( å ( ( ( +... ( ( L W( = W p H = W H + = ( ( где числа H... = p... ( + H... представляют собой элементы L ( W спектральной характеристики H (. Формулу для вычисления H... + можно переписать следующим образом: H = å W % H j j... j j j... j j j... j где упорядоченная совокупность чисел % ìï W = j... = j = í ï î в остальных случаях j j... j + + W +... j j... j образует многомерную матрицу W ( - %. Следовательно по определению произведения и тензорного произведения многомерных матриц получаем выражение для спектральной характеристики функции h ( : % S éh( ù ( = W - H ë û где W% ( - = W ( Ä E ( - - å. Отсюда следует формула (4. < Замечание. Аналогичное утверждение можно сформулировать в случае если и ( образуются другим способом. Например = [ ] T [ ] T = [ ] T [ ] T = если четное; и т.п. = или... H - = S éw h ù ë û к функции Переход от спектральной характеристики ( ( h осуществляется по формуле обращения: ( ( - = é ( - ù = ( h S ë H û å H p (5 +...

8 H + элементы спектральной характеристики H ( где... - Î W (. Пример. Запишем выражение для спектральных характеристик функций = ò ( и h ( = ò h( d где h( L h h d W W Î W W W W Í R. Пусть { p ( } базис пространства L ( W а { p ( } базис пространства ( L W. Положим = ( = и рассмотрим линейный функционал J определенный на пространстве L ( W и ставящий в соответствие функции f ( L функции по множеству W т.е. J f = ò f d W Î W интеграл от этой. Нетрудно видеть что h ( = J h( при фиксированном. Тогда из теоремы следует что спектральная характеристика функции h ( определенная относительно базисной системы { p ( } образом: é ù H ( = S éë h ( ùû = S êò h( d ú = ( J ( Ä E ( H ( êë W úû где выражается следующим J спектральная характеристика функционала J определенная относительно базисной системы { p ( } E ( двумерная единичная матрица ( характеристика функции h( { p ( p ( }. H спектральная определенная относительно базисной системы Переход от спектральной характеристики H ( к функции ( формуле (5 которая в рассматриваемом примере примет вид: - ò h( d = S éë H ( ùû = å H p ( W где H элементы спектральной характеристики H Î W. h осуществляется по Теперь предположим что = а =. Проводя аналогичные рассуждения получаем выражение для спектральной характеристики функции h ( определенной относительно базисной системы { p ( } :

9 é ù H ( = S éë h ( ùû = S ê ò h( d ú = ( E ( Ä J ( H ( êë W úû J спектральная характеристика линейного функционала J заданного на где пространстве L ( W и ставящего в соответствие функции f ( L ( функции по множеству W т.е J f = ò f d W определена относительно базисной системы { p ( } W. Î W интеграл от этой. Спектральная характеристика J ( Формула обращения для спектральной характеристики H ( функции - ò h( d = S éë H ( ùû = å H p ( где H элементы спектральной характеристики h имеет вид: H Î W. < Рассмотрим линейные функционалы заданные на множестве функций времени t и вектора в предположении что переменная времени играет роль параметра. Будем предполагать что функции базисной системы { (... } L ( T W где T Í [ e t = пространства... + промежуток времени порождаются всевозможными произведениями функций систем { q( t } и { (... } p =... которые в свою очередь являются базисами пространств L ( T и L ( W соответственно т.е. e(... t q ( t p (... =. Теорема 3. Пусть W линейный функционал определенный на пространстве L ( W ( Î ( W h( t Î L ( W почти всюду на T W ( h t L T спектральная характеристика функционала W определенная относительно базисной системы { (... } H ( + спектральная характеристика функции ( системы { (... } e t =. Тогда... ( ù = ( ( Ä ( ( + p =... h t определенная относительно базисной S éë W h t û E W H (6 где спектральное преобразование применяется к функции h ( t h( t системы { q( t }. = W относительно базисной

10 Доказательство проводится так же как и доказательство теоремы. Запишем формулу обращения для спектральной характеристики H S W h ( t функции h ( t h( t = W : = é ù ë û - h ( t = S éë H ( ùû = å H q ( t (7 где H элементы спектральной характеристики H t Î T. Пример 3. Запишем выражение для спектральной характеристики функции времени ( h t h t d d = ò ò где h( t L ( T W W Î W W W W Í R. Пусть { q( t } базис пространства L ( T а { p ( p ( } базис пространства L ( W W. Тогда по теореме 3 получаем искомую спектральную характеристику в виде é ù H ( = S éë h ( t ùû = S êò ò h( t dd ú = ( E ( Ä J ( H ( 3 êë W W úû где H ( 3 спектральная характеристика функции h( t базисной системы { q( t p ( p ( } ( определенная относительно J спектральная характеристика линейного функционала J заданного на пространстве L ( W W и ставящего в соответствие функции f ( L Î W W интеграл от этой функции по множеству W W т.е. ( ( J f f d d = ò ò W W базисной системы { p ( p ( }. Спектральная характеристика J ( определена относительно. Напомним что J ( = éw ( ù T ë û где ( W спектральная характеристика функции w( = определенная относительно базисной системы { p ( p ( }. Для перехода от спектральной характеристики H ( к соответствующей функции времени применяется формула обращения (7. < Сформулируем важное следствие из теорем и 3. Пусть функции базисной системы { (... } e t =... порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем

11 { q( t } и ( { p (... } = ( (... { p (... } + и ( + ( L W т.е.... пространств ( + + L T L W e t = q t p... p.... Пусть также W линейный функционал заданный на пространстве ( ( L W. Будем предполагать что в выражении h t ( = W h t переменная времени t и координаты ( играют роль числовых параметров. Функцию ( Теорема 4. Пусть h t будем записывать в виде h t (. W спектральная характеристика функционала W определенная { } относительно базисной системы p... ( ( ( h t Î L W почти всюду на ( функции ( Тогда T W (... ( h t Î L T W ( H + спектральная характеристика h t определенная относительно базисной системы { (... } ( ( ( ( ( ( S éw h t ù ( = E ÄW Ä E - - H + ë û e t =.... (8 ( где спектральное преобразование применяется к функции h t = W h t { q t p (... } относительно базисной системы ( ( + ( +... Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы. Переход от спектральной характеристики ( ( ( h t осуществляется по формуле обращения: ( (. H - + = S éw h t ù ë û к функции - ( = S é ( - + ù = ( h t ë H û å H q t p +... H + элементы спектральной характеристики H ( где... (9 - + t Î T Î W (. Замечание. Следует отметить что в общем случае и ( могут формироваться произвольным образом из координат вектора. Пример 4. Найдем выражения для спектральных характеристик функций

12 ( = ò ( и h ( t = ò h( t d где h( t L ( T h t h t d W W Î W W W W Í R. Пусть { q( t } базис пространства L ( T а { p ( } и { } p = базисы пространств L ( W и ( L W соответственно. Тогда используя результаты полученные в примере и утверждение теоремы 4 запишем искомые выражения для спектральных характеристик: é ù H ( = S éë h ( t ùû = S êò h( t d ú = ( E ( Ä J ( Ä E ( H ( 3 êë W úû é ù H ( = S éë h ( t ùû = S ê ò h( t d ú = ( E ( Ä E ( Ä J ( H ( 3 êë W úû где J ( и ( J спектральные характеристики функционалов J и J определенные относительно базисных систем { p ( } и { } p соответственно (см. пример H ( 3 спектральная характеристика функции h( t системы { q( t p ( p ( }. Для перехода от спектральных характеристик H ( и ( функциям применим формулу (9 тогда W - ò h( t d = S éë H ( ùû = å H q ( t p ( W - ò h( t d = S éë H ( ùû = å H q ( t p ( где H и H элементы спектральных характеристик H и определенная относительно базисной H к соответствующим H соответственно t ÎT ÎW ÎW. < Вычисление моментных характеристик вектора состояния стохастических систем Рассмотрим задачу вычисления моментных характеристик вектора состояния стохастических систем управления с фиксированной структурой [45] по известной спектральной характеристике плотности вероятности вектора состояния. Пусть ( t f плотность вероятности вектора состояния тогда математическое ожидание ( t и ковариационная матрица R( t определяются следующим образом:

13 = é ù T t ë t t L t û R t где L L ér t R t R t ù ê ú ê R t R t R t ú M M O M ê ú êë R ( t R ( t L R ( t úû = ê ú размерность вектора состояния f ( t = ò t d ( R = f ( - ò R t t d t t j j j R j =.... ( Операцию вычисления математического ожидания можно рассматривать как линейный функционал J (см. примеры линейных функционалов заданный на пространстве функций времени и вектора состояния при условии что переменная времени t фиксирована Перейдем к определению функций ( t и Rj W = R. t с использованием спектральной формы математического описания. Пусть M ( спектральная характеристика функции определенная относительно базисной системы { q( t } пространства L T ( спектральная характеристика функционала J X ( умножения на функцию t J спектральная характеристика оператора a = (нестационарная передаточная функция усилительного звена с коэффициентом передачи a ( = ; спектральные характеристики J ( X ( относительно базисной системы { (... } p пространства ( =... определены L R ( F + спектральная характеристика плотности вероятности вектора состояния определенная относительно базисной системы { (... ( (... } L T R ( e t = q t p пространства =... E двумерная единичная матрица. Тогда по теореме 3 и свойству спектрального преобразования произведения функций [45] имеем ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F + ( =... так как спектральная характеристика подынтегральной функции в выражении ( равна

14 ( E ( X ( ( Ä F +. Запишем выражение для представления функции R характеристикой функции ( t получаем что é ù S ê ò jf ( t dú = ( E ( Ä J ( E ( Ä X j ( F + ê ër úû где X ( X ( X ( j j j j j t. По аналогии со спектральной = спектральная характеристика оператора умножения на функцию a =. По свойству спектрального преобразования произведения функций времени [5] S é ( t ( t ù = M ( M ( где ( ë û j j M спектральная характеристика оператора умножения на функцию ( t определенная относительно базисной системы { q( t } M ( спектральная характеристика функции j M ( можно найти по известной спектральной характеристике ( ( ( ( M = V e M j = а t причем спектральную характеристику M [45]: где V ( спектральная характеристика множительного звена (трехмерная нестационарная передаточная функция множительного звена определенная относительно базисной системы { q( t } соотношением. Следовательно спектральная характеристика R ( функции R ( ( j j t определяется R = E Ä J E Ä X F + - V e M M (3 j j j j =.... Спектральные характеристики функций ( t и Rj Определим линейные функционалы M h = ò h d W M и j M h j j = ò h d W M на пространстве h( Î L ( W t можно найти другим способом. L W : тогда M ( = S é M ù = éx ( ù T M ( S é M ù éx ( ù T где X ( и ( ë û ë û = ë û = ë û j j j спектральные характеристики функций a ( = и { } j j X a = соответственно определенные относительно базисной системы p(... пространства L =... W. Следовательно если W = R то по теореме 3 свойству линейности спектрального преобразования и свойству j

15 спектрального преобразования произведения функций времени ( ( ( ( ( M = E Ä M F + (4 ( R = E Ä M F + - V e M M (5 j j j j =.... Покажем что соотношения ( и (4 эквивалентны. Для этого преобразуем выражение ( E ( J ( ( E ( X ( Ä Ä используя свойства операций над многомерными матрицами []: ( E ( J ( ( E ( X ( ( E ( E ( ( J ( X ( Ä Ä = Ä = T T T T ( éë ùû ( éë ùû éë ùû = E Ä J X = E Ä X J. Известно [45] что спектральные характеристики операторов умножения представляют собой симметрические матрицы т.е. é T ëx ùû = X (. Кроме того J ( = éw ( ù T T ë û и следовательно é T ëj ùû = W ( где W ( спектральная характеристика функции w( = определенная относительно базисной системы { (... } T ( é ù é ù T T T p = поэтому... E Ä ëx û ëj û = E Ä X W. По свойству спектрального преобразования произведения функций [45] X ( W ( X ( T T ( Ä ( ( ( = ( Ä é ( ù = ( Ä ( E X W E ëx û E M т.е. ( E ( J ( ( E ( X ( E ( M ( =. Таким образом Ä Ä = Ä из чего следует эквивалентность соотношений ( и (4. Эквивалентность соотношений (3 и (5 доказывается аналогично. Переход от спектральных характеристик M ( и ( времени осуществляется по формуле (7: ; j R к соответствующим функциям - ( t = S éë M ( ùû = å M q ( t (6 - R ( t = S é ër ( ù û = å R q( t (7 j j j; где M ; и j; j =.... R элементы спектральных характеристик M ( и ( R соответственно t Î T Замечание. В одномерном случае ( = функция R( t называется дисперсией и j

16 обозначается D( t. Спектральную характеристику функции D( t будем обозначать ( D. Пример 5. Запишем выражения для спектральных характеристик математического ожидания и дисперсии состояния одномерной стохастической системы. Формулы ( и ( для одномерной стохастической системы примут вид: f ( t = ò t d R ò D( t = f ( t d - ( t R. Для получения искомых спектральных характеристик воспользуемся результатами полученными выше. Пусть { q( t } базис пространства L ( T ( V спектральная характеристика множительного звена определенная относительно этой базисной системы; { ( } p = базис пространства L ( R а J ( и ( X спектральные характеристики функционала J и оператора умножения функцию a( относительно базисной системы { p( } ; ( вероятности состояния т.е. функции f ( t { ( ( } q t p = = соответственно определенные F спектральная характеристика плотности определенная относительно базисной системы. Тогда спектральные характеристики M ( и D ( функций ( t и D( t соответственно выражаются следующим образом: ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F ( ( D = E Ä J E Ä X F - V Ä M M. Переход от спектральных характеристик M ( и ( D к соответствующим функциям времени осуществляется по формулам (6 и (7. < Замечание. Используя понятие спектральных характеристик линейных функционалов можно получить соотношения аналогичные ( и (3 (или (4 и (5 для определения начальных и центральных моментов любого порядка по известной спектральной характеристике плотности вероятности. Перейдем к определению спектральных характеристик математического ожидания и ковариационной матрицы вектора состояния для систем со случайными изменениями структуры [6 8]. Пусть f < > ( t ненормированная плотность вероятности вектора состояния [6 8] для структуры с номером N число структур системы. Тогда координаты вектора ( t и элементы матрицы R( t выражаются следующим образом [7]:

17 N < > < > = å t t = j < > ( t N < > < > æ t t ö Rj t = å Rj t + - t j t ç = è P ø < > где размерность вектора состояния а функции ( t соотношениями f ( < > < > R j =... (8 < > и R ( t j определяются t = ò t d (9 j < > ( t t t < > < > < > < > j = ò jf ( - P R R t t d j =... =... N ; ( t < > P вероятность работы структуры с номером : P R ( t f ( = ò < > < > < > j R ( t d. ( Наряду с ненормированными плотностями вероятности f < > < > ( t функциями ( t ( t будем рассматривать нормированные плотности f ( t ( t < > % < > ( t = = < > f P и моментные характеристики < > < > < > = f % ò ( = < > P R % t t d ( t ( t < > < > < > < > < > j j = jf % ò ( - j = < > P R R% t t d % t % t j =... =... N. Замечание. Функция f < > ( t ( R ( t ( t (3 представляет собой совместную плотность вероятности f ( t вектора состояния и номера структуры при фиксированном а f < > ( t плотность вероятности f ( t и % условная. По принятой в [7] терминологии будем называть функции < > < > < > < > = é ë ù û и R ( t = érj ( t ù = ë û взвешенными а ( t = é j = ë t ù û = < > < > t t % % и = é ë j ù û j = % % условными моментными характеристиками. < > < > R t R t Спектральные характеристики M < > < > ( функций ( t определяются аналогично спектральным характеристикам координат математического ожидания вектора состояния стохастических систем с фиксированной структурой (см. (:

18 ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F + (4 < > < > =... =... N < > где ( F + спектральная характеристика ненормированной плотности вероятности f < > ( t определенная относительно базисной системы { (... } e t =.... Из соотношения ( и теоремы 3 следует что спектральная характеристика P < > ( < > функции P ( t определенная относительно базисной системы { q( t } следующим образом: ( ( ( ( ( < > < > P E J = выражается = Ä F + =... N. (5 Для спектральной характеристики R < > < > ( функции R ( t < > - < > < > ( V ( e P ( ( V ( e M ( M j ( ( j < > < > R = E Ä J E Ä X F + - j - j j справедливо соотношение (6 j =... =... N. Данное выражение получено с использованием свойства спектрального преобразования произведения функций времени [45] а именно < > ( t é t t ù S ê ú = êë P úû < > < > j где P < > ( и M < > ( < > - < > < > ( P ( M ( M j ( спектральные характеристики операторов умножения на функции < > < > P ( t и ( t соответственно определенные относительно базисной системы { q( t } < > < > < > < > причем P ( = V ( e P ( и M ( = V ( e M ( ; M < > ( j спектральная < > характеристика функции j ( t определенная относительно базисной системы { q( t }. Для спектральных характеристик M % < > ( и R % < > < > ( функций % ( t и R% < > ( t соответственно справедливы формулы ( = ( ( Ä ( ( ( Ä ( F ( + < > < > M% E J E X % (7 < > < > ( V ( e M% ( M% j ( ( j R% < > < > = E Ä J E Ä X F % + - j - j =... =... N < > где F % ( + спектральная характеристика функции f < > ( t j j (8 % определенная относительно

19 базисной системы { (... } e t =.... < > < > Нетрудно показать что спектральные характеристики функций % ( t и ( t а также функций R % < > ( t и < > R ( t j j связаны следующими соотношениями: - M% < > = V e P < > M < > - j R% < > = V e P < > R < > j j =... =... N. Переход от спектральных характеристик M < > ( и R < > ( j к соответствующим функциям времени осуществляется по формуле (7: < > - < > < > ë û å ; = é ( ù = ( t S M M q t (9 < > - < > < > j ë j û å j; = é ( ù = ( R t S R R q t (3 где M < > ; и j; R < > элементы спектральных характеристик M < > ( и R < > ( t Î T j =... =... N. Формулы обращения спектральных характеристик M % < > ( и R < > ( (3 а именно < > - < > < > ë û å ; = é % ( ù = % ( j j соответственно % аналогичны (9 % t S M M q t (3 < > - < > < > j ë j û å j; = é ( ù = ( R% t S R% R% q t (3 где M % < > ; и j; % элементы спектральных характеристик M % < > ( и R < > ( R < > t Î T j =... =... N. Запишем формулу обращения для спектральной характеристики ( % соответственно j P < > : < > - < > < > P ( t = S é ëp ( ù û = å P q( t (33 где P < > элементы спектральной характеристики ( P < > t Î T =... N. Замечания. < >. В одномерном случае функции R( t R ( t и R % < > ( t будем обозначать через D t D < > ( t и D % < > ( t а их спектральные характеристики через D ( D < > ( и D % < > (

20 соответственно.. Формулы (4 (6 (8 могут быть записаны с использованием спектральных характеристик линейных функционалов M и M (см. (4 и (5. j 3. Как и в случае стохастических систем с фиксированной структурой можно получить соотношения для спектральных характеристик начальных и центральных моментов любого порядка причем как взвешенных так и условных. Определение маргинальных и условных плотностей вероятности Пусть ( t управления вероятности f f плотность вероятности вектора состояния стохастической системы Î W = R. Не ограничивая общности будем рассматривать маргинальную плотность ( t f ( t d = ò - R где (34 < [ ] T = Î R [ ] T вероятности f ( t ( (... ( t ( t - = +... Î R и условную плотность f =. (35 f Будем предполагать что функции базисной системы { (... } e t = пространства... L T R порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем { q( t } { p (... }... базисами пространств { p (... } + и ( + (... - L T L ( R и L - линейный функционал определенный на пространстве L ( R которые в свою очередь являются R соответственно. Обозначим через J ( который ставит в соответствие функции h ( f ( t f ( t - L Î R значение интеграла h = J при фиксированных t и. ò- R d (. Следовательно Из теоремы 4 и замечания к ней следует что спектральная характеристика F ( + функции t { q t p (... } f определенная относительно базисной системы ( ( (...

21 задается следующим выражением: F + = E Ä E Ä J - F + (36 ( где E ( двумерная единичная матрица ( ( E единичная матрица размерности J - спектральная характеристика функционала J ( определенная относительно { } + базисной системы p +... (... ( F + спектральная характеристика функции f ( t определенная относительно базисной системы { (... } f e t =.... Формула обращения для спектральной характеристики ( F + имеет вид: - ( t = S éf ( + ù = F q( ( t p... ë û å ; F элементы спектральной характеристики ( где ;... (37 F + t Î T Î R. Перейдем к определению спектральной характеристики условной плотности вероятности f t (. Перепишем формулу (35 в виде ( f t = f t f t и применим спектральное преобразование к левой и правой части полученного выражения. Тогда из свойства спектрального преобразования произведения функций следует что ( ( ( F + = F + + F + где ( F + + спектральная характеристика оператора умножения на функцию f t ( определенная относительно базисной системы { e(... t }... ( спектральная характеристика функции f t ( F + определенная относительно той же базисной системы. Функция f t не зависит от ( поэтому F ( + + = F ( + + Ä E ( - - где ( характеристика оператора умножения на функцию f t { q t p (... } базисной системы ( ( (... F + + спектральная E ( размерности ( -. Спектральная характеристика ( определенная относительно - - единичная матрица F + + в свою очередь выражается

22 через спектральную характеристику ( F + [45]: F + + = V ÄV % e F + где V ( спектральная характеристика множительного звена определенная относительно базисной системы { q( t } а V ( определенная относительно базисной системы p... ( % спектральная характеристика множительного звена { }.... Таким образом ((( % e ( F + = V ÄV F + Ä E - - F + и следовательно - (( F + = V ÄV% e F + Ä E - - F +. Учитывая свойства операций над многомерными матрицами окончательно получаем выражение для спектральной характеристики условной плотности вероятности: - ö ( F ( + = æ ç V ( ÄV% ( e F + Ä E - - F +. (38 è ø Для перехода от спектральной характеристики ( применяется формула обращения f - ( t = éf ( + ù = F e ( t ; где F + к функции f t ( ( S ë û å... (39 F элементы спектральной характеристики ( ;... - F + t Î T Î R ( Î R. Пример 6. Найдем выражения для спектральных характеристик маргинальной плотности вероятности f ( t и условной плотности вероятности ( t характеристике плотности вероятности ( t f по известной спектральной f вектора состояния двумерной стохастической системы. Пусть { q( t } базис пространства L ( T а { p ( } и { } p = базисы пространства L ( R. В рассматриваемом примере f ( = òf ( f ( t ( t ( t f = поэтому соотношения (36 и (38 примут вид: f ( ( E ( E ( J ( ( 3 F = Ä Ä F t t d R

23 где F ( спектральная характеристика функции f ( t базисной системы { q( t p ( } ( определенная относительно J спектральная характеристика функционала J (см. пример определенная относительно базисной системы { p ( } ( 3 спектральная характеристика функции f ( t { q( t p ( p ( } ; - ((( V V E F 3 = Ä % e F Ä F 3 где F ( 3 спектральная характеристика функции f ( t базисной системы { q( t p ( p ( } ( F определенная относительно базисной системы определенная относительно V спектральная характеристика множительного звена определенная относительно базисной системы { q( t } а ( V% спектральная характеристика множительного звена определенная относительно базисной системы { p ( }. Переход от спектральных характеристик F ( и ( 3 вероятности осуществляется по формулам обращения (37 (39: f f - ( t = éf ( ù = F q( t p ( ; S ë û å - ( t = éf ( 3 ù = F q( t p ( p ( S ë û å ; где F ; и ; F к соответствующим плотностям F элементы спектральных характеристик F и F соответственно 3 t Î T Î R. < Замечание. Соотношения (34 (39 с точностью до обозначений справедливы для маргинальных и условных плотностей вероятности вектора состояния систем управления со случайными изменениями структуры. Примеры вероятностного анализа стохастических систем Приведем примеры вероятностного анализа стохастической системы с фиксированной структурой и системы со случайными изменениями структуры с использованием спектральной формы математического описания систем управления.

24 Замечание. При решении задач анализа и синтеза спектральным методом на вычислительных машинах можно оперировать только с конечными матрицами поэтому спектральные характеристики функций линейных операторов и линейных функционалов усекаются по всем измерениям бесконечного порядка до некоторого порядка L называемого порядком усечения. Методика вычисления погрешности расчета обусловленной усечением матриц приведена в [3 5]. Пример 7. Рассмотрим задачу вероятностного анализа линейной стационарной детерминированной системы второго порядка заданной уравнением X + X X Î R с начальным условием X ( = X X ( = X && где t T [ p ] Î = & & причем X и X & независимые случайные величины имеющие гауссовское распределение с математическим ожиданием = и дисперсией D =. Поскольку начальное условие для рассматриваемой системы является случайной величиной решение X ( t представляет собой случайный процесс следовательно задача состоит в нахождении плотности вероятности состояния системы. Отметим что данная задача относится к классу задач анализа систем управления ансамблем траекторий [8]. Сделаем замену переменных. Пусть X = X а X уравнение сводится к следующей системе дифференциальных уравнений: ì ïx & = X í X& ïî = -X = X & тогда исходное дифференциальное начальные условия для которой определяются выражениями X ( = X и X ( = X &. Эту систему можно рассматривать как частный случай двумерной стохастической системы с функцией сноса f ( t é ù = ê - ú ë û и нулевой матрицей диффузии [4] т.е. g ( t é ù = ê ú ë û. Следовательно плотность вероятности f ( t вектора [ ] T Фоккера-Планка-Колмогорова [49] ( t ( t ( t f f f = - + t с начальным условием f ( ep ( ( X X удовлетворяет уравнению = и нулевыми краевыми условиями. p { } Выберем в качестве базисной системы пространства L ( T полиномы Лежандра P ( t { } [45] а для пространства L ( R функции Эрмита F ( и { } F с параметрами

25 и D = [35]. Пусть P ( двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена первого рода определенная относительно системы полиномов Лежандра [45] q ( ; вектор значений функций этой системы при t = ; ( P двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена второго рода определенная относительно системы функций Эрмита [3]; F ( 33 и ( 33 функции f ( t = и ( { } F спектральные характеристики операторов умножения на f t = - соответственно определенные относительно базисной системы P ( t F ( F ( ( 3 F спектральная характеристика плотности вероятности f ( t определенная относительно той же базисной системы а спектральная характеристика начальной плотности вероятности f ( { } относительно базисной системы ( ( F определенная F F. Применяя спектральное преобразование к левой и правой части уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с учетом начальных и краевых условий [] и принимая во внимание тот факт что матрица двумерной нестационарной передаточной функции дифференцирующего звена второго рода определенной относительно системы функций Эрмита является кососимметрической [3] получаем уравнение обобщенной характеристической функции [3]: P t ( 33 F( 3 - q( ; Ä F ( = = - P F F - P F F где спектральные характеристики операторов дифференцирования первого порядка по времени и координатам и задаются соотношениями ( 33 ( ( ( t P P E E = Ä Ä = Ä P Ä P E E P 33 E E 33 = Ä Ä P. Выражая из полученного уравнения неизвестную спектральную характеристику F ( 3 получаем следующее выражение: - ( P P F P F ( q t F 3 = ; Ä F. Так как состоянием исходной системы является координата X то необходимо найти

26 маргинальную плотность вероятности f ( f ( характеристику F ( функции ( t t = ò t d R причем спектральную f можно выразить через спектральную характеристику F ( 3 используя теорему 4 и результаты полученные в примере 6. Тогда ( ( E ( E ( J ( ( 3 F = Ä Ä F где J ( спектральная характеристика функционала J (см. пример определенная относительно системы функций Эрмита. По формуле обращения получаем что f - ( t = éf ù = F P ( t F ( S ë û å где F элементы спектральной характеристики График функции ( t F t Î T Î R. f и графики ее сечений при различных значениях переменной времени t изображены на рис. и соответственно (порядок усечения характеристик равен восьми. спектральных t t t t t t t 3 t Рис.. Плотность вероятности состояния системы. Рис.. Плотность вероятности состояния системы в различные моменты времени. Вычислим математическое ожидание состояния системы ( t M X ( t воспользуемся результатами полученными в примере 5: ( ( ( ( ( ( ( ( M = E Ä J E Ä X F = éë ùû для этого где M ( спектральная характеристика функции ( t определенная относительно системы полиномов Лежандра J ( спектральная характеристика функционала J (см. пример определенная относительно системы функций Эрмита а X ( спектральная характеристика оператора умножения на функцию a ( = также определенная относительно системы функций

27 Эрмита. Переход от спектральной характеристики M ( к соответствующей функции времени осуществляется по формуле (7: - ( t = S éë M ( ùû = å M P t где M элементы спектральной характеристики ( M t Î T. Для проверки точности проведенных расчетов определим функцию ( t другим способом. Найдем математическое ожидание левой и правой части уравнения X && + X тогда && +. & =. Аналогичным образом можно получить начальные условия а именно ( = Интегрируя дифференциальное уравнение && + с учетом начальных условий получаем выражение для математического ожидания состояния системы: ( t = cost + st. На рис. 3 сплошной линией изображен график математического ожидания полученного спектральным методом а пунктиром график функции ( t = cost + s t. Как видно из результатов спектральный метод обеспечивает достаточную точность даже при небольших порядках усечения спектральных характеристик. t Рис. 3. Математическое ожидание состояния системы. Пример 8. Найдем ненормированные плотности вероятности и моментные характеристики состояния одномерной системы стабилизации [7]. Первая структура этой системы изображена на рис. 4. При выходе координаты X из множества [ ] -D D возможен срыв стабилизации и переход в режим поиска (рис. 5 причем интенсивность этого перехода постоянна и равна c. <

28 V p+ X V p+ X Рис. 4. Первая структура системы стабилизации. Рис. 5. Вторая структура системы стабилизации. В режиме поиска при попадании координаты X в область [-D D ] где D > D система может перейти обратно в первое состояние таким образом осуществляется захват сигнала. Интенсивность захвата также постоянна и равна c. На рис. 4 и 5 используются следующие обозначения: V стандартный гауссовский белый шум; числовые параметры. Отрезок времени функционирования системы [ ] Распределение начального состояния < > < > вероятности f ( = af ( f ( = ( - a f ( где ( N X N стандартной гауссовской случайной величины a. T =. = X определяется ненормированными плотностями f плотность вероятности Изменение состояния системы стабилизации для первой структуры описывается стохастическим дифференциальным уравнением N æ + ö dx = ç - X t + + dw è ø как переход в состояние поиска происходит вне отрезка [ ] (см. рис. 4. Так -D D с интенсивностью f < > -D D соответствующая функция поглощения [6 8] имеет вид [ ] I [ ] ( -D D индикатор множества [-D D ] (см. [] f < > ( t вероятности состояния для первой структуры. Для второй структуры справедливо уравнение c то b t = c - I t где ненормированная плотность æ ö dx = ç - X t + + dw è ø (см. рис. 5. Функция поглощения характеризующая обратный переход в состояние захвата задается формулой b ( t c [ ] ( f < > = I ( t где I [ ] индикатор множества [-D D ] ( t -D D -D D ненормированная плотность вероятности состояния для второй структуры. Ненормированные плотности вероятности f < > ( t и f < > ( t f < > удовлетворяют системе обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова [6 8] которые в рассматриваемом случае записываются следующим образом:

29 ( t < > (( f t f ( t < > < > f + - = + - t < > < > ( I [ ] f I [ ] f -D D -D D - c - t + c t f ( t < > ( t ( - f ( t < > < > f = + - t f f - c I t + c - t. [ ] f I -D D [-D D ] < > < > < > Данные уравнения следует интегрировать с начальными условиями f ( < > -a - < ( = e и краевым условием > < ( t > f f ( t p =. =± =± a - = e p { } Выберем в качестве базисной системы пространства L ( T полиномы Лежандра P ( t { } для пространства L ( R функции Эрмита = а F с параметрами и D =. Пусть P ( двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена первого рода определенная относительно системы полиномов Лежандра q ( ; вектор значений функций этой системы при t = ; ( P двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена второго рода определенная относительно системы функций Эрмита; X ( I и a( = [ ] -D D I спектральные характеристики операторов умножения на функции I и I [ ] соответственно а ( -D D F спектральная характеристика функции f (. Спектральные характеристики X ( I I и ( N N < > < > относительно системы функций Эрмита; F ( и ( F определены F спектральные характеристики N функций f < > ( t и f < > ( t соответственно определенные относительно базисной системы { } P t F. Запишем уравнения обобщенных характеристических функций для рассматриваемой системы стабилизации [6]: < > < > < > < > ( ( ( ( ( ( ( ; ( < > < > < > < > F - F - F = Ä F t ì ïp F - A F - A F = q Ä F í t ïî P A A q ;

30 где = Ä t P P E æ æ + öö A ( = -( E ( Ä P ( ç E ( Ä ç - X ( + E ( + è è øø ( + ( E ( Ä P ( - c E ( Ä E ( - I ( ( ( A = c E Ä I A = c E Ä E - I æ æ öö A ( = -( E ( Ä P ( ç E ( Ä ç - X ( + E ( + è è øø + ( E ( Ä P ( - c ( E ( Ä I ( a ( a F = F F = - F. < > < > N N Известно [6] что решение полученной системы уравнений определяется следующим образом: - ( Z Z q ( q - ( Z Z q ( q < > < > < > F = - G ; Ä F - G ; Ä F < > < > < > F = - G ; Ä F - G ; Ä F где t ( = ( - ( Z ( = - A ( Z ( A ( Z P A = - t ( = ( - ( G ( = Z ( Z - ( ( Z ( Z - ( Z P A < > < > Переход от спектральных характеристик F ( и ( плотностям вероятности осуществляется по формуле обращения: f < > - ë < > û < > å где ( t = éf ( ù = F P ( t F ( S < > F элементы спектральной характеристики < > ( G =. F к соответствующим F t Î T Î R =. На рис. 6 9 изображены графики функций f < > ( t f < > ( t и их сечений при различных значениях переменной времени t (порядок усечения спектральных характеристик равен шестнадцати причем при расчете были выбраны следующие параметры системы стабилизации: a.7 =.4 =.5 D = D =.5 c = c.4.

31 t t t.5 t. t t t Рис. 6. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме захвата. Рис. 7. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме захвата при различных значениях переменной времени. t t t t. t.5 t t Рис. 8. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме поиска. Рис. 9. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме поиска при различных значениях переменной времени. Перейдем к определению вероятностей работы структур и взвешенных моментных характеристик. Воспользуемся формулой (5 тогда спектральные характеристики функций < > < > P ( t и ( t P определяются соотношением ( ( ( ( ( < > < > P E J = Ä F = где J ( спектральная характеристика функционала J (см. примеры и 5 определенная относительно системы функций Эрмита. Для перехода от спектральных характеристик P < > ( и P < > ( к соответствующим функциям времени используется формула обращения (33: < > - ë < > û < > å ( t = ép ( ù = P P ( t P S где P < > элементы спектральной характеристики ( P < > t Î T =.

32 На рис. изображены графики вероятностей работы структур полученных спектральным методом (сплошная линия и методом ортогонального разложения (пунктир []. Спектральные характеристики взвешенных математического ожидания и дисперсии состояния системы стабилизации определяются соотношениями (4 и (6 которые в данном случае принимают вид: ( ( ( ( ( ( ( ( < > < > M E J E X = Ä Ä F = Ä ( Ä F ( - < > - < > < > ( V e P ( V e M M ( < > < > D E J E X - где V ( спектральная характеристика множительного звена определенная относительно системы полиномов Лежандра =. Рис.. Вероятности работы системы стабилизации в режимах захвата и поиска. Переход от спектральных характеристик M < > ( и D < > ( к соответствующим функциям времени осуществляется по формулам обращения: < > - ë < > û < > å = é ( ù = t S M M P t < > - ë < > û < > å = é ( ù = D t S D D P t где M < > и D < > элементы спектральных характеристик ( M < > и D < > ( соответственно =. Математическое ожидание и дисперсия состояния системы стабилизации определяются

33 < > < > выражениями ( t = ( t + ( t и ê < > < > ( ( t < > P ( t D t = D t + ú - t å = é ê ë Графики взвешенных моментных характеристик состояния системы стабилизации и графики функций ( t и D( t показаны на рис. и причем сплошной линией изображены графики функций полученных спектральным методом а пунктиром графики функций полученных методом ортогонального разложения. На рис. и видно что графики функций полученных спектральным методом и методом ортогонального разложения практически совпадают а на рис. заметны расхождения. Это объясняется тем что дисперсия не может быть представлена в виде значения линейного функционала (см. ( ( и (3 что приводит к необходимости использования свойства спектрального преобразования произведения функций или недостаточной точностью метода ортогонального разложения. Тем не менее точность вычислений может быть повышена посредством увеличения порядка усечения спектральных характеристик. ù ú û. t D t t t D t D t Рис.. Математическое ожидание состояния системы стабилизации. Рис.. Дисперсия состояния системы стабилизации. Замечание. Все расчеты проводились с помощью специализированного программного обеспечения спектрального метода анализа и синтеза систем управления Spectru []. < Приложение Многомерные матрицы Пусть и заданные натуральные числа M = +. Каждый из индексов... j j... j пробегает бесконечный ряд целых неотрицательных чисел т.е j... j j...

34 Упорядоченная совокупность в общем случае комплексных чисел A... j j... j называется многомерной матрицей размерности M имеющей строчных и столбцовых индексов и обозначается ( A или (... j j... j A. Таким образом первые индексов являются строчными а остальные столбцовыми. Числа A... j j... j называются элементами многомерной матрицы. Разделение множества индексов на строчные и столбцовые позволяет задать структуру многомерной матрицы. Например упорядоченную совокупность чисел X X X... можно интерпретировать как матрицу столбец тогда в принятых обозначениях X ( é X ù ê X ú ê ú. Эту же = ê X ú совокупность чисел можно рассматривать как матрицу строку и тогда ( [ ] X = X X X L. Двумерная матрица A ( представляется в виде прямоугольной таблицы чисел т.е. ê ë M ú û A ( éa A A ê ê A A A = ê A A A L ú ê ë ú M M M Oû Lù L ú ú. Способ представления многомерных матриц в случае когда количество строчных или столбцовых индексов больше единицы изложен в []. Если элементы многомерной матрицы ( A являются функциями времени то эту зависимость целесообразно указывать в обозначении матрицы отделяя переменную t от количества строчных и столбцовых индексов точкой с запятой т.е. ( ; Многомерная матрица A( совпадает т.е. A t. у которой количество строчных и столбцовых индексов = называется гиперквадратной. Многомерная матрица ( A называется гиперстрочной если все ее индексы являются столбцовыми т.е. и гиперстолбцовой если все ее индексы строчные т.е. =. Матрицу вида ( Рассмотрим основные операции над многомерными матрицами. A следует понимать как число.

35 . Суммой (разностью многомерных матриц A ( ( A j j j = и ( = ( называется многомерная матрица C ( C... j j... j B B j j j ( = ( + ( ( C ( A( B( C A B C A B... j j... j... j j... j... j j... j = - если = + ( C... j j... j = A... j j... j - B... j j... j для всех j j... j.... Произведением многомерной матрицы A ( ( A j j j многомерная матрица B ( ( B j j j = т.е. = на число a называется = т.е. B( a A( = если B = a A для всех j j... j j j... j... j j... j 3. Произведением многомерных матриц A ( ( A = и 3 ( 3 = ( называется многомерная матрица C ( C... j j... j B B j j j 3 = т.е. C ( = A( 3 B( 3 если C... j j... j = å A B... j j... j для всех j j... j Произведением многомерных матриц A( = ( A... j j... j... и B ( = B... называется многомерная матрица C ( ( C j j j = т.е. C ( A( B( = e C = å A B для всех если... j j... j... j j... j j j... j Тензорным произведением многомерных матриц A ( ( A j j j ( 3 4 ( = и B = B называется многомерная матрица l l l ( 3 4 ( C C j j j l l l + + = т.е. C ( A( B ( = Ä если C = A B для всех j 3 j... j l l... l 4... j j... j... l 3 l... l 4

36 j j... j... 4 l l... l Многомерная матрица B ( ( B j j j = называется транспонированной по отношению к многомерной матрице A ( ( A j j j B j j... j j j... j = т.е. T = A для всех j j... j Гиперквадратная матрица A ( гиперквадратной матрице A( если справедливо равенство ( - ( - ( ( ( A A = A A = E где гиперквадратная матрица ( матрицы ( B выполняется тождество ( ( ( ( ( B E = E B = B. B = éë A ùû если называется обратной по отношению к E называется единичной т.е. для любой гиперквадратной Свойства операций сложения вычитания умножения на число умножения тензорного умножения транспонирования и обращения многомерных матриц приведены в []. Приложение Спектральные характеристики функций и линейных операторов Пусть принадлежит множеству образует базис пространства L ( W. Гиперстолбцовая матрица H ( ( H коэффициенты разложения функции Î { (... } p = т.е.... ( (... ( W... L { } W Í R а система функций p( = элементы которой представляют собой... h L H = p h называется спектральной характеристикой функции h(. W в ряд по функциям базисной системы Отображение ставящее в соответствие функции h( ее спектральную характеристику H ( называется спектральным преобразованием функции h( и обозначается S : ù = S éë h û H. Обратный переход от спектральной характеристики H ( к функции h( осуществляется

Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Лагерра. К.А.

Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Лагерра. К.А. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, Электронный журнал, рег. Эл ФС77-94 от 5.4. ISS 87-7 http://www.math.spbu.ru/dffoural e-mal: odff@mal.ru Общая теория управления Спектральные характеристики

Подробнее

Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат

Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат УДК 68.3.6 Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат К.А. Рыбаков И.Л. Сотскова В статье рассматривается

Подробнее

Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат

Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 6 www.ma.ru/scece/trudy/ УДК 68.3.6 Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых

Подробнее

Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. А. В. Пантелеев, К. А. Рыбаков, И. Л. Сотскова

Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. А. В. Пантелеев, К. А. Рыбаков, И. Л. Сотскова dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 013 Электронный журнал, рег Эл N ФС77-39410 от 1504010 ISSN 1817-17 http://wwwmathspburu/diffjournal e-mail: jodiff@mailru Новые книги Спектральный

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Программное обеспечение спектрального метода Spectrum

Программное обеспечение спектрального метода Spectrum УДК 681.3 Программное обеспечение спектрального метода Spectrum К.А. Рыбаков Описывается алгоритмическое и программное обеспечение, предназначенное для решения задач теории автоматического управления с

Подробнее

Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования. в базисе обобщенных функций Эрмита

Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования. в базисе обобщенных функций Эрмита Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 9 www.ma.ru/scece/trudy/ УДК 68..6 Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Эрмита Аннотация

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Лекция 3. Математическое описание систем управления

Лекция 3. Математическое описание систем управления Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Ф. С. Насыров, Об интегрировании систем стохастических дифференциальных уравнений, Матем. тр., 06, том 9, номер, 58 69 DOI: https://doi.org/0.7377/mattrudy.06.9.06

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

А.С. Кожевников, К.А. Рыбаков

А.С. Кожевников, К.А. Рыбаков РАСЧЕТ БУДУЩЕЙ ЦЕНЫ АКТИВА В МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА С ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ А.С. Кожевников, К.А. Рыбаков Введение. В работе рассматривается задача нахождения закона распределения

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ.

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ. УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным:

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным: Л Е К Ц И Я 4 А ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ На прошлой лекции мы построили некую конкретную схему квантовой механики, взяв в качестве основного оператор координаты $ X. Делалось это так. Ставим задачу

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ УДК 55 Исабеков КА Маданбекова ЭЭ ЫГУ им КТыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В данной статье приводятся алгоритмы двух методов решения плохо

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее