Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания."

Транскрипт

1 ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью точки x называется множество O( x, ) = {x X: (x, x ) <, x x }. Опр Пусть (X, ) метрическое пространство, А X. Точка x X называется предельной точкой множества А, если в каждой проколотой -окрестности точки x есть точки из множества А. Множество предельных точек обозначается А. Теорема Точка x является предельной для множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность (x n ), x n A\{ x } n, сходящаяся к x. Опр Множество А в метрическом пространстве (X, ) называется замкнутым, если А содержит все свои предельные точки. Опр Множество В в метрическом пространстве (X, ) называется открытым, если каждый элемент xв имеет окрестность, содержащуюся в В. Теорема Множество В X является открытым тогда и только тогда, когда X \ B замкнуто. Опр Множество А А называется замыканием множества А. Обозначение замыкания: А. Теорема Множество А является наименьшим замкнутым множеством, содержащим А. Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема 3.1. определение открытого множества, теорема определение замыкания.. Два определения предела отображения Опр Пусть (X, X ), (Y, Y ) метрические пространства, А X, f: А Y, x предельная точка множества А. Элемент y Y называется пределом отображения f при x, стремящемся к x, (по Коши), если > > : x A, < X (x,x ) < Y ( f(x),y ) <. Обозначается: lim f ( x ) y (К) xx В частности, если X = Y =, имеем: lim f ( x ) y (К) <=> > > : x A, < x x xx < f(x) y <. Опр Пусть (X, X ), (Y, Y ) метрические пространства, А X, f: А Y, x предельная точка множества А. Элемент y Y называется пределом отображения f при x, стремящемся к x, (по Гейне), если для любой последовательности (x n ), такой, что x n A\{ x } n и (x n ) x, выполнено: f(x n ) y. Обозначается: lim f ( x ) y (Г). xx Генрих Эдуард Гейне ( ) немецкий математик.

2 Теорема (Об эквивалентности определений предела отображения по Коши и по Гейне) Пусть (X, X ), (Y, Y ) метрические пространства, А X, f: А Y, x предельная точка множества А. Элемент y Y является пределом f при x, стремящемся к x, по Коши тогда и только тогда, когда по Гейне. lim f ( x ) y (К) <=> lim f ( x ) y (Г) xx xx Замечание. В дальнейшем мы не указываем букву (К) или (Г), пишем: lim f ( x ) y. xx Теорема 3... (Единственность предела отображения) Если lim f ( x ) y и lim f ( x ) y, то y xx 1 xx = y 1. Пример lim x 4 (доказываем по Гейне), lim 3 y4 (доказываем по Коши). x y4 Теорема (О локальной ограниченности отображения, имеющего предел) Пусть f: А Y, x предельная точка множества А, lim f ( x ) y. xx Тогда существует окрестность O( x, ) такая, что её образ при отображении f, то есть множество f (O( x, ) А ), ограничен. Теорема (Замена переменной под знаком предела) Пусть f: А Y, x предельная точка множества А, lim f ( x ) y. xx Пусть g: B Z, y предельная точка множества B, lim g ( y ) z. yy Пусть Y B (тогда определена композиция g f ). Если при этом существует O(x, ) такая, что y f (O( x, ) А ) (*), то lim g ( f ( x )) lim g ( y ) z. xx yy Пример lim x 4. Здесь f :, y = f(x) = x, g :, z = g(y) = 3 y 4. x A =, Y =, x = предельная точка, B =, Z =, y = 4 предельная точка, lim ( ) 4, x lim gy ( ). Y B. y4 (*) y = 4 f (O( x, ) А ) = f ( (1, )(, 3) ) (x =, = 1, A = ). 3. Свойства функций, имеющих предел в точке В этом параграфе f, g: А, А множество в метрическом пространстве (X, X ). Теорема (О локальном сохранение знака функцией, имеющей предел) Пусть f : А, существует lim f ( x ) y, y xx >. Тогда существует число С > и проколотая -окрестность точки x такие, что x O( x, ) A f(x) > C >. Теорема (О переходе к пределу в неравенстве для функций) Пусть f, g: А, существуют lim f ( x ) y, lim g ( x ) y, и в некоторой окрестности xx 1 xx O( x, ) выполнено: x O( x, ) A f(x) g(x). Тогда y 1 y.

3 Теорема (О трех функциях) Пусть f, g, h: А, А множество в метрическом пространстве (X, X ), x предельная точка множества А, lim f ( x ) lim h ( x ) y. Пусть существует xx xx окрестность O( x, ) такая, что x O( x, ) A Тогда предел lim gx ( ) существует и равен y. xx f(x) g(x) h(x). Теорема (Об арифметических операциях с функциями, имеющими предел) Пусть f, g: А, x предельная точка множества А, lim f ( x ) y, lim g ( x ) y, xx 1 xx a, b. Тогда : lim a f( x) bg( x) a y b y, 1) xx ) lim f( x) g( x) xx 3) f x g x y y, lim ( ): ( ) y : y при условии y. xx 4. Критерий Коши существования предела функции Теорема (Критерий Коши существования предела функции) Пусть f : А, А множество в метрическом пространстве (X, X ), x предельная точка множества А. Предел lim ( ) существует тогда и только тогда, когда xx > > : x, x O( x, ) A f(x ) f(x ) < (условие Коши для f(x)). 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции в точке Опр Пусть f : А, А множество в метрическом пространстве (X, X ), x предельная точка множества А. Функция f называется бесконечно малой в точке x, если lim ( ). Функция f называется бесконечно большой в точке x, если xx > > : x O( x, ) A f(x) > 1/. Обозначение: lim ( ). xx Замечание. Частные случаи бесконечно больших функций: lim ( ) < = > > > : x O( x, ) A f(x) > 1/. xx xx lim ( ) < = > > > : x O( x, ) A f(x) > 1/ Предложение Функция f бесконечно большая в точке x тогда и только тогда, когда функция g(x) = 1/f(x) бесконечно малая в точке x. Замечание. При формальном применении теорем о пределах часто возникают выражения, содержащие. Из них неопределенностями являются, /,, 1,. Другие дают однозначный ответ: + с =, с = (с ), = и т.д.

4 6. Предел функции одной вещественной переменной. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности Всюду в этом параграфе f: A, А. Опр Пусть f: A, x предельная точка множества A. Число y называется пределом f(x) при x, стремящемся к x справа [ слева ], если > > : x (x, x + ) A f(x) y <. [ x (x, x ) A f(x) y <.] Обозн.: y lim f ( x) lim f ( x) f ( x ) [ y lim f ( x) lim f ( x) f ( x ) ]. xx xx xx xx Предложение ( О равенстве односторонних пределов) Пусть f: A, x предельная точка множества A, для каждого > (x,x ) A, (x,x + ) A. Тогда y {+, } есть предел f(x) при x x, тогда и только тогда, когда y lim f ( x) lim f ( x). xx xx Опр Пусть, >. -окрестностью бесконечности называется числовое множество (1/, + ) (, 1/ ). Обозначение: О(, ) или О о (, ). -окрестностью плюс бесконечности называется числовое множество (1/, + ). Обозначение: О(+, ) или О о (+, ). -окрестностью минус бесконечности называется числовое множество (, 1/ ). Обозначение: О(, ) или О о (, ). Замечание. Используя понятия окрестностей бесконечностей, можно дать одно общее определение предела функции одной вещественной переменной: Опр (Общее определение предела, включающее стремление к бесконечности) Пусть f: A, x {+,, } предельная точка множества A. lim f ( x) y xx (y {+,, }), если > > : x О о (x, ) A f(x) О(y, ). y y = y = + y = х x х x + х x х х + х Заполните таблицу «на языке», расшифровав окрестности, и приведите примеры. Замечание. Можно дать определение всех пределов из таблицы по Гейне. Например: y lim f ( x) < = > x +, x n n 1 n A n, f( x n ) n 1 x y. Теорема 3.6..(О пределе монотонной функции) Пусть f: A, x 1 = inf A, x = sup A. Пусть функция f монотонна и ограничена на множестве А. Тогда существует y 1, y : y 1 = lim f( x), y lim f ( x). xx1 xx Замечание. Теорема остается верной, если inf A =, и если sup A = +.

5 7. Замечательные пределы Первый замечательный предел: lim sinx 1 x x tg x Следствия: lim 1, lim 1cosx 1 x x x x Второй замечательный предел: x lim 1 1 e x x Следствие: lim 1 x 1 x e x 8. Непрерывные отображения Опр Пусть (X, X ), (Y, Y ) метрические пространства, A X, точка x A, f : A Y. Отображение f называется непрерывным в точке x, если x O( x, ) A f ( x) O( f ( x), ). Или: x A, ( x, x ) f ( x), f ( x ). X Y Замечание. Если x предельная точка множества A, то отображение f является непрерывным в точке x т. и т. тогда, когда предел lim ( ) существует и равен f(x ). x x Теорема (Непрерывность композиции непрерывных отображений) Пусть f : A Y, x A, f непрерывна в точке x, Y B. Пусть g: В Z, y = f (x ), g непрерывна в точке y. Тогда h = g f : A Z непрерывна в точке x. 9. Непрерывные функции одной вещественной переменой В этом параграфе f : A, А. Теорема Пусть функции f (x), g(x) непрерывны в точке x. Тогда: 1) a, b af (x) + bg(x) непрерывна в точке x ; ) f (x) g(x) непрерывна в точке x ; 3) при g(x ) функция f (x) / g(x) непрерывна в точке x.

6 Опр Пусть f : A. Если x А, функция f непрерывна в точке x, то f называется непрерывной на множестве А. Теорема (Непрерывность монотонной сюръекции) Пусть f : [a,b] [c,d], монотонна, является сюръекцией. Тогда функция f непрерывна на множестве [a,b]. Опр Основные элементарные функции это: 1. степенная функция y = x ( );. тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x; 3. обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x; 4. показательная функция y = a x (a > ); 5. логарифмическая функция y = log a x (a > ). Считаем, что эти функции заданы на максимально возможных для них областях определения А. Элементарной называется любая функция, полученная из основных элементарных конечным количеством операций умножения на число, сложения, вычитания, умножения, деления и композиции. Замечание. Функция f (x) = x x является элементарной, если ее представить в виде f (x) = a loga x x xloga x a. Поэтому будем считать f : (,+). Теорема Каждая элементарная функция непрерывна на своей максимально возможной области определения. Опр Пусть f : A, А, x предельная точка А. Точка x называется точкой разрыва функции f в двух случаях: 1. x А, f не является непрерывной в точке x ;. x А, существует О о (x,) А. Точка разрыва x называется разрывом первого рода, если пределы lim f( x) lim f( x) существуют и конечны. При этом, если xx lim f( x) = xx xx называется устранимым разрывом. Точка разрыва не первого рода называется разрывом второго рода. xx lim f( x), то x и

7 1. Сравнение поведения функций в окрестности точки. О символика В этом параграфе f, g : A, А, x предельная точка А, x {,+, } Опр Если существуют, С > такие, что x О о (x,) А f (x) C g(x), то функция f называется ограниченной по сравнению с g в точке x. Обозначение: f(x)=o(g(x)), x x ( f(x) есть «О большое» от g(x) при x x ). Если f (x) = O(g(x)), x x и g (x) = O(f (x)), x x, то f и g называются функциями одного порядка в точке x. f( x) Предложение Если существует конечный lim a, то f(x)=o(g(x)), x x. xx gx ( ) Если при этом а, то f и g одного порядка в точке x. Опр Если существует > такое, что x О о (x,) А f(x) = (x)g(x), lim ( x) 1, то функции f и g называются эквивалентными в точке x. xx Обозначение: f (x) ~ g(x), x x. Пример Основные эквивалентности при x : x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ ln (x+1) ~ e x 1; 1 cos x ~ x /. Предложение Пусть f (x) ~ f 1(x), g(x) ~ g 1 (x) при x x, существует f1( x) f( x) lim a. Тогда lim a. xx g1 ( x ) xx gx ( ) Опр Если существует > такое, что x О о (x,) А f(x) = (x)g(x), lim ( x), то функция f называется бесконечно малой по сравнению с g в точке x. xx Обозначение: f (x) = о(g(x)), x x ( f(x) есть «о малое» от g(x) при x x ). Предложение f (x) ~ g(x), x x < = > f (x) = g(x) + о(g(x)), x x. Опр Пусть f бесконечно малая или бесконечно большая в точке x. Число называется порядком функции f в точке x, если С : f(x) ~ C (x x ), x x. Выражение C (x x ) называется главной частью f в точке x.

8 11. Свойства числовых функций, непрерывных на отрезке прямой Теорема (Т. Вейерштрасса о достижении точных граней непрерывной функцией на отрезке) Пусть f :[a; b], f непрерывна на [a; b]. Тогда существуют c 1, c [a; b]: f (c 1 ) = inf f ([a; b]), f (c ) = sup f ([a; b]). Замечание. Теорема говорит о том, что непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно имеет минимальное и максимальное значение. Теорема (Т. Коши о промежуточных значениях непрерывной функции) Пусть f :[a; b], f непрерывна на [a; b], f (а) = y 1 < y < y = f (b). Тогда существует x [a; b] : f (x ) = y. Замечание. Теорема говорит о том, что непрерывная функция на отрезке принимает все значения между своим минимальным и максимальным значениями. Теорема (Существование и непрерывность обратной функции) Пусть f : [a; b] [ f (a); f (b)], f непрерывна и строго возрастает на [a; b] (то есть x 1 < x [a; b] : f (x 1 ) < f (x )). Тогда f биекция и g = f 1 строго возрастающая непрерывная на [ f (a); f (b)] функция. Самим сформулировать и доказать теорему для убывающей функции f. Следствие. Пусть a >. Тогда функция f : (; + ), y = f (x) = a x является биекцией и обратная функция x = f 1 ( y) = log a y непрерывна. 1. Равномерная непрерывность функции Опр Пусть (X, X ), (Y, Y ) метрические пространства, А X, f: А Y, Функция f называется равномерно непрерывной на множестве А, если > > x, x A, X (x, x ) < Y ( f (x ), f (x )) <. Теорема (Теорема Гейне Кантора о равномерной непрерывности на отрезке) Пусть f :[a; b], f непрерывна на [a; b]. Тогда f равномерно непрерывна на [a; b].

9 13. Обобщения теорем Вейерштрасса, Коши и Гейне - Кантора о непрерывных функциях Опр Пусть (X, ) метрическое пространство. Множество K X называется компактом, если из каждой последовательности (x n ) K можно выделить сходящуюся подпоследовательность x, причем limx x K. n Теорема (Теорема Вейерштрасса о достижении точных граней...) Пусть K компакт в метрическом пространстве (X, ), f : K, f непрерывна на K. Тогда существуют c 1, c K : f (c 1 ) = inf f (K ), f (c ) = sup f (K ). Теорема (Теорема Гейне Кантора о равномерной непрерывности...) Пусть K компакт в метрическом пространстве (X, ), f : K, f непрерывна на K. Тогда f равномерно непрерывна на K. n k k Самим доказать теоремы и по аналогии с соответствующими теоремами для отрезка прямой. Теорема (Критерий компактности в m ) Множество K m компактно тогда и только тогда, когда K замкнуто и ограничено. Опр Множество D m называется линейно связным, если для любых точек c 1, c D существует ломаная с конечным числом звеньев, лежащая в D, начало которой точка c 1, конец точка c. Теорема (Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции) Пусть D линейно связное множество в m, f : D, f непрерывна на D, a, b D : f (a) = y 1 < y < y = f (b). Тогда существует x D : f (x ) = y. k

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

«5» Шаг 1 (l R) «5» Шаг 2 (l = + ) «3» Теорема 35 (Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях)

«5» Шаг 1 (l R) «5» Шаг 2 (l = + ) «3» Теорема 35 (Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях) БИЛЕТ 1 «3» Определение верхней границы «3» Теорема 36 (Кантора о равномерной непрерывности) «3» Теорема 49 (о главных частях элементарных функций) БИЛЕТ 2 «3» Определение наибольшего элемента «3» Теорема

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА Функции и отображения. 1. Сформулировать определение тождественного отображения.

Подробнее

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Математический анализ Лекция 5 Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Общие свойства пределов Математический анализ, Лекция 5 2 / 16 Общие свойства пределов Теорема (локальная ограниченность функции) Математический

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

БИЛЕТ 2 «О» Определение наибольшего элемента «Т» Теорема 8 (об ограниченности сходящейся последовательности)

БИЛЕТ 2 «О» Определение наибольшего элемента «Т» Теорема 8 (об ограниченности сходящейся последовательности) БИЛЕТ 1 «О» Определение верхней границы «Т» Теорема 5 (критерий точной верхней границы) «Т» Теорема 7 (о зажатой последовательности) «О» Определение бесконечного предела в точке сгущения «Т» Теорема 20

Подробнее

3. Непрерывность функции многих переменных

3. Непрерывность функции многих переменных 3 Непрерывность функции многих переменных 31 Непрерывность в точке Локальные свойства Определение 31 Пусть y = f(x), x X R n, f(x) R m, x 0 X Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если или O(f(x

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Непрерывность функции

Непрерывность функции Непрерывность функции Непрерывная в точке функция, свойства Непрерывная на множестве функция Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Обратная функция Метод половинного деления. Односторонние пределы.

Подробнее

2. Предел функции многих (нескольких) переменных

2. Предел функции многих (нескольких) переменных . Предел функции многих (нескольких) переменных Предел функции это основа многих построений математического анализа. В рамках этого параграфа будем считать, что X R n, Y R m и f : X Y ; точка, в которой

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Предел и непрерывность функций одной переменной (теория к задачам) 4 Предел функции f( ), при, a нестрого означает, что становится почти равной (стремится, приближается

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

3. Бесконечно большие функции

3. Бесконечно большие функции 3 Бесконечно большие функции Пусть функция f ( определена в некоторой окрестности точки R, кроме, может быть, самой точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε δ Функцию f ( называют бесконечно большой при (в точке

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Функции и пределы.................... 5 1.1. Числовые множества................. 5 1.2. Функции........................ 8 1.3. Определения пределов в различных случаях.... 15 1.4. Бесконечно

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru ksm-n05-производная и дифференциал А.А.Быков bykovaa.ru abkov.ru Оглавление 5. Лекция 5. Понятие производной... 4 5.. Производная... 4 5... Определение производной в точке 4 5... Производная степенной

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Глава 0. Основы теории множеств и отображений.

Глава 0. Основы теории множеств и отображений. Глава 0. Основы теории множеств и отображений. 1. Множества. Логические символы. Операции над множествами. Два способа задания множеств: 1) перечисление, 2) указание характеристического свойства. Опр.0.1.1.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52 Бесконечно большие величины Математический анализ (лекция 5) 16.03.2013 2 / 52 Определение Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x x 0 (x ), если lim α(x) = 0 ( x x0 ) lim α(x) = 0 x.

Подробнее

Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность

Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность Листок 9д сентябрь 013 Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность Часть 1: Метрические пространства Определение 1. Метрическим пространством называется множество M вместе с функцией

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Тема 1 = (закрепление = и , сдача ДР = ) Функция. График.

Тема 1 = (закрепление = и , сдача ДР = ) Функция. График. Функция. График. Тема = 0.09.0 (закрепление = 07.09.0 и 08.09.0, сдача ДР = 4.09.0). Преобразования графиков (?) (Правила преобразований [?, стр. 4 6], примеры 4 [?, 6 0]) а) линейные функции 237 (237,

Подробнее

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных Семинар 3 Предел функции нескольких переменных О. Пусть D некоторое множество точек пространства R m : D R m. Пусть каждой точке M(x, x,, x m ) D поставлено в соответствие некоторое число u R. Тогда говорят,

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства Г. Н. Яковлев Функциональные пространства УДК 517 Я47 Пособие содержит краткое введение в теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств, а также в теорию обобщённых функций, и является заключительной

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Математический анализ и топология

Математический анализ и топология Математический анализ и топология Д. Вельтищев ЛЭШ-2006 Предисловие Это краткий конспект курса анализа для ЛЭШ-2006. Он включает в себя основы анализа и топологии, изложенные так, чтобы их можно было перенести

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru,

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru, MA ksm-0-эталонные пределы А.А.Быков boombook.arod.ru, boombook@yade.ru Оглавление. Лекция. Первый и второй замечательные пределы... 5.. Формула, выражающая первый замечательный предел... 5... Напоминание

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление Учебное пособие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, учебный год

Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, учебный год Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, 2009-2010 учебный год 26 августа 2009 г. 1 Теория многообразий 1.1 Метрические и топологические пространства 1.1.1 Метрические пространства

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФНДЕРАЦИИ. Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФНДЕРАЦИИ. Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФНДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра высшей математики ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ (Задачи и упражнения) Учебно-методическое

Подробнее