Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Москва г PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

2 Лекция Функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Линии и поверхности уровня Предел и непрерывность функции нескольких переменных их свойства Частные производные их свойства и геометрический смысл Определение Переменная с областью изменения Z называется функцией двух независимых переменных ху в множестве М если каждой паре ху из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение из Z Определение Множество М в котором заданы переменные ху называется областью определения функции а сами ху ее аргументами Обозначения: Примеры ² ² - функции определенные для любых действительных значений ху - функция областью определения которой являются решения неравенства Замечание Так как пару чисел ху можно считать координатами некоторой точки на плоскости будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных а также для упорядоченного набора чисел являющихся аргументами функции нескольких переменных Определение Переменная с областью изменения Z называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение из Z Понятия аргументов и области определения вводятся так же как для функции двух переменных Обозначения: Геометрическое изображение функции двух переменных Рассмотрим функцию определенную в некоторой области М на плоскости Оху Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами где M является графиком функции двух переменных Поскольку уравнение определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции M Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости a b c и поверхностей второго порядка: ² ² параболоид вращения конус и тд PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

3 Замечание Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в -мерном пространстве» хотя изобразить подобную поверхность невозможно Линии и поверхности уровня Для функции двух переменных заданной уравнением можно рассмотреть множество точек ху плоскости Оху для которых принимает одно и то же постоянное значение то есть cot Эти точки образуют на плоскости линию называемую линией уровня Пример Найдем линии уровня для поверхности 4 ² - ² Их уравнения имеют вид ² ² 4 c ccot уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами 4 с Например при с получаем окружность ² ² 4 Для функции трех переменных уравнение c определяет поверхность в трехмерном пространстве которую называют поверхностью уровня Пример Для функции 5 7 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей задаваемых уравнениями 5 7 с Предел и непрерывность функции нескольких переменных Введем понятие δ-окрестности точки М х у на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М х у Для -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М множество точек М с координатами удовлетворяющими условию ρ MM < δ где - координаты точки М Иногда это множество называют «шаром» в - мерном пространстве Определение 4 Число А называется пределом функции нескольких переменных в точке М если ε > δ δ ε > такое что M A < ε для любой точки М из δ-окрестности М Обозначения: A M M M Необходимо учитывать что при этом точка М может приближаться к М условно говоря по любой траектории внутри δ-окрестности точки М Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности Примеры Покажем что функция не имеет предела при МО Действительно если в качестве линии по которой точка М приближается к началу PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

4 4 координат выбрать прямую у х то на этой прямой Если же траекторией движения считать прямую у х то 5 4 Следовательно предел в точке не существует Найдем повторные пределы функции при х у Если же произвести предельные переходы в обратном порядке получим: ψ ψ Таким образом повторные пределы оказались различными откуда следует конечно что функция не имеет в точке предела в обычном смысле Замечание Можно доказать что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов Обратное утверждение неверно Определение 5 Функция называется непрерывной в точке М если M M M M Если ввести обозначения i i i M M ρ то условие можно переписать в форме ρ Определение 6 Внутренняя точка М области определения функции M называется точкой разрыва функции если в этой точке не выполняются условия Замечание Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва Примеры Функция ² ² непрерывна в любой точке плоскости Оху Действительно поэтому Единственной точкой разрыва функции является точка Для функции линией разрыва является прямая х у Свойства пределов и непрерывных функций PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

5 Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций доказанные в первой части курса а именно: Если существуют M A g M B то существуют и M M M M M M g M A B k M ka M g M AB M M M M M M M M g M если B Если M а P t t t и для любого i существуют пределы i i i m P и существует M A где М то PP i M M существует и предел сложной функции t t t t t t t t t m m m при t t где t t t - j j m координаты точки Р Если функции M и gm непрерывны в точке М то в этой точке непрерывны и функции M gm km M gm M/gM если gm 4 Если функции P t t t непрерывны в точке Р t t t а функция i i m m i i t t tm t t tm t t tm M непрерывна в точке М где P то сложная функция непрерывна в точке Р 5 Функция M непрерывная в замкнутой ограниченной области D принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения 6 Если функция M непрерывная в замкнутой ограниченной области D принимает в этой области значения А и В то она принимает в области D и любое промежуточное значение лежащее между А и В 7 Если функция M непрерывная в замкнутой ограниченной области D принимает в этой области значения разных знаков то найдется по крайней мере одна точка из области D в которой Частные производные Рассмотрим изменение функции M при задании приращения только одному из ее аргументов х i и назовем его Определение 7 Частной производной функции M по аргументу х i i i i i называется i i i i Обозначения: i i Таким образом частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции одной переменной х i Поэтому для нее справедливы все свойства производных доказанные для функции одной переменной Замечание При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной полагая аргумент по которому ведется дифференцирование переменным а остальные аргументы постоянными Примеры i A B PDF created with FiePrit pdfactor trial erio 5

6 6 ² ² l Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных Рассмотрим уравнение поверхности и проведем плоскость х cot Выберем на линии пересечения плоскости с поверхностью точку М ху Если задать аргументу у приращение Δу и рассмотреть точку Т на кривой с координатами х уδу Δ то тангенс угла образованного секущей МТ с положительным направлением оси Оу будет равен Переходя к пределу при получим что частная производная равна тангенсу угла образованного касательной к полученной кривой в точке М с положительным направлением оси Оу Соответственно частная производная равна тангенсу угла с осью Ох касательной к кривой полученной в результате сечения поверхности плоскостью cot Лекция Дифференцируемость функции нескольких переменных Дифференциал его свойства Применение дифференциала к приближенным вычислениям Дифференцирование сложных функций Инвариантность формы дифференциала При исследовании вопросов связанных с дифференцируемостью ограничимся случаем функции трех переменных поскольку все доказательства для большего количества переменных проводятся так же Определение Полным приращением функции называется Теорема Если частные производные существуют в точке х у и в некоторой ее окрестности и непрерывны в точке то γ β α где α β γ бесконечно малые зависящие от Δх Δу Δ Доказательство Представим полное приращение Δ в виде: где каждая разность представляет собой частное приращение функции только по одной из переменных Из условия теоремы следует что к этим разностям можно применить теорему Лагранжа При этом получим: θ θ θ Так как по условию теоремы частные производные непрерывны в точке х у можно представить их в виде: PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

7 7 γ θ β θ α θ где γ β α Теорема доказана Можно показать что ρ γ β α o где ρ Действительно α β и γ бесконечно малые при ρ а ρ ρ ρ - ограниченные тк их модули не превышают Тогда приращение функции удовлетворяющей условиям теоремы можно представить в виде: ρ o C B A где C B A 4 Определение Если приращение функции в точке можно представить в виде 4 то функция называется дифференцируемой в этой точке а выражение C B A - главной линейной частью приращения или полным дифференциалом рассматриваемой функции Обозначения: d d Так же как в случае функции одной переменной дифференциалами независимых переменных считаются их произвольные приращения поэтому d d d d 5 Замечание Итак утверждение «функция дифференцируема» не равнозначно утверждению «функция имеет частные производные» - для дифференцируемости требуется еще и непрерывность этих производных в рассматриваемой точке Замечание Если в формуле 5 считать d d и d частными дифференциалами данной функции как функции одного из аргументов то можно сказать что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов Применение дифференциала к приближенным вычислениям По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных дифференцируемой в некоторой точке заменять ее приращение дифференциалом Таким образом можно находить приближенное значение функции нескольких например двух переменных по формуле: 6 где Пример Вычислить приближенное значение 97 Рассмотрим функцию и выберем х у Тогда Δх ; Δу 97 - Найдем Следовательно учитывая что получим: PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

8 Дифференцирование сложных функций Пусть аргументы функции являются в свою очередь функциями переменных и : Тогда функция тоже есть функция от и Выясним как найти ее частные производные по аргументам и не делая непосредственной подстановки При этом будем предполагать что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам Зададим аргументу приращение Δ не изменяя аргумент Тогда β α 7 Если же задать приращение только аргументу получим: β α 8 Разделим обе части равенства 7 на Δ а равенства 8 на Δ и перейдем к пределу соответственно при Δ и Δ Учтем при этом что в силу непрерывности функций х и у Следовательно 9 Рассмотрим некоторые частные случаи Пусть t t Тогда функция является фактически функцией одной переменной t и можно используя формулы 9 и заменяя в них частные производные х и у по и на обычные производные по t разумеется при условии дифференцируемости функций t и t получить выражение для dt d : dt d dt d dt d Предположим теперь что в качестве t выступает переменная х то есть х и у связаны соотношением у у х При этом как и в предыдущем случае функция является функцией одной переменной х Используя формулу при t и учитывая что d d получим что d d d d Обратим внимание на то что в этой формуле присутствуют две производные функции по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная в отличие от частной стоящей справа Примеры Пусть где ² ² Найдем и Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов: Тогда из формулы 9 получим: PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

9 В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций и Найдем полную производную функции i ² где co d d co co i co co i co co co i Инвариантность формы дифференциала Воспользовавшись формулами 5 и 9 выразим полный дифференциал функции где через дифференциалы переменных и : d d d d d d d d d d d Следовательно форма записи дифференциала сохраняется для аргументов и такой же как и для функций этих аргументов х и у то есть является инвариантной неизменной Лекция Неявные функции условия их существования Дифференцирование неявных функций Частные производные и дифференциалы высших порядков их свойства Определение Функция у от х определяемая уравнением F называется неявной функцией Конечно далеко не каждое уравнение вида определяет у как однозначную и тем более непрерывную функцию от х Например уравнение эллипса b a b задает у как двузначную функцию от х: ± a для [ a a] a Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой: Теорема без доказательства Пусть: функция F определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке х у ; F ; при постоянном х F монотонно возрастает или убывает с возрастанием у Тогда а в некоторой окрестности точки х у уравнение определяет у как однозначную функцию от х: ; б при х х эта функция принимает значение у : ; в функция непрерывна PDF created with FiePrit pdfactor trial erio 9

10 Найдем при выполнении указанных условий производную функции по х Теорема Пусть функция у от х задается неявно уравнением где функция F удовлетворяет условиям теоремы Пусть кроме того F F - непрерывные функции в некоторой области D содержащей точку ху координаты которой удовлетворяют уравнению причем в этой точке F Тогда функция у от х имеет производную F F Доказательство Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у Зададим х приращение Δх тогда функция получит приращение Δу При этом F F Δ Δ поэтому F Δ Δ F Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F которое можно представить в виде : F F F F α β F α у Разделив обе части полученного равенства на Δх выразим из него : х F β В пределе при учитывая что α β и F получим: F Теорема доказана F Пример Найдем если l F arctg Найдем F Тогда из формулы получаем: Производные и дифференциалы высших порядков Частные производные функции являются в свою очередь функциями переменных х и у Следовательно можно найти их частные производные по этим переменным Обозначим их так: ; ; ; Таким образом получены четыре частные производные -го порядка Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных -го порядка и тд Определим производные высших порядков так: Определение Частной производной -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной -го порядка PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

11 Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования например Докажем это утверждение Теорема Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке М х у и в некоторой ее окрестности то в этой точке Доказательство Рассмотрим выражение A и введем вспомогательную функцию Тогда A Из условия теоремы следует что дифференцируема на отрезке [ Δ] поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: A где [ Δ] Но Так как в окрестности точки М определена дифференцируема на отрезке [ Δ] поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: где [ ] Тогда A Изменим порядок слагаемых в выражении для А: A у х и введем другую вспомогательную функцию ψ тогда A ψ ψ Проведя те же преобразования что и для получим что A где [ ] [ ] Следовательно В силу непрерывности и Поэтому переходя к пределу при получаем что что и требовалось доказать Следствие Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных Дифференциалы высших порядков Определение Дифференциалом второго порядка функции называется d d d d d d d d d d d d d d d d dd dd dd Аналогично можно определить дифференциалы -го и более высоких порядков: Определение Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка k : d k d d k- Свойства дифференциалов высших порядков k-й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных коэффициентами при которых служат частные производные k-го порядка умноженные на целочисленные постоянные такие же как при обычном возведении в степень: { k} k d d d d PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

12 Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных Лекция 4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности Геометрический смысл дифференциала Формула Тейлора для функции нескольких переменных Производная функции по направлению Градиент и его свойства Пусть функция является дифференцируемой в окрестности точки М х у Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности с плоскостями у у и х х которые будут касательными и к самой поверхности Составим уравнение плоскости проходящей через эти прямые Направляющие векторы касательных имеют вид {; ; } и {; ; } поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: {- х - у } Следовательно уравнение плоскости можно записать так: 4 где Определение 4 Плоскость определяемая уравнением 4 называется касательной плоскостью к графику функции в точке с координатами х у Из формулы для случая двух переменных следует что приращение функции в окрестности точки М можно представить в виде: o ρ или o ρ 4 Следовательно разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка чем ρ при ρ При этом дифференциал функции имеет вид: d что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции В этом состоит геометрический смысл дифференциала Определение 4 Ненулевой вектор перпендикулярный касательной плоскости в точке М х у поверхности называется нормалью к поверхности в этой точке В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор - - { х у -} M PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

13 M Пример Составим уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М ; При х у ; ; ; ; Следовательно касательная плоскость задается уравнением: или При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: {; ; -} Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N; Δ ² - ; Δ кас Следовательно d Δ кас При этом Δ d Формула Тейлора для функции нескольких переменных Как известно функцию Ft при условии существования ее производных по порядок можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа см формулы 7 первой части курса Запишем эту формулу в дифференциальной форме: F t df t d F t d F t d F to θ t 4!!! где t t t dt F t F t F t < θ < В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных Рассмотрим функцию двух переменных имеющую в окрестности точки х у непрерывные производные по -й порядок включительно Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δх и Δу и рассмотрим новую независимую переменную t: t t t Эти формулы задают прямолинейный отрезок соединяющий точки х у и х Δх у Δу Тогда вместо приращения Δ можно рассматривать приращение вспомогательной функции Ft t Δ tδ 44 равное ΔF F F Но F t является функцией одной переменной t следовательно к ней применима формула 4 Получаем: F F F df d F d F d F θ!!! Отметим что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности то есть d F d d d d F d dd d F θ d θ θ Подставив эти выражения в 4 получим формулу Тейлора для функции двух переменных: d d PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

14 4!!! d d d d θ θ 45 где <θ< Замечание В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто однако в развернутом виде она весьма громоздка Например даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так: ] [! ] [! ] [ Производная по направлению Градиент Пусть функция непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные Выберем в рассматриваемой области точку M и проведем из нее вектор S направляющие косинусы которого coα coβ coγ На векторе S на расстоянии Δ от его начала найдем точку М хδх уδу Δ где Представим полное приращение функции в виде: ε δ где ε δ После деления на Δ получаем: ε δ Поскольку co co co γ β α предыдущее равенство можно переписать в виде: γ β ε α δ γ β α co co co co co co 46 Определение 4 Предел отношения при называется производной от функции по направлению вектора S и обозначается При этом из 46 получаем: co co co γ β α 47 Замечание Частные производные являются частным случаем производной по направлению Например при π γ π β α получаем: co co co π π PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

15 Замечание Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности являющейся графиком функции с плоскостями х х и у у Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке Мх у как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости проходящей через точку М параллельно оси O и прямой l Определение 44 Вектор координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции в этой точке называется градиентом функции Обозначение: grad Свойства градиента Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad на вектор S Доказательство Единичный вектор направления S имеет вид e S {coα coβ coγ} поэтому правая часть формулы 47 представляет собой скалярное произведение векторов grad и e то есть указанную проекцию Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение равное grad если это направление совпадает с направлением градиента Доказательство Обозначим угол между векторами S и grad через φ Тогда из свойства следует что grad coφ 48 следовательно ее наибольшее значение достигается при φ и равно grad Производная по направлению вектора перпендикулярного к вектору grad равна нулю π Доказательство В этом случае в формуле 48 co 4 Если функция двух переменных то grad направлен перпендикулярно к линии уровня c проходящей через данную точку Лекция 5 Экстремумы функций нескольких переменных Необходимое условие экстремума Достаточное условие экстремума Условный экстремум Метод множителей Лагранжа Нахождение наибольших и наименьших значений Определение 5 Точка М х у называется точкой максимума функции если o o > для всех точек х у из некоторой окрестности точки М Определение 5 Точка М х у называется точкой минимума функции если o o < для всех точек х у из некоторой окрестности точки М Замечание Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных Замечание Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных PDF created with FiePrit pdfactor trial erio 5

16 Теорема 5 необходимые условия экстремума Если М х у точка экстремума функции то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют Доказательство Зафиксируем значение переменной у считая у у Тогда функция будет функцией одной переменной х для которой х х является точкой экстремума Следовательно по теореме Ферма или не существует Аналогично доказывается такое же утверждение для Определение 5 Точки принадлежащие области определения функции нескольких переменных в которых частные производные функции равны нулю или не существуют называются стационарными точками этой функции Замечание Таким образом экстремум может достигаться только в стационарных точках но не обязательно он наблюдается в каждой из них Примеры Найдем стационарную точку функции ² ² Для этого решим систему уравнений откуда х у Очевидно что в этой точке функция имеет минимум так как при х у а при остальных значениях аргументов > Для функции стационарной точкой тоже является но экстремум в этой точке не достигается а в окрестности стационарной точки функция принимает как положительные так и отрицательные значения Теорема 5 достаточные условия экстремума Пусть в некоторой окрестности точки М х у являющейся стационарной точкой функции эта функция имеет непрерывные частные производные до -го порядка включительно Обозначим A B C Тогда: имеет в точке М максимум если AC B² > A < ; имеет в точке М минимум если AC B² > A > ; экстремум в критической точке отсутствует если AC B² < ; 4 если AC B² необходимо дополнительное исследование Доказательство Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции помня о том что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю: A B C α ρ! где ρ α Если угол между отрезком М М где М х Δх у Δу ρ и осью Ох обозначить φ то Δх Δρ coφ Δ Δρiφ При этом формула Тейлора примет вид: ρ Aco B co i C i α ρ Пусть A Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А Получим: Aco Bi AC B i ρ α ρ 5 A Рассмотрим теперь четыре возможных случая: PDF created with FiePrit pdfactor trial erio 6

17 Aco Bi AC B i AC-B² > A < Тогда m < и A ρ m α ρ < при достаточно малых Δρ Следовательно в некоторой окрестности М Δ Δ < то есть М точка максимума ρ Пусть AC B² > A > Тогда минимума m α ρ > и М точка Пусть AC-B² < A > Рассмотрим приращение аргументов вдоль луча φ Тогда из 5 следует что ρ А α ρ > то есть при движении вдоль этого луча функция возрастает Если же перемещаться вдоль луча AC B такого что tg φ -A/B то ρ i < α ρ A следовательно при движении вдоль этого луча функция убывает Значит точка М не является точкой экстремума При AC B² < A < доказательство отсутствия экстремума проводится аналогично предыдущему Если AC B² < A то В При этом ρ ib co C i α ρ Тогда при достаточно малых φ выражение B coφ C iφ близко к В то есть сохраняет постоянный знак а iφ меняет знак в окрестности точки М Значит приращение функции меняет знак в окрестности стационарной точки которая поэтому не является точкой экстремума A 4 Если AC B² а arctg ρ α ρ то есть знак приращения B определяется знаком α При этом для выяснения вопроса о существовании экстремума необходимо дальнейшее исследование Пример Найдем точки экстремума функции ² - ² Для поиска стационарных точек решим систему Итак стационарная точка 4 -- При этом А В - С 4 Тогда AC B² 4 > следовательно в стационарной точке достигается экстремум а именно минимум так как A > Условный экстремум Определение 54 Если аргументы функции связаны дополнительными условиями в виде m уравнений m < : φ х х х φ х х х φ m х х х 5 PDF created with FiePrit pdfactor trial erio 7

18 где функции φ i имеют непрерывные частные производные то уравнения 5 называются уравнениями связи Определение 55 Экстремум функции при выполнении условий 5 называется условным экстремумом Замечание Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции связаны уравнением φху задающим некоторую кривую в плоскости Оху Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости Оху до пересечения с поверхностью получим пространственную кривую лежащую на поверхности над кривой φху Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой которые разумеется в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных введя предварительно следующее определение: Определение 56 Функция L φ φ m φ m 5 где i некоторые постоянные называется функцией Лагранжа а числа i неопределенными множителями Лагранжа Теорема 5 необходимые условия условного экстремума Условный экстремум функции при наличии уравнения связи φ х у может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа L φ Доказательство Уравнение связи задает неявную зависимость у от х поэтому будем считать что у есть функция от х: у ух Тогда есть сложная функция от х и ее d d критические точки определяются условием: 54 d d d Из уравнения связи следует что 55 d Умножим равенство 55 на некоторое число и сложим с 54 Получим: d d d d или L L d d d d Последнее равенство должно выполняться в стационарных точках откуда следует: L L 56 Получена система трех уравнений относительно трех неизвестных: х у и причем первые два уравнения являются условиями стационарной точки функции Лагранжа 8 PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

19 9 Исключая из системы 56 вспомогательное неизвестное находим координаты точек в которых исходная функция может иметь условный экстремум Замечание Проверку наличия условного экстремума в найденной точке можно провести с помощью исследования частных производных второго порядка функции Лагранжа по аналогии с теоремой 5 Замечание Точки в которых может достигаться условный экстремум функции при выполнении условий 5 можно определить как решения системы m m m m m m m 57 Пример Найдем условный экстремум функции при условии х у Составим функцию Лагранжа L Система 56 при этом выглядит так: откуда - -5 х у - 5 При этом L можно представить в виде L -5 ² 5 5 поэтому в найденной стационарной точке L имеет максимум а условный максимум Нахождение наибольших и наименьших значений Пусть функция определена и непрерывна в некотором ограниченном и замкнутом множестве D и имеет на этом множестве конечные частные производные за исключением быть может отдельных точек Тогда эта функция достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения см свойства непрерывных функций Если это значение достигается во внутренней точке множества то очевидно эта точка должна быть стационарной; кроме того наибольшее и наименьшее значение может достигаться на границе множества D Поэтому для определения наибольшего и наименьшего значений функции на множестве D требуется: найти стационарные точки функции принадлежащие D и вычислить значения функции в этих точках; найти наибольшее и наименьшее значение принимаемое функцией на границе множества D; выбрать наименьшее и наибольшее из полученных чисел которые и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции на всем множестве D Примеры PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

20 Найдем наибольшее значение функции i i i в треугольнике со сторонами х у х у π Стационарные точки co co определяются из решения системы откуда co co i i Единственной внутренней точкой данного i i треугольника являющейся решением полученной системы будет π π в которой Это значение оказывается наибольшим и на всем рассматриваемом множестве так как на его границе Найдем наибольшее и наименьшее значения функции ² ² - 6 в области ² ² 5 откуда х 6 у -8 точка не 6 лежащая в заданном круге Следовательно наибольшее и наименьшее значения данная функция принимает на границе области то есть на окружности ² ² 5 Составим функцию Лагранжа L ² ² - 6 ² ² - 5 Ее стационарные точки найдем 6 из системы 6 8 Получим 5 откуда - 5 Следовательно стационарными точками являются -4 и - 4 В первой из них -75 во второй 5 Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями в заданной области Лекция 6 Первообразная Неопределенный интеграл и его свойства Табличные интегралы Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле Определение 6 Функция F называется первообразной для функции на некотором множестве значений х если F на этом множестве Теорема 6 Если функции F и G являются первообразными одной и той же функции на некотором множестве то необходимым и достаточным условием этого является то что G F C где С любая постоянная Доказательство Пусть F - первообразная то есть F Тогда для любого числа C F C F C F то есть F C - первообразная Пусть F и G две различные первообразные одной и той же функции Тогда F G F - G следовательно F G C по следствию из теоремы Лагранжа Теорема доказана PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

21 Таким образом если функция на данном множестве имеет одну первообразную то она имеет их бесконечно много причем все они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми Определение 5 Совокупность всех первообразных функции на некотором множестве называется ее неопределенным интегралом Обозначение: d F C при этом называется подынтегральной функцией а d подынтегральным выражением Свойства неопределенного интеграла d d d F C F d d C df F d d F g d d g d Действительно g d F G C а d g d F C G C постоянная выражения в левой и правой частях равны 4 k d kf C k F k F C k Но поскольку С С произвольная C d k Замечание Все перечисленные свойства формулировались и доказывались в предположении что на некотором множестве существуют первообразные функций и g равные соответственно F и G Табличные интегралы Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует что таблицу основных интегралов можно получить из таблицы основных производных см лекцию 8 первой части курса считая производные табличных функций подынтегральными функциями а сами функции их первообразными α α d d C α α l C a a d C a > a l a e d e C 4 i d co C 5 co d i C d 6 tg C co d 7 ctg C i PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

22 8 hd ch C 9 chd h C d th C ch d cth C h d arctg C arcctg a a a a a C d arci C arcco C a a a Можно добавить к этой таблице еще несколько формул не следующих непосредственно из таблицы производных но удобных для вычисления многих интегралов а именно: d a 4 l a a a C d 5 l ± a C ± a Доказательство справедливости этих формул предлагается провести самостоятельно Примеры 4 4 d C C C d d d C i co tg d d d d tg C C tg co co co d C Замена переменной в неопределенном интеграле Теорема 6 Пусть функция определена на множестве Х а функция φt на множестве Φ причем t X t Φ Тогда если функция имеет первообразную F на Х а φt дифференцируема на Φ то Доказательство d dt t t dt d 6 df d t F t t t поэтому функция Fφt является первообразной d dt функции φt φ t Следовательно t t dt F t C С другой стороны при φt d F t C В полученных формулах равны правые части следовательно равны и левые что доказывает справедливость формулы 6 PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

23 Замечание Формулу 6 называют формулой интегрирования подстановкой Замечание Часто удобно бывает использовать формулу 6 «в обратную сторону»: d t t dt 6 то есть заменять переменную х функцией новой переменной t Формула 6 носит название формулы интегрирования заменой переменной Замечание Формулы 6 и 6 показывают что вид первообразной не изменяется при замене независимой переменной х на функцию φt поэтому их называют формулами инвариантности интегрирования Примеры i t i t cotdt i ti t dt d C C При этом была сделана подстановка i t t t t t d t dt tdt t dt t l Интеграл был вычислен с помощью замены переменной: t² Формула интегрирования по частям dt t dt l t t C C l C Теорема 6 Если функции и дифференцируемы на некотором промежутке и на нем существует интеграл d то на нем существует и интеграл d причем Доказательство d d 6 d d d поэтому d d d Проинтегрируем обе части полученного равенства учитывая что C d d d d что d Тогда и требовалось доказать Существование интеграла в левой части равенства следует из существования обоих интегралов в правой части Пример co d di i i d i co C PDF created with FiePrit pdfactor trial erio

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» НВ ПОНОМАРЕВА, ТА ТАРАСОВА КРАТКИЙ

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр).

Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр). 1 Утверждаю Заведующий кафедрой СУНЦ-1 Профессор /Граськин С.С./ Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр). Часть 1. Вопросы по материалам лекций 11-го класса. Все теоремы части 1 нужно

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1 Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных α β Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности Оглавление Глава Евклидово пространство Понятие m- мерного евклидова пространства Множества точек m мерного евклидова пространства 4 m Последовательности точек пространства R 5 4 Предел функции m переменных

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b 41 3. Производная Рассмотрим функцию y=f(, непрерывную в некоторой окрестности точки. Пусть, приращение аргумента в точке. Обозначим через,y или,f Y y=f( f(+, f( M N = +, Рис. 1 приращение функции, равное

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

26. x x. y ; наибольшее значение функции y. 6 1, наименьшее значение функции x y 2 0. x z

26. x x. y ; наибольшее значение функции y. 6 1, наименьшее значение функции x y 2 0. x z 1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции 1 1 на отрезке 6. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо: а) найти стационарные точки, расположенные на данном отрезке,

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет Московский Государственный Университет имени МВ Ломоносова Биологический факультет УТВЕРЖДАЮ " " 00 г Рабочая программа дисциплины Высшая математика Направление подготовки Биология Профили подготовки Форма

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия Глава 3 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная 1,,, n,, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных 1,,, n соответствует единственное

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

P Проверим выполнение достаточных

P Проверим выполнение достаточных Функции нескольких переменных (ФНП). Локальный экстремум. 1) Исследовать на локальный экстремум функцию z z e ; а) -х переменных б) 3-х переменных 3 3 3 u u z z 17 48 z. а) z e e e e 1 1 z e e Находим

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мариуполь 2009 УДК 517.2

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Б А К А Л А В 'Р И А Т. О.А. Кастрица ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. д а экономистов. Г! О С О li И В У Ч S S H O Е

Б А К А Л А В 'Р И А Т. О.А. Кастрица ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. д а экономистов. Г! О С О li И В У Ч S S H O Е Б А К А Л А В 'Р И А Т О.А. Кастрица ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА д а экономистов У Ч S S H O Е Г! О С О li И В Оглавление Предисловие... 3 Основные обозначения... 5 ГЛАВА I. ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА 1. Множества и отображения...

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

2 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) 5. 3 Обобщенные координаты механической системы 6. 4 Тождества Лагранжа 9

2 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) 5. 3 Обобщенные координаты механической системы 6. 4 Тождества Лагранжа 9 Содержание 1 Связи и ограничения на движение твердых тел 2 1.1 Пример 1.................................................. 2 1.2 Пример 2.................................................. 3 1.3 Пример стационарной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции.

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции. ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Дифференциал функции в точке Пусть функция f () определена в некоторой окрестности точки Если приращение функции f () можно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9 ЧАСТЬ 5 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 9 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин;

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 4 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 Материальная

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее