Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1"

Транскрипт

1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный ответ: y y a a = a + В нашем случае 6p 6 p p p p = = p =, имеем = = = A Упростите выражение 5 6 5, 6 5, Решение Используя свойство n n a b = n a b, получим: Осталось вычислить произведение: Правильный ответ: = = = = = = =, A Найдите значение выражения log (6 c ), если log c =,5 6,5,5,5 67,5 Решение Воспользуемся формулой логарифма произведения: Правильный ответ: log (6 c) = log 6 + log c= + (,5) =,5

2 Примечание Возможен другой способ рассуждения: воспользуемся равенством log c =,5, рассматривая его как уравнение на переменную c: log c,5,5 = c= Подставим найденное значение c в искомый логарифм: log (6 c) = log ( ) = log = log =,5,,5,5,5 что и завершает решение A На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции Укажите этот рисунок y y y y Решение График нечетной функции симметричен относительно начала координат Такой график изображен на рисунке Правильный ответ: A5 Найдите производную функции y = ( )cos у = cos + ( )sin у = ( )sin cos у = cos ( )sin y = sin Решение Для вычисления производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения ( f g) = f g + f g В нашем случае f ( ) =, g( ) = cos Найдем производные этих функций: f ( ) =, g ( ) = sin Поэтому y = cos + ( )( sin ) = cos ( )sin Правильный ответ:

3 A6 Укажите множество значений функции y = + 5 (5; + ) (; + ) ( ; + ) (7; + ) Решение Множество значений показательной функции все положительные числа Тогда < <+ 5< + 5<+ Правильный ответ: A7 На рисунке изображены графики функций y = f( ) и y = g ( ), заданных на промежутке [ ;6] Укажите множество всех значений, для которых выполняется неравенство f ( ) g( ) [ ;5] [ ; ] [;6] [ ; ] [5;6] [ ; ] y y = f( ) y = g ( ) Решение Неравенство f ( ) g( ) выполнено на промежутках, где график функции y = f( ) расположен не ниже графика функции y = g ( ) Таким промежутком является отрезок [ ; ] Правильный ответ: A8 Найдите область определения функции 5 f( ) = [; ) (; + ) [; + ) [; 8) (8; + ) ( ; 8) (8; + ) Решение Поскольку знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, область определения функции задается неравенством Решим его: 8 Тем самым область определения функции задается объединением промежутков: Правильный ответ: [; 8) (8; + ) A9 Решите неравенство log (7 ) > log (6 ) ( ; ) (; ) (; + ) (; + ) Решение Заметим, что основание логарифмов меньше единицы и воспользуемся соответствующей теоремой о решении неравенств вида log f ( ) > log g( ) : a a Правильный ответ: 7 >, log (7 ) > log (6 ) 7 < 6 >, < < <

4 π A Решите уравнение cos = ± + 8 n, n ± + n, n + 8 n, n + n, n Решение Используем формулу корней уравнения cos Правильный ответ: = a : π π π π cos cos n, n = = =± + π π = ± + πn =± + 8 n, n π log5 B Решите уравнение 7 5 = + Решение Очевидно, областью определения уравнения является множество (; + ) При > log5 выражение 5 тождественно равно, т е при > исходное уравнение равносильно уравнению 7 = +, значит 6 = ; =,5 Т к,5 >, то эта значение искомое Ответ: {,5} π B Найдите значение выражения 5sin( π+α ) + cos +α, если sin,5 α= π Решение Т к sin( π+α ) = sin α, а cos +α = sin α, то π 5sin( π+α ) + cos +α = 5( sin α) sin α= 6sin α Учитывая, что sin α=,5, окончательно получаем: Ответ: π 5sin( π+α ) + cos +α = 6,5 = B Решите уравнение = (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишите сумму всех его корней) Решение В левой части уравнения вынесем за скобки выражения Получим ( ) = Второй множитель имеет смысл при любых значениях, а первый лишь при Значит, данное уравнение равносильно совокупности =, =,

5 Решением уравнения = является Для решения системы достаточно найти корни уравнения = и отобрать те из них, которые удовлетворяют условию Корнями уравнения =, очевидно, являются числа и Указанному неравенству удовлетворяет только Итак, исходное уравнение имеет два корня: и Их сумма равна Ответ: Часть B Найдите значение выражения 7 + 6y =, y, если ( ; y ) является решением системы + y = Решение Умножая второе уравнение системы на и складывая с первым уравнением, получим равносильную систему = 88, + y = Из первого уравнения полученной системы найдем значение : + = + = = = Подставляя полученное значение в первое уравнение исходной системы, получаем: Тогда значение выражения Ответ: y = 6y = 5 y = 9 y равно 8+ 9= 7 B5 Функция y = f( ) определена на промежутке ( ;5) На рисунке изображен график ее производной Найдите число касательных к графику функции y = f( ), которые наклонены под углом в 5 к положительному направлению оси абсцисс Решение Т к угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной), проведенной к графику функции y = f( ) в точке с абсциссой, равен f ( ), а tg 5 =, то для решения задачи достаточно выяснить, сколько точек пересечения имеет график, изображенный на рисунке, и прямая, заданная уравнением y = Очевидно, таких точек три Следовательно, и касательных к графику функции y = f( ), которые наклонены под углом в 5 к положительному направлению оси абсцисс также будет три Ответ: B6 Найдите значение выражения + + при =,7 Решение Для решения задачи достаточно заметить, что выражение тождественно равно выражению Действительно: 5 y y = f ( ) y y = f ( ) y =

6 = + = = ( ) + = ( ) = Аналогично + = +, и тогда + + = + + Воспользовавшись определением модуля, получаем: , если, + + +, если <, если,, если,, если <, если < Т к число,7 принадлежит промежутку [; ), то значение исходного выражения равно Ответ: B7 Найдите наименьший корень уравнения log ( + ) + log + = 6 Решение Очевидно, что областью определения уравнения являются все действительные числа кроме Выражение log ( + ) тождественно равно выражению log + Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению log + + log + = 6 Далее получаем: log + + log + = 6 log + = 6 log + = + = + = 9 Значит, + = 9 или + = 9 Откуда получаем = 8 или = Наименьшим из найденных значений является Ответ: B8 Периодическая функция y = f( ) определена для всех действительных чисел Ее период равен двум и f () = 5 Найдите значение выражения f(7) f( ) Решение Т к период функции y = f( ) равен, то f ( ) = f( + k) для любого из области определения этой функции и любого целого числа k Поскольку 7= + ; = + ( ), имеем f(7) = f( ) = f() = 5, откуда: Ответ: 5 f(7) f( ) = 5 5 = 5 = 5 B9 Денежный вклад в банк за год увеличивается на % Вкладчик внес в банк 7 рублей В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее рублей Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке ( %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых) 6

7 Решение По окончании первого года вкладчик имел на счете 7 +, 7 = 777 рублей Если не класть на счет дополнительной суммы, то в конце второго года на счете окажется , 777 = 86,7 рублей Поэтому на счет необходимо положить такую сумму, которая через год с учетом процентов даст 86,7 = 75, рубля Искомая величина находится из уравнения, = 75,, откуда = 9,9 Это означает, что наименьшая сумма, которую нужно положить на счет, составляет рублей Решение: Искомая сумма есть наименьшее решение неравенства Ответ: +, 7, 9, 9 B Высота правильной четырехугольной призмы ABCDAB CD равна 8, а сторона основания равна 6 Найдите расстояние от вершины A до плоскости ABD Решение Пусть ABCDAB CD данная призма Искомое расстояние D C от вершины A до плоскости ABD есть высота H пирамиды AA BD, A B опущенная из ее вершины A на основание ABD (см рис) Поскольку ABCDAB CD правильная призма, ее боковое ребро AA D C перпендикулярно плоскости основания ABD, а ее основание ABCD K квадрат Объем пирамиды AA BD может быть вычислен по формуле A B V = S AA, где S = AB площадь равнобедренного прямоугольного треугольника ABD Следовательно, V = (6 ) 8 = 96 С другой стороны, V = SH, где S площадь треугольника ABD, откуда V H = S Треугольник ABD равнобедренный, так как его стороны AB и AD диагонали равных прямоугольников Чтобы найти площадь треугольника ABD, построим его высоту AK Поскольку ABD равнобедренный треугольник, отрезок AK является также его медианой, значит S = AK AK Далее находим: а) из равнобедренного прямоугольного треугольника ABD : BD = AB = ; б) из прямоугольного треугольника AA B : AB = AB + AA = 6 ; в) из прямоугольного треугольника AKB: AK = AB BK = Таким образом, S = 6 = 6и окончательно получаем Ответ:,8 96 H = =,8 6 Примечание Объем пирамиды A ABD может быть также найден из следующих соображений: поскольку площадь основания ABD пирамиды A ABD равна половине площади основания данной призмы, а отрезок AA их общая высота, объем пирамиды A ABD равен одной шестой объема данной призмы B Дан ромб ABCD с острым углом В Площадь ромба равна, а синус угла В равен,8 Высота СН пересекает диагональ BD в точке К Найдите длину отрезка СК 7

8 Решение Площадь ромба, как и любого параллелограмма, равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними В нашем случае имеем S = AB sin B, откуда D C S AB = = = sin B,8 A K H B Из прямоугольного треугольника BCK находим CH = BC sin B =,8 = 6 Поскольку диагональ ромба BD делит угол B пополам, отрезок BK биссектриса треугольника BHC, откуда по свойству биссектрисы HK CK HB CB = = cos B= sin B = (,8) =, 6 Далее имеем: CH CK 6 CK =,6 =,6 6 CK =,6CK CK = CK CK Ответ: lg log ( + 5) + 5 C Найдите значение функции f( ) = в точке максимума Решение Найдем область определения данной функции: >, ( )( + ) >, > + 5 > Таким образом, область определения функции: ( ;) ( ; + ) На найденной области определения упростим правую часть формулы, задающей функцию: lg + lg( + 5) + 5 lg( ) f ( ) = = = Найдем производную заданной функции: f ( ) = и решим уравнение f ( ) = Производная обращается в нуль при = ( = не принадлежит области определения функции) Укажем знаки производной и отметим поведение функции (см рис): f ( ) + f ( ) ma + Поскольку в точке = производная обращается в нуль, а в окрестности этой точки меняет знак с плюса на минус, = точка максимума Значение функции в точке максимума равно f ( ) = Ответ: 8

9 Баллы Критерии оценки выполнения задания С Приведена верная последовательность всех шагов решения: ) найдена область определения данной функции; ) преобразована формула, задающая функцию; ) найдено значение данной функции в точке максимума Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно Получен верный ответ Приведена верная последовательность всех шагов решения Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления оценок в и балла C Решите уравнение sin tg + cos = 7sin + Решение Сведем данное уравнение к квадратному относительно sin : sin + = + + = + cos 6sin + sin 7sin =, sin 7sin + =, cos cos sin tg cos 7sin 6sin cos ( sin ) 7sin Решим уравнение sin 7sin + = : π = + πk; sin =,5, 6 + = = sin = 5π = + πk, k 6 sin 7sin sin,5 Заметим, что найденные серии решений удовлетворяют условию cos k π Ответ: ( ) +πk : k 6 Баллы Критерии оценки выполнения задания С Приведена верная последовательность всех шагов решения: ) уравнение сведено к равносильной ему системе (или установлена область допустимых значений ); ) решена полученная система Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно Получен верный ответ Приведена верная последовательность всех шагов решения Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления оценок в и балла 9

10 Часть C Найдите все значения, которые удовлетворяют неравенству любом значении параметра a, принадлежащем промежутку (; ) ( ) ( ) a < a+ + a при Решение Мы имеем квадратное неравенство (a ) ( a+ ) a<, так как (a ) при условии a (; ) Найдем дискриминант и корни квадратного трехчлена (a ) ( a+ ) a: D a a a a = ( + ) + ( ) = (5 ), a+ ± (5a ) =, (a ) a откуда =, = a a Выражение положительно, так как a a > по условию Следовательно, > и решением a данного неравенства является промежуток ; a a Оценим снизу выражение a : a + a a a + = = = + = + a a (a ) a a a Далее имеем: < a< < a< 8 < a < 6, откуда > > + > a 6 a a Таким образом, при любом значении параметра a, принадлежащем промежутку (; ), верхняя граница промежутка ; a a больше Значит, все значения из промежутка (; ] удовлетворяют данному неравенству Решение (a ) ( a+ ) a< ( ) a+ ( ) < Полученное неравенство линейное неравенство относительно a Линейная функция f ( a) = ( ) a ( + ) отрицательна на промежутке (; ) тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий: f(),, < < f () < 6< () f() <, <, < f () 6 () Объединяя решения () и (), получаем < Ответ: (; ]

11 Баллы Критерии оценки выполнения задания С ) Приведена верная последовательность всех шагов решения: ) решено квадратное неравенство; a ) произведена оценка выражения a ; ) найдены все значения, которые удовлетворяют данному неравенству при любом значении параметра a, принадлежащем промежутку (; ) Все преобразования и вычисления выполнены верно Получен верный ответ Приведена верная последовательность всех шагов решения Отсутствует или является неполным обоснование шага ) Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ Приведена верная последовательность всех шагов решения, но шаг ) выполнен неверно Допустима описка или вычислительная ошибка, в результате которой может быть получен неверный ответ Верно выполнен шаг ), а остальные выполнены неверно Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в балла C Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 7 Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды Найдите радиус основания конуса Решение Пусть DABC данная правильная пирамида, DK ее апофема, DH высота, и пусть основание конуса вписано в боковую грань BCD (см рис) Тогда: а) по свойству правильной пирамиды, точка H центр треугольника ABC, следовательно, точка H принадлежит высоте (медиане, биссектрисе) AK треугольника ABC; б) отрезок DK является высотой, медианой и биссектрисой равнобедренного треугольника BCD; в) основание O высоты HO конуса является центром окружности, вписанной в треугольник BCD, следовательно, O точка пересечения биссектрис DK и BM этого треугольника Кроме того, отрезок HK является радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, а отрезок OK радиусом окружности, вписанной в равнобедренный треугольник BCD, т е искомым радиусом основания конуса Обозначим через a, b и d соответственно длину стороны основания данной пирамиды, длину ее бокового ребра и ее апофему, а через радиус основания конуса Тогда имеем: а) отрезок HK радиус окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, a следовательно, HK = ; б) так как HO ( BDK), отрезок HO высота прямоугольного треугольника DHK, проведенная из вершины его прямого угла H, следовательно, a 7 = d = d ; HK A = OK DK, т е H D B M O K C a = d, откуда ) Критерии сформулированы для оценки первого способа решения задачи

12 в) отрезок OK радиус окружности, вписанной в треугольник DCB, следовательно, S OK =, p ad d 7 где S площадь треугольника BCD, p его полупериметр, откуда = = a+ b b + 7 d 7 7 Приравнивая найденные в пп б) и в) значения, получаем =, откуда d = b b + 7 d a Поскольку из прямоугольного треугольника BDK: DK = BD BK, т е d = b = b 7, имеем систему уравнений: 7 d b 7 7, b =, = + b>, d> d = b 7 7 d = 7 Тогда = d = Ответ d 7 Примечание Соотношение = ad a+ b = можно было получить, применив свойство b+ 7 биссектрисы треугольника к биссектрисе BO треугольника BDK (см рисунок): OK = BK OD BD Баллы Критерии оценки выполнения задания С Приведена верная последовательность всех шагов решения: ) определено положение центра основания конуса, вписанного в пирамиду; ) составлены выражения для вычисления радиуса основания конуса; ) решена полученная система уравнений; ) найден радиус основания конуса Верно приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории: а) свойства правильной пирамиды; б) свойства равнобедренного треугольника; в) положение центра окружности, вписанной в треугольник Все преобразования и вычисления выполнены верно Получен верный ответ Приведены все шаги решения ) ) Приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) в) Допустимы неточности в обоснованиях ключевых моментов ) Допустимы одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ Приведены все шаги решения ) ) Ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) в) либо отсутствуют, либо сформулированы неверно, но сами эти положения теории использованы при решении Допустимы описки и/или вычислительные ошибки, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения В результате этих ошибок или описок может быть получен неверный ответ Ход решения правильный: имеются шаги ) и ) решения, но решение не завершено или завершено неверно Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в балла ) Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение, свойства на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул

13 y( ) + =, C5 Найдите количество всех решений системы уравнений = 5log (,5 y ) 7 log y Решение Область определения данной системы уравнение задается соотношениями: ; y >, y На этой области определения имеем: 5log (,5 y ) 7 5log (,5 y ) 7 log y = log y = log y = log y 7 + (5 log y) 5log y = ( + 5)( log y) = Рассмотрим два случая: = 5 и = log y Если = 5, то первое уравнение системы, 5 (назовем его уравнением ()), принимает вид 6y 5 =, откуда y = > Значит, пара 6 5 5; решение данной системы 6 Если = log y, то y = и уравнение () имеет вид ( ) + = Если >, то > и ( ) + >, т е положительных корней уравнение () не имеет Если <, то и ( ) ( ) + = = Покажем, что полученное уравнение имеет единственный корень Функция так как > Исследуем функцию y = ( ) : y = возрастает, y = ( ) ( )( ) ( ) = ( ) (( ) + ) = ( ) ( ) При < имеем >, >, ( ) > Значит, y < при <, и, так как функция y = ( ) непрерывна на промежутке ( ; ], она убывает на этом промежутке Таким образом, если уравнение ( ) + = и имеет решение, то единственное Покажем, что решение есть: пусть =, тогда 7 =, ( ) = и < ( ) 8 6 Если же =, то =, ( ) = и > ( ) Поэтому, так как обе функции являются непрерывными, уравнение = ( ) имеет единственный корень, причем < <, т е 5 При этом y = > 5 Таким образом, исходная система имеет ровно два решения: 5; 6 и ( ; ) Ответ: система имеет ровно два решения

14 Баллы Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: ) найдена область определения данной системы; ) решено относительно пары (; y) второе уравнение системы; ) найдено первое решение данной системы; ) доказано, что данная система имеет ровно два решения Обоснованы все ключевые моменты решения: а) наличие не более одного решения уравнения ( ) + = ; б) существование решения уравнения ( ) + = Все преобразования и вычисления выполнены верно Получен верный ответ Приведена верная последовательность всех шагов решения Обоснованы все ключевые моменты решения Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ Верно выполнены шаги ), ) и ), а шаг ) выполнен неверно, в том числе неверно обоснован Допустимы вычислительные ошибки, в результате которых может быть получен неверный ответ Верно выполнены шаг ) и ) решения, а остальные либо отсутствуют, либо выполнены неверно Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в балла

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a : Правильный ответ: A Упростите выражение 5b 5b 5 8

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2007 г.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2007 г. «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1 Решения заданий варианта ЕГЭ 007 года Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru A Упростите выражение b b, 0,,6 b 0,, b, b 0,,6 b, 0,, 0,, Решение: b b = b + = b Правильный ответ:

Подробнее

Решение заданий варианта ЕГЭ 2006 года. Часть 1

Решение заданий варианта ЕГЭ 2006 года. Часть 1 Решение заданий варианта ЕГЭ 6 года Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru A Упростите выражение,, 4,9,9 4 4 Решение: Правильный ответ:,,,,9 = =, A Найдите значение выражения

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту Демонстрационный вариант ЕГЭ 009 г. МАТЕМАТИКА, класс. (009 - ) П Проект Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом

Подробнее

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение:

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение: Математика класс Варианты,, 9, (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение (sin )( cos + ) Левая часть уравнения имеет смысл при cos Выражение cos + положительно

Подробнее

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение:

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение: Математика класс Варианты,, 9, (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение (sinx )( cosx + ) Левая часть уравнения имеет смысл при cosx Выражение cosx + положительно

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A Единый государственный экзамен по математике, 00 год Часть A A. Упростите выражение cos α+ sin α cos α. sin α.. tg α. sin α ctg α. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: Правильный

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 006 год демонстрационная версия A Вычислите: 8 7 Часть 6 8 6 Решение Представим произведение чисел, находящихся под знаком корня, в виде произведения степеней

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год демонстрационная версия Часть A A Найдите значение выражения 65 + 6 5 5+ 9 5 5+ 9 7 5 65 + 6

Подробнее

17 Из формулы, в которой все величины положительны, выразите. L m q 2 q. m Ответ: q. L

17 Из формулы, в которой все величины положительны, выразите. L m q 2 q. m Ответ: q. L Математика. 9 класс. Вариант 1 1 m Ответ: q. L Ответ: (3; 1), (7; 39). Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 17 Из формулы, в которой все величины положительны, выразите L m q q. 18 Вычислите

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1 C Математика. класс. Вариант МА-5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение = cos x. 5π б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; π. а)

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 6 год Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru A Упростите выражение,8,,, Решение Поскольку y y =, получаем: Правильный ответ: A Найдите

Подробнее

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше Математика. класс. Вариант 7 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C x x x x а) Решите уравнение sin x + cos sin cos + sin =. 5 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера Коэффициенты квадратного уравнения + + 6c = a c + + = удовлетворяют условию ; a Докажите что это уравнение имеет корень на промежутке ( ) Решение Предположим

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год демонстрационная версия. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год демонстрационная версия. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год демонстрационная версия Часть A A Найдите значение выражения α + α + α, при sin cos cos α =

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих в Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова на базе высшего или среднего специального профильного образования Вступительный экзамен по математике

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Десятая олимпиада Эйлера для учителей математики

Десятая олимпиада Эйлера для учителей математики Десятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура. Изобразите на координатной плоскости O множество точек, задаваемое уравнением. Решение. Область определения уравнения задается

Подробнее

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathet.spb.ru РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B. (Б) * Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. π 2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. π 2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Математика. класс. Вариант МА009 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение π sin π + x sin + x = sin x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 9π π;. а)

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 6 7 4 5 6 5 4 4 6 6 4 4 Решение Пользуясь свойствами арифметического

Подробнее

log x log2 3 x 0 log 3 2,

log x log2 3 x 0 log 3 2, 1 Физтех 2017 Билеты 1 4 Решение БИЛЕТ 1 1 Когда к квадратному трехчлену f(x) прибавили x 2, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли x 2, его наименьшее значение уменьшилось на

Подробнее

6 2, 1 6 0, 3 =6 2, 1 0, 3 =6 1, 8 (решено программой UMS ( A1 Упростите выражение: A2 Вычислите:

6 2, 1 6 0, 3 =6 2, 1 0, 3 =6 1, 8 (решено программой UMS ( A1 Упростите выражение: A2 Вычислите: Вариант ЕГЭ по математике 2009 г. с решением. A1 Упростите выражение: www.umsolver.com)) 6 2, 1 6 0, 3 6 2, 1 0, 3 6 1, 8 (решено программой UMS ( A2 Вычислите: программой UMS ( www.umsolver.com)) 3 36

Подробнее

C2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1. : π 2,, 2π arccos 4. Ответ: 45.

C2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1. : π 2,, 2π arccos 4. Ответ: 45. Математика. класс. Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. C Дано уравнение sinx 4cos x sin x. а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку π ; 3π а) Преобразуем

Подробнее

Вариант по математике 1 Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по математике

Вариант по математике 1 Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по математике Математике, класс Вариант по математике Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по математике Часть Каждое правильно выполненное задание части оценивается баллом Задания части считаются выполненными

Подробнее

Математика. 11 класс. Вариант МА10309 (профильный уровень) 1. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Математика. 11 класс. Вариант МА10309 (профильный уровень) 1. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. класс. Вариант МА0309 (профильный уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 3 а) Решите уравнение cos x 0. tg x 3 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Подробнее

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В В2 12 В3 12 В4 820 В5 3 В6 140 В7 2 В8-0,25 В9 64 В10 0,5 В11 0,3 В12 27,5 В13 10 В14 7

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В В2 12 В3 12 В4 820 В5 3 В6 140 В7 2 В8-0,25 В9 64 В10 0,5 В11 0,3 В12 27,5 В13 10 В14 7 МАТЕМАТИКА, класс.. (0-3 - / 8) Ответы к заданиям части задания Ответ В 9000 В В3 В4 80 В5 3 В6 40 В7 В8-0,5 В9 64 В0 0,5 В 0,3 В 7,5 В3 0 В4 7 Ответы к заданиям части задания Ответ С а) x = πk, k ; б)

Подробнее

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27 Ответы к заданиям части 1 задания Ответ В1 5 В В 8 В4 90 В5 59 В6 14 В В8 В9 В10 0, 4 В11 58 В1 45 В1 14 В14 Ответы к заданиям части МАТЕМАТИКА, 11 класс (01 - - 1 / ) задания Ответ С1 π а) x = + πk, k

Подробнее

Решение задач заочного тура 2011

Решение задач заочного тура 2011 Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru Единый государственный экзамен по математике, 005 год Часть A A Найдите значение выражения n 5 n = при 8 n 5 8 6 6 8 5 Решение Частное от делении

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2008 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2008 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

1) 8 2) 10 3) 7 4) 25

1) 8 2) 10 3) 7 4) 25 A Найдите значение выражения sin cos cos при. 6 sin ) 0 ) ) 4) cos( ) cos Верный ответ ). A Упростите выражение (sin 9m m cos m. ) sin sin 6 9 7 ) 9m ) 9 m ) 9 4) 6 m. 9m m m Верный ответ ). A = 9 m 4(

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2009 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2009 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением «УТВЕРЖДАЮ» Директор Федерального института педагогических измерений «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный

Подробнее

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0.

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0. Математика. класс. Вариант 5-7--5 (без производной) Математика. класс. Вариант 5-7--5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C sinx sinx Решите уравнение. cosx = Левая часть

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности

Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности п/п 1. S A K Технологическая карта урока обучающегося Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности О D C Вспомним основные элементы пирамиды. 1. Какой многогранник изображен на рисунке? 2. Назовите вершину

Подробнее

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее среднее образование, для получения среднего специального или высшего образования І ступени, 2015 год УТВЕРЖДЕНО

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ Приведем пример решения тестового задания второго уровня сложности из пособия для подготовки к тестированию, изданного Центром тестирования Министерства Образования РФ

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. tg 1 13cos x 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. tg x 1, cos x 0, 3π;

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. tg 1 13cos x 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. tg x 1, cos x 0, 3π; Математика. класс. Вариант МА007 (профильный) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение x tg cos x 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π π;. tg x,

Подробнее

Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. 21 Решение. Перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобку 2

Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. 21 Решение. Перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобку 2 Вариант 80 Ключи к оцениванию заданий с кратким ответом Модуль «Алгебра» 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 задания ответ -0,75 4 4 4-0,5 390 3 0,5 3 4 5 5 Модуль «Геометрия» 5 6 7 8 9 0 задания ответ 44 4 3 4 3 Критерии

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ГОУ ВПО ПОМОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА. ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на заочное отделение

ГОУ ВПО ПОМОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА. ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на заочное отделение ГОУ ВПО ПОМОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на заочное отделение Архангельск 009 ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на заочные отделения

Подробнее

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Подробнее

1 Физтех Билеты Решение БИЛЕТ 13

1 Физтех Билеты Решение БИЛЕТ 13 1 Физтех 018 Билеты 13 14 Решение БИЛЕТ 13 1 Даны 11 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 11 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются) Требуется выбрать

Подробнее

tg MN M 1 = MM 1. M 1 N = 6 5

tg MN M 1 = MM 1. M 1 N = 6 5 Математика. класс. Вариант (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите систему уравнений y + sinx =, (4 sinx )(y + ) =. y = Из второго уравнения получаем, или sinx =. 6

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ Вступительный экзамен по математике проводится в письменной форме На экзамене абитуриент должен показать математические знания и умения в рамках требований

Подробнее

Решите уравнение sinxcosx. tg2x. Решение:

Решите уравнение sinxcosx. tg2x. Решение: Математика. класс. Вариант C Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Решите уравнение sinxcosx. tgx + = Преобразуем уравнение:. sinx tgx + tgx = sinx =, случай: Решений нет. tgx. tgx + =, tgx

Подробнее

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0.

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0. Математика. класс. Вариант --9- (без логарифмов) Математика. класс. Вариант --9- (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C sinx sinx Решите уравнение. cosx = Левая часть имеет

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2004 г.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2004 г. Единый государственный экзамен, 4 г. Математика, кл. (4 - ) «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Департамента общего и дошкольного образования Минобразования России А.В.Баранников г. Единый государственный экзамен

Подробнее

Вариант 2. Критерии оценивания заданий С1 С6. sin x 0. (*) cos2x 2cos xcos2x 0 cos2 x(1 2cos x) 0. k Z. Из найденных решений условию (

Вариант 2. Критерии оценивания заданий С1 С6. sin x 0. (*) cos2x 2cos xcos2x 0 cos2 x(1 2cos x) 0. k Z. Из найденных решений условию ( Вариант. Критерии оценивания заданий С С С. Решите уравнение cos x cos xcosx 0. sin x Решение. cos x cos x cos x cosx cos xcosx 0, 0 sin x sin x 0. (*) Решим уравнение cosx cos xcosx 0 : cosx 0, cosx cos

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика. класс. Вариант Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно. B Аня

Подробнее

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика.

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика. Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика Учебное пособие для подготовки к олимпиаде Под редакцией Санкт-Петербургского горного университета МАТЕМАТИКА Очный

Подробнее

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x)

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x) Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 6 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ (вариант для 11-х общеобразовательных классов) 2012/2013 учебный год

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ (вариант для 11-х общеобразовательных классов) 2012/2013 учебный год МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ (вариант для 11-х общеобразовательных классов) 01/013 учебный год 1. Число 5x793x4 нацело делится на 9. Найти x. Известно, что если число делится на 9, то на 9 делится сумма его цифр.

Подробнее

2. Решите неравенство. log ( ) 0

2. Решите неравенство. log ( ) 0 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 8 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

ПРОГРАММА. подготовки к вступительному испытанию по математике. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа

ПРОГРАММА. подготовки к вступительному испытанию по математике. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа ПРОГРАММА подготовки к вступительному испытанию по математике Настоящая программа составлена в соответствии с действующими государственными «Примерными программами вступительных экзаменов (испытаний)».

Подробнее

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень 06 г. Вариант. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход и с некоторым

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B B3 - B,8 B B6 B7 87 B8, B9 B 6 B - B МИОО, 9 г. Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B - B3 B B 69 B6 B7 B8

Подробнее

Решение. Из графика видно, впервые 5 мм осадков выпало 11 февраля (см. рисунок).

Решение. Из графика видно, впервые 5 мм осадков выпало 11 февраля (см. рисунок). ЕГЭ 2017 Профильный уровень. Вариант 17-1 Решение 1. На бензоколонке один литр бензина стоит 32 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 30 литров бензина и купил бутылку воды за 48 рублей. Сколько рублей сдачи

Подробнее

Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера I Математический блок Выясните, при каких значениях параметра найдутся вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению xy + x + y + 7 Ответ: 89 Решение

Подробнее

Материалы вступительных экзаменов по математике

Материалы вступительных экзаменов по математике Д. Д. Гущин Материалы вступительных экзаменов по математике для поступающих на физический факультет СПбГУ 003 Рекомендовано Малым физическим факультетом Санкт Петербургского государственного университета

Подробнее

Математика. 11 класс. Вариант МА Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Математика. 11 класс. Вариант МА Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. класс. Вариант МА0609 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение log (sin ) log (sin ) 0. cos б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π ;π. а)

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Математика класс Вариант МА0 (профильный) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 3 а) Решите уравнение cos x sinx 5tgx 0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π π; а)

Подробнее

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 года по математике

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 года по математике Демонстрационный вариант ЕГЭ 0 г. МАТЕМАТИКА, класс. (0 - / 8) Демонстрационный вариант ЕГЭ 0 г. МАТЕМАТИКА, класс. (0 - / 8) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов

Подробнее

Вариант 1. x 6(x + 2) x 6 x 2 < 1

Вариант 1. x 6(x + 2) x 6 x 2 < 1 Вариант 1 ( cos x 7 cos x + ) log 1 ( sin x) = 0 π + πn; π + πn C. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D, E середины ребер соответственно A 1 B 1 и B 1 C 1.

Подробнее

(2cos 2 x 1) +0,5= cos 2 x

(2cos 2 x 1) +0,5= cos 2 x С1 cos +0,5= cos а) решить уравнение ЕГЭ от 7 ИЮНЯ 01 г. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С1-С ПО МАТЕМАТИКЕ б) найти корни на промежутке [ π; π ] Решение. UMS Team, 01, http://www.umsolver.com cos +0,5= cos (cos 1) +0,5=

Подробнее

x x x числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна Найдите знаменатель прогрессии x sin cos y. 4

x x x числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна Найдите знаменатель прогрессии x sin cos y. 4 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» весна г Вариант Друзья Вася Петя и Коля живут в одном доме Однажды

Подробнее

Проект Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Проект Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Проект Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 0 года по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 0 года разработан по заданию Федеральной службы

Подробнее

Пояснение к содержанию демонстрационного варианта

Пояснение к содержанию демонстрационного варианта ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОГО КОМПЛЕКСА ЗАДАНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ЛИТЕРАТУРЕ ПО ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМ ПРОГРАММАМ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В 08 ГОДУ Пояснения к демонстрационному

Подробнее

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ Предмет «Математика» Вариант ХХХХ I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. 1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби, если ее числитель равен. 2. Найдите точку пересечения

Подробнее

БИЛЕТ 9. . Это равенство на ОДЗ равносильно следующему:

БИЛЕТ 9. . Это равенство на ОДЗ равносильно следующему: Физтех 017. Билеты 9 1. Решение БИЛЕТ 9 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40 Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант 7 Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на

Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на отрезке ; 2. (4 балла) Найдем значение функции на концах отрезка. При x = значение функции 4 + 3x x =, при x = 2, значение

Подробнее

Математика. 11 класс. Вариант МА10109, МА10111 (Запад, углублённый уровень) 1

Математика. 11 класс. Вариант МА10109, МА10111 (Запад, углублённый уровень) 1 5 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом π а) Решите уравнение cos( x) = tg x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

БИЛЕТ 5. 6, решая которые, находим, что x 2, x 3, x 1, x 6. Значение x 2 не входит в ОДЗ. 6 эквивалентно совокупности двух уравнений x 5x

БИЛЕТ 5. 6, решая которые, находим, что x 2, x 3, x 1, x 6. Значение x 2 не входит в ОДЗ. 6 эквивалентно совокупности двух уравнений x 5x БИЛЕТ 5 Решите уравнение 5 6 6 Ответ:,, 6 Решение Данное уравнение равносильно каждому из следующих: 6 5 6 6 6 5, 0 6 5 6 6, Уравнение 5 6 эквивалентно совокупности двух уравнений 5 6 и 5 6, решая которые,

Подробнее

В1 В2 В3 В4 В5 В В7 В8 В9 В10 В11 В , получаем:

В1 В2 В3 В4 В5 В В7 В8 В9 В10 В11 В , получаем: КР. МА-. Восток (без производной) Вариант В В В В4 В5 В6 7 4 5 В7 В8 В9 В В В 4 45 6,5-4 C Решите систему уравнений sin x sin x 6 6 4 8 log ( y) y cos x. Из уравнения sin x sin x 6 6 4 8 получаем: sin

Подробнее

( ) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра»

( ) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» Математика. 9 класс. Вариант МА900 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» Решите уравнение x 5x 6x = 0. Математика. 9 класс. Вариант МА900 Постройте график функции y = x x +

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Вариант Инструкция по выполнению работы

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Вариант Инструкция по выполнению работы (1206-1 ) Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Вариант 1206 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 минут). В работе 30 заданий. Они

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13?

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13? Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант Двое рабочих одновременно приступили к изготовлению одинаковых

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Типовой вариант академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика»

Типовой вариант академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика» «УТВЕРЖДАЮ» Ректор МГТУ им НЭ Баумана АА Александров 16 г Типовой вариант академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика» 1 Из пункта A в

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

2. Вписанные и описанные четырехугольники

2. Вписанные и описанные четырехугольники 005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II).. Вписанные и описанные четырехугольники Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Теорема Пифагора

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Теорема Пифагора И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

cos y 6x x 2 8 = 0, Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный ответ или решение не закончено

cos y 6x x 2 8 = 0, Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный ответ или решение не закончено Математика класс Вариант,, 5, 7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C cos y 6x x 8 = 0, Решите систему уравнений sin x y y = 0 Из неравенства 6x x + 8 0 получаем: x случай Пусть x = или x

Подробнее

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен БИЛЕТ 1 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение f(x). Ответ.

Подробнее