Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка"

Транскрипт

1 Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f = () при условии что все функции a = а также f ( ) непрерывны на множестве X где X - некоторое подмножество числовой прямой например отрезок интервал полупрямая или вся числовая прямая Общие свойства линейных ОДУ -го порядка Определение Функция y C ( X) называется решением уравнения () если при ее подстановке () обращается в тождество Теорема существования и единственности решения задачи Коши К уравнению () могут быть добавлены начальные условия ( ) ( ) y = y y = y y = y X () Полученная задача () () называется задачей Коши Теорема Решение задачи Коши () () существует и единственно на любом сегменте [ ab ] X Доказательство основано на теореме о существовании и единственности решения для системы ОДУ в случае когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе (см Теорему из 5 Гл ) ( ) Действительно замена y = y y = y y = y приводит к системе dy dy dy = y = y3 = f a y a y d d d правые части которой f( y y y) = как легко видеть непрерывны в полосе { [ ab ] y R} и удовлетворяют условию Липшица f ( y y y) f( y y y ) N y y = = с постоянной N = ma ma ( ma a ) [ a b] Пример Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка my + η( y ) + y = f y( ) = y y ( ) = v Обозначим y = y y = y тогда эквивалентная задача Коши для нормальной системы ψ = y y имеет вид относительно вектор-функции { }

2 y = y y ( ) = y η y = y y f y ( ) = v m m m Решение рассматриваемой задачи существует и единственно Некоторые следствия линейности уравнения Заметим что оператор Ly y + a y + + a y в уравнении () является линейным и действует из C ( X ) в C( X ) Сформулируем ряд утверждений являющихся следствием линейности указанного оператора Теорема (принцип суперпозиции) Пусть в уравнении () M f = C f где C - некоторые постоянные а y ( ) - = решения уравнений Ly = f = M Тогда функция M = y = Cy является решением уравнения () Доказательство производится путем прямой подстановки функции M = M y = Cy в (): Ly L C y = C Ly + C Ly + + C Ly = C f + C f + + C f = f M M M M Тривиальным следствием доказанной теоремы являются следующие три утверждения Теорема 3 Любая линейная комбинация решений однородного уравнения ( ) Ly y + a y + + a y = (3) также есть решение этого однородного уравнения Теорема 4 Разность любых двух решений неоднородного уравнения () является решением соответствующего однородного уравнения (3) Теорема 5 Пусть функция z = u + v удовлетворяет уравнению Lz = f + f (*) Тогда функции u и v - решения уравнений Lu = f и Lv = f (**) Верно и обратное утверждение те если u и v есть решения уравнений (**) то z = u + v является решением (*) = Линейное однородное уравнение Рассмотрим однородное уравнение ( ) Ly y + a y + + a y = (3) и выясним структуру его решений Легко видеть что множество решений (3) образует линейное пространство В связи с этим возникают вопросы: какова размерность этого пространства; как построить базис указанног пространства Сформулируем еще два определения

3 Определение Функции y y называются линейно зависимыми на отрезке [ ] m ab если существует такой набор постоянных C Cm среди которых хотя бы одна отлична от нуля что выполнено равенство Cy + Cy + + Cmym [ ab ] (4) Если (4) выполняется лишь в случае C = C = = C m = то функции y ym линейно независимы на отрезке [ ab ] Пусть y y - совокупность ab функций (не обязательно решений уравнения (3)) Определение Определителем Вронского системы функций y y называется определитель y y y y W W[ y y y ] = (5) y y раз дифференцируемых на отрезке [ ] Теорема 6 Пусть функции y y линейно зависимы на отрезке [ ] Тогда определитель Вронского этой системы функций [ ] Доказательство ab W W y y y [ a b] По предположению существует ненулевой набор констант для которого Cy + Cy + + Cy = ab Дифференцируя имеет место тождество [ ] раз получим Cy + Cy + + Cy = Cy + Cy + + Cy = ( ) ( ) ( ) Cy + Cy + + Cy = [ ab ] Если рассматривать записанные тождества как систему уравнений относительно неизвестных C C она имеет нетривиальное решение (в силу предположения о линейной зависимости) Следовательно W [ a b] что и требовалось доказать Теорема 7 Пусть теперь функции y y решения однородного уравнения (3) - линейно независимые на отрезке [ ab ] Тогда определитель Вронского этой системы функций [ ] Доказательство Предположим обратное те пусть существует точка [ ab] W W y y y [ a b] такая что W( ) = Рассмотрим следующую алгебраическую систему относительно неизвестных C C : Cy + Cy + + Cy = Cy + Cy + + Cy = (6) ( ) ( ) ( ) Cy + Cy + + Cy = Так как ее определитель W( ) = то существует нетривиальное решение C C Рассмотрим функцию y = Cy + Cy + + Cy = (7)

4 которая является решением однородного уравнения (3) Дифференцируя (7) и учитывая соотношения (6) получим ( ) y ( ) = y = y = (8) Далее в силу теоремы единственности решения (Теорема ) существует единственное решение y удовлетворяющее условиям (8) что означает (см (7)) линейную зависимость функций y y что противоречит условию теоремы Теорема доказана Из доказанных теорем 6 и 7 вытекает Следствие Определитель Вронского некоторой системы решений однородного уравнения ( ) Ly y + a y + + a y = либо тождественно равен нулю на отрезке [ ab ] и тогда эти решения линейно зависимы либо не обращается в ноль ни в одной точке отрезка [ ab ] ; в этом случае рассматриваемые решения линейно независимы Определение 3 Совокупность любых (число - порядок уравнения) линейно независимых на отрезке [ ab ] решений уравнения (3) называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородного линейного дифференциального уравнения Следствие Определитель Вронского составленный из функций входящих в ФСР отличен от нуля Теорема 8 (о существовании ФСР) Всякое линейное однородное дифференциальное уравнение с непрерывными коэффициентами имеет ФСР Доказательство Зададим произвольный числовой отличный от нуля определитель: a a a a a a Δ= a a a Построим решений y y следующих задач Коши: Ly = y = a y = a = ( ) y ( ) = a Составим определитель Вронского для этих решений Очевидно что W( ) = Δ Следовательно решения y y линейно независимы те образуют ФСР что и требовалось доказать Замечание Так как существует множество способов задать определитель Δ фигурирующий в доказательстве теоремы 8 то ФСР однородного линейного дифференциального уравнения определена неединственным образом Теорема 9 Пусть y y - ФСР линейного однородного уравнения ( ) Ly y + a y + + a y = Тогда любое решение z этого уравнения представимо в виде C C - некоторые постоянные Доказательство Пусть z - решение задачи Коши z = Cy где =

5 Lz = z ( ) = z z = z ( ) z ( ) = z Покажем что можно выбрать постоянные C C так что z = Cy Подставив это выражение в начальные условия в (9) получим систему Cy + Cy + + Cy = z Cy + Cy + + Cy = z ( ) ( ) ( ) Cy + Cy + + Cy = z определитель которой W те система имеет решение C C Составим функцию = z = C y и заметим что она также является решением задачи Коши (9) Но по Теореме решение задачи Коши (9) единственно Следовательно z z = Cy [ ab ] = что и требовалось доказать Замечание Выражение z = Cy где набор функций y y есть ФСР = дает общее решение однородного линейного уравнения Доказанная теорема утверждает что ФСР образует базис в пространстве решений однородного линейного уравнения = (9) 3 Неоднородное линейное уравнение Общее решение неоднородного уравнения Рассмотрим уравнение ( ) Ly y + a y + + a y = f () Пусть y - некоторое частное решение () Теорема Любое решение y неоднородного линейного дифференциального уравнения () представимо в виде суммы его частного решения y и общего решения z соответствующего однородного уравнения те y = y + z y + Cy где y y есть ФСР а C C - произвольные постоянные Доказательство Пусть y - любое решение уравнения () Легко видеть (в силу линейности) что функция z = y y удовлетворяет однородному уравнению Тогда y y Cy что и доказывает утверждение теоремы = = Функция Коши =

6 Если нам известна ФСР однородного уравнения то можно построить частное решение соответствующего неоднородного уравнения удовлетворяющее нулевым начальным условиям Рассмотрим следующую задачу Коши: Ly = a < ξ < < b ( ) ) y( ξ) = y ( ξ) = y ( ξ) = Известно что ее решение существует и непрерывно вместе с производными зависит от параметра ξ Обозначим K ( ξ ) - решение этой специальной задачи Примеры ) ) y y = ==> y K( ξ ) = e y ( ξ ) ξ ; = y + y = ==> y K( ξ ) = s( ξ ) y( ξ) = y ( ξ) = Определение Функция K ( ξ ) являющаяся решением специальной задачи Коши LK ( ξ) = a< ξ < < b ( ) K( ξξ ) = K ( ξξ ) = K ( ξξ ) = называется функцией Коши уравнения () Теорема Функция y = K ξ f ξ dξ где K ( ξ ) - функция Коши уравнения () является решением задачи Коши для неоднородного уравнения () с нулевыми начальными условиями те Ly = f [ a b] ( ) y ( ) = y = = y = [ ab ] Доказательство Мы должны убедиться в том что функция y = K ξ f ξ dξ удовлетворяет уравнению и указанным нулевым начальным условиям Непосредственно проверяется: t t = = начальные условия a y = K( ξ) f( ξ) dξ y( ) = a y = K( ) f + K ( ξ) f( ξ) dξ y ( ) = a y = K ( ) f + K ( ξ) f( ξ) dξ y ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ = ( ) y = K ( ) f + K ( ξ) f( ξ) dξ = a y = K ( ) f + K ( ) f d y ( ) = Умножая a на ( y ) ( ) и складывая полученные равенства имеем

7 те функция условиям Теорема доказана Ly = f + L K( ξ) f ( ξ) dξ = f = y = K ξ f ξ dξ удовлетворяет уравнению () и нулевым начальным Примеры ) ) y ay = f y() = y + y = f y() = y () = ( ξ ) a y = e f( ξ ) dξ y = s( ξ ) f( ξ) dξ 3 Метод вариации постоянных Теорема Пусть y y ФСР однородного уравнения ( ) Ly y + a y + + a y = Тогда функция y = c( y ) будет решением неоднородного уравнения () если = c ( ) удовлетворяют системе линейных уравнений ( j) c y = j = = () ( ) c y = f = Доказательство Система () однозначно разрешима относительно c так как определитель этой системы есть определитель Вронского W Заметим что вектор функции ( ) ( ) ψ = { y y } ψ () t = { y y } образуют ФСР решений для системы уравнений ψ = A ψ Нетрудно показать (сделайте это самостоятельно) что если c удовлетворяют уравнениям () то функция z = c ψ является решением неоднородной системы z = A z + F где A = a a a a =

8 F = { f } Но тогда первая координата вектора z те функция есть решение () Замечание (физический смысл функции Коши) ( ) = ψ = = = y c c y по определению Ly = δ( ξ ) δ функции y = K ( ξ ) δξ ( ξ) dξ K ( ξ) y = y = y = = функция влияния мгновенного единичного источника ("импульсная" функция) сосредоточенного в т ξ на точку Замечание Для уравнения с постоянными коэффициентами функция Коши может быть найдена по формуле (докажите самостоятельно) y ξ y ξ y ξ ( ξ ) K y y y = W () y y y ( ξ ) ( ξ) ( ξ) ( ) ( ) ( ξ ( ξ) ) ( ξ) y () y () y () 4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим теперь частный случай линейного дифференциального уравнения - линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами ( ) Ly = y + a y + + ay = f a = cost (п) Общее решение однородного уравнения Нетривиальные частные решения однородного уравнения ( ) Ly = y + a y + + ay = a = cost (п) будем строить в виде y = Ce λ где C и λ - постоянные (метод Эйлера) Подставляя в (п) получим: L λ λ λ Ce = C λ + a λ + + a e CM( λ) e = M( λ) = Определение Многочлен M ( λ) = λ + aλ + + a называется характеристическим многочленом уравнения (п) а уравнение M( λ) = λ + aλ + + a = (3п) называется характеристическим уравнением для (п) Очевидно что характеристическое уравнение имеет ровно корней (с учетом кратности) Рассмотрим несколько возможных вариантов Характеристическое уравнение (3п) имеет различных (простых) корней λ λ λ : λ M ( λ ) = Каждому корню λ соответствует функция y = e = которая является решением однородного уравнения (п) так как в силу (3л) имеет место λ λ M( λ) = L e = M( λ) e =

9 Теорема 3 Пусть корни характеристического многочлена (3п) простые λ Тогда функции y = e = образуют ФСР уравнения (п) Доказательство Для доказательства достаточно показать линейную независимость указанной системы функций Предположим обратное те пусть существует набор констант = Ce λ Ce λ Ce λ C C C C что выполнено соотношение = (4п) Положим для определенности C Разделим (4п) на e λ и продифференцируем Получим ( λλ ) ( ) ( ) ( ) λ λ ( ) λ λ C λ λ ( ) e + C λ λ e + + C λ λ e = (5п) ( ) Разделим (5п) на e λ λ и снова продифференцируем: ( λ λ ) ( ) ( ) ( )( ) λ λ ( )( ) λ λ C λ λ ( ) λ λ e C λ λ λ λ e C λ λ e = Выполнив указанную процедуру раз будем иметь ( ) C( ) ( ) ( ) e λ λ λ λ λ λ λ λ = ( ) Отсюда следует что C = так как e λ λ и все λ различны по предположению Полученное противоречие доказывает теорему Таким образом в случае простых корней характеристического уравнения общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид y = Ce λ = ( α + β) ( αβ) Замечание В случае комплексных корней пару комплекснозначных функций e e отвечающих паре комплексно сопряженных корней λ = α + β λ+ = α β обычно α α заменяют функциями e cos β e s β и получают ФСР содержащую только действительные функции Пусть характеристическое уравнение M ( λ ) = (3п) имеет кратные корни те s m M ( λ) = ( λλ) ( λλ ) ( λλs ) ( λ λm ) = где s - кратность корня λ s причем s + + m = В этом случае ФСР выглядит иначе Далее рассмотрим случай когда имеется один кратный корень Теорема 4 Пусть λ = = p - простые корни характеристического уравнения а λ + - корень кратности p Тогда корню λ + отвечает p линейно независимых частных решений уравнения (п) λ+ e λ+ λ+ p λ+ e e e те функций λ λ λ e e e λ + e λ + e λ + e p λ + e образуют ФСР однородного уравнения (п) Доказательство Покажем что все указанные функции удовлетворяют однородному уравнению (п) Это проверяется непосредственной подстановкой функций системы λ+ e λ+ λ+ p λ+ e e e в уравнение (п) Рассмотрим тождество λ λ L e = M( λ) e и продифференцируем его по λ Применяя формулу Лейбница получим L e λ = M ( λ) e + M ( λ) e p λ p p ( p) λ L e = { M( λ) + p M ( λ) + + M ( λ) } e

10 ( s) ( s) Если λ s корень кратности s то M( λs) = M ( λs) = M ( λs) = M ( λs) Следовательно p L e λ p = при всех p= s те функции вида e λ где p= s являются решениями однородного уравнения (п) Вторую часть теоремы те линейную независимость указанных функций можно доказать аналогично тому как это было сделано в Теореме 3 В качестве упражнения докажите указанное утверждение для случая корня краиности Замечание В случае комплексных корней каждую пару комплекснозначных функций p ( ) e α+ β p ( ) e α β отвечающих паре комплексно сопряженных кратных корней λ = α + β λ+ = α β заменяют функциями p α e cos β p α e s β и получают ФСР содержащую только действительные функции Неоднородное уравнение Напомним что (см 3) общее решение y неоднородного линейного дифференциального уравнения представимо в виде суммы его частного решения y и общего решения z соответствующего однородного уравнения те y = y + z y + Cy где y y есть ФСР а C C - произвольные постоянные Общие методы поиска частных решений линейных уравнений были рассмотрены в 3 Для уравнений с постоянными коэффициентами в случае специального вида правых частей частные решения могут быть эффективно получены еще несколькими способами ) Метод неопределенных коэффициентов Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами ( ) Ly = y + a y + + a y = f (6п) l P - многочлен степени l λ - константа Утверждение Пусть λ λ λs λm - корни характеристического уравнения M ( λ ) = кратностей s m где s + + m = Тогда: ) Если λ λ s ( s= m) (нерезонансный случай) то частное решение уравнения (6п) ищем в виде y = Ql ( e ) λ где Ql ( ) - многочлен степени l с неопределенными коэффициентами ) Если λ = λs (кратности s ) (резонансный случай) то частное решение уравнения (7) ищем в виде s y = R( e ) λ где f = P e λ где R l l - многочлен степени l с неопределенными коэффициентами Подставляя искомый вид решений в (6п) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим неопределенные коэффициенты многочленов Ql ( ) и Rl ( ) (метод неопределенных коэффициентов) Замечание уравнение Эйлера если положить t = e К уравнению с постоянными коэффициентами сводится однородное = y + a y + + ay= ( )

11 Замечание Методом неопределенных коэффициентов решается неоднородное уравнение Эйлера со специальной правой частью f = S(l ) λ (переходящей при замене f t = S t e λt ) t = e в функцию () () Примеры ) y + 4 y= e M( λ) = λ + 4= λ =± λ = 3 y = Ae ) y + 4 y = ( + ) e M ( λ) = λ + 4= λ = ± λ = 3 y = ( A + B) e 3) y 4 y = ( + ) e M ( λ) = λ 4= λ = ± m = λ = λ y = A ( + Be ) 4) y + 3y + 3 y + y = ( + ) e 3 M( λ) = ( λ+ ) = λ = m = 3 λ = λ = y = 3 ( A+ B) e 5) y 4y = cos= Ree ± M ( λ) = λ = λ = ± λ =± λ λ y = Acos + Bs 6) y + 4y = cos= Ree ± M ( λ) λ y = Acos + Bs = + = ) Операторный метод Хевисайда d d Рассмотрим оператор дифференцирования D = тогда D = d d Используя оператор D можно записать ЛДУ (7) в виде ( ) Ly = y + ay ++ ay = D y+ ad y++ a Dy+ ay = P( D) y = f P ( D) y = f и его частное решение можно найти как y = f P D Свойства операторного многочлена P ( D ) P ( ) D v = P D v v = ( v ) P ( D) P ( D) e P D e = P e e = P D P( ) s a s a s a s a 3 P( D ) = P( a ) = cos a cos a P cos a cos a D P a 4 P ( ) = ( + )( ) ( D e v e P D v e v ) = e v P ( D) P ( D + ) 5 N - это операция -кратного интегрирования D m m M 6 ( a ) md + am D amd Pm ( M > m) 7 ( F ) { } = P D Q D + R> D = Q D F P ( D) 8 ( v ) + v = v + v P ( D) P ( D) P ( D) 9 ( v ) = ( v ) F ( D) F ( D) F ( D) F ( D) Примеры ) y = e Dy = e y = e d= e 4 ) y y y e = ( D D 3) y e 4 = y ( e ) ( ) = e e D D3 = 4 43 = 5 4 4

12 s5 3) y + 9y = s5 ( D + 9) y = s5 y = ( s 5) = = s 5 D IV 4 4) y + y = 7 ( D + D ) y = 7 y () = 7= 7 4 D + D D ( D + ) Вычислим 7 D + Воспользуемся правилом деления многочлена «столбиком» + D + D D D Таким образом = D D = D D = = = откуда + + D y = 7= 7 = 7 d d= D D D 6 +


Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Абрамян,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Факультет информационных технологий и вычислительной техники Е В Новикова, А Г Родионова, Н В Родионова

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения [Ф] Филиппов А.В. Сборник зада по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотиеская динамика», 00. URL: http://elibrary.bsu.az/kitablar/846.pdf [М] Матвеев Н.М. Сборник зада и упражнений

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения [Ф] Филиппов А.В. Сборник зада по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотиеская динамика», 00. URL: http://elibrary.bsu.az/kitablar/846.pdf [М] Матвеев Н.М. Сборник зада и упражнений

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Семинар 5 ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Описание сигналов Для описания сигналов используются функции времени Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

y неоднородного уравнения:

y неоднородного уравнения: 1 Найти общее решение дифференциального уравнения ( 4 + + = 1 6 - это линейное неоднородное ДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального неоднородного уравнения: = ˆ +. ( 4

Подробнее

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения Июль 215 1) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее