Лекция 12.Байесовский подход

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 12.Байесовский подход"

Транскрипт

1 Лекция 12.Байесовский подход Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

2 Cодержание Содержание 1 Байесовский подход к статистическому оцениванию 2 Априорные распределения, сопряженные с наблюдаемой генеральной совокупностью 3 Байесовский прогноз зависимой переменной, основанный на нормальной линейной модели множественной регрессии 4 Проверка статистических гипотез Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

3 Байесовский подход к статистическому оцениванию Общая схема байесовского подхода к статистическому оцениванию Пусть в описании закона распределения анализируемой случайной величины, функции регрессии, временного ряда и т.п. участвует s-мерный параметр θ = (θ 1,..., θ s ) T. Задача состоит в построении наилучшей, в определеннном смысле, статистической оценки ˆθ параметра θ по имеющимся наблюдениям X [n] = (X 1,..., X n ). Байесовский подход основан на двух положениях Степень нашей уверенности в справедливости некоторого утверждения численно выражается в вероятности. При принятиии решения в качестве исходной информации используется одновременно информация двух типов: априорная и содержащаяся в исходных статистических данных. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

4 Байесовский подход к статистическому оцениванию Априорная информация представлена в виде некоторого априорного распределения вероятностей анализируемого неизвестного параметра, которое описывает степень его уверенности в том, что этот параметр примет то или иное значение, еще до начала сбора исходных статистических данных. По мере поступления исходных статистических данных это распределение уточняется, переходя от априорного распределения к апостериорному, по формуле Байеса: P{A i B} = P{A i }P{B A i } K i=1 P{A i}p{b A i }, (1) A 1,..., A K образуют полную группу событий, P{B} > 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

5 Байесовский подход к статистическому оцениванию Общая логическая схема байесовского метода оценивания Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

6 Байесовский подход к статистическому оцениванию Априорные сведения о параметре θ оcнованы на предыстории функционирования анализируемого процесса и на профессиональных теоретических соображениях о его сущности, специфике, особенностях. Априорные сведения представлены в виде функции p(θ), задающей априорное распределение параметра вероятность принять значение θ в дискретном случае, плотность распределения в непрерывном случае. При анализе многомерных параметров θ = (θ 1,..., θ s ) T при построении априорного распределения обычно предполагают стастистическую независимость компонент θ 1,..., θ s p(θ) = p(θ 1 )... p(θ s ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

7 Байесовский подход к статистическому оцениванию Исходные статистические данные Выборка X 1,..., X n получена из генеральной совокупности с функцией распределения F (x θ). Пусть f (x θ) плотность распределения наблюдаемой случайной величины ξ, если ξ непрерывна, или вероятноcть P{ξ = X θ}, если ξ дискретна, при условии, что значение неизвестного параметра равно θ. Функция правдоподобия L(X 1,..., X n θ) имеющихся данных определяется соотношением L(X 1,..., X n θ) = f (X 1 θ)f (X 2 θ)... f (X n θ). (2) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

8 Байесовский подход к статистическому оцениванию Вычисление апостериорного распределения p(θ X 1,..., X n ) осуществялется с помощью формулы Байеса (1), где A i событие, заключающееся в том, что значение оцениваемого параметра равно θ, B событие, заключающееся в том, что значения n наблюдений, зафиксированы на уровнях X 1,..., X n. p(θ X 1,..., X n ) = p(θ)l(x 1,..., X n θ) L(X1,..., X n θ)p(θ)dθ (3) Знаменатель (3) L(X 1,..., X n θ)p(θ)dθ играет роль нормирующего коэффициента и не зависит от неизвестного параметра θ. p(θ X 1,..., X n ) p(θ)l(x 1,..., X n θ). (4) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

9 Байесовский подход к статистическому оцениванию Построение байесовских точечных и интервальных оценок основано на использовании знания апостериорного распределения p(θ X 1,..., X n ) (3). В качестве байесовских точечных оценок ˆθ B используют среднее или модальное значение распределения p: ˆθ mean B = E(θ X 1,..., X n ) = θ p(θ X 1,..., X n )dθ, (5) ˆθ B mod = arg max p(θ X 1,..., X n ), (6) θ Байесовская оценка (5) является наилучшей в смысле доставления минимума апостериорному байесовскому риску: R B (X 1,..., X n ) = E{(ˆθ(X 1,..., X n ) θ) 2 X [n] } = = (ˆθ(X 1,..., X n ) θ) 2 p(θ X [n] )dθ (7) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

10 Байесовский подход к статистическому оцениванию Для построения байесовского доверительного интервала для парметра θ необходимо вычислить по формуле (3) апостериорный закон распределения параметра θ ( p(θ X 1,..., X n )), а затем по заданной доверительной вероятности γ определить критические значения p 1, p 2, которые дают соотвественно левый и правый концы доверительного интервала. Как выбрать параметрическое семейство p(θ, D) априорного распределения оцениваемого параметра? Как подобрать численные значения D 0 параметра D, определяющие конкретный вид априорного распределения? Как вычислять апостериорное распределение p(θ, X 1,..., X n )? Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

11 Сопряженные распределения Априорные распределения, сопряженные с наблюдаемой генеральной совокупностью Определение 1 Семейство априорных распределений G{p(θ, D)} называется сопряженным по отношению к наблюдаемой генеральной совокупности f (X, θ) (или к функции правдоподобия L(X 1,..., X n θ)), если и апостериорное рапрседеление p(θ, X 1,..., X n ), вычисленное по формуле (3), принадлежит этому же семейcтву G. Теорема 1 (Условие существования сопряженного семейства априорных распределений) Если функция правдоподобия L(X 1,..., X n θ) представима в форме L(X 1,..., X n θ) = v(t 1 (X 1,..., X n ),..., T m (X 1,..., X n ); θ) ψ(x 1,..., X n ), (8) где T j (X 1,..., X n ), j = 1,..., m, и ψ(x 1,..., X n ) некоторые функции от наблюдений X 1,..., X n, не зависящие от параметров θ, то сущетсвует семейство G = {p(θ; D)} априорных распределений, соспряженное с L(X 1,..., X n θ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

12 Сопряженные распределения Теорема 2 Если в байесовском подходе стартовать с априорного распределения, не несущего никакой дополнительной по отношению к имеющимся статистическим данным полезной информации об оцениваемых параметрах, то первый же переход от нее по формуле (3) к апостериорному распределению приведет к семейству распределений, сопряженному с наблюдаемой генеральной совокупностью. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

13 Сопряженные распределения Распределения, отражающие скудость априорных знаний В случае отсутствия какой-либо полезной априорной информации о значениях оцениваемого параметра рекомендуется следовать следующим рекомендациям: если оцениваемый скалярный параметр θ может принимать значения на конечном интервале [θ min, θ max ] или на бесконечном интервале от до +, то априорную функцию плотности p(θ) следует считать постоянной на соотвествующем интервале; если из смысла оцениваемого параметра вытекает, что он может принимать любые положительные значения, то следует считать постоянной на всей числовой прямой (, + ) функцию плотности распределения логарифма от значения параметра, т.е. p(ln θ) = const при θ (0; + ). Такие априорные распределения называют распределениями, отражающими скудость априорных знаний или "САЗ-априорными распределениями". При этом нарушение условий нормировки функции плотности вероятности не доставляет "технических неудобств". Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

14 Сопряженные распределения Определим вид априорной плотности p(θ) для случая p(ln θ) = const f θ (y) = δf θ(y) δy = δf ln θ(ln y) δ ln y δ ln y δy = f ln θ (ln y) 1 y 1 y. Так как f ln θ (ln y) = p(ln y) = conts, p saz (θ) 1 θ. Для параметров θ с возможными значениями, заполняющимим всю числовую прямую, априорная плоность p saz (θ) = const Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

15 Сопряженные распределения Общий подход к выводу семейства априорных распределений, сопряженных с наблюдаемой генеральной совокупностью Шаг 1. Проверка условия (8) существования семейства априорных распределений, сопряженных с функцией правдоподобия L для наблюдаемой генеральной совокупности. Шаг 2. Если функция правдоподобия L допускает представление (8), то осуществляется вывод САЗ-апостериорного распределения p saz (θ X 1,..., X n ) по формуле p saz (θ X 1,..., X n ) p saz (θ)l(x 1,..., X n θ). (9) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

16 Сопряженные распределения Пересчет значений параметров при переходе от априорного сопряженного распределения к апостериорному Пусть {p(θ, D)}, D = (d 1,..., d q ) T, семейство априорных распределений, сопряженных с функцией правдоподобия L(x 1,..., x n θ) имеющихся наблюдений, и пусть D 0 известные значения параметров D в анализируемом случае. Тогда с помощью ряда тождественных преобразований правая часть соотношения p(θ X 1,..., X n ) p(θ; D 0 )L(X 1,..., X n θ) (10) приводится, с точностью до множителей, не зависящих от θ, к виду p(θ; D(X 1,..., X n )), где каждая из функций d j (X 1,..., X n ), j = 1,..., q, вектора D(X 1,..., X n )) является функцией D 0 и {X 1,..., X n }. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

17 Сопряженные распределения Пример 1 Пусть ξ N(θ, σ0 2 ) нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией. L(X 1,..., X n θ) = n i=1 2 ( ) f (X i θ) = e n 2σ 0 2 ( x θ) 1 n e 1 n 2σ 0 2 i=1 (x i x) 2. 2πσ0 v(t 1 (X 1,..., X n ); θ) = e n 2σ 0 2 ( x θ) 2, T 1 (X 1,..., X n ) = x. ( ) 1 n ψ(x 1,..., X n ) = e 1 n 2σ 0 2 i=1 (x i x) 2. 2πσ0 Выполняются условия теоремы 1, следовательно, семейство априорных, сопряженных с L, существует. Определим p saz (θ) = const, тогда p saz (θ X 1,..., X n ) = p saz (θ)l(x 1,..., X n θ) e n 2σ 0 2 ( x θ) 2. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

18 Сопряженные распределения Таким образом, семейство p(θ; D) = 1 e (θ θ 0) πσ0 2 является сопряженным с L(x 1,..., x n θ) e n 2σ 0 2 ( x θ) 2. Обозначим d 1 = θ 0, d 2 = 2 0 p(θ x 1,..., x n ) e (θ d 1 ) 2 2d 2 e n 2σ 0 2 ( x θ) 2 e (θ d 1 ) 2 2 d 2 (11) где d 1 (x 1,..., x n ) = 1 σ0 2/n x + 1 θ σ0 2/n + 1, (12) 2 0 ( 1 d 2 (x 1,..., x n ) = σ0 2/n + 1 ) 1 2, (13) 0 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

19 Сопряженные распределения Пример 2 Пусть ξ B(M, θ) биномиально распределенная случайная величина f (x θ) = P{ξ = x θ} = C x M θx (1 θ) M x, x = 0, 1,..., M. L(X 1,..., X n θ) = n i=1 C x i M θx i (1 θ) M x i В данном случае T (X 1,..., X n ) = = θ n i=1 x i (1 θ) nm n i=1 x i n x i и семейство априорных i=1 сопряженных распределений существует. Определим p saz (θ) = 1 для θ (0; 1), тогда p saz (θ X 1,..., X n ) θ n i=1 x i (1 θ) nm n i=1 x i (14) С точностью до нормирующего множителя, не зависящего от θ, правая часть (14) представляет собой плотность бета-распределения. n i=1 C x i M. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

20 Сопряженные распределения Таким образом, семейство p(θ; D) θ a 1 (1 θ) b 1 является сопряженным с L(x 1,..., x n θ) θ n i=1 x i (1 θ) nm n i=1 x i Формула (3) дает p(θ x 1,..., x n ) θ a 1 (1 θ) b 1 θ n i=1 x i (1 θ) nm n i=1 x i = = θ a+ n i=1 x i 1 (1 θ) b+nm n i=1 x i 1. (15) Правая часть (15) определяет с точностью до нормирующего множителя бета-распределение с параметрами ã = a + n x i, (16) i=1 b = b + nm n x i. (17) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36 i=1

21 Сопряженные распределения Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

22 Сопряженные распределения Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

23 Байесовский прогноз зависимой переменной Байесовский прогноз зависимой переменной, основанный на нормальной линейной модели множественной регрессии Рассмотрим множественную линейную регрессионную модель Y = X β + ε, (18) где Y = (y 1,..., y n ) T, β = (β 0, β 1,..., β k ) T, ε = (ε 1,..., ε n ) T, X = матрица порядка n (k + 1). Случайный вектор ε T N(0, h 1 E n ) 1 x 11 x x 1k 1 x 21 x x 2k x n1 x n2... x nk Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

24 Байесовский прогноз зависимой переменной Введем прогнозные (на q тактов времени вперед) значения X и Ỹ X = 1 x (n+1)1 x (n+1)2... x (n+1)k 1 x (n+2)1 x (n+2)2... x (n+2)k x (n+q)1 x (n+q)2... x (n+q)k Ỹ = (ỹ n+1,..., ỹ n+q ) T, а также остатки ε = (ε n+1,..., ε n+q ) T. Тогда с учетом исходной модели (18) Ỹ = X β + ε, ε q N(0, h 1 E q ) (19) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

25 Байесовский прогноз зависимой переменной Для построения точечных и интервальных оценок для Ỹ по заданным значениям X, X, Y необходимо располагать прогнозной функцией плотности вероятности p(ỹ X, X, Y ): p(ỹ X, X, Y ) = p(ỹ, β, h X, X, Y )dβdh = β h = p(ỹ β, h, X, X, Y )p(β, h X, X, Y )dβdh (20) С учетом того, что β h p(ỹ β, h, X, X, Y ) = p(ỹ β, h, X ) h q 2 e h 2 (Ỹ X β) T (Ỹ X β) (21) p(β, h X, X, Y ) = p(β, h X, Y ) гамма-нормальное распределение с параметрами β 0, Λ 0, ã и b, определяемыми по параметрам β 0, Λ 0, a и b априорного гамма-нормального распределения p(β, h) по формулам θ 0 = (Λ 0 + X T X ) 1 (Λ 0 θ 0 + X T Y ); Λ0 = Λ 0 + X T X ã = a + n/2; b = b + 0.5[(Y X θ 0 ) T Y + (θ 0 θ 0 ) T Λ 0 θ 0 ] Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

26 Байесовский прогноз зависимой переменной интегригруя (20), получаем p(ỹ X, X, Y ) [ ] v+q v (Ỹ X β 0 ) T 2 B(Ỹ X β 0 ), (22) где v = n k 1 и B = ã [ E q X (Λ 0 + X b T X + X T X ) 1 X ] T. Таким образом условное распределение Ỹ при заданных значениях X, X, Y описывается обобщенным многомерным t-распределением с n k 1 степенями свободы, параметром сдвига X β 0 и матрицей точности B. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

27 Байесовский прогноз зависимой переменной Точный байесовский прогноз для компонент вектора Ỹ ŷ n+m = ( ˆβ B ) T X n+m, m = 1,..., q. (23) Интервальный байесовский прогноз для компонент вектора Ỹ с доверительной вероятностью γ, m = 1,..., q, ( ) y n+m ŷ n+m t γ (n k 1) 1 ; ŷ n+m + t γ (n k 1) 1. 2 cm 2 cm (24) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

28 Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез Пусть (x 1,..., x n ) выборка из генеральной совокупности ξ с законом распределения f (x, θ) известным с точностью до неизвестного параметра θ. (x 1,..., x n ) θ L(x 1,..., x n θ) Проверим нулевую гипотезу H 0 о принадлежности неизвестного параметра θ некоторому множеству Θ 0 против альтернативной гипотезы H 1 о принадлежности параметра θ множеству Θ 1, где Θ 0 Θ 1 = Θ 0 Θ 1 = Θ. Предположим, что имеется априорная информация о распределении вероятности параметра θ π 0 = Pr{θ Θ 0 }, π 1 = Pr{θ Θ 1 } (25) Пусть Pr(H 0 ), Pr(H 1 ) априорные вероятности справедливости гипотез H 0 и H 1,соотвественно. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

29 Пусть Проверка статистических гипотез p 0 = Pr{θ Θ 0 X [n] }, p 1 = Pr{θ Θ 1 X [n] } (26) апостериорные вероятности по данным наблюдений (x 1,..., x n ) того, что параметр θ принадлежит множествам, соотвествующим нулевой гипотезе: p 0, и альтернативной: p 1. Априорные шансы H 0 против H 1 π 0 /π 1, апостериорные p 0 /p 1. Байесовским фактором B 01 гипотезы H 0 против гипотезы H 1 называется отношение апостериорных шансов к априорным шансам Так как π 1 = 1 π 0 и p 1 = 1 p 0, имеем B 01 = p 0/p 1 π 0 /π 1 = p 0π 1 p 1 π 0. (27) B 01 = p 0(1 π 0 ) (1 p 0 )π 0. (28) B 10 = 1 B 01. (29) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

30 Проверка статистических гипотез В случае двух простых гипотез Θ 0 = θ 0, Θ 1 = θ 1 апостериорные вероятности p i π i p(x 1,..., x n θ i ), i = 0, 1. (30) Тогда p 0 = π 0p(x 1,..., x n θ 0 ) p 1 π 1 p(x 1,..., x n θ 1 ) и Байесовский фактор принимает вид (31) что есть просто отношение правдоподобия. B 01 = p(x 1,..., x n θ 0 ) p(x 1,..., x n θ 1 ), (32) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

31 Проверка статистических гипотез Общий случай Функция правдоподобия при условии справедливости гипотезы H i, i = 0, 1: L(x 1,..., x n H i ) = f (x 1,..., x n θ)π i (θ)dθ, i = 0, 1 Θ i Байесовский фактор гипотезы H 0 против гипотезы H 1 Апостериорное распределение гипотез Pr(H 0 x 1,..., x n ) = B 01 = L(x 1,..., x n H 0 ) L(x 1,..., x n H 1 ). (33) Pr(H 0 )L(x 1,..., x n H 0 ) Pr(H 0 )L(x 1,..., x n H 0 ) + Pr(H 1 )L(x 1,..., x n H 1 ), Pr(H 1 x 1,..., x n ) = 1 Pr(H 0 x 1,..., x n ). (34) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

32 Проверка статистических гипотез Формулу для байесовского фактора можно переписать в виде откуда получаем соотношение Pr(H 0 x 1,..., x n ) Pr(H 1 x 1,..., x n ) = Pr(H 0) Pr(H 1 ) B 01, [ Pr(H 0 x 1,..., x n ) = 1 + Pr(H 1) Pr(H 0 ) 1 B 01 ] 1. (35) Выводы из апостериорных вероятностей Нулевая гипотеза H 0 принимается, если Pr(H 0 x 1,..., x n ) > Pr(H 1 x 1,..., x n ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

33 Проверка статистических гипотез Выводы из байесовского фактора Джефрис предложил следующую шкалу B 01 Сила доказательств [1, 3] не стоит отмечать (3, 10] существенная (10, 30] сильная (30, 100] очень сильная > 100 решающая Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

34 Проверка статистических гипотез Решающее правило Выбираем между a 0 : "принимаем H 0 "и a 1 : "принимаем H 1 " Рассмотрим 0-1 функцию потерь { 0, если θ Θ i L(θ, a i ) = 1, если θ Θ j, j i (36) Оптимальное правило минимизирует ожидаемые апостериорные потери E π(θ X[n] )(L(θ, a 1 )) = L(θ, a 1 )π(θ X [n] )dθ = Pr(H 0 x 1,..., x n ), (37) E π(θ X[n] )(L(θ, a 0 )) = L(θ, a 0 )π(θ X [n] )dθ = Pr(H 1 x 1,..., x n ). (38) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

35 Проверка статистических гипотез Тогда предпочитаем a 0 a 1 тогда и только тогда, когда E π(θ X[n] )(L(θ, a 0 )) < E π(θ X[n] )(L(θ, a 1 )), что равносильно Pr(H 1 x 1,..., x n ) < Pr(H 0 x 1,..., x n ), т.е. выбираем наиболее вероятную гипотезу. Рассмотрим 0 K i функцию потерь { 0, если θ Θ i L(θ, a i ) = K i, если θ Θ j, j i (39) Оптимальное решение есть a 1 (отклоняем H 0 ) тогда и только тогда, когда Pr(H 0 x 1,..., x n ) Pr(H 1 x 1,..., x n ) < K 0 K 1 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

36 Проверка статистических гипотез Литература Chibara L., Hesterberg T.Mathematical statistics with resampling and R. Wiley Айвазян С.А., Мхитарян В.С.Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т.1, 2001 Айвазян С.А.Байесовский подход в эконометрическом анализе // Прикладная эконометрика, 2008, 1(9), стр Боровков А.А.Математичсекая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. М.:Наука, 1984 Jean-Michel Marin, Christian P. RobertBayesian Core: A Practical Approach to Computational Bayesian Statistics. Springer, 2007 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, / 36

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 3 Парная регрессия Оглавление Парная регрессия... 3 Метод наименьших квадратов (МНК)... 3 Интерпретация уравнения регрессии... 4 Оценка качества построенной

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.13.1 Теория вероятностей и математическая статистика-1

АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.13.1 Теория вероятностей и математическая статистика-1 АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.13.1 Теория вероятностей и математическая статистика-1 Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» - общеобразовательная математическая дисциплина,

Подробнее

А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1. Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов»

А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1. Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов» А. С. Конушин 1 Д. П. 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1 1 МГУ, ВМиК, лаб. КГ 2 МГУ, ВМиК, каф. ММП 3 ВЦ РАН Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов» План 1 2 3 Задачи

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента.

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента. Лекция 7 ЭКОНОМЕТРИКА 7 Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа Построенное

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В. Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть

Подробнее

Государственный университет Высшая школа экономики. Международный институт экономики и финансов

Государственный университет Высшая школа экономики. Международный институт экономики и финансов Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Международный институт экономики и финансов Программа дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

Лекция 11.Бутстраппинг

Лекция 11.Бутстраппинг Лекция 11.Бутстраппинг Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Бутстраппинг Санкт-Петербург, 2013 1 / 27 Идея бутстраппинга Рассмотрим случайную величину ξ с неизвестной

Подробнее

АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ Б.1.Б.15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ Б.1.Б.15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ Б.1.Б.15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА уровень высшего образования бакалавриат направление подготовки 38.03.01 Экономика программа прикладного

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП

1. Цели и задачи дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП 1. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является обучение студентов основным методам теории вероятностей и математической статистики и использованию

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

АНАЛИЗ МАЛОЙ ВЫБОРКИ

АНАЛИЗ МАЛОЙ ВЫБОРКИ Б. И. СУХОРУЧЕНКОВ АНАЛИЗ МАЛОЙ ВЫБОРКИ Прикладные статистические методы Москва «Вузовская книга» 2010 УДК 519.2 ББК 22.17 С91 С91 Сухорученков Б. И. Анализ малой выборки. Прикладные статистические методы

Подробнее

лектор доц. И.В. Родионов Весна Сходимости случайных векторов

лектор доц. И.В. Родионов Весна Сходимости случайных векторов Задачи по курсу Математическая статистика лектор доц. И.В. Родионов Весна 2017 1. Сходимости случайных векторов 1 Пусть последовательность случайных векторов ξ 1,..., ξ n,... сходится по распределению

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

СМК РГУТиС. Лист 1 из 6

СМК РГУТиС. Лист 1 из 6 Лист 1 из 6 1 Лист 2 из 6 Примерный перечень вопросов зачета. 1. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц. Умножение матриц. 2. Определители и их свойства. Алгебраические дополнения и миноры.

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 1. Основная задача математической статистики. Примеры: выборка и линейная модель. 2. Различные виды сходимостей случайных

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

ЗАВИСИМОСТЬ РАЗМЕРОВ ШЕЙНЫХ ПОЗВОНКОВ ОТ ФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПАЦИЕНТОВ

ЗАВИСИМОСТЬ РАЗМЕРОВ ШЕЙНЫХ ПОЗВОНКОВ ОТ ФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПАЦИЕНТОВ УДК 616.8 73.75 В. Т. Пустовойтенко, Г. А. Медведев ЗАВИСИМОСТЬ РАЗМЕРОВ ШЕЙНЫХ ПОЗВОНКОВ ОТ ФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПАЦИЕНТОВ В настоящей статье продолжается рассмотрение структуры шейного отдела позвоночника

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика)

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) Информация План 1. Основные понятия 1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) 2. Информация Фишера... 2.1. Определение информации 2.2. Свойства информации 3. Достаточные

Подробнее

Семинар 3. МНК. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики.

Семинар 3. МНК. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Семинары по эконометрике 0 год Семинар 3 МНК Генерирование случайных величин Повторение теории вероятностей и математической статистики Задание для выполнения на компьютерах : Сгенерируйте две независимые

Подробнее

PERSPECTIVE INNOVATIONS IN SCIENCE, EDUCATION, PRODUCTION AND TRANSPORT

PERSPECTIVE INNOVATIONS IN SCIENCE, EDUCATION, PRODUCTION AND TRANSPORT SWorld 16-26 December 2014 http://www.sworld.education/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/dec-2014 PERSPECTIVE INNOVATIONS IN SCIENCE, EDUCATION, PRODUCTION

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ПАРАМЕТРАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ПАРАМЕТРАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

Методические указания к выполнению курсовой работы на тему «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности

Методические указания к выполнению курсовой работы на тему «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности Методические указания к выполнению курсовой работы на тему «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий» Москва, 201 Введение Курсовая работа «Комплексный

Подробнее

Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» Курсовая работа. По дисциплине «Эконометрика»

Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» Курсовая работа. По дисциплине «Эконометрика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНОГО ЦЕНЗУРИРОВАНИЯ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНОГО ЦЕНЗУРИРОВАНИЯ УДК 59. Е.С. АГЕЕВА, Ю.С. ХАРИН СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНОГО ЦЕНЗУРИРОВАНИЯ Muliple regreio model wih ceored daa i coidered. Aympoic approximaio

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ СОДЕРЖАНИЕ 1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика. Грауэр Л.В.

Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика. Грауэр Л.В. Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика Грауэр Л.В. План лекций Классическая математическая статистика Описательная статистика Точечные и интервальные оценки Проверка статистических гипотез

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИКУ. Вопросы: 1. Понятие статистики 2. Статистика как наука 3. Статистические данные 4. Этапы статистического исследования

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИКУ. Вопросы: 1. Понятие статистики 2. Статистика как наука 3. Статистические данные 4. Этапы статистического исследования ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИКУ Вопросы: 1. Понятие статистики 2. Статистика как наука 3. Статистические данные 4. Этапы статистического исследования Слово «статистика» происходит от латинского слова «status» положение

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних 1. Генеральная средняя. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность

Подробнее

Кафедра «Теория рынка» Тимофеев В.С. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ (Раздел 3. парная регрессия) теоретические материалы для студентов ОФиП

Кафедра «Теория рынка» Тимофеев В.С. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ (Раздел 3. парная регрессия) теоретические материалы для студентов ОФиП МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Рекомендована Академическим советом образовательной программы 2016 г., протокола

Рекомендована Академическим советом образовательной программы 2016 г., протокола Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Подробнее

900 Теория вероятностей и математическая 66

900 Теория вероятностей и математическая 66 Рабочая программа дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" предназначена для студентов 2 курса 4 семестра по специальности: 010801.65 Радиофизика и электроника АВТОР: Попов В.А. КРАТКАЯ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕ- ЛИЧИНЫ.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕ- ЛИЧИНЫ. . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕ- ЛИЧИНЫ.. Случайное событие. Вероятность случайного события. Случайным называется событие,

Подробнее

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова. Шилова Н.И. Основы статистической обработки результатов исследований

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова. Шилова Н.И. Основы статистической обработки результатов исследований Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова Шилова Н.И. Основы статистической обработки результатов исследований Цель: Определить задачи математической статистики; ознакомиться с основными

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

1. Пояснительная записка

1. Пояснительная записка ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Пояснительная записка 3 2. Тематический план дисциплины 5 3. Содержание обязательного и самостоятельного изучения 6 (теоретического курса, семинарских и практических занятий) 4. Вопросы для

Подробнее

Государственный университет - Высшая школа экономики

Государственный университет - Высшая школа экономики Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет - Высшая школа экономики Программа дисциплины Высшая

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Д. П. Ветров 1. Курс «Графические модели» ЕМ-алгоритм. Обучение скрытых. марковских моделей без учителя. Ветров. ЕМ-алгоритм в общем виде

Д. П. Ветров 1. Курс «Графические модели» ЕМ-алгоритм. Обучение скрытых. марковских моделей без учителя. Ветров. ЕМ-алгоритм в общем виде Д. П. 1 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП Курс «Графические модели» План лекции 1 2 3 4 5 6 EM-алгоритм. Разложение логарифма Требуется найти максимум в вероятностной модели со скрытыми переменными: p(x Θ) = p(x,

Подробнее

1. Цель и задачи дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ОПОП

1. Цель и задачи дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ОПОП Оглавление 1. Цель и задачи дисциплины... 4 2. Место дисциплины в структуре ОПОП... 4 3. Требования к результатам освоения учебной дисциплины (компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения

Подробнее

Модель алгоритмов классификации. информационный подход

Модель алгоритмов классификации. информационный подход : информационный подход МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия e-mail: sgur@cs.msu.ru XXII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» 27 мая 3 июня 2014 г. / Краснодарский край,

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Подробнее

Перечень и содержание практических и лабораторных занятий

Перечень и содержание практических и лабораторных занятий очное заочное с сокращенным сроком обучения МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный лесотехнический

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий. Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория вероятностей»

Институт радиоэлектроники и информационных технологий. Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория вероятностей» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный технический университет

Подробнее

Курсовая работа. по дисциплине : «Эконометрика» Тема: «Анализ и прогнозирование ряда динамики» Вариант 21

Курсовая работа. по дисциплине : «Эконометрика» Тема: «Анализ и прогнозирование ряда динамики» Вариант 21 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ .4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ Достаточно простые способы оценки коэффициентов линейного тренда, приведённые в предыдущее параграфе, обладают среди прочих одним

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей и статистики (Теоретические вопросы)

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей и статистики (Теоретические вопросы) Эконометрика_0-03 уч.год_типовые ЗАДАЧИ Тема. Основные понятия теории вероятностей и статистики (Теоретические вопросы) Эконометрика- это: наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей в экономике

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1]

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1] Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. С.62-68. УДК 519.2 ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Точечное оценивание Как уже говорилось, наиболее полной и исчерпывающей характеристикой для случайной величины является закон распределения:

Подробнее

Институт Экономики и Финансов Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Эконометрика» на тему

Институт Экономики и Финансов Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Эконометрика» на тему ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Институт

Подробнее

Применение Байесовской статистики для анализа наблюдательных данных

Применение Байесовской статистики для анализа наблюдательных данных Применение Байесовской статистики для анализа наблюдательных данных Сергей Анфиногентов 1,2 1 Институт Солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск, Россия 2 University of Warwick, UK Онлайн семинар 5 октября

Подробнее

Тесты по дисциплине 123

Тесты по дисциплине 123 Тесты по дисциплине 3 ТЕСТ. Коэффициент корреляции, равный нулю, означает, что между переменными: а) линейная связь отсутствует; б) существует линейная связь; в) ситуация не определена.. Коэффициент корреляции,

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

Составитель А.А. Михальчук

Составитель А.А. Михальчук МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 1. Предел отношения приращения функции одной переменной к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю является

Подробнее

Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа.

Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа. Найди свою задачу на http://mathprof.com! ) Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,. Найти вероятность того, что из 00 человек, прошедших мимо киоска в течение часа: а) купят

Подробнее

Линейная регрессия. Линейные модели. Сергей Николенко. Казанский Федеральный Университет, 2014

Линейная регрессия. Линейные модели. Сергей Николенко. Казанский Федеральный Университет, 2014 Казанский Федеральный Университет, 2014 Outline 1 В предыдущей серии... Теорема Байеса: p(θ D) = p(θ)p(d θ). p(d) Две основные задачи байесовского вывода: 1 найти апостериорное распределение на гипотезах/параметрах:

Подробнее

Линейная регрессия Линейная классификация. Линейные модели. Сергей Николенко. Computer Science Club, Казань, 2014

Линейная регрессия Линейная классификация. Линейные модели. Сергей Николенко. Computer Science Club, Казань, 2014 Computer Science Club, Казань, 2014 Outline 1 2 Классификация по-байесовски Логистическая регрессия В предыдущей серии... Теорема Байеса: p(θ D) = p(θ)p(d θ). p(d) Две основные задачи байесовского вывода:

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Б..ДВ.. Статистический анализ данных Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике.

Подробнее