Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц"

Транскрипт

1 Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы. Он обозначается det (), или (А),. Термин «определитель» ввел К. Гаусс в 8 году. Для определения и изучения определителя введем некоторые вспомогательные понятия и факты, относящиеся к конечным множествам. Пусть есть множество М{,,, п}. Всякое расположение чисел в определенном порядке называется перестановкой из п чисел. Количество таких перестановок равно п!. Определение. Инверсия это пара чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке J(; ; 3) имеется (; ) одна инверсия. Обозначим через J) число инверсий в перестановке J. В примере J). Алгоритм поиска числа инверсий в перестановке.. Определим количество чисел, стоящих перед единицей, вычеркнем единицу.. Определим количество чисел стоящих перед двойкой, вычеркнем двойку. 3. Процесс продолжаем до наибольшего числа в перестановке.. Сложим полученные количества и получим число инверсий. Например, в перестановке J(3; 5; ; ; ) определить число инверсий. Перед единицей 3, 5,,, Перед двойкой 3, 5,, Перед тройкой 3, 5, Перед четверкой 5, Перед пятеркой 5 сумма 7 Определение. Знак перестановки sig J (сигнатура) определяется по формуле sig J (-) J). Перестановка называется четной, если она имеет четное количество инверсий, в противном случае нечетной. Если в некоторой перестановке поменять местами какие-либо два элемента (не обязательно стоящие рядом), а все остальные элементы оставить на месте, то получим новую перестановку. Это преобразование называется транспозицией. Всякая транспозиция меняет четность перестановки. Выводы и доказательства выше перечисленных утверждений рассмотрены в более подробных курсах высшей алгебры. Определение определителя первого, второго и третьего порядков С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную.. характеристику, называемую определителем или детерминантом, соответствующим данной матрице. Матрице первого прядка А (а ) соответствует определитель первого порядка Δ а - число, равное ее матричному элементу. С матрицей А связан определитель второго порядка Δ число, определяемое формулой Δ а а а а Пример. 3 3 (-) + Схема умножения: Слагаемые в алгебраической сумме члены определителя в количестве!. Они являются произведением двух элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Один из членов входит в алгебраическую сумму со знаком (+), другой входит со знаком (-).

2 3 3 Для матрицы 3 определителем третьего порядка 3 3 называется число, равное Δ 3 а а а 33 + а а 3 а 3 + а 3 а а 3 а 3 а а 3 а а 3 а 3 а а а 33. Многочлен определителя третьего порядка содержит 3! слагаемых. Каждый член определителя состоит из произведения 3 сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Три члена определителя в алгебраическую сумму входят со знаком (+) и три со знаком (-). Чтобы определить знак члена определителя надо в произведении расположить сомножители в порядке возрастания первого индекса номера строки. Тогда вторые индексы (номера столбцов) этих сомножителей будут образовывать перестановку. Если перестановка четная, то слагаемое берут со знаком (+), если нечетная перестановка, то со знаком (-). Правило определения знака члена определителя можно проиллюстрировать следующим образом. Соединим два элемента матрицы, не стоящих в одной строке или одном столбце, отрезком. Будем говорить о положительном наклоне отрезка, если его левый конец располагается выше правого, и об отрицательном наклоне в противном случае. Положительный наклон будет соответствовать четной перестановке, и слагаемое будем брать со знаком (+). Отрицательный наклон говорит о нечетной перестановке, следовательно, член определителя берем со знаком (-). Посмотрим на схему вычисления определителя второго порядка. Положительный наклон обозначен красным цветом, он соответствует произведению а а, которое взято со знаком (+). Отрицательный наклон выделен бирюзовым цветом и представляет произведение а а, взятое со знаком (-). Схема вычисления определителя третьего порядка представлена правилом треугольников или Сарриуса: Во втором и третьем треугольниках имеем по два отрицательных наклона, что говорит о четности перестановки, следовательно, слагаемые а а 3 а 3, а 3 а а 3 берутся со знаком (+). В последних двух треугольниках имеем по одному отрицательному наклону, т.е. нечетная перестановка, поэтому слагаемые а а 3 а 3, а а а 33 входят в сумму со знаком (-). 3 Пример. 5 + (-) (-3) (-3) - (-) Упрощенная схема вычисления: а а а 3 а а а а а 3 а а а а а 3 а а а а а 3 а а а 3 а 3 а 33 а 3 а 3 а 3 а 3 а 33 а 3 а 3 а а а 33 +а а 3 а 3 +а 3 а а 3 - а 3 а а 3 - а а 3 а 3 - ааа33 К исходному определителю справа приписываются два первых столбца. Умножаются числа главной диагонали, числа, стоящие на диагоналях, параллельных главной, произведения складываются. Произведения чисел побочной диагонали и ей параллельных берутся с противоположным знаком, т.е. вычитаются. Запись строк и столбцов производить аккуратно, чтобы не перепутать сомножители. ( ) Пример (Нижняя сумма 3 + (-) +(-) ++, верхняя сумма 3 (-) (-) -(-)-- ). Определитель -го порядка В определители п-го порядка - общее число элементов, п! - слагаемых. Выберем набор, содержащий элементов, так, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Упорядочим по номерам строк, т.е.,,,. Номера столбцов,,, образуют при этом перестановку J из чисел,, 3,,. Всего существует! различных перестановок. Определение. Δ ( ). Определителем квадратной матрицы -го порядка ( называется число, равное алгебраической сумме! членов, каждый из которых является произведением

3 элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем, знак каждого члена определяется как (-) J), где J) число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания. Определение. Минором M i элемента i матрицы А -го порядка называется определитель матрицы ( - ) го порядка, полученный из данной матрицы вычеркиванием i- строки и -столбца. Определение. Алгебраическим дополнением i элемента i матрицы называется его минор, взятый со знаком (-) i+, то есть i + ( ) M i Теорема Лапласа. i + i + + i (разложение по элементам i строки). Докажем теорему для определителя третьего порядка. Δ 3 а а а 33 + а а 3 а 3 + а 3 а а 3 а 3 а а 3 а а 3 а 3 а а а 33. Сгруппируем слагаемые, содержащие множители а, а, а 3 отдельно и вынесем их за скобки, получим Δ 3 а (а а 33 а 3 а 3 )+ а (а 3 а 3 а а 33 ) + а 3 (а а 3 а а 3 ) ( ) Аналогичные выкладки можно сделать со второй и третьей строками. Рассмотрим определитель п-го порядка. Предположим, что теорема верна для определителя (п-)-го порядка. Слагаемое i является суммой нескольких членов определителя, и входят они с теми же знаками, с какими входят в определитель. Их количество (п-)!. Никакой член определителя не может войти в состав двух разных произведений i, i,, i : все члены определителя, входящие в произведение i содержат из i-ой строки элемент и поэтому отличаются от членов, входящих в другие произведения. С другой i стороны, общее число членов определителя, входящих во все произведения i, i,, i равно (п-)! пп!, то есть этим исчерпываются все члены определителя. Следовательно, теорема верна. Пример. Разложить определитель по элементам первого столбца. (-) (-) (-) 3+ + (-)[ 3 (-)(-)] + -(3-8). 3 3 Свойства определителей. T, т.е. определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. T Действительно, все члены определителя транспонированной матрицы состоят из сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Транспонированная матрица и исходная состоят из одних и тех же элементов. Следовательно, члены определителя матрицы и определителя транспонированной матрицы равны. Теперь надо убедиться, что одинаковые члены этих определителей имеют один и тот же знак. В определителе T и транспонированном определителе элементы главных диагоналей совпадают. Значит, знак этого слагаемого при транспонировании не изменится. Остальные элементы поменяли свою позицию на симметричное место относительно главной диагонали (зеркальное отражение относительно главной диагонали). Соединим любые два элемента i s и определителя отрезком, для определенности, с положительным наклоном. Это означает, что i <, s <. При транспонировании индексы выбранных элементов поменяют прядок следования s i и Отрезок, соединяющий эти элементы, с учетом неравенств i <, s < тоже будет иметь положительный наклон. Следовательно, при транспонировании отрезок с положительным наклонам переходит в отрезок с тем же наклоном. Можно провести аналогичные рассуждения с отрезком отрицательного наклона. Тогда число положительных и отрицательных наклонов не изменится, и члены определителя сохраняют знак при транспонировании. 3

4 Замечание. Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов. Свойства, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.. Если какой-нибудь ряд определителя состоит из одних нулей, то Δ. Доказательство. Пусть некоторый ряд (строка или столбец) состоит из нулей. На основании определения определителя -го порядка в каждом произведении будет сомножитель из нулевой строки. Значит, все члены определителя равны нулю, и их сумма тоже равна нулю. 3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. Пусть в определители поменяли местами две строки с номерами i и. Очевидно, что определитель p, полученный в результате такой перестановки будет состоять из тех же членов, что и исходный. Каждый из них представляет произведение матричных элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Произвольный член определителя можно представить в виде i. Ему соответствует перестановка из вторых индексов,,,,,,, i i. В соответствующем члене определителя p сомножители i i поменяются местами, (в силу расположения по возрастанию первого индекса), что приведет к транспозиции в перестановке,,, i,,,,. Одна транспозиция меняет четность перестановки, следовательно, меняет знак члена определителя. Поскольку это произойдет с каждым членом определителя p, то знак самого определителя то же изменится на противоположный. Изменение знака члена определителя при перестановке двух строк можно подтвердить, используя геометрическую интерпретацию. Если отрезок, соединяющий элементы матрицы положительный наклон, то выполняется неравенство, i i имеет i <, i <. При перемене двух строк будет i >, i <, что означает отрицательный наклон отрезка, соединяющего элементы,. i i Следовательно, изменится количество отрицательных и положительных наклонов на единицу, что приведет к изменению знака члена определителя.. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строчки (столбца), то Δ. Доказательство. Если переставить две равные строчки, то определитель не изменит своего вида, но при этом он поменяет знак на противоположный, т.е. -. Или,. 5. Если все элементы i - ой строки определителя представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых i i + ci,,,, с коэффициентами,, то определитель равен такой же линейной комбинации двух определителей B + C, у каждого из которых все строки, кроме i - ой, такие же, как и у исходного определителя, а i - е строки определителей B и C состоят из элементов i, c i соответственно. Действительно. По определению определителя имеем ( ) i i ( ) ( + ) i ci ( ( ( ) ( ) i + ( ) ( ) c i ( ( ( ) i ( + ( ) c i ( + C. B. Свойство 5 можно сформулировать в общем виде: если все элементы i - ой строки определителя представлены в виде линейной комбинации числа М слагаемых с коэффициентами линейной комбинации определителей M M i,,, любого фиксированного ( ) i,,,,м, то определитель равен такой же B ( ), где каждый определитель B () имеет все

5 строки, кроме i - ой, такие же как и исходный определитель, а i - я строка состоит из элементов ( ) i. Свойства 7, 8, 9, являются частным случаем свойства Если все элементы какого-нибудь ряда умножить на, то определитель умножится на это число. Замечание. Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 8. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее Δ. Действительно, вынесем коэффициент пропорциональности за знак определителя. В определители получится две равные строки. На основании свойства определитель равен нулю. 9. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Действительно. Пусть некоторая строка определителя преобразована следующим образом: i +,,,. Тогда по свойства 5 определитель исходной матрицы равен * +, где определитель * имеет равные строчки i - тую и - тую, следовательно, равен нулю.. Если все элементы какой-либо строки определителя являются линейной комбинацией соответствующих элементов других его строк, то определитель равен нулю.. CB > С А В. Доказательство. АВ i det..... Применяя к каждой строке свойство, получим последовательно i det

6 ..... В сумме учитываются слагаемые, в которых произведения имеют различные вторые индексы. В том случае, когда среди вторых индексов какая-нибудь пара чисел совпадает, то определитель B имеет две равные строки, что означает его равенство нулю. Суммирование проводится по всем возможным перестановкам J (,,, ) чисел,,,п. Таких слагаемых будет п! (по числу перестановок). Если в перестановке есть четная инверсия, то соответствующее слагаемое войдет в сумму со знаком (+), если в перестановке имеется нечетная инверсия, то со знаком (-). Значит, r J B ( ( ) ), где J) число инверсий в перестановке J (,,, ). B Следовательно, по определению определителя ( r ( ) и B B.. Сумма произведений произвольных чисел,,, на i (,,,) равна определителю матрицы, который получен из данного определителя заменой элементов i-ой строки на числа,,,. В разложении исходного определителя i + i + + i заменим числа,, i, i i произвольными числами,,, 3. s is s при i. Доказательство. s + + is s скобках равно определителю. Получим + i i i по т. Лапласа. ( i i i ). На основании свойства выражение в i i i i i i, в котором элементы -ой строки заменены на элементы i ой строки. Получились две равные строчки. По свойству определитель равен нулю. Пример 5. Вычислить определитель


Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 2 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m Ф О Р М У Л А Б И Н Е К О Ш И Напомним, что если имеется произвольная матрица А = размером x, то обычно используется следующее обозначение : А = () то есть А это минор порядка р данной матрицы, в который

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА направление: 5 биология ЛЕКЦИЯ Лекция. Матрицы и определители. План лекции:. Определение матрицы.. Определители второго и третьего порядков, их основные

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ АКАДЕМИЯ НАУК МОЛДОВЫ И В БЕЛОУСОВ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ матрицы и определители Кишинев: 2007 CZU 512643(0758) Б 43 Данное учебное пособие является частью курса лекций, которые

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Перестановки. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.

Перестановки. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ СН ЗЕМЛЯНСКИЙ Перестановки Матрицы и определители Системы линейных уравнений Учебное пособие Бишкек Предисловие Учебное пособие предназначено

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее