Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1."

Транскрипт

1 Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом) матрицы второго порядка называется чис- a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1. ло Определитель матрицы n-го порядка вычисляется через определитель (n 1)-го порядка, который в свою очередь вычисляется через определитель (n 2)-го порядка и т. д. до определителя 2-го порядка, который мы уже умеем считать. Вычеркивая из определителя n-го порядка i-ую строку и j-ый столбец, мы получим определитель (n 1)-го порядка M ij, который называется минором элемента a ij. А величина A ij = ( 1) i+j M ij называется алгебраическим дополнением элемента a ij. Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы порядка n называется число a 11 M 11 a 12 M 12 +a 13 M ( 1) 1+n a 1n M 1n = ( 1) 1+j a 1j M 1j. Верна также формула разложения по i-ой строке: ( 1) i+j a ij M ij, 1 i n. Проведём доказательство по индукции. 1) Для определителя второго порядка это верно: a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1)2+1 a 21 M 21 +( 1) 2+2 a 22 M 22, где M 21 = a 12, M 22 = a 11. 2) Предположим, что формула разложения по i-ой строке справедлива для определителя порядка n 1. И докажем, что для определителя порядка n верно равенство 1

2 a 11 M 11 a 12 M ( 1) 1+n a 1n M 1n = = ( 1) i+1 a i1 M i1 +( 1) i+2 a i2 M i ( 1) i+n a in M in. (1) 2а) Сначала раскроем левую часть равенства. Миноры M 1j это определители порядка n 1, разложим их по (i 1)-ой строке (в матрице A эта строка была i-ой): M 1j = ( 1) (i 1)+1 a i1 M 1j;i1 +( 1) (i 1)+2 a i2 M 1j;i ( 1) (i 1)+(j 1) a i,j 1 M 1j;i,j 1 +( 1) (i 1)+j a i,j+1 M 1j;i,j ( 1) (i 1)+(n 1) a in M 1j;in. Здесь M pq;rs обозначает минор матрицы A, получающийся вычёркиванием строк p и r и столбцов q и s. Понятно, что после подстановки M 1j в левую часть равенства (1), мы получим сумму определителей M 1j;ik с некоторыми коэффициентами 1 : ε jk M 1j;ik. k<j Чтобы найти коэффициенты ε jk, заметим, что минор M 1j;ik может получиться при раскрытии только двух миноров: M 1j = ( 1) (i 1)+1 a i1 M 1j;i ( 1) (i 1)+k a ik M 1j;ik +...+( 1) (i 1)+(n 1) a in M 1j;in ; M 1k = ( 1) (i 1)+1 a i1 M 1k;i ( 1) (i 1)+(j 1) a ij M 1k;ij +...+( 1) (i 1)+(n 1) a in M 1k;in. Подставляя эти разложения в левую часть (1), найдём коэффициент при M 1j;ik : ε jk M 1j;ik = ( 1) 1+j a 1j ( 1) (i 1)+k a ik M 1j;ik +( 1) 1+k a 1k ( 1) (i 1)+(j 1) a ij M 1k;ij = = ( 1) 1+i+j+k (a 1k a ij a 1j a ik )M 1j;ik. 2б) Раскроем теперь правую часть равенства (1). Для этого разложим каждый минор M ij по первой строке. Получим, что правая часть (1) это сумма миноров M ij;1k с некоторыми коэффициентами: ε jk M ij;1k. k<j Так как M ij;1k = M 1j;ik, для завершения доказательства осталось показать, что ε jk = ε jk. Заметим, что минор M ij;1k получается при раскрытии только двух миноров (n 1)-го порядка: M ij = ( 1) 1+1 a 11 M ij; ( 1) 1+k a 1k M ij;1k +...+( 1) 1+(n 1) a 1n M ij;1n ; M ik = ( 1) 1+1 a 11 M ik; ( 1) 1+(j 1) a 1j M ik;1j +...+( 1) 1+(n 1) a in M ik;1n. Подставляя эти разложения в правую часть (1), найдём коэффициент при M ij;1k : ε jk M ij;1k = ( 1) i+j a ij ( 1) 1+k a 1k M ij;1k +( 1) i+k a ik ( 1) 1+(j 1) a 1j M ik;1j = = ( 1) 1+i+j+k (a 1k a ij a 1j a ik )M ij;1k. Откуда видно, что ε jk = ε jk. 1 Мы переберём все миноры M 1j;ik, меняя j от 1 до n и k от 1 до j, т. к. M 1j;ik = M 1k;ij. 2

3 Так же верна формула разложения по j-му столбцу: ( 1) i+j a ij M ij, 1 j n. Проведём доказательство по индукции для первого столбца 2. 1) Для определителя второго порядка формула верна: a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1)1+1 a 11 M 11 +( 1) 2+1 a 21 M 21, где M 11 = a 22, M 22 = a 11. 2) Предположим, что формула разложения по 1-му столбцу справедлива для определителя порядка n 1. И докажем, что для определителя порядка n верно равенство a 11 M 11 a 12 M ( 1) 1+n a 1n M 1n = = ( 1) 1+1 a 11 M 11 +( 1) 2+1 a 21 M ( 1) n+1 a n1 M n1. (2) 2а) Сначала раскроем левую часть равенства (выделив первое слагаемое). Миноры M i1 это определители порядка n 1, разложим их по 1-му столбцу, тогда a 11 M 11 + ε ij M 1j;i1. j=2 i=2 Чтобы найти коэффициенты ε ij, заметим, что минор M 1j;i1 может получиться при раскрытии только двух миноров: M 11 и M 1j, но M 11 в сумме не участвует. M 1j = ( 1) 1+1 a 21 M 1j; ( 1) (i 1)+1 a i1 M 1j;i ( 1) (n 1)+1 a n1 M 1j;n1. Подставляя это разложение в левую часть (2), найдём коэффициент при M 1j;i1 : ε ij M 1j;i1 = ( 1) 1+j a 1j ( 1) (i 1)+1 a i1 M 1j;i1 = ( 1) 1+i+j a 1j a i1 M 1j;i1. 2б) Раскроем теперь правую часть равенства (2). Для этого выделим первое слагаемое и разложим каждый минор M i1 по первой строке. Получим, что правая часть равенства (2) это сумма миноров M i1;1j с некоторыми коэффициентами: a 11 M 11 + j=2 i=2 ε ij M i1;1j. Так как M i1;1j = M 1j;i1, для завершения доказательства осталось показать, что ε ij = ε ij. Заметим, что минор M i1;1j получается при раскрытии только двух миноров (n 1)-го порядка: M 11 и M i1, но M 11 не входит в сумму. M i1 = ( 1) 1+1 a 12 M i1; ( 1) 1+(j 1) a 1j M i1;1j +...+( 1) 1+(n 1) a 1n M i1;1n. Подставляя это разложение в правую часть (2), найдём коэффициент при M i1;1j : ε ij M i1;1j = ( 1) i+1 a i1 ( 1) 1+(j 1) a 1j M i1;1j = ( 1) 1+i+j a i1 a 1j M i1;1j. Откуда видно, что ε jk = ε jk. 2 Если мы докажем справедливость формулы разложения по первому столбцу, то справедливость разложения по другим столбцам докажется аналогично разложению по произвольной строке. 3

4 II.2. Свойства определителей 1) Величина определителя не меняется, если его строки заменить соответствующими столбцами 3, иначе говоря, deta T. Доказательство проведём по индукции. 1) Для матрицы второго порядка это верно: a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1, a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1b 2 b 1 a 2. 2) Предположим, что для определителей (n 1)-го порядка это верно. a 11 M 11 a 12 M 12 +a 13 M ( 1) 1+n a 1n M 1n = = a T 11 M 11 a T 21 M 12 +a T 31 M ( 1) 1+n a T n1 M 1n, где a T i1 обозначает элемент первого столбца матрицы AT (у неё первым столбцом является первая строка матрицы A). Так как M 1j определитель (n 1)-го порядка, по предположению индукции M 1j = Mj1 T, где MT j1 минор транспонированной матрицы. Тогда a T 11 MT 11 at 21 MT 21 +at 31 MT ( 1)1+n a T n1 MT n1 = detat. 2) Определитель умножится на число k, если элементы какой-либо его строки (столбца) умножить на k. 3) Определитель равен 0, если элементы какой-либо строки (столбца) равны 0. 4) Определитель меняет знак, если поменять местами 2 строки (2 столбца). a 11 M 11 a 12 M 12 +a 13 M ( 1) 1+n a 1n M 1n. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки и разложим по 2-ой строке (которая была первой): deta 1 2 = a 11 M 11 +a 12 M 12 a 13 M ( 1) 2+n a 1n M 1n = deta. Теперь, если мы меняем 1-ю строку со 2-й, затем с 3-ей и т. д., и с k-ой (т. е. меняем k 1 раз), то 1-я строка окажется на месте k-ой, а k-я на месте (k 1)-ой. Чтобы k-ю строку переместить на 1-е место, будем её менять со стоящими над ней (k 2 раза). Таким образом, мы сделаем нечётное число перемен, при каждой меняя знак, в итоге знак будет отрицательный. Аналогичные рассуждения справедливы для любых строк. 5) Определитель равен нулю, если в нём две одинаковые строки (столбца). Обозначим величину определителя, затем поменяем местами одинаковые строки, получится такой же определитель, а по предыдущему свойству знак должен поменяться на противоположный, т. е. =. Это возможно, лишь когда = 0. 3 Поэтому в дальнейшем все свойства верные для строк определителя будут верными и для его столбцов. 4

5 6) Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов: a 11 a 22...a nn. 7) Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна 0: a ij A kj = 0 (i k). Действительно, эта сумма не зависит от элементов k-ой строки. Заменим в нем эту строку на i-ую. Мы получили эквивалентный определитель. Но последний определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. 8) Пусть даны две квадратные матрицы A и B порядка n, отличающиеся только элементами одной i-ой строки. Тогда определитель матрицы, отличающейся от A тем, что на месте i-ой строки стоит сумма i-ых строк матриц A и B, равен сумме определителей deta и detb. 9) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число k. Это свойство следует из свойств 5) и 8). Последнее свойство приведем пока без доказательства. 10) Определитель произведения матриц равен произведению их определителей: det(ab) = detadetb. II.3. Обратная матрица Матрица A 1 называется обратной к квадратной матрице A, если A A 1 = E. Если квадратная матрица обратима, то она невырождена (то есть её определитель не равен нулю). Пусть матрица A обратима. Это означает, что существует такая матрица A 1, что A A 1 = E. По свойству определителей detadeta 1 = det(a A 1 ) = dete = 1. Что невозможно, если det A = 0. Присоединенной матрицей к квадратной матрице A называется матрица A, состоящая из алгебраических дополнений элементов матрицы A. Если квадратная матрица A невырождена, то она обратима, причём A 1 = 1 deta (A ) T. 5

6 Нам известно, что det A 0. Рассмотрим следующее выражение: = 1 deta = 1 deta 1 A deta (A ) T = 1 deta A (A ) T = a 11 a 12 a a 1n A 11 A 21 A A n1 a 21 a 22 a a 2n A 12 A 22 A A n = a n1 a n2 a n3... a nn A 1n A 2n A 3n... A nn a 1i A 1i a 1i A 2i a 1i A 3i... a 1i A ni a 2i A 1i a 2i A 2i a 2i A 3i... a 2i A ni =... a ni A 1i a ni A 2i a ni A 3i... a ni A ni = 1 deta deta deta = E deta Мы использовали свойство 7) определителей, которое говорит, что сумма произведений элементов какой либо строки матрицы на алгебраические дополнения другой строки равна нулю: a ij A kj = 0 (i k). Так мы получили два важных результата: Для того, чтобы квадратная матрица была обратима, необходимо и достаточно, чтобы она была невырождена. Правило вычисления обратной матрицы 1. Убедимся, что матрица обратима, то есть deta Найдем миноры M ij. 3. Найдем алгебраические дополнения A ij = ( 1) i+j M ij. 4. Составим матрицу A = A ij. 5. Выпишем A 1 = 1 deta (A ) T. Обратная матрица перестановочна с исходной, то есть A 1 A = AA 1 = E. По определению AA 1 = E. Обозначим B = A 1 A. Тогда AA 1 A = (AA 1 )A = EA = A, AA 1 A = A(A 1 A) = AB, но свойству AB = A удовлетворяет только единичная матрица, т. е. B = E. Обратная матрица определяется единственным образом 6

7 Предположим, что есть две различные матрицы B и C, удовлетворяющие свойству AB = E, AC = E. Тогда в силу перестановочности обратной матрицы (CA)B = (AC)B = EB = B, C(AB) = CE = C. Откуда следует, что B = C. Домашнее задание. ( ) Попробуйте найти обратную матрицу к матрице A = методом умножения 2 1 на матрицу с неизвестными коэффициентами. 2. Найти определитель ( ) матрицы A из 1-го задания Пусть A =. Найдите обратную матрицу по правилу, приведённому на этой 5 7 странице (не забудьте сделать проверку: AA 1 = E). 4. Найти определители: 1) a+b a b a b a+b ; 2) cosα sinα sinα cosα ; 3) ; 4) ; 5) a x x x b x x x c. 5. Найти определители высокого порядка: ) ; 2) ; n 1 n n 1 1 n ) n ; 4) n n Найти обратную матрицу к матрице A = Решить матричное уравнение AX B = C, где матрица A из предыдущего задания, а B = 5 0 2, и C =


ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Обратная матрица Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

1 МАТРИЦЫ. Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

1 МАТРИЦЫ. Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. МАТРИЦЫ Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки и обозначают большими буквами

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

Высшая математика Элементы алгебры и геометрии

Высшая математика Элементы алгебры и геометрии О.В. Баранова Высшая математика Элементы алгебры и геометрии Часть 1 Ижевск 2014 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Математический факультет О.В. Баранова

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Франц Герман. Формула определителя (www.franz-hermann.com)

Франц Герман. Формула определителя (www.franz-hermann.com) Франц Герман (www.frz-herm.com) Рассмотрим определитель - го порядка, инвертированный по отношению к единичному. Докажем, что такой определитель вычисляется по формуле: ( ) ( ) ( ) () Мы думаем, что почти

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Присоединенная матрица Обратная матрица и ее свойства Вычисление обратной матрицы

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2. Глава 11 Определители 111 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: { a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 111 Вычитая из первого

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К БИОЛОГИИ Ю. Н. СУДАРЕВ, Т. В. ПЕРШИКОВА, Т. В. РАДОСЛАВОВА ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Допущено Научно-методическим советом

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12 1. Даны матрицы: Образец решения 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Найти матрицу и выяснить, имеет ли она обратную матрицу. Решение. Найдѐм матрицу Найдѐм транспонированную матрицу Найдѐм

Подробнее

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2 1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Практическая работа Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Содержание работы: Основные понятия Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m n чисел

Подробнее

Лекция 3. Определитель (детерминант) квадратной матрицы.. Свойства определителей. Формулы Крамера. Применение к вычислению обратной матрицы.

Лекция 3. Определитель (детерминант) квадратной матрицы.. Свойства определителей. Формулы Крамера. Применение к вычислению обратной матрицы. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ ННМ Лекция 3 Определитель (детерминант) квадратной матрицы Свойства определителей Формулы Крамера Применение к вычислению обратной матрицы Помимо способов, описанных в

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ АКАДЕМИЯ НАУК МОЛДОВЫ И В БЕЛОУСОВ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ матрицы и определители Кишинев: 2007 CZU 512643(0758) Б 43 Данное учебное пособие является частью курса лекций, которые

Подробнее

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Введение. Основные определения Алгебра это часть математики, занимающаяся решением различных алгебраических уравнений, в которые неизвестные могут входить в любой степени.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 2 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КG

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КG РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КG Доц. др. Кыдыралиев Сыргык КАПАРОВИЧ Американский Университет в Кыргызстане. Доц. др. Урдалетова Анаркуль БУРГАНАКОВНА Кыргызско-Турецкий Университет «Манас».

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее