Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА"

Транскрипт

1 Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения эллипса в канонической системе координат; 1.4. Эксцентриситет; 1.5. Директрисы и директориальное свойство эллипса. 2. Гипербола Определение гиперболы; 2.2. Определение канонической системы координат; 2.3. Вывод уравнения гиперболы в канонической системе координат; 2.4. Анализ формы гиперболы; асимптоты; 2.5. Директрисы и директориальное свойство гиперболы. 3. Парабола Определение параболы; 3.2. Определение канонической системы координат; 3.3. Вывод уравнения параболы. 4. Касательные Вывод уравнения касательной к эллипсу; 4.2. Касательные к гиперболе и параболе. 5. Оптические свойства Теорема об оптическом свойстве эллипса; 5.2. Теорема об оптическом свойстве гиперболы; 5.3. Теорема об оптическом свойстве параболы.

2 План лекции 3 6. Полярные уравнения Полярное уравнение параболы; 6.2. Полярное уравнение эллипса; 6.3. Полярное уравнение гиперболы; 6.4. Анализ общего полярного уравнения.

3 4 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек на евклидовой плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть постоянная величина, которая больше расстояния между фокусами. Определение 2. Канонической системой координат Oxy называется такая прямоугольная декартова система координат, что ось абсцисс Ox проходит через фокусы F 1 и F 2 эллипса, а ось ординат Oy делит отрезок F 1 F 2 пополам. Рис. 1. Эллипс в канонической системе координат. Вывод канонического уравнения эллипса в канонической системе координат. В канонической системе координат Oxy фокусы F 1 и F 2 эллипса имеют следующие координаты F 1 ( c,0) и F 2 (c,0). Пусть точка M(x,y) это точка эллипса. Согласно определению эллипса имеем F 1 M + F 2 M 2 > 0, (1.1) где F 1 M (x + c) 2 + y 2, F 2 M (x c) 2 + y 2. После избавления от радикалов мы получим такое уравнение x 2 + y , (1.2) c2

4 1. Каноническое уравнение эллипса 5 причём > c. Введём обозначение b 2 c 2, тогда уравнение (1.2) примет окончательный вид x 2 + y2 2 1, > b > 0. (1.3) b2 Нам нужно теперь доказать, что все точки M(x, y), удовлетворяющие уравнению (1.3), удовлетворяют уравнению (1.1). Введём эксцентриситет ε : c < 1. (1.4) F 1 M ( (x + c) 2 + y 2 x 2 +2xc + c 2 + b 2 1 x2 F ( 1 M 1 b2 ( 1 b2 b 2 2 c 2 b2 2 1 c2 2 1 b2 2 ε2, 2 ) x 2 +2xc + c 2 + b ) ) x 2 +2xc + c 2 + b 2. ε 2 x 2 +2εx + 2 εx + εx + > 0, (1.5) поскольку x и 0 < ε < 1. Аналогичным образом получаем равенство F 2 M εx > 0. (1.6) Поэтому F 1 M + F 2 M εx + + εx 2. Форма эллипса. Заметим, что из уравнения (1.3) вытекает x, y b. Следовательно, эллипс расположен в этом прямоугольнике. Директориальное свойство эллипса. Из уравнений (1.5) и (1.6) вытекают равенства: r 1 F ( ) 1 M + xε ε ε + x r 2 F ( ) 2 M xε ε ε x εd 1 r 1 d 1 ε, εd 2 r 2 d 2 ε. Очевидно, что d 1 это расстояние от точки M(x,y) до прямой x /ε, а d 2 это расстояние от точки M(x,y) до прямой x /ε.

5 6 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола Определение 3. Прямые, в канонической системе координат имеющие уравнения x ±/ε, называются директрисами. Рис. 2. Эллипс и его директрисы. Теорема 1. Отношение расстояния r j от фокуса F j до точки M(x,y) эллипса к расстоянию d j от этой точки до соответствующей директрисы при j 1, 2 есть величина постоянная, равная ε. 2. Каноническое уравнение гиперболы Определение 4. Гиперболой называется геометрическое место точек M(x, y), модуль разности расстояний от которой до двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемые полюсами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами и не равная нулю. Определение 5. Канонической системой декартовых прямоугольных координат Oxy называется такая система координат, в которой ось абсцисс Ox проходит через оба фокуса, а ось ординат Oy проходит через середину отрезка F 1 F 2. Уравнение гиперболы в канонической системе координат. Согласно определению 5 координаты фокусов имеют вид F 1 ( c,0) и F 2 (c,0). Тогда расстояния от произвольной точки M(x,y) гиперболы до фокусов имеют следующий вид: r 1 F 1 M (x + c) 2 + y 2, r 2 F 2 M (x c) 2 + y 2.

6 2. Каноническое уравнение гиперболы 7 Рис. 3. Гипербола в канонической системе координат. Тогда согласно определению 4 имеем (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 2 > 0, < c. (2.1) Уничтожив радикалы мы получим равенство x 2 y c 2 (2.2) 2 Введём обозначение b 2 c 2 2 и получим искомое уравнение x 2 y (2.3) b2 Обратно покажем, что из уравнения (2.3) вытекает уравнение (2.1). Сначала введём эксцентриситет ε : c > 1. b 2 c b ε2. r 1 2 F ( ) 1 M 2 x (x + c) 2 + y 2 (x + c) 2 + b x 2 +2xc + c 2 + b2 2x2 b 2 ε 2 x 2 +2εx + 2 εx + 2. (2.4)

7 8 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола Аналогичным образом для фокуса F 2 (0,c) получаем равенство r 2 2 F 2 M 2 εx 2. (2.5) Заметим, что εx > x и поэтому из формул (2.4) и (2.5) вытекают равенства { { xε +, если x > 0; xε, если x > 0; r 1 r xε, если x < 2 0, xε +, если x < 0, (2.6) Следовательно, во всех случаях r 1 r 2 2. Анализ формы гиперболы. Из уравнения гиперболы (2.3) вытекает равенство x 2 x и y b 1 b x x < b 2 x. Отсюда вытекает неравенство b x < y < b x, x, т. е. обе ветви гиперболы лежат внутри области, заключённой между двумя прямыми y b x, y b x при x. (2.7) Эти прямые являются асимптотами гиперболы. Действительно, имеем y b x ( 1 2 x b x ( )) 1 2 x + o 2 x 2 b x b ( ) x + o. x Директориальное свойство гиперболы. Заметим, что формулы (2.6) можно объединить следующим образом: { r1 ε(x + /ε) при x > 0, (2.8) r 2 ε(x /ε) { r1 ε( x /ε) при x < 0. (2.9) r 2 ε( x + /ε) Дадим определение. Определение 6. Прямые, заданные в канонической системе координат уравнениями x ± ε,

8 3. Каноническое уравнение параболы 9 Рис. 4. Гипербола и её директрисы. называются директрисами. Теорема 2. Отношение расстояния r j от фокуса F j до точки M(x,y) гиперболы к расстоянию d j от этой точки до соответствующей директрисы при j 1, 2 есть величина постоянная, равная ε. Взаимно сопряжённые гиперболы. Определение 7. Две гиперболы x 2 2 y2 b 2 1 и называются взаимно сопряжёнными. x2 2 y2 b 2 1, c 2 + b 2 3. Каноническое уравнение параболы Определение 8. Параболой называется геометрическое множество точек M(x, y) на евклидовой плоскости, расстояние от каждой из которых до некоторой точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой. Определение 9. Канонической декартовой прямоугольной системой координат Oxy называется такая система координат, что ось абсцисс Ox проходит через фокус F и перпендикулярна директрисы, а ось ординат проходит через середину перпендикуляра, опущенного на директрису из фокуса F.

9 10 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола Рис. 5. Взаимно сопряжённые гиперболы. Уравнение параболы в канонической системе координат. Из определения 9 вытекает, что в канонической системе координат F(p/2,0) фокус, x p уравнение директрисы. 2 Пусть M(x, y) произвольная точка параболы. Тогда ( FM x p ) 2 + y2. 2 Согласно определению параболы 8 её уравнение имеет следующий вид: ( x p ) 2 + y2 x + p, (3.1) 2 2 из которого вытекает уравнение Обратно из уравнения (3.2) имеем ( y 2 2px x + p 2 x + p 2 y 2 2px. (3.2) ) 2 ( x p 2) 2, ( x p ) 2 + y2. 2

10 4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе 11 Рис. 6. Парабола в канонической системе координат. 4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе Определение 10. Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом единственную общую точку. Вывод уравнения касательной к эллипсу. Необходимо и достаточно найти условия существования единственного решения следующей системы уравнений: x y2 b 2 1 и { x x0 + lt; y y 0 + mt, (4.1) Справедливо следующее равенство: x 2 ( 0 + y2 0 2 b +2t x0 l 2 + y ) ( ) 0m l + t b 2 + m b 2 (4.2) Пусть точка M 0 (x 0,y 0 ) лежит на эллипсе, тогда приходим к следующим условиям x y и t 0. (4.3) b2

11 12 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола Кроме того, тогда число t 0 должно быть единственным решением квадратного уравнения (4.2). Следовательно, приходим к равенству x 0 l + y 0m 0. 2 b 2 (4.4) В качестве направляющего вектора искомой касательной можно взять числа l y 0 b 2, m x 0. 2 Тогда уравнение касательной имеет следующий вид: x x 0 y 0 /b y y 0 2 x 0 / x 0 2 (x x 0) + y 0 2 b (y y 0) 0. 2 (4.5) В силу первого равенства из (4.3) приходим к искомому уравнению (в канонической системе координат) xx 0 + yy b 2 (4.6) Определение 11. Касательной к гиперболе называется прямая, имеющая с гиперболой единственную общую точку и не параллельная асимптотам гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе. Уравнение касательной к точке M 0 (x 0,y 0 ) гиперболы в канонической системе координат имеет следующий вид: xx 0 yy b 2 (4.7) Определение 12. Касательной к параболе называется прямая, имеющая с параболой единственную точку и не параллельная оси параболы. Уравнение касательной к параболе. Уравнение касательной к точке M 0 (x 0,y 0 ) параболы в канонической системе координат имеет следующий вид: yy 0 p(x + x 0 ). (4.8) 5. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы Оптическое свойство эллипса. Теорема 3. Фокальные радиусы произвольной точки M 0 эллипса составляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M 0. Доказательство. Вычисли расстояние от фокусов F 1 и F 2 до касательной в точке M 0 (x 0,y 0 ). Поскольку уравнение касательной в канонической системе координат имеет вид xx 0 + yy 0 2 b 2 1,

12 5. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы 13 Рис. 7. Оптическое свойство эллипса. а фокусы имеют координаты F 1 ( c,0) и F 2 (c,0) имеют место равенства ( c) x 0 / 2 +0 y 0 /b 2 1 εx 0 + F 1 D 1 x 20 /4 + y 20 /b4 x 20 /4 + y 20 /b4 εx 0 + r 1. x 20 /4 + y 20 /b4 x 20 /4 + y 20 /b4 Отсюда sin α 1 F 1D 1 r 1 1. x 20 /4 + y 20 /b4 Аналогичным образом получаем равенство c x 0 / 2 +0 y 0 /b 2 1 εx F 2 D 2 0 x 20 /4 + y 20 /b4 x 20 /4 + y 20 /b4 Отсюда вытекает равенство sin α 2 F 2D 2 r 2 εx 0 r 2. x 20 /4 + y 20 /b4 x 20 /4 + y 20 /b4 1. x 20 /4 + y 20 /b4 Из равенства синусов углов вытекает равенство углов. Теорема доказана. Оптическое свойство гиперболы.

13 14 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола Рис. 8. Оптическое свойство гиперболы. Теорема 4. Фокальные радиусы произвольной точки M 0 гиперболы составляют равные углы с касательной к гиперболе, проведенной через точку M 0. Доказательство. Аналогично случаю эллипса устанавливаем равенства sin α 1 F 1D 1 F 1 M 0 F 2D 2 F 2 M 0 sin α 2. Теорема доказана. Оптическое свойство параболы. Теорема 5. Фокальный радиус произвольной точки M 0 параболы и ось параболы составляют равные углы с касательной к параболе, проведённой через точку M 0. Рис. 9. Оптическое свойство параболы.

14 6. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы 15 Доказательство. Из уравнения касательной yy 0 p(x + x 0 ) к параболе в точке M 0 (x 0,y 0 ) вытекает, что касательная пересекает ось абсцисс Ox в точке A( x 0,0). Следовательно, с одной стороны, AO x 0, AF AO + OF x 0 + p 2. С другой стороны, имеем согласно определению параболы M 0 F M 0 D M 0 C + CD x 0 + p 2. Таким образом, AF M 0 F. Значит, FAM 0 AM 0 F, но FAM 0 DM 0 A DM 0 A AM 0 F. Теорема доказана. 6. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы Полярное уравнение параболы. Введём полярную систему координат с полюсом в фокусе параболы, а полярная ось совпадает с осью абсцисс Ox. Тогда справедливы формулы, связывающие декартовы и полярные координаты точек плоскости { x p/2 r cos ϕ, (6.1) y r sin ϕ. Согласно определению параболы имеет место равенство Из формул (6.1) и (6.2) вытекает равенство r x + p 2. (6.2) r p + r cos ϕ, из которого получаем полярное уравнение параболы p r 1 cos ϕ. (6.3) Полярное уравнение эллипса. Поместим полюс полярной системы координат в фокус F 1 ( c,0) и снова выберем полярную ось,

15 16 Конспект лекции 13. Эллипс, гипербола и парабола совпадающей с осью абсцисс Ox. Справедливы следующие формулы, связывающие декартовы и полярные координаты { x + c r cos ϕ, (6.4) y r sin ϕ. Кроме того, справедливо следующее равенство для эллипса r εx +. (6.5) Из уравнений (6.4) и (6.5) вытекает следующая цепочка равенств: p r ε( c + r cos ϕ) + r 1 εcos ϕ, где ε c < 1, p : εc + 2 c 2 b2. Таким образом, получили полярное уравнение эллипса r p 1 εcos ϕ, p b2, ε c < 1. (6.6) Полярное уравнение гиперболы. Для простоты рассмотрим уравнение правой ветви гиперболы. С этой целью выберем полярную систему координат с полюсом в правом фокусе F 2 (c,0) гиперболы, а полярную ось выберем совпадающей с осью абсцисс Ox. Связь декартовых и полярных координат имеет следующий вид: { x c r cos ϕ, (6.7) y r sin ϕ. Кроме того, имеет место равенство для правой ветви гиперболы (x > 0) r εx. (6.8) Из уравнений (6.7) и (6.8) приходим к полярному уравнению гиперболы p r 1 εcos ϕ, p b2, ε c > 1. (6.9) Таким образом, эллипс, гипербола и парабола описываются уравнением одного и того же вида p r 1 εcos ϕ, (6.10) причём при ε 0 это уравнение окружности, ε (0,1) это уравнение эллипса, при ε 1 это уравнение параболы, а при ε > 1 это уравнение гиперболы. 1. В случае ε [0,1) полярное уравнение корректно для всех углов ϕ [0,2π); 2. В случае ε 1 «плохое» значение ϕ 0, но этот угол не соответствует ни какой точки параболы;

16 6. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы Рассмотрим теперь уравнение гиперболы, тогда полярное уравнение корректно при условии cos ϕ < 1 ε 2 + b 2 cosϑ, но это условие выполнено для гиперболы, поскольку угол ϑ это угол между фокальной осью гиперболы и асимптотами правой ветви гиперболы. При этом ϑ < ϕ < 2π ϑ cos ϕ < cos ϑ.

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М.

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА Кафедра высшей математики Д.Л. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Методическое

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция Комплексные числа. Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел

Лекция Комплексные числа. Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел Лекция 1 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i 2 = 1). Действительная

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее