Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского"

Транскрипт

1 ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского» ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Учебное пособие Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Саратов

3 УДК 5(765) ББК я7 К K Рекомендовано к печати кафедрой математики и методики её преподавания Саратовского государственного университета им НГЧернышевского Капитонова, ТА Математика: Учебное пособие / ТА Капитонова Саратов, 89 с Учебное пособие разработано для студентов дневного и заочного отделений юридического факультета, обучающихся по специальности 6 «Таможенное дело» Пособие содержит необходимый теоретический материал, представленный в виде лекций, по ряду основных разделов курса высшей математики, образцы решения задач, упражнения для самостоятельной работы студентов, а также варианты контрольных работ Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Капитонова ТА,

4 Лекция Матрицы и определители Матрицы и операции над ними Определение Матрицей A размерности m называется прямоугольная таблица, состоящая из m чисел, расположенных в m строках и столбцах: A m m m Числа i j называют элементами матрицы Индекс i элемента означает номер строки, а индекс j номер столбца, в котором стоит элемент i j Матрица A с элементами i j обозначается также A ( i j ), (i,, m; j,, ) Матрица, у которой m называется квадратной матрицей -го порядка: A Элементы,,, образуют главную диагональ квадратной матрицы, элементы, -,, побочную диагональ Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю Единичной матрицей E называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали: E Нулевой называется матрица, обозначаемая O, все элементы которой равны нулю Определение Суммой матрицы A ( i j ) размерности m и матрицы B ( i j ) размерности m называется матрица C (c i j ) размерности m, где c i j i j i j, (i,, m; j,, ) Определение Произведением матрицы A ( i j ) размерности m на число λ называется матрица C (c i j ) размерности m, где c i j λ i j, (i,, m; j,, ) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Свойства операции сложения и умножения на число A B B A (коммутативность сложения); (A B) C A (B C) (ассоциативность сложения); A O O A A (существование «нуля»); A ( A) O (существование «противоположного» элемента);

5 5 A A (существование «единицы»; 6 λ(a B) λa λb (дистрибутивность относительно сложения матриц); 7 (αβ)a αa βa (дистрибутивность относительно сложения чисел) Определение Произведением AB матрицы A ( i j ) размерности m p и матрицы B ( i j ) размерности p называется матрица C (c i j ) размерности m, у которой элемент, стоящий в i ой строке и j-ом столбце равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть c i j i j i j i p p j, (i,, m; j,, ) Свойства операции умножения матриц A B B A; (AB)C A(BC); EA AE A; OA AO O; 5 (AB)C AC BC; A(BC) AB AC Транспонированной к матрице A ( i j ) называется матрица A T, все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы A Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: Перемена местами двух строк (столбцов); Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) Матрица B, полученная из матрицы A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице A(обозначается A ~ B) Определители Свойства определителей Перестановкой из элементов называется любое их расположение в определенном порядке Число перестановок из элементов равно! ( факториал) Говорят, что числа i, j в данной перестановке образуют инверсию, если i стоит раньше j, причем i >j Перестановка называется четной, если ее символы образуют четное число инверсий, и нечетной в противном случае Определение Определителем квадратной матрицы -го порядка A называется число, обозначаемое A deta, и равное Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского алгебраической сумме! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементов, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца, причем произведение берется со знаком или в зависимости от того, является четной или нечетной перестановка номеров столбцов

6 Определитель -го порядка задается равенством Определитель -го порядка задается равенством () Правило треугольника вычисления определителей -го порядка: первое из трех слагаемых, входящих в сумму () со знаком, есть произведение элементов главной диагонали, второе и третье произведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали Три слагаемых, входящих в сумму () со знаком, определяются аналогично, но относительно побочной диагонали 5 7 Пример 7 ( 5) ( ) 8 5 Пример 5 ( ) ( ) ( ) ( 5) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( 5) ( ) Свойства определителей det A det A T, то есть величина определителя не изменится, если в нем строки заменить столбцами Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то знак определителя изменится на противоположный Общий множитель элементов некоторой строки (столбца) можно выносить за знак определителя Если в определителе строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю 5 Если в определителе две строки (столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю 6 Если в определителе все элементы некоторой строки (столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного лишь элементами указанной строки (столбца), при этом в одном из определителей она (он) состоит из первых слагаемых, а в другом из вторых 7 Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 5

7 Определение Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной; матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной Определение Минором элемента i j определителя -го порядка называется определитель (-) го порядка, который обозначается M i j и получается из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца Определение Алгебраическим дополнением элемента i j называется число, обозначаемое A ij и вычисляемое по формуле A i j (-) ij M i j, где M i j минор элемента i j Теорема о разложении Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения В частности, для определителя третьего порядка теорема о разложении по первой строке имеет вид: A A A A Обратная матрица Определение Матрица A - называется обратной для матрицы A, если выполняется условие A - A AA - E, где E единичная матрица Определение Присоединенной матрицей к квадратной матрице A ( i j ) называется матрица Ẵ (A i j ) T, полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений A i j к элементам i j Теорема Если квадратная матрица A невырожденная (то есть det A ), то A - det A Ẵ Пример Найти матрицу, обратную матрице A Решение Определитель этой матрицы A 6 Так как A, то матрица A невырожденная и, следовательно, существует обратная ей матрица Вычислим алгебраические дополнения: A, A, A, A Составим обратную матрицу: A - (-/) / / Сделаем проверку, то есть покажем, что A - A E Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского A A (-/) (-/) E 6 Итак, матрица, обратная данной матрице A равна A - / / 6

8 Лекция Системы линейных уравнений Основные понятия Система m линейных уравнений с неизвестными,,, имеет вид,, () m m m m, где числа ij ( i,, m; j,, ) называются коэффициентами, а числа,,, m свободными членами Определение Решением системы () называется упорядоченный набор чисел (,,, ), которые при подстановке вместо соответствующих неизвестных обращают все уравнения системы в верные числовые равенства Определение Система () называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений Определение Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений Определение Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают Определение Если в системе () все свободные члены равны нулю, то она называется однородной, в противном случае она называется неоднородной Однородная система всегда совместна, так как (,, ) есть решение любой однородной системы Это решение называется нулевым Все остальные решения системы, если они существуют, называются ненулевыми Метод Крамера решения систем линейных уравнений Данный метод применяется для случая, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных (m ) Теорема Если определитель D матрицы системы A не равен нулю, то система определенна и ее решение задается формулой Крамера: Dk k, k,, ; () D где D k определитель, получающийся из D заменой k го столбца на столбец свободных членов Если D, но D k хотя бы для одного значения k, то система несовместна Если D D k для всех значений k, то система неопределенна 5, Пример Решить методом Крамера систему: Решение D ; D 96; D Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 7

9 По формулам Крамера () находим: D D 96/6, D D 7/ 7 Таким образом, система имеет единственное решение (6; 7) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Этот метод применим к любым системам линейных уравнений вида () Следующие преобразования над линейными системами (элементарные преобразования) приводят их к эквивалентным системам: ) перестановка уравнений в системе; ) умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля; ) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число; ) удаление уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом С помощью элементарных преобразований в системе () последовательно исключаются неизвестные до тех пор, пока система не преобразуется к ступенчатому виду: r r, r r, () rr r r r где ii (i,, r) Процесс преобразования () к системе () называется прямым ходом метода Гаусса Переменные,,, r называются базисными, r, r,, свободными Если r, то свободные переменные отсутствуют и система имеет единственное решение Если r <, то, придавая свободным переменным произвольные значения, можно найти любое из бесконечного множества решений системы Если в процессе преобразований получится уравнение вида, где, то, так как это уравнение не имеет решений, то и система уравнений несовместна Из системы () находится решение, и процесс его нахождения называется обратным ходом метода Гаусса Пример 5 Решить методом Гаусса систему, 8 5, Решение Поделим обе части первого уравнения на, получим систему Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 8

10 5, 8 5, Умножим первое уравнение полученной системы на и сложим со вторым, а затем умножим первое уравнение на (-) и сложим с третьим В результате получим систему, в которой второе и третье уравнения не содержат переменную : 5,, Теперь проделаем аналогичные преобразования со вторым и третьим уравнениями системы Разделим второе уравнение на, получим: 5, 5, Умножим второе уравнение на (-5) и прибавим к третьему уравнению Завершив прямой ход метода Гаусса, приходим к системе 5, 5, 6 В результате обратного хода найдем решение системы, 5, 5 ( ) Таким образом, система имеет единственное решение ( ; ; ) Замечание Так как при решении линейных систем преобразования производятся только над ее коэффициентами, то можно вместо того, чтобы преобразовывать систему линейных уравнений, производить действия над расширенной матрицей системы Матричный способ решения систем линейных уравнений Систему () можно записать в матричной форме: A X B (5) где A ; X ; B m m m m A матрица системы; X столбец (или вектор-столбец) неизвестных; B столбец свободных членов Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 9

11 Определение Матрица m m m m называется расширенной матрицей системы () Теорема Если D определитель матрицы A не равен нулю, то система (5) является определенной и ее решение задается формулой: X A - B Доказательство По условию D det A, то есть матрица A невырожденная Умножим обе части (5) на A - слева, получим: A - (AX) A - B; (A - A)X A - B; EX A - B; X A - B Теорема доказана Пример 6 Решить матричным методом систему 8, Решение Матрица, обратная невырожденной матрице системы A (так как A ), найдена нами ранее (см пример ) A - / / ; B 8 ; ; X A - B 8 ) / ( ) (/ 8 ) ( Таким образом, система имеет единственное решение (; ) Упражнения Решить системы линейных уравнений методом Крамера: ) 7 8 5, 6 7 ) 5,, 5 c),, Решить системы методом Гаусса: ), 6 5, ) 9,, c) 7 6 5, 6 5 8, 5, Решить матричным способом системы уравнений: ) 5 7, ),, c) 5,, Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

12 Лекция Векторная алгебра Вектор на плоскости и в пространстве Определение Связанным вектором на плоскости или в пространстве называется упорядоченная пара точек, первая из которых называется началом, а вторая концом вектора Обозначают связанный вектор с началом в точке A и концом в точке B символом AB Длина отрезка AB неотрицательное число называется длиной вектора AB и обозначается AB Каждый вектор, кроме числовой, несет информацию о направлении луча AB с началом в точке A Если два связанных вектора AB и CD одинаково направлены, то пишут AB СD, а если противоположно направлены, то AB СD Определение Связанный вектор, у которого начало и конец совпадают, то есть, это одна точка, называется нулевым связанным вектором (вектор нулевой длины и без направления) Определение Два ненулевых связанных вектора AB и СD называются конгруэнтными, если они одинаковой длины и одинаково направлены, то есть AB СD и AB СD Обозначают AB СD Свойства конгруэнтных векторов AB AB (рефлексивность) Если AB СD, то СD AB (симметричность) Если AB СD и СD EF, то AB EF (транзитивность) Все множество связанных векторов разбивается на непересекающиеся между собой подмножества, состоящие из конгруэнтных друг другу связанных векторов Эти подмножества образуют классы конгруэнтных векторов Определение Класс конгруэнтных между собой связанных векторов называется свободным вектором (или вектором) и обозачается,, c, Говорят: связанный вектор AB представитель вектора Определение Длиной вектора называется длина любого его представителя: AB Направлением вектора называется направление любого его представителя Класс нулевых связанных векторов все точки плоскости или пространства есть нулевой вектор О Определение Два вектора и равны ( ), если и Определение Если и, то векторы называют противоположными Определение Векторы и называют коллинеарными, если они одинаково или противоположно направлены Обозначают Определение Векторы,, c, называют компланарными, если их представители, отложенные от одной точки, лежат в одной плоскости Обозначают Cp(,, c ) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

13 Линейное пространство свободных векторов Определение Пусть AB есть представитель вектора, BC представитель вектора, тогда вектор, определяемый представителем AC, называется суммой векторов и и обозначается (Это правило называется правилом треугольника) Для нахождения суммы возможно применение другого правила правила параллелограмма Определение Сумму вектора и противоположного для вектора ( ) называют разностью векторов и записывают, то есть ( ) Определение Произведением ненулевого вектора на действительное число λ называется вектор, обозначаемый λ, длина которого равна λ, а направление совпадает с направлением в случае λ > и противоположно в случае λ < Если О или λ, то λ О Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр: ) ; ) ( c ) ( ) c ; ) О О О ; ) ( ) О ; 5) ; 6) (αβ) α(β ); 7) (α β) α β ; 8) β( ) β β Множество всех векторов с операциями сложения и умножения на скаляр, обладающими свойствами ) 8), называется векторным пространством (или линейным пространством) Определение Вектор c называется линейной комбинацией векторов,, k, если найдутся такие числа λ, λ,, λ k, что выполняется равенство c λ λ λ k k Числа λ, λ,, λ k называют коэффициентами линейной комбинации Определение Векторы,, k называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ, λ,, λ k, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и для которых выполняется равенство λ λ λ k k О Напротив, если из последнего равенства следует, что λ λ λ k, то векторы,, k называются линейно независимыми Теорема (признак линейной зависимости векторов) Векторы,, k линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинации остальных Теорема (признак коллинеарности векторов) Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, то есть если существует число λ, такое, что λ Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

14 Теорема (о разложении вектора в плоскости) Всякий вектор в плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов, причем коэффициенты линейной комбинации определяются однозначно: α e α e (6) Теорема (признак компланарности векторов) Три ненулевых вектора в пространстве компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы Теорема (о разложении вектора в пространстве) Всякий вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов, причем коэффициенты линейной комбинации определяются однозначно: α e α e α e (7) Базис векторов Координаты вектора Определение Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов Базис прямой состоит из одного произвольного вектора Определение Координатами вектора относительно некоторого базиса (плоскости или пространства) называется упорядоченный набор коэффициентов разложения (соответственно (6) или (7)) этого вектора по базису Теорема Вектор c ± тогда и только тогда, когда c i i ± i (i, для плоскости; i,, для пространства) Теорема Вектор λ тогда и только тогда, когда i λ i (i, для плоскости; i,, для пространства) Теорема (признак коллинеарности векторов в координатах) Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны: i λ i для плоскости; i λ i для пространства Теорема (признак компланарности векторов в координатах) Три вектора в пространстве компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координатных столбцов равен нулю: пусть (,, ), (,, ), c (c, c, c ), тогда Cp(,, c ) c Скалярное произведение векторов Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Определение Проекцией вектора A B на ось l (обозначается c c пp l ) называется число, равное длине вектора A B ( A проекция точки A на ось l, B проекция точки B на ось l), взятое со знаком, если направление совпадает с направлением ось l, и со знаком, в противном случае A B

15 Свойства проекции вектора на ось ) пp l сos φ, где φ угол между вектором и положительным направлением оси O ) пp l ( ) пp l пp l ) пp l ( λ ) λ пp l Определение Базис векторов на плоскости или в пространстве называется ортонормированным базисом, если он состоит из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины Обозначение: ( i, j ) для плоскости; (i, j, k ) для пространства Определение Координатами вектора называются проекции этого вектора на оси O, O, O соответственно Обозначение: (, ) или i j для плоскости; (,, ) или i j k для пространства Определение Скалярным произведением (обозначается ) двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: сos( ˆ ), если О, О ;, если О, О Определение Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора и обозначается, то есть Определение Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю Свойства скалярного произведения ) ) ( ) c c c ) λ ( ) (λ ) (λ ) ) ( О, О ) 5) Скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда угол между векторами острый (тупой) 6) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: 7) Пусть векторы и заданы своими координатами: (,, ), (,, ), тогда Применение скалярного произведения: для вычисление длины вектора ; Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского для вычисление угла между векторами сos( ˆ ) для выражения условия перпендикулярности векторов Пример 7 Даны векторы (, 9, ) и (,, 7) Найти их скалярное произведение Решение ;

16 5 Векторное произведение векторов Определение Тройка векторов,, c называется правой, если для наблюдателя с конца c кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении, то есть против хода часовой стрелки; в противном случае тройка векторов называется левой Определение Векторным произведением вектора на вектор называется вектор c, удовлетворяющий следующим трем условиям: ) c si( ˆ ); ) c, c ; ) тройка векторов,, c правая Обозначается или [, ] Свойства векторного произведения: ) Векторное произведение двух ненуливых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны; ) [, ] [, ]; ) [λ, ] λ [, ] и [, λ ] λ [, ]; ) [, c ] [, c ] [, c ]; 5) Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах; 6) Пусть векторы и заданы своими координатами: (,, ), (,, ), тогда: [, ] i j k i 7) [i, j ] k, [ j, k ] i, [ k,i ] j j k ; 6 Смешанное произведение векторов Определение Смешанным произведением векторов,, c (обозначается c ) называется их векторно-скалярное произведение, то есть число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух сомножителей [, ] на третий c : c [, ] c Свойства смешанного произведения ) Абсолютная величина смешанного произведения трех некомпланарных векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах ) Пусть векторы,, c заданы своими координатами: (,, ), (,, ), c (c, c, c ), тогда c Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского ) Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: c Cp(,, c ) c c c 5

17 Задание Вычислить определитель: N а)? 6 Контрольная работа б) N 6 9? 7 5 Задание Решить систему: а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) матричным способом N N N N, ) 5, 7 8 N ) N 7, N 5 Задание Найти скалярное произведение векторов ) ( ; N; ); (5;7; N ) ) ( ;; N); (; N; N) Вычислить косинус угла между ними Задание Даны векторы: ( N; 5;6), (; N; ), c ( ;6; N), d ( ; N ;) Вычислить следующие выражения: ) ( ) c ) ( ) ( cd ) c c ) Задание 5 Найти произведение матриц AB и BA (если это возможно) A N 5 N, B N 5 Задание 6 Найти обратную матрицу A - для матрицы: N 6 N N ) A, Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского ) A Примечание N номер варианта (сообщается преподавателем) 6

18 Лекция Аналитическая геометрия Прямоугольная система координат на плоскости Уравнение линии на плоскости Две взаимно перпендикулярные числовые оси O и O, имеющие общее начало O и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости O Любая точка M плоскости в заданной прямоугольной системе координат O задается упорядоченной парой действительных чисел (,): M(,) Расстояние d между двумя точками A(, ) и B(, ) плоскости определяется формулой d ( ) ( ) Координаты (,) точки M, делящей в заданном отношении λ (λ AM ) MB λ отрезок AB (где A(, ), B(, )), определяются по формулам: ; λ λ В частности, при λ (точка M делит отрезок AB пополам), λ получаем формулы для определения координат середины отрезка:, Определение Уравнением линии на плоскости O называется уравнение F(, ), которому удовлетворяют координаты и каждой точки этой линии и только они Переменные и в уравнении линии называются текущими координатами точек линии Понятие уравнения линии позволяет сводить геометрические задачи к алгебраическим Например, задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F (, ) и F (, ), сводится к решению F (, ), системы двух уравнений с двумя неизвестными: F (, ) Прямая линия на плоскости Различные виды уравнения прямой Теорема Каждая прямая на плоскости O определяется уравнением первой степени A B C (8) и обратно, уравнение (8) при произвольных коэффициентах A, B, C (A и B не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую на плоскости Уравнение (8), то есть уравнение вида A B C, где A, B, C постоянные коэффициенты, причем A и B одновременно не обращаются в нуль (A B ), называется общим уравнением прямой Частные случаи уравнения (8): A B, (C ) прямая проходит через начало координат; A C, (B ) прямая параллельна оси O; B C, (A ) прямая параллельна оси O; A, (B C ) прямая совпадает с осью O; B, (A C ) прямая совпадает с осью O; Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 7

19 Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: k, где k tg α, α угол, который прямая образует с положительным направлением оси O; ордината точки пересечения прямой с осью O Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид:, где и длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях O и O соответственно Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(, ), с данным угловым коэффициентом k: k ( ), где k tg α, α угол, который прямая образует с положительным направлением оси O 5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A(, ) и B(, ), (где, ) имеет вид: (Если, то уравнение прямой имеет вид: ; если, то: ) 6 Нормальное уравнение прямой имеет вид: Cosβ Siβ p, где p длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; β угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси O Пример 8 Прямая, проходящая через точку A(5;), образует с осью O угол 5º Составить уравнение прямой Решение Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом k В нашем случае ktg5º По условию, прямая проходит через точку A(5;), поэтому её координаты 5 и удовлетворяют уравнению: ( ) 5, откуда 8 Уравнение прямой имеет вид 8 или 8 Пример 9 Общее уравнение прямой 6 привести к уравнению «в отрезках» Решение Запишем уравнение в виде 6 и разделим обе части на 6, получим искомое уравнение Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Взаимное расположение прямых на плоскости Пусть даны две прямые L : k и L : k Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных k k углов, образованных этими прямыми: tg φ kk Условие параллельности прямых: اا (L L ) k k Условие перпендикулярности прямых: (L L ) k k Если L : A B C и L : A B C, то A B (L L ) ; (L L ) A A B B A B Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 8

20 Для нахождения общих точек прямых L и L необходимо решить систему уравнений: A B C, k, или A B C ; k При этом: A B если, то имеется единственная точка пересечения прямых; A B A B С если, то L L (нет точек пересечения); A B С A B С если, то прямые L и L совпадают (имеют бесконечное A B С множество общих точек) Определение Расстоянием d от точки М(, ) до прямой A B C называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую A B C Расстояние d определяется по формуле d A B Пример В треугольнике с вершинами A(-;-), B(;) и C(-8;6) найти длину высоты, проведенной из вершины A Решение Задача сводится к определению расстояния от точки A до прямой BC Запишем уравнение BC, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: или Искомое расстояние d от точки 6 8 A(-;-) до прямой BC равно d ( ) ( ) 5 Линии (кривые) второго порядка: эллипс, гипербола, парабола Линии, определяемые уравнением второй степени относительно переменных и, то есть A BC DEF, (9) где A, B, C, D, E, F постоянные коэффициенты, причем A,B и C одновременно не обращаются в нуль (A B C ), называются кривыми второго порядка Эллипс Определение Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами,есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:, () Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского где большая полуось, малая полуось эллипса Фокусы: F (-c;), F (c;), где c расстояние между фокусами, причем c Вершины эллипса точки A(;),B(;),C(- ;), D(;- ) Точка O(;) центр эллипса Расстояния r и r от произвольной точки M(; ) эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами точки M 9

21 Введем величину ε, характеризующую форму эллипса Определение Эксцентриситетом ε эллипса называется отношение c c фокального расстояния c к длине его большой оси: ε (ε <, так как c < ) Замечание Если r, то уравнение () примет вид: r Это уравнение окружности с центром в начале координат О(;) радиуса r Определение Уравнение окружности с центром в точке C(;) радиуса r имеет вид: ( ) ( ) r Замечание (геометрическое истолкование эксцентриситета) Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса ε c ( ), отсюда ε При очень малом ε числа и почти равны, то есть эллипс близок к окружности Если же ε близко к единице, то число мало по сравнению с числом и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси Пример Определить координаты центра и радиус окружности, заданной общим уравнением Решение Группируем слагаемые, содержащие и, в левой части уравнения, дополняя выражения в полученных скобках до полного квадрата: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Данное уравнение примет вид: ( ) ( ) или () ( ) уравнение окружности с центром в точке C(-;) радиуса r Пример Найти полуоси, вершины, фокусы эллипса Решение Приведем данное уравнение к каноническому виду Для этого перенесем свободный член в правую часть и разделим на него обе части 5 уравнения В результате получим: Сравнивая полученное уравнение с (), находим 5, Вершины: A(5;), B(;), C(-5;), D(;-) Далее находим c 5 6, то есть c Фокусы: F (-;), F (;) Гипербола Определение Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:, () где действительная, мнимая полуоси гиперболы Числа и называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы Фокусы: F (- c;), F (c;), где c расстояние между фокусами, причем c Вершины гиперболы точки A(;), B(- ;) Точка O(;) центр гиперболы Расстояния r и r от произвольной точки M(; ) гиперболы до его фокусов называются фокальными радиусами точки M Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского

22 Определение Эксцентриситетом ε гиперболы называется отношение c c фокального расстояния c к длине его действительной оси: ε (ε >, так как c > ) Определение Прямая линия называется асимптотой для кривой, если расстояние от точки M, лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки M от начала координат в бесконечность Гипербола, задаваемая уравнением (), имеет две асимптоты: и О и O оси симметрии гиперболы Определение Гипербола с равными полуосями () называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид: Для равносторонней гиперболы эксцентриситет ε Парабола Определение Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой Введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее положительным направлением направление от директрисы к фокусу; начало координат находится посередине между фокусом и директрисой Каноническое уравнение параболы имеет вид: p, () где число p>, равное расстоянию от фокуса F до директрисы L, называется параметром параболы Фокус F (p/;); точка O(;) вершина параболы; ось O ось симметрии параболы; уравнение директрисы L: p/ 5 Плоскость в пространстве Три взаимно перпендикулярные числовые оси O, O, O, имеющие общее начало O и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную (декартову) систему координат в пространстве O Любая точка M пространства в заданной прямоугольной системе координат O задается упорядоченной тройкой действительных чисел (; ; ): M(; ; ); здесь число абсцисса, ордината, аппликата точки M Расстояние d между двумя точками A(,, ) и B(,, ) пространства определяется формулой d ( ) ( ) ( ) Определение Уравнением поверхности в пространстве O называется уравнение F(,, ), которому удовлетворяют координаты каждой точки этой поверхности и только они Кривую (линию) в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей: тогда она задается системой двух уравнений Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского F ( / / ), F ( / / )

23 В пространстве O уравнение первой степени относительно,, : A B C D, (), где A, B, C, D постоянные коэффициенты, причем A, B и C одновременно не обращаются в нуль, определяет плоскость Уравнение () общее уравнением плоскости Частные случаи уравнения (): A B C, (D ) плоскость проходит через начало координат; A B D, (C ) плоскость параллельна оси O; A C D, (B ) плоскость параллельна оси O; B C D, (A ) плоскость параллельна оси O; A B, (D C ) плоскость проходит через ось O; B C, (D A ) плоскость проходит через ось O; A C, (D B ) плоскость проходит через ось O; A D, (BC ) плоскость параллельна координатной плоскости O; B D, (AC ) плоскость параллельна координатной плоскости O; C D, (AB) плоскость параллельна координатной плоскости O; B, (ACD) плоскость совпадает с координатной плоскостью O; A, (BCD) плоскость совпадает с координатной плоскостью O; C, (ABD) плоскость совпадает с координатной плоскостью O Различные виды уравнения плоскости A B C D общее уравнение плоскости Вектор (A; B; C) нормаль к плоскости (перпендикулярен плоскости) A ( - ) B( - ) C( - ) уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ; ; ) перпендикулярно вектору (A; B; C) уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ; ; ) параллельно векторам (,, ), (,, ) Векторы и направляющие векторы плоскости Уравнение плоскости в отрезках:, где,, с отрезки, отсекаемые плоскостью по осям O, O и O соответственно 5 точки M ( ; ; ), M ( ; ; ), M ( ; ; ) c уравнение плоскости, проходящей через три 6 Прямая в пространстве Различные виды уравнения прямой Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей Общее уравнение прямой: A B C D, A B C D ;

24 Каноническое уравнение прямой: уравнение прямой, проходящей через точку M ( ; ; ) параллельно направляющему вектору (,, ) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M ( ; ; ), M ( ; ; ): Взаимное расположение прямых в пространстве Пусть даны две прямые L : и L : Возможны случаи: ) Пусть L пересекается с L Под углом α между прямыми понимают угол между направляющими векторами (,, ), (,, ) Угол определяется по формуле Cos α сos( ˆ ) Тогда ) L L ) L L ) Пусть L и L скрещивающиеся: M ( ; ; ) L ; M ( ; ; ) L 7 Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть даны плоскость P: A BCD и прямая L: Возможны случаи: ) Прямая L и плоскость P пересекаются Угол между прямой L и плоскостью P определяется по формуле ) L P плоскости) Si ( ˆ ) A A B C B C, ) L P A B C D плоскости), где точка M ( ; ; ) L B C, ) L P A B C D в плоскости) ; A B C A B C (условие перпендикулярности прямой и ; (условие параллельности прямой и Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского A (условие, при котором прямая лежит

25 Лекция 5 Функции и пределы Понятие множества Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов произвольной природы, обладающих общим признаком характеристическим свойством Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами Множества обозначаются большими, а их элементы малыми буквами Если элемент принадлежит множеству, то пишут X ; если не принадлежит, то X Запись X,,, } означает, что множество X состоит из элементов,,, { Множество Y, все элементы которого принадлежат множеству X, называют подмножеством множества X и обозначают Y X Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом Ǿ Пустое множество является подмножеством любого множества Определение Если X Y и Y X, то множества Y и X, называются равными и пишут X Y Определение Пересечением двух множеств X и Y называется множество, обозначаемое X Y, состоящее из элементов, принадлежащих X и Y одновременно, то есть X Y { : X, Y} Определение Объединением двух множеств X и Y называется множество, обозначаемое X Y, состоящее из элементов, принадлежащих X или Y, то есть X Y { : X или Y} Определение Множество, элементы которого принадлежат множеству X и не принадлежат множеству Y, называется разностью множеств X и Y, то есть XΙ Y { : X, Y} В дальнейшем под множествами будем понимать числовые множества, то есть множества, состоящие из действительных чисел Множество всех действительных чисел обозначается R Геометрически множество R изображается направленной прямой, а отдельные числа точками этой прямой Поэтому множество R называют числовой прямой (числовой осью) и обозначают ( ; ) Определение Множество всех действительных чисел, удовлетворяющих условию называется отрезком и обозначается [;] Определение Множество всех действительных чисел, удовлетворяющих условию << называется интервалом и обозначается (;) Отрезки, интервалы называются числовыми промежутками Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Функция Определение Пусть каждому числу X поставлено в соответствие одно и только одно число Тогда говорят, что на множестве X задана функция

26 Правило, с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают буквой f и пишут: f () Переменная называется независимой переменной (аргументом), а переменная зависимой переменной Множество X называется областью определения функции Определение Пусть на множестве X заданы функции f () и g () Тогда функции, которые в каждой точке X равны: f ( ) g( ), f ( ) g( ), f ( ) g( ), f ( ) g( ) ( ( ) g ), для всех X называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным этих функций Способы задания функций: Аналитический, то есть в виде формулы Табличный Графический Определение Пусть даны функции g(), f () Тогда функция, которая каждому числу X ставит в соответствие Z называется сложной функцией ( f ( )) g Последовательности Предел последовательности Определение Множество X {} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число R, что для любого X выполняется неравенство ( ) Число верхняя (нижняя) граница множества Определение Наименьшая (наибольшая) среди всех верхних (нижних) границ множества называется его верхней (нижней) гранью Определение Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента Обозначается ( ), ( ), Определение Последовательность ( ) называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу), то есть если M N M ( M ) Определение Последовательность ( ) называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу Определение Число A называется пределом последовательности (пишут lim A), если ε > N > A < ε Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся Теорема Сходящаяся последовательность имеет только один предел Теорема Сходящаяся последовательность ограничена Теорема Если lim A, lim B, то lim ( ± ) A ± B, lim AB, Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского lim A ( B ) B Определение Последовательность ( α ) называется бесконечно малой, если α lim 5

27 Теорема Алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность Теорема Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность Предел функции Определение Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий точку Обозначается O( ) Определение Число A называется пределом функции f() в точке, если функция определена в некоторой O( ), за исключением, быть может, самой точки, и для любого ε > найдется такое зависящее от него число δ >, что, для всех, отличных от, удовлетворяющих условию - <δ, выполняется неравенство f() - A < ε, то есть ε > δ ( ε ) > : < δ f ( ) A < ε Обозначают: lim f ( ) A Теорема Пусть lim f ( ) A, lim g( ) B f ( ) A lim f ( ) g( ) A B, lim, ( B ) g( ) B lim, тогда lim( f ( ) ± g( )) A ± B, Определение Функция α () называется бесконечно малой, если α ( ) Теорема lim f ( ) A f ( ) A α( ), где α () бесконечно малая Определение Число A называется правым (левым) пределом функции f() в точке, если ε > δ ( ε ) > : < < δ ( δ < < ) f ( ) A < ε Обозначают: f ( ) A ( f ( ) A) Теорема lim lim f ( ) A lim f ( ) lim lim f ( ) A Определение Число A называется пределом функции f() при, если для любой последовательности,, последовательность (f( )) соответствующих значений функции сходится к A Обозначение: lim f ( ) A lim 5 Непрерывные функции в точке Определение Пусть f () определена в некоторой O ( ) Если существует ( ) f ( ), то f () называется непрерывной в точке f Определение непрерывности функции f () в точке можно сформулировать с помощью неравенств (на языке ε δ ), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей Определение Функция f () называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой O ) и если ε > δ > : < δ Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского f ) f ( ) < ε ( ( 6

28 Определение f () называется непрерывной в точке ( f ( )) O X ( O ) f ( ) O( f ( ))) O ) ( ( Определение f () называется непрерывной в точке { }: lim f ( ) f ( ),, если если Назовём разность приращением аргумента и обозначим а разность f ( ) f ( ) приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, и обозначим Таким образом,, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) и можно понятие непрерывности f () в точке сформулировать следующим образом (на языке приращений) Определение f () непрерывна в точке, если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента, стремится к нулю вместе с, то есть lim Определение Если f () не является непрерывной в точке, то она называется разрывной в точке, а точка называется точкой разрыва Определение ) называется точкой устранимого разрыва, если существует lim f ( ) f ( ); ) называется точкой разрыва первого рода, если существуют односторонние пределы f ( ) и f ( ), но lim f ( ) lim f ( ) ; lim lim ) называется точкой разрыва второго рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности Отметим свойства функций, непрерывных в точке, непосредственно вытекающих из определения непрерывной функции в точке и из свойств предела функции Теорема Если функции f () непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки Теорема Если функция f (х) непрерывна в точке, причём f ( ), то в некоторой окрестности точки знак функции совпадает со знаком числа f ( ) Теорема (непрерывность суммы, произведения и частного) Если функции f () и g () непрерывны в точке, то непрерывны в точке их сумма f ( ) g( ), произведение ( ) g( ) f и частное f ( ) g( ) (при условии g ( ) ) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Теорема (непрерывность сложной функции) Если функция g() непрерывна в точке, а функция f () непрерывна в точке, причём f ( ), то в некоторой окрестности точки определена сложная функция g ( f ( )) F( ), и эта функция непрерывна в точке, 7

29 Определение Функция f () называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема Если f () непрерывна на отрезке [, ], то она ограничена [, ] Теорема Если f () непрерывна на [, ], то она на этом отрезке имеет наибольшее и наименьшее значения, то есть [, ], что f ( ) sup f ( ) ; f ( ) if f ( ) [, ], [, ] Теорема Пусть f () непрерывна на [, ] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то есть f ( ) f ( ) < Тогда f () имеет хотя бы один нуль на интервале (, ), то есть f ( c) в некоторой точке c (, ) Теорема Если f () непрерывна на [, ], f ( ) A, f ( ) B и C произвольное число, находящиеся между числами A и B, то на интервале (, ) найдётся по крайней мере одна точка c, для которой Следствие Если f () непрерывна на [, ] и m if f ( ), M sup f ( ), то [, ] [, ] множество значений, принимаемых функцией f () на [, ] есть отрезок [, M ] Теорема (Теорема о существовании и непрерывности обратной функции) Если функция f () непрерывна и строго возрастает на отрезке [, ], то на отрезке [ f ( ), f ( )] определена непрерывная и строго возрастающая функция g(), обратная к функции f 6 Непрерывность некоторых элементарных функций m Многочлены и рациональные функции а) Рассмотрим многочлен степени, то есть функцию вида, где Эта функция непрерывна на R P ( ) б) Рациональная функция, то есть функция вида f ( ) P ( ) Q ( ), где m P, Q многочлены степени и m соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена Q m () Тригонометрические функции а) Теорема Функции si и cos непрерывны на R Из непрерывности синуса и косинуса следует, что функция π непрерывна, если cos, то есть π, где ( Z ), а функция непрерывна, если π, где ( Z ) m si tg cos cos ctg si Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского si б) Теорема (первый замечательный предел) Если, то si то есть lim, 8

30 Лекция 6 Производная Основные теоремы дифференциального исчисления точки Производная Дифференцируемость функции Дифференциал Определение Пусть f () определена в некоторой окрестности ( O ) ( ) Если существует конечный предел f ( ) f ( ) lim f ', то его называют производной функции f () в точке и обозначают ( ), то есть f ( ) lim ' () Определение Если f () определена в O ( ) и приращение функции f () в точке представимо в виде: f ( ) f ( ) A α ( ) (5) где A A( ) не зависит от, а α( ) при, то f () называется дифференцируемой в точке, а произведение A называется её дифференциалом в точке и обозначается df ( ) или d Таким образом: d A, (6) d α ( ) (7) Теорема Если f () дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке Теорема Для того чтобы функция f () была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке конечную производную Геометрический смысл производной Производная f '( ) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой f () в точке (, f ( )), то есть тангенс угла между касательной и положительным направлением оси O Геометрический смысл дифференциала Если функция f () дифференцируема в точке, то существует касательная l (рис ) к графику этой функции в точке M (, f ( )), задаваемая уравнением: f ) f '( )( ) (8) У f ( ) ( M f () М Е F l Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского х Рис 9

31 Пусть M (, f ( )) точка графика функции f () с абсциссой, E и F точки пересечения прямой с касательной l и прямой f ( ) соответственно Тогда F(, ), E(, f '( ) ), так как ордината точки E равна значению в уравнении (8) при Разность ординат точек E и F равна f '( ), то есть равна дифференциалу d функции f в точке Таким образом, дифференциал функции f () в точке равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой при изменении аргумента от до Механический смысл производной Если S (t) есть путь, пройденный точкой за время t, то S '( t) есть мгновенная скорость в момент времени t Правила дифференцирования Операция вычисления производной функции называется дифференцированием Теорема (правила дифференцирования) Пусть f () и g () дифференцируемы в точке Тогда: ) ( f ( ) ± g( ))' f '( ) ± g'( ), ) с f () дифференцируема в точке и ( с f ( ))' с f '( ) ( с cost ), ) f ( ) g( ) дифференцируема в точке и ( f ( ) g( ))' f '( ) g( ) f ( ) g'( ), ) если g ( ), то f ( ) g( ) дифференцируема в точке и f ( ) g( ) ' f '( ) g( ) f ( ) g' ( ) g ( ) Пример Доказать: Решение а) ( )' π ( tg)', k π, ( ctg)' cos si, π k, k Z ' si (si )'cos (cos )'si cos si tg cos cos cos / б) )' cos cos (cos )'si (si )'cos si cos ( ctg si si si si Теорема (производная сложной функции) Пусть: ) f () определена в O ( ) и дифференцируема в точке ) (t) определена в O ( t ) и дифференцируема в точке ) ( t ) Тогда сложная функция F ( t) f ( ( t)) дифференцируема в точке t и F ( t ) f '( ) '( ) ' t Теорема (производная обратной функции) Пусть функции f () ; t ; и Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского ϕ () взаимно обратные Если функция f () имеет в точке производную f ( ), то обратная функция ϕ () также имеет в соответствующей точке f ) производную, причем ϕ '( ) ( f '( )

32 Таблица производных ( с ), с cost ' ( ) (где R) ; в частности: ' ( ) l ; в частности: ( e ) e l ' si cos ' cos si ' tg cos ' ctg si ' rcsi ' rccos ' rctg ' rcctg ' ' ( log ) ; в частности: ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 8 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) l ' ' Упражнения Найти производные функций: ( )( ) 5 si ( ) rctg 6 l( si ) ', ( ) 7 l( l( l ) ) l 8 l tg cos l tg 9 ( l ) si ( ) ( rcsi ) rctg ( si ) 8 7 ( ) 5 ( lg) 6 rccos ( 5 ) 8 tg 9 p lg ( cos ) k ( ) π 5tg tg 5 8 cos cos rctg cos si si 6 si e e l 9 rctg si ctg si cos e 9 5 tg ( ) ctg ( ) 5 rctg Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского 6 l( ) 7 rctg 8 tg tg 9 cos l rcsi( si ) rcsi cos rcsi rccos

33 l 5 si 6 log ( si ) 9 rcsi( l ) 7 rctg 8 cos 5 e 5 rctg 5 cos si tg 55 l ctg 56 l 59 si l 6 l si l cos si cos rcsi 6 cos si ctg tg 6 65 rcsi 66 e 6 cos ( cos ) 67 e si 68 7 l( e e e ) si cos 7 ( si ) 7 ( l ) si 7 ( ctg ) tg 7 ( cos ) 75 ( ) l si 76 ( ) 5 77 ( ) tg Производные и дифференциалы высшего порядка Определение Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка или второй производной Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной, и так далее Производная от производной ( ) -го порядка называется производной -го порядка Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка ( ) и обозначаются: '', ''',,, Второй производной можно дать механическое толкование: f ''( ) есть ускорение изменения функции по сравнению с изменением аргумента Пример Для функции e имеем: e, '' e, ''' e, ( ) ( ) e e Определение Дифференциал от дифференциала функции f () в некоторой точке называется дифференциалом второго порядка в этой точке и обозначается d( d) d Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка и обозначается d и тд Вообще дифференциал от дифференциала ( ) -го порядка называется дифференциалом п-го порядка и обозначается d При этом дифференциал независимый переменной ( d ) всё время рассматривается как постоянная Способ вычисления дифференциалов высшего порядка f имеет в точке производные любого порядка Тогда: Пусть ( ) Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского d ' d, ' ( d) ( ' d) d у dd у dх, d d d d d( d ) ( d ) d d d d,, d ( ) ' ( ) ( ) ( d ) ( d ) d d d

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1)

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1) Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 1. Матрицы. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами. Линейная комбинация матриц. Пример вычисления линейной комбинации. Умножение матриц. Пример умножения

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее