Министерство образования Российской Федерации

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования Российской Федерации"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Москва г PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

2 Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке столбцу Методы вычисления определителей Понятие об определителе -го порядка Определение Матрицей называется прямоугольная таблица чисел m m m Обозначения: А матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m число строк матрицы, число ее столбцов Определение Числа m и называются размерностями матрицы Определение Матрица называется квадратной, если m Число в этом случае называют порядком квадратной матрицы Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы Это число называется определителем Определение Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы -го порядка следующим образом: При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы идущей из левого верхнего в правый нижний угол вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали Примеры Определение Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы -го порядка следующим образом: PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

3 Замечание Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком, располагаются так:, образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: Примеры Определение 6 Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования В результате получается матрица А, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением Основные свойства определителей Сформулируем и докажем основные свойства определителей -го и -го порядка доказательство проведем для определителей -го порядка Свойство Определитель не изменяется при транспонировании, те Доказательство PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

4 Замечание Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк При этом из свойства следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы Свойство При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, те k k k Доказательство k k k k k k k k k k k k Свойство Определитель, имеющий нулевую строку, равен Доказательство этого свойства следует из свойства при k Свойство Определитель, имеющий две равные строки, равен Доказательство Свойство Определитель, две строки которого пропорциональны, равен k k k Доказательство следует из свойств и Свойство 6 При перестановке двух строк определителя он умножается на PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

5 Доказательство Свойство 7 Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения Свойство 8 Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число k k k Доказательство следует из свойств 7 и Разложение определителя по строке Определение 7 Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент Обозначение: Пример Для выбранный элемент определителя, M его минор, M 8 Определение 8 Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента есть число четное, или число, противоположное минору, если нечетно, те M PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

6 Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка так называемое разложение по строке или столбцу Для этого докажем следующую теорему: Теорема Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, те, где,, Доказательство Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:,, Тогда Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя Пример Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу Заметим, что при этом искать не требуется, так как, следовательно, и Найдем и :, Следовательно, 6 Определители более высоких порядков Определение 9 Определитель -го порядка r есть сумма! членов, каждый из которых соответствует одному из! k k k упорядоченных множеств k,,, k k, полученных r попарными перестановками элементов из множества,,, 6 PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

7 Замечание Свойства определителей -го порядка справедливы и для определителей -го порядка Замечание На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей -го порядка Пример Вычислим определитель -го порядка по -му столбцу Для этого найдем и :, Следовательно, с помощью разложения Лекция Системы линейных уравнений Метод Гаусса Правило Крамера Определение Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число Определение Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, те α α α, где α числа, переменные Определение Линейным уравнением называется уравнение вида, где и числа, - неизвестные Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой число Определение Линейное уравнение называется однородным, если В противном случае уравнение называется неоднородным Определение Системой линейных уравнений линейной системой называется система вида PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 7

8 где,, m m m m - числа, - неизвестные, число неизвестных, m число уравнений Определение 6 Решением линейной системы называется набор чисел,,,, которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство Метод Гаусса решения линейных систем Замечание Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения Примеры: y 8 Единственным решением является пара чисел х, у y 9 y Решением этой системы будут любые два числа х и у, удовлетворяющие y 6 условию у х Например, х, у; х, у и т д х у Очевидно, что эта система не имеет решений, так как разность двух чисел не х у может принимать двух различных значений Условия существования и количества решений линейной системы будут изучены в дальнейшем, а пока рассмотрим способы нахождения единственного решения системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных: Пусть этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на, где номер очередного уравнения Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны, те система выглядит так: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Если новые коэффициенты при х не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду: PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 8

9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Здесь символами ~ ~, ˆ, и ˆ обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены Из последнего уравнения системы единственным образом определяется, а затем последовательной подстановкой остальные неизвестные Замечание Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных Такая система не может иметь единственного решения Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида коэффициенты при неизвестных обратились в, а правая часть приняла ненулевое значение, то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных Примеры: y z Решим методом Гаусса систему y z y z 9 Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего первое, умноженное на y z Получим: 7 y z Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а y 9z затем разделим второе уравнение на 7 коэффициент при у, а третье на новый коэффициент при z Система примет вид: y z y z 7 z 7 Отсюда z, y, единственное решение системы y z Система y z после исключения х из второго и третьего уравнений примет y z 8 y z вид: y z 7 Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее y z 7 уравнение станет тождеством В системе осталось два уравнения: y z Ее y z 7 решение можно записать в виде: х -, у любое число, z 7 y Таким образом, система имеет бесконечно много решений PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 9

10 y z y z y z Применив к этой системе метод Гаусса, получим y z 7, y z y z y z откуда y z 7 Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения Правило Крамера Рассмотрим систему Назовем главным определителем этой системы определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения,,, элементов -го столбца Сложив затем все уравнения, получим: Отметим, что -й столбец Результат получен из разложения определителя по -му столбцу Такой определитель равен при и равен при Правая часть равенства представляет собой определитель, в котором вместо -го столбца стоит столбец свободных членов системы Назовем такой определитель Рассматривая,,,, получим систему, эквивалентную исходной: 6 Разделив все уравнения на, найдем единственное решение:,,, Предположим теперь, что Тогда система 6 примет вид: PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

11 В этом случае, если все, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений Если же хотя бы один из, система решений не имеет Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии: Если, система имеет единственное решение, определяемое по формулам:,,, Если, система имеет бесконечно много решений Если, а хотя бы один из, система не имеет решений Примеры: y z Рассмотрим систему y z, решенную в предыдущем разделе y z 9 методом Гаусса, и применим к ней правило Крамера Найдем все нужные определители:, следовательно, система имеет единственное решение 9, y 9, Отсюда, y, z z y z y z Здесь, поскольку имеет два одинаковых столбца y z 8 Следовательно, система не имеет единственного решения Найдем, и : 8, много решений y 8, z 9, поэтому система имеет бесконечно y z y z Для этой системы, но y, y z следовательно, решений нет 8 y z PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

12 Лекция Операции над матрицами, их свойства Обратная матрица, ее вычисление Матричная запись системы линейных уравнений Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы Определение Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах Определение Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны Определение Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны, а остальные равны Линейные операции над матрицами Сложение матриц Определение Суммой матриц А и В одинаковой размерности m называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:,,, m,,, Свойства сложения: А В В А А В С А В С Если О нулевая матрица, то А О О А А Замечание Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц Замечание Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности Пример, B C B 6 Умножение матрицы на число Определение Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число Свойства умножения матрицы на число: kmkm k B k kb k m k m Замечание Справедливость свойств следует из определений и Замечание Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С В А, те С А -В Пример PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

13 8 Тогда Перемножение матриц Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго Определение 6 Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности p называется матрица С размерности m, каждый элемент которой определяется формулой: p k kk,,, m,,, Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов -й троки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В Пример, B При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА Размерность матрицы САВ составляет Найдем элементы матрицы С: с 8, с, с, с, с 9, с 8 Итак, C 9 Теорема без доказательства Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей Замечание Операция перемножения матриц некоммутативна, те B B Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей см предыдущий пример Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности если m Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка: E Тот же результат получим и для произведения ЕА Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ ЕА А Обратная матрица PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

14 Определение 7 Квадратная матрица А называется вырожденной, если, и невырожденной, если Определение 8 Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ ВА Е При этом В обозначается Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления Теорема Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной Доказательство Необходимость: так как E, то E теорема, поэтому Достаточность: зададим матрицу в следующем виде: Тогда любой элемент произведения или, не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки или столбца матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен как определитель с двумя равными столбцами Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом, E Теорема доказана Замечание Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель Пример Найдем матрицу, обратную к 6, следовательно, матрица А невырожденная Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:, 7,,,,,,, Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

15 столбец с тем же номером Итак, 7 Можно убедиться, что 6 найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем E Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке Решение линейных систем с помощью обратной матрицы Рассмотрим линейную систему : и введем следующие обозначения: - матрица системы, - столбец неизвестных, B - столбец свободных членов Тогда систему можно записать в виде матричного уравнения: АХ В Пусть матрица А невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица Умножим обе части равенства слева на Получим B Но E, тогда E B, а поскольку E, B Итак, решением матричного уравнения является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы y z Пример Вернемся к системе y z y z 9 Для нее, B, y Найдем : 9 z,, 7,, 9,, 6,, 7 PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

16 Следовательно, 6 9, B 7 7 Таким образом, х, у, z Лекция Ранг матрицы Теорема о ранге Вычисление ранга матрицы Совместность систем линейных уравнений Теорема Кронекера-Капелли Структура общего решения однородной системы линейных уравнений Общее решение неоднородной системы линейных уравнений Определение Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы Замечание Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором -го порядка Определение Ранг матрицы это порядок ее наибольшего ненулевого минора Обозначения: r, R, Rg Замечание Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей Примеры:, r B Матрица В содержит единственный ненулевой элемент -, являющийся минором -го порядка Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать -ю строку и поэтому равны Следовательно, rb С Единственным минором -го порядка является определитель матрицы С, но он равен, поскольку содержит пропорциональные столбцы Следовательно, rc< Для того, чтобы доказать, что rc, достаточно указать хотя бы один минор -го порядка, не равный, например, Значит, rc E E, следовательно, re PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 6

17 7 Замечание Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду когда элементы, стоящие ниже, равны, воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы эквивалентными преобразованиями К ним относятся: транспонирование умножение строки на ненулевое число перестановка строк прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число вычеркивание нулевой строки Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые в ненулевые Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг Пример Найдем ранг матрицы Теоретически ранг этой матрицы может принимать значения от до, так как из элементов матрицы можно создать миноры по -й порядок включительно Но вместо того, чтобы вычислять все возможные миноры -го, -го и тд порядка, применим к матрице А эквивалентные преобразования Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, равнялись Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с первой, а вместо третьей разность третьей и удвоенной первой: ~ Затем из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим вторую: ~ После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности, для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и максимально возможное значение ранга равно : ~ Ее минор, следовательно, ~ r r Теорема о ранге Определение Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

18 Определение Строки столбцы матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны, равная нулевой строке столбцу В противном случае строки столбцы называются линейно независимыми Замечание Можно доказать, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости строк матрицы является то, что одна из них является линейной комбинацией остальных Теорема Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы Любая строка столбец матрицы является линейной комбинацией этих строк столбцов Доказательство для строк Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен, а остальные коэффициенты равны Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор Добавим к базисному минору эту строку пусть ее номер k и любой столбец матрицы пусть его номер Затем разложим полученный определитель, равный так как его порядок больше ранга матрицы по -му столбцу: r r k k Поскольку k является базисным минором, k, поэтому, разделив полученное равенство на k, найдем, что k λ λ λrr для всех,,,, где λ Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк Теорема доказана Совместность линейных систем Определение Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений Определение 6 Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения Назовем расширенной матрицей системы матрицу вида, а матрицей системы матрицу из m m m m коэффициентов при неизвестных Теорема теорема Кронекера-Капелли Система совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы Доказательство Необходимость: пусть система совместна и с,,, ее решение Тогда k PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 8

19 , m m m m то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть r r Достаточность: если r r, то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации с,,,, то эти числа будут решением системы, те эта система совместна Теорема доказана Общее решение однородной линейной системы Рассмотрим однородную линейную систему m m m Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение, называемое тривиальным Пусть ранг матрицы системы r< Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений Тогда оставшиеся m r уравнений являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений: r r r Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо: r r, r r r r, r r r r rr r r, r r r Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных,,, r, выражающее их через остальные неизвестные r,,, которым можно придавать любые произвольные значения Таким образом, система при r< является неопределенной PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 9

20 Определение 7 Неизвестные,,, r, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные r,, свободными неизвестными k k Определение 8 Решения системы,,, k k называются линейно независимыми, если линейная комбинация α α α дает нулевой столбец только при α α α k Покажем, что число линейно независимых решений системы равно r Действительно, рассмотрим столбцы вида ~ ~ ~ r,,,, r содержащие по -r чисел Очевидно, что эти столбцы линейно независимы, а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы по правилу Крамера, и все решения системы, соответствующие наборам свободных неизвестных, образуют -r линейно независимых столбцов вида, то есть -r линейно независимых решений системы Определение 9 Любые r линейно независимых решений системы называются ее фундаментальной системой решений Определение Фундаментальная система решений линейной однородной системы, в которой свободные неизвестные задаются по формулам, называется нормальной фундаментальной системой решений Замечание Очевидным образом доказываются свойства решений однородной линейной системы : Свойство Сумма решений системы является ее решением Свойство Столбец решений, умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы является ее решением Можно доказать и обратное утверждение: Теорема без доказательства Любое решение однородной линейной системы является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений Таким образом, любое решение системы имеет вид: C C C r r, где,,, r - фундаментальная система решений k k PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

21 Пример Решим систему Найдем ранг матрицы системы Преобразуем ее к виду: ~ Очевидно, что r Пусть, - базисные неизвестные,, - свободные неизвестные Заменим исходную систему системой из первых двух уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор, и перенесем базисные неизвестные в правые части уравнений: Пусть, Тогда,,; Если,, то, Получена фундаментальная система решений:,,, Теперь общее решение системы можно записать в виде: C C, где С и С любые произвольные числа Структура общего решения неоднородной линейной системы Рассмотрим неоднородную линейную систему : m m m m Докажем следующие свойства ее решений: Свойство Сумма любого решения системы и любого решения соответствующей однородной системы является решением системы Доказательство Пусть с, с,,с решение системы, а,,, решение системы с теми же коэффициентами при неизвестных Подставим в систему : m m m m После перегруппировки слагаемых получим: PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

22 m m m m m m m Но, Следовательно, является решением системы Свойство Разность любых двух решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы Доказательство Пусть,,, и,,, - решения системы Тогда Утверждение доказано Следствие Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения системы Пример Общее решение системы можно записать в виде:,, C C, где - частное решение данной системы Лекция Векторы Линейные операции над векторами Проекция вектора на ось Декартовы координаты векторов и точек Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение Определение Вектором называется направленный отрезок Обозначения:,, B Определение Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают Нулевой вектор не имеет определенного направления PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

23 Определение Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину модуль и одинаковое направление Замечание Таким образом, мы изучаем так называемые свободные векторы, начальная точка которых может быть выбрана произвольно Векторы, для которых важна точка приложения, называются присоединенными связанными и используются в некоторых разделах физики Линейные операции над векторами Определение Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора, если начало вектора совпадает с концом вектора а Замечание Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника Свойства сложения: Свойство Доказательство Приложим векторы а и к общему началу и рассмотрим параллелограмм OBC Из определения и треугольника ОВС следует, что ОС, а из треугольника ОАС ОСа Свойство доказано В а С Замечание При этом сформулировано еще одно правило сложения векторов правило параллелограмма: сумма векторов и есть диагональ параллелограмма, построенно- го на них как на сторонах, выходящая из их общего начала О А а Свойство Доказательство Из рисунка видно, что B OBBCOBBCOC, OBBCOCOC Свойство доказано с O С Свойство Для любого вектора существует нулевой вектор О такой, что Оа Доказательство этого свойства следует из определения Свойство Для каждого вектора существует противоположный ему вектор / такой, что аа / О Доказательство Достаточно определить / как вектор, коллинеарный вектору, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление Определение Разностью а векторов а и называется такой вектор с, который в сумме с вектором дает вектор а - PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

24 Определение 6 Произведением k вектора а на число k называется вектор, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный k, и направление, совпадающее с направлением а при k> и противоположное а при k< Свойства умножения вектора на число: Свойство k k k Свойство k m k m Свойство km km Следствие Если ненулевые векторы а и коллинеарны, то существует такое число k, что k Базис и координаты вектора Определение 7 Линейной комбинацией векторов а, а,,а называется выражение вида: k k k, где k числа Определение 8 Векторы а, а,,а называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k, k,, k, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, те k k k Если же равенство возможно только при всех k, векторы называются линейно независимыми Замечание Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима Замечание Если среди векторов какие-либо - линейно зависимы, то и все векторов линейно зависимы Замечание Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность Определение 9 Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях Замечание Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность Замечание Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы Определение Два линейно независимых вектора на плоскости или три линейно независимых вектора в пространстве образуют базис, если любой вектор плоскости пространства может быть представлен в виде их линейной комбинации Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе: если,, базис и k m p, то числа k, m, p есть координаты вектора в базисе,, Свойства базиса: Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора базис в пространстве PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

25 Разложение данного вектора по данному базису единственно, те его координаты в данном базисе определяются единственным образом При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число Определение Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А / В / оси u, где А / и В / - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u Обозначение: пр u а Свойства проекции: Пр u osφ, где φ угол между а и осью u При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число Замечание Свойства и назовем линейными свойствами проекции Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора,, k Тогда любой вектор может быть представлен в виде их линейной комбинации: Y Zk Определение Числа, Y, Z называются декартовыми координатами вектора Замечание Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат Определение Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами Свойства направляющих косинусов: osα, Y osβ, Z osγ Y osα, os β, Y Z Y Z os α os β os γ Z osγ Y Z Скалярное произведение векторов Определение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: osφ Обозначения скалярного произведения:,, Свойства скалярного произведения: пр а Доказательство По свойству проекции пр а osφ, следовательно, пр а PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

26 k k 6, где а называется скалярным квадратом вектора а 7 Если векторы а и определены своими декартовыми координатами {, Y, Z }, {, Y, Z }, то Y Y Z Z 6 Доказательство Используя формулу, получим: Y Z k Y Z k Используя свойства и, раскроем скобки в правой части полученного равенства: Y Y Z Z kk Y Z k Y Y Z k Z k Z Y k Но kk по свойству 6, k k k k по свойству, поэтому Y Y Z Z 8 osφ Y Z Y Y Z Z Y Z 6 Замечание Свойства,, доказываются из определения, свойства, 6 из свойств проекции, свойство 8 из свойства 7 и свойств направляющих косинусов Пример {, -, }, {,, } Найдем скалярное произведение векторов а и : - Следовательно, векторы а и ортогональны Лекция 6 Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл Координатное выражение векторного и смешанного произведения Условия коллинеарности и компланарности векторов Будем называть три вектора а,,, для которых определен порядок следования, тройкой или упорядоченной тройкой векторов Определение 6 Тройка некомпланарных векторов называется правой левой, если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и, откуда кратчайший поворот от а к кажется совершающимся против часовой стрелки по часовой стрелке с с правая тройка левая тройка Замечание В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, те системы, базисные векторы которых образуют правую тройку Векторное произведение векторов Определение 6 Вектор с называется векторным произведением векторов а и, если: sφ, где φ угол между а и, PDF rete wth FePrt pfftory trl verso 6

27 Тройка векторов является правой Обозначения векторного произведения: [], Свойства векторного произведения [] - [] Доказательство Вектор -с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами и а правую тройку векторов [] Доказательство Из первого пункта определения 6 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sφ, что соответствует коллинеарности векторов а и Модуль векторного произведения [] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Доказательство следует из первого пункта определения 6 Определение 6 Орт е а произвольного вектора а это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный е а, е а Cледствие из свойства [] Se, где е орт вектора [] [k] k[] [ ] [] [] 6 Если в декартовой системе координат {, Y, Z }, {, Y, Z }, то k Y Z Z Y [],, Y Z Y Z Z Y Y Z Доказательство Представим векторы а и в виде: Y Z k, Y Z k Отметим, что [] k, [k], [k], [] [] [kk] Тогда с использованием свойств и получим: [ Y Z k Y Z k] Y Z Y Z Z Z Y Y k, что доказывает свойство 6 Пример Вычислим векторное произведение векторов а {, -, } и {,, } [],, {-, -, 9} Смешанное произведение векторов Определение 6 Смешанным произведением векторов а, и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [] на вектор с 7 PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

28 Обозначение: [] Свойства смешанного произведения Смешанное произведение [] равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах,,, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если левая тройка Если, и с компланарны, то [] Доказательство а Если, и с компланарны, то вектор [] ортогонален плоскости векторов а и, и, следовательно, [] Поэтому [] в Если,, не компланарны, [] [] S osφ, где φ угол между с и [] Тогда ± osφ высота рассматриваемого параллелепипеда Таким образом, [] ± V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [] Утверждение доказано Следствие [] [] Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : Если {, Y, Z }, {, Y, Z }, {, Y, Z }, то Y Y Y Z Z Z Доказательство Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем: [] Y Z Y Z Z Z Y Y Y Z Y Y Y Z Z Z Пример Найдем смешанное произведение векторов {-,, -}, {,, }, {-,, -} Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:, следовательно, векторы компланарны Пример Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А, -, -, В,,, С,, - и D, -, 8 PDF rete wth FePrt pfftory trl verso

29 Отметим, что объем пирамиды BCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах B, C и D Найдем координаты этих векторов: B {,6,}, C {,,-}, D {,,} Тогда B C D 8 Cледовательно, объем пирамиды равен 8: PDF rete wth FePrt pfftory trl verso


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее