Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград

2 Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных уравнений Матрицы Основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица чисел A m m m состоящая из m строк и столбцов или сокращенно А ( ij ) i m; j Числа а ij называются элементами матрицы Первый индекс i указывает номер строки второй индекс j номер столбца на пересечении которых находится данный элемент Таким образом элемент стоит на пересечении -й строки и -го столбца Отметим частные случаи прямоугольных матриц Если m любое мы имеем однострочную матрицу которую называют матрицей-строкой Если m любое мы имеем одностолбцовую матрицу которую называют матрицей-столбцом Матрица состоящая из одного числа (m ) отождествляется с этим же числом Матрица все элементы которой равны нулю называется нульматрицей и обозначается O Если число строк равно числу столбцов (m ) то такую матрицу называют квадратной причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами те а а а образуют главную диагональ а элементы а побочную

3 Матрица вида называется диагональной Особую роль в матричном исчислении играет единичная матрица Это квадратная матрица следующего вида: E Элементы главной диагонали равны единице а все остальные нулевые Позднее мы увидим что единичная матрица Е и нулевая О играют в матричном исчислении такую же роль как числа и в операциях над числами Действия над матрицами Две матрицы А и В называются равными (А В) если они имеют одинаковые размерности (то есть одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны Так если A и B то А В если а а а а а а Сложение матриц Суммой двух матриц А и В одной и той же размерности m называется матрица С той же размерности элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В Так если

4 A и B то C Пример Из определения операции сложения матриц вытекают следующие свойства: ) АВ ВА; ) А (ВС) (АВ) С; ) АО ОА А (размерность нулевой матрицы должна совпадать с размерностью матрицы А) Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число λ называется новая матрица В λ А той же размерности элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А По определению полагаем что λааλ Пример Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства (α β числа; А В матрицы): ) А А; ) А ; ) α(βа) (αβ)а; ) (αβ)а αаβа; ) α(ав) αаαв;

5 Замечание: разность двух матриц одинаковой размерности можно определить используя операции сложения и умножения матрицы на число А () В АВ Пример Пусть A а λ некоторое число Тогда λ A λe λ λ λ Умножение матриц Две матрицы можно умножить друг на друга только тогда когда число столбцов матрицы стоящей первым сомножителем равно числу строк матрицы стоящей вторым сомножителем Таким образом матрицу размерности m можно умножить на матрицу размерности только k Пусть даны две матрицы А (m ) и В ( k) Под произведением АВ принимается по определению матрица С (m k) элементы с ij которой определяются следующим образом: ij p c ip pj i j i m; j k Как видим элемент i-й строки и j-го столбца матрицыпроизведения равен сумме произведений элементов i-й строки первого сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второго сомножителя Матрица-произведение имеет столько строк сколько их у первого множителя и столько столбцов сколько их у второго множителя Примеры A B i j i j

6 Произведение АВ не имеет смысла в то же время произведение ВА можно найти: BA B A Для данных матриц возможны оба произведения: ) ( ) ( AB BA Матрицы АВ и ВА не только не равны но даже имеют разные размерности Перестановочный (коммутативный) закон при умножении матриц не выполняется т е АВ ВА В отдельных случаях умножение может быть коммутативно тогда матрицы называются перестановочными Особую роль при умножении матриц играет единичная матрица Е она выполняет роль подобно числу при умножении чисел Легко проверить что при умножении квадратной матрицы А на Е матрица А не изменится и что только матрица Е обладает этим свойством (единица одна!) причем АЕЕАА Таким образом единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей той же размерности Произведение чисел может равняться только в том случае когда хотя бы одно из них равно однако произведение матриц не наследует это свойство Более того возможно что А А хотя А не совпадает с О-матрицей Например если A A A то

7 Или еще пример A O B O AB O Легко проверить что операция умножения матриц имеет следующие свойства (АВС матрицы α число): ) (АВ)С А(ВС) ассоциативный закон умножения матриц; ) α(ав) (αа)в; ) (АВ) АСВС дистрибутивный закон умножения матриц по отношению к сложению; ) С(АВ) САСВ С введением операции умножения матриц появилась возможность рассматривать возведение квадратной матрицы в степень Возведение матрицы в степень Пусть дана квадратная матрица А Если натуральное число то под А понимают произведение одинаковых сомножителей каждый из которых равен А т е A A A A Примеры A тогда A Найдем А и А если A Имеем A E; A AA EA A Далее A A A EE E Вообще для данной матрицы

8 A E если четно A если нечетно Для степеней матрицы с натуральными показателями справедливы обычные правила: ) полагают А Е; ) А А m А m ; ) ( A ) m A m Транспонирование матриц Пусть дана матрица А размерности m Поменяем в ней местами строки и столбцы: на место первой строки поставим первый столбец на место второй строки поставим второй столбец и т д Обозначим эту новую матрицу А Т Итак A m m m A T m m m Матрица А Т называется транспонированной к матрице А она имеет размерность m Например если

9 A то A T Если А вектор-строка А( ) то А Т вектор-столбец Для элементов транспонированной матрицы имеем T ij а ji i ; j m Если А квадратная матрица то А Т квадратная матрица того же порядка Если квадратная матрица не изменилась после транспонирования т е А Т А то А называется симметрической матрицей Например матрица A является симметрической У каждой такой матрицы элементы симметричные относительно главной диагонали равны между собой Размерности матриц А и А Т таковы что произведения А А Т и А Т А определены Пример Пусть A тогда A T A A A A T T

10 Определители и способы их вычисления Для квадратной матрицы вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы Определитель квадратной матрицы это число которое ей сопоставляется и может быть вычислено по ее элементам в соответствии с определенными правилами Определитель матрицы А обозначается (deta A ) или если нужно выписать элементы матрицы прямыми чертами по бокам этой матрицы m m m Определителем матрицы -го порядка (т е матрицы состоящей из одного элемента одного числа) называется само число составляющее заданную матрицу: Определителем матрицы -го порядка называется число вычисляемое по правилу т е из произведения элементов стоящих на главной диагонали вычитается произведение элементов стоящих на побочной диагонали Пример ( ) Определителем -го порядка соответствующим матрице А называется число вычисляемое следующим образом:

11 Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком плюс а какие со знаком минус полезно следующее правило называемое правилом треугольника: Пример ( ) ( ) ( ) ( ) Легко проверяются следующие свойства определителей Величина определителя: не изменится если матрицу А транспонировать т е deta deta T ; не изменится если к элементам какой-либо его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца) умноженные на одно и тоже число; меняет знак на противоположный если поменять местами любые две его строки (или два столбца); увеличится в k раз если элементы какой-либо его строки (или столбца) умножить на k т е общий множитель имеющийся в строке (или столбце) можно выносить за знак определителя; равна нулю если элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю; равна нулю если элементы каких-либо двух строк (или столбцов) соответственно равны Минором какого-либо элемента определителя называется определитель полученный из данного вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится этот элемент Например минором элемента а определителя -го порядка является определитель

12 -го порядка M ij Минор элемента а ij обозначается через Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор взятый со знаком () ij Алгебраическое дополнение элемента а ij обозначается А ij Следовательно А ij () ij M ij Например А () M Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения Это свойство определителя называется разложением определителя по элементам строки (или столбца) Для определителя -го порядка имеют место следующие разложения: A A A ; A A A ; A A A ; A A A ; A A A ; A A A Свойство разложения определителя по элементам строки (или столбца) допускает обобщение которое может быть принято за определение определителя любого порядка Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю Например A A A Если А и В квадратные матрицы одного и того же порядка с определителями deta и detв то определитель матрицы САВ равен произведению определителей перемножаемых матриц т е detс deta detв В общем случае определителем -го порядка соответствующим квадратной матрице -го порядка A m m m

13 называется число равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения Пример Вычислить определитель при помощи разложения его по элементам первой строки Решение ) ( ) ( Если в определителе все элементы какой-либо строки (или столбца) кроме одного равны нулю то при вычислении определителя выгодно разложить его по элементам именно этой строки (столбца) Если же такой строки (столбца) нет то используя свойство определителя его можно преобразовать так чтобы он имел такую строку (столбец) Пример ) ( ( ) ( ) Заметим что определители любого порядка обладают вышеуказанными свойствами

14 Для вычисления определителей -го порядка иногда оказывается полезной формула позволяющая свести определитель -го порядка к определителям ()-го порядка элементы которого выражены как миноры второго порядка: Предполагается что а Если же а то перестановкой строк и столбцов всегда можно из данного определителя получить такой в котором а Пример Вычислить определитель Решение

15 ( ) Обратная матрица Рассмотрим теперь так называемую обратную матрицу понятие которой вводится только для квадратной матрицы

16 Если А квадратная матрица то обратной матрицей для нее называется матрица обозначаемая А и удовлетворяющая условиям А А Е А АЕ где Е единичная матрица Примечание Из этого определения следует что если матрица А является обратной для А то и А будет обратной для А Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной) если ее определитель отличен от нуля В противном случае матрица А называется вырожденной Для каждой невырожденной матрицы можно найти обратную A A A A A A Матрица A A A A где определитель матрицы А А ij алгебраические дополнения элемента а ij является обратной для невырожденной матрицы A Для того чтобы построить обратную матрицу для квадратной невырожденной матрицы А необходимо сначала построить транспонированную матрицу А Т а затем каждый элемент матрицы А Т заменить его алгебраическим дополнением деленным на Пример Найти матрицу обратную матрице A Решение Так как то обратная матрица существует

17 Вычисляем алгебраические дополнения: ; ) ( A ; ) ( A ; ) ( A ; ) ( A ; ) ( A ; ) ( A ) ( A ; ) ( A ; ) ( A Cоставляем так называемую присоединенную матрицу состоящую из алгебраических дополнений элементов присоединенной матрицы A ~ И наконец поделив каждый элемент присоединенной матрицы A ~ на величину определителя получим обратную матрицу A Чтобы убедиться в правильности вычислений найдем произведение АА должна получиться единичная матрица AA

18 E Матричный способ решения систем линейных уравнений Правило Крамера Покажем каким образом мы можем использовать матричный аппарат для решения систем линейных уравнений Пусть дана система из линейных уравнений с неизвестными : Числа а ij называются коэффициентами системы а числа ij свободными членами Система линейных уравнений называется однородной если в противном случае (если хотя бы одно из чисел ij ) система называется неоднородной Матрица

19 A называется матрицей системы а ее определитель определителем системы Решением системы называется совокупность чисел λ λ λ которые обращают все уравнения системы в тождества Система имеющая хотя бы одно решение называется совместной Система не имеющая решений называется несовместной Пусть deta Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через Х и матрицустолбец из свободных членов через В: X B Согласно правилу умножения матриц имеем: AX Используя определение равенства матриц данную систему можно записать следующим образом: АХВ

20 Записанное равенство называется матричным равнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица Х) Так как по условию deta то для матрицы А существует обратная матрица А Умножим обе части матричного уравнения слева на А : А (АХ)А В Используя сочетательный закон умножения матриц можно написать (А А)ХА В Но так как А АЕ и ЕХХ то получаем решение матричного уравнения в виде ХА В Замечание Если при решении матричного уравнения обе части умножить на А справа то решение будет найдено не верно Домножение справа применяется при решении матричных уравнений вида ХА В где Х неизвестное А и В данные матрицы Пример Решить матричным способом систему линейных уравнений Решение В матричной форме эта система запишется в виде АХВ Здесь A X B Так как значит существует обратная матрица А которая имеет вид

21 Находим искомое решение A X A B То есть х х х Проверка: ( ) ( ) ( ) верно Решение системы линейных уравнений с неизвестными удобно записывать и вычислять также с помощью определителей Из равенства ХА В согласно правилу умножения матриц имеем: X A A A A A A A A A где Заметим что A A A Обозначим этот определитель Аналогично определим

22 A A A A A A Каждый определитель i получается из определителя системы заменой его i-го столбца столбцом свободных членов Таким образом матрица-столбец неизвестных принимает вид X

23 то есть Полученные формулы называются формулами Крамера а правило для нахождения решения систем линейных уравнений с помощью формул Крамера называется соответственно правилом Крамера Пример Решить систему уравнений по правилу Крамера Решение Вычислим определители Имеем Применяя формулы Крамера получим

24 Тема Ранг матрицы Решение произвольных систем линейных уравнений Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы Пусть в матрице А размерности m выбраны произвольно k строк и k столбцов ( k m{m}) Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы (обозначается rga) Любой минор порядка r отличный от нуля называется базисным минором Ранг является важной характеристикой матрицы Пример Вычислить ранг матрицы A Решение Рассмотрим минор получаемый в результате отбрасывания первого столбца данной матрицы (k ) Так как выбранный минор -го порядка отличен от нуля то rga Задача нахождения ранга матрицы непосредственно пользуясь определением требует как правило вычисления большого количества определителей Для удобства нахождения ранга матрицы используют метод элементарных преобразований основанный на том что ранг матрицы при этом не меняется К элементарным преобразованиям относят следующие: две строки матрицы можно поменять местами при этом остальные строки остаются на своих местах;

25 все элементы некоторой строки матрицы можно умножить или разделить на некоторое действительное число отличное от нуля; к элементам какой-либо сроки матрицы можно прибавить соответствующие элементы другой строки умноженные на некоторое действительное число Будем считать что строки матрицы А линейно зависимы если хотя бы одна из них линейно выражается через другие Если строки матрицы линейно зависимы то в результате элементарных преобразований в матрице появляются строки состоящие из одних нулей так называемые нулевые строки Можно показать что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк т е максимальному числу ненулевых строк Пример Вычислить ранг матрицы А используя метод элементарных преобразований A Решение Поменяем местами первую и третью строки получим матрицу Прибавим ко второй строке полученной матрицы первую строку умноженную на число Результат запишем на месте второй строки -я и -я строки не меняются Получим матрицу Аналогично прибавим к третьей строке первую умноженную на причем первую и вторую строки не меняем:

26 Прибавив к третьей строке полученной матрицы вторую строку умноженную на число получим матрицу В приведенную к ступенчатому виду: В Определить ступенчатую матрицу можно так: если в i-й строке левее элемента а ij стоят только нули то и ниже этого элемента в j-ом столбце стоят только нули Метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса Запись А~В (А эквивалентно В) означает что матрица В получена из матрицы А элементарными преобразованиями Матрица В остается матрицей того же порядка что и матрица А Так как А~В и число ненулевых строк матрицы В равно трем то rga rgb Если у ступенчатой матрицы есть нулевые строки то они находятся внизу Пример ~ ~ ~ ~ Здесь ранг матрицы равен по числу получившихся ненулевых строк Каждую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду

27 Последовательность элементарных преобразований приводящих матрицу А к ступенчатому виду и сам ступенчатый вид В определены вообще говоря неоднозначно Однако число ненулевых строк не зависит от способа приведения исходной матрицы к ступенчатому виду Решение произвольных систем Пусть дана система m линейных уравнений с неизвестными в общем виде: () m m m m Заметим сразу что число уравнений m вообще говоря не обязательно совпадает с числом неизвестных Матрица A m состоящая из коэффициентов при неизвестных в системе () называется матрицей системы Вектор X это вектор-столбец неизвестных данной системы Вектор B свободный вектор Матрица m m

28 m m m m A называется расширенной матрицей системы Ответ на вопрос о совместности системы () дает следующая важная теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы т е rga rga Таким образом если rga rga то система несовместна и вопрос о ее решении не имеет смысла Пример Исследовать совместность системы Имеем A A Приведем расширенную матрицу A методом Гаусса к ступенчатому виду: ~ ~ ~

29 Ранг расширенной матрицы равен Заметим что и нерасширенная матрица (до вертикальной черты) одновременно тоже приведена к ступенчатому виду но ее ранг равен Выпишем соответствующую систему уравнений: Видно что не существует таких чисел х х х х чтобы последнее уравнение выполнялось а значит система несовместна Пусть теперь rga rga т е система имеет хотя бы одно решение В этом случае число r ( r mi{m}) равное рангу матриц А и A называется рангом совместной системы () Без ограничения общности можно считать что первые r строк матрицы А ненулевые Тогда первые r строк расширенной матрицы В также будут линейно независимы Это в свою очередь означает что первые r уравнений системы () независимы а остальные mr уравнений являются следствиями первых r уравнений то есть для решения системы достаточно решить систему из первых r уравнений: () r r r r Решение этой системы автоматически будет удовлетворять и остальным mr уравнениям Возможны два случая: r и r < Если r то определитель матрицы системы ()

30 отличен от нуля Следовательно по правилу Крамера система имеет единственное решение При r < возьмем первые r уравнений системы () и перенесем в каждом из уравнений системы () в правую часть все члены с неизвестными r r (назовем их свободными или неосновными) и выберем для этих неизвестных некоторые значения с с с -r В результате получим систему r уравнений r r r r r rr r r r r r c c r c c r r c c относительно r неизвестных r (назовем их базисными или основными) К этой системе применительно правило Крамера и поэтому она обладает единственным решением Так как значения с с с -r для неизвестных r r можно выбирать произвольно то система () а значит и система () имеет бесконечное множество различных решений Окончательно вектор-столбец r r r r r c c c c c c c c c ) ( ) ( ) ( X определяет общее решение системы () Придавая с с с -r конкретные числовые значения получим частное решение системы ()

31 Пример Исследовать совместность и найти общее решение системы Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Выпишем соответствующую систему уравнений: Так как уравнений три а неизвестных четыре то выберем в качестве основных переменных например х х х в качестве

32 неосновной переменную х неизвестные: Полагая х с выразим основные c c c Окончательно c c c c общее решение системы где c ( ) Укажем некоторые частные решения: пусть с тогда ; пусть с тогда Однородные системы линейных уравнений Общее решение однородной и неоднородной системы Система линейных уравнений называется однородной если свободные члены во всех ее уравнениях равны нулю: m m m в противном случае система называется неоднородной Однородная система всегда совместна так как имеет например тривиальное (нулевое) решение: Для существования нетривиального (ненулевого) решения однородной системы необходимо и достаточно чтобы r rga < (при m это условие означает что deta) Общие решения таких систем можно найти способом изложенным в m

33 Чтобы получить общее решение неоднородной системы нужно к общему решению соответствующей однородной системы прибавить некоторое частное решение неоднородной Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса Метод Жордана-Гаусса является эффективным методом решения систем линейных уравнений высокого порядка: m m m m и состоит из прямого и обратного хода Прямой ход метода приведение расширенной матрицы системы (с помощью элементарных преобразований над строками) к ступенчатому виду ' ' ' ' r ' r ' r ' r ' r ' r ' r r ' ' ' r ' ' ' r ' r ' m ' Если хотя бы одно из чисел r m отлично от нуля то ' система несовместна Если же r m ' то система совместна причем если r то система имеет единственное решение ' ' ' ; если r< то система имеет бесконечно множество решений Дальнейшее решение осуществляется с помощью обратного хода '

34 Обратный ход метода Жордана-Гаусса приведение ступенчатой матрицы (с помощью элементарных преобразований над строками) к виду '' r '' r '' r r '' '' '' r '' '' '' r (здесь нулевые строки отброшены) Система линейных уравнений соответствующая полученной матрице имеет вид '' r r '' '' '' r r '' '' '' r r r r r r Отсюда приняв переменные r за базисные и придавая неосновным переменным r r значения с с с -r получим общее решение '' ''

35 '' '' '' '' '' '' '' '' '' r r r r r r r r r r r r c c c c c c c c Придавая произвольным постоянным с с с -r конкретные числовые значения можно получить частные решения системы Примеры Методом Жордана-Гаусса найти общее решение системы Решение Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем ~ ~ ~ Данная система несовместна

36 Решение A ~ ~ ~ ~ Соответствующая система имеет вид Считая базисными неизвестными а свободными ( с с ) получаем общее решение в виде

37 c c c c c c Придавая с с определенные числовые значения можно найти частное решение системы Например: при с с имеем х х х х ; при с с получаем х х х х

38 УПРАЖНЕНИЯ К ТЕМЕ Задание Найти матрицу С C C C C - C C C

39 C C C C C C C C

40 C C C C C C C C

41 C C Задание Найти значение матричной функции f(a) f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A

42 f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A f() если A

43 Задание Решить матричные уравнения и проверить правильность решения подстановкой: а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ;

44 а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ;

45 а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ;

46 а) X ) X ; а) X ) X ; а) X ) X ; Задание Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера

47

48 УПРАЖНЕНИЯ К ТЕМЕ Задание Исследуйте и найдите решение следующих систем линейных уравнений: а) ) c) а) )

49 c) а) ) c) а) )

50 c) а) ) c) а) ) c)

51 а) ) c) а) ) c)

52 а) ) c) а) ) c)

53 а) ) c) а) ) c)

54 а) ) c) а) ) c)

55 а) ) c) а) ) c) а)

56 ) c) а) ) c) а)

57 ) c) а) ) c) а) )

58 c) а) ) c) а) )

59 c) а) ) c) а) ) c)

60 ЛИТЕРАТУРА Беклемишев ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры-м: Наука Бугров ЯС Никольский СМ Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии- М: Наука Гельфанд ИМ Лекции по линейной алгебре- М: Наука Проскуряков ИВ Сборник задач по линейной алгебре- М: Высшая школа

61 ОГЛАВЛЕНИЕ Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных уравнений Матрицы Основные понятия Действия над матрицами Определители и способы их вычисления Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных уравнений Правило Крамера Тема Ранг матрицы Решение произвольных систем линейных уравнений Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы Решение произвольных систем Однородные системы линейных уравнений Общее решение однородной и неоднородной системы Метод последовательных исключений Жордана- Гаусса Упражнения к теме Упражнения к теме Литература


И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее