I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,"

Транскрипт

1 I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение. Докажем, что функция R() разрывна в каждой рациональной точке. Пусть 0 некоторое рациональное число. Тогда R( 0 ) 0. В любой окрестности рационального числа 0 есть иррациональные числа. Значит, для каждого =,, найдётся иррациональное число такое, что 0 <. Тогда последовательность { } сходится к 0, но последовательность {R( )} не сходится к R( 0 ), поскольку R( ) = 0, а R( 0 ) 0. Отсюда следует (в силу определения предела функции по Гейне), что предел функции R() при 0 не равен R( 0 ), а значит, функция R() разрывна в точке 0, ч.т.д. Докажем, что функция R() непререрывна в каждой иррациональной точке. Пусть 0 некоторое иррациональное число. Тогда R( 0 ) = 0. Надо доказать, что для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого ( 0 δ, 0 + δ) выполняется R() R( 0 ) < ε. Рассмотрим произвольное ε > 0. Положим δ = mi {δ,, δ [ ε ]}, где δ расстояние от точки 0 до ближайшего целого числа, δ расстояние от точки 0 до ближайшего числа вида m, где m Z, δ 3 расстояние от точки 0 до ближайшего числа вида m 3, где m Z, и т.д. Тогда в -окрестности точки 0 не будет ни одного рационального числа вида m, где дробь m несократима, m Z, N и [ ]. Это значит, что в δ-окрестности точки ε ε 0 есть рациональные числа только вида = m, где > ε. В этих точках значение функции R() равно < ε, значение функции R( 0 ) равно 0, поэтому неравенство R() R( 0 ) < ε выполняется для всех рациональных из δ-окрестности точки 0. Для иррациональных оно тоже выполняется, т.к. в этом случае R() = R( 0 ) = 0. Значит, функция R() непрерывна в точке 0, ч.т.д.

2 I курс, задача. Пусть вещественнозначная функция каждой точке интервала (, ). Может ли её производная ab f() f( ) дифференцируема в на этом интервале иметь точку устранимого разрыва; разрыва первого рода; разрыва второго рода? Ответ обоснуйте. Решение. Рассмотрим произвольное 0 (a, b). Пусть существует lim 0 +0 f () = b. Докажем, что тогда b = f ( 0 ). В самом деле, если взять точку, лежащую на интервале (a, b) правее точки 0, то по теореме Лагранжа, справедливой для дифференцируемой на сегменте [ 0, ] функции f(), существует точка ξ ( 0, ) такая, что f() f( 0 ) = f (ξ)( 0 ). Тогда f() f( 0 ) lim = lim ξ ( 0,) f (ξ) = С другой стороны, указанный предел lim ξ 0 +0 f (ξ) = b. f() f( lim 0 ) по определению является правой производной функции f() в точке 0, и поскольку существует обычная производная f ( 0 ), то и правая производная функции f() в точке 0 равна f ( 0 ). Таким образом, мы доказали, что если существует lim 0 +0 f (), то этот предел равен f ( 0 ). Аналогично доказывается, если существует lim 0 0 f (), то этот предел тоже равен f ( 0 ). Предположим, что функция f () имеет в точке 0 устранимый разрыв. Это означает, что существуют односторонние пределы lim 0 +0 f () и lim 0 0 f () они равны друг другу, но не равны f ( 0 ). Выше мы доказали, что это невозможно, потому что оба этих предела равны f ( 0 ). Предположим, что функция f () имеет в точке 0 разрыв первого рода. Это означает, что существуют односторонние пределы lim 0 +0 f () и lim 0 0 f () но они не равны друг другу. Выше мы доказали, что это невозможно, потому что оба указанных предела равны f ( 0 ). Таким образом, функция f () не может иметь устранимый разрыв или разрыв первого рода в точке 0. Разрыв второго рода функция f () в точке 0 может иметь. Например, пусть f() = { si при 0, 0 при = 0. Тогда

3 f () = si cos при 0, f(δ) f f(0) (0) = lim = lim (Δ si Δ 0 Δ Δ 0 Δ ) = 0, так как функция si Δ ограниченная, а функция Δ бесконечно малая при Δ 0. Значит, функция f() дифференцируема на всей вещественной оси. Докажем, что односторонний предел lim +0 f () = lim ( si +0 cos ) не существует. Это вытекает из следующих трёх утверждений. Утверждение. lim ( si ) = 0. Доказано выше. 0 Утверждение. lim cos не существует. В самом деле, рассмотрим две числовые +0 последовательности, сходящиеся к 0 справа: () = и () π =. Имеем: π+π lim cos () =, lim cos () =. Тогда, согласно определению предела функции по Гейне, предел lim cos +0 существует, ч.т.д. Утверждение 3. Пусть функция u() имеет в точке a предел справа, а предел функции v() в точке a справа не существует. Тогда предел функции u() v() в точке a справа не существует. Доказательство. От противного. Пусть существует предел функции u() v() в точке a справа. Предел справа функции u() в точке a существует по условию леммы. Тогда функция u() (u() v()) имеет предел в точке a справа согласно теореме о пределе разности двух функции. Но эта функция равна v(), а предел v() в точке a справа не существует по условию леммы. Полученное противоречие доказывает, что предел функции u() v() в точке a справа не существует, ч.т.д. Аналогично можно доказать, что предел слева функции f () в точке 0 не существует. Если односторонние пределы функции f () в точке 0 не существуют, то функция f () имеет разрыв второго рода в этой точке, ч.т.д. Ответ: функция f () не может иметь точку устранимого разрыва или разрыва первого рода, но точку разрыва второго рода она может иметь. не

4 I курс, задача 3. Докажите, что если вещественнозначная функция дифференцируема на некотором интервале (, ) и для любых, y ( a, a) таких, что y( a, a), верно равенство C, что f ( ) C f ( ) a a на интервале (, ). f() f ( ) f ( y) f ( y), то найдётся такое число f ( ) f ( y) a a Решение. В равенстве f( + y) = f()+f(y) f()f(y) f(0) = 0. положим = y = 0, тогда получим Запишем определение производной функции f() в точке ( a, a): f f( + Δ) f() () = lim. Δ 0 Δ Подставив сюда выражение f( + Δ) = f()+f(δ), справедливое при + Δ f()f(δ) ( a, a), получим f() + f(δ) f f()f(δ) f() f(δ)( + f ()) () = lim = lim Δ 0 Δ Δ 0 Δ( f()f(δ)) = f(δ) f(0) + f () = lim ( Δ 0 Δ f()f(δ) ) = f (0) ( + f ()), откуда следует выполнение равенства f () = C ( + f ()) на интервале ( a, a) при C = f (0), ч.т.д.

5 I курс, задача 4. Может ли вещественнозначная функция вещественной переменной быть дифференцируемой ровно в одной точке своей области определения? Ответ обоснуйте. Решение. Да, может. Например, функция f() = {, если рационально, 0, если иррационально, определена на всей вещественной оси. Докажем, что она дифференцируема только в точке 0. Сначала докажем, что функция f() разрывна во всех точках, кроме 0, поэтому не может быть дифференцируемой в этих точках. Рассмотрим произвольное иррациональное число 0. Тогда f( 0 ) = 0. В любой окрестности иррационального числа 0 есть рациональные числа. Значит, для каждого =,, найдётся рациональное число такое, что 0 <. Тогда последовательность { } сходится к 0, а последовательность {f( )} сходится к 0 0. Согласно определению предела функции по Гейне, это означает, что lim 0 f() f( 0 ) = 0, следовательно, функция f() разрывна в точке 0. Аналогично доказывается, что функция f() разрывна в каждой рациональной точке 0 0. Теперь докажем, что в точке 0 функция f() дифференцируема. Запишем определение производной в точке 0: f() f f(0) f() (0) = lim = lim Поскольку для любого 0 значение f() трёх функциях (или «о двух полицейских») получим, что f() f (0) = lim 0 = 0. заключено между 0 и, то по теореме о Итак, мы доказали, что функция f() дифференцируема в точке 0 и не дифференцируема в остальных точках, ч.т.д. Ответ: да.

6 I курс, задача 5. Пусть f() вещественнозначная дважды дифференцируемая функция, определённая на, и пусть f( ) 0 при всех f( ) cost, либо функция Решение. f() не ограничена на. Первый способ. Если f () 0, то f() = cost.. Докажите, что либо Если f () 0, то найдётся такая точка 0, что f ( 0 ) 0. Для определённости, пусть f ( 0 ) > 0. Поскольку f () 0, то функция f () является неубывающей, значит, при всех > 0 выполняется f () f ( 0 ). Теперь рассмотрим произвольное > 0. Поскольку функция f() дифференцируема на отрезке [, 0 ], то согласно теореме Лагранжа найдётся такое ξ (, 0 ), что f() f( 0 ) = f (ξ) ( 0 ). Поскольку f (ξ) f ( 0 ), то имеем оценку f() f( 0 ) f ( 0 ) ( 0 ), которую можно переписать в виде f() f ( 0 ) + f( 0 ) f ( 0 ) 0. При + функция, стоящая в правой части неравенства, неограниченно возрастает. Значит, и функция f() неограниченно возрастает. Аналогично доказывается, что f() является неограниченной при f ( 0 ) < 0, ч.т.д. Второй способ. Если на всей вещественной оси f () 0, то график функции y = f() направлен выпуклостью вниз. Это означает, что он лежит не ниже любой своей касательной. Если функция f() не равна константе, то найдётся точка 0, в которой f ( 0 ) 0, тогда касательная к графику функции y = f() в точке 0 является прямой, не параллельной оси абсцисс. Уравнение этой касательной y = k + b, где k = f ( 0 ) 0. Таким образом, для всех вещественных справедливо неравенство f() k + b. Заметим, что выражение, стоящее в правой части этого неравенства, неограниченно возрастает либо при +, либо при, в зависимости от знака k. Значит, функция f() тоже не ограничена, ч.т.д.

7 I курс, задача 6. На плоскости задан многоугольник и ненулевой вектор. Докажите, что существует прямая, параллельная данному вектору и делящая многоугольник на две части одинаковой площади. y y 0 + Δy y 0 O ΔS S(y 0 ) Решение. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы ось O была параллельна данному вектору. Будем проводить различные прямые, параллельные оси O. Обозначим через S(y 0 ) площадь той части многоугольника, которая лежит ниже прямой y = y 0. Докажем, что функция S(y 0 ) является непрерывной во всех вещественных точках. Заметим, что S(y 0 + Δy) S(y 0 ) = ΔS площадь той части многоугольника, которая заключена между прямыми y = y 0 и y = y 0 + Δy. Многоугольник является ограниченной областью, поэтому он содержится внутри некоторого прямоугольника a a, b y b. Поэтому 0 ΔS (a a ) Δy. Отсюда по теореме о трёх функциях (или «о двух полицейских») следует, что ΔS 0 при Δy 0, поэтому функция S(y 0 ) является непрерывной в точке y 0. Непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения. При достаточно малом y весь многоугольник будет лежать выше прямой y = y, поэтому S(y ) = 0. При достаточно большом y весь многоугольник будет лежать ниже прямой y = y, поэтому S(y ) = S 0 площадь всего многоугольника. Следовательно, найдётся такое y 3 [y, y ], что S(y 3 ) = S 0 /. Таким образом, прямая y = y 3 делит многоугольник на две части одинаковой площади, ч.т.д.

8 II курс, задача. Поверхность уравнением задана в прямоугольных координатах z y y z. Найдите координаты точек поверхности, в z которых координата принимает наибольшее и наименьшее значения. Найдите уравнение границы проекции поверхности на плоскость Oy. Решение. Запишем уравнение поверхности Φ : z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6. () Заметим, что выражение, стоящее в правой части уравнения (), неотрицательно. Значит, и выражение, стоящее в его левой части, неотрицательно. Поэтому z 0, т.е. вся поверхность Φ расположена в верхнем полупространстве. Значение z = 0 достигается при = y = 0, поэтому наименьшее значение z на поверхности Φ равно 0. Докажем, что поверхность Φ ограничена. Для этого перейдём к сферическим координатам: = r si θ cos φ, y = r si θ si φ, z = r cos θ. Уравнение поверхности () принимает вид r 5 cos θ si 4 θ (cos 4 φ + si 4 φ) = r 8 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ) + r 6 cos 6 θ. Отсюда либо r = 0, что соответствует точке (0; 0; 0), либо cos θ si 4 θ (cos 4 φ + si 4 φ) = r 3 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ) + r cos 6 θ. Выражение, стоящее в левой части полученного равенства, ограничено сверху (например, числом ). Значит, выражение, стоящее в правой его части, тоже ограничено сверху числом. В правой части стоит сумма двух неотрицательных слагаемых, поэтому каждое из них ограничено сверху числом : { r3 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ), r cos 6 θ. Функция cos 8 φ + si 8 φ непрерывна на отрезке [0; π], поэтому в силу второй теоремы Вейерштрасса она достигает на отрезке [0; π] своих точных граней. Заметим, что si φ и cos φ не могут одновременно обращаться в 0 в силу основного тригонометрического тождества si φ + cos φ =, поэтому точная нижняя грань функции cos 8 φ + si 8 φ на отрезке [0; π] является некоторым положительным числом m. Если si θ = 0, то = y = 0, и из уравнения () получим z = 0. Если cos θ = 0, то z = 0, и из уравнения () получим = y = 0. В остальных случаях имеем

9 r 3 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ), { r cos 6 θ. Предположим, что поверхность Φ не ограничена, т.е. r может принимать сколь угодно большие положительные значения. Тогда оба выражения, стоящих в правых частях неравенств (), тоже должны принимать сколь угодно большие значения. Но функция при si θ 0, а функция si 8 θ(cos 8 φ+si 8 φ) cos 6 θ () может неограниченно возрастать только может неограниченно возрастать только при cos θ 0. В силу основного тригонометрического тождества si θ + cos θ = функции si θ и cos θ не могут стремиться к 0 одновременно. Поэтому r не может принимать сколь угодно большие значения, и поверхность Φ ограничена. Следовательно, значения координаты z на поверхности Φ ограничены. Вектор нормали к гладкой поверхности, заданной неявно уравнением F(, y, z) = 0, равен N = {F, F y, F z }. Поэтому вектор нормали к поверхности Φ имеет вид N = { z, 8y 7 4y 3 z, 6z 5 4 y 4 }. Во всех точках поверхности Φ, кроме точки (0; 0; 0), вектор N существует и не является нулевым вектором, потому что система уравнений z = 0, 8y 7 4y 3 z = 0, 6z 5 4 y 4 = 0, { z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6 имеет единственное решение (0; 0; 0). В той точке поверхности Φ, в которой координата z принимает наибольшее значение, вектор нормали N параллелен оси Oz. Поэтому координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений z = 0, { 8y 7 4y 3 z = 0, z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6. Эта система уравнений имеет решения (0; 0; 0), (0; ; 3 8 ), (0; ; ), 3 8 ; ; 5/6 5/6 ( ; 0; ), ( ; 0; ), ( ; ; /6 5/6 4 ), ( ; ; 5/6 5/6 4 ), ( 4 ), ( ; ; 5 6 5/6 4 ). Наибольшее значение координаты z достигается в последних четырёх точках и равно 4.

10 Граница проекции поверхности Φ на плоскость Oy является проекцией тех точек поверхности Φ, в которых вектор N параллелен плоскости Oy. Координаты этих точек удовлетворяют системе уравнений { 6z5 4 y 4 = 0, z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6. Выразив из первого уравнения z и подставив во второе, получим уравнение кривой на плоскости Oy 5( 4 + y 4 ) 6 5 = ( 8 + y 8 ). Это и есть уравнение границы проекции поверхности Φ на плоскость Oy. Ответ. z mi = 0, z ma = 4, уравнение границы проекции поверхности Φ на плоскость Oy: 5( 4 + y 4 ) 6 5 = ( 8 + y 8 ).

11 II курс, задача. Следует ли из сходимости числового ряда a 3? Следует ли из сходимости числового ряда Ответы обоснуйте. (Здесь a вещественные числа.) Решение. Докажем, что из сходимости ряда a. В самом деле, ряд 3 расходится (гармонический ряд). a 3 a 3 a сходимость ряда сходимость ряда не следует сходимость ряда сходится (обобщённый гармонический ряд), а ряд a? Докажем, что из сходимости ряда Рассмотрим a = 3 cos π 3 a. В силу известного неравенства не следует сходимость ряда a 3. N cos = si при πk, k Z, получим N cos π 3 si π 3 = 3 ограничено. = Последовательность { 3 } монотонно убывает и сходится к 0. Тогда по признаку Дирихле ряд a сходится. С другой стороны, a 3 = Ряд (cos π 3 ) 3 = cos π + 3 cos π 3 4 = π cos 4 3. расходится (он пропорционален гармоническому ряду), ряд 4 3 cos сходится (по признаку Дирихле), поэтому ряд 4 3 силу следующего утверждения. 3 a расходится в Утверждение. Сумма сходящегося и расходящегося ряда является расходящимся рядом.

12 Доказательство. Пусть ряд ряд a сходится, а ряд ( a b) тоже расходится. От противного. Пусть ряд тогда разность двух сходящихся рядов (a + b ) a = (a + b a ) = b = = = = b расходится. Докажем, что ( a b) сходится, есть сходящийся ряд (по свойству разности рядов), а это противоречит условию, что ряд b расходится. Следовательно, ряд Ответ. В обоих случаях не следует. ( a b) не может сходиться, ч.т.д.

13 II курс, задача 3. Произведением двух числовых рядов 0 c 0 a и 0 b называется числовой ряд, где c akb k. Пусть f( ). Исходя из определения k0 0! произведения числовых рядов, докажите, что f ( ) f ( y) f ( y). Решение. Поскольку f( ),! 0 произведения рядов f ( ) f ( y) c, где 0 k0 k0 k0 y f( y), то согласно определению! k k y! k k k k k ( y) c y C y. k! ( k)!! k!( k)!!! Тогда ( y) f ( ) f ( y) f ( y), ч.т.д.! 0 Замечание. Доказанное равенство означает, что если определить функцию ep как сумму функционального ряда, то она будет обладать 0! характеристическим свойством экспоненты: ep ep y = ep( + y). 0

14 II курс, задача 4. Исследуйте сходимость ряда si( ) и интеграла 0 si( ) d. 0 Решение. Необходимым условием сходимости ряда si( ) является 0 lim 0 si( ) = 0. () Докажем, что оно не выполняется. От противного. Пусть условие () выполнено. Тогда и lim 0 si( + ) = 0. С другой стороны, si( + ) = si( + + ) = si( ) cos( + ) + cos( ) si( + ). Отсюда cos( ) si( + ) = si( + ) si( ) cos( + ). В силу основного тригонометрического тождества cos( ) = (si( )), и поскольку si( ) 0 при, то начиная с некоторого номера выполняется неравенство cos( ), откуда cos( ), и si( + ) = (si( + ) si( ) cos( + )) бесконечно малая Эта последовательность стремится к нулю. Тогда и lim si( + 3) = 0, lim Но поскольку si( + 3) si( ) = cos( + ) si, то cos( + ) = cos(. ) ограниченная si( ) = 0. () si( + 3) si( ). si С учётом () получим, что lim cos( + ) = 0. Но в силу основного тригонометрического тождества последовательности si( + ) и cos( + ) не могут стремиться к нулю одновременно. Полученное противоречие доказывает, что условие () выполняться не может, поэтому ряд Теперь докажем, что сходится интеграл si( ) деле, представим его в виде суммы двух интегралов: 0 si( ) расходится. 0 d (интеграл Френеля). В самом

15 si( ) d si( ) d si( ) d. 0 0 Первый из них существует как определённый интеграл от функции, непрерывной на отрезке [0; ]. Докажем сходимость второго. Представим подынтегральную функцию в виде произведения: si( ) = si( ). Функция si( ) имеет ограниченную на промежутке [; + ) первообразную cos( ). Функция монотонно убывает на промежутке [; + ) и стремится к нулю при +. Значит, интеграл Дирихле. Значит, и исходный интеграл Ответ. Ряд расходится, интеграл сходится. si( ) d сходится по признаку si( ) d сходится. 0

16 d. II курс, задача 5. Исследуйте сходимость интеграла ep si Решение. Докажем, что интеграл расходится. По определению несобственного интеграла ep si d lim ep si d. () A 0 0 A Пусть N наибольшее целое число такое, что πn A. В силу положительности подынтегральной функции справедливо неравенство A N ep si d ep si d. () 0 0 При N =,, имеем: N N ep si d ep si d. (3) 0 ( ) Рассмотрим интеграл ep si π t, тогда ( ) d. Сделаем в нём замену переменной = ep si d ep ( t) si tdt. (4) ( ) 0 Воспользовавшись неравенством si t t, справедливым для всех вещественных t, получим (π t) si t (π t) t (π) t, откуда ep ( t) si tdt ep( t ) dt. (5) 0 0 Сделав в последнем интеграле замену переменной πt = ξ, получим ep( t ) dt ep( ) d ep( ) d. (6) Обозначим получим C ep( ) d. Это некоторое положительное число. Из () (6) 0 A N C ep si d. 0 (7) Поскольку

17 lim N N C C C lim A N в силу расходимости гармонического ряда, то из () и (7) получим ep si d, 0 то есть интеграл расходится. Ответ: интеграл расходится.

18 II курс, задача 6. Постройте взаимно-однозначное отображение сегмента [0;] на интервал (0;). Решение. Выпишем все рациональные числа, принадлежащие сегменту [0; ]: 0; ; ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 4 ; 5 ; 5 ; 3 5 ; 4 5 ; Отобразим каждое иррациональное число сегмента [0; ] в себя, а рациональные числа отобразим следующим образом: число 0 отобразим в, число отобразим в 3, число отобразим в 3, число 3 отобразим в 4, и так далее, т.е. сдвинем числа в выписанной последовательности на две позиции. Построенное отображение является взаимно-однозначным отображением сегмента [0; ] на интервал (0; ).


- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами.

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами. МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы объекты данной совокупности можно отличить друг от

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

4 Лекция Функция

4 Лекция Функция Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года.

Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года. Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года Задача 1 Докажите, что функции f(x) = arctg x и g(x) = arctg 1+x отличаются на

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее