I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,"

Транскрипт

1 I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение. Докажем, что функция R() разрывна в каждой рациональной точке. Пусть 0 некоторое рациональное число. Тогда R( 0 ) 0. В любой окрестности рационального числа 0 есть иррациональные числа. Значит, для каждого =,, найдётся иррациональное число такое, что 0 <. Тогда последовательность { } сходится к 0, но последовательность {R( )} не сходится к R( 0 ), поскольку R( ) = 0, а R( 0 ) 0. Отсюда следует (в силу определения предела функции по Гейне), что предел функции R() при 0 не равен R( 0 ), а значит, функция R() разрывна в точке 0, ч.т.д. Докажем, что функция R() непререрывна в каждой иррациональной точке. Пусть 0 некоторое иррациональное число. Тогда R( 0 ) = 0. Надо доказать, что для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого ( 0 δ, 0 + δ) выполняется R() R( 0 ) < ε. Рассмотрим произвольное ε > 0. Положим δ = mi {δ,, δ [ ε ]}, где δ расстояние от точки 0 до ближайшего целого числа, δ расстояние от точки 0 до ближайшего числа вида m, где m Z, δ 3 расстояние от точки 0 до ближайшего числа вида m 3, где m Z, и т.д. Тогда в -окрестности точки 0 не будет ни одного рационального числа вида m, где дробь m несократима, m Z, N и [ ]. Это значит, что в δ-окрестности точки ε ε 0 есть рациональные числа только вида = m, где > ε. В этих точках значение функции R() равно < ε, значение функции R( 0 ) равно 0, поэтому неравенство R() R( 0 ) < ε выполняется для всех рациональных из δ-окрестности точки 0. Для иррациональных оно тоже выполняется, т.к. в этом случае R() = R( 0 ) = 0. Значит, функция R() непрерывна в точке 0, ч.т.д.

2 I курс, задача. Пусть вещественнозначная функция каждой точке интервала (, ). Может ли её производная ab f() f( ) дифференцируема в на этом интервале иметь точку устранимого разрыва; разрыва первого рода; разрыва второго рода? Ответ обоснуйте. Решение. Рассмотрим произвольное 0 (a, b). Пусть существует lim 0 +0 f () = b. Докажем, что тогда b = f ( 0 ). В самом деле, если взять точку, лежащую на интервале (a, b) правее точки 0, то по теореме Лагранжа, справедливой для дифференцируемой на сегменте [ 0, ] функции f(), существует точка ξ ( 0, ) такая, что f() f( 0 ) = f (ξ)( 0 ). Тогда f() f( 0 ) lim = lim ξ ( 0,) f (ξ) = С другой стороны, указанный предел lim ξ 0 +0 f (ξ) = b. f() f( lim 0 ) по определению является правой производной функции f() в точке 0, и поскольку существует обычная производная f ( 0 ), то и правая производная функции f() в точке 0 равна f ( 0 ). Таким образом, мы доказали, что если существует lim 0 +0 f (), то этот предел равен f ( 0 ). Аналогично доказывается, если существует lim 0 0 f (), то этот предел тоже равен f ( 0 ). Предположим, что функция f () имеет в точке 0 устранимый разрыв. Это означает, что существуют односторонние пределы lim 0 +0 f () и lim 0 0 f () они равны друг другу, но не равны f ( 0 ). Выше мы доказали, что это невозможно, потому что оба этих предела равны f ( 0 ). Предположим, что функция f () имеет в точке 0 разрыв первого рода. Это означает, что существуют односторонние пределы lim 0 +0 f () и lim 0 0 f () но они не равны друг другу. Выше мы доказали, что это невозможно, потому что оба указанных предела равны f ( 0 ). Таким образом, функция f () не может иметь устранимый разрыв или разрыв первого рода в точке 0. Разрыв второго рода функция f () в точке 0 может иметь. Например, пусть f() = { si при 0, 0 при = 0. Тогда

3 f () = si cos при 0, f(δ) f f(0) (0) = lim = lim (Δ si Δ 0 Δ Δ 0 Δ ) = 0, так как функция si Δ ограниченная, а функция Δ бесконечно малая при Δ 0. Значит, функция f() дифференцируема на всей вещественной оси. Докажем, что односторонний предел lim +0 f () = lim ( si +0 cos ) не существует. Это вытекает из следующих трёх утверждений. Утверждение. lim ( si ) = 0. Доказано выше. 0 Утверждение. lim cos не существует. В самом деле, рассмотрим две числовые +0 последовательности, сходящиеся к 0 справа: () = и () π =. Имеем: π+π lim cos () =, lim cos () =. Тогда, согласно определению предела функции по Гейне, предел lim cos +0 существует, ч.т.д. Утверждение 3. Пусть функция u() имеет в точке a предел справа, а предел функции v() в точке a справа не существует. Тогда предел функции u() v() в точке a справа не существует. Доказательство. От противного. Пусть существует предел функции u() v() в точке a справа. Предел справа функции u() в точке a существует по условию леммы. Тогда функция u() (u() v()) имеет предел в точке a справа согласно теореме о пределе разности двух функции. Но эта функция равна v(), а предел v() в точке a справа не существует по условию леммы. Полученное противоречие доказывает, что предел функции u() v() в точке a справа не существует, ч.т.д. Аналогично можно доказать, что предел слева функции f () в точке 0 не существует. Если односторонние пределы функции f () в точке 0 не существуют, то функция f () имеет разрыв второго рода в этой точке, ч.т.д. Ответ: функция f () не может иметь точку устранимого разрыва или разрыва первого рода, но точку разрыва второго рода она может иметь. не

4 I курс, задача 3. Докажите, что если вещественнозначная функция дифференцируема на некотором интервале (, ) и для любых, y ( a, a) таких, что y( a, a), верно равенство C, что f ( ) C f ( ) a a на интервале (, ). f() f ( ) f ( y) f ( y), то найдётся такое число f ( ) f ( y) a a Решение. В равенстве f( + y) = f()+f(y) f()f(y) f(0) = 0. положим = y = 0, тогда получим Запишем определение производной функции f() в точке ( a, a): f f( + Δ) f() () = lim. Δ 0 Δ Подставив сюда выражение f( + Δ) = f()+f(δ), справедливое при + Δ f()f(δ) ( a, a), получим f() + f(δ) f f()f(δ) f() f(δ)( + f ()) () = lim = lim Δ 0 Δ Δ 0 Δ( f()f(δ)) = f(δ) f(0) + f () = lim ( Δ 0 Δ f()f(δ) ) = f (0) ( + f ()), откуда следует выполнение равенства f () = C ( + f ()) на интервале ( a, a) при C = f (0), ч.т.д.

5 I курс, задача 4. Может ли вещественнозначная функция вещественной переменной быть дифференцируемой ровно в одной точке своей области определения? Ответ обоснуйте. Решение. Да, может. Например, функция f() = {, если рационально, 0, если иррационально, определена на всей вещественной оси. Докажем, что она дифференцируема только в точке 0. Сначала докажем, что функция f() разрывна во всех точках, кроме 0, поэтому не может быть дифференцируемой в этих точках. Рассмотрим произвольное иррациональное число 0. Тогда f( 0 ) = 0. В любой окрестности иррационального числа 0 есть рациональные числа. Значит, для каждого =,, найдётся рациональное число такое, что 0 <. Тогда последовательность { } сходится к 0, а последовательность {f( )} сходится к 0 0. Согласно определению предела функции по Гейне, это означает, что lim 0 f() f( 0 ) = 0, следовательно, функция f() разрывна в точке 0. Аналогично доказывается, что функция f() разрывна в каждой рациональной точке 0 0. Теперь докажем, что в точке 0 функция f() дифференцируема. Запишем определение производной в точке 0: f() f f(0) f() (0) = lim = lim Поскольку для любого 0 значение f() трёх функциях (или «о двух полицейских») получим, что f() f (0) = lim 0 = 0. заключено между 0 и, то по теореме о Итак, мы доказали, что функция f() дифференцируема в точке 0 и не дифференцируема в остальных точках, ч.т.д. Ответ: да.

6 I курс, задача 5. Пусть f() вещественнозначная дважды дифференцируемая функция, определённая на, и пусть f( ) 0 при всех f( ) cost, либо функция Решение. f() не ограничена на. Первый способ. Если f () 0, то f() = cost.. Докажите, что либо Если f () 0, то найдётся такая точка 0, что f ( 0 ) 0. Для определённости, пусть f ( 0 ) > 0. Поскольку f () 0, то функция f () является неубывающей, значит, при всех > 0 выполняется f () f ( 0 ). Теперь рассмотрим произвольное > 0. Поскольку функция f() дифференцируема на отрезке [, 0 ], то согласно теореме Лагранжа найдётся такое ξ (, 0 ), что f() f( 0 ) = f (ξ) ( 0 ). Поскольку f (ξ) f ( 0 ), то имеем оценку f() f( 0 ) f ( 0 ) ( 0 ), которую можно переписать в виде f() f ( 0 ) + f( 0 ) f ( 0 ) 0. При + функция, стоящая в правой части неравенства, неограниченно возрастает. Значит, и функция f() неограниченно возрастает. Аналогично доказывается, что f() является неограниченной при f ( 0 ) < 0, ч.т.д. Второй способ. Если на всей вещественной оси f () 0, то график функции y = f() направлен выпуклостью вниз. Это означает, что он лежит не ниже любой своей касательной. Если функция f() не равна константе, то найдётся точка 0, в которой f ( 0 ) 0, тогда касательная к графику функции y = f() в точке 0 является прямой, не параллельной оси абсцисс. Уравнение этой касательной y = k + b, где k = f ( 0 ) 0. Таким образом, для всех вещественных справедливо неравенство f() k + b. Заметим, что выражение, стоящее в правой части этого неравенства, неограниченно возрастает либо при +, либо при, в зависимости от знака k. Значит, функция f() тоже не ограничена, ч.т.д.

7 I курс, задача 6. На плоскости задан многоугольник и ненулевой вектор. Докажите, что существует прямая, параллельная данному вектору и делящая многоугольник на две части одинаковой площади. y y 0 + Δy y 0 O ΔS S(y 0 ) Решение. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы ось O была параллельна данному вектору. Будем проводить различные прямые, параллельные оси O. Обозначим через S(y 0 ) площадь той части многоугольника, которая лежит ниже прямой y = y 0. Докажем, что функция S(y 0 ) является непрерывной во всех вещественных точках. Заметим, что S(y 0 + Δy) S(y 0 ) = ΔS площадь той части многоугольника, которая заключена между прямыми y = y 0 и y = y 0 + Δy. Многоугольник является ограниченной областью, поэтому он содержится внутри некоторого прямоугольника a a, b y b. Поэтому 0 ΔS (a a ) Δy. Отсюда по теореме о трёх функциях (или «о двух полицейских») следует, что ΔS 0 при Δy 0, поэтому функция S(y 0 ) является непрерывной в точке y 0. Непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения. При достаточно малом y весь многоугольник будет лежать выше прямой y = y, поэтому S(y ) = 0. При достаточно большом y весь многоугольник будет лежать ниже прямой y = y, поэтому S(y ) = S 0 площадь всего многоугольника. Следовательно, найдётся такое y 3 [y, y ], что S(y 3 ) = S 0 /. Таким образом, прямая y = y 3 делит многоугольник на две части одинаковой площади, ч.т.д.

8 II курс, задача. Поверхность уравнением задана в прямоугольных координатах z y y z. Найдите координаты точек поверхности, в z которых координата принимает наибольшее и наименьшее значения. Найдите уравнение границы проекции поверхности на плоскость Oy. Решение. Запишем уравнение поверхности Φ : z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6. () Заметим, что выражение, стоящее в правой части уравнения (), неотрицательно. Значит, и выражение, стоящее в его левой части, неотрицательно. Поэтому z 0, т.е. вся поверхность Φ расположена в верхнем полупространстве. Значение z = 0 достигается при = y = 0, поэтому наименьшее значение z на поверхности Φ равно 0. Докажем, что поверхность Φ ограничена. Для этого перейдём к сферическим координатам: = r si θ cos φ, y = r si θ si φ, z = r cos θ. Уравнение поверхности () принимает вид r 5 cos θ si 4 θ (cos 4 φ + si 4 φ) = r 8 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ) + r 6 cos 6 θ. Отсюда либо r = 0, что соответствует точке (0; 0; 0), либо cos θ si 4 θ (cos 4 φ + si 4 φ) = r 3 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ) + r cos 6 θ. Выражение, стоящее в левой части полученного равенства, ограничено сверху (например, числом ). Значит, выражение, стоящее в правой его части, тоже ограничено сверху числом. В правой части стоит сумма двух неотрицательных слагаемых, поэтому каждое из них ограничено сверху числом : { r3 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ), r cos 6 θ. Функция cos 8 φ + si 8 φ непрерывна на отрезке [0; π], поэтому в силу второй теоремы Вейерштрасса она достигает на отрезке [0; π] своих точных граней. Заметим, что si φ и cos φ не могут одновременно обращаться в 0 в силу основного тригонометрического тождества si φ + cos φ =, поэтому точная нижняя грань функции cos 8 φ + si 8 φ на отрезке [0; π] является некоторым положительным числом m. Если si θ = 0, то = y = 0, и из уравнения () получим z = 0. Если cos θ = 0, то z = 0, и из уравнения () получим = y = 0. В остальных случаях имеем

9 r 3 si 8 θ (cos 8 φ + si 8 φ), { r cos 6 θ. Предположим, что поверхность Φ не ограничена, т.е. r может принимать сколь угодно большие положительные значения. Тогда оба выражения, стоящих в правых частях неравенств (), тоже должны принимать сколь угодно большие значения. Но функция при si θ 0, а функция si 8 θ(cos 8 φ+si 8 φ) cos 6 θ () может неограниченно возрастать только может неограниченно возрастать только при cos θ 0. В силу основного тригонометрического тождества si θ + cos θ = функции si θ и cos θ не могут стремиться к 0 одновременно. Поэтому r не может принимать сколь угодно большие значения, и поверхность Φ ограничена. Следовательно, значения координаты z на поверхности Φ ограничены. Вектор нормали к гладкой поверхности, заданной неявно уравнением F(, y, z) = 0, равен N = {F, F y, F z }. Поэтому вектор нормали к поверхности Φ имеет вид N = { z, 8y 7 4y 3 z, 6z 5 4 y 4 }. Во всех точках поверхности Φ, кроме точки (0; 0; 0), вектор N существует и не является нулевым вектором, потому что система уравнений z = 0, 8y 7 4y 3 z = 0, 6z 5 4 y 4 = 0, { z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6 имеет единственное решение (0; 0; 0). В той точке поверхности Φ, в которой координата z принимает наибольшее значение, вектор нормали N параллелен оси Oz. Поэтому координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений z = 0, { 8y 7 4y 3 z = 0, z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6. Эта система уравнений имеет решения (0; 0; 0), (0; ; 3 8 ), (0; ; ), 3 8 ; ; 5/6 5/6 ( ; 0; ), ( ; 0; ), ( ; ; /6 5/6 4 ), ( ; ; 5/6 5/6 4 ), ( 4 ), ( ; ; 5 6 5/6 4 ). Наибольшее значение координаты z достигается в последних четырёх точках и равно 4.

10 Граница проекции поверхности Φ на плоскость Oy является проекцией тех точек поверхности Φ, в которых вектор N параллелен плоскости Oy. Координаты этих точек удовлетворяют системе уравнений { 6z5 4 y 4 = 0, z( 4 + y 4 ) = 8 + y 8 + z 6. Выразив из первого уравнения z и подставив во второе, получим уравнение кривой на плоскости Oy 5( 4 + y 4 ) 6 5 = ( 8 + y 8 ). Это и есть уравнение границы проекции поверхности Φ на плоскость Oy. Ответ. z mi = 0, z ma = 4, уравнение границы проекции поверхности Φ на плоскость Oy: 5( 4 + y 4 ) 6 5 = ( 8 + y 8 ).

11 II курс, задача. Следует ли из сходимости числового ряда a 3? Следует ли из сходимости числового ряда Ответы обоснуйте. (Здесь a вещественные числа.) Решение. Докажем, что из сходимости ряда a. В самом деле, ряд 3 расходится (гармонический ряд). a 3 a 3 a сходимость ряда сходимость ряда не следует сходимость ряда сходится (обобщённый гармонический ряд), а ряд a? Докажем, что из сходимости ряда Рассмотрим a = 3 cos π 3 a. В силу известного неравенства не следует сходимость ряда a 3. N cos = si при πk, k Z, получим N cos π 3 si π 3 = 3 ограничено. = Последовательность { 3 } монотонно убывает и сходится к 0. Тогда по признаку Дирихле ряд a сходится. С другой стороны, a 3 = Ряд (cos π 3 ) 3 = cos π + 3 cos π 3 4 = π cos 4 3. расходится (он пропорционален гармоническому ряду), ряд 4 3 cos сходится (по признаку Дирихле), поэтому ряд 4 3 силу следующего утверждения. 3 a расходится в Утверждение. Сумма сходящегося и расходящегося ряда является расходящимся рядом.

12 Доказательство. Пусть ряд ряд a сходится, а ряд ( a b) тоже расходится. От противного. Пусть ряд тогда разность двух сходящихся рядов (a + b ) a = (a + b a ) = b = = = = b расходится. Докажем, что ( a b) сходится, есть сходящийся ряд (по свойству разности рядов), а это противоречит условию, что ряд b расходится. Следовательно, ряд Ответ. В обоих случаях не следует. ( a b) не может сходиться, ч.т.д.

13 II курс, задача 3. Произведением двух числовых рядов 0 c 0 a и 0 b называется числовой ряд, где c akb k. Пусть f( ). Исходя из определения k0 0! произведения числовых рядов, докажите, что f ( ) f ( y) f ( y). Решение. Поскольку f( ),! 0 произведения рядов f ( ) f ( y) c, где 0 k0 k0 k0 y f( y), то согласно определению! k k y! k k k k k ( y) c y C y. k! ( k)!! k!( k)!!! Тогда ( y) f ( ) f ( y) f ( y), ч.т.д.! 0 Замечание. Доказанное равенство означает, что если определить функцию ep как сумму функционального ряда, то она будет обладать 0! характеристическим свойством экспоненты: ep ep y = ep( + y). 0

14 II курс, задача 4. Исследуйте сходимость ряда si( ) и интеграла 0 si( ) d. 0 Решение. Необходимым условием сходимости ряда si( ) является 0 lim 0 si( ) = 0. () Докажем, что оно не выполняется. От противного. Пусть условие () выполнено. Тогда и lim 0 si( + ) = 0. С другой стороны, si( + ) = si( + + ) = si( ) cos( + ) + cos( ) si( + ). Отсюда cos( ) si( + ) = si( + ) si( ) cos( + ). В силу основного тригонометрического тождества cos( ) = (si( )), и поскольку si( ) 0 при, то начиная с некоторого номера выполняется неравенство cos( ), откуда cos( ), и si( + ) = (si( + ) si( ) cos( + )) бесконечно малая Эта последовательность стремится к нулю. Тогда и lim si( + 3) = 0, lim Но поскольку si( + 3) si( ) = cos( + ) si, то cos( + ) = cos(. ) ограниченная si( ) = 0. () si( + 3) si( ). si С учётом () получим, что lim cos( + ) = 0. Но в силу основного тригонометрического тождества последовательности si( + ) и cos( + ) не могут стремиться к нулю одновременно. Полученное противоречие доказывает, что условие () выполняться не может, поэтому ряд Теперь докажем, что сходится интеграл si( ) деле, представим его в виде суммы двух интегралов: 0 si( ) расходится. 0 d (интеграл Френеля). В самом

15 si( ) d si( ) d si( ) d. 0 0 Первый из них существует как определённый интеграл от функции, непрерывной на отрезке [0; ]. Докажем сходимость второго. Представим подынтегральную функцию в виде произведения: si( ) = si( ). Функция si( ) имеет ограниченную на промежутке [; + ) первообразную cos( ). Функция монотонно убывает на промежутке [; + ) и стремится к нулю при +. Значит, интеграл Дирихле. Значит, и исходный интеграл Ответ. Ряд расходится, интеграл сходится. si( ) d сходится по признаку si( ) d сходится. 0

16 d. II курс, задача 5. Исследуйте сходимость интеграла ep si Решение. Докажем, что интеграл расходится. По определению несобственного интеграла ep si d lim ep si d. () A 0 0 A Пусть N наибольшее целое число такое, что πn A. В силу положительности подынтегральной функции справедливо неравенство A N ep si d ep si d. () 0 0 При N =,, имеем: N N ep si d ep si d. (3) 0 ( ) Рассмотрим интеграл ep si π t, тогда ( ) d. Сделаем в нём замену переменной = ep si d ep ( t) si tdt. (4) ( ) 0 Воспользовавшись неравенством si t t, справедливым для всех вещественных t, получим (π t) si t (π t) t (π) t, откуда ep ( t) si tdt ep( t ) dt. (5) 0 0 Сделав в последнем интеграле замену переменной πt = ξ, получим ep( t ) dt ep( ) d ep( ) d. (6) Обозначим получим C ep( ) d. Это некоторое положительное число. Из () (6) 0 A N C ep si d. 0 (7) Поскольку

17 lim N N C C C lim A N в силу расходимости гармонического ряда, то из () и (7) получим ep si d, 0 то есть интеграл расходится. Ответ: интеграл расходится.

18 II курс, задача 6. Постройте взаимно-однозначное отображение сегмента [0;] на интервал (0;). Решение. Выпишем все рациональные числа, принадлежащие сегменту [0; ]: 0; ; ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 4 ; 5 ; 5 ; 3 5 ; 4 5 ; Отобразим каждое иррациональное число сегмента [0; ] в себя, а рациональные числа отобразим следующим образом: число 0 отобразим в, число отобразим в 3, число отобразим в 3, число 3 отобразим в 4, и так далее, т.е. сдвинем числа в выписанной последовательности на две позиции. Построенное отображение является взаимно-однозначным отображением сегмента [0; ] на интервал (0; ).

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее