Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные"

Транскрипт

1 Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа изображаются изолированными точками на прямой. Рациональные расположены на прямой всюду плотно, т.е. в близи любой точки содержится хотя бы одно рациональное, а значит, бесконечно много рациональных чисел. Однако между любыми рациональными числами существует бесконечно много иррациональных чисел.

2 На множестве R определены арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. и отношения порядка и которые удовлетворяют известным из школы свойствам. Абсолютная величина (модуль) числа a геометрически означает расстояние от точки a до 0, a- b - расстояние между точками a и b на числовой прямой. Основные свойства абсолютной величины: 1. ab = a b, 2. a+ b a + b - неравенство треугольника, a b b³ 0 - b a b. 3. ( )

3 Аксиома непрерывности. Для любых двух непустых подмножеств A, B множества R удовлетворяющих условию A B, существует число c такое, что A c B

4 2 0. Ограниченные числовые множества Множество A называется ограниченным сверху если найдется c такое, что A c. Множество A называется ограниченным снизу если найдется c такое, что A c. Например, множество N не ограничено сверху, но ограничено снизу. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограничено снизу. Теорема. (а) A ограничено сверху множество A, состоящее из чисел противоположных к числам из A, ограничено снизу; (б) A ограничено множество A, состоящее из абсолютных значений чисел из A, ограничено (докажите!). Примеры ограниченных множеств сегменты [a, b] и интервалы (a, b).

5 3 0. Границы числовых множеств. Пусть множество A ограниченно сверху. Тогда каждое число c, удовлетворяющее неравенству A c, называется верхней границей множества A; наименьшая из всех верхних границ называется верхней гранью множества A и обозначается sup A; нижняя грань множества A обозначается if A. Теорема. Каждое ограниченное сверху множество A обладает единственной верхней гранью. Доказательство. Поскольку A ограничено сверху, то обозначим через B множество всех верхний границ для A. Ясно, что A B. Значит, ввиду аксиомы непрерывности существует число c такое, что A c B. Число c является наименьшей верхней границей, т.е. верхней гранью множества A. Верхняя грань интервала ( ) a,b совпадает с b, и ему не принадлежит.

6 2. Числовые функции 1 0. Понятие функции (отображения). Определение. Пусть X и Y - два непустых множества. Пусть также указано правило f, по которому, каждому элементу x из множества X ставится в соответствие однозначно определенный элемент y из множества Y. Тогда говорят, что задано отображение (или функция) f из множества X в множество Y. Множество X называют областью определения функции f. Запись f: X Y означает, что f является функцией из X в Y Если элемент x по правилу f переходит в элемент y то пишут y = f(x) образ x.

7 Если X и Y - числовые множества, то графиком функции y = f(x) с областью определения X называют множество вида Γ = {(x,f(x)) x Î X}. Каждая прямая параллельная оси ординат либо не пересекает график, либо пересекает его в одной точке. Пример функции [x] целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x, или ближайшее к x слева целое число).

8 2 0. Операции над функциями Кроме арифметических действий, определенных над функциями поточечно, например, (f+g)(x) = f(x)+g(x), (f g)(x) = f(x) g(x),. рассматривают операции обращения и композиции. Обращение функций. Пусть f: X Y функция и Y = E(f), где E(f) = { yî Y $ x Î X : y = f(x) }., f инъективна, т.е. x1= x2 f(x 1) = f(x 2) - разным значениям аргумента отвечают разные значения функции. Тогда сопоставление элементу y единственного элемента x, удовлетворяющего равенству y= f(x), называется обратной функций к f и обозначается -1-1 f :Y X. Таким образом, f (y) = x y= f(x). Обычно, независимую переменную обозначают буквой x, а зависимую переменную буквой y, поэтому -1 обратная функция записывается в виде y= f (x).

9 Пример. Рассмотрим функцию y = x 2 определенную при неотрицательных значениях x. Выражая x через y, получаем x = y (арифметическое значение корня), y меняя переменные приходим к обратной функции = x. Поскольку переименование переменных является отражением относительно прямой y = x то графики взаимно обратных функций симметричны относительно y = x

10 Композиция функций Пусть f: X Y g: Y Z Тогда «цепное» правило f g x¾¾ y¾¾ z или z = g(f(x)) является композицией функций или сложной функций. Например, y= log 2(six) является сложной функцией; она получена композицией функций y= log2 t,t= six.

11 3 0. Элементарные функции Класс элементарных функций это наименьшее множество, содержащее основные элементарные функции (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические), и замкнутое относительно арифметических действия и операции композиции. g(x) g(x)log2 f(x) Например, f(x) = 2 элементарна. Построить графики основных элементарных функций: α x y= x,y= a,y= loga x, y= six,y= tgx,y= arcsix,y= arctgx.

12 3. Числовые последовательности 1 0. Определение. Числовой последовательностью называют функцию, определенную на множестве натуральных чисел. Примеры. x = x =! 1 x = æ 1ö x = 1+ ç è ø x = p ое простое число

13 2 0. Предел числовой последовательности Определение -окрестностью точки a для > 0 называется открытый интервал (a, a + ) с центром в точке a и радиуса Определение Число a называют пределом числовой последовательности {x }, если для любого (сколь угодно малого) > 0 найдется такой номер k, что для всякого номера > k выполняется неравенство x a <. Символьно lim x = a " ε > 0$ kî N" > k x - a < ε df x a если вне любой -окрестности точки a содержится лишь конечное число членов послед-ти {x } почти все члены данной последовательности содержатся в любой -окрестности точки a любая -окрестность точки a «ловушка» для {x }

14 Определения Последовательность, имеющая (конечный) предел a, называется сходящейся (к числу a). Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если она сходится к 0. б.м. Значит, lim x = a последовательность {x a} - - Легко понять, что { x 10 - } поскольку 10 - = 0, = б.м., где число нулей равно числу

15 Задача. Доказать, исходя из определения: ìï 1ü x = ï ý ïî ïþ б.м. ; ìï ü б) x ï í = ý 1. ïî + 1ïþ а) í Решение. Следуя определению предела последовательности имеем: а) б) x = = < ε >. ε x - 1= - 1= = < ε > ε Значит, в качестве числа k можно взять натуральное число é1ù + 1. êëε úû

16 3 0. Основные положения о пределах последовательности. 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. ε Доказательство. Пусть lim x = a, lim x = b. Возьмем a-b =. Тогда -окрестности точек a,b не могут быть 2 x. 2. Сходящаяся последовательность ограничена. ловушками последовательности { } Доказательство. Пусть lim x = a. Возьмем ε 1 =. Тогда вне -окрестности точки a содержится конечное число членом. Заметим, что если множество A ограничено, то AÈ x0 также ограничено.

17 " x³ y, то lim x lim y 3. Если ( ) x b " ³, то если ( ) lim x b. ³. В частности, ³ (докажите!) 4. Лемма о двух милиционерах. x y z " ³ ³ и Если ( ) lim y = a. lim x = lim z = a, то Доказательство. В каждой -окрестности точки a содержатся почти все члены первой и почти все члены третьей последовательности, значит, начиная с некоторого номера в ней содержатся все члены первой и третьей последовательностей, но тогда там лежат и все члены второй последовательности, начинающиеся с подходящего номера, т.е. lim y = a.

18 4. Теоремы о пределах 1 0. Б.м. и б.б. последовательности. Напомним, что последовательность {x } называется бесконечно малой (б.м.), если для любого (сколь угодно малого) ε > 0 найдется номер 0, что для всякого номера > 0 выполняется неравенство x <, т.е. lim x = 0. Теорема о б.м. последовательностях. 1) Сумма б.м. последовательностей является б.м. последовательностью; 2) произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность является б.м. последовательностью, в частности, произведение б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

19 Доказательство 1) Пусть {x } и {y } б.м. Возьмем произвольное число > 0 и найдем номера k 1 и k 2, начиная с которых выполнены ε ε неравенства x <, y <. 2 2 Тогда, начиная с k = max (k 1, k 2 ), справедливо ε ε неравенство x+ y x + y < +< = ε ) Пусть теперь {x } б.м., а {y } ограниченная последовательности. Допустим, что y < a. Возьмем произвольное число > 0 и найдем номер k, начиная с ε которого выполнено неравенство x <. Тогда a ε x y = x y < a= ε. a

20 Определение Последовательность {x } называется бесконечно большой (б.б.), если для любого (сколь угодно большого) числа A > 0 найдется такой номер k, что для всякого номера > k выполняется x > A. Если {x } бесконечно большая последовательность, то пишут lim x =. Если при этом все x > 0, то lim x =+, если все x < 0, то lim x =-. Теорема. Если {x } б.м. последовательность, то ì ï 1 ü ï í ý б.б. последовательность (предполагается, что ïîx ïþ ì 1 все x 0); если {x } б.б. последовательность, то ï í ïîx б.м. последовательность. ü ï ý ïþ

21 Сумма б.б. последовательностей может оказаться б.м. (пример!) Арифметические действия над пределами. Теорема. Пусть lim x = a, lim y = b, где a, b R. Тогда lim(x + y ) = a + b (предел суммы равен сумме 1) пределов); lim(x y ) 2) = ab (предел произведения равен произведению пределов), в частности, lim(cx ) = c lim(x ); æx ö a 3) lim =, (предел частного равен частному ç èy ø b пределов) при условии, что все члены y и число b отличны от 0.

22 Доказательство Запишем: x = a+ α,y = b+ β, где α,β- б.м. Тогда имеем: 1) x + y = ( a+ b) + ( α + β ) и ( α β ) сумма б.м. + - б.м. как xy = a+ α b + β = ab + aβ + bα + α β. 2) ( )( ) ( ) Последовательность в скобках, является б.м. на основании теоремы о б.м. Проверим 3) при условии, что {x = 1}, b > 0. Тогда общее 3) получится отсюда на основании 2).

23 Можно считать, что, начиная с некоторого номера 2 b b 1 2 y > и by >, < by b 2 b Для произвольного > 0 положим ε = ε, и найдем 2 номер k, начиная с которого, y - b < ε. Тогда имеем: 1 1 y -b = = y - b < ε = y b yb yb yb 1 2 = ε < ε = ε 2 yb b 1 1 Следовательно, lim =. y b

24 3 0. Монотонные последовательности. Определение Последовательность {x } называют возрастающей, если ( ) x < x +1. неубывающей, если ( ) x x +1 убывающей, если ( ) x > x +1 и невозрастающей, если ( ) x x +1 Все такие последовательности называют монотонными.

25 Теорема Вейерштрасса Любая монотонная и ограниченная последовательность {x } имеет предел. Доказательство Для возрастающей {x } числовое множество A = x,x,...,x,... имеет верхнюю грань a = sup(a). { } 1 2 Покажем, что { } x a. Рассмотрим ε -окрестность точки a. Если в ней нет ни одного члена последовательности, то a- ε является верхней границей для множества A, что противоречит минимальности числа a. Значит, каждая ε -окрестность точки a а значит, все члены ( ) Но это и означает, что { } содержит хотя бы один член x, xm m³. x a.

26 1æ 3 ö Задача. Пусть x 0 = 3; x + 1= x +, 2ç è x ø = 0,1,2, Показать, что lim x = 3. Решение Используя неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел a + b ³ 2 ab 3 получим x ³ 1 x + 3 x = поэтому последовательность {x } ограничена снизу.

27 Рассмотрим разность 2 1æ 3 ö 1x -3 x- x + 1= x- x+ = ³ 0 2ç è x ø 2 x т.е. последовательность не возрастает. Согласно теореме Вейерштрасса она сходится и имеет предел a. 1æ 3 ö Перейдем к пределу в равенстве x + 1= x+ 2ç è x ø, 1æ 3ö откуда получим уравнение: a= a 2 + ç è a ø, 2 a так что 2a =, a = 3, a = 3. a

28 4 0. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Определение Последовательность отрезков [ a ] [ ] 1;b 1, a 2;b 2,... называется стягивающейся, если выполнены условия: é ëa + 1;b+ 1 ùì û a ;b, = 1,2,...; а) [ ] б) с ростом длина отрезка [ ] a;b стремится к 0.

29 Теорема Последовательность стягивающихся отрезков обладает единственной общей точкой. Доказательство Последовательность {a } левых концов отрезков возрастающая и ограниченная ( a b 1,) она имеет предел a причем a³ a 1., поскольку a³ a1 Аналогично, a³ a 2,a³ a 3,...

30 Точно также a b 1, значит, a b1 и a b 2,a b 3,... точка a принадлежит каждому из отрезков. Если бы существовала еще одна точка b отличная от точки a, и принадлежащая всем отрезкам, то отрезок [a; b] входил бы в каждый из стягивающихся отрезков, значит, длина каждого из стягивающихся отрезков была бы не меньше числа a b, - противоречие с пунктом б) определения.

31 Нам необходима 5 0. Число Эйлера e (основание натуральных логарифмов). Определение æ 1ö e= lim 1, + ç где e = 2, è ø (1828 г год рождения Л.Н.Толстого) Для доказательства существования указанного предела + 1 æ 1ö æ 1ö ведем последовательности: x = 1 +,y = 1 +. ç è ø ç è ø Докажем сначала, что {y } убывает и ограничена.

32 Лемма (неравенство Бернулли) ( 1+ a) ³ 1+ a где a>-1 - натуральное число. Действительно, для =1 неравенство превращается в верное равенство. Допустим, что мы доказали справедливость неравенства Бернулли для числа Проверим, что оно верно и для следующего показателя +1: + 1+ a ³ (1+ a)(1+ a) = 1+ a + a + a ³ ( ) 1 2 ³ 1+ a+ a= 1 + (+ 1)a

33 Проверим указанные свойства последовательности {y }. + 1 æ 1ö 1 1 1) y = 1+ ³ 1 + (+ 1) = > 2. ç è ø y 2) Рассмотрим отношение : y æ 1ö æ 1ö ç 1+ ç 1+ = = = + = 1 ç + è - 1 ø ç è - 1 ø + 1 y èç ø èç ø æ 1ö æ 1ö - 1 y -1 1 ç ç æ ö æ ö è ø è ø æ 1öæ 1ö æ 1ö æ 1öæ 1ö = 1+ ç = 1+ ç 1- = ç 2 è ç øè ø ç è ø ç è ç øè ø

34 æ 1öæ 1ö æ 1ö æ 1ö = 1+ ç ç è ç øè ø ç è ø ç è ø неравенство æ 1 ö = 1- ç 4 è ø < 1, y y, Бернулли откуда, < -1 т.е. рассматриваемая последовательность убывает, значит, по теореме y Вейерштрасса имеет предел. Наконец, x =, 1 1+ следовательно, y limy limy 1 æ 1ö 1+ 1 lim 1 ç + è ø limx = lim = = = lim y, ч.т.д.

35 5. Предел функции 1 0. Определение и примеры. Определение Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность точки, из которой удалена x 0 т.е. окрестность имеет вид ( x ) ( ) 0-ε;x0 È x 0;x0+ ε. Определение Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0. Пределом функции y = f(x) в точке x 0 (или при x x 0 ) называют число a, если для любой последовательности {x } значений аргумента, сходящейся к x 0 (при этом все x x 0 ), последовательность {f(x )} значений функции сходится к числу a. lim f x = a. Это записывают в виде ( ) x x 0

36 Примеры 1) Постоянная функция f(x) = c имеет предел в любой точке, совпадающий с числом c. lim f x 2) Если f(x) = x, то ( ) x x 0 = x. 0 lim f x 3) Если f(x) = x 2, то ( ) x x 0 = x. Действительно, для любой последовательности {x }, сходящейся к x 0, имеем lim f x = lim x = lim x lim x = x. ( )

37 2 0. Основные свойства пределов функции. 1. Функция f(x) в точке x 0 может иметь не более одного предела. 2. Если функция f(x) имеет предел в точке x 0 то в некоторой проколотой окрестности точки x 0 эта функция ограничена. 3. Если для всех точек из некоторой проколотой окрестности точки x 0 выполнено неравенство f(x) ³ b то и lim f(x) ³ b x x 0 при условии, что предел существует.

38 4. Если в некоторой проколотой окрестности точки x 0 выполнено неравенство f(x) ³ g(x) то и lim f(x) x x x x ³ lim g(x) ( если они существуют) Пусть в некоторой проколотой окрестности точки x 0 выполнены неравенства f(x) ³ g(x) ³ h(x) и существуют равные между собой пределы Тогда lim g(x) x x 0 lim f(x) = lim h(x) = a x x x x = a. 0 0 Докажем только свойство 2 (остальные самостоятельно).

39 Рассуждая от противного, предположим, что в любой окрестности точки x 0 функция f(x) не ограничена. Возьмем проколотую окрестность точки x 0 радиуса 1 и выберем в ней точку x 1 такую, что f(x 1) > 1. Возьмем теперь проколотую окрестность точки x 0 радиуса ½ и выберем в ней точку x 2 такую, что f(x 2) > 2. Продолжая аналогично, получим, что в проколотой окрестности точки x 0 радиуса 1 найдется точка x такая, что f(x ) > Итак, существует {x } {x } x 0, f(x ) значит, предел последовательности { f(x } ) не может быть равен числу, противоречие.

40 Теорема Пусть существуют пределы Тогда 1) ( ) x x 0 lim f(x) = a, lim g(x) = b. x x x x 0 0 lim f(x) + g(x) = a + b; lim f(x) g(x) = a b, 2) ( ) x x 0 в частности, lim(c x ) = C lim(x ); f(x) a 3) lim =, при условии, что g(x) ¹ 0 в некоторой x x 0 g(x) b проколотой окрестности точки x 0 и b 0. 3 x + 3 Пример. Найти предел функции f(x) = в 2 x + x + 1 точке x 0. Решение. Используя теорему, получаем lim f(x) = f(x ). x x 0 0

41 Определение Всякая функция, обладающая указанным свойством, lim f(x) = f(x ) x x 0 0 называется непрерывной в точке x 0. Теорема Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей естественной области определения. Эта теорема принимается без доказательства.

42 3 0. Односторонние пределы функции и пределы в бесконечности. Определение Пусть X числовое множество Точка x 0 называется предельной для множества X, если всякая проколотая окрестность точки x 0 содержит бесконечно много точек из множества X. Примеры 1) Множество предельных точек открытого интервала (0;1) составляет замкнутый интервал [0; 1]. 2) Множество N натуральных чисел не имеет предельных точек.

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Математический Анализ 1 семестр. Часть 1

Математический Анализ 1 семестр. Часть 1 МГУ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Математический Анализ семестр. Часть Учебно-методическое пособие подготовлено Тесленко М.А. на основе лекций, прочитанных Черемных Ю.Н. г. Москва Математический

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Математический анализ и топология

Математический анализ и топология Математический анализ и топология Д. Вельтищев ЛЭШ-2006 Предисловие Это краткий конспект курса анализа для ЛЭШ-2006. Он включает в себя основы анализа и топологии, изложенные так, чтобы их можно было перенести

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математического анализа Т. И. Коршикова, Ю.

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

Глава 0. Основы теории множеств и отображений.

Глава 0. Основы теории множеств и отображений. Глава 0. Основы теории множеств и отображений. 1. Множества. Логические символы. Операции над множествами. Два способа задания множеств: 1) перечисление, 2) указание характеристического свойства. Опр.0.1.1.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ КОЗАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (семестровый курс лекций, семестр ) Ростов-на-Дону

Подробнее

Авторы: М. В. Дубатовская, А. А. Королева, С. В. Рогозин, П. П. Староселец

Авторы: М. В. Дубатовская, А. А. Королева, С. В. Рогозин, П. П. Староселец УДК 57(0758) ББК 6я7 М4 Авторы: М В Дубатовская, А А Королева, С В Рогозин, П П Староселец Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент С И Василец кандидат физико-математических наук, доцент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Екатеринбург 2005 Федеральное агенство по образованию Уральский государственный университет им. А. М. Горького В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Екатеринбург 2005 УДК 517.13(075.3)

Подробнее

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Функции и пределы.................... 5 1.1. Числовые множества................. 5 1.2. Функции........................ 8 1.3. Определения пределов в различных случаях.... 15 1.4. Бесконечно

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойства функций, непрерывных на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке Лекция для групп МК-160001, МК-16000, МК-160005 по курсу Математический анализ (08.11.016) Институт математики и компьютерных наук Лектор А.А. Шабуров Уральский

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

«5» Шаг 1 (l R) «5» Шаг 2 (l = + ) «3» Теорема 35 (Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях)

«5» Шаг 1 (l R) «5» Шаг 2 (l = + ) «3» Теорема 35 (Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях) БИЛЕТ 1 «3» Определение верхней границы «3» Теорема 36 (Кантора о равномерной непрерывности) «3» Теорема 49 (о главных частях элементарных функций) БИЛЕТ 2 «3» Определение наибольшего элемента «3» Теорема

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Попова Татьяна Михайловна, ауд 433п 2 часа лекции, 3 часа практических занятий ЭКЗАМЕН Содержание 1 семестра: теория пределов, непрерывность функции, основные понятия теории дифференциального

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» Конспект лекций по дисциплине «Математический анализ» для студентов I курса ( семестр) специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика» Лекций 40 часов Составлен доцентом, ктн Зиновьевой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее