Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность)."

Транскрипт

1 Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность). Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, курс, очное обучение). Количество часов: 8 ч. (в том числе: лекции 3, практические занятия 0, самостоятельная работа 50); форма контроля: дифференцированный зачет. Темы:. Теория вероятностей. Случайные события. Элементы комбинаторики.. Случайные величины. 3. Функция распределения случайной величины. 4. Система -х случайных величин. 5. Математическая статистика и ее приложение к обработке результатов измерений. Ключевые слова: случайные величины, вероятность, закон распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, линейная регрессия, математическая статистика. Дата начала эксплуатации: сентября 04 года. Авторы курса: Заботина Наталья Павловна, доцент кафедры общей математики, кандидат физико - математических наук, Тюленева Ольга Николаевна, доцент кафедры общей математики, кандидат физико- математических наук.

2 Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Н.П. Заботина, О.Н. Тюленева ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Конспект лекций Казань 04

3 Н.П. Заботина Элементы теории вероятностей и математической статистики / Заботина Н.П., Тюленева О.Н.; Каз. федер. ун-тет. Казань, 04, - 77с. Аннотация Электронный курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является составной частью курса «Математика», читаемого студентам химикам. В нем содержится теоретический материал, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения, тестовые задания для текущего контроля. Электронный курс предназначен для работы на занятии и самостоятельно. Принято на заседании кафедры общей математики Казанский федеральный университет Заботина Н.П., Тюленева О.Н.

4 Содержание Тема : ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Лекция... 7 Основные понятия Виды случайных событий Классическое определение вероятности Элементы комбинаторики.... Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Лекция... Теорема сложения вероятностей Противоположные события Теорема умножения вероятностей... 5 Вероятность появления хотя бы одного события... 5 Лекция Формула полной вероятности... 8 Формула Байеса... 8 Лекция Схема Бернулли Локальная теорема Лапласа... Интегральная теорема Лапласа... Теорема Пуассона... Тема : СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА... Лекция 5... Дискретная случайная величина... 4 Математическое ожидание дискретной случайной величины. 5 Лекция Дисперсия дискретной случайной величины... 8 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биноминальному закону... 9

5 Лекция Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины... 3 Закон больших чисел... 3 Неравенство Чебышева... 3 Теорема Чебышева Теорема Бернулли Тема 3: ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Лекция Непрерывная случайная величина Свойства функции распределения Лекция Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Свойства плотности распределения Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 39 Лекция Нормальное распределение... 4 Лекция... 4 Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Понятие о центральной предельной теореме Тема 4:СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины... 50

6 Условные законы распределения составляющих системы дискретных величин Условное математическое ожидание... 5 Лекция Зависимые и независимые случайные величины Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии Тема 5: ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Лекция Основные понятия Статистическое распределение выборки Эмпирическая функция распределения... 6 Статистические оценки параметров распределения Доверительный интервал Некоторые распределения, связанные с нормальным распределением Лекция Примеры нахождения доверительных интервалов Лекция Критерий согласия (критерий согласия Пирсона) Коэффициент линейной корреляции Список рекомендуемой литературы:... 77

7 Тема : ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. Лекция Аннотация. Данная тема раскрывает основные понятия теории вероятности и элементов комбинаторики. Ключевые слова. Случайные события, достоверные события, невозможные события, классическое определение вероятности, относительная частота, элементы комбинаторики, размещение, сочетания, перестановки. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава (стр.7-3). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник). -9; ;;4; 7-5 Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты

8 Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Достоверное событие - событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Невозможное событие - событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Случайное событие - событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Несовместные события группа событий, в которой появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Полная группа событий в результате испытания обязательно появится хотя бы одно событие из этой группы.

9 Равновозможные события - ни одно из нескольких событий не является более возможным, чем другое. Вероятность события A это отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу н и обозначают m P( A). Относительная частота события А - отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу опытов: Соединение - произвольная упорядоченная выборка из различных элементов a, a, a. Размещение из элементов по m (m ) - соединения, каждое из которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов A m ( )...[ ( m )]. Перестановка из элементов - соединение из элементов, каждое из которых содержит все элементов P A ( )( )...[ ( )]! Сочетание из элементов по m (m ) - соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом (порядок элементов не имеет значения) C m!. m!( m)! Вопросы для изучения:. Достоверные, невозможные и случайные события.. Виды случайных событий 3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. 4. Относительная частота. Свойство устойчивости относительной частоты 5. Комбинаторика. Основные понятия.

10 Основные понятия. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверное, невозможное и случайное.достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо «герб», либо «решетка». Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих причин, которые также являются случайными. Поэтому теория вероятностей не ставит задачу предсказать, произойдет единственное событие или нет, но при многократном повторении одного испытания в одних и тех же условиях, можно установить определенные закономерности. Установление этих закономерностей и занимается теория вероятностей. Виды случайных событий. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Классическое определение вероятности. Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом. Элементарные исходы обозначим. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие А наступает, называются благоприятствующими этому событию. Таким образом, событие А наступает,

11 если результатом испытания является один безразлично какой из элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают Р(А). m Итак: P( A). Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства. ) Вероятность достоверного события равна единице. ) Вероятность невозможного события равно нулю. 3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Элементы комбинаторики. Рассмотрим совокупность различных элементов a, a, a. Произвольную упорядоченную выборку из этих элементов называют соединением. Размещениями из элементов по m (m ) называют их соединения, каждое из которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов A m! ( m)! Соединение из элементов, каждое из которых содержит все элементов, называются перестановками. Число перестановок из элементов обозначим: P! Сочетаниями из элементов по m называют такие соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом. (Порядок элементов не имеет значения) При решении задач комбинаторики используют следующие правила: C m!. m!( m)!

12 Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран способами, то выбрать либо А либо В можно + m способами. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а объект В можно выбрать способами, то пара объектов (А, В) может быть выбрана m способами. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Если определение множества пространства элементарных исходов испытания затруднено, тогда вероятность события определяют как относительную частоту m появления события А в испытаниях ( A). Относительная частота обладает свойством устойчивости, колеблясь около некоторого постоянного числа. Таким образом, это постоянное число и есть вероятность появления события А: P(A) = W(A). Лекция Аннотация. Данной лекции приводятся основные теоремы теории. Ключевые слова. Теорема сложения вероятностей, теорема умножения вероятностей, условная вероятность, противоположные события. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и

13 математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава глава3; Ч. глава 4 (стр.3-50). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник) ,5-56,64, 69,7, Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. -

14 Глоссарий Сумма двух событий - событие А+В, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий. Произведение двух событий - событие, состоящее в совместном появлении этих событий. Противоположные события - два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно обозначено А, тогда другое принято обозначать A. Условная вероятность Р А (В) - вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Вопросы для изучения:. Теорема сложения вероятностей.. Противоположные события. 3. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность. 4. Вероятность появления хотя бы одного события. Теорема сложения вероятностей. Суммой двух событий называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий. Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ). Если события А и В несовместны, т.е. одновременно произойти не могут, тогда: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

15 Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно обозначено А, тогда другое принято обозначать A. Теорема. Вероятность противоположного события P( A) P( A). Теорема умножения вероятностей Произведением двух событий А и В называют событие, состоящее в одновременном появлении этих событий. Случайное событие мы определили как событие, которое происходит или не происходит при осуществлении определенного комплекса условий S. Если при вычислении вероятности события никаких других условий кроме S не налагается, то вероятность события называется безусловной. Условной вероятностью Р А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного действия появления двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже наступило: Р() = Р(А)Р А (В). Если событие А и В независимы, то Р() = Р(А)Р(В). Замечание. Легко доказать, что: Р() = Р(В)Р В (А). Таким образом: Р(А)Р А (В) = Р(В)Р В (А). Вероятность появления хотя бы одного события Пусть в результате испытания могут появиться событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из этих событий известны.

16 Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А, А, А, независимых в совокупности, равно разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: P( A) P( A) P( A)... P( A ). Лекция 3 Аннотация. В данной лекции вводится понятие полной вероятности и доказываются формулы вычисления полной вероятности и Байеса. Ключевые слова. Полная вероятность, полная группа событий, условная вероятность, формула Байеса. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава 4-3 (стр.50-55).

17 В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник). 89,9,9,96,97-0,0, Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Полная группа событий в результате испытания обязательно появится хотя бы одно событие из этой группы. Несовместные события группа событий, в которой появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Условная вероятность Р H (A) - вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие H уже наступило.

18 Полная вероятность - вероятность события А, которое может произойти лишь при условии появления одного из несовместных событий Н, Н,, Н, образующих полную группу Вопросы для изучения:. Формула полной вероятности.. Формула Байеса Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н, Н,, Н, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности: (A), где,. Теорема. Вероятность события А, которое может произойти лишь при условии появления одного из несовместных событий Н, Н,, Н, образующих полную группу, вычисляется по формуле: Формула Байеса P( A) P( H ) P ( A) P( H ) P ( A)... P( H ) P ( ). H H A Рассмотрим ту же самую модель. Вероятность события определим по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Найдем условные вероятности: P( H ) PH ( A) PA ( H ),, P( H ) P ( A) k Полученные формулы называют формулами Байеса. k H k. H PH Лекция 4 Аннотация. В данной лекции рассматривается схема Бернулли. Выводятся формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона.

19 Ключевые слова. Схема Бернулли, формула Бернулли, локальная теорема Лапласа, интегральная теорема Лапласа, теорема Пуассона. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава 5 (стр.55-63). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник). 0-5,9-,5,6. Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. -

20 . Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Независимое событие событие в данной системе испытаний, вероятность которого в каждом из испытаний не зависит от исхода других испытаний. Схема Бернулли Серия независимых повторных испытаний, в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А) = р не зависящую от номера испытания. Вопросы для изучения:. Схема и формула Бернулли.. Локальная теорема Лапласа 3. Интегральная теорема Лапласа 4. Теорема Пуассона Схема Бернулли. Событие А называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исхода других

21 испытаний. Серия независимых повторных испытаний, в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А) = р не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Вероятность появления события А точно m раз при испытаниях вычисляется формуле Бернулли: m m m! m m P ( m) C p q p q. m!( m)! Локальная теорема Лапласа Если число испытаний велико, то вычисления становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятностей P (m), если большое число. Теорема. Пусть р = Р(А) вероятность события А. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при независимых испытаниях появится точно m раз, выражается приближенной формулой Лапласа: P ( m) e pq t, где q = p, t m p. pq Интегральная теорема Лапласа Поставлен вопрос: какова вероятность P (m, m ) того, что в независимых испытаниях событие А появится не менее m раз и не более m раза? Пусть достаточно большое, тогда P (m,m ) (t m )- (t m ), где m p t m, pq m p t m. pq ( x) t x t dt e 0 ( ) dt - интеграл вероятностей. x 0 0

22 Функция х обладает следующими свойствами: ) (0) = 0; ) (+) = /; 3) ( х) = (х). Теорема Пуассона Пусть производится серия независимых испытаний ( =,, 3 ), причем вероятность появления данного события А в этой серии p = P(A) >0 зависит от её номера и стремится к нулю при (последовательность «редких событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е. p = = cost и «мало». Тогда вероятность появления события А в -ой серии равно m раз вычисляется по приближенной формуле Пуассона: m P ( m) e. m! Тема : СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Лекция 5 Аннотация. В данной лекции вводятся понятия случайной величины, дискретной и закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Рассматривается одна из характеристик дискретной случайной величины - математическое ожидание. Ключевые слова. Дискретная случайная величина, закон распределения дискретной случайной величины, математическое ожидание, свойства математического ожидания. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с.

23 Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава 6-3 (стр.64-66), Ч. глава 7 (стр.75-83). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник) ,70,7.73,75,88-9, 0. Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с. -

24 5. Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Случайная величина величина, которая принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение. Дискретная случайная величина - случайная величина, множество всех возможных значений которой конечно (или счётно). Закон распределения случайной величины - соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Независимые случайные величины - закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M X ) ( x p. Вопросы для изучения:. Дискретная случайная величина и ее закон распределения.. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дискретная случайная величина Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение. Случайная величина называется дискретной, если множество всех возможных значений её конечно

25 (или счётно). Геометрически множество всех возможных значений дискретной случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси. пусть Х дискретная случайная величина, возможными и единственно возможными значениями которой являются числа x, x, x. Обозначим через p P{ X x };. События X x (, ), очевидно, образуют полную, группу событий, поэтому р + р + + р =. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности : M X ) ( x p. Свойства математического ожидания. M ( C) C, где C постоянная величина;. M( CX ) CM ( X ); 3. M(X + Y) = M(X) + M(Y); Следствие. Если C = cost, то M(X+C) = M(X) + C. 4. M(XY) = M(X)M(Y)., где X и Y - независимые случайные величины; Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

26 Лекция 6 Аннотация. В данной лекции вводятся понятия дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины. Рассматривается биноминальный закон распределения дискретной случайной величины. Ключевые слова. Дискретная случайная величина, математическое ожидание, дисперсия, свойства дисперсии, среднеквадратическое отклонение случайной величины, биноминальный закон распределения. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава 8-5 (стр.85-9), Ч. глава 8 7 (стр.94-95), Ч. глава 6 4 (стр.66-68), Ч. глава 7 5 (стр.83-84), Ч. глава 7 6 (стр.9-94). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи:

27 Гмурман (задачник) , 08-, 3-6, 9. Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Дискретная случайная величина - случайная величина, множество всех возможных значений которой конечно (или счётно). Дисперсия случайной величины Х - математическое ожидание квадрата уклонения случайной величины Х: D( X ) M ( X m) ( x m) p. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Х - корень квадратный из дисперсии ( X ) D( X ). Биноминальный закон распределения - распределение вероятностей возможных чисел появления события А при независимых испытаниях, в

28 каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = cost. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = - р = q.. Вопросы для изучения:. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины.. Биноминальный закон распределения случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Мерой рассеяния случайной величины является дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата уклонения случайной величины Х: D( X ) M ( X m) ( x m) p Опираясь на свойства математического ожидания можно получить еще одну формулу вычисления дисперсии: D(X) = M(X ) - [M(X)]. Свойства дисперсии:. D(C) = 0, где C постоянная величина;. D(CX) = C D(X); 3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), где X и Y независимые случайные величины Следствие. D(X + C) = D(X), где С = cost. 4. D(X - Y) = D(X) + D(Y).

29 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биноминальному закону Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Чему равно среднее число появления события А в этих испытаниях. Рассмотрим случайную величину Х число появления события А в независимых испытаниях. Очевидно, в одном испытании X равно нулю или единице, а число Х определяется количеством появлений события А в каждом из испытаний. Таким образом, Х = X + X + + X ; q + p = ; X k 0 P Q p M(X k ) = 0q+p = p; k, ; M(X) =M(X + X + + X ) = M(X ) + M(X ) + + M(X ) = p. Аналогично рассуждая, получаем, что дисперсия равна D(X) = pq. Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии ( X ) D( X ). Лекция 7 Аннотация. В данной лекции раскрывается понятие закона больших чисел. Ключевые слова. Закон больших чисел, теорема Чебышева, теорема Бернулли. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая

30 статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава ( стр.95-98), Ч. глава 9 ( стр0-0). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник) Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с. -

31 4. Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин: Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин: X D( X ) D X... X [ D( X)... D( X )]. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Вопросы для изучения:. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные вкличины. Теоремы Чебышева и Бернулли. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины Рассмотрим взаимно независимых случайных величин Х, Х, Х, которые имеют одинаковые распределения, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание и дисперсию). Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых величин через X :

32 X X X... X Пусть M X ) M( X )... M( X ) a (, D ( X ) D( X )... D( X ).. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин: M X X ) M X... X ( [ M ( X )... M ( X )] a a. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин: X D( X ) D X... X [ D( X)... D( X )]. Закон больших чисел Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим. Неравенство Чебышева Теорема: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного D( X ) D( X ) числа, не меньше, чем, т.е. P{ X } m

33 Теорема Чебышева. Если Х, Х, Х попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянное число с), то, как бы ни было мало положительное число, вероятность неравенства X X... X M ( X) M ( X )... M ( X ) будет как угодно близка к единице, если число случайных величин велико. X X... X M ( X) M ( X )... M ( X ) Таким образом lm P Вывод: среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Теорема Бернулли Если в каждом из независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний будет достаточно велико: m P p. Тема 3: ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Лекция 8 Аннотация. В данной лекции вводятся понятия непрерывной случайной величины и функции распределения, а также доказываются свойства функции распределения.

34 Ключевые слова. Непрерывная случайная величина, функция распределения Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава 0 (стр.-6). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник). 5-56,6-6. Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. -

35 . Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Непрерывная случайная величина - случайная величина Х, возможные значения которой заполняют сплошь интервал (a, b) или всю числовую ось. Функция распределения непрерывной случайной величины - вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x, т.е. F( x) P{ X x}. Вопросы для изучения:. Непрерывная случайная величина и ее функция распределения. Непрерывная случайная величина Рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой заполняют сплошь интервал (a, b) или всю числовую ось. Такая случайная величина называется непрерывной. Очевидно, непрерывную случайную величину нельзя задавать в виде перечня всех её значений и соответствующих вероятностей, как для дискретной случайной величины. Поэтому возникает необходимость ввести универсальный способ определения случайной величины.

36 Пусть х действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньшее х, т.е. вероятность события {X < x}, обозначим через F(x). Разумеется, если х изменяется, то изменяется и F(x), т.е. F(x) является функцией аргумента х: F( x) P{ X x}. Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Свойства функции распределения ) F(x) ; ) F( x ) F( x ), если х > x. 3) F(x) = 0 при x a; F(x) =, при x b. Следствие. Р{ a Х b} = F(b) - F(a). Следствие. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение равно нулю, т.е. P { X x } 0 Следствие 3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: lm F( x) 0; lm F( x). x x Лекция 9 Аннотация. В данной лекции вводятся понятия плотности распределения, математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины. Ключевые слова. Непрерывная случайная величина, плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия. Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая

37 статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава ; Ч. глава (стр.6-7). В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник). 6-69,75-80, 93, 96. Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с. -

38 4. Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Непрерывная случайная величина - случайная величина Х, возможные значения которой заполняют сплошь интервал (a, b) или всю числовую ось. Функция распределения непрерывной случайной величины - вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x, т.е. F( x) P{ X x}. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины первая производная от функции распределения непрерывной случайной f(x)=f'(x). Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называют определенный интеграл b M ( x) x f ( x) dx. a Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание её квадрата уклонения: b D ( x) [ x M ( x)] f ( x) dx ; a Вопросы для изучения:. Плотность распределения непрерывной случайной величины.. Числовые характеристики непрерывной случайной величины (математическое ожидание и дисперсия)

39 Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию f(x) первую производную от функции распределения F(x): F'(x) = f(x). Зная плотность распределения, функцию распределения можно определить: x F ( x) f ( t) dt. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения в пределах от a до b, т.е. P { a X b} f ( x) dx. b a Свойства плотности распределения. Плотность распределения неотрицательная функция: f(x) 0.. f ( x) dx. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называют определенный интеграл b M ( x) x f ( x) dx. a. Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание её квадрата уклонения: D ( x) [ x M ( x)] f ( x) dx ; Среднеквадратическое отклонение ( x) D( x). b a

40 Замечание. Легко доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин. Лекция 0 Аннотация. В данной лекции рассматривается нормальное распределение. Записывается его функция распределения и показывается, что параметры функции распределения являются математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Ключевые слова. Нормальное распределение, плотность математическое ожидание, дисперсия. распределения, Краткие обозначения Гмурман(учебник) Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с. Гмурман(задачник) Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса: «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. Методические рекомендации по изучению темы Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме и приводятся примеры решения задач; Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман (учебник) Ч. глава -4 (стр.7-3).

41 В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие задачи: Гмурман (задачник) Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты Рекомендуемые информационные ресурсы:. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 979, 400 с. - Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., с Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин - Изд-во "Лань", с Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", с Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. - Глоссарий Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей числовой оси, называют определенный интеграл M ( x) x f ( x) dx. Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание её квадрата уклонения: [ D ( x) x M ( x)] f ( x) dx.

42 Нормальное распределение - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью: f ( xa) x) e, где a -математическое ожидание и ( среднеквадратическое отклонение Вопросы для изучения:. Нормальное распределение случайной величины. Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью: f ( xa) x) e. ( Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами a -математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. При любых значениях параметров a и площадь ограниченная нормальной кривой и осью O остается равной единице. Заметим, что при a = 0, = нормальный закон распределения называется основным. Лекция Аннотация. В данной лекции выводится формула вычисления вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Доказывается правило «трех сигм» и формулируется центральная предельная теорема А.М.Ляпунова.


Методические указания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические указания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Казанский Приволжский федеральный университет Институт геологии и нефтегазовых технологий Методические указания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Методическая разработка к практическим

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Направление подготовки

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Направление подготовки Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета 1. Общие положения Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» для бакалавров направления 27.03.04 «Управление в технических системах» Кисловодск,2016

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Элементы теории вероятностей и мат.

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Элементы теории вероятностей и мат. Факультет геологии, геофизики и геохимии РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Элементы теории вероятностей и мат. статистики» УЧЕБНЫЙ ПЛАН Всего

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г.

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УТВЕРЖДАЮ: Зам. Директора по УР Р.В. Закомолдин

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

ЕН.03. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЕН.03. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Правительство Санкт-Петербурга Комитет по науке и высшей школе Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Санкт-Петербургский политехнический колледж» УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

УМЕТЬ: решать задачи теории вероятностей, находить числовые

УМЕТЬ: решать задачи теории вероятностей, находить числовые 1 Цель и задачи изучения дисциплины Целью изучения дисциплины математики является: - выработать у студентов навыки в математическом исследовании различных технологических проблем; - развить логическое

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

А.Ю. Хасанова. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций

А.Ю. Хасанова. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Институт экономики и финансов Кафедра математики и экономической информатики А.Ю. Хасанова Теория вероятностей

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной.

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины Основные задачи дисциплины: Место дисциплины в структуре ООП Требования к результатам освоения дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины Основные задачи дисциплины: Место дисциплины в структуре ООП Требования к результатам освоения дисциплины 2 1. Цели и задачи дисциплины В настоящее время математический аппарат теории вероятностей широко используется при изучении массовых явлений в науке, технике, обществе. Методы теории вероятностей играют

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и математическая статистика»

1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и математическая статистика» 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и математическая статистика» 1.1. Область применения рабочей программы Рабочая программа по дисциплине ЕН.03 «Теория вероятностей и

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ СОДЕРЖАНИЕ 1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целями освоения дисциплины «Основы теории стохастических систем» являются: Формирование у студентов представления о природе вероятностных явлений и способах их описания; Развитие

Подробнее

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость 1. Цель и задачи учебной дисциплины: Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» являются: формирование математической культуры студентов, фундаментальная

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс теории вероятностей. Казань : Издво КГТУ, 2000. 200 с. 2. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс математической статистики. Казань : Изд-во КГТУ, 2001. 344 с. 3. Хуснутдинов,

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Н.Ю. ГОЛОДНАЯ Н.Н. ДИЯКО ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЛИТЕРАТУРА. 1 Таблица значений функции ϕ ( x)

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЛИТЕРАТУРА. 1 Таблица значений функции ϕ ( x) ЛИТЕРАТУРА. Венцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука,. 0 с.. Венцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука,. с.. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.:

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" ГЛАЗОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГОУ СПО ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично).

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично). Т Неравенство Чебышева.33. Неравенство Чебышева Пусть случайная величина имеет второй начальный момент MХ, тогда: M 0 P( ) неравенство Чебышева () Док ( непрерывная случайная величина) MХ = x f( x) dx

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

Предельные теоремы 1

Предельные теоремы 1 Предельные теоремы 1 Неравенства Чебышёва Теорема. X 0 1. Если случайная величина неотрицательна и имеет конечное математическое ожидание MX, то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышёва

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ОРЛОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ОРЛОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ОРЛОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.03 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (базовая

Подробнее

Б1.Б.9 Теория вероятностей и математическая статистика наименование дисциплин/практики

Б1.Б.9 Теория вероятностей и математическая статистика наименование дисциплин/практики АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ/ПРАКТИКИ Б1.Б.9 Теория вероятностей и математическая статистика наименование дисциплин/практики Автор: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационных систем

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Подробнее

Требования к результатам освоения дисциплины:

Требования к результатам освоения дисциплины: 1. Цели и задачи дисциплины: получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической

Подробнее

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Надежность технических систем и техногенный риск 2018 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ отказы ТС* ошибки операторов ТС внешние негативные воздействия *Отказ это

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Организация-разработчик: ГБПОУ Стерлитамакский профессионально технический колледж

Организация-разработчик: ГБПОУ Стерлитамакский профессионально технический колледж Разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности 09.0.03 Программирование в компьютерных системах Организация-разработчик:

Подробнее

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд Глоссарий Вариационный ряд группированный статистический ряд Вариация - колеблемость, многообразие, изменчивость значения признака у единиц совокупности. Вероятность численная мера объективной возможности

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Математика Статистика

Математика Статистика Лукьянова Е.А. Математика Статистика «Сестринское дело» Основные понятия статистики Генеральная совокупность и выборка Типы данных и их представление Точечное оценивание Интервальное оценивание 2015

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.. Вероятность события...3.. Аксиомы

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 3 1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математической статистики в современной науке и технике, будущие специалисты в области энергоэффективных технологий нуждаются в серьезных знаниях теории

Подробнее

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Случайным событием называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти Комплекс условий, которые необходимы для

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 2

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Конспект лекций для студентов специальности 5В074600

Подробнее

1. Пояснительная записка

1. Пояснительная записка ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Пояснительная записка 3 2. Тематический план дисциплины 5 3. Содержание обязательного и самостоятельного изучения 6 (теоретического курса, семинарских и практических занятий) 4. Вопросы для

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Рабочая программа Ф СО ПГУ 7.18.2/06 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Кафедра математики РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА дисциплины

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный педагогический

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Сведения об учебниках. Наименование, гриф. Смерчинская С. О., Соколов В. В. изд. - М. : ФОРУМ, с. - (Профессиональное образование).

Сведения об учебниках. Наименование, гриф. Смерчинская С. О., Соколов В. В. изд. - М. : ФОРУМ, с. - (Профессиональное образование). Лист вкладка рабочей программы учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика, ТО.Ф.ОПД.09, федеральный название дисциплины, цикл, компонент Список основной учебной литературы Указания

Подробнее