МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для студентов курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление Издание первое Коломна КИ (ф) МГОУ

2 УДК 564 (75); ББК Рецензенты: кандидат физ-мат наук, доцент кафедры высшей математики и физики КИ (ф) МГОУ Бурмистров В В Калиниченко ЕФ ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для студентов курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление -е изд, Коломна: КИ (ф) МГОУ,, с Учебное пособие содержит лекции по интегральному исчислению Предназначено для студентов специальностей «менеджмент» и «государственное и муниципальное управление» технических университетов дневной формы обучения Учебное пособие содержит много решенных примеров и может быть использовано студентами при выполнении расчетнографической работы 3 Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики и физики 9г, протокол 3/

3 Лекция Определенный интеграл и его свойства 3 Понятие определенного интеграла Зададим на отрезке [, ], где, - конечные числа, неотрицательную непрерывную функцию f () Поставим задачу найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции = f (), осью O и прямыми =, = f ( c ) c с c + c = РисКриволинейная трапеция Разделим отрезок [, ] (Рис ) произвольным образом на равных частей точками = < < < < < + < = Через каждую точку проведем прямую параллельную оси O, тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок Выберем на каждом из частичных отрезков [, + ], где =,,,,, по произвольной точке c [, + ] и определим значения f ( c ) функции в этих точках Заменим теперь каждую полоску прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски Δ =, а высота h совпадает с соответствующим значением функции f ( ), то есть h = f ( c ) Таким образом, криволинейная трапеция заменилась некоторой ступенчатой фигурой, состоящей из отдельных прямоугольников Площадь каждого такого прямоугольника Δ s = Δ h = Δ f ( c ) Просуммировав площади всех прямоугольников, получим площадь ступенчатой фигуры σ Сумма вида σ = Δs = = = Δ f ( ), называется интегральной суммой для c функции = f () на отрезке [, ] Очевидно, что интегральная сумма зависит как от выбора точек разбиения,,,,,,, так и от выбора точек c, c,, c,, c

4 4 Площадь криволинейной трапеции можно считать приближенно равной площади ступенчатой фигуры S σ И это равенство тем точнее, чем больше и мельче разбиение на частичные отрезки Обозначим через λ наибольшую из длин частичных отрезков [, + ], λ = m Δ Определение Пусть предел интегральной суммы σ при стремлении λ к нулю существует, конечен и не зависит от выбора точек,,,,,, и точек c, c,, c,, c Тогда этот предел называется определенным интегралом функции = f () на отрезке [, ] и обозначается f ( ) d, а сама функция = f () называется интегрируемой на отрезке [, ], те f ( ) d = lm λ = Δ f ( ) При этом, число называют нижним пределом, c число - верхним пределом определенного интеграл; функция f () называется подынтегральной функцией, выражение f ( ) d - подынтегральным выражением, а задача нахождения интегрированием функции () f ( ) d - f на отрезке [, ] Отрезок [, ] называют отрезком интегрирования, а - переменной интегрирования Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла f ) d ( = f t) dt ( = f z) dz ( =, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы σ Несмотря на сходство обозначений и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различные понятия: в то время как f ( ) d представляет семейство функций, f ) d ( есть определенное число Необходимое условие существования определенного интеграла Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], то она ограничена на этом отрезке, то есть m f ( ) M, если [, ] Действительно, если функция f () неограниченна, то это свойство функции сохранится, хотя бы в одном из промежутков Δ Тогда за счет выбора в этом промежутке точки c можно было бы сделать f ( c ), а с ней и σ сколь угодно большой В этих условиях конечного предела для суммы σ существовать не могло бы Достаточное условие существования определенного интеграла Если функция f () непрерывна на отрезке [, ], то она интегрируема на этом отрезке

5 Геометрический смысл определенного интеграла 5 Из сказанного выше ясно, что искомая площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции = f (), осью O и прямыми =? =, равна определенному интегралу от этой функции по отрезку [, ], те S = f ( ) d, в случае, если < В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла 3 Экономический смысл интеграла Пусть функция z = f (t) задает изменение производительности некоторого производства с течением времени Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [, T ] Если производительность f (t) постоянна, то объем произведенной продукции Δ u, произведенной за промежуток времени [ t, t + Δt], задается формулой Δ u = f ( t) Δt В общем случае имеем приближенное равенство Δ u f ( c) Δt, где c [ t, t Δt] +, которое оказывается тем точнее, чем меньше t Разобьем отрезок [, T ] на части точками = t < t < t < < t = T За промежуток времени [ t, t ] объем произведенной продукции определится равенством Δ u f ( c ) Δt, где c [ t, t ], Δt = t t, =,,, Тогда весь объем продукции равен величине u = Δ u = = Δ f ( c ) Δt Если λ = m Δt каждое из полученных приближенных равенств становится более точным, поэтому определенного интеграла u = T u = lm λ = f ( c ) Δt Учитывая определение f ( t) dt, делаем вывод, что если f (t) - T производительность труда в момент времени t, то f ( t) dt есть объем выпущенной продукции за промежуток времени [, T ] В этом и заключается экономический смысл определенного интеграла 4 Свойства определенного интеграла Если f () интегрируема на отрезке [, ], то она интегрируема и на отрезке [, ], причем f ( ) d = f ( ) d Заметим еще, что по определению же полагают

6 f ( ) d = Если f () интегрируема на наибольшем из отрезков [, ] 6,[, с] и [ с, ], тогда она интегрируема и на двух других, причем имеет место равенство f ) d с ( = f ) d ( + с f ( ) d 3 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], то () также интегрируема и на отрезке [, ], причем, kf, где k = cost kf ( ) d = k f ( ) d Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла 4 Если функции f () и g () интегрируемы на отрезке [, ], то функция f ( ) ± g( ) также интегрируема и на отрезке [, ], причем, ( f ( ) d ± g( )) d = f ) d ± ( g ( ) d Те интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме от этих функций Это свойство остается справедливым и для любого конечного числа слагаемых 5 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], неотрицательна и <, то f ( ) d 6 Если функции f () и g () интегрируемы на отрезке [, ] при всех значениях [, ], то и f ( ) g( ) f ( ) d g ( ) d, в предположении, что Те обе части неравенства можно интегрировать 7 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ] и <, то функция f ( ) также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство < f ( ) d f ( ) d 8 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ] [, ] имеет место неравенство m f ( ) M, то и при всех значениях

7 7 m( ) f ( ) d M ( ), в предположении, что 9 Теорема о среднем Если функция f () непрерывна и интегрируема на отрезке [, ], тогда существует точка c [, ], такая, что имеет место равенство в предположении, что < f ( ) d = f ( c)( ), <

8 ЛЕКЦИЯ Вычисление определенных интегралов 8 Формула Ньютона-Лейбница Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями интегральные суммы имеют громоздкий характер и их трудно преобразовать к виду удобному для вычисления интегралов По крайней мере, нет общих методов, как это сделать Каждая задача решалась индивидуально, пока Ньютону и Лейбницу не удалось показать, что вычисление определенного интеграла от функции можно свести к отысканию ее первообразной Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], то она интегрируема и на отрезке [, ], где [, ], те существует интеграл является функцией, его обозначают f t) dt ( Этот интеграл Ф () = f ( t) dt () и называют интегралом с переменным верхним пределом Интеграл с переменным верхним пределом обладает свойствами, сформулированными в следующих теоремах Теорема Если f () - непрерывная на отрезке [, ] функция и Ф () = f ( t) dt, то Ф () = f (), или ( f ( t) dt) = f () () Доказательство Дадим аргументу приращение получит приращение Δ Ф = Ф( Δ) Ф( ) По свойству определенных интегралов + Δ + = f ( t) dt f ( t) dt + Δ f t) dt ( = Δ, тогда функция Ф () f t) dt + Δ ( + f t) dt (, тогда + Δ Δ Ф = f ( t) dt По условию f () непрерывная функция на отрезке [, ], а следовательно, и на отрезке [, + Δ], тогда по теореме о среднем существует + Δ точка c [, + Δ], такая что f t) ΔФ f ( c) Δ Ф () = lm = lm = lm f ( c) Δ Δ Δ Δ Δ Δ c ( dt = f c) Δ ( Таким образом, Δ Ф = f ( c) Δ Если Δ o точка c и тогда lm f ( c) = lm f ( c) Так как f () непрерывная функция, то lm f ( c) Ф = f () Что и требовалось доказать Равенство Ф () = () видим, () c = f () Как f, означает, что функция Ф () является первообразной функции f () Следствие Всякая непрерывная функция имеет первообразную

9 9 Действительно, если функция f () непрерывна, то существует функция Ф () = f ( t) dt, а по теореме она является первообразной функции f () Теорема Если F() есть некоторая первообразная от непрерывной функции f (), то справедлива формула f ( ) d = F () F() (3) Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница Доказательство Пусть F () есть некоторая первообразная f () По теореме () Ф = ( есть тоже первообразная f () Но любые две f t) dt первообразные функции отличаются лишь на постоянную величину C, следовательно, f ( t) dt F() =С (4) Постоянную ве6личину C легко определить, положив в равенстве (4) получаем С F() f ( t) dt = F() F() =, так как f ( t) dt =, то f ( t) dt F() = F() =,, или Положив, = получаем формулу Ньютона-Лейбница Это основная формула интегрального исчисления Она дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов непрерывных функций Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, которое он имеет в настоящее время Разность первообразных функций обычно обозначают F () F() = F() Пример s d = cos = cos + cos = Замена переменных в определенном интеграле Пусть необходимо вычислить интеграл f ( ) d, где f () непрерывная на отрезке [, ] функция Положим = ϕ(t), подчинив ϕ (t) условиям: Функция ϕ (t) определена и непрерывна на отрезке [ α, β ] и ее значения не выходят за границы [, ], те если t [ α, β ], то ϕ ( t) ϕ (α) =, ϕ (β ) = 3 На отрезке [ α, β ] существует непрерывная производная ϕ (t) Тогда имеет место формула

10 β f ( ) d = f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt (5) α Ввиду непрерывности подынтегральных функций существуют не только эти определенные интегралы, но и соответствующие первообразные Замечание Важной особенностью этой формулы является то, что получив искомую первообразную, выраженную через переменную t, мы не должны возвращаться к старой переменной Пример Найти интеграл 4 d Для вычисления интеграла воспользуемся подстановкой = s t, тогда 4 = 4 4s t = 4cos t, dt = costdt Причем, если =, t =, а если =, t = Имеем: 4 d = cost costdt = 4 cos tdt = 4 ( + cos t ) dt = ( t + s t) = ( + s s ) = s Пример 3 Найти интеграл d + cos Применив свойство определенного интеграла, имеем: s s s d = + cos d + + cos d + cos Во втором интеграле сделаем замену = t, тогда d = dt, s = s( t) = s t, cos = cos( t) = cost Если =, то t =, а если =, то t = Имеем: s ( t)s t ( t)s t s t t s t d = + cos ( dt) = + cos t dt = + cos t dt + cos t dt + cos t Исходный интеграл тогда равен s s s t d = + cos d + + cos + cos t s t dt t + cos d(cost) = rctg(cost) + = ( rctg rctg) = cos t 4 s t dt = t + cos dt = t 3 Интегрирование по частям определенного интеграла Предположим, что функции u () и v () имеют на отрезке [, ] непрерывные производные Интегрируя равенство d ( uv) = udv + vdu в пределах от точки = до точки =, получаем d uv) ( = udv + vdu

11 По формуле Ньютона-Лейбница d ( uv) = uv Окончательно имеем формулу интегрирования по частям определенного интеграла: udv = uv vdu (6) Пример 4 Найти интеграл d Пусть u =, dv = d тогда du = d, v = d = интегрирования по частям, тогда по формуле d = d = = ( ) = 4 Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном к нулю 4 Пусть f () непрерывная нечетная функция, определена на отрезке [, ], симметричном относительно точки = Докажем, что f ( ) d = Для доказательства разобьем отрезок [, ] на две части [,] и [, ] Тогда по свойству определенного интеграла: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d ( ) Применим к первому интегралу правой части этого равенства подстановку = t, тогда d = dt и в силу нечетности функции f () = f ( t) = f (t) Имеем f ( ) d = доказываемое f ( t) dt = f ( t) dt (свойство ) Подставив это в формулу ( ), имеем Пример 5 Найти интеграл ( + )s d Подынтегральная функция 5 5 f ( ) = ( + )s является нечетной, так как f ( ) = ( + )s ( ) = ( + )s Следовательно, ( + )s d = 4 Пусть f () непрерывная четная функция, определена на отрезке [, ], симметричном относительно точки = Выполнив преобразования аналогичные пункту 4, получим f ( ) d = f ( ) d Если f ( ) на отрезке [, ], то это результат получает простое геометрическое истолкование Площадь S (рис ) криволинейной трапеции, 5 5

12 симметричной относительно оси ординат, равна удвоенной площади правой половины S или левой половины S этой трапеции S S РисПлощадь S криволинейной трапеции

13 3 Лекция 3 Геометрические приложения определенного интеграла 3 Вычисление площадей плоских фигур 3 Пусть f ( ) при [, ] Тогда по геометрическому смыслу площадь S под кривой = f () на отрезке [, ] численно равна определенному интегралу = S = f ( ) d 3 Если же f ( ) для любых значений [, ], то S f ) d ( = f ( ) d Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой осью O = cos и O 3 Рис Площадь криволинейной трапеции примера 3 3 Как видим, cos, если [, ] [, ] и cos если [, ] тогда = S cos d + cos d + o 3 3 cos d = s 3 + s + s = (-)=4 3 E f () F B f () C O A D РисПлощадь S, ограниченная и сверху и снизу кривыми 33 Если же искомая площадь S ограничена снизу кривой = f ( ), сверху = f ( ) (см рис ), причем f ( ) f ( ) для всех значений [, ] Тогда

14 4 рассматривая ее как разность площадей двух фигур AEFD и ABCD, ( d получаем формулу S = f ( ) f ( )) Пример Вычислить площадь, заключенную между двумя параболами = и = Найдем точку пересечения парабол, для чего решим систему уравнений =, =, =, =, 4 = 3 = = ( ) = =, = Как видим, кривые пересекаются в двух точках O (,) и A (, ) = = A O Рис 3 Криволинейная трапеция примера Из рисунка 3 видно, что если [,], то кривая = лежит выше кривой = Следовательно, если [,] Тогда, на основании выше изложенного, искомая площадь равна 3 3 S = ( ) d = ( ) = ( ) = , Объем тел вращения Пусть на отрезке [, ] задана непрерывная функция f ( ) (Рис 4) Найдем объем V тела, образованного вращением вокруг оси O криволинейной трапеции, ограниченной линиями = f ( ), =, = и осью O

15 5 Разобьем отрезок [, ] на элементарные отрезки точками = < < < < < = и на каждом, полученном отрезке [, + ] произвольным образом выберем точку c, ], тогда искомый объем равен V = f ( c ) Δ [ + В этой формуле тое слагаемое есть объем цилиндра с высотой Δ = и радиусом основания r = f c ) ( =f() O Причем, приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина поэтому m Δ d = и получаем V = lm f ( c ) Δ d = Но выражение, стоящее в правой части равенства есть ни что иное, как определенный интеграл Следовательно, V = f ( ) d Δ, Формально заменяя в формуле V переменную на, получаем формулу для вычисления объема V тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси O V Рис 4 Объем тела вращения d = g ( ) d с Пример 3 Найти объемы тел, образованных вращением вокруг осей O и O фигуры, ограниченной линиями =, =, =, =

16 6 Построим фигуру, ограниченную, заданными линиями (рис 5) D B A O C Рис 5 Фигура, ограниченная линиями примера 3 V = ( ) d = d = = ( ) Разрешим уравнение = относительно переменной, = l = l Из чертежа видно, что объем V равен разности двух объемов V = V ODBC VADB V = ( ) d (l ) d = 4 4 l d Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям Пусть u = l, dv = d, тогда du = l d, v = V = 4 4 ( l + 8 l d = 4 8 l d Еще раз интегрируем по частям Пусть l d) = 4 4 ( l l l d) V = 8 ( l d) = 8 ( l l ) = 8 ( ( )) = 8 = 4 u = l, dv = d, тогда du = d, v =

17 7 Лекция 4 Несобственные интегралы До сих пор рассматривались интегралы f ( ) d, для которых отрезок [, ] был конечным, а функция f () на нем непрерывна Эти интегралы являлись пределом интегральной суммы Назовем такие интегралы собственными Для обобщения понятия определенного интеграла рассмотрим : ) определенный интеграл от непрерывной функции на бесконечном интервале; ) интеграл на конечном интервале от разрывной функции Назовем такие интегралы несобственные интегралы 4 Интегралы с бесконечными пределами Пусть функция f () определена на промежутке [, ) и интегрируема на отрезке [, ], при любом > Определение Предел интеграла f ( ) d при верхнем пределе стремящемся к бесконечности ( ), если он существует, будем называть несобственным интегралом в пределах от до + и обозначать символом f ) d ( В этом случае говорят, что интеграл f ) d ( сходится, а функция f () называется интегрируемой на промежутке [, ) Если предел не существует или равен, то говорят, что интеграл расходится, а функция на промежутке [, ) не интегрируема Таким образом, по определению f ) d ( = lm f ( ) d Совершенно аналогично определяется несобственные интегралы f ( ) d = lm f ( ) d и f ( ) d = lm f ( ) d + lm f ( ) d Если наряду с интегралом говорят, что интеграл f ) d f ) d ( сходится интеграл f ( ) d, то ( сходится абсолютно, а функция f () называется абсолютно интегрируемой на промежутке [, ) Если же интеграл f ( ) d сходится, а интеграл f ( ) d расходится, то говорит, что функция f () интегрируема условно на промежутке [, ) Замечание Из абсолютной сходимости интеграла следует просто сходимость интеграла f ( ) d Но не наоборот

18 8 4 Геометрический смысл несобственного интеграла Интеграл ( геометрически дает площадь F () криволинейной f ) d трапеции с основанием [ ] f ( ) d = ( трапеции (Рис ) lm f ) d lm F( ) ;, поэтому несобственный интеграл = представляет площадь бесконечно длинной f() F() O РисБесконечно длинная трапеция Если несобственный интеграл сходится, то площадь такой трапеции выражается определенным числом Если же интеграл f ( ) d расходится, то площадь равна бесконечности d Пример Вычислить интеграл + d = + + d( + ) lm + ( + ) + d + + lm ( rctg rctg( + )) = + d( + ) lm = ( + ) + ( rctg ( ) rctg ) d = d lm lm rctg ( + ) d lm = lm rctg( + ) = lm ( rctg( + ) rctg) = ( rctg rctg( )) + = ( ) + = 4 4 Пример Вычислить интеграл d

19 d 5 d = 9 lm d = lm d( ) = lm ( ) lm ( = + ) = + = d Пример 3 Вычислить интеграл = 5 4 lm d = lm ( ) = 4 4 lm ( 4 5 ) = 4 lm ( ) = = Исследование на сходимость Часто достаточно установить сходится или расходится интеграл, и оценить его значения Для этой цели полезны следующие теоремы Теорема Если для каждого значения, большего некоторого значения выполняется неравенство f ( ) g( ) и интеграл g ( ) d сходится, то интеграл f ( ) d тоже сходится, причем, выполняется неравенство f ( ) d g ( ) d d Пример 4 Исследовать на сходимость интеграл ( + ) Заметим, что для любого значения выполняется неравенство d Интеграл = = ( + ), сходится Следовательно, по теореме заданный интеграл тоже сходится, причем его значение удовлетворяет d неравенству ( + ) Теорема Если для каждого значения, большего некоторого значения выполняется неравенство f ( ) g( ) и интеграл f ( ) d расходится, то интеграл g ( ) d тоже расходится, ( + ) d Пример 5 Исследовать на сходимость интеграл 3 Заметим, что для любого значения выполняется неравенство + = 3 3 d Интеграл = =, расходится Следовательно, по теореме заданный интеграл тоже расходится cos d Пример 6 Исследовать на сходимость интеграл +

20 Рассмотрим интеграл d = lm + Интеграл = cos cos d Учтя, что cos, имеем d + сходится, тогда по теореме сходится и интеграл что заданный интеграл сходится абсолютно 44 Интегралы от разрывной функции lm ( rctg rctg) lm rctg = = rctg ( ) = cos d, а это означает, + Пусть функция f () определена и непрерывна на промежутке [, ), а в точке = функция терпит разрыв Несобственный интеграл от разрывной функции определяется следующим образом f ) d = ( lm β f ( ) d β В этом случае говорят, что интеграл f ( ) d сходится, а функция f () называется интегрируемой на промежутке [, ) Если предел не существует или равен, то говорят, что интеграл расходится, а функция на промежутке [, ) не интегрируема Если наряду с интегралом f ( ) d сходится интеграл f ( ) d, то говорят, что интеграл f ( ) d сходится абсолютно, а функция f () называется абсолютно интегрируемой на промежутке [, ) Если же интеграл f ( ) d сходится, а интеграл f ( ) d расходится, то говорит, что функция f () интегрируема условно на промежутке [, ) Замечание Из абсолютной сходимости интеграла следует просто сходимость интеграла f ) d ( Но не наоборот Если функция имеет разрыв в левом конце отрезка [ ] по определению f ) d = ( lm f ( ) d γ + Если функция имеет разрыв в некоторой точке γ ; (если = ), то = с отрезка [ ] ; (то есть с ( ; ) ), то полагают, что f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d Интеграл f ( ) d с сходится, если сходятся оба интеграла, стоящие справа В обоих случаях понятия абсолютной и условной сходимости определяются аналогично Пример 7 Вычислить интеграл d с

21 Подынтегральная функция терпит разрыв в точке = Поэтому d d = lm = lm ( ) = lm ( ) = Интеграл сходится d Пример 8 Вычислить интеграл Подынтегральная функция терпит разрыв в точке = Поэтому γ γ d d d d d = + = lm + + lm γ = lm ( ) + lm ( ) = lm ( ) γ + α α α γ + γ + lm ( + ) = + ( ) = Интеграл расходится α α Для разрывной функции теоремы и остаются справедливыми Пример 9 Исследовать на сходимость интеграл Подынтегральная функция терпит разрыв в точке = Так как значения ;, то имеет место очевидное неравенство 4 3, следовательно, [ ] 4 d d Интеграл = lm 3 + = lm ( ) = lm ( ) = сходится Следовательно заданный интеграл тоже сходится Геометрически несобственный интеграл от разрывной функции соответствует бесконечно высокой криволинейной трапеции (Рис ) d F () O α Рис Бесконечно высокая трапеция

22 ОГЛАВЛЕНИЕ Определенный интеграл и его свойства 3 Понятие определенного интеграла 3 Геометрический смысл определенного интеграла 5 3 Экономический смысл интеграла 5 4 Свойства определенного интеграла 5 Вычисление определенных интегралов 8 Формула Ньютона-Лейбница 8 Замена переменных в определенном интеграле 9 3 Интегрирование по частям определенного интеграла 4 Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном к нулю 3 Геометрические приложения определенного интеграла 3 3 Вычисление площадей плоских фигур 3 3 Объем тел вращения 4 4 Несобственные интегралы 7 4 Интегралы с бесконечными пределами 7 4 Геометрический смысл несобственного интеграла 8 43 Исследование на сходимость 9 44 Интегралы от разрывной функции

23 3 КАЛИНИЧЕНКО ЕЛЕНА ФЕДОРОВНА ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для студентов курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление Научный редактор: Бурмистров В В Подписано в печать 8 Печать лазерная Усл печ л Заказ Тираж экз

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i СА Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Интегралы Понятие определенного интеграла Определение (интеграла) Пусть f непрерывная функция на отрезке [, ] Пусть [, ] разбит на отрезков равной длины x Обозначим

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу УДК 5 Мироненко ЛП, Прокопенко НА Донецкий национальный технический университет, кафедра высшей математики им ВВПака Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу Анотація

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Определенный интеграл. 8-2 Методы вычисления определенного интеграла 8-3 Вычисление площадей плоских фигур 8-4 Несобственные интегралы

Определенный интеграл. 8-2 Методы вычисления определенного интеграла 8-3 Вычисление площадей плоских фигур 8-4 Несобственные интегралы Определенный интеграл 8-1 Основная формула интегрального исчисления 8-2 Методы вычисления определенного интеграла 8-3 Вычисление площадей плоских фигур 8-4 Несобственные интегралы Эпиграф Нет ни одной

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Примеры типовых задач письменного экзамена

Примеры типовых задач письменного экзамена Неопределенные интегралы Примеры типовых задач письменного экзамена Задача ( ) cos( ) d Решение u, du ( ) cos d cos d dv, v si ( Проверка ( Ответ ( )si cos cos d )si cos C si )si cos C ( ( ( u, du )si

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Бездомников А.В., Дмитриева Р.П., Семенкова О.М.

Бездомников А.В., Дмитриева Р.П., Семенкова О.М. Министерство образования и науки Российской Федерации Новомосковский институт филиал ФГБОУ ВПО "Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева" Бездомников А.В., Дмитриева Р.П., Семенкова

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости.

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости. ЛЕКЦИЯ Несобственные интегралы и их свойства Условная и абсолютная сходимость Признаки сходимости Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении,

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление) Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл определение свойства вычисление Лектор Рожкова С.В. 03 г. Глава II. Кратные криволинейные и поверхностные интегралы 7. Двойной интеграл.

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Лекция подготовлена доц Мусиной МВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Тема7. «Численное интегрирование.»

Тема7. «Численное интегрирование.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема7. «Численное интегрирование.» Кафедра теоретичской и прикладной математики. разработана доц.

Подробнее

для выполнения лабораторной работы 4

для выполнения лабораторной работы 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИБЛИЖЕННОЕ

Подробнее

( ) Рассматриваемые интегралы называются интегралами от дифференциального

( ) Рассматриваемые интегралы называются интегралами от дифференциального 7 Эйлер Леонард (Euler Leohrd) 707-78 математик, философ, физик. Жил и работал дважды в Петербурге 77-74гг. и с 766 до конца жизни. Одной из отличительных сторон Эейлера является его исключительная продуктивность.

Подробнее