МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для студентов курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление Издание первое Коломна КИ (ф) МГОУ

2 УДК 564 (75); ББК Рецензенты: кандидат физ-мат наук, доцент кафедры высшей математики и физики КИ (ф) МГОУ Бурмистров В В Калиниченко ЕФ ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для студентов курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление -е изд, Коломна: КИ (ф) МГОУ,, с Учебное пособие содержит лекции по интегральному исчислению Предназначено для студентов специальностей «менеджмент» и «государственное и муниципальное управление» технических университетов дневной формы обучения Учебное пособие содержит много решенных примеров и может быть использовано студентами при выполнении расчетнографической работы 3 Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики и физики 9г, протокол 3/

3 Лекция Определенный интеграл и его свойства 3 Понятие определенного интеграла Зададим на отрезке [, ], где, - конечные числа, неотрицательную непрерывную функцию f () Поставим задачу найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции = f (), осью O и прямыми =, = f ( c ) c с c + c = РисКриволинейная трапеция Разделим отрезок [, ] (Рис ) произвольным образом на равных частей точками = < < < < < + < = Через каждую точку проведем прямую параллельную оси O, тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок Выберем на каждом из частичных отрезков [, + ], где =,,,,, по произвольной точке c [, + ] и определим значения f ( c ) функции в этих точках Заменим теперь каждую полоску прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски Δ =, а высота h совпадает с соответствующим значением функции f ( ), то есть h = f ( c ) Таким образом, криволинейная трапеция заменилась некоторой ступенчатой фигурой, состоящей из отдельных прямоугольников Площадь каждого такого прямоугольника Δ s = Δ h = Δ f ( c ) Просуммировав площади всех прямоугольников, получим площадь ступенчатой фигуры σ Сумма вида σ = Δs = = = Δ f ( ), называется интегральной суммой для c функции = f () на отрезке [, ] Очевидно, что интегральная сумма зависит как от выбора точек разбиения,,,,,,, так и от выбора точек c, c,, c,, c

4 4 Площадь криволинейной трапеции можно считать приближенно равной площади ступенчатой фигуры S σ И это равенство тем точнее, чем больше и мельче разбиение на частичные отрезки Обозначим через λ наибольшую из длин частичных отрезков [, + ], λ = m Δ Определение Пусть предел интегральной суммы σ при стремлении λ к нулю существует, конечен и не зависит от выбора точек,,,,,, и точек c, c,, c,, c Тогда этот предел называется определенным интегралом функции = f () на отрезке [, ] и обозначается f ( ) d, а сама функция = f () называется интегрируемой на отрезке [, ], те f ( ) d = lm λ = Δ f ( ) При этом, число называют нижним пределом, c число - верхним пределом определенного интеграл; функция f () называется подынтегральной функцией, выражение f ( ) d - подынтегральным выражением, а задача нахождения интегрированием функции () f ( ) d - f на отрезке [, ] Отрезок [, ] называют отрезком интегрирования, а - переменной интегрирования Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла f ) d ( = f t) dt ( = f z) dz ( =, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы σ Несмотря на сходство обозначений и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различные понятия: в то время как f ( ) d представляет семейство функций, f ) d ( есть определенное число Необходимое условие существования определенного интеграла Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], то она ограничена на этом отрезке, то есть m f ( ) M, если [, ] Действительно, если функция f () неограниченна, то это свойство функции сохранится, хотя бы в одном из промежутков Δ Тогда за счет выбора в этом промежутке точки c можно было бы сделать f ( c ), а с ней и σ сколь угодно большой В этих условиях конечного предела для суммы σ существовать не могло бы Достаточное условие существования определенного интеграла Если функция f () непрерывна на отрезке [, ], то она интегрируема на этом отрезке

5 Геометрический смысл определенного интеграла 5 Из сказанного выше ясно, что искомая площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции = f (), осью O и прямыми =? =, равна определенному интегралу от этой функции по отрезку [, ], те S = f ( ) d, в случае, если < В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла 3 Экономический смысл интеграла Пусть функция z = f (t) задает изменение производительности некоторого производства с течением времени Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [, T ] Если производительность f (t) постоянна, то объем произведенной продукции Δ u, произведенной за промежуток времени [ t, t + Δt], задается формулой Δ u = f ( t) Δt В общем случае имеем приближенное равенство Δ u f ( c) Δt, где c [ t, t Δt] +, которое оказывается тем точнее, чем меньше t Разобьем отрезок [, T ] на части точками = t < t < t < < t = T За промежуток времени [ t, t ] объем произведенной продукции определится равенством Δ u f ( c ) Δt, где c [ t, t ], Δt = t t, =,,, Тогда весь объем продукции равен величине u = Δ u = = Δ f ( c ) Δt Если λ = m Δt каждое из полученных приближенных равенств становится более точным, поэтому определенного интеграла u = T u = lm λ = f ( c ) Δt Учитывая определение f ( t) dt, делаем вывод, что если f (t) - T производительность труда в момент времени t, то f ( t) dt есть объем выпущенной продукции за промежуток времени [, T ] В этом и заключается экономический смысл определенного интеграла 4 Свойства определенного интеграла Если f () интегрируема на отрезке [, ], то она интегрируема и на отрезке [, ], причем f ( ) d = f ( ) d Заметим еще, что по определению же полагают

6 f ( ) d = Если f () интегрируема на наибольшем из отрезков [, ] 6,[, с] и [ с, ], тогда она интегрируема и на двух других, причем имеет место равенство f ) d с ( = f ) d ( + с f ( ) d 3 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], то () также интегрируема и на отрезке [, ], причем, kf, где k = cost kf ( ) d = k f ( ) d Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла 4 Если функции f () и g () интегрируемы на отрезке [, ], то функция f ( ) ± g( ) также интегрируема и на отрезке [, ], причем, ( f ( ) d ± g( )) d = f ) d ± ( g ( ) d Те интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме от этих функций Это свойство остается справедливым и для любого конечного числа слагаемых 5 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], неотрицательна и <, то f ( ) d 6 Если функции f () и g () интегрируемы на отрезке [, ] при всех значениях [, ], то и f ( ) g( ) f ( ) d g ( ) d, в предположении, что Те обе части неравенства можно интегрировать 7 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ] и <, то функция f ( ) также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство < f ( ) d f ( ) d 8 Если функция f () интегрируема на отрезке [, ] [, ] имеет место неравенство m f ( ) M, то и при всех значениях

7 7 m( ) f ( ) d M ( ), в предположении, что 9 Теорема о среднем Если функция f () непрерывна и интегрируема на отрезке [, ], тогда существует точка c [, ], такая, что имеет место равенство в предположении, что < f ( ) d = f ( c)( ), <

8 ЛЕКЦИЯ Вычисление определенных интегралов 8 Формула Ньютона-Лейбница Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями интегральные суммы имеют громоздкий характер и их трудно преобразовать к виду удобному для вычисления интегралов По крайней мере, нет общих методов, как это сделать Каждая задача решалась индивидуально, пока Ньютону и Лейбницу не удалось показать, что вычисление определенного интеграла от функции можно свести к отысканию ее первообразной Если функция f () интегрируема на отрезке [, ], то она интегрируема и на отрезке [, ], где [, ], те существует интеграл является функцией, его обозначают f t) dt ( Этот интеграл Ф () = f ( t) dt () и называют интегралом с переменным верхним пределом Интеграл с переменным верхним пределом обладает свойствами, сформулированными в следующих теоремах Теорема Если f () - непрерывная на отрезке [, ] функция и Ф () = f ( t) dt, то Ф () = f (), или ( f ( t) dt) = f () () Доказательство Дадим аргументу приращение получит приращение Δ Ф = Ф( Δ) Ф( ) По свойству определенных интегралов + Δ + = f ( t) dt f ( t) dt + Δ f t) dt ( = Δ, тогда функция Ф () f t) dt + Δ ( + f t) dt (, тогда + Δ Δ Ф = f ( t) dt По условию f () непрерывная функция на отрезке [, ], а следовательно, и на отрезке [, + Δ], тогда по теореме о среднем существует + Δ точка c [, + Δ], такая что f t) ΔФ f ( c) Δ Ф () = lm = lm = lm f ( c) Δ Δ Δ Δ Δ Δ c ( dt = f c) Δ ( Таким образом, Δ Ф = f ( c) Δ Если Δ o точка c и тогда lm f ( c) = lm f ( c) Так как f () непрерывная функция, то lm f ( c) Ф = f () Что и требовалось доказать Равенство Ф () = () видим, () c = f () Как f, означает, что функция Ф () является первообразной функции f () Следствие Всякая непрерывная функция имеет первообразную

9 9 Действительно, если функция f () непрерывна, то существует функция Ф () = f ( t) dt, а по теореме она является первообразной функции f () Теорема Если F() есть некоторая первообразная от непрерывной функции f (), то справедлива формула f ( ) d = F () F() (3) Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница Доказательство Пусть F () есть некоторая первообразная f () По теореме () Ф = ( есть тоже первообразная f () Но любые две f t) dt первообразные функции отличаются лишь на постоянную величину C, следовательно, f ( t) dt F() =С (4) Постоянную ве6личину C легко определить, положив в равенстве (4) получаем С F() f ( t) dt = F() F() =, так как f ( t) dt =, то f ( t) dt F() = F() =,, или Положив, = получаем формулу Ньютона-Лейбница Это основная формула интегрального исчисления Она дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов непрерывных функций Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, которое он имеет в настоящее время Разность первообразных функций обычно обозначают F () F() = F() Пример s d = cos = cos + cos = Замена переменных в определенном интеграле Пусть необходимо вычислить интеграл f ( ) d, где f () непрерывная на отрезке [, ] функция Положим = ϕ(t), подчинив ϕ (t) условиям: Функция ϕ (t) определена и непрерывна на отрезке [ α, β ] и ее значения не выходят за границы [, ], те если t [ α, β ], то ϕ ( t) ϕ (α) =, ϕ (β ) = 3 На отрезке [ α, β ] существует непрерывная производная ϕ (t) Тогда имеет место формула

10 β f ( ) d = f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt (5) α Ввиду непрерывности подынтегральных функций существуют не только эти определенные интегралы, но и соответствующие первообразные Замечание Важной особенностью этой формулы является то, что получив искомую первообразную, выраженную через переменную t, мы не должны возвращаться к старой переменной Пример Найти интеграл 4 d Для вычисления интеграла воспользуемся подстановкой = s t, тогда 4 = 4 4s t = 4cos t, dt = costdt Причем, если =, t =, а если =, t = Имеем: 4 d = cost costdt = 4 cos tdt = 4 ( + cos t ) dt = ( t + s t) = ( + s s ) = s Пример 3 Найти интеграл d + cos Применив свойство определенного интеграла, имеем: s s s d = + cos d + + cos d + cos Во втором интеграле сделаем замену = t, тогда d = dt, s = s( t) = s t, cos = cos( t) = cost Если =, то t =, а если =, то t = Имеем: s ( t)s t ( t)s t s t t s t d = + cos ( dt) = + cos t dt = + cos t dt + cos t dt + cos t Исходный интеграл тогда равен s s s t d = + cos d + + cos + cos t s t dt t + cos d(cost) = rctg(cost) + = ( rctg rctg) = cos t 4 s t dt = t + cos dt = t 3 Интегрирование по частям определенного интеграла Предположим, что функции u () и v () имеют на отрезке [, ] непрерывные производные Интегрируя равенство d ( uv) = udv + vdu в пределах от точки = до точки =, получаем d uv) ( = udv + vdu

11 По формуле Ньютона-Лейбница d ( uv) = uv Окончательно имеем формулу интегрирования по частям определенного интеграла: udv = uv vdu (6) Пример 4 Найти интеграл d Пусть u =, dv = d тогда du = d, v = d = интегрирования по частям, тогда по формуле d = d = = ( ) = 4 Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном к нулю 4 Пусть f () непрерывная нечетная функция, определена на отрезке [, ], симметричном относительно точки = Докажем, что f ( ) d = Для доказательства разобьем отрезок [, ] на две части [,] и [, ] Тогда по свойству определенного интеграла: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d ( ) Применим к первому интегралу правой части этого равенства подстановку = t, тогда d = dt и в силу нечетности функции f () = f ( t) = f (t) Имеем f ( ) d = доказываемое f ( t) dt = f ( t) dt (свойство ) Подставив это в формулу ( ), имеем Пример 5 Найти интеграл ( + )s d Подынтегральная функция 5 5 f ( ) = ( + )s является нечетной, так как f ( ) = ( + )s ( ) = ( + )s Следовательно, ( + )s d = 4 Пусть f () непрерывная четная функция, определена на отрезке [, ], симметричном относительно точки = Выполнив преобразования аналогичные пункту 4, получим f ( ) d = f ( ) d Если f ( ) на отрезке [, ], то это результат получает простое геометрическое истолкование Площадь S (рис ) криволинейной трапеции, 5 5

12 симметричной относительно оси ординат, равна удвоенной площади правой половины S или левой половины S этой трапеции S S РисПлощадь S криволинейной трапеции

13 3 Лекция 3 Геометрические приложения определенного интеграла 3 Вычисление площадей плоских фигур 3 Пусть f ( ) при [, ] Тогда по геометрическому смыслу площадь S под кривой = f () на отрезке [, ] численно равна определенному интегралу = S = f ( ) d 3 Если же f ( ) для любых значений [, ], то S f ) d ( = f ( ) d Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой осью O = cos и O 3 Рис Площадь криволинейной трапеции примера 3 3 Как видим, cos, если [, ] [, ] и cos если [, ] тогда = S cos d + cos d + o 3 3 cos d = s 3 + s + s = (-)=4 3 E f () F B f () C O A D РисПлощадь S, ограниченная и сверху и снизу кривыми 33 Если же искомая площадь S ограничена снизу кривой = f ( ), сверху = f ( ) (см рис ), причем f ( ) f ( ) для всех значений [, ] Тогда

14 4 рассматривая ее как разность площадей двух фигур AEFD и ABCD, ( d получаем формулу S = f ( ) f ( )) Пример Вычислить площадь, заключенную между двумя параболами = и = Найдем точку пересечения парабол, для чего решим систему уравнений =, =, =, =, 4 = 3 = = ( ) = =, = Как видим, кривые пересекаются в двух точках O (,) и A (, ) = = A O Рис 3 Криволинейная трапеция примера Из рисунка 3 видно, что если [,], то кривая = лежит выше кривой = Следовательно, если [,] Тогда, на основании выше изложенного, искомая площадь равна 3 3 S = ( ) d = ( ) = ( ) = , Объем тел вращения Пусть на отрезке [, ] задана непрерывная функция f ( ) (Рис 4) Найдем объем V тела, образованного вращением вокруг оси O криволинейной трапеции, ограниченной линиями = f ( ), =, = и осью O

15 5 Разобьем отрезок [, ] на элементарные отрезки точками = < < < < < = и на каждом, полученном отрезке [, + ] произвольным образом выберем точку c, ], тогда искомый объем равен V = f ( c ) Δ [ + В этой формуле тое слагаемое есть объем цилиндра с высотой Δ = и радиусом основания r = f c ) ( =f() O Причем, приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина поэтому m Δ d = и получаем V = lm f ( c ) Δ d = Но выражение, стоящее в правой части равенства есть ни что иное, как определенный интеграл Следовательно, V = f ( ) d Δ, Формально заменяя в формуле V переменную на, получаем формулу для вычисления объема V тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси O V Рис 4 Объем тела вращения d = g ( ) d с Пример 3 Найти объемы тел, образованных вращением вокруг осей O и O фигуры, ограниченной линиями =, =, =, =

16 6 Построим фигуру, ограниченную, заданными линиями (рис 5) D B A O C Рис 5 Фигура, ограниченная линиями примера 3 V = ( ) d = d = = ( ) Разрешим уравнение = относительно переменной, = l = l Из чертежа видно, что объем V равен разности двух объемов V = V ODBC VADB V = ( ) d (l ) d = 4 4 l d Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям Пусть u = l, dv = d, тогда du = l d, v = V = 4 4 ( l + 8 l d = 4 8 l d Еще раз интегрируем по частям Пусть l d) = 4 4 ( l l l d) V = 8 ( l d) = 8 ( l l ) = 8 ( ( )) = 8 = 4 u = l, dv = d, тогда du = d, v =

17 7 Лекция 4 Несобственные интегралы До сих пор рассматривались интегралы f ( ) d, для которых отрезок [, ] был конечным, а функция f () на нем непрерывна Эти интегралы являлись пределом интегральной суммы Назовем такие интегралы собственными Для обобщения понятия определенного интеграла рассмотрим : ) определенный интеграл от непрерывной функции на бесконечном интервале; ) интеграл на конечном интервале от разрывной функции Назовем такие интегралы несобственные интегралы 4 Интегралы с бесконечными пределами Пусть функция f () определена на промежутке [, ) и интегрируема на отрезке [, ], при любом > Определение Предел интеграла f ( ) d при верхнем пределе стремящемся к бесконечности ( ), если он существует, будем называть несобственным интегралом в пределах от до + и обозначать символом f ) d ( В этом случае говорят, что интеграл f ) d ( сходится, а функция f () называется интегрируемой на промежутке [, ) Если предел не существует или равен, то говорят, что интеграл расходится, а функция на промежутке [, ) не интегрируема Таким образом, по определению f ) d ( = lm f ( ) d Совершенно аналогично определяется несобственные интегралы f ( ) d = lm f ( ) d и f ( ) d = lm f ( ) d + lm f ( ) d Если наряду с интегралом говорят, что интеграл f ) d f ) d ( сходится интеграл f ( ) d, то ( сходится абсолютно, а функция f () называется абсолютно интегрируемой на промежутке [, ) Если же интеграл f ( ) d сходится, а интеграл f ( ) d расходится, то говорит, что функция f () интегрируема условно на промежутке [, ) Замечание Из абсолютной сходимости интеграла следует просто сходимость интеграла f ( ) d Но не наоборот

18 8 4 Геометрический смысл несобственного интеграла Интеграл ( геометрически дает площадь F () криволинейной f ) d трапеции с основанием [ ] f ( ) d = ( трапеции (Рис ) lm f ) d lm F( ) ;, поэтому несобственный интеграл = представляет площадь бесконечно длинной f() F() O РисБесконечно длинная трапеция Если несобственный интеграл сходится, то площадь такой трапеции выражается определенным числом Если же интеграл f ( ) d расходится, то площадь равна бесконечности d Пример Вычислить интеграл + d = + + d( + ) lm + ( + ) + d + + lm ( rctg rctg( + )) = + d( + ) lm = ( + ) + ( rctg ( ) rctg ) d = d lm lm rctg ( + ) d lm = lm rctg( + ) = lm ( rctg( + ) rctg) = ( rctg rctg( )) + = ( ) + = 4 4 Пример Вычислить интеграл d

19 d 5 d = 9 lm d = lm d( ) = lm ( ) lm ( = + ) = + = d Пример 3 Вычислить интеграл = 5 4 lm d = lm ( ) = 4 4 lm ( 4 5 ) = 4 lm ( ) = = Исследование на сходимость Часто достаточно установить сходится или расходится интеграл, и оценить его значения Для этой цели полезны следующие теоремы Теорема Если для каждого значения, большего некоторого значения выполняется неравенство f ( ) g( ) и интеграл g ( ) d сходится, то интеграл f ( ) d тоже сходится, причем, выполняется неравенство f ( ) d g ( ) d d Пример 4 Исследовать на сходимость интеграл ( + ) Заметим, что для любого значения выполняется неравенство d Интеграл = = ( + ), сходится Следовательно, по теореме заданный интеграл тоже сходится, причем его значение удовлетворяет d неравенству ( + ) Теорема Если для каждого значения, большего некоторого значения выполняется неравенство f ( ) g( ) и интеграл f ( ) d расходится, то интеграл g ( ) d тоже расходится, ( + ) d Пример 5 Исследовать на сходимость интеграл 3 Заметим, что для любого значения выполняется неравенство + = 3 3 d Интеграл = =, расходится Следовательно, по теореме заданный интеграл тоже расходится cos d Пример 6 Исследовать на сходимость интеграл +

20 Рассмотрим интеграл d = lm + Интеграл = cos cos d Учтя, что cos, имеем d + сходится, тогда по теореме сходится и интеграл что заданный интеграл сходится абсолютно 44 Интегралы от разрывной функции lm ( rctg rctg) lm rctg = = rctg ( ) = cos d, а это означает, + Пусть функция f () определена и непрерывна на промежутке [, ), а в точке = функция терпит разрыв Несобственный интеграл от разрывной функции определяется следующим образом f ) d = ( lm β f ( ) d β В этом случае говорят, что интеграл f ( ) d сходится, а функция f () называется интегрируемой на промежутке [, ) Если предел не существует или равен, то говорят, что интеграл расходится, а функция на промежутке [, ) не интегрируема Если наряду с интегралом f ( ) d сходится интеграл f ( ) d, то говорят, что интеграл f ( ) d сходится абсолютно, а функция f () называется абсолютно интегрируемой на промежутке [, ) Если же интеграл f ( ) d сходится, а интеграл f ( ) d расходится, то говорит, что функция f () интегрируема условно на промежутке [, ) Замечание Из абсолютной сходимости интеграла следует просто сходимость интеграла f ) d ( Но не наоборот Если функция имеет разрыв в левом конце отрезка [ ] по определению f ) d = ( lm f ( ) d γ + Если функция имеет разрыв в некоторой точке γ ; (если = ), то = с отрезка [ ] ; (то есть с ( ; ) ), то полагают, что f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d Интеграл f ( ) d с сходится, если сходятся оба интеграла, стоящие справа В обоих случаях понятия абсолютной и условной сходимости определяются аналогично Пример 7 Вычислить интеграл d с

21 Подынтегральная функция терпит разрыв в точке = Поэтому d d = lm = lm ( ) = lm ( ) = Интеграл сходится d Пример 8 Вычислить интеграл Подынтегральная функция терпит разрыв в точке = Поэтому γ γ d d d d d = + = lm + + lm γ = lm ( ) + lm ( ) = lm ( ) γ + α α α γ + γ + lm ( + ) = + ( ) = Интеграл расходится α α Для разрывной функции теоремы и остаются справедливыми Пример 9 Исследовать на сходимость интеграл Подынтегральная функция терпит разрыв в точке = Так как значения ;, то имеет место очевидное неравенство 4 3, следовательно, [ ] 4 d d Интеграл = lm 3 + = lm ( ) = lm ( ) = сходится Следовательно заданный интеграл тоже сходится Геометрически несобственный интеграл от разрывной функции соответствует бесконечно высокой криволинейной трапеции (Рис ) d F () O α Рис Бесконечно высокая трапеция

22 ОГЛАВЛЕНИЕ Определенный интеграл и его свойства 3 Понятие определенного интеграла 3 Геометрический смысл определенного интеграла 5 3 Экономический смысл интеграла 5 4 Свойства определенного интеграла 5 Вычисление определенных интегралов 8 Формула Ньютона-Лейбница 8 Замена переменных в определенном интеграле 9 3 Интегрирование по частям определенного интеграла 4 Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном к нулю 3 Геометрические приложения определенного интеграла 3 3 Вычисление площадей плоских фигур 3 3 Объем тел вращения 4 4 Несобственные интегралы 7 4 Интегралы с бесконечными пределами 7 4 Геометрический смысл несобственного интеграла 8 43 Исследование на сходимость 9 44 Интегралы от разрывной функции

23 3 КАЛИНИЧЕНКО ЕЛЕНА ФЕДОРОВНА ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для студентов курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление Научный редактор: Бурмистров В В Подписано в печать 8 Печать лазерная Усл печ л Заказ Тираж экз

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i СА Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Интегралы Понятие определенного интеграла Определение (интеграла) Пусть f непрерывная функция на отрезке [, ] Пусть [, ] разбит на отрезков равной длины x Обозначим

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Бездомников А.В., Дмитриева Р.П., Семенкова О.М.

Бездомников А.В., Дмитриева Р.П., Семенкова О.М. Министерство образования и науки Российской Федерации Новомосковский институт филиал ФГБОУ ВПО "Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева" Бездомников А.В., Дмитриева Р.П., Семенкова

Подробнее

Определенный интеграл. 8-2 Методы вычисления определенного интеграла 8-3 Вычисление площадей плоских фигур 8-4 Несобственные интегралы

Определенный интеграл. 8-2 Методы вычисления определенного интеграла 8-3 Вычисление площадей плоских фигур 8-4 Несобственные интегралы Определенный интеграл 8-1 Основная формула интегрального исчисления 8-2 Методы вычисления определенного интеграла 8-3 Вычисление площадей плоских фигур 8-4 Несобственные интегралы Эпиграф Нет ни одной

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МОДУЛЬ 6 «Первообразная и интеграл»

МОДУЛЬ 6 «Первообразная и интеграл» МОДУЛЬ 6 «Первообразная и интеграл». Первообразная. Определение первообразной.. Правила нахождения первообразной.. Интеграл. Неопределенный и определенный интегралы. Площадь криволинейной трапеции.. Интеграл.

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). f x и x

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). f x и x Несобственные интегралы. Несобственные интегралы -го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). Определение. Пусть функция f x определена на полупрямой и интегрируема по сегменту при любом несобственным

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости.

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости. ЛЕКЦИЯ Несобственные интегралы и их свойства Условная и абсолютная сходимость Признаки сходимости Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении,

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мариуполь 2009 УДК 517.2

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Глава 2. Определенный интеграл.

Глава 2. Определенный интеграл. Глава. Определенный интеграл... Понятие определенного интеграла. В первой главе мы изучали неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

для выполнения лабораторной работы 4

для выполнения лабораторной работы 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИБЛИЖЕННОЕ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Неопределенные и определенные

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины Неопределенные и определенные Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Неопределенные и определенные УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет интегралы. Ряды" Трубопроводного транспорта

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Интегральное исчисление. функции одной переменной

Интегральное исчисление. функции одной переменной Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Интегральное исчисление функции одной

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Кафедра ВМ. Несобственные интегралы 1

Кафедра ВМ. Несобственные интегралы 1 +A lim A + A f x V. P. f x Кафедра ВМ. Несобственные интегралы При найденной первообразной эта формула сводит подсчёт определённого интеграла к простой подстановке в первообразную заданных пределов интегрирования...

Подробнее

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Нукусский филиал ташкентского университета информационных технологий САМОМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ВД Кулиев ЕВ Макаров ВМ Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов курса технических специальностей Предисловие Настоящее пособие предназначено

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Подробнее

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение. Свойства. Признаки сходимости. Примеры с решениями. Определение Пусть функция f() определена для всех а и интегрируема на любом

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Пример выполнения задач, аналогичных задачам 1-10 (КР-3). Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1) ; 2) ; 3).

Пример выполнения задач, аналогичных задачам 1-10 (КР-3). Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1) ; 2) ; 3). Контрольная работа 3 Тема 5. Неопределенные интегралы Задачи 1-10 посвящены вычислениям нетабличных интегралов различными методами с последующей проверкой дифференцированием. Используются следующие приемы

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Математический анализ в вопросах и задачах

Математический анализ в вопросах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Математический

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение.

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Определенный интеграл в экономических задачах

Определенный интеграл в экономических задачах АЕ Ситун А Е Ситун Определенный интеграл в экономических задачах Определенный интеграл Учебное пособие в экономических задачах Р Учебное пособие Р А P S P P В Q P D Q Q Q Министерство образования и науки

Подробнее

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла VII Определенный интеграл и его приложения Некоторые задачи приводящие к понятию определенного интеграла Задача Вычисление пройденного пути при неравномерном движении Пусть точка движется по прямолинейной

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Содержание ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Частные производные первого порядка Частные производные высших порядков ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Подробнее