Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Транскрипт

1 Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение в заданное уравнение: ( ln + C + ) (ln + C) = Раскрывая скобки, и приводя подобные имеем: х=х Получили тождество Таким образом, данная функция удовлетворяет ззаданному уравнению Задание Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (ху +х)d + (- )d=0 Преобразуем данное уравнение: (- )d=-( +)d Это уравнение с разделяющимися переменными Разделяем переменные: d d = + Интегрируем обе части последнего равенства: d d = +, ln ( + ) = ln + ln C, +=C -, =C - - Следовательно, общим решением исходного уравнения является = ± C tg d tg d + = 0 cos cos

2 Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Разделяем их и интегрируем уравнение: d d + = 0, cos tg cos tg ln tg + ln tg =lnc Общий интеграл исходного уравнения: tg tg =C d d - = + d d Определим тип данного уравнения, для этого выразим : d = d + Исходное уравнение является однородным уравнением первого порядка Решаем его с помощью подстановки =t = t + t Далее находим: t- t + t =, t + t- t = t, t + t + t = Данное уравнение с разделяющимися t + переменными Решаем его: t + d dt =, t + t dt dt d + = t + t +, ln t + + arctg t = ln + ln C, C arctg t = ln ln t +,

3 C arctg = ln общий интеграл исходного уравнения + 4 d d + d d = d, (0)=ln 5 Определим тип данного уравнения, для этого выразим : d + =, d d ( ) = +, d d + = Полученное уравнение линейное первого d порядка Решаем его с помощью подстановки =u()v(), = u v + uv Имеем: - u v + uv + uv =, - u v + u( v + v) = (*) ) Найдём v() из условия: du v + v = 0, =, d dv = v, d d du =, ln v=-, v= - u=-ln - + lnc, C ) Подставляем u = ln полученное выражение для v() в уравнение (*): - u v =, C Тогда = ln является общим решением исходного уравнения

4 Для нахождения частного решения найдём С, используя начальное условие, те 0 C ln5= ln, 0 ln5=lnс Следовательно, C=5 Частное решение исходного уравнения 5 имеет вид: = ln d 5 ( + ) = + d Преобразуем данное уравнение для того, чтобы определить его тип Получим d + = d + d = Данное уравнение является уравнением d + + Бернулли Решаем его с помощью подстановки =u()v(), = u v + uv uv u v + uv = u v + + v u v + u v = u v (*) + + ) Найдём v() из условия ln v = ln( + ) dv v 0 d + =, v = + которое является ДУ с разделяющимися переменными: ) Полученное выражение для dv v = v() подставляем в уравнение d + (*): dv d = v + 4

5 du u ( + ) + = d + Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Найдём u() из данного уравнения du d = u + = + ln + + C u = + + ln C u 5

6 u = ln C Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяяется выражением = ln C 6 ( ) 5 + =, ( ) =, ( ) = Вычислить значение полученной функции при 4 х= - с точностью до двух знаков после запятой Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к первому типу d = = + C 5 4 ( + ) 4( + ) = + C 4 d = + C C 4( ) ( + ) + общее решение исходного уравнения + Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С и С : ( ) = C + C = С - С =0 ( ) = + C = 4 4 С =0 С =0 Частное решение исходного урвнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид: = ( + ) Вычислим значение функции у(х) при х= - ( ) = = = 0,008 ( + ) 7 ( + ) + = 0 Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся ко второму типу (нет явно у) Сделаем замену = p, = p Тогда p ( + ) = p Данное уравнение с разделяющимися переменными dp d = p + ln p = ln( + ) ln + ln C + p = C Возвращаемся к замене, те d + = C Из данного уравнения с разделяющимися d переменными найдём у + = C d = C( ) + C C = C C + общее решение исходного уравнения 8 =, у()=, ( ) = 0 6

7 Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к третьему типу (нет явно х) Сделаем замену = p, = p p Тогда p p = Данное уравнение с разделяющимися переменными d pdp = p = + C p = + C p = ± + C Возвращаемся к замене, те = ± + C Из данного уравнения с разделяющимися переменными найдём у d d = ± + C d = ± + C + C ± + C + C = C общее решение исходного уравнения Определим значения С и С использовав начальные данные При х=, у= и = 0 имеем: = ± + C + C, C 0 = ± + C Откуда +С =0, C =, С = Следовательно, искомое решение имеет вид = ± + или ( ) + = d + d = 0 Введём обозначения: ( ) P = + 4, Q( ) = P Q Тогда =, = P Q Так как, то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Найдём его общий интеграл: 4 d ln + = + 4 d = ln = const = const 7

8 C = ln а) = 0 б) = 0 в) + 7 = 0 Данные уравнения линейные однородные Для каждого уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его По виду полученных корней характеристического уравнения (см таб) записываем общее решение а) 4k k + 6 = 0 k = 4, k = (действительные корни, кратности один) 4 = C + C б) 4k 4k + = 0 (k ) = 0 k, = (действительный корень, кратности два) C + C = в) k k + 7 = 0 D ч = 6, k = 6i (пара сопряжённых корней α= β=6), ± = ( C cos6 + C sin 6) 4 = 6 Данное уравнение линейное неоднородное Его решение запишем в виде: = ~ + * Найдём ~ как общее решение однородного линейного уравнения Для этого составим характеристическое ~ уравнение: k k 4 = 0 k =4 k = - 4 = C + C Составим у* по функции f()=6 -, стоящей в правой части исходного уравнения Записываем структуру его частного решения (см таб II где проверяем α=- является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=) * = ( A + B) = ( A + B) Коэффициенты А и В определим методом неопределённых коэффициентов Для этого находим: ( *) = (A + B) ( A + B) ( *) = A + ( A + B) (A + B) Подставим найденные выражения для ( *) и ( *) в исходное уравнение и, разделив обе его части на е -х, приравняем коэффициенты при х, х и х 0 Получим систему, из которой найдём коэффициенты А и В Таким образом, в соответствии с изложенным: 6 A = B = Тогда * = Общее решение данного неоднородного уравнения: 4 у= C + C = 5 + cos Данное уравнение линейное неоднородное Его решение запишем в виде: = ~ + * 8

9 Найдём ~ как общее решение однородного линейного уравнения Для этого составим характеристическое ~ уравнение: k + k = 0 k =0 k = - = C + C Составим у* по функции f()=5+cos, стоящей в правой части исходного уравнения Данная функция представляет собой сумму функций f ()=5 и f ()=cos Им соответсвуют два частных решения: * = ( A + B) = A + B (см таб I где проверяем α=0 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=) * = M cos + N sin (см таб IV где проверяем α= ± i является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=0) Те * = * + * = A + B + M cos + N sin Находим ( *) = A + B M sin + N cos ( *) = A 4M cos 4N sin Подставляем выражения для ( *) и ( *) в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты А, В, M, N: 5 A =, В= -5 M = N = 5 0 Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид 5 * = 5 cos + sin, 5 0 а его общее решение: = C + C cos + sin 5 0 Данное уравнение линейное неоднородное Его решение запишем в виде: = ~ + * Найдём ~ как общее решение однородного линейного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение: k + 6 = 0 k = ± 4i Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется: ~ = C cos4 + C sin 4, а частное его решение имеет вид: * = ( A + B) (см таб II где проверяем α= - является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=0) Находим: ( *) = A ( A + B) ( *) = A + ( A + B) Подставим выражения ( *) и ( *) в исходное уравнение и из полученного тождества найдём А=, В= Тогда * = ( + ) Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид = C cos4 + C sin 4 + ( + ) Используя начальные условия у(0)=-, ( 0) = 5, составляем систему для вычисления значений С и С : C + = 4C + = 5 решение которой: С =- С = 9

10 Подставив значения С и С в общее решение, найдём частное решение исходного уравнения: = cos 4 sin 4 + ( + ) 0