Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции."

Транскрипт

1 Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение в заданное уравнение: ( ln + C + ) (ln + C) = Раскрывая скобки, и приводя подобные имеем: х=х Получили тождество Таким образом, данная функция удовлетворяет ззаданному уравнению Задание Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (ху +х)d + (- )d=0 Преобразуем данное уравнение: (- )d=-( +)d Это уравнение с разделяющимися переменными Разделяем переменные: d d = + Интегрируем обе части последнего равенства: d d = +, ln ( + ) = ln + ln C, +=C -, =C - - Следовательно, общим решением исходного уравнения является = ± C tg d tg d + = 0 cos cos

2 Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Разделяем их и интегрируем уравнение: d d + = 0, cos tg cos tg ln tg + ln tg =lnc Общий интеграл исходного уравнения: tg tg =C d d - = + d d Определим тип данного уравнения, для этого выразим : d = d + Исходное уравнение является однородным уравнением первого порядка Решаем его с помощью подстановки =t = t + t Далее находим: t- t + t =, t + t- t = t, t + t + t = Данное уравнение с разделяющимися t + переменными Решаем его: t + d dt =, t + t dt dt d + = t + t +, ln t + + arctg t = ln + ln C, C arctg t = ln ln t +,

3 C arctg = ln общий интеграл исходного уравнения + 4 d d + d d = d, (0)=ln 5 Определим тип данного уравнения, для этого выразим : d + =, d d ( ) = +, d d + = Полученное уравнение линейное первого d порядка Решаем его с помощью подстановки =u()v(), = u v + uv Имеем: - u v + uv + uv =, - u v + u( v + v) = (*) ) Найдём v() из условия: du v + v = 0, =, d dv = v, d d du =, ln v=-, v= - u=-ln - + lnc, C ) Подставляем u = ln полученное выражение для v() в уравнение (*): - u v =, C Тогда = ln является общим решением исходного уравнения

4 Для нахождения частного решения найдём С, используя начальное условие, те 0 C ln5= ln, 0 ln5=lnс Следовательно, C=5 Частное решение исходного уравнения 5 имеет вид: = ln d 5 ( + ) = + d Преобразуем данное уравнение для того, чтобы определить его тип Получим d + = d + d = Данное уравнение является уравнением d + + Бернулли Решаем его с помощью подстановки =u()v(), = u v + uv uv u v + uv = u v + + v u v + u v = u v (*) + + ) Найдём v() из условия ln v = ln( + ) dv v 0 d + =, v = + которое является ДУ с разделяющимися переменными: ) Полученное выражение для dv v = v() подставляем в уравнение d + (*): dv d = v + 4

5 du u ( + ) + = d + Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Найдём u() из данного уравнения du d = u + = + ln + + C u = + + ln C u 5

6 u = ln C Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяяется выражением = ln C 6 ( ) 5 + =, ( ) =, ( ) = Вычислить значение полученной функции при 4 х= - с точностью до двух знаков после запятой Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к первому типу d = = + C 5 4 ( + ) 4( + ) = + C 4 d = + C C 4( ) ( + ) + общее решение исходного уравнения + Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С и С : ( ) = C + C = С - С =0 ( ) = + C = 4 4 С =0 С =0 Частное решение исходного урвнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид: = ( + ) Вычислим значение функции у(х) при х= - ( ) = = = 0,008 ( + ) 7 ( + ) + = 0 Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся ко второму типу (нет явно у) Сделаем замену = p, = p Тогда p ( + ) = p Данное уравнение с разделяющимися переменными dp d = p + ln p = ln( + ) ln + ln C + p = C Возвращаемся к замене, те d + = C Из данного уравнения с разделяющимися d переменными найдём у + = C d = C( ) + C C = C C + общее решение исходного уравнения 8 =, у()=, ( ) = 0 6

7 Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к третьему типу (нет явно х) Сделаем замену = p, = p p Тогда p p = Данное уравнение с разделяющимися переменными d pdp = p = + C p = + C p = ± + C Возвращаемся к замене, те = ± + C Из данного уравнения с разделяющимися переменными найдём у d d = ± + C d = ± + C + C ± + C + C = C общее решение исходного уравнения Определим значения С и С использовав начальные данные При х=, у= и = 0 имеем: = ± + C + C, C 0 = ± + C Откуда +С =0, C =, С = Следовательно, искомое решение имеет вид = ± + или ( ) + = d + d = 0 Введём обозначения: ( ) P = + 4, Q( ) = P Q Тогда =, = P Q Так как, то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Найдём его общий интеграл: 4 d ln + = + 4 d = ln = const = const 7

8 C = ln а) = 0 б) = 0 в) + 7 = 0 Данные уравнения линейные однородные Для каждого уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его По виду полученных корней характеристического уравнения (см таб) записываем общее решение а) 4k k + 6 = 0 k = 4, k = (действительные корни, кратности один) 4 = C + C б) 4k 4k + = 0 (k ) = 0 k, = (действительный корень, кратности два) C + C = в) k k + 7 = 0 D ч = 6, k = 6i (пара сопряжённых корней α= β=6), ± = ( C cos6 + C sin 6) 4 = 6 Данное уравнение линейное неоднородное Его решение запишем в виде: = ~ + * Найдём ~ как общее решение однородного линейного уравнения Для этого составим характеристическое ~ уравнение: k k 4 = 0 k =4 k = - 4 = C + C Составим у* по функции f()=6 -, стоящей в правой части исходного уравнения Записываем структуру его частного решения (см таб II где проверяем α=- является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=) * = ( A + B) = ( A + B) Коэффициенты А и В определим методом неопределённых коэффициентов Для этого находим: ( *) = (A + B) ( A + B) ( *) = A + ( A + B) (A + B) Подставим найденные выражения для ( *) и ( *) в исходное уравнение и, разделив обе его части на е -х, приравняем коэффициенты при х, х и х 0 Получим систему, из которой найдём коэффициенты А и В Таким образом, в соответствии с изложенным: 6 A = B = Тогда * = Общее решение данного неоднородного уравнения: 4 у= C + C = 5 + cos Данное уравнение линейное неоднородное Его решение запишем в виде: = ~ + * 8

9 Найдём ~ как общее решение однородного линейного уравнения Для этого составим характеристическое ~ уравнение: k + k = 0 k =0 k = - = C + C Составим у* по функции f()=5+cos, стоящей в правой части исходного уравнения Данная функция представляет собой сумму функций f ()=5 и f ()=cos Им соответсвуют два частных решения: * = ( A + B) = A + B (см таб I где проверяем α=0 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=) * = M cos + N sin (см таб IV где проверяем α= ± i является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=0) Те * = * + * = A + B + M cos + N sin Находим ( *) = A + B M sin + N cos ( *) = A 4M cos 4N sin Подставляем выражения для ( *) и ( *) в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты А, В, M, N: 5 A =, В= -5 M = N = 5 0 Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид 5 * = 5 cos + sin, 5 0 а его общее решение: = C + C cos + sin 5 0 Данное уравнение линейное неоднородное Его решение запишем в виде: = ~ + * Найдём ~ как общее решение однородного линейного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение: k + 6 = 0 k = ± 4i Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется: ~ = C cos4 + C sin 4, а частное его решение имеет вид: * = ( A + B) (см таб II где проверяем α= - является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=0) Находим: ( *) = A ( A + B) ( *) = A + ( A + B) Подставим выражения ( *) и ( *) в исходное уравнение и из полученного тождества найдём А=, В= Тогда * = ( + ) Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид = C cos4 + C sin 4 + ( + ) Используя начальные условия у(0)=-, ( 0) = 5, составляем систему для вычисления значений С и С : C + = 4C + = 5 решение которой: С =- С = 9

10 Подставив значения С и С в общее решение, найдём частное решение исходного уравнения: = cos 4 sin 4 + ( + ) 0

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

y неоднородного уравнения:

y неоднородного уравнения: 1 Найти общее решение дифференциального уравнения ( 4 + + = 1 6 - это линейное неоднородное ДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального неоднородного уравнения: = ˆ +. ( 4

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2-1 Дисциплина: Математический анализ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2-1 Дисциплина: Математический анализ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ -1 1. Определение неопределённого интеграла и первообразной. Свойства неопределённого интеграла.. Решить дифференциальное уравнение y y +y = x, y(0) = 1, y (0) = 1. 3. Вычислить интеграл

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.И. Судавная, С.В.

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее