71 Тригонометрические уравнения и неравенства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "71 Тригонометрические уравнения и неравенства"

Транскрипт

1 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима если: ) в процессе решения применялись алгебраические преобразования которые могли привести к расширению области определения уравнения например сокращение дробей) ) в процессе решения применялись тригонометрические преобразования которые могли привести к расширению области определения уравнения речь идет о применении тригонометрических формул левая и правая части которых имеют различные области определения например: g g g si ; ; g ; gcg ; g ) si g g g ) в процессе решения применялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень Каждая из указанных причин может привести к появлению посторонних корней Заметим что применение формул из пункта ) «справа налево» напротив может привести к потере корней в силу сужения области определения Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной либо разложения на множители но и тот и другой способ применяется в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения Поэтому в данном разделе вам предлагается более подробная классификация типов тригонометрических уравнений и методов их решения g: Пример Решить уравнение g cg Обе части уравнения легко представляются как выражение зависящее только от g g g Далее заменой g тригонометрическое уравнение рационализуется: В итоге те g и rcg Z

2 Однако можно заметить что значения Z также удовлетворяют исходному уравнению Это потерянные корни В чем причина?! В основе преобразований gα gβ формулы сужающие область определения: g α β ) gαgβ в нашем случае α β и cg ) Комментарий Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений ведущих к сужению области определения и возможной потере корней Пример Решить уравнение: si ) si si Перераспределим компоненты уравнения: si ) si si α β α β Далее в левой части воспользуемся формулой siα si β si Имеем: si si те si si Теперь представим si как синус двойного аргумента: si si Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки: si si si si ) Вновь воспользуемся формулой разности синусов: si si Последнее уравнение равносильно совокупности: si Таким образом уравнение имеет два семейства корней и m m Z если Z и бесконечно много корней: R если Z Ответ: Если Z то m m Z Если Z то R Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений те уравнений в которых над переменной в той или иной комбинации производятся иррацио- g

3 нальные показательно-степенные логарифмические и тригонометрические операции Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности В основе этих трудностей как правило некая негативная психологическая установка Абитуриент как бы говорит себе: «таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам» В этой связи дадим два совета Совет первый: по внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность это характеристика не задания а действенности ваших знаний и умений; начинайте решать пробуйте пытайтесь несмотря на то что задание кажется вам «страшным» и недоступным Совет второй: решайте комбинированное уравнение как бы по действиям отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической логарифмическую от тригонометрической и тп; осуществить это можно введением новых переменных; в конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней Пример Решить уравнение Пусть тогда si si ) ) Далее решаем уже не комбинированное а тригонометрическое уравнение Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента: si si ) ) Z ) Z «Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром : ) Z Прежде всего выясним при всех ли у данного уравнения существуют корни Ясно что поскольку левая часть уравнения как сумма степеней тройки всегда положительна то условие существования корней уравнения: ) > Z Решим это неравенство Если > то > > > > > несовместна Если то > равносильна неравенству > > > Система > Таким образом учитывая что Z получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра : Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени: Тогда имеем: 9 9 ) ) Очевидно что полученная система

4 Таким образом log 9 ) 9 ) ) Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного показательно тригонометрического) уравнения 9 Ответ: log ) ) Пример Решить уравнение log si log si Прежде всего укажем область определения уравнения Она задается условиями: si > si > si b те системой si log b Пусть теперь Тогда вместо комбинированного имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: log b log b это уравнение преобразуется в уравнение: log b Далее если положить что log b то имеем простое рациональное уравнение: Его единственный корень Значит log b те log b log Отсюда b те si Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: Z Нетрудно видеть что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения а значит и составляет множество его корней Ответ: Z si Пример Решить уравнение log9 si log Заметим что решения всякого уравнения следует начинать с пристального внимательного взгляда призванного увидеть в уравнении неравенстве и тп что-нибудь интересное особенное какую-нибудь «изюминку» позволяющую применить при решении некий нестандартный прием Эта «изюминка» не всегда есть но проглядеть ее обидно В данном уравнении маленькая «изюминка» есть: если в правой части уравнения мы воспользуемся к сожалению часто забытым абитуриентами) свойством логарифма: r log f ) log f ) r R то сразу как говорится «убъем двух зайцев»: и избавимся от r радикала и перейдем к одному основанию логарифма si log 9 9 si si si si si si si ) Итак если r то si log Далее имеем тригонометрическое уравнение si Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

5 Решением первого уравнения совокупности является семейство: Z; решением второго: ± rc Z Необходимо провести проверку найденных корней Для этого выпишем условия задающие область определения исходного уравнения: si > si > si > si > si > > Ясно что первое из найденных семейств семейство посторонних корней тк нарушено условие si > а из второго семейства посторонними корнями являются корни вида: Z rc тк в этом случае хотя > но si ) Таким образом корни исходного комбинированного уравнения: rc Z Ответ: rc Z si si Пример Решить уравнение log cg log si log si Внесем множитель два в левой части уравнения под логарифм в качестве показа- теля степени: cg log и перейдем к основанию логарифма пять в левой части уравнения: log cg log si si si log cg ) log si si log cg log si si cg si f ) f ) и переходя к разности дробей в левой части уравнения: «Отбрасывая логарифмы» получаем: и далее учитывая что cg cg Это квадратное уравнение относительно cg корни которого и Те имеем совокупность: cg cg Решением первого уравнения совокупности является семейство: Z; решением второго: rccg ) rccg Z /Здесь применено тождество: rccg ) rccg/ Далее необходимо провести проверку корней В качестве способа проверки в данном случае изберем непосредственную подстановку в исходное уравнение При этом ясно что речь идет о подстановке в исходное уравнение лишь одного значения принадлежащего данному семейству Этого достаточно Удобнее всего взять значения и х Но можно поступить ещё проще: в равносильности совокупностей

6 cg Z cg rccg Z мы не сомневаемся а поэтому в исходное уравнение можно подставлять непосредственно каждое из получившихся значений cg В каждом случае изберем более удобный из описанных подходов Пусть Z те Тогда имеем: и Таким образом семейство: log log log log log log si si log log Z входит во множество корней исходного уравнения Пусть теперь cg здесь реализуем второй подход ибо осуществлять непо- средственную подстановку rccg неудобно) Тогда поскольку cg si si ± и ± имеем: si и si si si si Далее тк cg то si и должны быть разных знаков; или si и После подстановки в исходное уравнение имеем: log log log log В первом случае во втором случае

7 Таким образом семейство: rccg Z также входит во множество корней исходного уравнения Ответ: Z rccg Z Пример 7 Решить уравнение si Решение: Ζ Ζ По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений Ζ Ζ Ζ Ν Ответ: Ν Пример Решить уравнение cg si На первом этапе решения уравнения выясним область допустимых значений и выполним тождественные преобразования: cg ; Ζ si si si si si ) si si ) si si ) si ) ) si или Ζ l l Ζ Решением уравнения является: m m Ζ Ответ: m m Ζ Комментарий Данный прием решения тригонометрического уравнения принято называть методом разложения на множители

8 Пример 9 Решить уравнение si si si Используем в процессе решения формулы понижения степени получим si si si si si si После приведения подобных слагаемых получаем уравнение сводящееся к квадратному уравнению si si Данное уравнение приводится к квадратному с помощью замены переменной Пусть si тогда D b b ± D ± si или si > ) rcsi ) Ζ rcsi ) ) Ζ Ответ: ) rcsi ) Ζ Комментарий Решение большого количества тригонометрических уравнений сводится к решению квадратных уравнений Пример Решить уравнение si si ) si si ) R si ) ) R si ) или ) Ζ ) Ζ Ζ Ζ Ζ ± D c D

9 Ответ: Ζ; ± Комментарий Данный пример иллюстрирует возможность решения тригонометрических уравнений методом преобразования суммы тригонометрических функций в произведение Пример Решить уравнение g ) cg ) Во-первых найдем область определения функции выходящей в данной тригонометрическое уравнение ) ) si 9 Ζ Ζ 9 Ζ Ζ Таким образом областью определения данного уравнения является: 9 Ζ Ζ Во-вторых решим данное уравнение Для этого выполним следующие тождественные преобразования: si si ) ) ) ) ) si si si si si si si si si si si si si si si 9 m m Ζ m m Ζ Ответ: m m Ζ

10 Комментарий Решение тригонометрических уравнений в ряде случаев проводится преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму Пример Решить тригонометрическое уравнение si si Решение: Используем в процессе решения формулы понижения степени: si si si si ) si si si Выполним замену переменных получим: si si si или si Ζ Ζ Ответ: Ζ Комментарий Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени Пример Решить уравнение si Решение: si Ζ si * Используем далее основное тригонометрическое тождество si si si 9si si Если то и si тождеству значит что противоречит основному тригонометрическому

11 Разделим обе части на получим 9g g g g rcg Ζ rcg Ζ Ответ: rcg Ζ Комментарий Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений как однородных уравнений Однородное уравнение это уравнение в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень: si si si si где ; ;; - действительные числа - показатель однородности ; Пример Решить уравнение si Решение: si Т к Ζ следовательно корни есть Разделим обе части уравнения на получим si Т к тогда получим и ϕ si siϕ si ϕ) ϕ Ζ ϕ Ζ rcsi Ζ Ответ: rcsi ϕ si ϕ то существует такой угол ϕ что а Ζ Комментарий Рассмотренный прием решения тригонометрических уравнений называется методом введения вспомогательного аргумента Данный метод основан на следующем Рассмотрим уравнение особого вида:

12 bsi c Случай Если c то уравнение однородное Случай Если c и b то есть хотя бы одно из чисел или b не равно ) то разделим обе части уравнения на b c si b b b b ; Т к b b и b siϕ; ϕ ϕ что b b тогда c siϕ ϕ si b c si ϕ) b а) если c c b b > т е b получим b b b b c то корней нет в) если т е b c тогда c ϕ ) rcsi Ζ b c rcsi ) rcsi Ζ b b то существует такой угол Пример Решить уравнение si Решение: Проверим выполнение неравенства: b c Очевидно что следовательно корней уравнение не имеет Ответ: Пример Решить уравнение si Ζ Выполним преобразование уравнения используя формулы «универсальная тригонометрическая подстановка»: g si g Получаем что g g g g g g g g g

13 g g g g 9g g g g g rcg Ζ rcg Ζ При переходе от уравнения ) к уравнению ) могла произойти потеря корней значит необходимо проверить являются ли корни уравнения уравнения Ζ Ζ Проверка Если Ζ тогда ) ) Ζ ) корнями данного si - не верно значит Ζ не является корнями исходного уравнения Ответ: rcg Ζ Комментарий Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки Пример 7 Решить уравнение si ) si R Решение: si ) si Пусть si Далее возведем записанное равенство в квадрат и воспользуемся формулой «Квадрат суммы»: si ) si si

14 Получаем что ) или si si Разделим на получим si si g Ζ Т к si при R то корней нет Ответ: Ζ Пример Решить уравнение si Решение: Используем формулу: si и сделаем замену si : ) ½ посторонний корень учитываем что ) g : Выполним обратную замену: Ответ: ) si ) Пример 9 Решить уравнение g Решение: Применим следствие из основного тождества: g и сделаем замену Найдем подбором корень - и разложим на множители левую часть полученного уравнения: ) ) Дискриминант второго множителя отрицателен следовательно других корней уравнение не имеет Об- ратная замена: g - Ответ: Комментарий Приведенные приемы решения тригонометрических уравнений основаны на использовании основного тождества и формул для косинуса двойного угла Пример Решить уравнение si

15 Поскольку si si si уравнение можно записать в виде: si si Перед нами так называемое однородное уравнение для всех слагаемых левой части которого сумма степеней si и одинакова Проверкой можно убедиться что для корней этого уравнения поэтому можно разделить обе его части на : g g Сделаем замену: g тогда g rcg g rcg Ответ: Обратная замена: Пример Решить уравнение si Решение: b 9 Разделим обе части уравнения на : si Пусть α rcsi тогда si α α si α siα α ) rcsi ) Ответ: rcsi ) и уравнение принимает вид: или si α) откуда Пример Решить уравнение si si 7 Решение: Преобразуем в произведение сумму синусов и сумму косинусов: 7 si si si 7 Теперь запишем левую часть уравнения в виде: 7 7 si si двух случаях: случай 7 случай si 7 si si si si Тогда Это равенство возможно в Применим формулу приведения:

16 7 7 si si si Ответ: сводится к двум простейшим: ; Это уравнение вновь Пример Решить уравнение si 9 Решение: Применим к левой части метод дополнительного угла: b 9 si 9 9 Выберем дополнительный угол так чтобы получить в левой части формулу для косинуса разности: α rcsi ; 9 α α si α si α α) si si α α si si α α α случай si rcsi 9 α α случай si rcsi 9 Ответ: rcsi rcsi 9 9 Комментарий Решение примера основано на формуле преобразования суммы тригонометрических функций в произведение Пример Решить уравнение 9 si si Преобразуем произведение синусов в сумму: si si 9) Тогда 9 9) случай случай Ответ: Пример Решить уравнение si si

17 Преобразуем произведение в сумму: si si si ) si si Воспользуемся формулой синуса тройного угла: si si si и сделаем замену: si Решим уравнение для : 9 9 ) Обратная замена приводит к трем простейшим уравнениям: случай si si ) rcsi si ) rcsi случай случай Объединяя две последние группы корней получим окончательный ответ Ответ: ± rcsi Комментарий Рассмотренный пример иллюстрирует использование преобразования произведения тригонометрических функций в сумму Пример Решить уравнение si si Сделаем замену: si тогда si ) si si si Следовательно si Подставим эти выражения в уравнение: Очевидно что разность синуса и косинуса не может равняться четырем поскольку эти функции не принимают значений модуль которых превышает ; поэтому второй корень квадратного уравнения посторонний Для сделаем обратную замену: si Применим метод дополнительного угла: si ) Ответ: si Пример 7 Решить уравнение ) si ) Поскольку si ) si представим si ) si ) Кроме того si Эти преобразования позволяют сделать замену: si и получить для уравнение ) si ) - посторонний корень Сделаем обратную замену:

18 Ответ: ) Комментарий Данный пример предполагает использование тождеств si ± ) ± si Комментарий Решение следующих четырех примеров основано на формулах понижения степени Напомним что четные степени синуса и косинуса можно понизить переходом к двойному углу с помощью следующих формул: si ; ; si si ) si ) ; si si ) si si ) ) ; si si ) si ) si ; si si ) si ) si ) Пример Решить уравнение Понизим степени тригонометрических функций входящих в уравнение: ) ) Ответ: ; Пример 9 Решить уравнение si si При понижении степени первого слагаемого оно выразится через поэтому у второго слагаемого мы не будем понижать степень а вместо этого применим к нему основное тождество:

19 ± ; ± Ответ: Пример Решить уравнение si si Преобразуем разность четвертых степеней: si и применим формулу приведения: si si si si Ответ: Пример Решить уравнение si si Выразим si через si : Ответ: si si si Пример Решить уравнение 7 Понизим степень в левой части уравнения а в правой преобразуем произведение в сумму: ) 7 ) 7 : ) 7 посторонний корень Обратная замена: Ответ: - постороннее решение Пример Решить уравнение g si g Используем универсальную подстановку: g g g g g g случай g 9 случай ) )

20 Тогда ± g ± ± rcg Ответ: ; ± rcg Пример Решить уравнение Обратим внимание на то что левую часть уравнения с помощью одной из формул универсальной подстановки можно представить как : ) : - - посторонний корень Обратная замена: Ответ: Комментарий Уравнения содержащие комбинации g ± cg удобно решать переходя к синусам и косинусам Пример Решить уравнение si g cg ) Преобразуем сумму тангенса и котангенса: si si g cg si si si > si ) Ответ: ) Теперь можно сделать замену: si посторонний корень Обратная замена: Пример Решить уравнение g cg cg Вновь выразим левую часть равенства через функции двойного угла: si si si g cg si si si si cg ) cg Теперь уравнение принимает вид: 9 cg cg cg 9 случай cg 9 9 случай cg rccg 9 Ответ: ; rccg

21 Комментарий При решении тригонометрических уравнений группа С) используются те же приемы что и при решении алгебраических иррациональных уравнений Особое внимание требуется обращать на дополнительные ограничения на допустимые значения неизвестного самая распространенная ошибка в задачах этого типа включение в ответ посторонних корней) Пример 7 Решить уравнение si si si si si si Замена si ОДЗ задается неравенством: si si Возведем обе части в квадрат: Ответ: приводит к уравнению посторонний корень Обратная замена: si Пример Решить уравнение si si ) Обратим внимание на то что подкоренное выражение представляет собой полный квадрат: si si ) следовательно si si Сделаем замену: si тогда случай случай - посторонний корень не соответствует условию раскрытия модуля) Итак si si si ) ) Ответ: Пример 9 Решить уравнение 7 ) g Ограничение на ОДЗ: g то есть g Учитывая это условие приравняем каждый множитель к нулю 99

22 случай посторонний корень Следовательно g g g rcg ; rcg 99 Этим условиям удовлетворяют углы вида уравнения: равен ) вторая группа решений тригонометрического определяет углы лежащие в четвертой четверти тангенс которых случай Ответ: Комментарий Для решения тригонометрических уравнений с модулями применяются те же приемы что и для алгебраических уравнений с модулями Пример Решить уравнение si si Во-первых si si si si si ) si ) si Во-вторых si si si si si si ) ) si не соответствует условию раскрытия модуля ) si si si Ответ: ; ; ) ) Пример Решить уравнение si si Сумма модулей может равняться нулю только в том случае если при одном и том же значении х оба подмодульных выражения равны нулю Следовательно нужно найти общие корни двух уравнений: si si Z ) Принципиально важно то что в решениях указаны разные целочисленные параметры Для общих корней должно выполняться равенство откуда Поскольку п целое число дробь должна быть сократимой а это возможно только если кратно трем то есть m m Є Z Тогда решение уравнения можно записать так:

23 m m m Ответ: Комментарий Рассмотрим далее тригонометрические уравнения с конечным числом корней Эти уравнения очень необычны и конечное число решений связано с тем что аргумент тригонометрической функции принимает значения из некоторого конечного промежутка Пример Решить уравнение si ) Найдем множество значений функции f ) Очевидно что f ) > Исследуем ее на экстремум f ) при х найдена критическая точка Слева от нее f ) > справа f ) то есть это точка максимума Так как он является единственным экстремумом то при х функция принимает свое наибольшее значение: f ) Следовательно Решим простейшее тригонометрическое уравнение: Из предыдущего исследования получаем что равенство возможно только при условии откуда Z Действительно это единственное целочисленное решение такого неравенства Тогда ± Ответ: ± Комментарий В следующем примере рассмотрим комбинированные задачи в которых применяются известные из алгебры методы решения систем и способы решения тригонометрических уравнений Важно помнить что при решении системы ответ каждого простейшего уравнения должен записываться с новым целочисленным параметром который может принимать любое возможное значение независимо от ранее введенных параметров Пример Решить систему уравнений si si

24 Применим метод алгебраического сложения: перейдем к системе уравнениями которой будут сумма и разность исходных уравнений ) ) ) si ) si si si si si Z Вновь сложим и вычтем полученные уравнения: ) ) ) ) ) ) ) ) Ответ: ) ) ) ) Пример Решить систему уравнений si si Используем подстановку из второго уравнения: Применим формулу приведения: si si si si Ответ: Пример Решить систему уравнений Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу : : случай тогда из второго уравнения то есть Получена система двух простейших уравнений: ) Z ) si si

25 случай Решая полученную систему простейших уравнений находим вторую группу корней: ± ± Еще раз напомним что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр решением будет каждая пара чисел заданная полученными формулами в которых мы можем задавать п и любые целые значения не обязательно одинаковые) Ответ: ; ± ± Комментарий Решением тригонометрического неравенства обычно является набор промежутков границы которых можно задать общей формулой с использованием целочисленного параметра Для определения границ очень удобно применять тригонометрическую окружность Пример Решить неравенство si Решим сначала простейшее тригонометрическое неравенство si где Прямая делит тригонометрическую окружность на две дуги Решениям неравенства соответствуют точки на нижней дуге ординаты которых не больше ½ Поэтому в пределах от до решение имеет вид: Границы следующего промежутка решений можно получить отсюда изменив каждую границу на п: п п Сделав обратную замену получим двойное неравенство для х: п п

26 9 7 9 Ответ: Пример 7 Решить неравенство g Наименьший положительный период тангенса равен поэтому достаточно найти решение неравенства на интервале ; а затем прибавить к границам п Раскрыв модуль превратим неравенство в совокупность двух неравенств: g g Дуги окружности соответствующие их решениям имеют вид: ; ; Обращаем внимание на то что точки ± не входят в решение поскольку при этих значениях аргумента тангенс не существует Учитывая периодичность находим окончательное решение: ; Ответ: ; Комментарий В более сложных неравенствах для их сведения к простейшим применяются в основном те же приемы что и при решении уравнений Пример Решить неравенство ) si Представим si и сделаем замену: si Тогда для требуется решить систему неравенств ) Обратная замена приводит к уравнению si - откуда и неравенству si решение которого: Ответ:

27 Пример 9 Решить неравенство si si g cg Используем то что g cg si см занятие 9) и сделаем замену: si Неравенство для имеет вид: ) ) Методом интервалов находим решение: Проводим обратную замену и решаем полученные тригонометрические неравенства: случай 7 7 si случай si Ответом будет объединение полученных промежутков Ответ: 7 ; ; Пример Решить неравенство 7 Преобразуем обе части неравенства: случай ; si g g случай si g Сделаем замену: g : Следовательно g откуда см пример ) ; Ответ: ; Пример Решить неравенство si Поскольку обе части неравенства неотрицательны можно возвести их в квадрат:

28 si si или si Еще раз возведем обе части в квадрат: si > Получено простейшее тригонометрическое неравенство решение которого: Ответ:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт «Решение простейших тригонометрических уравнений»

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт  «Решение простейших тригонометрических уравнений» А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт http://matematikalegko.ru «Решение простейших тригонометрических уравнений» Решение простейших тригонометрических уравнений (в итоге

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Решение иррациональных уравнений и неравенств Решение иррациональных уравнений и неравенств методические рекомендации для учащихся Составитель преподаватель математики Мочалова Е.В. Составители: Мочалова Е.В. преподаватель математики От авторов-составителей:

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Комментарий Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются

Подробнее

Методы решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений. Методы решения тригонометрических уравнений. ) Решение простейших тригонометрических уравнений. sin n n По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. n, n

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ.

ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ. 7 ( ; 8 ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ Необходимые сведения из теории Тригономе трия (от греч trigonon треугольник,

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

МАТЕМАТИКА: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В. А. Далингер МАТЕМАТИКА: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим отделом среднего профессионального

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

Логарифмические уравнения и методы их решения

Логарифмические уравнения и методы их решения Логарифмические уравнения и методы их решения Текст методических указаний 1.Логарифм и его свойства 2. Стандартные типы логарифмических уравнений и методы их решения 2.1. Уравнения вида, (где ). 2.2. Уравнения

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x)

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x) 7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий Цель этого раздела предоставить абитуриентам теоретические сведения и практический материал для формирования навыков решения алгебраически уравнений

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения Москва 010 1 Показательные уравнения g f Заметим сначала, что 1 = 1 f если f ( ) > 0. при любых f ( ) и g ( ) в ОДЗ;

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЯ Н.В. ЛАТЫПОВА

ТРИГОНОМЕТРИЯ Н.В. ЛАТЫПОВА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЕТЕЙ "ЦЕНТР

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов АГ, г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА,

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ Часть 1

ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ Часть 1 Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского М. В. Глебова, И. И. Черанева ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ Часть 1 Учебно-методическое пособие Пенза 01 Печатается по решению

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

1. Требования к уровню подготовки выпускников по учебному предмету «Решение задач по математике»

1. Требования к уровню подготовки выпускников по учебному предмету «Решение задач по математике» 1. Требования к уровню подготовки выпускников по учебному предмету «Решение задач по математике» В результате изучения предмета «Решение задач по математике» обучающийся должен знать/понимать значение

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 10 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1.

Рабочая программа Заочной математической школы. 10 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1. Рабочая программа Заочной математической школы 10 класс (набор 2009 года) Базовый уровень Занятие 1. Алгебраические преобразования. Рациональные дроби 1. Формулы сокращенного умножения. 2. Разложение многочленов

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1.

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1. Рабочая программа Заочной математической школы 11 класс (набор 2009 года) Базовый уровень Занятие 1. Алгебраические преобразования. Рациональные дроби 1. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

Тема 3. Алгебраические выражения. 13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях 00 ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Подробнее

п Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида

п Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида п 6 Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида a( ) a( ) an( ) a( ) a( ) an( ) () или () an ( ) an( ) anm( ) (здесь знаком обозначен один

Подробнее

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec Занятие. Тригонометрические функции числового аргумента (определение, значения, знаки, чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, основные тождества). Формулы приведения. Любой угол измеряется

Подробнее

; a a b Избавление от иррациональности в дробях

; a a b Избавление от иррациональности в дробях Вопросы для абитуриентов Числа. Натуральные.. Целые. 3. Рациональные. 4. Действительные. 5. Простые и составные числа. 6. Разложение составного числа на простые множители 7. НОК 8. НОД 9. Арифметические

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. 5. Системы тригонометрических уравнений

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. 5. Системы тригонометрических уравнений 008-009 уч. год., кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Системы тригонометрических уравнений В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением нескольких типов систем тригонометрических

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

1. Пояснительная записка. 2. Структура и содержание программы вступительных испытаний по математике

1. Пояснительная записка. 2. Структура и содержание программы вступительных испытаний по математике 1. Пояснительная записка Программа вступительных испытаний по математике включает в себя элементы содержания за курс средней (полной) школы (базовый уровень) и необходимые элементы содержания курс основной

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. по дисциплине «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ» 1 курс. 1-2 семестр. Часть 2

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. по дисциплине «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ» 1 курс. 1-2 семестр. Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Частное степеней с одинаковыми основаниями Степень произведения и частного Сравнение степеней с различными основаниями

Частное степеней с одинаковыми основаниями Степень произведения и частного Сравнение степеней с различными основаниями Код блока содержания Код контро лируемого содерж ания Содержание, проверяемое заданиями КИМ 1 2 3 1 Выражения и преобразования 1.1 Корень степени n 1.1.1 Понятие корня степени n 1.1.2 Свойства корня степени

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Полугодие 1 Предмет. Алгебра и начала математического анализа Класс 11

Полугодие 1 Предмет. Алгебра и начала математического анализа Класс 11 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ Полугодие 1 Предмет Алгебра и начала математического анализа Класс 11 ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ часто встречающихся натуральных чисел: а а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 а 8 а 9 а 10 2 4 8 16 32

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Название ресурса учебника Глава 1 Элементы математической

Название ресурса учебника Глава 1 Элементы математической Цифровые образовательные ресурсы с сайта ФЦИОР к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 10 класс» http://fcior.edu.ru Каталог основное общее образование Математика ввести название модуля главы

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее