Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ"

Транскрипт

1 Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется, если B 0. A Действительно, если B 0, то, B т.е. иррациональное число оказалось равно рациональному, что невозможно. Таким образом, B 0, а следовательно, и A 0. Решая систему 4a b 4 0 a b 8 0, находим a, b. Ответ: a, b... Найдите рациональные p и q при условии, что один из корней уравнения p q 0 равен. Ответ: p q... Может ли квадратное уравнение a b c 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный? Первое решение. Рассмотрим уравнение b 4ac. Так как нечетное число, а 4 ac - четное, то b и, следовательно, b нечетное число, т.е. b, Z. Тогда ( ) 4ac ; 4( ac). Последнее уравнение не имеет решений, так как не делится на 4. Второе решение. Перепишем уравнение b 4ac в виде b 5 4ac и разложим обе части уравнения на множители: ( b 5)( b 5) (ac ). (*) Так как в правой части уравнения число четное, то и в левой тоже четное, следовательно, b 5 и b 5 одновременно четные (докажите), т.е. b 5 m, b 5. Левая часть уравнения (*) делится на 4, а правая нет, поэтому уравнение b 4ac не имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение b 4ac в виде b 4ac или b 4( ac 5). Получили, что квадрат натурального числа при делении на 4 дает остаток, что невозможно (докажите). Ответ: не может..4. (00). Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена f ( ) (a 0) 5b 4 и его значение при являются простыми числами. Найдите а, b и корни трехчлена f (). Решение. Обозначим a 0 p, 5b 4 q. Тогда значение трехчлена при есть f ( ) p q. Пусть и - корни трехчлена,. Воспользовавшись формулами Виета q, p, запишем выражение f () в виде f ( ) ( ) и преобразуем его, разложив правую часть на множители: f ( ) ( ) ( )( ). Так как f (), и по условию являются простыми числами, то числа и - натуральные и меньшее из них должно быть равно. Следовательно,, откуда. Тогда f ( ), т.е. и - два последовательных простых числа, что возможно только если этими числами являются и. Итак,, поэтому p a 0 5, q 5b 4. Из двух последних равенств находим a 5, b 4. Ответ: a 5, b 4,,..5. (00). Квадратный трехчлен f ( ) p q имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке являются простыми числами. Найдите корни трехчлена. Ответ: ;.

2 .. (00). Найдите все такие целые а и b, что корни уравнения (a 9) b 5 0 являются различными целыми числами, а коэффициенты a 9 и b 5 - простыми числами. Решение. Обозначим корни квадратного уравнения через m и. По теореме Виета m b 5 - простое число, тогда m, ( b 5). Тогда a 9 (b ) ( b ). Поэтому простое число a 9, откуда a. Тогда b, т.е. b. Ответ: a ; b.. Уравнения первой степени с двумя неизвестными.. Решите уравнение 4 в целых числах. Ответ: 4,, Z... (00). Найдите все целые решения уравнения 79 7, удовлетворяющие неравенствам 0, Решение. Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида. Имеем 79. Перепишем уравнение в виде ( ) 7. Обозначим u, u 7. Можно вновь разделить на с остатком, а лучше так: 9. Получаем (u ) 9u 7. Обозначим u, 9u 7, 9 9. Получаем уравнение 9( u ) 9 7, u ; 9 9 7, 9( ) 7, t. Наконец, получаем уравнение 9t 7. Это уравнение имеет решение: 7 9t, где t любое целое число. Проделываем обратные действия: t t 4 8t 9t 4, u t 9, u t 04, u 79t. Таким образом, 79t, t 04, где t любое целое число. Из условия 0, 00, т.е. из системы 79t 0 t найдем t, затем 5;. Ответ: 5;.. Уравнения второй степени с двумя неизвестными.. (МГУ, 007). Найдите все целочисленные решения уравнения Указание. Уравнение приводится к виду ( 7) 4( 4) 5. Ответ: ( ; 4); ( ; 4); ( 0; ); ( 4; ); ( 0; ); ( 4; )... Решите уравнение в целых числах. Ответ: ( 0;0); ( 4;)... (МФТИ, 004). Найдите все пары целых чисел и у, удовлетворяющие уравнению Ответ: ( ; 5); ( 4;5); ( 4; )..4. Решите в целых числах уравнение Ответ: ( ; )..5. Решите в целых числах уравнение 00. Ответ: ( 0;0); ( 0;0); ( ;); ( 7;); ( 8;4); ( ;4); ( ; ); ( 7; ); ( ; 4); ( 5;5); ( 5; 5)... Уравнение решите в натуральных числах. Ответ:..7. Найдите все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению. Первое решение. Пусть целые числа х и у таковы, что, тогда отсюда получим. Поскольку х и два последовательных целых числа, то число у может быть целым только тогда, когда, т.е. 0 или. Тогда

3 получаем 0 или соответственно. Второе решение. Приведем уравнение к виду ( ) или ( )( ). Отсюда получаем две системы. ) 0 ) 0 Ответ: 0, 0;,..8. Решите уравнение в целых числах. Указание. ( )( ). Ответ:, 0;.9. (ММО, 94, 9-0 классы). Решите в целых числах уравнение. Указание. Преобразуйте уравнение к виду ( ) ( ) ( ). Ответ: ( 0;0);(;0);(0;);(;);(;);(;)..0. Решите в натуральных числах z 4, систему уравнений z 9. Решение. Вычитая из второго уравнения системы первое, получим: z z 5, или z z, ( )( z ). Будем искать лишь решения, удовлетворяющие условию z (остальные решения получаются перестановкой значений и z). При таком соглашении последнее уравнение сводится к одной из следующих двух систем: или z z. Из первой системы, z 7, а из второй, z 4. Подставляя эти значения и z в одно из уравнений заданной системы, получим соответствующие им значения 5 или 7. Ответ: ( 5;;7);(5;7;);(7;;4);(7;4;)... (Московская математическая регата, 005/00, класс). Найдите все целые решения уравнения: 0. Первое решение. Преобразуем данное уравнение, выразив переменную у через переменную х: ( ) ;, так как 0 при любых целых значениях х. Для того, чтобы у было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробь принимала целые значения. Заметим, что НОД ( ; ) НОД ( ; ), поэтому числа и - взаимно простые. Следовательно, выражение принимает целые значения, если. Таким образом, решения данного уравнения: 0; и ; 0. Второе решение. Запишем данное уравнение как квадратное относительно переменной х: ( ) ( ) 0. Его решения: ( ) D, где D ( ) ( ) ( ). Для того, чтобы х было целым, необходимо и достаточно, чтобы D являлось квадратом целого числа. Это возможно только, если D 0 или 0, так как в остальных случаях число ( ) находится в интервале между двумя соседними квадратами: ( ) и. Если, то 0; если 0, то. Третье решение. Преобразуем данное уравнение, выделив квадрат трехчлена: ( ) 0 ( ) ( ). По доказанному выше ( ) является квадратом целого числа тогда, и только тогда, когда 0 или. Если, то 0; если 0, то. Ответ: 0; или ; 0... (00) Решите в целых числах уравнение 9.

4 Решение. Преобразуем уравнение: ( ) 9. Так как х целое, то 0, поэтому выразим у через х: 9 5. Поскольку х и у целые числа, то число - тоже целое. Значит, делитель, т.е. ), ; ), 0; ), ; 4),. Ответ: ( ;9),(;8), (0;), ( ; )... (00). Найдите все целые решения уравнения 4 7. Решение. Разложим левую часть на множители: 4 7 ( )( 7). Имеем ( )( 7). Поскольку можно представить в виде произведения двух целых чисел с учетом порядка четырьмя способами, то получаем четыре системы: ) ) 7 7 ) 4) 7 7 Целочисленные решения имеют лишь -я и -я системы. Ответ: ; или ;..4. (ММО, 94, 7 класс). При каких натуральных числах а существуют такие натуральные числа х и у, что a? Указание. Положим t, тогда t рациональное число, являющееся корнем уравнения t at 0. Но тогда a a 4 t. Число a 4 при целом а может быть рациональным только при a. Ответ: a..5. (ММО, 98, 7 класс). Найдите все пары целых чисел ( ; ), удовлетворяющих уравнению. Указание. Представим уравнение в виде ( ) или ( ), ( )( ). Заметив, что каждая скобка четное число, получаем 4 возможности, оттуда следует ответ. Ответ: ( 4;); (4; );( 4;);( 4; )... Решите в целых положительных числах уравнение Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное ( 7) 84 0 относительно у, найдем дискриминант D 9 87 ( ) 88, который должен быть точным квадратом, т.е. ( ) 88 u. Отсюда следует, что u. Положим, u ( ), где натуральное число. Тогда получаем: ( ) 88 (( ) ), или ( ) 88, откуда видно, что число четное. Пусть l, где l натуральное число. Тогда находим: 7 l ( ) l 7, или l. (*) l 7 Отсюда видно, что число должно l быть натуральным, т.е. l должно быть делителем числа 7. Возможные значения для l:,,, 4,, 8, 9,, 8, 4,, 7. Из них надо взять лишь такие, для 7 которых число l кратно. Этому l условию удовлетворяют лишь числа l, l 8, l 9, l 4. Затем из (*) находим для х два значения: и. Из исходного уравнения найдем соответствующие (только натуральные) значения у. Ответ: ( ;0); (;0). 4

5 4. Уравнения высшей степени 4.. Уравнение 9z 0 решите в целых числах. Ответ: z Решите в целых числах уравнение 4 z 0. Ответ: ( 0;0;0). 4.. Решите уравнение в целых числах. Ответ: ( ;); ( ; ) Решите в целых числах уравнение 0. Ответ: ( ;); ( ;); ( ; ); ( ;) Уравнение 9 решите в целых числах. Решение. Данное уравнение перепишем в виде ( )( ) 7. Поскольку 0, 4 то возможны только следующие четыре случая: 5 ) ) 4 4 ) 7 Нет решений. 9 4) Нет решений. Ответ: ( 5;),( ; 5),( ;4),( 4;). 4.. Какие целые положительные числа могут удовлетворять уравнению z z? Решение. Для определенности пусть z. Из данного уравнения получаем z z. Рассмотрим случай равенства z z,, откуда или При этих значениях х. и у получаем из данного уравнения z. Все эти значения не соответствуют нашему условию z. Теперь пусть z z,. Поскольку 0, возможны только следующие варианты:, или,. Для первого варианта получаем из данного уравнения z 0, что не соответствует условию задачи. Для второго варианта z. Таким образом, при условии z исходное уравнение имеет одно решение,, z. Все остальные решения получаются из этого перестановками значений неизвестных,, z. Ответ: ( ; ;),(;; ), ( ;;),(;;), ( ;;),(; ;) Решите в целых числах уравнение Указание. Перепишите уравнение в виде 9( 00 ) 84( ). Правая часть кратна 7, поэтому кратно 7. Но кубы чисел при делении на 7 не дают в остатке. Ответ: нет решений (00). Найдите все решения в натуральных числах ( ) 4. Решение. Перепишем данное уравнение в виде (учитывая, что 0; 0 ) 4. ( ) Для того чтобы х было целым числом, знаменатель ( ) должен быть одним из делителей числа 4, потому что у не может иметь общие множители с. 5 Поскольку 4, то 4 делится только на следующие числа, являющиеся точными квадратами:,, 9. Таким образом, число ( ) должно быть равно, 9 или 8, откуда находим, что у равно 8 или. Значит, 5

6 или Ответ: 4; 8 или 54; (00). Решите в целых числах уравнение m 0 5 m. Решение. Перепишем данное уравнение в 5 виде m( ) 0. () Если 0, то m 0. Первое решение уравнения () найдено. Если 0, то и m 0. Заметим, что если пара чисел m ; ) решение уравнения ( 0 0 ( m0; 0 (), то и пара ) - тоже решение уравнения (). Пусть 0 и m 0, тогда. Перепишем уравнение () в виде m( )( ) 0 5. () Так как ни, ни не делятся на, то m делится на. Обозначим m p. Разделив равенство () на, имеем: 5 p ( )( ) 0. () Число не может быть четным, так как в этом случае два соседних нечетных числа и не могут являться степенями числа 5. Следовательно, число нечетное, а и - два соседних четных числа, не имеющих простых делителей, кроме и 5. Выпишем первые два столбца четных чисел так, чтобы в первом столбце стояли числа, не имеющие делителей, кроме и При этом во втором столбце, начиная с третьей строки, все числа имеют простой делитель, кроме и 5. Это означает, что из выписанных множителей и только две пары чисел удовлетворяют условию, т.е. и 9 отвечают условиям задачи. Для последней строки таблицы из равенства () получим p 5, что невозможно. Поэтому поиск значений закончен. При из равенства () получим, что p 500, тогда m p При 9 из равенства () получим, что p 50, тогда m p 50. Ответ: m ; 5 90 или m 7500; или m 0; 0 или m 7500; или m 50; (00). Найдите все натуральные числа х и у, для которых выполняется 4 равенство. Решение. Представим левую часть в виде Умножая обе части уравнения на 4, получаем Таким образом, 8 8 4,. Умножим обе части исходного равенства на 4, а затем, используя 4 будем , или 0, откуда. Осталось проверить для х значения,,. Ответ: ;. *** иметь 5, Теорема. Если ab d, а, b и d натуральные числа, и числа а и b взаимно просты, то а и b точные квадраты. 4.. (ММО, 00, 9 класс), (МИОО, 00). Решите в целых числах уравнение m 4. Решение. Если ( m ; ) - решение данного уравнения, то ( m; ), ( m; ) и ( m; ) тоже решения. Поэтому будем искать только неотрицательные решения. Из записи m 4 следует, что m нечетное число, m t. Перепишем уравнение в виде

7 m 4 ( m )( m )( m ) t (t ) (4t 4t ). Отсюда 8t ( t ) (t t ), т.е. четное число, p. Далее получаем уравнение t ( t ) t( t ) p. Нетрудно проверить, что числа t, t и t ( t ) попарно взаимно просты. Действительно, пусть, например, d t и d t( t ), тогда d делит и t ( t ), а, значит, и разность t ( t ) t( t ). Взаимная простота двух остальных пар доказывается аналогично. Произведение этих взаимно простых чисел полный квадрат. Согласно теореме каждое из них также является полным квадратом. Итак, t и t - полные квадраты. Это возможно только при t 0. Действительно, если t, t, где 0, 0, то ( )( ), поэтому,, так что 0, следовательно, t 0. Тогда и p 0. Значит, m ; 0. Ответ: m ; (00). Существуют ли рациональные числа,, u, v, которые удовлетворяют уравнению u v 7 5? Решение. Так как 5 4 ( ) 5 ( ) 0 ( ( ) ( ) ( ) A B, 5 4 ( ) 5 ( ) 0 ( ( ) ( ) ( A B, то выполняется ) u v 7 5. Но 7 5 0, а левая часть положительная. Противоречие. ) ) Следовательно, исходного равенства быть не может. Ответ: таких чисел нет. 4.. (ММО, 97, 9 класс). Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, которые удовлетворяют уравнению a b c d 5 4 (где натуральное число)? Ответ: таких чисел нет (00). Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения, при которых уравнение 00 ( ) имеет натуральные решения. Решение. При любом пара, не является решением. Поэтому ( ) ( ) () ( ). Значит, 00. Предположим,. Тогда найдется простое число р, такое что p a, m p b, и числа a и b не делятся на р. Для определенности можно считать, что m 0. m 00 m Тогда ( p a p b ) ( p ab) ; ( m) 00 ( m) m00 ( p a b ) a b p. (*) Из условий 00 и m получаем: ( m) m 00 ( 00m) m( 00) Значит, правая часть равенства (*) целое число, которое делится на р. Левая часть на р не делится. Противоречие. Пусть теперь, тогда из равенства ( ) 00 ) ( получаем: Откуда q, q 0,,,... и q ( 00) 005. Поэтому 00 натуральный делитель числа 005. По условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение. Поэтому нужно взять 00 и , откуда 0 и 05. При 0 005, при 05. Ответ: 0; (00). Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения, при которых уравнение 7

8 0 l( ) l( ) имеет натуральные решения. Указание. Привести уравнение к виду 0 ( ) Ответ: 0; (ММО, 958, 0 класс). Решите в целых положительных числах уравнение ( ) ( ). Указание. Если, то (второй корень квадратного уравнения отрицателен). Пусть. Числа х и одной четности, поэтому ( ) четно:. Получаем: ( ) () ( ), откуда несложно увидеть (раскрыв скобки), что у кратно при. Разделив теперь обе части уравнения на (), получим:. Отсюда, а потому у не может делиться на. Значит, при решений нет. Ответ: ; (МГУ, 989). Найдите все целые числа х и у, удовлетворяющие равенству Решение. Разложим левую часть уравнения на множители ( ) ( )( 5) 7 5 ( ) ( ( ) )( ( ) ). Откуда следует, что искомые числа удовлетворяют хотя бы одному из уравнений ( ) 0 или ( ) 0, которые приводятся к виду ( )( ) 5 или ( )( ) 7. Решая эти уравнения в целых числах, получаем четыре пары чисел. Ответ: ( 0; ),( ;0),(0;),(;) (МГУ, 989). Найдите все целые числа х и у, удовлетворяющие равенству Ответ: ( ;),( 4;0),(0; 4) (МГУ, 979). Найдите все тройки целых чисел ( ; ; z), для каждой из которых выполняется соотношение ( ) z z. Решение. Из условия следует, что ( ), т.е. ( ). Поскольку ( ) является квадратом целого числа, то ( ) равно либо 0, либо, либо 4, либо 9. Перепишем исходное уравнение в виде ( ) ( z )( ) 7. Если ( ) 0, то ( z )( ) 7. Так как 7 число простое, то последнее равенство выполняться не может. Если ( ), то ( z )( ) 4. Поскольку z,, то возможны две системы z z 7 или которые 7, не имеют решений в целых числах. Если ( ) 4, то ( z )( ) 5, откуда следует система z 5 5, которая не имеет решений в целых числах. Если ( ) 9, т.е. если или 0, то ( z )( ) 0. Так как z,, то отсюда следуют две системы z 5 z или первая из 5, которых не имеет решений в целых числах. Из второй системы получаем, что либо z 0,, либо z 0,. Следовательно, исходному соотношению удовлетворяют четыре тройки чисел. Ответ: ( ;;0),(; ;0),(0;;0),(0; ;0 ).

9 4.0. (МГУ, 979). Найдите все тройки целых чисел ( ; ; z), для каждой из которых выполняется соотношение 5 z z 0. Ответ: ( ;5;0),(; 5;0),( ;5;0),( ; 5;0). 5. Дробно-рациональные уравнения 5.. Решите в натуральных числах уравнение. z Решение. Поскольку неизвестные,, z входят в уравнение симметрично, то можно считать, что z. Остальные решения получатся перестановками неизвестных. Тогда, т.е.. z Очевидно, что. Пусть, т.е.. Также ясно, z что. Если, то z. Если 4, то z 4. Если 5, то даже, т.е. других решений при 5 5 нет. Если, то. z Пусть, тогда z. Если 4, то даже, т.е. других решений при 4 4 нет. Следовательно, данное уравнение с учетом перестановок имеет десять решений. Ответ: ( ;; ); ( ;4;4); ( 4;;4); ( 4;4;); ( ;; ); ( ;;); ( ;; ); ( ;;); ( ;;); ( ;;). 5.. Решите в натуральных числах уравнение. Указание. Выразите из уравнения у и исследуйте полученную функцию. Ответ: ( 4;4); ( ;); ( ;). 5.. (МИОО, 00). Найдите все пары натуральных чисел разной четности, удовлетворяющие уравнению m Решение. Пусть m. Приведем уравнение к виду m m m m ( m )( ), причем числа m и - разной четности. В качестве возможного разложения 4 pq, где р нечетно, а q четно, имеем следующие варианты: ) p m q m 5 p m m 5 ) q p 9 m 9 m 5 ) q 0 4) p 0 m 0 q 0 0 ( m )( ). Неизвестные m и входят в уравнение симметрично. Поэтому получаем ответ. Ответ: ( ;5); ( 5;0); ( ;8), ( 5;); ( 0;5); ( 8;) (МИОО, 00). Решите в натуральных числах уравнение, где m. m 5 Ответ: m 50; 0 или m 50;.. Иррациональные уравнения.. (Московская математическая регата, 00/00, класс). Найдите все целые решения уравнения 00. Решение. Исходное уравнение равносильно системе: ( 00) 00 9

10 По условию, х целое число, поэтому t - также целое. Чтобы уравнение t t ( 00 ) 0 имело целые решения, необходимо, чтобы дискриминант D 4( 00 ) являлся полным квадратом. Так как второе слагаемое, в свою очередь, при всех целых значениях у является полным квадратом, то следующее за ним натуральное число является квадратом тогда и только тогда, когда ( 00 ) Откуда t 0 или t, то есть, 0. Ответ: 0; Решите в целых числах уравнение 98. Решение. Из уравнения видно, что 0 98, Представим уравнение в виде 98 и возведем обе части уравнения в квадрат: 98 98, Отсюда 4a, a, где а целое неотрицательное число. Так как 98, то a 98, a 49, 0 a 7. Для каждого из значений а получаем значения х, и затем значения у. Ответ: ( 0;98); ( ;7); ( 8;50); ( 8;); ( ;8); ( 50;8); ( 7;); ( 98;0). 7. Показательные уравнения 7.. (00). Найдите все пары натуральных чисел m и, являющиеся решениями уравнения m. Решение. При любом число при делении на 8 дает остаток, а число при делении на 8 дает остаток 4. m Так как при m число делится на m 8 без остатка, то равенство возможно при m или m. Если m, то получаем 0. Если m, то получаем. Ответ: m,. 7.. (00). Найдите все пары натуральных чисел m и, являющиеся решениями уравнения m. Решение. Пусть четное число, т.е. m. Тогда ( )( ). Правая часть произведение двух последовательных четных чисел, каждое из которых является степенью числа. Значит, и 4, откуда и. Тогда m. Пусть теперь нечетное число. Нечетная степень тройки при делении на 4 дает остаток. Значит, делится на 4 с остатком. Так как при m m число делится на 4 без остатка, то равенство m возможно в случае m. Тогда. Ответ: m, или m. 7.. (00). Решите в натуральных числах уравнение 5. Решение. Рассмотрим два случая. ) (х нечетное число). Поскольку при делении на дает в остатке, то и дает в остатке, а дает в остатке. Число 5 делится на, следовательно, левая часть уравнения при делении на дает в остатке. Правая часть (квадрат числа) дает при делении на в остатке 0 или (докажите). Таким образом, равенство невозможно (левая и правая части дают при делении на разные остатки). ). Тогда 5, откуда 5. Оба множителя слева целые и положительные (так как второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта: и 5 5 Решая эти системы, получаем ответ. Ответ: ( 4;);(;7) Решите в целых числах уравнение. Ответ: ( ;);(; );(0;0) (00). Решите в целых числах уравнение 8. Ответ: 0; или 0;. 7.. (00). Решите в целых числах уравнение. 0

11 Решение. При получаем уравнение, которое не имеет решений в целых числах. Если 0, то. При уравнение не имеет решений в целых числах. Если, то уравнение не имеет решений, так как левая часть данного уравнения принимает значения из промежутка ( ;). Пусть. Как известно, четные степени двойки дают при делении на остаток, нечетные. Отсюда следует, что делится на без остатка, а число при делении на дает такой же остаток, как у. С другой стороны, квадраты целых чисел не могут давать при делении на остаток. Таким образом, четное. Положим d, d N и перепишем уравнение в виде d d 4 4. Отсюда следует, что нечетное, т.е., N. Получаем уравнение d d ; d d 4 ( 4 ) 4( ); 4 ( 84 ) ( ), где d. Причем 0, так как при d, т.е. 0 последнее уравнение не имеет решений. Из чисел х и только одно четное, и оно делится на 4. Если m4 (причем m нечетное, m N ), то имеем 4 ( 8 4 ) m 4 ( m 4 ); 8 4 m 4 m; (8 m ) 4 m. Сравнивая знаки левой и правой частей последнего уравнения, получаем одно нечетное m, которое не является решением. Если m4 (причем m нечетное, m N ), то имеем 4 ( 8 4 ) ( m 4 ) m4 ; 84 m 4 m; ( m 8) 4 m. Выражение m 8 неотрицательно при натуральных m. Если m, то (что приводит к решению исходного уравнения 4; ). При натуральных m 4 будет m 8 m, и решений нет. Ответ: 0; или 4; (ММО, 998, класс), (МИОО, m 00). Решите уравнение 4 5 в натуральных числах. Ответ: m. 8. Уравнения смешанного типа 8.. (МИОО, 00). Найдите все пары натуральных и таких, что и. Указание. Приведите уравнение к виду. Ответ:, (МГУ, 979). Найдите все целые корни уравнения cos Решение. Из данного уравнения получаем , Z. 8 Отсюда приходим к иррациональному уравнению , которое равносильно системе ( ), 0;, Z Уравнение системы приведем к виду ( 5) 8 5. (*) 5 5 Так как ( 5)( 5), то уравнение (*) 9 9 имеет вид 8( 5)( 5) 9( 5) 5 или ( 5)(8( 5) 9) 5. Последнее равенство означает, что 5 является делителем числа 5, т.е. 5 есть одно из чисел, 5, 5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это возможно только если равняется одному из

12 чисел 0,, 0. Соответствующие значения х находятся из равенства (*):, 7, 5. Условию 0 удовлетворяют значения 0, и 7,. Ответ:, (МГУ, 979). Найдите все целые корни уравнения cos Ответ:, Уравнения, содержащие знак факториала 9.. (МИОО, 00). Решите в натуральных числах уравнение! 5, где!... произведение всех натуральных чисел от до. Решение. Предположим, что 5. Тогда! делится на и 5, а значит десятичная запись числа в левой части оканчивается на или на 8. Перебор по последней цифре показывает, что квадрат целого числа не может оканчиваться ни на, ни на 8. Наконец, перебирая от до 4 находим единственное решение. Ответ: ; Уравнение!! ( )! решите в целых числах. Решение. Рассмотрим случай, когда, тогда! ( )( )...!( )( )...( Поделив обе части этого уравнения на!, легко заметить, что правая часть делится на, а левая не делится, т.е. в этом случае данное уравнение не имеет решений в целых числах. Аналогично рассматривается случай, когда. Пусть, т.е.! ()! Поделив обе части этого уравнения на!, получим ( )( )..., т.е., а следовательно, и. Ответ:,. ). 9.. (Московская математическая регата, 00/004, класс). Найдите все натуральные значения, для которых выполняется равенство:!. Решение. Запишем данное уравнение в виде ( )( ) ( )( )( ).... Так как не является его решением, то разделим обе части уравнения на ( ). Получим, что ( )( ).... Проверяя последовательные натуральные значения, начиная с, получим, что решением уравнения является 5. Так как для всех 5 верно, что 4 ( ), то ( ) ( )( )..., поэтому других натуральных решений данное уравнение не имеет. Ответ: Уравнения с простыми числами 0.. Уравнение решите в простых числах. Решение. Так как - четное число, то х нечетно, и потому число ( )( ) делится на 4. Следовательно, у четное число, и поскольку х и у должны быть простыми числами, то, а потому. Ответ:,. 0.. Решите в простых числах уравнение z. Решение. Число z больше, так как если z, то, а это не возможно. Тогда z нечетно, а следовательно, число х четно. Но х - простое, поэтому. Получаем уравнение: z. Если у нечетно, то сумма делится на, причем частное от такого деления больше ; но в этом случае z составное. Значит, число у четное, т.е.. Находим z 5. Ответ:,, z 5.

13 . Неразрешимость уравнений.. Докажите, что уравнение!! 0z 9 не имеет решений в натуральных числах. Решение. Так как правая часть уравнения нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или х, или у меньше. Пусть для определенности,, т.е.! 0z 8. Правая часть последнего равенства не делится на 5, а потому 4, но ни одно из натуральных чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. Итак, данное равнение не имеет решений в натуральных числах... (ВМО, 99, 9 класс). Докажите, что уравнение 4( ) не имеет решений в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде ( ) 7( ) 4. Так как куб целого числа не может давать остаток 4 при делении на 7, то уравнение не имеет решений в целых числах. Замечание. Другие решения задачи можно получить, рассматривая остатки, которые могут давать числа х и у при делении на 4, или заметив, что из уравнения следует, что - делитель числа 4... (ММО, 94, 8-9 классы). Докажите, что выражение не равно ни при каких целых значениях х и у. Указание. Данное выражение преобразуйте к виду ( )( )( )( )( ). Полученные сомножители попарно различны. Но число нельзя разложить более чем на 4 различных сомножителя..4. (ММО, 949, 7-8 классы). Докажите, что равенство z z для целых чисел,, z возможно только при z 0. Указание. Правая часть равенства всегда делится на более высокую степень двойки, чем левая..5. Существуют ли целые числа m и, удовлетворяющие уравнению m 00? Указание. Не существуют, так как m нечетно или кратно 4, а 00 нет... Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах. Указание. Рассмотреть остатки от деления левой и правой части на.

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Делимость целых чисел в задачах

Делимость целых чисел в задачах Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр.

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр. Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С6) СОДЕРЖАНИЕ стр Делимость целых чисел Деление без остатка Свойства делимости целых

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

Особенности решения уравнений в целых числах

Особенности решения уравнений в целых числах Краевой конкурс творческих работ учащихся «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Особенности решения уравнений в целых числах Селькова Мария Александровна,

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Из истории математики.

Из истории математики. Из истории математики Первой достаточно объемной книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок нэ) В истории арифметики её роль сравнима с ролью

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

и q 2 целые числа. Следовательно, a + b = c(q 1 +q 2 ), а a b= c(q 1 q 2

и q 2 целые числа. Следовательно, a + b = c(q 1 +q 2 ), а a b= c(q 1 q 2 Делимость целых чисел. Часть 1. Определение целое число а делится на не равное нулю целое число b, если существует такое число q, что a = bq. В таком случае число a называется делимым, b делителем, а q

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем Многочлены Многочленом с одной переменной х степени n называют выражение вида, где - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем называют старшим коэффициентом многочлена Если вместо переменной

Подробнее

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 1. Разложение на множители a) ( x 1)( y+ ) 9. б) x(y 98). в) x + y= xy. г) x + 4xy 7y. д) 19x yz 995, решить в простых числах. Делимость чисел а) y = 5x + 6. б) в) г) д) x + 1=

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

Математика 7 класс Задачи на делимость

Математика 7 класс Задачи на делимость МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

Сайт олимпиады 9 класс. Вариант 1

Сайт олимпиады  9 класс. Вариант 1 .0.06 Сайт олимпиады http://v-olymp.ru класс Вариант. Лыжник спускается с вершины горы к её подножию за 0 минут, а сноубордист за 5 минут. Спустившись, они тут же поднимаются вверх на подъёмнике, а затем

Подробнее

Делимость целых чисел

Делимость целых чисел Делимость целых чисел Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а=bc При этом число c называется частным от деления а на b Обозначения: a - а делится на b или ba b делит

Подробнее

Волков С.А. Сорок шесть С6. задачи с решениями задачи для самостоятельного решения элементы теории чисел

Волков С.А. Сорок шесть С6. задачи с решениями задачи для самостоятельного решения элементы теории чисел Волков С.А. Сорок шесть С6 задачи с решениями задачи для самостоятельного решения элементы теории чисел ЕГЭ-0 Волков С.А. Сорок шесть С6. Сборник содержит задачи С6 с решениями и комментариями к ним, краткие

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ

Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ Учебно-методическое пособие Составитель: Т. Г. Скударнова,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Решение Например, таковыми являются трёхчлены (x 1) 2, x 2, и (x 2) 2.

Решение Например, таковыми являются трёхчлены (x 1) 2, x 2, и (x 2) 2. 1. Квадратный трехчлен y = ax 2 + bx + c не имеет корней и а + b + c > 0. Найдите знак коэффициента с. 2. Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух

Подробнее

Сайт олимпиады 11 класс. Вариант 1

Сайт олимпиады  11 класс. Вариант 1 .0.06 Сайт олимпиады http://v-olymp.ru класс Вариант. Найдите какое-нибудь натуральное число, сумма всех делителей которого (включая и само это число) равна 06. Решение: Сумма делителей числа n p p p равна

Подробнее

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b.

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b. Занятие 6 Если не оговорено противное, в этой теме слово «число» означает целое число. Целое число a делится на целое число b, если существует целое число k, т. ч. a = bk. Также в этом случае говорят,

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Тема: Системы счисления

Тема: Системы счисления Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

Занятие 3 Сравнение чисел. Делимость

Занятие 3 Сравнение чисел. Делимость Занятие 3 Сравнение чисел. Делимость Два числа а и b можно сравнить: а = b или а > b или а < b. Запомните! глагол сравнить -аю, -аешь; Знаки: = "равно"; "не равно"; > "больше"; < "меньше". a b это равенство

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике.

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике. ВВ Мирошин, Гимназия 5 (Москва), e-mail: vmiroshin@gmailcom Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике В статье рассматриваются задачи группы С6, предлагаемые

Подробнее

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2.

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач ТЕСТ Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно и не превосходит по величине ) ) 8 ) 9 ) 8 Найти сумму всех двузначных натуральных чисел,

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Квадратные уравнения В данной статье мы разберём основные вопросы, связанные с квадратным уравнением: выведем формулу корней, докажем теорему Виета и научимся

Подробнее

так что x = , и подставим в выражение числителя: 11)

так что x = , и подставим в выражение числителя: 11) 5 Решение уравнений в целых числах В решении даже таких простейших уравнений, как линейное уравнение с одним неизвестным, есть свои особенности, если коэффициенты уравнения являются целыми числами, и требуется

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г. Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Уравнения и системы. Задание 4 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Уравнения и системы. Задание 4 для 9-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Многочлены. Уравнения и системы.

Подробнее

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Подробнее

для равного по модулю отрицательного числа является ошибочной, так как по определению 0 r < n. Правильные значения k и r в данном случае ( m = 35

для равного по модулю отрицательного числа является ошибочной, так как по определению 0 r < n. Правильные значения k и r в данном случае ( m = 35 ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ С ОСТАТКОМ Пусть m целое число, а n натуральное число Если m > n и m не делится на n нацело, то возможно деление m на n с остатком Определение 3 Для любого целого числа m и любого

Подробнее

7 класс Ответ. указательный.

7 класс Ответ. указательный. 7 класс. Ответ. Одна красная бабочка. Первое решение. Устроим перебор пар бабочек так, чтобы одна бабочка была красной (упомянутой в условии), а другая как придется. Из условия следует, что все бабочки,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m ) Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения-. Первообразные корни, индексы. Теоретический материал Пусть а, m натуральные взаимно простые числа, причем m, тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

М а т е м а т и к а 1. Найдите наименьшее количество натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 1995. Решается задача: 1995 1 3 n и n min? Очевидно, что при n = 1 задача решений не имеет. Решим задачу

Подробнее

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей.

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей. Тест по теме «НОД и НОК» Фамилия, Имя. Натуральные числа называются взаимно простыми, если: а) у них более двух делителей; б) их НОД равен ; в) у них один делитель.. Наибольшим общим делителем чисел а

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика Финальный тур 000 7 класс 7 На контрольной в 7 а было мальчиков на три человека больше, чем девочек По результатам контрольной оказалось, что

Подробнее

Всероссийская научно-методическая конференция 10 ноября января 2014 "Педагогическая технология и мастерство учителя"

Всероссийская научно-методическая конференция 10 ноября января 2014 Педагогическая технология и мастерство учителя Маховер Михаил Сергеевич учитель математики, заслуженный учитель Российской Федерации Государственное общеобразовательное учреждение «Гимназия 11» Василеостровского района, г. Санкт-Петербурга Жувикина

Подробнее

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии www.cryptolymp.ru XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии (11 класс) Решение задачи 1 Сначала заметим, что если N pq, где p и q простые числа, то количество натуральных чисел,

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью

Подробнее