Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра и аналитическая геометрии I семестр Казань ru

2 Составитель: ЛА Онегов УДК 8 ru

3 Аналитическая геометрия и линейная алгебра Занятие Определители -го и -го порядка Формула Крамера Аудиторное задание: Вычислить определители: 6 a a b c ), ), ), ) a a a a ab ac Ответы: ) 8; ) ; ) ; ) Решить уравнения: sin ) ; ) ; ) ; ) cos n Ответы: ) х=; ) х =, х =; ) Нет решения; ) ( ) n Решить неравенства: ), ) 7 Ответы: ) ( ; ) ; ) ( ; ) Решить системы уравнений: y y 6 ) ) 7y 8 6y Ответы: ) =6, y=7; ) Система не имеет решений Определить, при каких значениях a и b система уравнений ay 6 y b ) имеет единственное решение; ) не имеет решений; ) имеет бесконечное множество решений Ответы: ) a ; ) a, b ; ) a, b 6 Вычислить определители: ) ; ) 6 ; ) Ответы: ) ; ) 87; ) 9 7 Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства: 7 8 Вычислить определители, раскрывая их по элементам строки (столбца): ru

4 ) ; ) Ответы: ) ; ) 9 Решить уравнение: Ответ: х=- Решить неравенство: 7 Ответ: ( ; ) Домашнее задание: Вычислить определители: 6 ), ), ) Решить уравнения: ) ; ) cos8 sin ) sin 8 cos Решить неравенства: ) ; ) Решить системы уравнений: y ) ) y 8 Вычислить определители:, ) cos sin sin cos ; ) ; y y ru

5 ) ; ) 6 Решить уравнение: 7 Решить неравенство: ; ) a a a a a a Ответы к домашнему заданию: ) ; ) ; ) ; ) ( n ) ) ; ), ; ) ; ) 6 6 ) ( ; ) ; ) (;7 ) ), y ; ) y, - любое действительное число ) 9; ) ; ) a 6, 7 ( 6; ) Занятие Комплексные числа Действия над комплексными числами Тригонометрическая форма комплексных чисел Аудиторное задание: Найти: z ) Z Z ; ) Z Z ; ) Z ; ), если Z = i, Z = 6 i z 9 Ответы: ) i, 9 6i ; ) i ; ) 8 6i ; ) i 6 6 Построить точки, изображающие комплексные числа, i, i, i, i Найти модуль и аргументы комплексных чисел Изобразить в виде векторов и представить в тригонометрической форме: ) i ; ) i ; ) i ; ) i ; ) i ru

6 7 7 Ответы: ) (cos i sin ) ; ) (cos i sin ) ; ) (cos i sin ) ; ) (cos i sin ) ; ) (cos isin ) 6 6 Решить уравнения: ) ; ) ; ) Ответы: ) i ; ) i ; ) i Домашнее задание: Построить точки, изображающие комплексные числа, i, i, i Найти: z ) Z Z ; ) Z Z ; ) Z ; ), если Z = i, Z = i z Найти модуль и аргументы комплексных чисел Изобразить в виде векторов и представить в тригонометрической форме: ) ; ) i ; ) i ; ) i ; ) i Решить уравнения: ) ; ) Повторить и записать в тетрадь основные формулы элементарной алгебры Формулы сокращенного умножения Действия над дробями Свойства степенных и показательных функций, свойства логарифмов Основные формулы тригонометрии Ответы: ) i, ) cos 7 7 i ; ) i ; ) 6i ; ) i isin, cos isin ; ) cos i sin, cos i sin ; i sin ; ) (cos i sin ) ; ) (cos isin ) 6 6 ) (cos ) Задание Векторы Проекции векторов Линейные операции над векторами Аудиторное задание: Построить следующие точки по их декартовым координатам: A(; ; 6), B(; ; ), C(; ; ), D(; ; ), E(; ; ), F(, ; ) Найти координаты точек, симметричных точкам: A(; ; ), B(; ; ), C(; ; ), D(a; b; c) Относительно: 6 ru

7 ) плоскости OXY; ) плоскости OXZ; ) плоскости OYZ; ) оси абсцисс; ) оси ординат; 6) оси апликат; 7) начала координат Ответы: ) (; ; ), (; ; ), (; ; ), (a; b; c); ) (; ; ), (; ; ), (; ; ), (a; b; c); ) (; ; ), (; ; ), (; ; ), (a; b; c); ) (; ; ), (; ; ), (; ; ), (a; b; c); ) (; ; ), (;; ), (; ; ), (a; b; c); 6) (; ; ), (; ; ), (; ; ), (a; b; c); 7) (; ; ), (; ; ), (; ; ), (a; b; c) Даны точки: A(; ; ), B(; ; ), C(; ; 9), D(; ; ) Вычислить расстояние между ) A и С; ) В и D; ) С и D Ответы: ) 7; ) ; ) Даны вершины А(; ; ), В(; ; 6), С(; ; ) треугольника Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А Ответ: 7 Даны точки А(; ; ) и В(; ; ) Найти координаты векторов АВ и ВА Ответ: АВ =(; ; ); ВА =(; ; ) 6 Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен Ответ: ( ; ; ); ( ; ; ) 7 По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: ) a b ; ) a b ; ) a ; ) b ; ) a b ; 6) a b Ответ: см рис a b a a b a b a b a a b b b a b 8 Даны два вектора a =(; ; 6) и b =(; ; ) Определить проекции на координатные оси следующих векторов: ) a b ; ) a b ; ) a ; ) b ; ) a b ; 6) a b 7 ru

8 Ответы: ) (; ; 6); ) (; ; 6); ) (6; ; ); ) (; ; ); ) (; ; ); 6) (; ; ) 9 Даны точки A(; ; ), В(; 7; 8), С(; ; 7), D(; ; ) Проверить, что вектора АВ и CD коллинеарны Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены в одну или в противоположную стороны Ответ: АВ в раза длиннее CD, направлены в одну сторону Даны три вектора p =(; ; ), q =(; ; ), r =(; ; ) Найти разложение вектора c =(; 6; ) по базису p, q, r Ответ: c = p q + r Домашнее задание: Вычислить расстояние от начала координат О до точек: А(; ; ), В(; ; 6), С(; ; ); D(; 6 ) Даны вершины М (; ; ), М (; ; ), М (; ; ) треугольника Найти середины его сторон Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а =(; ; ), если его начало совпадает с точкой М(; ; ) В треугольнике АВС вектор АВ = m и вектор АC = n Построить каждый из следующих векторов: m n m n n m n ) ; ) ; ) ; ) m Принимая в качестве масштабной единицы n построить также векторы: ) n m m n ; 6) n m m n Определить при каких значениях и векторы а i j k и b i 6 j k коллинеарны Ответы: ОА=6; ОВ=; ОС=; ОD= (; ; ); (; ; ); (; ; ) N(; ; ) =; = 8 ru

9 Занятие Скалярное произведение Применение скалярного произведения Аудиторное задание: Векторы a и b образуют угол ; зная, что а, b, вычислить: ) ( a, b ); ) ( a +b, a +b ) Ответ ) 6; ) Дано, что а =, b = Определить при каком значении векторы a +b и a b будут взаимно перпендикулярны Ответ: = Даны векторы a =(; ; ), b =(6; ; ) Вычислить: ) ( a, b ); ) ( а, а) ; ) ( a b, a +b ) Ответы: ) ; ) 6; ) Вычислить, какую работу производит сила f =(; ; ), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(; ; ) в положение В(; ; ) Ответ: Вычислить косинус угла, образованного векторами a =(; ; ) и b =(; ; 6) Ответ: cos = 6 Даны вершины треугольника А(; ; ), В(; ; ) и С(; ; ) Определить его внешний угол при вершине А Ответ: arccos ( ) 9 7 Даны три вектора: a = i 6 j k, b = i j k и c i j k Вычислить пр( а b) Ответ: Домашнее задание: с Векторы a и b образуют угол ; зная, что а, b, вычислить: ) ( a, a ); ) (b,b ); ) ( a b, a +b ); ) ( a b, a b ) Даны векторы a =(; ; ), b =(6; ; ) Вычислить: 9 ru

10 ) ( b, b) ; ) ( a +b, a +b ); ) ( a b, a b ) Даны вершины треугольника А(; ; ), В(; ; ) и С(; ; ) Определить его внутренний угол при вершине В Найти проекцию вектора s =( ; ; ) на ось, составляющую с координатными осями ОХ и OZ углы = о, =6 о, а с осью OY острый угол Ответы: ) 9; ) 6; ) 6; ) 7 ) 7; ) 9; ) о Занятие Векторное и смешанное произведение векторов Аудиторное задание: Векторы a и b образуют угол ; зная, что а 6, b, 6 вычислить [ a,b ] Ответ: Векторы a и b образуют угол ; зная, что а, b, вычислить: ) [ a,b ], т е ([ a,b ], [ a,b ]); ) [ a +b, a +b ] ; ) [ a +b, a b ] Ответы: ) ; ) 7; ) Даны векторы a =(; ; ) и b =(; ; ) Найти координаты векторных произведений: ) [ a,b ]; ) [ a b, a +b ] Ответы: ) (; ; 7); ) (; ; 8) Даны точки А(; ; ), В(; ; ), С(; ; 6) Вычислить площадь треугольника АВС Ответ: кв ед Даны три вектора a =(; ; ), b =(; ; ) и с =(; ; ) Вычислить ( a,b, с ) Ответ: 7 6 Доказать, что четыре точки А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ) и D(; ; ) лежат в одной плоскости 7 Даны вершины тетраэдра: А(; ; ), В(; ; ), С(6; ; 7) и D(; ; 8) Найти длину его высоты, опущенной из вершины D Ответ: ru

11 Домашнее задание: Векторы a и b взаимно перпендикулярны, зная, что а, b, вычислить: ) [ a +b, a b ] ; ) [ a b, a b ] Даны векторы a =(; ; ) и b =(; ; ) Найти координаты векторного произведения: [ a +b, b ] Установить компланарны ли векторы a, b и с, если a =(; ; ), b =(; ; ) и с =(; ; 7) Объем тетраэдра v=, три его вершины находятся в точках А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ) Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY Задачи из типового расчета (Т Р) Ответы: ) ; ) 6 (; ; ) Компланарны D (; 8; ), D (; 7; ) Занятие 6 Коллоквиум Комплексные числа Векторная алгебра Домашнее задание: Подготовить первую часть Т Р к защите Занятие 7 Уравнение плоскости Аудиторное задание: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (; ; ) и имеет нормальный вектор n =(; ; ) Ответ: y+z+= Даны две точки М (; ; ) и М (; ; ) Составить уравнение плоскости, проходящей, через точку М перпендикулярно вектору М М Ответ: yz+= Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (; ; ) и М (; ; ) параллельно вектору а =(; ; ) Ответ: yz= Определить при каких значениях l и m следующая пара уравнений +ly+z= m6y6z+= будет определять параллельные плоскости ru

12 Ответ: l=; m= Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (; ; ) перпендикулярно к двум плоскостям: z+=, y= Ответ: +z= 6 Составить уравнение плоскости, которая проходит: ) через точку М (; ; ) параллельно плоскости OXY; ) через точку М (; ; ) параллельно плоскости OXZ Ответы: ) z=; ) y+= 7 Составить уравнение плоскости, которая проходит: ) через точки М (7; ; ) и М (; 6; ) параллельно оси OX; ) через точки Р (; ; ) и Р (; ; ) параллельно оси OY Ответы: ) y+z+=; ) z= 8 Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью y+6z= и координатными плоскостями Ответ 8 куб ед 9 Вычислить величину отклонения и расстояние d точки от плоскости в каждом из следующих случаев: ) М (; ; ), y+z+=; ) М (; ; ), y+z+=; ) М (9; ; ), yz+= Ответы: ) =, d=; ) =, d= точка М лежит на плоскости; ) =, d= Домашнее задание: Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n =(; ; ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; ; ) и параллельно двум векторам а =(; ; ) и а =(; ; ) Определить при каком l уравнения 7yz= l+yz= будет определять перпендикулярные плоскости Определить двугранные углы, образованные пересечением плоскостей: yz=, y+z= Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (; ; ) и М (; ; ) перпендикулярно плоскости y+z= 6 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(; ; ) параллельно плоскости OYZ 7 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки Q (; ; ) и Q (; ; ) параллельно оси OZ; 8 Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость 6y+z+= от координатного угла OXY 9 Вычислить величину отклонения и расстояние d точки от плоскости в каждом из следующих случаев: ru

13 ) М (; ; ), 6y+z=; ) М (; 6; 7), z=; Ответы: z=; +y+7z+6=; 7 ; и ; yz9=; 6 +=; 7 +y=; 8 кв ед 9 ) =, d=; ) =, d= Занятие 8 Уравнение прямой Взаимное расположение прямой и плоскости Аудиторное задание: Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(; ; ) параллельно: х y z ) вектору а =(; ; ); ) прямой ; ) оси OX; ) оси OY; ) оси OZ y z y z y z Ответы: ) ; ) ; ) ; y z y z ) ; ) Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки (; ; ), (; ; ) Ответ: х=t+; y=t+; z=t+ Составить канонические уравнения следующей прямой: y z y z y z Ответ: положить z = 7 Доказать перпендикулярность прямых: y z y z и y 8z Найти точку пересечения прямой и плоскости: y z, y z 6 ru

14 Ответ: (; ; 6) 6 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (; ; ) перпендикулярно плоскости 6yz+= y z Ответ: 6 7 Найти проекцию точки Р(; ; ) на прямую =t, y=t7, z=t+ Ответ: ( ; ; ) 8 Найти точку Q, симметричную точке Р(; ; ) относительно плоскости +yz= Ответ: Q(; ; ) Домашнее задание: Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: ) (; ; ), (; ; ); ) (; ; ), (; ; ); ) (; ; ), (; ; ); ) (; ; ), (; ; ) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки (; ; ), (; ; ) Доказать перпендикулярность прямых: t y t и y z z 6t y z Найти острый угол между прямыми; y z y z, Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; ; ) y z перпендикулярно к прямой 6 Найти проекцию точки Р(; ; ) на плоскость y+z+= Ответы: y z y z y z ) ; ) ; ) ; y z ) =; y=t; z=t+ 6 о y+z= 6 (; ; 7) ru

15 Занятие 9 Прямая с угловым коэффициентом Кривые -го порядка Аудиторное задание: Определить точки пересечения прямой y= с координатными осями и построить эту прямую Ответ: (6; ), (; ) Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями +y=, y+=, = Определить координаты его вершин Ответ: А(; ), В(; ), С(; ) Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси OY, для каждой из прямых: ) y+=; ) +y+= Ответ: ) k=, b=; ) k=, b= Дана прямая +y+= Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (; ): ) параллельно данной прямой; ) перпендикулярно к данной прямой Ответы: ) +y7=; ) y-= Составить уравнение окружности: ) центр окружности совпадает с точкой С(; ) и ее радиус R=7; ) окружность проходит через точку А(; 6) и ее центр совпадает с точкой С(; ) Ответы: ) () +(y+) =9; ) (+) +(y) = 6 Какие из уравнений определяют окружности Найти центр С и радиус R каждой из них: ) () +(y+) =; ) () +(y+) =; ) +y +y= Ответы: ) С(; ), R=; ) точка (; ); ) С(; ), R= 7 Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: ) его полуоси равны и ; ) его малая ось равна, а расстояние между фокусами с=; ) его большая ось равна, а эксцентриситет Ответы: ) y ; ) y 69 ; ) y 6 8 Дан эллипс 9 +y = Найти: ) его полуоси; ) фокусы; ) эксцентриситет; ) уравнения директрис Ответы: ) и ; ) F (; ), F (; ); ) ; ) 9 Определить полуоси эллипса 9 +y = Ответ: и ru

16 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: ) ее оси а= и b=8; ) расстояние между фок усами с=6 и эксцентриситет ; ) уравнение асимптот y и расстояние между фокусами с= Ответы: ) y 6 ; ) y ; ) y 6 6 Дана гипербола 6 9y = Найти: ) полуоси а и b; ) фо кусы; ) эксцентриситет; ) уравнения асимптот; ) уравнения директрис 9 Ответы: ) а=, b=; ) F (; ), F (; ); ) ; ) y ; ) Найти полуоси и уравнения асимптот гиперболы y = Построить чертеж Ответ; b=, a=, y Домашнее задание: Определить точки пересечения двух прямых y9=, +y+9= Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси OY, для каждой из прямых: ) +y6=; ) +y= Даны уравнения двух сторон прямоугольника y+=, +y7= и одна из его вершин А(; ) Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника Составить уравнение окружности: ) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=; ) точки А(; ) и В(; 6) являются концами одного из диаметров окружности Какие из уравнений определяют окружности Найти центр С и радиус R каждой из них: ) (+) +y =6; ) +(y) =; ) +y +y+= 6 Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: ) его большая ось равна, а расстояние между фокусами с=; ) расстояние между фокусами с=6 и эксцентриситет ; ) его малая ось равна, а эксцентриситет 6 ru

17 7 Определить полуоси эллипса +9y = 8 Составить уравнение гиперболы, если: ) расстояние между фокусами с= и ось b=8; ) ось а=6 и эксцентриситет Ответы: (; ); ) k=, b=; ) k=, b=; +y=, y=; ) +y =9; ) () +(y) =8; ) C(; ), R=8; ) C(; ), R= ; ) уравнение не определяет никакого геометрического образа на плоскости; 6 ) y 9, ) y 6, ) y 69 ; 7 и ; 8 ) y, ) y Занятие Парабола Преобразование уравнения кривой -го порядка, не содержащего члена с произведением координат Аудиторное задание: Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная что: ) парабола находится верхней полуплоскости симметрично относительно оси OY, и ее параметр р= ; ) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси OY и ее параметр р= Ответы: ) = y; ) =6y Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: ) y =6; ) =y; ) y =; ) =y Ответы: ) р=; в правой полуплоскости симметрично оси OX; ) р=,; в верхней полуплоскости симметрично оси OY; ) р=; в левой полуплоскости симметрично оси OX; ) р= ; в нижней полуплоскости симметрично оси OY 7 ru

18 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: ) +9y +8y+9=, ) +y 8+ y= Ответы: ) С(; ), полуоси и +=; ) С(; ), полуоси и, y6=, y+=,, уравнения директрис =,, уравнения директрис Установить какая линия определяется уравнением: y Изобразить линию на чертеже ( ) ( y 7) Ответ: Половина эллипса, расположенная над прямой y+7= Установить, что уравнение определяет гиперболу и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис: 6 9y 6y6= Ответ: С(; ), а=, b=,, уравнения асимптот: y7=, +y+=; уравнения директрис =, 9= 6 Установить, какая линия определяется уравнением: y Изобразить линию на чертеже ( ) ( y ) Ответ: часть гиперболы, расположенная над прямой 9 y+= 7 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: ) y ; ) y ; ) y ; ) y Изобразить эти линии на чертеже Ответы: ) часть параболы y =, расположенна я в первом координатном углу; ) часть параболы y =8, расположенная в третьем координатном углу; ) часть параболы =y, расположенная в первом координатном углу; ) часть параболы =y, расположенная во втором координатном углу 8 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу и найти координаты ее вершины А, величину параметра р: ) =y y+; ) =y +y 8 ru

19 Ответы: ) А(; ), р= ; ) А(; ), р= 9 Установить линию определяющуюся уравнением y Сделать чертеж Ответ: часть параболы (y) =6(), расположенная над прямой y= Определить тип каждого уравнения и сделать чертеж: ) +9y +6y+=; ) 9 +y +88y+9= Ответы: ) Эллиптическое уравнение; представляет эллипс ( ) ( y ) ; С(; ) центр эллипса ) Эллиптическое 9 ( ) ( y ) уравнение - не определяет никакого геометрического 9 образа Домашнее задание: Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная что: ) парабола находится правой полуплоскости симметрично относительно оси OХ, и ее параметр р=; ) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси OХ и ее параметр р=, Установить, что уравнение 6 +y +y8= определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: Установить какая линия определяется уравнением: y 6 Изобразить линию на чертеже Установить, что уравнение 9 6y +9+y67= определяет гиперболу и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: ) y ; ) y ; ) y ; ) y Изобразить эти лин ии на чертеже 6 Установить, что уравнение = y +y определяет параболу и найти координаты ее вершины А, величину параметра р 7 Установить линию определяющуюся уравнением y Определить тип уравнения y +8y+= И сделать чертеж Ответы: ) y = 6; ) y =; 9 ru

20 С(; ), полуоси и,, уравнения директрис =, +8=; ( Половина эллипса ) ( ) y, расположенная над прямой 9 6 y=; С(; ), а=8, b=6,,, уравнения асимптот: +y+=, y+9=; уравнения директрис =, и =,; ) часть параболы y =, расположенная во втором координатном углу; ) часть параболы y =, расположенная в четвертом координатном углу; ) часть параболы =y, расположенная в третьем координатном углу; ) часть параболы =6y, расположенная в четвертом координатном углу; 6 А(; ), р=; ( ) ( y 7) 7 часть гиперболы, расположенная над прямой 9 y7=; 8 Гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу пару пересекающихся прямых: y+= и +y+= Занятие Поверхности -го порядка Аудиторное задание: Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства: ) х=; ) z=; ) y+=; ) +y +z =; ) +y +z =; 6) y=; 7) yz=; 8) z=; 9) yz=; ) yy = Ответы: ) плоскость OYZ; ) плоскость OXY; ) плоскость, параллельная плоскости OXZ и лежащая в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее; ) сфера с центром в начале координат и радиусом ; ) уравнение определяет точку начало координат; 6) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями OXZ и OYZ и проходит в,, и 7 октантах; 7) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями OXY и OXZ и проходит в,, 7 и 8 октантах; 8) плоскости OXY и OYZ; 9) совокупность всех трех координатных плоскостей; ) плоскость OXZ и плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями OXZ и OYZ и проходит в,, и 7 октантах Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: ) ; ) ; ) ; ) y z 9 ; z y z z y z ) ru

21 Ответы: ) ось OY; ) прямая, проходящая через точку (; ; ) параллельно оси OZ; ) прямая, проходящая через точку (; ; ) параллельно оси OY; ) окружность, лежащая на плоскости OXY, с центром в начале координат и радиусом, равным ; ) окружность, лежащая на плоскости OYZ, с центром в начале координат и радиусом, равным Установить, какие геометрические образы определяются в пространственной системе координат следующими уравнениями: ) y z ; ) =6z; ) z =; ) +y +=; ) y +z =z 6 Ответы: ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОХ, имеющая направляющей эллипс, который на плоскости OXZ определяется уравнением y z 6 ; ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОY, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости OXZ определяется уравнением =6z; ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОY, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости OXZ определяются уравнениями z=, +z=, эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; ) уравнение никакого геометрического образа не определяет; ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОХ, направляющая на плоскости OYZ определяется уравнением y ( z ) Составить уравнение сферы, если сфера проходит через начало координат и имеет центр С(; ; ) Ответ: () +(y+) +(z+) =6 Установить, что плоскость z+= пересекает однополостный гиперболоид y z по гиперболе; найти ее полуоси и вершины 8 Ответ:, ; (; ; ), (; ; ) 6 Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы z, y= вокруг оси OZ c a y z Ответ: a c Домашнее задание: Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства: ) y=; ) =; ) z+=; ) (-) +(y+) +(z) =9; ) +y +z +=; 6) +z=; 7) y=; 8) yz=; 9) =; ) yz+z = ru

22 Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в пространственной системе координат: ) +z =; ) y 6 9 ; ) y=; ) y +z =; ) +z =z Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: y y y z 9 ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; y z y z y y z 6) z Составить уравнение сферы, если точки А(; ; ) и В(; ; ) являются концами одного из диаметров сферы y z Установить, что плоскость = пересекает эллипсоид 6 по эллипсу; найти его полуоси и вершины 6 Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса y, z= вокруг оси OХ b a Ответы: ) плоскость OХZ; ) плоскость, параллельная плоскости OYZ и лежащая в ближнем полупространстве на расстоянии двух единиц от нее; ) плоскость, параллельная плоскости OХY и лежащая в нижнем полупространстве на расстоянии единиц от нее; ) сфера с центром (; ; ) и радиусом 7; ) Ø ; 6) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями OXY и OYZ и проходит в,, и 8 октантах; 7) плоскости OXZ и OYZ;8) плоскости OXY и OXZ; 9) плоскость OYZ и плоскость, параллельная плоскости OYZ и лежащая в ближнем полупространстве на расстоянии -х единиц от нее; ) плоскость OXY и плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями OXY и OXZ и проходит в,, и 6 октантах ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОY, имеющая направляющей окружность, которая на плоскости OXZ определяется уравнением +z =; ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОZ, имеющая направляющей гиперболу, которая на плоскости OXY определяется уравнением y ; ) цилиндрическая поверхность состоящая из двух 6 9 плоскостей =, y=; ) ось OX; ) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОY, имеющая направляющей окружность, которая на плоскости OXZ определяется уравнением +(z) = ) ось OZ; ) ось ОХ; ) прямая, проходящая через точку (; ; ) параллельно оси OZ; ) прямая, проходящая через точку (; ; ) параллельно оси OХ; ) окружность, лежащая на плоскости OXZ, с ru

23 ru () +(y+) +(z) =, ; (; ; ), (; ; ), (; ; ), (; ; ) 6 b z y a Занятие Коллоквиум Аналитическая геометрия Занятие Матрицы, действия над ними Обратная матрица Решение систем уравнений с помощью матриц Аудиторное задание: Найти матрицу А+В, если А=, В= Ответ: А+В= 7 6 Найти матрицу АВ, если А=, В= Ответ: Найти АВ и ВА, если А=, В= Ответ: АВ=, ВА= Найти АВ, если А=, В= Ответ: АВ= 7

24 ru Найти А -, если А= - 6 Найти матрицу обратную матрице А= Ответ: А =,,,, Ответ: А - = 7 Решить систему уравнений матричным методом (используя результаты примера 6) ; ) =, y=, z= Найти матрицу А+В, если А=, В= +АВ А, В= Решить систему уравнений матричным методом (используя результаты примера ) веты: ) z y ) z y z y y 8 z y y Ответы: ) =, y=, z= Домашнее задание: 7 8 Найти матрицу А, если = Найти А -, если А= z y z y y От

25 7 6-6 ; ) ; ) А = y=, z= 6 ; ) =, 7 Занятие Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера Исс ледование на совм естимость Ранг матри цы Теорема Кронекера Капелли Аудиторное задание: Решить системы уравнений по формуле Крамера: y z 6 y 9z 8 y z 6 ) y z ) 7 y 6z ) z 7 y z 7 7 9y 9z 6 z 7 9 Ответы: ) =, y=, z=; ) =, y=, z=; ) =, y= 8, z= Исследовать на совместимость методом элементарных преобразований расширенной матрицы в следующих системах: y z y z y z ) y z ) y z ) y z y z y z 7 y z Ответ ы: ) =z, y=z+, z любое действительное число; ) система не сов местима; ) =t, y=t, z=t, t любое действительное число Домашнее задание; Решить системы уравнений по формуле Крамера: y z y 7 y z ) y z ) z 6 ) y z y z 7 y z 8 y z 6 Исследовать на совместимость методом элементарных преобразований расширенной матрицы в следующих системах: y z ) y z ) y z y z y z y z Система из Т Р Ответы: ) =, y=, z=; ) =, y=, z=; ) =, y=, z=; ru

26 ru ) система не совместима; )система имеет единственное решение =y=z= ятие Метод решения систем линейных уравнений Аудиторное задание: Решить системы уравнений вет: система есконечное множество решений, связанных Зан Гаусса Ответ: (; ; ) 7 8 От имеет б формулами: 8 ; ; ; х и х любые действительные числа вет: (; ; ) Домашнее задание: ить системы у н Ответ: система несовместна От Реш равне ий 6

27 ru 7 7 Ответы: (; ; ); система имеет бесконечное множество решений, связанных формулами: ; 6 ; ; х любое действительное число; система несовместна; (; ; ) Литература Бугров Я С, Никольский С М Высшая Mатематика Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии М: Наука Главная редакция физико-математической литературы, с Клетеник Д В Сборник задач по аналитической геометрии М: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 97 с Занятие 6 Прием и защита типового расчета

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Алгебра и геометрия семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Элементы линейной и векторной алгебры.

Элементы линейной и векторной алгебры. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности «Промышленное и гражданское строительство» семестр Матрицы и определители Решение систем линейных уравнений:

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ПК-3: способность строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата. Уровень 1 Основные

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания Министерство сельского озяйства РФ А Н Манилов Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников направления «Экономика» Санкт Петербург Введение Настоящие указания предназначены

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

«Линейная алгебра» B Решить

«Линейная алгебра» B Решить Контрольные работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления 876 () «Техносферная безопасность» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия на плоскости

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Кем ГУ, Геллерт В.А.

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Кем ГУ, Геллерт В.А. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Физический

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее