Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81"

Транскрипт

1

2 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные матрицы Определение Способы нахождения обратной матрицы Системы линейных уравнений Основные понятия Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 8 Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера Решение систем линейных уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы) Решение матричных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений 8 8 Общее решение однородной системы линейных уравнений Задания по вариантам Заключение 9 Литература 8

3 Введение Дисциплина «Линейная алгебра» относится к циклу общенаучных учебных дисциплин Основная часть теоретического материала, перечисленного в программе, излагается на лекциях Главной задачей практических занятий является формирование и развитие умений и навыков, необходимых для практического применения математического аппарата Данное пособие рассматривает основные темы линейной алгебры: матрицы, определители и системы линейных уравнений В первом разделе дается определение матрицы, рассматриваются основные виды матриц и действиям с ними Каждое действие проиллюстрировано примером Второй раздел посвящен различным способам вычисления определителей квадратных матриц Рассматриваются такие методы, как правило треугольника, правило Саррюса, разложение по строке или столбцу, а также приведение определителя к треугольному виду Третий раздел посвящен способам нахождения обратных матриц Четвертый изучает способы решения систем линейных уравнений Далее рассматривается решение матричных уравнений, дается определение ранга матрицы Разобран вопрос совместности системы линейных уравнений Для этого приводится теорема Кронекера - Капелли, с помощью которой исследуются системы линейных уравнений Пособие содержит заданий, каждое из которых рассчитано на типовых вариантов Пособие может быть использовано при подготовке студентами-заочниками всех направлений

4 Матрицы Основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины) Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например A, B, C Матрица записывается в виде А m n а а ап а а а п ат ат атп Матрицу A называют матрицей размера m n и пишут A m n Числа a ij (где i,,k, m номер строки, j,,k, n номер столбца), составляющие матрицу, называются ее элементами Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т е j,,k,n A B, если a ij bij, где i,,k, m, Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной Квадратную матрицу размера порядка п п называют матрицей n -го Пример С 8 Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, образуют главную диагональ Вторая диагональ называется побочной

5 Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной Пример С Квадратная матрица A называется симметричной относительно главной диагонали, если a a ij ji Пример С Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной Обозначается буквой E Пример Е единичная матрица -го порядка Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю Различают верхнюю треугольную и нижнюю треугольную матрицы Пример B 9 верхняя треугольная матрица Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой Обозначается буквой O Имеет вид О

6 Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно) Их вид: а а А а т, В ( b b b ) n Матрица размера, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т е ( ) есть Матрица А m n называется ступенчатой, если она имеет вид А m n a K a a K a a a K K K K K a a a a n n n K mn Элементарными преобразованиями матриц являются: перестановка местами двух строк матрицы; вычеркивание (удаление) нулевой строки матрицы; умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное от нуля; прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов строки, умноженных на одно и то же число Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями

7 Теорема Любую ненулевую матрицу можно путем элементарных преобразований свести к эквивалентной ей ступенчатой матрице Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований Записывается A ~ B Действия над матрицами ) Сложение матриц Складывать можно только матрицы одинакового размера, при этом получается матрица той же размерности, что и исходные Суммой двух матриц A ( a ij ) и B ( b ij ) называется матрица C ( c ij ), у которой элементом c ij является сумма соответствующих элементов a ij и b ij матриц A и B Пример Найти сумму матриц A и B Решение ( ) ( ) ( ) 9 Свойства сложения: A B B A (коммуникативный закон) ( A B) C A ( B C) (ассоциативный закон) Если O нулевая матрица, то A O O A A ) Умножение на число Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число 8

8 Пример Найти матрицу A, если A Решение A ( ) Свойства умножения матрицы на число: α ( А В) αа αв ; ( α β ) А αа βа ; α ( βа) ( αβ ) А, где A, B, C матрицы, α и β числа Назовем разностью матриц A и B матрицу C, для которой C B A, те C A ( ) B ) Умножение матрицы на матрицу Операция умножения двух матриц возможна, когда матрицы согласованны Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B Таким образом, если порядок матрицы A равен согласованной с ней матрицы B должен быть равен квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы) m n, то порядок n k (отметим, что Произведением матрицы A размерности m p и матрицы B размерности p n называется матрица C размерности m n, каждый элемент которой c ij равен сумме произведений i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B c a b a b K a b ij i j i j ip pj 9

9 Пример 8 Найти произведение матриц Решение А, В А B 9 Пример 9 Найти произведение матриц А, В А B и B A, если Решение А B ; B A 8 Пример 9 показывает, что произведение матриц не подчиняется коммуникативному закону Матрицы A и B называются перестановочными, если AB BA Если матрицы A и B квадратные одного размера, то произведения AB и BA всегда существуют Умножение матриц обладает следующими свойствами: А ( В С) ( А В) С ; А ( В С) АВ АС ; ( А В) С АС ВС ;

10 α ( АВ ) ( αа) В, если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл При умножении на единичную матрицу АE A и EA A, те при умножении матриц, единичная матрица играет роль единицы Пример Проверить свойство матриц, если А Решение А E ; E A ) Возведение в степень Целой положительной степенью m A ( > квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, те m ) ) Транспонирование Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной Обозначается T A D Пример Найти матрицу, транспонированную к матрице Решение T D Транспонированная матрица обладает следующим свойством: T T ( A ) A ;

11 T T ( λ A) λa ; T T T ( A B) A B ; T T T ( A B) A B Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и Любой квадратной матрице третьего порядков A порядка n можно поставить в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n -го порядка этой матрицы Обозначается определитель следующим образом: det A (или A, или ), и вычисляется Определитель первого порядка: A ( a ) ; A a Определителем второго порядка или детерминантом, соответствующим матрице а а А а а, назовем такое число, что A a a a a a a a a схемой Вычисление определителя -го порядка можно проиллюстрировать при этом из произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали

12 Пример Найти определитель матрицы A Решение A ( ) ( ) Определителем третьего порядка Для вычисления определителя третьего порядка, применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот Эти схемы известны, как правило треугольника (или правило звездочки) и правило Саррюса ) Правило треугольника (или правило звездочки) При вычислении определителя -го порядка удобно пользоваться правилом треугольника, которое символически можно записать так По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме линиями т е получаем сумму произведений: aa a a aa aaa Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме линиями,

13 , т е получаем другую сумму произведений a aa aaa aaa И, наконец, чтобы вычислить определитель, из первой суммы вычитаем вторую, и окончательно получаем a a a a a a a a a ( a a a a a a a a a ) aaa aaa aaa aaa aaa aaa ) Правило Саррюса По правилу Саррюса, к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в направлении главной диагонали, и из нее вычитают сумму произведений элементов в направлении побочной диагонали (см схему) Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника Пример Вычислить определитель матрицы А Решение а) по правилу треугольников:

14 А б) по правилу Саррюса: А Определители обладают следующими свойствами Свойство Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, те при транспонировании Свойство Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя Свойство Определитель, имеющий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю Свойство Определитель, имеющий две равные строки (два одинаковых столбца), равен нулю Свойство Определитель с пропорциональными строками равен нулю Свойство При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет его знак Свойство Если элементы какого-либо столбца (строки) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей Например,

15 a a a b a a a a a b a a a c a a a a a c a a a d a a a a a d Свойство 8 Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любое число Например, a a a a a a k a A a a a a a a k a a a a a a a k a Кроме правила треугольника (или правила звездочки) и правила Саррюса есть еще два способа вычисления определителей матриц ) Разложение определителя по строке или столбцу Минором некоторого элемента a ij определителя n -го порядка называется определитель n -го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент Обозначается M ij Пример Найти миноры M, и M, определителя Решение M, 8 M,, Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма индексов i j четное

16 число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная Обозначается A ij i j ( ) M ij При этом полезно иметь в виду схему, где знаки или чередуются, ими помечены места тех элементов, для которых алгебраические дополнения равны минорам или отличаются от них знаком Пример В условиях предыдущего примера найти алгебраические дополнения A, и A, Решение (, M, (, M, A ), A ) Теорема (Лапласа) Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения n aiai ai Ai ain Ain Данная формула называется разложением определителя по i строке Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу Пример Вычислить определитель матрицы A Решение

17 A ( ) ( 9) ) Приведение определителя к треугольному виду С помощью элементарных преобразований над строками определитель приводится к ступенчатому виду и тогда его значение равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали Пример Вычислить определитель матрицы A Решение Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю Все преобразования будут выполняться проще, если элемент a будет равен Для этого мы поменяем местами первый и третий столбцы определителя, что согласно свойствам определителей, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный: Затем первую строку умножим на (-) и прибавим ко второй Получим Первую строку умножим на и прибавим к третьей строке 8

18 Теперь поменяем местами и столбца, что приведет к смене знака Прибавим ко второй строке, умноженной на, третью строку Получим Тогда значение определителя равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали ( ( ) Определители более высоких порядков Для квадратных матриц размерности записать определитель n -го порядка n n при n > можно также a a K a n a a K a n K K K K a a K a n n nn Свойства определителей -го порядка справедливы и для определителей n -го порядка На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и, в конечном счете, свести задачу к 9

19 нахождению определителей -го порядка Так, вычисляя определитель четвертого порядка путем разложения его по элементам строки или столбца, придется вычислить определителя третьего порядка Пример 8 Вычислить определитель матрицы A Решение ) ( ) ( ) ( A ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 (8 8 ) ( 8) ( Задача упрощается, если предварительно определитель можно преобразовать, используя его свойства, таким образом, чтобы в какой-либо строке или столбце все элементы, кроме одно, стали нулевыми Тогда алгебраические дополнения этих элементов вычислять не нужно, тк соответствующие слагаемые в разложении определителя равны нулю из-за умножения на нулевые элементы Пример 9 Вычислить определитель матрицы 8 8 A

20 Решение Первую строку умножим на (-) и прибавим ко второй, затем первую строку умножим на и прибавим к третьей строке, и на (-) и прибавим к четвертой, получим ( ) ( ) 9 ( 89 ) Невырожденные матрицы Определение Пусть A квадратная матрица n -го порядка а а а п а а а п А аn аn апn Квадратная матрица A называется невырожденной, если определитель не равен нулю: det A В противном случае ( ) матрица A называется вырожденной Матрицей, союзной к матрице A, называется матрица, составленная из алгебраических дополнений

21 А * A A A n A A A n, A n An Aпn Матрица выполняется условие А называется обратной по отношению к матрице A, если А А А А Е, где E единичная матрица того же порядка, что и матрица A Матрица имеет те же размеры, что и матрица A А Теорема Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая вычисляется следующим образом A A * ( A ) T, где A - определитель матрицы, * А союзная матрица Свойства обратной матрицы: A A ; ( A B) B A ; T T ( ) A ( A ) Способы нахождения обратной матрицы ) «Классический» метод (с помощью алгебраических дополнений); ) Метод Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

22 Классический метод (с помощью алгебраических дополнений) ) Вычисление определителя матрицы A; ) Нахождение алгебраических дополнений A ij ; ) Построение союзной матрицы * А ; ) Нахождение обратной матрицы; ) Проверка А А А А Е Пример Найти обратную матрицу для А ) Решение 8,) А * 8 8 ) ) 8 8 / / / 8 / / 8 / А А A / / / / / 8 / и AА / / / / / 8 /

23 Метод Гаусса (с помощью элементарных преобразований) ) Составление матрицы A E (к матрице A справой стороны приписывается единичная матрица E той же размерности, что и матрица A) ) С помощью элементарных преобразований над строками матрицы A E приводят ее к виду E A ) Справа будет получена обратная матрица Пример Найти обратную матрицу для А Решение

24 Системы линейных уравнений Основные понятия Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т е α α K α, n n где α i числа, i переменные Линейным уравнением называется уравнение вида a a K a b, n n где a i и b числа, i неизвестные Линейное уравнение называется однородным, если b В противном случае уравнение называется неоднородным Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида a a an n b a a ann b, am am amnn bm

25 где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i свободными членами, уравнений i неизвестные переменные, n число неизвестных, m число Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме А Х В Здесь A матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей: неизвестных, а а а п а а а п А, Х ат ат атп х х вектор-столбец из хп b b B вектор-столбец из свободных членов bm Расширенной матрицей системы называется матрица А В системы, дополненная столбцом свободных членов a a a n b a a an b АВ am am amn b m Решением линейной системы называется набор чисел,, K n, которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения

26 Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы Совокупность всех частных решений называется общим решением Решить систему это значит выяснить, совместна она или несовместна Если система совместна, найти ее общее решение Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же множество решений Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы Элементарными преобразованиями системы уравнений называют следующие преобразования: перестановка любых двух уравнений; умножение обеих частей любого уравнения на любое число, отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

27 a a a nn a a ann am am amnn Однородная система всегда совместна, так как K n является решением системы Это решение называется нулевым или тривиальным Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных Пусть дана система уравнений a a a nn b a a ann b an an annn bn Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов На первом этапе выписывается расширенная матрица, которая приводится к ступенчатому виду (в частности, треугольному, это матрица, у которой под главной диагональю все нули) На втором этапе производится переход от расширенной матрице обратно к системе, затем идет последовательное определение неизвестных переменных из последней строки системы, поднимаясь по ступени вверх y z Пример Решить систему методом Гаусса: y z y z 9 8

28 Решение Записываем расширенную матрицу Затем первое уравнение умножим на - и прибавим ко второму, и первое умножим на - и прибавим к третьему Получим Теперь прибавим ко второму уравнению, умноженному на -, третье уравнение Получим уравнений: По ступенчатому виду расширенной матрицы выписываем систему решение системы y z y z z Отсюда z, y, единственное Пример Решить систему методом Гаусса: х х х х х х х х х х х х х 9х х 8 Решение В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы получим 9

29 По ступенчатому виду расширенной матрицы выписываем систему х х х уравнений: Выражаем из второго уравнения неизвестную х х х переменную х, те х х х Затем подставляем в первое уравнение х и выражаем неизвестную переменную х, те х х 8х, получаем общее решение системы линейных уравнений Если положить, например,, то найдем одно из частных решений этой системы ( ; ;;) Решение систем линейных по правилу Крамера Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными a a a a a a y a y a y a z b z b z b а Определитель а а а а а а а а, составленный из коэффициентов при неизвестных данной системы, называется главным определителем этой системы

30 Определитель получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов при искомом Определители y и столбцом свободных членов zполучают из определителя системы заменой второго и третьего столбцов коэффициентов при y и z столбцом свободных членов, соответственно b а а х b а а, b а а а b а y а b а, а b а а а z а а b а а b b Рассмотрим следующие возможные случаи Тогда решение системы находим как ; y y ; z z, при этом полученные формулы называются формулами Крамера или Если, а y z >, те по крайней мере один из, z отличен от нуля, тогда система не имеет решений (система несовместна) Пусть, например, Тогда из неравенства следует, что или, что невозможно Если и, то система, либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений y z y Пример Решить систему y z y z y z Решение

31 8; ; y ; 8 z По формулам Крамера ; y 8 y ; z z Решение систем линейных уравнений матричным способом (с Рассмотрим линейную систему помощью обратной матрицы) a a a nn b a a ann b an an annn bn и введем обозначения: a a K a n a a a n A K K K K K an an K ann - матрица системы, X K n - столбец неизвестных, b b B K b n - столбец свободных членов Тогда исходную систему можно записать в виде матричного уравнения: A X B

32 Основная матрица A такой системы квадратная Определитель этой матрицы a a K a n a a K a n K K K K a a K a n n nn называется определителем системы Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной Найдем решение данной системы уравнений в случае Умножив обе части уравнения A X B слева на матрицу A, получим A A X A B Поскольку A A E и E X X, то X A B Отыскание решения системы по формуле матричным способом решения системы X A B называют Пример Решить систему уравнений матричным способом х х х х х х х Решение: Выпишем матрицы А ; х Х х ; х В Решение уравнения в матричном виде Находим A * ( A ) T X A B A, для этого считаем 9

33 А х 9 Х х 9 9 х 9 9 Отсюда на основании определения равенства матриц следует, что,, Решение матричных уравнений Рассмотрим решение матричных уравнений следующего вида: ) AX B и ) YA C, где A заданная квадратная матрица порядка n, A, B, C заданные прямоугольные матрицы размеров искомые матрицы размеров или n rи n r и r n, соответственно, X, Y r n, соответственно AX B Умножим слева обе части уравнения на матрицу A A X A B, или E X A B, A : E X A B, X A B искомое решение YA C Умножим слева обе части уравнения на матрицу A : Y A A C A,

34 или Y E C A, Y C A искомое решение 8 Пример Решить матричное уравнение Y ( 9 9) Решение Находим A * ( A ) T A, для этого считаем 8 A, А ( 9 9) Y C A ( ) ( 9) ( ) Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A размера m n а а а а a a a a А a a a a n n n am am am a mn

35 Выделим в этой матрице произвольные K строк и K столбцов Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка K Минором K -го порядка матрицы A называется определитель квадратной матрицы, получившийся из данной матрицы выделением K строк и K столбцов Пример Рассмотреть миноры различных порядков матрицы А Решение Для матрицы, имеющей строки и столбца, одним из миноров -го порядка является определитель, полученный выделением первой, второй и третьей строк матрицы A Минорами -го порядка можно выделить определители ; ; ; Сами элементы можно рассматривать как миноры -го порядка Рангом матрицы называется порядок ее наибольшего ненулевого минора Обозначается r, r (A) или rang( A ) Пример 8 Найти ранг матрицы А Решение

36 Все миноры -го порядка равны нулю Есть минор -го порядка, отличный от нуля Значит, r( A ) изменится матрицы Отметим свойства ранга матрицы: При транспонировании матрицы ее ранг не меняется Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к ступенчатому виду, воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями) Напомним, что к ним относятся: ) транспонирование; ) умножение строки на ненулевое число; ) перестановка строк; ) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число; ) вычеркивание нулевой строки Пример 9 Найти ранг матрицы А

37 Решение Следовательно, r ( A) Исследование систем линейных уравнений Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы Выражение вида λs λs K λnsn, где λ i - некоторые числа, а строки (столбцы) матрицы А, называется линейной комбинацией строк (столбцов) матрицы А Если числа λ i равны нулю одновременно (те λ λ K λ n ), то такая линейная комбинация называется тривиальной Если хотя бы одно число λi, те λ λ K λ n > линейная комбинация называется нетривиальной Si -, то такая Строки (столбцы) матрицы называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, такая что S S nsn λ λ K λ Строки (столбцы) матрицы называются линейно-независимыми, если из условия λs λs K λ S следует тривиальность линейной комбинации λ λ K λ n n n Теорема Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы 8

38 Теорема Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией строк (столбцов) базисного минора Пусть дана произвольная система nнеизвестными m линейных уравнений с a a an n b a a ann b am am amnn bm Теорема (Кронекера Капелли) Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные - свободными неизвестными Из теоремы следует, что для системы m уравнений с n неизвестными возможны следующие случаи: Найти ранги основной и расширенной матриц системы Если ( A B) r( A) r, то система несовместна решение; Если r A) r( B) r (, система совместна При этом: а) если r n ( n число неизвестных), то система имеет единственное б) если r < n, то система имеет бесконечное число решений В случае r < n, r переменных,, K, rназываются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т е базисный минор) отличен от нуля Остальные n rпеременных называются 9

39 неосновными (или свободными) Пример Исследовать на совместность систему Решение Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду Очевидно, что r(a) ; r ( B) По теореме Кронекера-Капелли система не совместна Пример Исследовать на совместность, и в случае совместности решить систему х х х х х х х х х х 8х х Решение Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:

40 Очевидно, r( A) r( A B), те r < n, система имеет множество решений Решаем систему двух уравнений х х х х х х х Необходимо выбрать свободные и зависимые переменные Пусть, базисные неизвестные, а, свободные неизвестные Тогда выразим из системы уравнений х и х : х х х х х х, х х х х х х х х Для того чтобы найти общее решение системы, дадим произвольные значения свободным неизвестным, например х k l ; k l k; l х k и х l Частное решение можно получить, придав произвольные значения параметрам k и l Например, для k и l получаем следующее частное решение

41 х ; ; 8 Общее решение однородной линейной системы Рассмотрим однородную линейную систему m уравнений с n неизвестными a a a nn a a ann (*) am am amnn Рассматриваемая система получается из системы, рассмотренной в п путем обнуления столбца свободных членов Следовательно, для нее также имеет место теорема Кронекера-Капелли Но так как расширенная матрица A B для системы однородных уравнений получается из матрицы A системы добавлением столбца, состоящего из одних нулей, то ранг матрицы A всегда равен рангу расширенной матрицы Возможны два случая: A B, те однородная система всегда совместна r n, тогда однородная система имеет единственное нулевое решение K, называемое тривиальным Действительно, все n определители A j, получаемые из главного определителя системы путем замены j -го столбца на столбец свободных членов, будут равны нулю, и по формулам Крамера имеем K n A

42 Ранг матрицы системы r ( A) < n Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений Тогда оставшиеся m r уравнений являются линейными комбинациями, те следствиями предыдущих Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений a a a r a a a K a K a r K a n n rn n n n Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо: a a a r a a a r K a K a K a r r rr r r r a a a, r, r r, r r r r K a K a K a n n rn n n n (**) Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных ( r n K, выражающее их через остальные неизвестные r, K, ), которым можно придавать любые произвольные значения Таким образом, однородная система при r ( A) < n является неопределенной Подводя итог, заметим, что необходимым и достаточным условием нетривиальных решений однородной системы является условие r ( A) < n, где A матрица коэффициентов при неизвестных переменных, n число неизвестных Для систем n уравнений с n неизвестными это равносильно утверждению, что определитель такой системы равен нулю

43 Напомним, что неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы, называются базисными неизвестными, а остальные свободными неизвестными Покажем, что число линейно независимых решений системы (*) равно n r Действительно, рассмотрим столбцы вида ~ X r, K ~ X r,, K ~ X n, K содержащие по n r чисел Очевидно, что эти столбцы линейно независимы, а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы (*) Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы (**), и все решения системы, соответствующие наборам свободных неизвестных, образуют независимых столбцов, те Любые n r линейно n r линейно независимых решений системы (*) n r линейно независимых решений системы (*) называются ее фундаментальной системой решений Свойство Сумма решений системы (*) является ее решением Свойство Столбец решений (*), умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы (*) является ее решением

44 Пример Решить систему Решение Запишем матрицу системы A Приведем матрицу к виду A Очевидно, n A r < ) (, тогда система имеет бесконечное множество решений Решаем систему двух уравнений х х х х х х Пусть, - базисные неизвестные, а, - свободные неизвестные Тогда выразим из системы уравнений х и х : х х х х х Найдем фундаментальную систему решения Пусть, Тогда, Пусть, Тогда, Получена фундаментальная система решений: X, X

45 Приложение Задания по вариантам

46 Задание Вычислить определитель матрицы по правилу треугольника, по правилу Саррюса и разложением по строке или столбцу Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные 9 8 8

47 9 9 8 Задание Вычислить определитель Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные 8

48

49 9 8 Задание Вычислить определитель Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные 8 8 9

50

51 9 8 Задание Решить каждую систему линейных уравнений тремя способами: Методом Гаусса; По правилу Крамера; Матричным методом (с помощью обратной матрицы) Вариант Исходные данные Исходные данные 8 8

52

53

54

55 Задание Найти произведение матриц Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные ( 8 )

56 ( ) 8 9 ( ) ( ) ( ) 8 8

57 Задание Выполнить указанные действия Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные ( A B)( B A) A B ( A B)( A B) A B ( A B)( A B) A B A ( A B) B A B A( A B) BA A B B( A B) AB A B A( A B) B( A B) A B 8 A( A B) AB A B 9 AB A( B A) AB ( A B)( A B) 8

58 A B ( A B) ( A B) A A B (A B)( B A) A B A AB( B A) B A B AB ( A B)( A B) A B 9 A B ( A B) B A A B AB ( A B) A A B ( A B) A AB A B 8 ( A B)( A B) A A B

59 9 ( A B) AB A B 8 ( A B) B(A B) A B AB ( A B) B A B ( A B ) AB A B ( A B) A B A A( A B ) AB A B ( A B)( AB A) A B A B( A B) A B ( A B) B A B 8 ( A B) A B A

60 B 9 ( A B )( A B) A B B ( A B )( A B) A B Задание Найти обратную матрицу двумя способами Вариант Исходные данные Исходные данные 9

61 8 9 9

62 8 9 9

63 8 9 Задание 8 Решить систему линейных уравнений матричным способом Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные

64

65 Задание 9 Найти ранг матрицы Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные

66

67 9 Задание Исследовать систему линейных уравнений и в случае совместности решить Вариант Исходные данные Вариант Исходные данные

68

69 Задание Исследовать систему AX B, СX B на совместность, и в случае совместности решить систему AX B, AX, СX B Вариант A B B С 9 8 8

70 Вариант A B B С

71 Вариант A B B С

72 Вариант A B B С

73 Вариант A B B С

74 Задание Найти фундаментальную систему решений Вариант Исходные данные

75

76

77

78 Заключение Данное учебное пособие реализовано не только как справочный материал по линейной алгебре, но и как краткое руководство к решению задач линейной алгебры Главной задачей практических занятий является формирование и развитие умений и навыков, необходимых для практического применения математического аппарата Данный курс является математической основой для многих разделов большинства общенаучных и специальных экономических дисциплин При построении курса реализуется принцип преемственности обучения, он опирается на математические знания, умения и навыки студентов, приобретенные ими в общеобразовательной школе и средних специальных учебных заведениях Изучение дисциплины «Линейная алгебра» является важной составной частью подготовки бакалавра и имеет следующие основные цели: познакомить студентов с основами аппарата высшей математики для решения теоретических и практических задач экономики; воспитать абстрактное мышление, не привязанное к конкретным условиям и обстоятельствам; развить логическое мышление, научить строить логические цепочки рассуждений, в начале которых стоят не вызывающие сомнения факты и положения, а в конце правильные выводы; привить высокие стандарты строгости в доказательстве или обосновании результатов экономических исследований; - выработать навыки к математическому исследованию экономических проблем формирование научного мировоззрения у студентов; 9

79 формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин; формирование личности студента, развитие его интеллекта и умения логически и алгоритмически мыслить; формирование умений и навыков, необходимых при практическом применении математических идей и методов для анализа и моделирования сложных систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов их реализации 8

80 Литература Воеводин, ВВ Линейная алгебра / ВВ Воеводин СПб Изд-во «Лань» 8 с Высшая математика для экономического бакалавриата : учебник для бакалавров / Н Ш Кремер и др; ред Н Ш Кремера -е изд, перераб и доп Москва : Юрайт, 99 с Деменева, НВ Сборник задач / НВ Деменева; М-во с-х РФ, федеральное гос бюджетное образ учреждение высшего образ «Пермская гос с-х акад им акад ДН Прянишникова» Пермь: ИПЦ «Прокроcть», с Кузнецов, Л А Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб пособие для втузов / Л А Кузнецов -е изд, доп М : Высш шк, 99 с Курош, А Г Курс высшей алгебры Учебник -е изд, стер / АГ Курош СПб: Издательство «Лань», 8 с Письменный, Д Т Конспект лекций по высшей математике: [в ч] Ч/ДТ Письменный -е изд- М: Айрис-пресс, 88 с Проскуряков, ИВ Сборник задач по линейной алгебре Учебное пособие / ИВ Проскуряков -е изд, стер- СПб: Изд-во «Лань», - 8 с 8


И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a Лекция 1 Определители 2-го и 3-го порядков При решении систем линейных уравнений а также в ряде других задач используются специальные математические выражения называемые определителями. Рассмотрим систему

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ФГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МП Мисник ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее