Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений:"

Транскрипт

1 Примеры к выполнению контрольной работы Линейная алгебра Задача Найти значения неизвестных,, z из системы уравнений: (a b ) (b a) bz ( a b)(a c ) (c ) (c ) c z a b c ( a c) c z a c а) по формулам Крамера б) матричным способом в) способом Гаусса Решение: В качестве а взять последнюю цифру своего шифра, значения b7 c 7 Подставив значения а соответствующие цифре Вашего шифра и заданные значения b и с получаем систему: z z 8 z а) Решим заданную систему по формулам Крамера: z z, () главный определитель системы уравнений,,, z побочные определители, полученные заменой соответственно первого, второго или третьего столбца на столбец свободных элементов Вычислим главный определитель системы уравнений: Для вычисления воспользуемся свойствами определителей: к первой строке прибавим третью ко второй прибавим третью, умноженную на, имеем: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу: ( ), следовательно, система имеет единственное решение Вычислим вспомогательные определители Для вычисления 8 воспользуемся свойствами определителей: к первой строке прибавим третью, ко второй строке прибавим третью, умноженную на, имеем: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:

2 Для вычисления ( ) 8 воспользуемся свойствами определителей, к первой строке прибавим третью, ко второй строке прибавим третью, умноженную на, имеем: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу: ( ) Для вычисления z 8 воспользуемся свойствами определителей: ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на к третьей строке прибавим первую, умноженную на, имеем: 7 Вычислим определитель разложением по второму столбцу: 7 7 ( ) По формулам Крамера () находим: z z Таким образом, система имеет решение:,, z б) Для нахождения решения системы методом обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме: А ХВ, () где А матрица коэффициентов при неизвестных, Х матрица-столбец неизвестных, В матрица-столбец свободных коэффициентов Тогда решение системы в матричной форме имеет вид: ХА В, () где А обратная матрица Согласно условию исходной системы имеем: X B 8 z Найдём обратную матрицу по формуле:

3 ~, () где ~ союзная матрица, у которой k i алгебраическое дополнение элемента k i a матрицы А Вычислим определитель матрицы А по правилу Сарриуса: ) ( ) ( ) ( ) ( Вычислим алгебраические дополнения, используя формулу: j i j i j i M ) (, () где j i M минор, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца Таким образом, ~, тогда Следовательно, 8 X Произведение прямоугольных матриц возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы Чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j- го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить Таким образом, 8 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( Итак, х,, z в) Решим данную систему методом Гаусса Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему треугольного вида На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности треугольному) виду, те к виду:

4 a a a b ~ a ~ a b ~ am bm где ~a, a~,, a ~ m преобразованные коэффициенты Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствует первое и второе неизвестные и тд Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное На втором этапе (обратный ход) идёт последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы, те из последнего уравнения, из предыдущего уравнения находим еще одно предпоследнее Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдём все решения системы Прямой ход метода Гаусса Запишем данную систему в более удобном виде, те z z z 8 Исключим из третьего уравнения х и у, из второго уравнения х Для этого первое уравнение умножим на и прибавим ко второму, затем первое уравнение умножим на и прибавим к третьему: z z 7 z На этом прямой ход метода Гаусса закончен Обратный ход Из последнего уравнения находим z Подставляя найденное значение z во второе уравнение находим у: у 7, те у Подставляя найденное значение z и у в первое уравнение находим х: х + +, те х Итак, х,, z Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задача Даны координаты вершин пирамиды ( ), ( ), (, ) и ( 9 7 ) Сделав чертеж к задаче, требуется найти: вектор, его длину и направление угол между ребрами и уравнение и площадь грани угол между ребром и гранью уравнение прямой объем пирамиды Решение: Сделаем чертеж по условию задачи (рис )

5 Рисунок Координаты вектора B, исходящего из точки А(х х х ) в точку В(у у у ), определяются как разности соответствующих координат второй и первой точек: B ( ) Определим координаты векторов, на которых построена пирамида : ( ( ) ( ) ) ( ), ( ( ) ( ) ) ( ), ( 9 ( ) 7 ( ) ) ( ) Длина вектора B ( ) определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат: Найдем длину вектора ( ) : B ( ) ( ) Если задан вектор B ( ), то для определения направления вектора необходимо вычислить его направляющие косинусы, которые определяются как его компоненты, масштабированные к длине вектора: cos cos cos B B B Найдем направление вектора ( ) : cos cos cos Для определения угла между ребрами и воспользуемся понятием скалярного произведения векторов Скалярным произведением двух векторов ) и ) ( называется сумма произведений соответствующих координат, те k k k ( Косинус угла между векторами ( ) и ( ) определяется как скалярное произведение этих векторов, нормированное на их длины, те cos

6 Угол φ между ребрами и определяется как: ( ) ( ) ( ) cos, те ( ) ( ) cos, следовательно, угол между ребрами равен arccos Уравнение плоскости, проходящей через три точки А(х z ), B( z ) и C( z ) имеет вид: z z Тогда уравнение грани имеет вид: ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z, те z Используя правило разложения определителя третьего порядка по первой строке, имеем: z ( ) ( ) ( z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z ) ( ) z Сократим последнее выражение на ( ), и получим уравнение грани : z Площадь грани, образованной векторами B ( ) и C ( ), вычисляется как половина модуля векторного произведения этих векторов: i j k S B C, где i, j, k соответствующие орты Площадь грани находится как половина модуля векторного произведения и : i j k S i j k квед Если имеется уравнение грани в общем виде B Cz D, то вектор N ( B C) называется нормалью к плоскости Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M ( z ): z z, m p где P ( m p) направляющий вектор прямой, который ей параллелен

7 Если задан вектор P ( m p), то синус угла между вектором и плоскостью определяется как отношение модуля скалярного произведения нормали и направляющего вектора к длинам этих векторов: ( N P) m B C p si N P B C m p По условию задачи N ( ) P ( ), тогда синус угла между ребром и гранью : ( ) ( ) ( ) si, следовательно, угол ( ) ( ) ( ) arcsi Определим уравнение прямой, проходящей через точку ( ) направляющий вектор которой ( ), тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: ( ) ( ) z z или Смешанное произведение векторов a ( a a a), b ( b b b ) и c ( c c c) определяется как скалярное произведение векторного произведения двух векторов на третий, те a a a ab c ( a b) c b b b Объем пирамиды, построенной на векторах a, b и c, определяется как шестая часть их смешанного произведения, те V ( a b) c По условию задачи ( ), (), ( ), следовательно, объем пирамиды: V кубед Задача Дан треугольник с вершинами А( ), В( ), С( ) Найти углы треугольника, уравнения биссектрисы D, высоты СЕ и точку их пересечения Решение: Выполним чертеж по условию задачи (рис ) c c c Рисунок Найдём угловые коэффициенты прямых АВ, ВС, АС

8 Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами (х у ) и (х у ) определяется по формуле: k Следовательно, 9 k B k В С k АС 7 ( ) Найдём углы треугольника Если прямые l и l заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k b k b или уравнениями в общем виде B C B C, то угол между ними вычисляется по формуле: k k B B tg kk BB Имеем: 9 kас kав 7 tg,7, arctg,7 kасkав 9 7 kвс kав 7 tgb, Вarctg kвсkав 7 9 kвс kас tgc, Carctg 9 k k ВС АС Так как C, то Δ АВС равнобедренный Для нахождения уравнения биссектрисы угла А напишем уравнения сторон АВ и АС данного треугольника Уравнение прямой, проходящей через две точки М (х у ) и М (х у ), где, : Уравнение АВ: или х 7 у + 8 Уравнение АС: или 9 х у Расстояние d от точки М (х у ) до прямой +B+C вычисляется по формуле: В C d B Пусть точка М(х у) лежит на биссектрисе D (х и у текущие координаты биссектрисы), тогда она будет одинаково удалена от сторон АВ и АС угла А Расстояние d 7 8 от точки М(х у) до стороны АВ можно записать: d, аналогично расстояние 9 9 d расстояние от точки М(х у) до стороны АС Тк точки В и С лежат по 8 разные стороны относительно биссектрисы D, то d d Следовательно, уравнение биссектрисы D: или х у 8 8

9 Запишем уравнение прямой СЕ По условию прямая СЕ перпендикулярна к прямой АВ, 7 используя таблицу, имеем, что kce kb Таблица Взаимное расположение двух прямых на плоскости параллельны k k перпендикулярны пересекаются совпадают k k B B k k B B C C B k k B B tg B kk BB Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х у ) в данном направлении k ( ), где k tg (α угол, образуемый этой прямой с осью ОX,) (х у ) координаты данной точки Учитывая, что прямая СЕ проходит через точку С( ), запишем искомое уравнение: 7 ( ) ( ) или 7 х + у + Найдём точку пересечения F прямых D и CE Если прямые l и l заданы уравнениями B C B C, то необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений: B C B C Исходя из условия задачи, решаем систему уравнений: 7х у х у которая имеет решение: х у Следовательно, искомая точка имеет координаты F Задача Составить уравнение линии, каждая точка М которой отстоит от точки А( ) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки В( ) Решение: Пусть М(х у) любая точка искомой линии Тогда по условию задачи M BM Расстояние между двумя точками М (х у ) и М (х у ) на плоскости вычисляется по формуле: Тогда M ( х ) ( у B B d ( ) ) ( ), BM ( х у C C )

10 х Тк M BM имеем: ( х ) ( у ) ( х у ) Преобразуем последнее равенство, возведя обе части в квадрат: х х у у + 9 х + 8 х у, 8 х + х+8 у + у Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придём к уравнению вида: у O и радиусом R, которое является уравнением окружности с центром в точке (рис ) Рисунок Задача Дано уравнение линии х +9у 8х у+ Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XOY уравнение линии приняло вид: ) каноническое уравнение эллипса х, b а а) б) Рисунок где аоа ОА длина большой полуоси bob ОВ длина малой полуоси, А ( а ), А (а ), В ( b), B ( b) вершины эллипса F и F фокусы эллипса (левый и правый), расстояние между фокусами F F с фокусное расстояние Зависимость между параметрами a, b и c выражается соотношением: a b c если a>b, координаты фокусов F ( c ), F (c ), эксцентриситет эллипса с a b (отношение фокусного расстояния к большой оси): ε а a если a<b, координаты фокусов F ( с), F ( с), эксцентриситет эллипса: с b a ε b b ) каноническое уравнение гиперболы a b,

11 а) б) Рисунок где А (а ) и А ( а ) вершины гиперболы А А а вещественная ось гиперболы b мнимая полуось, F ( c ), F (c ) координаты фокусов гиперболы, F F c расстояние между фокусами гиперболы Зависимость между параметрами a, b и с выражается соотношением: с a +b Эксцентриситет гиперболы отношение фокусного расстояния к вещественной оси, с a b те ε а a ) каноническое уравнение параболы у р х у р х, (p>) (рис а, б), вершина параболы начало координат, ось симметрии ось абсцисс, координаты p фокуса р F, уравнение директрисы х х р у, (p>), х р у, (p>) (рис 7 а, б), вершина параболы начало координат, ось симметрии ось ординат, координаты p фокуса р F, уравнение директрисы х эксцентриситет параболы ε а) б) Рисунок а) б) Рисунок 7 Решение: Исходное уравнение х +9у 8х у + преобразуем х 8х+9у у+ или (х х)+9(у 9у)+ Выделяем полный квадрат при неизвестных: [(х ) ]+9[(у ) ]+ или (х ) +9(у ), те получили уравнение эллипса:

12 ( ) ( ) 9 Анализируя полученное уравнение имеем: O ( ) координаты центра системы координат (в новой параллельно-смещенной системе координат) а 9, а b, b c a b, те F ( ), F ) ñ à ( Примеры к контрольной работе Пределы Задача Найти пределы функций (без правила Лопиталя) Вычислить пределы: ) lim ) lim 8 ) lim ) lim 9 si ) lim ) lim 7) lim lim 8 cos 8) 9) lim Решение: ) Предел делителя равен нулю: lim( 8) Следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя Так как lim( 8), то ( х-8) при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина бесконечно большая Поэтому при 8 произведение есть величина бесконечно большая, те lim 8 8 ) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при получается отношение двух бесконечно малых величин, те неопределённость вида (Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на ( ) множитель, стремящийся к нулю) Имеем lim lim lim ( ) ) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, те имеем неопределённость вида (разложим числитель и знаменатель на множители, для разложения квадратного

13 трёхчлена в числителе на линейные множители воспользуемся формулой a b c a( )( ), где х, х корни трёхчлена, в знаменателе вынесем за скобки х) Сократим дробь на (х-), получим lim lim lim 9 9 ) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, те получаем неопределённость вида (умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменателю множитель ) lim lim (сократим дробь на х) lim lim ) Очевидно, что при функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин lim lim 8 8 вычитание дробей) lim получили дробь, числитель и знаменатель которой 8 при стремится к нулю (разложив на множители числитель и знаменатель на множители, сократим дробь на (х+)) lim lim ) При числитель и знаменатель величины бесконечно большие, те неопределённость вида (для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень аргумента х в выражении, те на х ) lim lim lim, те неопределённость вида (выполним (при слагаемые величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю), таким образом предел числителя есть конечная величина, равная единице, а знаменатель есть бесконечная малая величина, предел которой равен нулю, следовательно lim 7) Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых при, те получили неопределённость Заменим бесконечно малые, стоящие в числителе и знаменателе на эквивалентные

14 при следует, что si cos tg arcsi arctg lg ( ) a l a ( в частности, e ) si cos, при Таким образом, si lim lim cos 8) Выполним подстановку предельного значения, имеем неопределённость вида, воспользуемся вторым замечательным пределом ( lim lim e lim lim lim e e 9) Найдём пределы выражения lim и lim, те имеем неопределённость вида Выполним преобразования и воспользуемся вторым замечательным пределом ( lim lim e ) lim lim lim lim lim e e e Производные функций Задача Найти производные заданных функций f() f ( ) ) ) ) ) ctg tg l ) e 7) ) l l Решение: ctg l si 8) ) ) 8 cos tg e 9) si ( ) ) ) (воспользуемся формулой производной произведения v v v f ( ) (воспользуемся формулой производной суммы v w v w постоянной C, производная степени ), производной

15 (воспользуемся формулой разность кубов a -b (a-b)(a +ab+b ) ) )( ( ) (воспользуемся формулой производной частного v v v v ) (воспользуемся формулой производной суммы w v w v, производной постоянной C, производной степени ) (преобразуем данное выражение) ) (воспользуемся формулой производной произведения v v v ) (найдём производные в каждом из слагаемых и выполним преобразования) ) (данная функция сложная, воспользуемся формулой, заменив кубический корень дробным показателем) ) (данная функция сложная, воспользуемся формулой tg cos ) l l cos (воспользуемся формулой ) l l l cos (воспользуемся формулой l ) l l cos l cos l ) (данная функция сложная, воспользуемся формулой e e ) ctg e ctg (воспользуемся формулой ) ctg ctg e ctg (воспользуемся формулой ctg si )

16 e ctg ctg e ctg si si ctg 7) (данная функция сложная, воспользуемся формулой a a l a ctg l l si ) l ctg l si ctg l si ctg l si (воспользуемся формулой ctg l si ) si l si ctg l si si l si (воспользуемся формулой ctg ctg l si l l ) l si ctg l si si l si si si cos ) l cos ctg l si si l si si (воспользуемся формулой ctg l si (воспользуемся формулой ctg l si 8) (данная функция сложная, воспользуемся формулой 8cos tg e si tg e tg e si tg e tg e tg e 7 tg e (воспользуемся формулой si 8cos 7 tg e cos ) (воспользуемся формулой 7 8cos tg e (воспользуемся формулой tg ) cos 7 8cos tg e si tg e tg e e cos e (воспользуемся формулой e e ) 7 8cos tg e si tg e tg e e cos e (воспользуемся формулой ) 7 8cos tg e si tg e tg e e cos e 9) Данная функция заданна неявно (Если из уравнения F (, ) выразить явно переменную у как функцию аргумента х затруднительно, тогда говорят о неявно заданной функции у от аргумента х) (Для того чтобы найти производную функции заданной неявно надо уравнение F (, ) продифференцировать, считая у функцией от х, и вновь полученное уравнение решить относительно производной ) Продифференцируем обе части уравнения, учитывая, что у есть функция от х, получим: cos cos cos или ) ) )

17 Отсюда находим : cos или cos cos cos cos, те cos ) Это уравнение определяет у как неявную функцию х Дифференцируем по х: l l Так как, то l l откуда l l, те l l, d d Задача Найти, (производные первого и второго порядка) для заданных d d функций ) si ) l si ) t, t ) cos t, si t Решение: ) Найдём первую производную заданной функции si si si cos si Теперь найдём вторую производную cos cos ) Найдём первую производную заданной функции si si si cos ctg Теперь найдём вторую производную si ) Для нахождения второй производной функции уу(х), заданной параметрически t t t t t t воспользуемся формулой ( ) Откуда t t t t t t t t t t t 8t t t t t t t t ) Воспользуемся формулой ( ) si t si t cos t cos t cos t cos t cos t cos t ( cos t) si t si t si t cos si t t cos t si t t К выполнению контрольной работы Частные производные Задача Для функции z f( ) вычислить частные производные и вычислить их значения в точке ( ): ) f ( ) в точке ( ) ) ( ) в точке ( )

18 Решение: ) Переменная называется функцией переменных (аргументов),, z,, t, если каждому набору значений,, z,, t, из некоторой допустимой области, соответствует определённое значение Функция f ( ) функция от двух независимых перемененных х и у Найдём частные производные данной функции Производная от функции f(,, z,, t) по х, взятая в предположении, что все остальные аргументы, z,, t являются постоянными, называется частной производной f (,, t) f (,, t) от по х и обозначается или, те lim Аналогично определяются и обозначаются частные производные от функции по каждому из остальных её аргументов Следовательно, для исходной функции f ( ) будет две частных производных: f cost f cost Вычислим значения частных производных в указанной точке: f ( ) f ( ) ) Функция ( ) функция двух переменных Найдём частные производные данной функции: l ( ) l ( ) cost l ( ) l cost Вычислим значения частных производных в указанной точке: ( ) l и Интегральное исчисление Задача Найти неопределённый интеграл Результаты проверить дифференцированием: ) cos d si ) e d e d 8 ) 7) ( 7)si d 8) e 7 d 7 d l ( ) ) ) d ) 7 d 9) cos (7 ) d ) d d ) d ) 7 Решение: При нахождении интегралов следует помнить свойства и таблицу простейших неопределённых интегралов Свойства неопределённого интеграла: Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f ( ) d d F( ) C F( ) d f ( ) d Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: d F( ) F( ) d f ( ) d F( ) C

19 Отсюда следует, что символы дифференциала и неопределённого интеграла, применённые последовательно, «уничтожают» друг друга Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: k f ( ) d k f ( ) d (kcost) Если функции f () и f ()имеют первообразные, то функция f ()+f () также имеет первообразную, причём f ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d ( Таблица простейших неопределённых интегралов d C [] d C [] d C [] d l C [] a a d C l а [] e d e C [] si d cos C [7] cos d si C [8] d d si ctg C [9] cos tg C [] d arcsi C a a [] d a C a [] d l a C a [] d a C a [] d a l C a a a [] d l a C a [] d arctg C a a a [7] d l a C a [8] si tg d d l cos C cos [9]

20 cos ctg d d l si C [] si d Решение: ) Используя формулу [] имеем: 8 ) ( 8) C ( 8) C 8 d Упростим исходное выражение и по формуле [] имеем: d l C l C 7 d ) Используя формулу замены переменной: f ( ) d f ( ( t)) ( t) dt g( t) dt, где хφ(t), причем должна существовать обратная функция tφ () произведем замену: 7 d, по формуле [] имеем: d d, тогда исходный интеграл имеет вид: d d 7 d 7 l C 7 l C 7 l ( ) ) d Используем формулу замены переменной: исходный интеграл имеет вид: 7 d, по формуле [] имеем: 7 7 d C 7 7 l( ) C 7 l( ) d, тогда d cos d ) si Используем формулу замены переменной: исходный интеграл имеет вид: d, по формуле [] имеем: C si C si d cos d, тогда d cos d

21 ) e d e интеграл имеет вид: Используем формулу замены переменной: d, по формуле [] имеем: l C l e C 7) ( 7) si d данный интеграл вычисляется по частям e d d e d d e, тогда исходный Пусть и v две функции аргумента х, имеющие производные и v, тогда справедлива формула: dv v v d Интегрирование по частям полезно применять в случае, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух функций, одна из которых является многочленом, или если подынтегральная функция не имеет табличной первообразной (логарифм, обратные тригонометрические функции и тп) 7 d d 7 ( 7)si d cos dv si d v cos cos d 7 cos si C 7 8) e d данный интеграл вычисляется по частям, следовательно, dv e d d v e e e d e e C 9) cos (7 ) d данный интеграл относится к виду si k cos d, где нечетное число, следовательно, отделяем от нечётной степени один множитель и подводим его под знак дифференциала: cos (7 ) cos(7 ) d si (7 ) cos(7 ) d cos(7 ) d si (7 ) cos(7 ) d si(7 ) si (7 ) C 7 d ) В знаменателе данного интеграла выделяем полный квадрат и, используя формулу [7], имеем: d 8 d arctg d d a ( ) arctg arctg C

22 ) d В знаменателе данного интеграла выделяем полный квадрат и t t производим замену: d d t ( ) dt Данный t d dt интеграл разбиваем на два интеграла и используя формулы [] и [] имеем: t dt t l t l C t dt t t l l C d ) В знаменателе данного интеграла выделяем полный квадрат и, 7 используя формулу [] имеем: d 7 l 7 d d a d l Задача ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:, прямыми х, х и осью ОХ ) Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси ОY фигуры, лежащей в плоскости XOY и ограниченной линиями у х, х ) Найти длину дуги кривой, абсциссы концов которой, 8 Решение: ) Построим фигуру, ограниченную данными линиями рисунок 9 Рисунок 9 Площадь криволинейной трапеции B b a, ограниченной сверху графиком функции f(), слева и справа прямыми ха, хb, снизу осью ОХ, (рис ) вычисляется по формуле: b S f ( ) d a

23 Рисунок Вычислим площадь фигуры ограниченную данными линиями (рис 9): S S S ( ) d ( ) d квед ) Объём тела, полученного вращением вокруг оси ОY криволинейной трапеции C c d D, ограниченной дугой CD кривой (у) ( ( у) ) и прямыми c и d (рис ) вычисляется по формуле: V π d c d d π d c V π Рисунок Вычислим объем фигуры ограниченный данными линиями: d c d π ( ) d π ( ) d π ( 8 ) d 8 у у у 7, кубед ) Длина дуги кривой f(), где a bвычисляется по формуле: b d [ f ( )] d a Вычислим длину дуги, абсциссы концов которой, 8 : 8 8 ( ) 8 ( ) d d, еддлины Задача Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: d d ) ) e Решение: ) Для вычисления несобственных интегралов необходимо применить предельный переход, те изменить пределы интегрирования так, чтобы они стали конечными (для несобственных интегралов -го рода) и подынтегральная функция сохраняла непрерывность внутри и на концах нового промежутка интегрирования (для несобственных интегралов -го рода) Затем, вычислив значение интеграла в измененных пределах по формуле Ньютона-Лейбница, нужно применить предельный переход для возвращения к пределам интегрирования, заданным в условии задачи b a

24 d Рассматривается несобственный интеграл -го рода, тк подынтегральная функция терпит разрыв на правом конце промежутка интегрирования На основании определения d lim d b a b f ( ) d lim f ( ) d, если этот предел конечен имеем: a arcsi lim arcsi( ) arcsi lim arcsi, те d ) Применим теорему сравнения, согласно которой, если при > a выполнено условие f ( ) ( ) и если () d сходится, то f ( ) d также сходится a В нашем случае при х справедливо неравенство b a e Рассмотрим d d lim b b d lim lim b, тк b b сходится, то на основании теоремы сравнения несобственный интеграл d e сходится

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти: Задача. Даны вершины треугольника АВС. Найти: ) длины сторон, ) уравнения сторон, ) угол при вершине В, ) площадь треугольника АВС, ) центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

ГОУВПО ВГАСУ. Кафедра высшей математики

ГОУВПО ВГАСУ. Кафедра высшей математики ГОУВПО ВГАСУ Строительно-технологический факультет Кафедра высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для проведения практических занятий Воронеж Практическое занятие Матрицы и действия над ними Пример Даны

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА»

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА» Оценочные материалы Контроль качества освоения дополнительной общеобразовательной программы включает в себя: текущий контроль и промежуточную аттестацию Для оценивания результатов обучения используется

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица):

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица): ВВЕДЕНИЕ Методическое пособие предназначенное для оказания помощи студентам-заочникам при выполнении контрольных работ по дисциплине "Высшая математика" содержит шесть тем материала контрольных работ студентов

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Московский государственный университет геодезии и картографии

Министерство образования и науки РФ Московский государственный университет геодезии и картографии Министерство образования и науки РФ Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения (заочное отделение) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен Министерство труда, занятости и трудовых ресурсов Новосибирской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «Новосибирский радиотехнический колледж»

Подробнее

«Линейная алгебра» B Решить

«Линейная алгебра» B Решить Контрольные работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления 876 () «Техносферная безопасность» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия на плоскости

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «АРМАВИРСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ» Краснодарского края МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ВД Кулиев ЕВ Макаров ВМ Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов курса технических специальностей Предисловие Настоящее пособие предназначено

Подробнее

ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ D D. j j МАТРИЦЫ. , если C. Случаи решения системы уравнений: 1. Система имеет единственное решение, если RgA Rg A m n

ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ D D. j j МАТРИЦЫ. , если C. Случаи решения системы уравнений: 1. Система имеет единственное решение, если RgA Rg A m n ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ Правило: Определитель -го порядка вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагонали. Алгебраическое дополнение элемента il Определитель: det A ij A ij i j : A ij

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее