Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения"

Транскрипт

1 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке [a, b], если на этом промежутке плотность распределения случайной величины сохраняет постоянное значение, а именно: f ( ) /( b, a), если a если х х b, [ a;b]. Равномерный закон распределения применяется, например, при анализе ошибок округления при выполнении численных расчѐтов; так ошибка округления числа с точностью до, распределена равномерно на отрезке [-,5;,5]. Найдѐм функцию распределения F() для равномерного распределения на промежутке [a; b] по формуле: F() = f ( t) dt. Рис.7. Плотность вероятности равномерного распределения После подстановки функции f(t),в результате интегрирования получим формулу F() =, a, b a, Найдѐм математическое ожидание М(х) для равномерного распределения на промежутке [a; b] по формуле: M() = t f ( t) dt. После подстановки функции f(t), в результате интегрирования получим формулу если х если a если х F() f() а b a, х b, b, а b y = /(b-a) Рис.8. Функция распределения равномерного распределения

2 54 М(х) = b t a b dt =. ab a Найдѐм дисперсию D(х) для равномерного распределения на промежутке [a; b] по формуле: D() = ( t M ( X )) f ( t) dt. После подстановки функции f(t) и математического ожидания M(X), в результате интегрирования получим формулу D(х) = ( b a) b a t a b dt ( b a) =. Найдѐм вероятность P( < X < ) попадания случайной величины X, имеющей равномерное распределение на промежутке [a; b], в интервал (, ), содержащийся внутри промежутка [a; b], по формуле: P( < X < ) = F( ) - F( ). В результате, получим: P( < X < ) =. b a Пример. Троллейбусы отходят от остановки регулярно с интервалом мин. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Найти вероятность того, что ему придѐтся ждать не больше минут, а также математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х- времени ожидания троллейбуса. Решение. Случайная величина Х - время ожидания троллейбуса, имеет равномерный закон распределения на промежутке [; ]. При этом плотность распределения имеет вид: f ( ) /,, если если х х, [;]. Вероятность того, что пассажиру придѐтся ждать троллейбус не больше минут, найдѐм, подставив в формулу

3 55 P( < X < ) = значения = ; = ; a = ; b = P( < X < ) = Математическое ожидание будет равно b a =,. a b М(х)= = =5. Вычислим теперь дисперсию ( b a) ( ) D(х) = = = 5/3. Среднее квадратическое отклонение (X) = D (X ) = 5 3 / 3. Ответ: p =,; M(X) = 5; (X) = 5 3 / Показательный (экспоненциальный) закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если еѐ плотность вероятности имеет вид: e, если х, f() =, если х, где - постоянное положительное число. Показательное распределение используется, например, в теории массового обслуживания и исследовании операций. Найдѐм функцию f() распределения случайной величины Х по формуле F() = f t dt f()= e - Рис. 9. Плотность вероятности показательного распределения

4 56 После подстановки функции f(t), в результате интегрирования получим формулу F() = e,, если х если х,. Формулу для математического ожидания случайной величины X, распределенной по показательному закону получим, если проинтегрируем по частям несобственный интеграл F() Рис.. Функция распределения показательного закона M(X) = t f t dt = e d =. Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра. Дисперсия вычисляется по формуле: D f d M В результате получим D(X) =. Значит, среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле: (X) =. Замечание. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

5 57 Пример. Случайная величина T - время работы электроприбора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы электроприбора будет не меньше 6 часов, если среднее время работы электроприбора равно 4 часов. Решение: Поскольку математическое ожидание равно значению случайной величины (среднему времени работы электроприбора), то M(T) = 4. Следовательно, = 4. Искомую вероятность найдѐм по формуле P(T > 6) = - P(T 6). Заменив вероятность события P(T F(6), получим 6) на функцию распределения Ответ:,3. P(T > 6) = - F(6)= - (-e -6/4 )=e -,5, Нормальный закон распределения Определение Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность вероятности которого имеет вид ( a) f() f() = e. Нормальный закон распределения занимает центральное место среди распределений непрерывных случайных величин. Рис. Он наблюдается во всех случаях, когда случайная величина X является результатом действия большого числа факторов, каждый из которых не имеет решающего воздействия на X. a

6 58 Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, являются ошибки измерения или отклонения в размерах деталей от планируемых при изготовлении их на станках с программным управлением. Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределѐнной по нормальному закону, равно параметру a в формуле для плотности вероятности f() этого закона, т.е. M(X) = a, а еѐ дисперсия параметру, т.е. D(X) = (без доказательства). Таким образом, параметр в плотности вероятности нормального закона распределения есть среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Перечислим без доказательства основные свойства для нормального распределения: Свойство. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (, ), можно найти по формуле β a α a P( < X < ) = Ф -Ф, σ σ где, t / Ф(х) = e dt - функция Лапласа. π Таблица значений функции Лапласа для неотрицательных значений аргумента приведена в Приложении ; в случае когда значение отрицательно, нужно использовать свойство нечѐтности Функция Лапласа, т.е., Ф(-х) = -Ф(х). При этом, если > 5, то можно считать, что Ф() =,5. Свойство. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределѐнной по нормальному закону, от математического ожидания a не превысит положительную величину равна. P( X - a ) = Ф( / ). В частности, при а = справедливо равенство P( X ) = Ф( / ).

7 Если в формуле P( X - a получим следующую таблицу 59 ) = Ф( / ) брать различные значения, то = = = 3 P( X - a ) = Ф() =,687 P( X - a ) = Ф() =,9545 P( X - a ) = Ф(3) =,9973 Отсюда вытекает «правило трѐх сигм»: Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами а и, то практически достоверно, что еѐ значения заключены в интервале (а - 3, а + 3 ). Свойство 3. Мода и медиана нормального распределения соответственно равны: M о = a, M e = a. Пример. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением =. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине число. Решение: По условию имеем, а = ; = ; =. Применим формулу P( X ) = Ф( / ). Получим, P( X ) = Ф(,5). По таблице Приложения находим Ф(,5) =,95. Значит, P( X ) =,383. Ответ:,383. Пример. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = 5; =. Найти вероятность того, что величина Х примет значения, принадлежащие промежутку [4; 7]. Решение. Искомую вероятность найдѐм по формуле β a α a P( < X < ) = Ф - Ф, σ σ где = 4; = 7; а = 5; =. Получим,

8 6 P(4 < X < 7) = Ф() - Ф(-) = Ф() + Ф() =,477 +,343 =,885. Ответ.,885. Глава 5. Многомерные случайные величины 5.. Понятие многомерной случайной величины Часто для изучения некоторых процессов приходится использовать две, три и большее число случайных величин. Например, для описания физического состояния человека приходится анализировать систему случайных величин: Х - давление; Х - температуру; Х 3 - пульс и т.п. Систему нескольких случайных величин Х, Х, Х 3,, Х n принято записывать в круглых скобках (Х, Х, Х 3,, Х n ). При изучении системы случайных величин необходимо знать не только поведение каждой случайной величины, но также ещѐ и степень зависимости между ними. Случайные величины, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными. Геометрически систему из двух случайных величин (X, Y) можно рассматривать как случайную точку на плоскости или как случайный вектор на плоскости; систему из трѐх случайных величин (X, Y, Z) можно рассматривать как случайную точку в трѐхмерном пространстве или как случайный вектор в пространстве. Если число случайных величин, входящих в систему, больше трѐх, то эту систему рассматривают как случайную точку в n- мерном пространстве, хотя геометрической наглядности в этом случае нет. В дальнейшем мы будем рассматривать системы из двух случайных величин; при этом все основные понятия касающиеся системы двух случайных величин, можно по аналогии перенести на системы из трѐх и более случайных величин. 5.. Закон распределения системы дискретных случайных величин. Таблица распределения Определение. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений случайных величин и соответствующими вероятностями. Так, если рассматривается двумерная случайная величина (X, Y), то еѐ закон распределения можно задать в виде матрицы (таблицы распределения). Пусть возможными значениями случайной величины X являются числа,,, n, а возможными значениями случайной величины Y являются числа y, y,, y m. Тогда закон распределения этой системы состоит в том, что в таблице записывают вероятности P ij = P(X = i,y = y j ) того, что случайная величина Х

9 6 примет значение i и одновременно с этим случайная величина Y примет значение y j : X m m m n n n nm Так как события (X = i ;Y = y j ), состоящие в том, что случайная величина Х примет значение i и одновременно с этим случайная величина Y примет значение y j несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е., p ij i, j = i, j P( X =. i, Y y j ) (Сумма всех элементов таблицы распределения всегда равна единице.) Если просуммировать элементы таблицы распределения по строкам, то найдѐм закон распределения одномерной случайной величины Х: P(X = i ) = P i +P i + +P in, (i=,,,n). Аналогично, если просуммировать элементы таблицы распределения по столбцам, то найдѐм закон распределения одномерной случайной величины Y: P(Y = y j ) = P j +P j + + P nj, (j=,,,m). Определение. Условным распределением составляющей X при Y = y j (y j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Х) называют совокупность условных вероятностей P( y j ),P( y j ),,P( n y j ). Определение. Условным распределением составляющей Y при X = i ( i сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Y) называют совокупность условных вероятностей P(y i ), P(y i ),, P(y m i ). Поэтому по теореме умножения вероятностей

10 6 P i, y yi P i P y yi i P y yi P i y yi ; условные вероятности составляющих X и Y вычисляют по формулам: P( i y j ) = P(X = i,y = y j )/P(Y = y j ) = P ij /P(Y =y j ); P(y j i ) = P(X = i,y =y j )/P(X = i ) = P ij /P(X = i ). Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана таблицей распределения: i y i y = y = 4 y 3 = 8 = 3,5,5,3 = 6,,5,3 Найти: а) безусловные законы распределения составляющих X и Y; б) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y приняла значение y = ; в) условный закон распределения случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение = 6. Решение. а) Если сложить элементы таблицы распределения по строкам, то найдѐм закон распределения одномерной случайной величины Х: поэтому P(X = i ) = P i +P i +P i3, (i =,); P(X = 3) =,5 +,5 +,3 =,7, P(X = 6) =, +,5 +,3 =,8. Если сложить элементы таблицы распределения по столбцам, то найдѐм закон распределения одномерной случайной величины Y: поэтому P(Y = y j ) = P j +P j, (j =,,3); P(Y = ) =,5 +, =,35, P(Y = 4) =,5 +,5 =,, P(Y = 8) =,3 +,3 =,45.

11 Получили законы распределения 63 i 3 6 p i,7,8 y j 4 8 p j,35,,45 Контроль:,7 +,8 = Контроль:,35 +, +,45 = б) Найдѐм условные вероятности возможных значений Х при условии, что составляющая Y приняла значение Y= по формулам: Будем иметь P( i y )= P i /P(Y=y ). P( y ) = P /P(Y = y ) =,5/,35 = 5/7. P( y ) = P /P(Y = y ) =,/,35 = /7. Напишем условный закон распределения: i 3 6 P( i Y = ) 5/7 /7 в) Найдѐм условные вероятности возможных значений Y при условии, что составляющая X приняла значение X = 6 по формулам: Будем иметь P(y j ) = P j /P(X = ). P(y ) = P /P(X = ) =,/,8 = 5/4. P(y ) = P /P(X = ) =,5/,8 = 5/8. P(y 3 ) = P 3 /P(X = ) =,3/,8 = 3/8. Напишем условный закон распределения:

12 64 y j 4 8 P(y j X = 6) 5/4 5/8 3/ Контроль: Ответ. а) y j 4 8 P j,35,,45 i 3 6 p i,7,8 б) i 3 6 P( i Y = ) 5/7 /7 в) y j 4 8 P(y j X = 6) 5/4 5/8 3/8


Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач 8 Канонические непрерывные законы распределения 8 Определения и формулы для решения задач Определение Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл M x f ( x) dx Этот интеграл

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач 9 Двумерная случайная величина Законы распределения 9 Определения и формулы для решения задач Определение Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара (, ) одномерных случайных величин и

Подробнее

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина .8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1 1 Если A B, то чему равно AB? 14 Тесты по теории вероятностей Тест 1 Сформулируйте классическое определение вероятности События A, B, C взаимно независимы P( A) P( B) P( C) 1 Найдите P( A B C) 4 Испытываются

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

1.24. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения. Рассмотрим двумерные случайные величины.

1.24. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения. Рассмотрим двумерные случайные величины. 1.4. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения Определение одномерной случайной величины см. п.1.11.: def Одномерной случайной величиной называется числовая

Подробнее

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично).

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично). Т Неравенство Чебышева.33. Неравенство Чебышева Пусть случайная величина имеет второй начальный момент MХ, тогда: M 0 P( ) неравенство Чебышева () Док ( непрерывная случайная величина) MХ = x f( x) dx

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9 ЧАСТЬ 5 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 9 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин;

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2019 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

Случайные величины и их числовые характеристики.

Случайные величины и их числовые характеристики. Случайные величины и их числовые характеристики Пример Устройство состоит из трех независимо работающих элементов Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна, Составить закон распределения

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2018 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Многомерная случайная величина Функция распределения многомерной случайной величины

Многомерная случайная величина Функция распределения многомерной случайной величины СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В практических применениях теории вероятностей часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной, а двумя или более случайными величинами

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины. Тема Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких

Подробнее

2.6. Эксцесс и асимметрия

2.6. Эксцесс и асимметрия Лекция 9 План лекции.5.6. Распределение Симпсона (треугольное распределение)..6 Эксцесс и асимметрия.7 Теорема Ляпунова и её следствия 3. Системы случайных величин (случайные векторы) 3.1 Закон распределения

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ Практические занятия ЧАСТЬ 1 Этот раздел состоит из простых тестовых вопросов, требующих ответов «ДА» или «НЕТ», в зависимости от того, верное

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н. Тимошенко, А.Н. Козлов В.В. Трофимов СЕРТИФИКАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ АВИАТОПЛИВООБЕСПЕЧЕНИЯ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть. Случайные величины Задача.1. Фекла решила удивить своего бойфренда роскошным ужином и купила для этого в супермаркете пакет с картофелем.

Подробнее

μ xy = M[(X - m x )(Y - m y )] Для вычислений корреляционного момента используют формулы: для дискретных :

μ xy = M[(X - m x )(Y - m y )] Для вычислений корреляционного момента используют формулы: для дискретных : Лекция План лекции 36 Числовые характеристики системы двух случайных величин 37 Коррелированность и зависимость случайных величин 37 Корреляционные матрицы 38 Характеристики многомерных систем 39 Двумерный

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких

Подробнее

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)).

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)). Оглавление Глава 5 Предельные теоремы 5 Неравенство Чебышѐва 5 Типы сходимости случайных величин 3 Диаграмма зависимости видов сходимости 3 53 Суммы случайных величин 4 Среднее арифметическое случайных

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными.

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными. .7. В партии готовой продукции состоящей из изделий три бракованных. Определить вероятность того что при случайном выборе изделий одновременно все они окажутся не бракованными. Какова вероятность того

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона Лекция 1 Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона В теории вероятностей основными объектами исcледований являются случайные величины и векторы. Напомним их определение. Пусть задано некоторое вероятностное

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X число угаданных им номеров при розыгрыше. 1) составить таблицу распределения случайной величины X; ) построить многоугольник

Подробнее

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX Задача. Монета бросается до тех пор пока два раза подряд она выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того что опыт окончится до шестого бросания. Решение Событие - опыт закончится до шестого

Подробнее

Исследование операций в экономике Контрольная работа 3. Вариант 58

Исследование операций в экономике Контрольная работа 3. Вариант 58 Исследование операций в экономике Контрольная работа 3 Вариант 58 Задача 8. Малое предприятие имеет два цеха - A и B. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех A свой план выполняет

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1 Лекция 11. Дискретные случайные величины Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение х i. Выпадение некоторого значения случайной величины Х

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

3 Доверительные интервалы

3 Доверительные интервалы 1 АГ Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 3 3 Доверительные интервалы 31 Доверительные интервалы параметров нормальной выборки 311 Математическая модель Нормальная выборка x = (x 1,

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

ВАРИАНТ 1. г) 3 вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу 0;

ВАРИАНТ 1. г) 3 вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу 0; ВАРИАНТ 1 x i 8 10 15 30 40 p i 0,1 0,2 0,3 0,1 0,3 отклонение (X), моду M 0 (Х); 3) вероятность P(8 X < 30). Построить Задача 2. Вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна 0,6. Требуется:

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Стандартные распределения и их квантили

Стандартные распределения и их квантили Стандартные распределения В статистике, эконометрике и других сферах человеческих знаний очень часто используются стандартные распределения. В частности, они используются для проверки гипотез и построения

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Надежность технических систем и техногенный риск 2018 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ отказы ТС* ошибки операторов ТС внешние негативные воздействия *Отказ это

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Медицинская информатика

Медицинская информатика Лукьянова Е. А. Медицинская информатика Теория вероятностей Специальность «Фармация» Заочное отделение 2010 Консультация 2 Темы контрольной работы 2 Случайные величины Числовые характеристики случайных

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0)

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Модели постепенных отказов Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Рассматриваемая модель (рис47) также будет соответствовать случаю, когда начальное рассеивание значений выходного

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины Лекции по ТВ и МС Олейник ТА 6-7 4 Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина Плотность распределения Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.. Вероятность события...3.. Аксиомы

Подробнее

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ В результате изучения данной главы студенты должны: знать определения и свойства Марковских процессов с непрерывным

Подробнее

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии Элементы математической статистики. Пример. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равно нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее