Элементы высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы высшей математики"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель: доцент Кулагина Н.А. Новосибирск 03

2 Содержание модуля. Производная функции.. Понятие производной.. Производные высших порядков.3. Вопросы для самопроверки.4. Упражнения для самопроверки. Исследование функций с помощью производной.. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.. Возрастание и убывание функций.3. Экстремум функции.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.5. Выпуклость функции. Точки перегиба.6. Асимптоты графика функции.7. Общая схема исследования функции и построение графика.8. Вопросы для самопроверки.9. Упражнения для самопроверки. Производная функции. Понятие производной Пусть функция f () определена на промежутке X. Возьмем точку 0 X. Вычислим значение функции f( 0). Дадим значению 0 приращение 0, получим точку 0. Вычислим значение функции f ( 0 ). Тогда f ( ) f ( ) (Рис. ). функция получит приращение 0 0 Рис.

3 Производной функции f () в точке 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует): f ( 0 ) f ( 0) f ( 0) lim lim. 0 0 Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Производная функции f ( ) обозначается или f ( ). Если функция f ( ) в точке 0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке. Пример. Пользуясь определением, найти производную функции. Решение: Производную в произвольной точке найдем по определению: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim 0 0. Дана функция f ( ). Тогда ее значение в точке равно: f ( ) ( ). Следовательно, приращение функции: f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ). Составим предел f ( ) f ( ) ( ) lim lim lim ( ) lim lim( ) lim lim Таким образом,. f ( ) ( ) Теорема. Если функция f () дифференцируема в точке 0 (или на промежутке X), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке X). Если функция непрерывна в данной точке, то она необязательно дифференцируема в этой точке.

4 Свойства производной функции:. Производная постоянной равна нулю: 0 c.. Производная произведения функции на число равна: ( c u) c u. 3. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: ( u v) u v, ( u v) u v. 4. Производная произведения двух функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй и произведения первого множителя на производную второго: ( u v) uv u v. 5. Производная частного двух функций u v, если v(х) 0, равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя дроби на знаменатель дроби и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: u uv u v, v 0. v v 6. Если функция и (х) имеет производную u в точке х, а функция f (и) имеет производную u в соответствующей точке и (х), то сложная функция у f ((х)) имеет производную в точке х, которая находится по формуле u u. 7. Если функция f (х) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет в каждой точке этого интервала, то неравную нулю производную f ( ) обратная ей функция х (у) также имеет производную ( ) в каждой точке, определяемую равенством ( ) f ( ) или. Формулы дифференцирования основных элементарных функций ) ( n ) n n- ; 8) (cos ) sin ; ) ( ), ( 0) ; 9) tg ; cos 3) e e ; 0) ctg ; sin 4) a a ln a ; ) arcsin, ( ) ;

5 arccos, ( ) ; arсtg ; arcctg. 5) ln, ( 0) ; ) ln a 6) log, ( 0, a 0) 3) a 7) (sin ) cos ; 4) Пример. Найти производные функций. а) log ln ; б) в) ( )arctg ; г) е) log 3 ( 3 +). ; 4 3 sin cos ; д) sin ; sin cos а) Используя правило дифференцирования разности и формулы, 4, 5, 6, получим: ( 5 ) (5 ) (4) (7log ) (ln ) ( 5 ) 5( ) 4() 7(log ) ln 4 7. ln б) Используя правило дифференцирования разности и формулу, получим: ( ) в) Используя правило дифференцирования произведения и формулу 3, получим ( )arctg ( )(arctg ) arctg ( ) arctg.

6 г) Используя правило дифференцирования частного и формулы 7, 8, (sin cos ) (sin cos ) (sin cos )(sin cos ) получим: (sin cos ) (cos sin )(sin cos ) (sin cos )(cos sin ) (sin cos ). (sin cos ) д) Функция sin сложная. Поэтому применим правило 6 дифференцирования сложной функции: u u. Сделаем замену: u sinu. Найдем производные от функций u ( ) и u ( ), используя формулы и 7: (sin u) cosu, u. Следовательно, u cosu cos cos. Таким u образом, cos. е) Функция log 3 ( 3 +) сложная. Поэтому применим правило 6 дифференцирования сложной функции: u u. Сделаем замену: 3 u, log 3 u. Найдем производные от функций u ( ) и u ( ), используя формулы и 6: (log 3 u) 3 3 u ( ) ( ) () u ln3, Следовательно, 6 u u u ln3 ( ) ln3 ( ) ln3 Геометрический смысл производной: производная f ( 0 ) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой f ( ) в точке 0, т.е. k f ( 0 ) (Рис.).

7 Рис. Уравнение касательной к кривой f ( ) f ( ) f ( )( ). Пример в точке 0 имеет вид: Найти уравнение касательной к графику функции в точке 0. Уравнение касательной: f ( 0 ) f ( 0)( 0). Найдем f( 0) : f ( ) Найдем угловой коэффициент касательной: k f ( 0 ). f ( ) ( ) f ( 0). Подставим найденные значения функции и производной в уравнение касательной, получим: ( ). Таким образом, уравнение касательной:. Физический смысл производной: производная пути при прямолинейном движении s ( t0) есть мгновенная скорость точки в момент времени t 0 : v( t0) s( t0) ; производная скорости при прямолинейном движении v ( t0) есть ускорение точки в момент времени t 0 : a( t0) v( t0). 0

8 Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени u ( t0) есть производительность труда z(t) в момент времени t 0. Пример 4. При прямолинейном движение точки ее путь задан формулой: 3 (м). Найти скорость точки в момент времени t с. s( t) 3t t 5t Скорость точки определяется как производная от пути: v( t0) s( t0), следовательно, скорость точки при t с равна Пример 5. 3 v( t) s( t) (3t t 5t ) 9t 4t 5. Тогда v() (м/c). Найти ускорение точки при прямолинейном движении в момент времени t с, если ее скорость v( t) t 3t. Ускорение точки при прямолинейном движении есть производная от ее скорости: a( t) v( t) (t 3 t) 4t 3. Поэтому ускорение при t с равно: a() 4 3 (м/с ). Пример 6. Найти производительность труда за 5 дней, если объем произведенной 3 продукции на некотором предприятии изменяется по закону: t t, где t в днях. Производительность труда равна производной от объема произведенной 3 3 продукции: z u() t, то есть z ( t t) t 3t. Поэтому

9 t производительность труда будет равна: z(5) 35 3 единиц при 5 продукции в день... Производные высших порядков Производная f () функции f () есть функция от х и называется производной первого порядка. Если функция f () дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка: (f ()) и обозначается = f (). Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка: = f (). Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n )-го порядка: (n) ( (n ) ()). Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции: ( ); ( ); ; (n) ( (n ) ). Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках: v или у (5) производная пятого порядка. Пример 7. Найти производную четвертого порядка от функции Найдем первую производную: 3 ( 3 5 6) Вторая производная ( ) (6 6 5) Третья производная ( ) ( 6). Четвертая производная (4) 0.

10 Пример 8. Найти вторую производную от функции ln. Найдем первую производную по правилу 4: ( u v) uv u v: ( ln ) ( ) ln (ln ) ln ln. Тогда ( ln ) ( ln ) ( ) ln (ln ) ln ln ln 3. Пример 9. Найти производную четвертого порядка от функции cos 5. Функция cos 5 сложная. Поэтому применим правило 6 дифференцирования сложной функции: u u. Сделаем замену: u 5 cosu. Найдем производные от функций u ( ) и u ( ), используя формулы и 7: u 5 5 5, (cos u) sin u. Следовательно, u sinu 5 sin5 5 5 sin5. Таким u образом, -5sin 5. Последовательно дифференцируя функцию, получим: ( -5sin 5) =-5cos 5 (5) = 5cos 5; (5cos 5) = =5 sin 5; (4) (5sin 5) = 65cos 5. Пример 7. Найти значения производных () и () функции Найдем первую и вторую производные функции 3 ( ) (4 3 5 )

11 ( ) ( 6 5) Подставим значение в производные ( ) и ( ) () 65 и () , получим:.3. Вопросы для самопроверки. Дайте определение производной функции в данной точке.. Что называется дифференцированием? 3. Приведите таблицу производных основных функций. 4. Сформулируйте правила вычисления производных. 5. Каков геометрический смысл производной? 6. Каков физический смысл производной? 7. Запишите уравнение касательной к графику функции. 8. Что называется производной второго, третьего порядка?.4. Упражнения для самопроверки. Найдите производные функций: 3 4 ) ; ) ; 3) 4 ; 4) ( ) cos ; 5 3 e ; 6) ln ; 7) 4 ctg ; 8) cos ; 5 3 5) 9) e sin ; 0) 3) arctg. ln 3 sin 4 ; ). Найдите производные сложных функций: ; ) ln8 3 ) cos 5) ctg 5 4 9) ; 6) ; 3) tg4 ln(3 5 ) ; 0) 5 6e ; 7) у е х. 3. Найти вторые производные функций: cos ; ) ; ; 4) cos ; 5 ; 8) 3 4 ;

12 ) ; ) 4) ln ; 5) 3 6 8; 3) ; 6) 7) sin(3 ) ; 8) cos. 4. Если 3 5. Если sin, то 6. Если 5 ; 4 3e ; 3, то ( ) принимает значение, равное принимает значение, равное , то () равное принимает значение, 7. Если ln, то () принимает значение, равное 8. Составить уравнение касательной к параболе точке в 9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки 3 задана уравнением s t t 3. Вычислить ее скорость в момент 3 времени t 4 с. 0. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v t t 5 6. В какой момент времени ускорение точки будет равно м/с? Ответы:. ) ; ) 4 3 ; ) 0 6 ;4) 5) 8) 0) ; ( )cos ( )sin 4 e ( 7 8) ;6) ln ;7) 4ctg sin ; cos sin ; 9) e (sin cos ) ; 3 3 sin cos 4 ln 4; ) ; ( )

13 ln arctg sin ( ) cos ) ;3). ( ) (ln ) 8. ) sin; ) 8 3 ; 3) 4 ; 4) sin( ) ; cos ) ; 6) 30e ; 7) ; sin (5 4) ) 6( 4 ) ( ) ; 9) 3 5 ; 0) e ) 8; ) 36; 3) 40 ; 4) ; 5) 6 ; 4 6) 48e ; 7) 9sin(3 ) ; 8) 4cos. 4. 7; 5. ; 6. -8; 7. -; 8. ; 9. 3 м/с.; 0.,75 с.. Исследование функций с помощью производной..некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и практическое значение. Теорема Ролля. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a) f (b), то найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой производная f () обращается в нуль, то есть f (c) 0. Доказательство: Так как функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно М и m. Если М m, то функция f () постоянна на [a; b] и, следовательно, ее производная f () 0 в любой точке отрезка [a; b]. Если М m, то функция достигает хотя бы одного из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f (a) f (b). Пусть, например, функция принимает значение М в точке х с (a; b), то есть f (c) M. Тогда для всех х (a; b) выполняется соотношение

14 f (c) f (). Найдем производную f () в точке х с: f ( c ) f ( c) f( c) lim. 0 В силу условия f (c) f () верно неравенство f ( ) f (c) 0. Если f ( c ) f ( c) 0 (то есть 0 справа от точки х с), то 0 и поэтому f ( c ) f ( c) f (c) 0. Если 0, то 0 и f (c) 0. Таким образом, f (c) 0. В случае, когда f (c) m, доказательство аналогичное. Геометрическая теорема Ролля означает, что на графике функции f () найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси O (см. рис. 3, а, б). На рис. 3, в таких точек две. а б в M m M M m a c b a c b a c c m Рис. 3 Теорема Коши. Если функции f () и (х) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем () 0 для х (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство f ( b) f ( a) f ( c). ( b) ( a) ( c) Доказательство:

15 Отметим, что (b) (a) 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что (с) 0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию f ( b) f ( a) F( ) f ( f ( a) ( ) ( a). ( b) ( a) Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (а; b). Так как является линейной комбинацией функций f () и (х); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F (a) F (b) 0. На основании теоремы Ролля найдется f ( b) f ( a) точка х с (а; b) такая, что F (c) 0. Но F( ) f ( ) ( ), ( b) ( a) f ( b) f ( a) следовательно, F( c) f ( c) ( c) 0. ( b) ( a) Отсюда следует f ( b) f ( a) f ( c) f ( b) f ( a) F( c) ( c) b. ( b) ( a) ( c) ( b) ( a) Теорема Лагранжа. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство: f (b) f (a) f (c)(b a). Доказательство: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (х) х, находим (b) (a) b a, (), f ( b) f ( a) f ( c) (c). Подставляя эти значения в формулу, получаем ( b) ( a) ( c) f ( b) f ( a) f() c, или f (b) f (a) f (c)(b a). b a Полученную формулу называют формулой Лагранжа, или формулой о конечном приращении.

16 Теорема (правило Лопиталя) Пусть функции f () и (х) непрерывны и дифференцируемы в точке 0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( 0 ) ( 0 ) 0. Пусть (х) 0 в f( ) окрестности точки 0. Если существует предел lim a, то 0 ( ) f ( ) f ( ) lim lim a. 0 ( ) 0 ( ) вида Замечания:.Теорема справедлива, когда..теорема справедлива, когда lim f ( ) lim ( ). 0 0 Теорему Лопиталя называют правилом раскрытия неопределенности 0 0 или. Пример. Найти lim. ln Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив точку в числитель и знаменатель дроби: 0 ( ) lim lim lim. ln ln 0 0 ( ln ) ln ln 0 Пример. Найти lim e. Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив в числитель и знаменатель дроби: ( ) lim lim lim 0. e e ( e ) e e

17 .. Возрастание и убывание функций Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Пусть функция f () определена на множестве D. Если для любых значений аргумента,, (a; b) таких, что, выполняется неравенство f ( ) f ( ), то функция называется возрастающей (рис.4а), f ( ) f ( ), то функция называется убывающей (рис.4б). Рис.4 Возрастающая или убывающая функция называется монотонной. Теорема (необходимое условие возрастания - убывания). Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f () возрастает (убывает), то f () 0 (f () 0) для х (а; b). Доказательство: Пусть функция f( ) возрастает на интервале (а; b). Возьмем произвольные точки и на интервале (а; b) и рассмотрим отношение f ( ) f ( ). Функция f( ) возрастает, поэтому если 0, то и f ( ) f ( ) ; если 0, то и f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). В обоих случаях 0, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию

18 теоремы функция f( ) имеет производную в точке. Следовательно, f ( ) f ( ) f( ) lim 0. 0 Аналогично рассматривается случай, когда функция f( ) убывает на интервале (а; b). Теорема доказана. Геометрически необходимое условие возрастания означает, что касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образует острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох (рис.5.а). Если касательная к графику направлена под тупым углом к оси Ох, то функция убывает (рис.5.б). Рис.5 Теорема (достаточное условие возрастания-убывания). Если функция f () дифференцируема на интервале (а; b) и f () 0 (f () 0) для х (а; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b). Доказательство: Пусть f () 0. Возьмем точки и из интервала (а; b), причем. Применим к отрезку [ ; ] теорему Лагранжа: f ( ) f ( ) f ( c)( ), где c ( ; ). По условию f( c) 0, 0. Следовательно, f ( ) f ( ) f ( c)( ) 0 или f ( ) f ( ), т.е. функция f () возрастает на интервале (а; b).

19 Рассмотренные теоремы упрощают исследование функции на монотонность. Пример 3. Исследовать функцию 3 f ( ) 3 4 на возрастание и убывание. Функция определена на ( ; ). Найдем ее производную: f ( ) 3 3 3( )( ). Тогда f( ) 0 при ( ; ) (; ) ; f( ) 0 при ( ;). Следовательно, функция f () возрастает на интервалах ( ; ) и (; ); и убывает на интервале ( ;)..3. Экстремум функции Рассмотрим график функции f (). Если слева от некоторого значения 0 функция f () возрастает, а справа убывает, то значение 0 называют точкой максимума функции f (). Если слева от точки функция f () убывает, а справа возрастает, то значение называют точкой минимума функции f () (Рис. 6). На рис. 6 0 точка максимума,, точки минимума функции f (). Замечание. Рис. 6 Функция может иметь либо только один максимум ( только один минимум ( ( sin ), либо ), либо множество минимумов и максимумов 3 ), либо не иметь ни максимума, ни минимума ( ). Дадим строгое определение точек минимума и максимума функции.

20 Точка 0 называется точкой максимума функции f (), если существует такая окрестность точки 0, что для всех 0 из этой окрестности выполняется неравенство f () f ( 0 ). Точка называется точкой минимума функции f (), если существует такая окрестность точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f () > f ( ) (Рис.6). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция f () имеет экстремум в точке 0, то ее производная в этой точке равна нулю: f ( 0 ) 0. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными). Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Пример 4. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: а) ; б) 3 ; в) 3. а) Найдем производную:. Критическая точка определяется из равенства: 0 0. Из Рис.7 видно, что в точке 0 функция имеет экстремум (минимум).

21 0 Рис. 7 График функции б) Функция свойству степенной функции. Производная нулю: 3 - возрастает на всей числовой прямой по 3 в точке 0 равна (0) 30 0, но экстремума в точке 0 нет (Рис. 8). Рис.8 3 в) Функция также возрастает на всей числовой прямой. Ее производная при не существует: (), но 3 3 ( ) экстремума в этой точке нет (Рис.9).

22 Рис.9 Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция f () дифференцируема в некоторой окрестности точки 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f () меняет знак с плюса на минус, то 0 есть точка максимума; если с минуса на плюс, то 0 точка минимума. Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью первой производной:. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить критические точки на числовой оси в прядке возрастания. в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку,, определяют ее знак. 4. Исследовать знак производной f ( ) подставляют ее в производную f ( ) 5. Определяют поведение функции в каждом промежутке: если f () 0, то функция возрастает в данном промежутке, если f () 0, то функция убывает в данном промежутке. 6. Определяют точки минимума и максимума функции f (): если при переходе через критическую точку возрастание функции меняется на убывание, то это точка максимума, если же убывание меняется на возрастание, то это точка минимума. Если знак производной не меняется при переходе через критическую точку, то в данной точке экстремума нет. 7. Вычисляют значения функции в точках экстремума.

23 Пример 5. Исследовать на экстремум функцию. Найдем производную:. Найти критические точки функции: f ( ) f. ( ) ( ) 0 0, 3. Изобразим критические точки на числовой оси в порядке возрастания (Рис.0). 0 Рис.0 4. Исследуем знак производной f ( ) Возьмем значения 3,, : в каждом промежутке. f (3) 33 (3 ) 9 0, f () 3 ( ) 3 0, f ( ) 3 ( ) ( ) Определим поведение функции в каждом промежутке. Так как,то функция возрастает в данном f () 0 на интервале ( ;0) интервале; так как f () 0 на интервале (0;),то функция убывает в данном интервале; так как f () 0 на интервале (; ),то функция возрастает в данном интервале (Рис.) Рис. 6. Определим точки минимума и максимума функции f (). Так как при переходе через точку 0 возрастание функции меняется

24 на убывание, то это точка максимума; так как при переходе через точку убывание функции меняется на возрастание, то это точка максимума. 7. Вычислим значения функции в точках экстремума: 3 3 ma f(0) , min Рис Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке 0 первая производная функции f () равна нулю (f ( 0 ) 0), а вторая производная в точке 0 существует и отлична от нуля (f ( 0 ) 0), то при f ( 0 ) 0 в точке 0 функция имеет максимум и при f ( 0 ) 0 минимум. Пример 6. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию Находим производную: Находим критические точки: , 4. Находим вторую производную: 6 8. Определим знаки второй производной в этих точках: () , т.е. в точке функция имеет максимум; (4) , т.е. в точке 4 функция имеет минимум. Найдем значения функции в критических точках: 3 ma () 9 4 8, 3 min (4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

25 При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения (глобального максимума и глобального минимума) функции на отрезке [a; b]. Согласно теореме Вейерштрасса (Модуль ), если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения функции может достигаться как в критических точках, так и в концах отрезка [a; b]. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a; b]:. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) Вычислить значения функции f () в критических точках, принадлежащих отрезку [a; b], и в точках a, b. 4. Выбрать среди найденных значений функции наибольшее и наименьшее значения. Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].. Найдем производную: 4.. Найдем критические точки: 4 0, Так как точка принадлежит отрезку [0; 3], то вычислим значения функции в точках, 0, 3: (0) , () 4 3, (3) Наименьшее значение функции равно min и достигается во внутренней точке отрезка [0; 3]. Наибольшее значение

26 функции равно ma 3 и достигается в крайней точке 0 отрезка [0; 3]..5. Выпуклость функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции f () называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции f () называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции. Точка графика непрерывной функции f (), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. На Рис. 3 кривая f () выпукла вверх в интервале (а; с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М (с; f (c)) точка перегиба. Теорема (достаточное условие выпуклости-вогнутости функции). Если функция f () во всех точках интервала (а; b) имеет отрицательную вторую производную, то есть f () 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f () 0 во всех точках х (а; b), то график выпуклый вниз. Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f () дважды дифференцируемой функции при переходе через точку 0 меняет знак, то точка 0 есть точка перегиба ее графика. M = f () a c b Рис. 3 К определению промежутков выпуклости

27 Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба: f ;. Найти вторую производную ( ). Найти точки, в которых вторая производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить эти точки на числовой оси в порядке возрастания. 4. Исследовать знак второй производной f ( ) в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку, подставляют ее в производную f ( ), определяют ее знак. 5. Определяют поведение графика функции в каждом промежутке: если f( ) 0, то график функции выпуклый вниз в данном промежутке, если f( ) 0, то график функции выпуклый вверх в данном промежутке. 6. Если при переходе через точку график функции меняет выпуклость на вогнутость, то это точка перегиба. 7. Находят значение функции в точках перегиба. Пример 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции Находим 5 4, Вторая производная существует на всей числовой оси. 0 при Изображаем точку 0 на числовой оси, изображаем полученные промежутки (Рис. 4). 0 Рис. 4

28 4. Исследуем знак второй производной в каждом промежутке: ()=0 3 0; (-)=0(-) 3 =-0 0 (Рис.5) Рис. 5 5.Следовательно, график функции 5 5 в интервале (; 0) выпуклый вверх, в интервале (0; ) выпуклый вниз. 6. Точка 0 есть точка перегиба. 7. Найдем значение функции в точке 0: (0) = Асимптоты графика функции Часто приходится исследовать форму кривой у f () при неограниченном возрастании (по модулю) абсциссы и ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно, при этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Рис. 6

29 На Рис.6а изображена вертикальная асимптота, на Рис.6б горизонтальные асимптоты, на Рис.6в наклонная. Вертикальные асимптоты Если lim f( ) или lim f( ), то прямая х а вертикальная a0 a0 асимптота кривой f (); и обратно, если прямая х а асимптота, то выполняется одно или оба из написанных равенств. Вертикальные асимптоты, как правило, проходят через точки на оси абсцисс, в которых функция не определена. Это точки разрыва второго рода. Пример 9. Кривая 5 имеет вертикальную асимптоту 5, так как lim и lim Наклонные асимптоты Наклонная асимптота прямая линия, которая задана уравнением f( ) k b, где k lim, b lim f ( ) k. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k 0, то есть b. Пример 0. 3 Найти асимптоты графика функции. Так как функция определена всюду, то вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты, применив для вычисления пределов правило Лопиталя: 3 f ( ) ( ) k lim lim lim lim,

30 3 3 ( ) b lim f ( ) k lim lim lim. ( ) lim lim 0 ( ) Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение k b..7.общая схема исследования функции и построение графика Исследование функции f () целесообразно вести в определенной последовательности.. Найти область определения функции.. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 3. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. Точки пересечения графика с осью O определяются из уравнения f( ) 0. Точки пересечения графика с осью O определяются из уравнения f(0). 4. Найти интервалы монотонности функции. 5. Найти экстремумы функции. 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. 7. Найти асимптоты графика функции. 8. На основании проведенного исследования построить график функции. Пример. Исследовать функцию и построить ее график.. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю: 0,, то область определения функции ( ; ) ( ;) (; ). ( ).Так как f ( ) f ( ), то функция четная. ( ) Следовательно ее график симметричен относительно оси О.

31 3. Точки пересечения графика функции с осями координат. С осью O: Уравнение 0 корней не имеет, следовательно, с осью O график функции точек пересечения не имеет. 0 С осью O: f(0). Следовательно, график функции 0 пересекает ось O в точке. 4. Интервалы монотонности. Найдем первую производную: ( ) ( )( ) 4, ( ) ( ) 0 0 и не существует при. Изобразим критические точки на числовой оси в прядке возрастания. Подставляя числа, 0,5, 0,5, в производную, определим ее знаки в данных интервалах: 4 ( ) 8 8 ( ) 0 ( ( ) ) ( 3) 9 4 ( 0,5) ( 0,5) 0 ( ( 0,5) ) (0,75) 4 (0,5) (0,5) 0, ( (0,5) ) (0,75) () 0. ( ) ( 3) 9 Таким образом, на интервалах ( ; ) и ( ;0) интервалах (0;) и (; ) - возрастает (Рис. 7).,, функция убывает, на Рис.7 5. Так как при переходе через точку 0 производная меняет знак, то 0 - точка минимума. Вычислим минимум функции:

32 производную: 0 (0). 0 min 6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую 4( ) 4 ( )( ) 4( 3 ) ( ) ( ) 4 3. Уравнение 0 корней не имеет, и не существует при. Очевидно, что 0 на интервале ( ;) и функция выпукла вниз на этом интервале, 0 на интервалах ( ; ) и (; ), и на этих интервалах функция выпукла вверх. Так как при (Рис. 8). не определена, то точек перегиба нет Рис.8 7. Асимптоты графика функции. а) Вертикальные: Так как ( 0) ( 0) lim, ( 0) 0 0 lim 0 ( 0) 0 0 0, то прямая является вертикальной асимптотой. В силу симметрии графика (четности функции) прямая также вертикальная асимптота. б) Наклонная асимптота k b:

33 Найдем f ( ) ( ) k lim lim lim lim ( ) (( ) ) 3 ( ) lim lim 0, ( 3 ) 6 ( ) b lim( f ( ) k) lim( 0 ) lim lim, ( ) Следовательно, прямая k b 0 - есть горизонтальная асимптота. 8. Строим график функции (Рис.9) Рис.9.8. Вопросы для самопроверки. Сформулировать теоремы Ролля, Коши, Лагранжа, Лопиталя.. Какие функции называются возрастающими, убывающими? 3. Объяснить, как применяется производная для нахождения промежутков монотонности. 4. Можно ли утверждать, что если производная в данной точке равна нулю (или не существует), то эта точка является точкой максимума или минимума? Приведите пример. 5. Может ли функция иметь два локальных максимума? 6. Сколько экстремумов имеет функция sin при 0?

34 7. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке? 8. Какие точки графика функции называются точками перегиба? 9. Чему равна вторая производная в точке перегиба? 0. Приведите схему построения графика функции..9. Упражнения для самопроверки. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: а) lim ; б) lim Найти промежутки возрастания и убывания функции: а) 6 ; б) 4 4; 3 3. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую 3, построить кривую Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0;5]. 5. Исследовать на выпуклость кривую 6. Найти асимптоты графиков функции: а) ; б) Ответы:. а) ; б) -4.. а) Возрастает при ( ;) (3; ), убывает при (;3). б) Возрастает при (; ), убывает при ( ;). 3. ma 0 при 4, min при 0, точка перегиба ma 3 при 0, min 6 при Выпукла вверх при ( ; ), выпукла вниз при ( ; ).

35 6. а) вертикальная, горизонтальная 5 б) наклонная 3. 4 ; 5

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» Составители: Глазунова Т.С., преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Новикова Н.П.,

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

3. Производная функции

3. Производная функции . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0 Построить график функции y Областью определения функции является интервал ( ;0) (0; ) Функция y является четной, тк y( ) y( ), а ( ) график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Решение задач на тему "Производная"

Решение задач на тему Производная МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций:

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база и профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности,

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ВЛ Клюшин, ЮС Коршунов ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

8. Свойства дифференцируемых функций

8. Свойства дифференцируемых функций 8. Свойства дифференцируемых функций 8.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет УГТУ Дифференциальное исчисление

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 10 класс ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Новосибирск Для проверки

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть l кривая, M 0 точка кривой, причем в M 0 существует невертикальная касательная к l. Кривую l называют выпуклой в точке M 0, если в некоторой

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее