Элементы высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы высшей математики"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель: доцент Кулагина Н.А. Новосибирск 03

2 Содержание модуля. Производная функции.. Понятие производной.. Производные высших порядков.3. Вопросы для самопроверки.4. Упражнения для самопроверки. Исследование функций с помощью производной.. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.. Возрастание и убывание функций.3. Экстремум функции.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.5. Выпуклость функции. Точки перегиба.6. Асимптоты графика функции.7. Общая схема исследования функции и построение графика.8. Вопросы для самопроверки.9. Упражнения для самопроверки. Производная функции. Понятие производной Пусть функция f () определена на промежутке X. Возьмем точку 0 X. Вычислим значение функции f( 0). Дадим значению 0 приращение 0, получим точку 0. Вычислим значение функции f ( 0 ). Тогда f ( ) f ( ) (Рис. ). функция получит приращение 0 0 Рис.

3 Производной функции f () в точке 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует): f ( 0 ) f ( 0) f ( 0) lim lim. 0 0 Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Производная функции f ( ) обозначается или f ( ). Если функция f ( ) в точке 0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке. Пример. Пользуясь определением, найти производную функции. Решение: Производную в произвольной точке найдем по определению: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim 0 0. Дана функция f ( ). Тогда ее значение в точке равно: f ( ) ( ). Следовательно, приращение функции: f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ). Составим предел f ( ) f ( ) ( ) lim lim lim ( ) lim lim( ) lim lim Таким образом,. f ( ) ( ) Теорема. Если функция f () дифференцируема в точке 0 (или на промежутке X), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке X). Если функция непрерывна в данной точке, то она необязательно дифференцируема в этой точке.

4 Свойства производной функции:. Производная постоянной равна нулю: 0 c.. Производная произведения функции на число равна: ( c u) c u. 3. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: ( u v) u v, ( u v) u v. 4. Производная произведения двух функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй и произведения первого множителя на производную второго: ( u v) uv u v. 5. Производная частного двух функций u v, если v(х) 0, равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя дроби на знаменатель дроби и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: u uv u v, v 0. v v 6. Если функция и (х) имеет производную u в точке х, а функция f (и) имеет производную u в соответствующей точке и (х), то сложная функция у f ((х)) имеет производную в точке х, которая находится по формуле u u. 7. Если функция f (х) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет в каждой точке этого интервала, то неравную нулю производную f ( ) обратная ей функция х (у) также имеет производную ( ) в каждой точке, определяемую равенством ( ) f ( ) или. Формулы дифференцирования основных элементарных функций ) ( n ) n n- ; 8) (cos ) sin ; ) ( ), ( 0) ; 9) tg ; cos 3) e e ; 0) ctg ; sin 4) a a ln a ; ) arcsin, ( ) ;

5 arccos, ( ) ; arсtg ; arcctg. 5) ln, ( 0) ; ) ln a 6) log, ( 0, a 0) 3) a 7) (sin ) cos ; 4) Пример. Найти производные функций. а) log ln ; б) в) ( )arctg ; г) е) log 3 ( 3 +). ; 4 3 sin cos ; д) sin ; sin cos а) Используя правило дифференцирования разности и формулы, 4, 5, 6, получим: ( 5 ) (5 ) (4) (7log ) (ln ) ( 5 ) 5( ) 4() 7(log ) ln 4 7. ln б) Используя правило дифференцирования разности и формулу, получим: ( ) в) Используя правило дифференцирования произведения и формулу 3, получим ( )arctg ( )(arctg ) arctg ( ) arctg.

6 г) Используя правило дифференцирования частного и формулы 7, 8, (sin cos ) (sin cos ) (sin cos )(sin cos ) получим: (sin cos ) (cos sin )(sin cos ) (sin cos )(cos sin ) (sin cos ). (sin cos ) д) Функция sin сложная. Поэтому применим правило 6 дифференцирования сложной функции: u u. Сделаем замену: u sinu. Найдем производные от функций u ( ) и u ( ), используя формулы и 7: (sin u) cosu, u. Следовательно, u cosu cos cos. Таким u образом, cos. е) Функция log 3 ( 3 +) сложная. Поэтому применим правило 6 дифференцирования сложной функции: u u. Сделаем замену: 3 u, log 3 u. Найдем производные от функций u ( ) и u ( ), используя формулы и 6: (log 3 u) 3 3 u ( ) ( ) () u ln3, Следовательно, 6 u u u ln3 ( ) ln3 ( ) ln3 Геометрический смысл производной: производная f ( 0 ) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой f ( ) в точке 0, т.е. k f ( 0 ) (Рис.).

7 Рис. Уравнение касательной к кривой f ( ) f ( ) f ( )( ). Пример в точке 0 имеет вид: Найти уравнение касательной к графику функции в точке 0. Уравнение касательной: f ( 0 ) f ( 0)( 0). Найдем f( 0) : f ( ) Найдем угловой коэффициент касательной: k f ( 0 ). f ( ) ( ) f ( 0). Подставим найденные значения функции и производной в уравнение касательной, получим: ( ). Таким образом, уравнение касательной:. Физический смысл производной: производная пути при прямолинейном движении s ( t0) есть мгновенная скорость точки в момент времени t 0 : v( t0) s( t0) ; производная скорости при прямолинейном движении v ( t0) есть ускорение точки в момент времени t 0 : a( t0) v( t0). 0

8 Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени u ( t0) есть производительность труда z(t) в момент времени t 0. Пример 4. При прямолинейном движение точки ее путь задан формулой: 3 (м). Найти скорость точки в момент времени t с. s( t) 3t t 5t Скорость точки определяется как производная от пути: v( t0) s( t0), следовательно, скорость точки при t с равна Пример 5. 3 v( t) s( t) (3t t 5t ) 9t 4t 5. Тогда v() (м/c). Найти ускорение точки при прямолинейном движении в момент времени t с, если ее скорость v( t) t 3t. Ускорение точки при прямолинейном движении есть производная от ее скорости: a( t) v( t) (t 3 t) 4t 3. Поэтому ускорение при t с равно: a() 4 3 (м/с ). Пример 6. Найти производительность труда за 5 дней, если объем произведенной 3 продукции на некотором предприятии изменяется по закону: t t, где t в днях. Производительность труда равна производной от объема произведенной 3 3 продукции: z u() t, то есть z ( t t) t 3t. Поэтому

9 t производительность труда будет равна: z(5) 35 3 единиц при 5 продукции в день... Производные высших порядков Производная f () функции f () есть функция от х и называется производной первого порядка. Если функция f () дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка: (f ()) и обозначается = f (). Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка: = f (). Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n )-го порядка: (n) ( (n ) ()). Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции: ( ); ( ); ; (n) ( (n ) ). Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках: v или у (5) производная пятого порядка. Пример 7. Найти производную четвертого порядка от функции Найдем первую производную: 3 ( 3 5 6) Вторая производная ( ) (6 6 5) Третья производная ( ) ( 6). Четвертая производная (4) 0.

10 Пример 8. Найти вторую производную от функции ln. Найдем первую производную по правилу 4: ( u v) uv u v: ( ln ) ( ) ln (ln ) ln ln. Тогда ( ln ) ( ln ) ( ) ln (ln ) ln ln ln 3. Пример 9. Найти производную четвертого порядка от функции cos 5. Функция cos 5 сложная. Поэтому применим правило 6 дифференцирования сложной функции: u u. Сделаем замену: u 5 cosu. Найдем производные от функций u ( ) и u ( ), используя формулы и 7: u 5 5 5, (cos u) sin u. Следовательно, u sinu 5 sin5 5 5 sin5. Таким u образом, -5sin 5. Последовательно дифференцируя функцию, получим: ( -5sin 5) =-5cos 5 (5) = 5cos 5; (5cos 5) = =5 sin 5; (4) (5sin 5) = 65cos 5. Пример 7. Найти значения производных () и () функции Найдем первую и вторую производные функции 3 ( ) (4 3 5 )

11 ( ) ( 6 5) Подставим значение в производные ( ) и ( ) () 65 и () , получим:.3. Вопросы для самопроверки. Дайте определение производной функции в данной точке.. Что называется дифференцированием? 3. Приведите таблицу производных основных функций. 4. Сформулируйте правила вычисления производных. 5. Каков геометрический смысл производной? 6. Каков физический смысл производной? 7. Запишите уравнение касательной к графику функции. 8. Что называется производной второго, третьего порядка?.4. Упражнения для самопроверки. Найдите производные функций: 3 4 ) ; ) ; 3) 4 ; 4) ( ) cos ; 5 3 e ; 6) ln ; 7) 4 ctg ; 8) cos ; 5 3 5) 9) e sin ; 0) 3) arctg. ln 3 sin 4 ; ). Найдите производные сложных функций: ; ) ln8 3 ) cos 5) ctg 5 4 9) ; 6) ; 3) tg4 ln(3 5 ) ; 0) 5 6e ; 7) у е х. 3. Найти вторые производные функций: cos ; ) ; ; 4) cos ; 5 ; 8) 3 4 ;

12 ) ; ) 4) ln ; 5) 3 6 8; 3) ; 6) 7) sin(3 ) ; 8) cos. 4. Если 3 5. Если sin, то 6. Если 5 ; 4 3e ; 3, то ( ) принимает значение, равное принимает значение, равное , то () равное принимает значение, 7. Если ln, то () принимает значение, равное 8. Составить уравнение касательной к параболе точке в 9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки 3 задана уравнением s t t 3. Вычислить ее скорость в момент 3 времени t 4 с. 0. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v t t 5 6. В какой момент времени ускорение точки будет равно м/с? Ответы:. ) ; ) 4 3 ; ) 0 6 ;4) 5) 8) 0) ; ( )cos ( )sin 4 e ( 7 8) ;6) ln ;7) 4ctg sin ; cos sin ; 9) e (sin cos ) ; 3 3 sin cos 4 ln 4; ) ; ( )

13 ln arctg sin ( ) cos ) ;3). ( ) (ln ) 8. ) sin; ) 8 3 ; 3) 4 ; 4) sin( ) ; cos ) ; 6) 30e ; 7) ; sin (5 4) ) 6( 4 ) ( ) ; 9) 3 5 ; 0) e ) 8; ) 36; 3) 40 ; 4) ; 5) 6 ; 4 6) 48e ; 7) 9sin(3 ) ; 8) 4cos. 4. 7; 5. ; 6. -8; 7. -; 8. ; 9. 3 м/с.; 0.,75 с.. Исследование функций с помощью производной..некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и практическое значение. Теорема Ролля. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a) f (b), то найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой производная f () обращается в нуль, то есть f (c) 0. Доказательство: Так как функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно М и m. Если М m, то функция f () постоянна на [a; b] и, следовательно, ее производная f () 0 в любой точке отрезка [a; b]. Если М m, то функция достигает хотя бы одного из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f (a) f (b). Пусть, например, функция принимает значение М в точке х с (a; b), то есть f (c) M. Тогда для всех х (a; b) выполняется соотношение

14 f (c) f (). Найдем производную f () в точке х с: f ( c ) f ( c) f( c) lim. 0 В силу условия f (c) f () верно неравенство f ( ) f (c) 0. Если f ( c ) f ( c) 0 (то есть 0 справа от точки х с), то 0 и поэтому f ( c ) f ( c) f (c) 0. Если 0, то 0 и f (c) 0. Таким образом, f (c) 0. В случае, когда f (c) m, доказательство аналогичное. Геометрическая теорема Ролля означает, что на графике функции f () найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси O (см. рис. 3, а, б). На рис. 3, в таких точек две. а б в M m M M m a c b a c b a c c m Рис. 3 Теорема Коши. Если функции f () и (х) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем () 0 для х (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство f ( b) f ( a) f ( c). ( b) ( a) ( c) Доказательство:

15 Отметим, что (b) (a) 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что (с) 0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию f ( b) f ( a) F( ) f ( f ( a) ( ) ( a). ( b) ( a) Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (а; b). Так как является линейной комбинацией функций f () и (х); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F (a) F (b) 0. На основании теоремы Ролля найдется f ( b) f ( a) точка х с (а; b) такая, что F (c) 0. Но F( ) f ( ) ( ), ( b) ( a) f ( b) f ( a) следовательно, F( c) f ( c) ( c) 0. ( b) ( a) Отсюда следует f ( b) f ( a) f ( c) f ( b) f ( a) F( c) ( c) b. ( b) ( a) ( c) ( b) ( a) Теорема Лагранжа. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство: f (b) f (a) f (c)(b a). Доказательство: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (х) х, находим (b) (a) b a, (), f ( b) f ( a) f ( c) (c). Подставляя эти значения в формулу, получаем ( b) ( a) ( c) f ( b) f ( a) f() c, или f (b) f (a) f (c)(b a). b a Полученную формулу называют формулой Лагранжа, или формулой о конечном приращении.

16 Теорема (правило Лопиталя) Пусть функции f () и (х) непрерывны и дифференцируемы в точке 0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( 0 ) ( 0 ) 0. Пусть (х) 0 в f( ) окрестности точки 0. Если существует предел lim a, то 0 ( ) f ( ) f ( ) lim lim a. 0 ( ) 0 ( ) вида Замечания:.Теорема справедлива, когда..теорема справедлива, когда lim f ( ) lim ( ). 0 0 Теорему Лопиталя называют правилом раскрытия неопределенности 0 0 или. Пример. Найти lim. ln Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив точку в числитель и знаменатель дроби: 0 ( ) lim lim lim. ln ln 0 0 ( ln ) ln ln 0 Пример. Найти lim e. Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив в числитель и знаменатель дроби: ( ) lim lim lim 0. e e ( e ) e e

17 .. Возрастание и убывание функций Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Пусть функция f () определена на множестве D. Если для любых значений аргумента,, (a; b) таких, что, выполняется неравенство f ( ) f ( ), то функция называется возрастающей (рис.4а), f ( ) f ( ), то функция называется убывающей (рис.4б). Рис.4 Возрастающая или убывающая функция называется монотонной. Теорема (необходимое условие возрастания - убывания). Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f () возрастает (убывает), то f () 0 (f () 0) для х (а; b). Доказательство: Пусть функция f( ) возрастает на интервале (а; b). Возьмем произвольные точки и на интервале (а; b) и рассмотрим отношение f ( ) f ( ). Функция f( ) возрастает, поэтому если 0, то и f ( ) f ( ) ; если 0, то и f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). В обоих случаях 0, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию

18 теоремы функция f( ) имеет производную в точке. Следовательно, f ( ) f ( ) f( ) lim 0. 0 Аналогично рассматривается случай, когда функция f( ) убывает на интервале (а; b). Теорема доказана. Геометрически необходимое условие возрастания означает, что касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образует острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох (рис.5.а). Если касательная к графику направлена под тупым углом к оси Ох, то функция убывает (рис.5.б). Рис.5 Теорема (достаточное условие возрастания-убывания). Если функция f () дифференцируема на интервале (а; b) и f () 0 (f () 0) для х (а; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b). Доказательство: Пусть f () 0. Возьмем точки и из интервала (а; b), причем. Применим к отрезку [ ; ] теорему Лагранжа: f ( ) f ( ) f ( c)( ), где c ( ; ). По условию f( c) 0, 0. Следовательно, f ( ) f ( ) f ( c)( ) 0 или f ( ) f ( ), т.е. функция f () возрастает на интервале (а; b).

19 Рассмотренные теоремы упрощают исследование функции на монотонность. Пример 3. Исследовать функцию 3 f ( ) 3 4 на возрастание и убывание. Функция определена на ( ; ). Найдем ее производную: f ( ) 3 3 3( )( ). Тогда f( ) 0 при ( ; ) (; ) ; f( ) 0 при ( ;). Следовательно, функция f () возрастает на интервалах ( ; ) и (; ); и убывает на интервале ( ;)..3. Экстремум функции Рассмотрим график функции f (). Если слева от некоторого значения 0 функция f () возрастает, а справа убывает, то значение 0 называют точкой максимума функции f (). Если слева от точки функция f () убывает, а справа возрастает, то значение называют точкой минимума функции f () (Рис. 6). На рис. 6 0 точка максимума,, точки минимума функции f (). Замечание. Рис. 6 Функция может иметь либо только один максимум ( только один минимум ( ( sin ), либо ), либо множество минимумов и максимумов 3 ), либо не иметь ни максимума, ни минимума ( ). Дадим строгое определение точек минимума и максимума функции.

20 Точка 0 называется точкой максимума функции f (), если существует такая окрестность точки 0, что для всех 0 из этой окрестности выполняется неравенство f () f ( 0 ). Точка называется точкой минимума функции f (), если существует такая окрестность точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f () > f ( ) (Рис.6). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция f () имеет экстремум в точке 0, то ее производная в этой точке равна нулю: f ( 0 ) 0. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными). Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Пример 4. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: а) ; б) 3 ; в) 3. а) Найдем производную:. Критическая точка определяется из равенства: 0 0. Из Рис.7 видно, что в точке 0 функция имеет экстремум (минимум).

21 0 Рис. 7 График функции б) Функция свойству степенной функции. Производная нулю: 3 - возрастает на всей числовой прямой по 3 в точке 0 равна (0) 30 0, но экстремума в точке 0 нет (Рис. 8). Рис.8 3 в) Функция также возрастает на всей числовой прямой. Ее производная при не существует: (), но 3 3 ( ) экстремума в этой точке нет (Рис.9).

22 Рис.9 Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция f () дифференцируема в некоторой окрестности точки 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f () меняет знак с плюса на минус, то 0 есть точка максимума; если с минуса на плюс, то 0 точка минимума. Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью первой производной:. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить критические точки на числовой оси в прядке возрастания. в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку,, определяют ее знак. 4. Исследовать знак производной f ( ) подставляют ее в производную f ( ) 5. Определяют поведение функции в каждом промежутке: если f () 0, то функция возрастает в данном промежутке, если f () 0, то функция убывает в данном промежутке. 6. Определяют точки минимума и максимума функции f (): если при переходе через критическую точку возрастание функции меняется на убывание, то это точка максимума, если же убывание меняется на возрастание, то это точка минимума. Если знак производной не меняется при переходе через критическую точку, то в данной точке экстремума нет. 7. Вычисляют значения функции в точках экстремума.

23 Пример 5. Исследовать на экстремум функцию. Найдем производную:. Найти критические точки функции: f ( ) f. ( ) ( ) 0 0, 3. Изобразим критические точки на числовой оси в порядке возрастания (Рис.0). 0 Рис.0 4. Исследуем знак производной f ( ) Возьмем значения 3,, : в каждом промежутке. f (3) 33 (3 ) 9 0, f () 3 ( ) 3 0, f ( ) 3 ( ) ( ) Определим поведение функции в каждом промежутке. Так как,то функция возрастает в данном f () 0 на интервале ( ;0) интервале; так как f () 0 на интервале (0;),то функция убывает в данном интервале; так как f () 0 на интервале (; ),то функция возрастает в данном интервале (Рис.) Рис. 6. Определим точки минимума и максимума функции f (). Так как при переходе через точку 0 возрастание функции меняется

24 на убывание, то это точка максимума; так как при переходе через точку убывание функции меняется на возрастание, то это точка максимума. 7. Вычислим значения функции в точках экстремума: 3 3 ma f(0) , min Рис Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке 0 первая производная функции f () равна нулю (f ( 0 ) 0), а вторая производная в точке 0 существует и отлична от нуля (f ( 0 ) 0), то при f ( 0 ) 0 в точке 0 функция имеет максимум и при f ( 0 ) 0 минимум. Пример 6. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию Находим производную: Находим критические точки: , 4. Находим вторую производную: 6 8. Определим знаки второй производной в этих точках: () , т.е. в точке функция имеет максимум; (4) , т.е. в точке 4 функция имеет минимум. Найдем значения функции в критических точках: 3 ma () 9 4 8, 3 min (4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

25 При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения (глобального максимума и глобального минимума) функции на отрезке [a; b]. Согласно теореме Вейерштрасса (Модуль ), если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения функции может достигаться как в критических точках, так и в концах отрезка [a; b]. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a; b]:. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) Вычислить значения функции f () в критических точках, принадлежащих отрезку [a; b], и в точках a, b. 4. Выбрать среди найденных значений функции наибольшее и наименьшее значения. Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].. Найдем производную: 4.. Найдем критические точки: 4 0, Так как точка принадлежит отрезку [0; 3], то вычислим значения функции в точках, 0, 3: (0) , () 4 3, (3) Наименьшее значение функции равно min и достигается во внутренней точке отрезка [0; 3]. Наибольшее значение

26 функции равно ma 3 и достигается в крайней точке 0 отрезка [0; 3]..5. Выпуклость функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции f () называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции f () называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции. Точка графика непрерывной функции f (), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. На Рис. 3 кривая f () выпукла вверх в интервале (а; с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М (с; f (c)) точка перегиба. Теорема (достаточное условие выпуклости-вогнутости функции). Если функция f () во всех точках интервала (а; b) имеет отрицательную вторую производную, то есть f () 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f () 0 во всех точках х (а; b), то график выпуклый вниз. Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f () дважды дифференцируемой функции при переходе через точку 0 меняет знак, то точка 0 есть точка перегиба ее графика. M = f () a c b Рис. 3 К определению промежутков выпуклости

27 Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба: f ;. Найти вторую производную ( ). Найти точки, в которых вторая производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить эти точки на числовой оси в порядке возрастания. 4. Исследовать знак второй производной f ( ) в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку, подставляют ее в производную f ( ), определяют ее знак. 5. Определяют поведение графика функции в каждом промежутке: если f( ) 0, то график функции выпуклый вниз в данном промежутке, если f( ) 0, то график функции выпуклый вверх в данном промежутке. 6. Если при переходе через точку график функции меняет выпуклость на вогнутость, то это точка перегиба. 7. Находят значение функции в точках перегиба. Пример 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции Находим 5 4, Вторая производная существует на всей числовой оси. 0 при Изображаем точку 0 на числовой оси, изображаем полученные промежутки (Рис. 4). 0 Рис. 4

28 4. Исследуем знак второй производной в каждом промежутке: ()=0 3 0; (-)=0(-) 3 =-0 0 (Рис.5) Рис. 5 5.Следовательно, график функции 5 5 в интервале (; 0) выпуклый вверх, в интервале (0; ) выпуклый вниз. 6. Точка 0 есть точка перегиба. 7. Найдем значение функции в точке 0: (0) = Асимптоты графика функции Часто приходится исследовать форму кривой у f () при неограниченном возрастании (по модулю) абсциссы и ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно, при этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Рис. 6

29 На Рис.6а изображена вертикальная асимптота, на Рис.6б горизонтальные асимптоты, на Рис.6в наклонная. Вертикальные асимптоты Если lim f( ) или lim f( ), то прямая х а вертикальная a0 a0 асимптота кривой f (); и обратно, если прямая х а асимптота, то выполняется одно или оба из написанных равенств. Вертикальные асимптоты, как правило, проходят через точки на оси абсцисс, в которых функция не определена. Это точки разрыва второго рода. Пример 9. Кривая 5 имеет вертикальную асимптоту 5, так как lim и lim Наклонные асимптоты Наклонная асимптота прямая линия, которая задана уравнением f( ) k b, где k lim, b lim f ( ) k. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k 0, то есть b. Пример 0. 3 Найти асимптоты графика функции. Так как функция определена всюду, то вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты, применив для вычисления пределов правило Лопиталя: 3 f ( ) ( ) k lim lim lim lim,

30 3 3 ( ) b lim f ( ) k lim lim lim. ( ) lim lim 0 ( ) Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение k b..7.общая схема исследования функции и построение графика Исследование функции f () целесообразно вести в определенной последовательности.. Найти область определения функции.. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 3. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. Точки пересечения графика с осью O определяются из уравнения f( ) 0. Точки пересечения графика с осью O определяются из уравнения f(0). 4. Найти интервалы монотонности функции. 5. Найти экстремумы функции. 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. 7. Найти асимптоты графика функции. 8. На основании проведенного исследования построить график функции. Пример. Исследовать функцию и построить ее график.. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю: 0,, то область определения функции ( ; ) ( ;) (; ). ( ).Так как f ( ) f ( ), то функция четная. ( ) Следовательно ее график симметричен относительно оси О.

31 3. Точки пересечения графика функции с осями координат. С осью O: Уравнение 0 корней не имеет, следовательно, с осью O график функции точек пересечения не имеет. 0 С осью O: f(0). Следовательно, график функции 0 пересекает ось O в точке. 4. Интервалы монотонности. Найдем первую производную: ( ) ( )( ) 4, ( ) ( ) 0 0 и не существует при. Изобразим критические точки на числовой оси в прядке возрастания. Подставляя числа, 0,5, 0,5, в производную, определим ее знаки в данных интервалах: 4 ( ) 8 8 ( ) 0 ( ( ) ) ( 3) 9 4 ( 0,5) ( 0,5) 0 ( ( 0,5) ) (0,75) 4 (0,5) (0,5) 0, ( (0,5) ) (0,75) () 0. ( ) ( 3) 9 Таким образом, на интервалах ( ; ) и ( ;0) интервалах (0;) и (; ) - возрастает (Рис. 7).,, функция убывает, на Рис.7 5. Так как при переходе через точку 0 производная меняет знак, то 0 - точка минимума. Вычислим минимум функции:

32 производную: 0 (0). 0 min 6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую 4( ) 4 ( )( ) 4( 3 ) ( ) ( ) 4 3. Уравнение 0 корней не имеет, и не существует при. Очевидно, что 0 на интервале ( ;) и функция выпукла вниз на этом интервале, 0 на интервалах ( ; ) и (; ), и на этих интервалах функция выпукла вверх. Так как при (Рис. 8). не определена, то точек перегиба нет Рис.8 7. Асимптоты графика функции. а) Вертикальные: Так как ( 0) ( 0) lim, ( 0) 0 0 lim 0 ( 0) 0 0 0, то прямая является вертикальной асимптотой. В силу симметрии графика (четности функции) прямая также вертикальная асимптота. б) Наклонная асимптота k b:

33 Найдем f ( ) ( ) k lim lim lim lim ( ) (( ) ) 3 ( ) lim lim 0, ( 3 ) 6 ( ) b lim( f ( ) k) lim( 0 ) lim lim, ( ) Следовательно, прямая k b 0 - есть горизонтальная асимптота. 8. Строим график функции (Рис.9) Рис.9.8. Вопросы для самопроверки. Сформулировать теоремы Ролля, Коши, Лагранжа, Лопиталя.. Какие функции называются возрастающими, убывающими? 3. Объяснить, как применяется производная для нахождения промежутков монотонности. 4. Можно ли утверждать, что если производная в данной точке равна нулю (или не существует), то эта точка является точкой максимума или минимума? Приведите пример. 5. Может ли функция иметь два локальных максимума? 6. Сколько экстремумов имеет функция sin при 0?

34 7. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке? 8. Какие точки графика функции называются точками перегиба? 9. Чему равна вторая производная в точке перегиба? 0. Приведите схему построения графика функции..9. Упражнения для самопроверки. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: а) lim ; б) lim Найти промежутки возрастания и убывания функции: а) 6 ; б) 4 4; 3 3. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую 3, построить кривую Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0;5]. 5. Исследовать на выпуклость кривую 6. Найти асимптоты графиков функции: а) ; б) Ответы:. а) ; б) -4.. а) Возрастает при ( ;) (3; ), убывает при (;3). б) Возрастает при (; ), убывает при ( ;). 3. ma 0 при 4, min при 0, точка перегиба ma 3 при 0, min 6 при Выпукла вверх при ( ; ), выпукла вниз при ( ; ).

35 6. а) вертикальная, горизонтальная 5 б) наклонная 3. 4 ; 5

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» Составители: Глазунова Т.С., преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Новикова Н.П.,

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0 Построить график функции y Областью определения функции является интервал ( ;0) (0; ) Функция y является четной, тк y( ) y( ), а ( ) график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций:

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база и профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности,

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра МАТЕМАТИКИ ССКачержук, НАРустамов, ЮАФарков МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра прикладной математики и информатики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра прикладной математики и информатики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный социально-экономический

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2 Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1 Уфимский государственный технический университет ПРОБНИК. Задача: Вычислить предел функции + 4 Ответы: ). ). ). /4 4). 0 5). нет правильного ответа. Задача: Найти предел: 0 sin5 7 Ответы: ). 5 ). 7 ).

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

Домашний контрольный тест по теме «Производная»

Домашний контрольный тест по теме «Производная» Домашний контрольный тест по теме «Производная» А. Производная элементарной функции А. Вычислите y 7, если y. A) B) C) - D) - E) А. Найдите f, если f A),5 B) - C) - D) E) 5 5 5 5 А. f, f? A) B) C) D) E)

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или

Подробнее

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ.

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Определения и свойства Определение производной функции в заданной точке. Производной

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Дифференциальное исчисление Составила: Миргородская

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Колледж связи года

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Колледж связи года Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Колледж связи 54 Экспертное заключение: 0 года Разработала: Бобкова О.Н.- преподаватель 04 года Утверждено: Методическим

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЕТЕЙ "ЦЕНТР

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

6. Формула Лагранжа. f(b) - f(a) = f (c)(b - a). (1)

6. Формула Лагранжа. f(b) - f(a) = f (c)(b - a). (1) 49 6. Формула Лагранжа Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и дифференцируема на открытом промежутке (a, b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a, b), для которой

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Модуль и производная В.В. Сильвестров

Модуль и производная В.В. Сильвестров Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный университет'' Кафедра математического анализа

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Математический анализ в вопросах и задачах

Математический анализ в вопросах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Математический

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Производная Задачи для самостоятельного решения. 1 Найти первую производную функции:

Производная Задачи для самостоятельного решения. 1 Найти первую производную функции: Производная Задачи для самостоятельного решения Найти первую производную функции: 4 cos (7 ) lg( ) e 4 tg arcsin( 4) arctg tg log () 4 log (4 ) 6 7 ln(/ ) arctg ( sin ( )) ( cos( )) 7 7 8 log arctg ctg(

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Понятие производной ГАПОУ РК Колледж технологии и предпринимательства Преподаватель Введение Различные задачи естествознания, геометрии, техники приводят к одним и тем же математическим

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

5. Производная. = lim., f

5. Производная. = lim., f 5. Производная 5.1. Рассмотрим интервал (a, b) R, функцию f, заданную на (a, b), и точку (a, b). Если существует предел f( + h) f() lim h 0 h f(y) f() = lim, y y его называют производной функции f в точке

Подробнее

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Задача B8 геометрический смысл производной

Задача B8 геометрический смысл производной Задача B8 геометрический смысл производной В задаче B8 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин: 1.Значение производной в некоторой точке x0, 2.Точки

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (открытый банк заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (открытый банк заданий) Математика ЕГЭ 14 (открытый банк заданий) Задания В8 Производная и первообразная функции Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail: akoryanov@mailru Надежкина НВ (г Иркутск); e-mail: nadezhkina@yahoocom

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

Костанайский филиал. Кафедра социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ. Математический анализ

Костанайский филиал. Кафедра социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ. Математический анализ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Костанайский филиал

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b 41 3. Производная Рассмотрим функцию y=f(, непрерывную в некоторой окрестности точки. Пусть, приращение аргумента в точке. Обозначим через,y или,f Y y=f( f(+, f( M N = +, Рис. 1 приращение функции, равное

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Урок на тему: Нахождение точек экстремумов функций. Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Урок на тему: Нахождение точек экстремумов функций. Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции: Что будем изучать: Урок на тему: Нахождение точек экстремумов функций. 1) Введение. 2) Точки минимума и максимума. 3) Экстремум функции. 4) Как вычислять экстремумы? 5) Примеры Ребята, давайте посмотрим

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

1. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в. 2. Находим выражение для разностного отношения f

1. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в. 2. Находим выражение для разностного отношения f Нахождение производной функции по определению. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке х 0 : f = f x 0 + x f(x 0 ). Находим выражение для разностного отношения f, которое затем

Подробнее

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу Основные тригонометрические функции Чтобы дать определение тригонометрических функций, рассматривают окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту окружность называют тригонометрическим кругом.

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу высшей математики для студентов 1 курса заочного факультета. Часть 2.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу высшей математики для студентов 1 курса заочного факультета. Часть 2. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ > КАФЕДРА ВЫСШЕЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Рабочая программа. Специальность: "Мировая экономика"

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Рабочая программа. Специальность: Мировая экономика ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "Утверждаю" Декан МФУ Ф.П.Тарасенко " "2008 г. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рабочая программа Специальность: 060600 "Мировая экономика" Статус дисциплины: федеральный компонент

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро». Персональная карточка Найдите длину промежутка возрастания убывания функции:

Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро». Персональная карточка Найдите длину промежутка возрастания убывания функции: Урок обобщающего повторения по теме "Производная. Геометрический смысл производной. Задачи с использованием графика производной" (11-й класс, 2 часа) Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро».

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1)

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1) Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Если вы пропустили занятие по математике, то подготовьтесь самостоятельно по вопросам, которые предложены к каждой теме.

Если вы пропустили занятие по математике, то подготовьтесь самостоятельно по вопросам, которые предложены к каждой теме. Уважаемые студенты 1 курса! Если вы пропустили занятие по математике, то подготовьтесь самостоятельно по вопросам, которые предложены к каждой теме. Вопросы итогового контроля. Тема «Повторение». 1.Что

Подробнее