ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ"

Транскрипт

1 СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04

2 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор кафедры математики и информатики Сибирской академии финансов и банковского дела ВГ Дудник канд физ-мат наук, доцент кафедры прикладной математики Рубцовского индустриального института (филиала АлтГТУ им ИИ Ползунова) Печатается по решению Научно-методического совета Сибирской академии финансов и банковского дела К90 Кулагина НА, Черепанова МВ Элементы высшей математики: учебное пособие -е издание, исправленное Новосибирск: Сибирская академия финансов и банковского дела, 04 7 с Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования и предназначено для студентов, обучающихся по специальностям Банковское дело и 0800 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) Изложение материала по всем разделам дисциплины сопровождается примерами В конце каждого раздела приведены вопросы для самопроверки и задания для самостоятельного выполнения УДК 5 ББК Кулагина НА, Черепанова МВ, 04 Сибирская академия финансов и банковского дела, 04

3 Œ Î ÎÂÌË Раздел Элементы теории множеств 5 Множества Основные понятия5 Виды числовых промежутков 6 Раздел Теория пределов 9 Числовая последовательность и ее предел9 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 3 Основные свойства сходящихся последовательностей Вычисление пределов числовых последовательностей3 Раздел 3 Математический анализ 7 3 Понятие функции7 3 Основные характеристики функции8 33 Предел функции в точке 34 Непрерывность функции 3 35 Бесконечно большие и бесконечно малые функции5 36 Раскрытие неопределенностей7 37 Замечательные пределы8 Раздел 4 Дифференциальное исчисление 35 4 Производная функции35 4 Дифференциал функции38 43 Исследование функции при помощи производной Экономический смысл производной5 Раздел 5 Интегральное исчисление 57 5 Неопределенный интеграл57 5 Основные методы интегрирования Определенный интеграл6 54 Вычисление площади плоской фигуры63 55 Экономический смысл интеграла66 Раздел 6 Линейная алгебра 7 6 Матрицы и действия над ними7 6 Определитель матрицы73 63 Обратная матрица75 64 Системы линейных алгебраических уравнений Правило Крамера Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса (метод последовательного исключения)78 3

4 Раздел 7 Аналитическая геометрия на плоскости83 7 Векторы Операции над векторами 83 7 Уравнение прямой на плоскости и его различные виды 87 Раздел 8 Комплексные числа96 8 Понятие и представление комплексных чисел 96 Раздел 9 Теория вероятностей и математическая статистика00 9 Элементы комбинаторики 00 9 Случайные события Случайные величины и их числовые характеристики 07 Раздел 0 Линейное программирование5 0 Линейные неравенства и область решений системы неравенств 5 0 Основная задача линейного программирования и ее решение графическим методом 8 Приложение Некоторые сведения из элементарной математики3 Библиографический список 6 4

5 Á ÂÎ ÎÂÏÂÌÚ ÚÂÓрËË ÏÌÓÊÂÒÚ Множества Основные понятия Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, а их элементы малыми Например, запись а А обозначает, что элемент а принадлежит множеству А, а запись b В означает, что элемент b не принадлежит множеству В Пустым называется множество, не содержащее ни одного элемента Оно обозначается Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В Обозначается А В Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными А В Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из них Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит как множеству А, так и множеству В Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В Символически это обозначается следующим образом объединение множеств А и В А В, пересечение множеств А и В А В, разность множеств А и В А \ В 5

6 Пример Даны множества A,3,5,7,9 и B,4,7,9 Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В Решение А В,,3,4,5,7,9, А В 7,9, А \ В,3,5 Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми Примеры числовых множеств N ;;3; ; множество натуральных чисел; Z 0; ; ; ; ; множество целых чисел; m Q : mz, N множество рациональных чисел; I множество иррациональных чисел; R множество действительных чисел Множество R содержит рациональные и иррациональные числа Любое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью, или бесконечной периодической дробью Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными Например, 0,5 4, 0,333 рациональные числа, 3, иррациональное число Для числовых множеств верны следующие соотношения: N Z Q R, I Q R Множество действительных чисел иногда записывают следующим образом: R (, ) Подмножества действительных чисел называют числовыми промежутками или интервалами Виды числовых промежутков Пусть а и b действительные числа и а b Тогда: 6

7 [а; b] а b Отрезок (а; b) а b Интервал (а; b] а b Полуоткрытый интервал [а; b) а х b Полуоткрытый интервал (; b] х b Полуоткрытый интервал (; b) х b Открытый интервал [а; ) х a Полуоткрытый интервал (а; ) a Открытый интервал Числа а и b называются левым и правым концами этих промежутков Пусть х 0 R, тогда окрестностью точки х 0 называется любой интервал (а; b), содержащий точку х 0 -окрестностью точки х 0 называется интервал (х 0 ; х 0 + ), где 0 Если х (х 0 ; х 0 ), то выполняется неравенство х 0 0 или х х 0 Это обозначает, что точка х попала в -окрестность точки х 0 (рис ) Рис Число х 0 называется центром, а число радиусом окрестности Вопросы и задания для самопроверки Какое соответствие существует между множеством натуральных чисел и множеством точек координат прямой? Можно ли утверждать, что каждой точке координатной прямой соответствует определенное натуральное число? 3 Какие числа составляют множества Z? Приведите пример Какие числа составляют множества Q? Приведите пример 7

8 4 Всегда ли выполнимо действие деления на множестве Q? 5 Даны множества А; ; ; 3, В; ; 3; 4 Найти А В, А В, А \ В 5 6 Пусть дано множество A ; ; ;0 Тогда верным 7 будет утверждение: а) A Q; б) A Z; в) A R; г) A N (указать правильный) 7 Пусть дано множество A 3; ; ; 7;,3 7 Тогда верным будет утверждение: а) A Q; б) A Z; в) A R (указать правильный) 8 Даны множества A k N; k и B Тогда верными будут утверждения а) множество В бесконечно; б) A B ;9; в) множество А конечно; г) B A (указать правильный) 9 Даны множества A N; четно и B N; 4 8 Тогда A B равно 0 Даны множества А Z; 5 и B Z; 6 Тогда A B равно Указать множества на числовой оси: а),5 ; б) 3 4; в) 7 3,5; г) 5 Ответы: 5 А В ;;;;3;4; А В ; 3; А \ В ; 6 а), в) 7 в) 8 б), г) 9 А В 4;6;8 0 А В Z; 6 а) [0,5; 3,5]; б) (; ) (7, ); в) (3,5; 0,5); г) (; 3] [7, ) 8

9 Á ÂÎ ÂÓрˡ Ôр ÂÎÓ Числовая последовательность и ее предел Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность ;,, 3, Числа,, 3, называются членами последовательности, число общим или -м членом данной последовательности, а число его номером Пример Множество А состоит из чисел,, 3, 4, 5,, или, другими словами, Пример Множество А состоит из чисел, 3, 5, 7, 9,, или Данные формулы позволяют вычислить любой член последовательности Очевидно, в этих примерах разным значениям,,3 соответствуют разные точки множества А, и поэтому последовательности можно представить как множество соответствующих точек на прямой R (рис а, б) /3 / а) б) Рис Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для любого N выполняется неравенство M В противном случае последовательность называется неограниченной 9

10 В соответствии с геометрической интерпретацией последовательности ее ограниченность означает, что все точки,,,3 расположены на некотором отрезке [M,M] и, следовательно, образуют ограниченное множество В примере последовательность ограничена числом, в примере последовательность не ограничена Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого выполняется неравенство ( ) Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если для любого выполняется неравенство ( ) Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными Еще один способ задания числовых последовательностей рекуррентный В этом случае вначале задается (первый член последовательности) и правило определения -го члена по ( )-му Пример 3,,,3,4 Предел числовой последовательности Пределом последовательности b называется число b такое, что для любого положительного числа существует номер N (зависящий от ), начиная с которого все члены последовательности отличаются от b по модулю меньше, чем на, то есть при всех N выполняется b b Неравенство b b можно представить следующим образом: b b b Это означает, что на числовой прямой числа b принадлежат интервалу (b, b ) (рис 3) b b Рис 3 b 0

11 Геометрическая интерпретация понятия предела заключается в следующем Число b является пределом последовательности b, если для любого интервала (b, b ) существует такой номер N, что для всех N соответствующие члены последовательности b принадлежат данному интервалу Предел последовательности обозначается limb b Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся Пример 4 Рассмотрим числовую последовательность с общим членом Возьмем какое-нибудь малое положительное число (например, ), тогда два числа,0 и, будут расположены близко к Начиная с некоторого (, log log 00 log 0 3,3 6,64), все члены будут попадать в этот интервал, то есть Таким образом, В данном случае это предел последовательности : lim Признак существования предела последовательности Теорема (без доказательства) Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел Пример 5 Рассмотрим последовательность, N

12 Можно доказать, что возрастающая и ограниченная последовательность Следовательно, она имеет предел Обычно его обозначают буквой e: lim e Это число называют числом Эйлера или числом e,788 Число e принято за основание натурального логарифма log e l Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Особое место среди последовательностей занимают так называемые бесконечно малые и бесконечно большие Последовательность, имеющая своим пределом число 0, называется бесконечно малой Пример 6 Последовательность a, п,,3, является бесконечно малой В самом деле, пусть 0 произвольное сколь угодно малое число Покажем, что найдется номер N такой, что для всех номеров п, больших N, будет справедливо неравенство а п В нашем случае a, поэтому номер N должен быть таким, чтобы для всех п N выполнялось неравенство Решая это неравенство, получим, что Таким образом, N Последовательность а п, п,,3, называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М 0 найдется номер N (зависящий от М) такой, что для всех номеров п N выполняется неравенство а п М

13 Пример 7 Последовательность а п () п п, п,, является бесконечно большой: Действительно, неравенство () п п M выполняется при всех M Основные свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей: Пусть а п, b п,,, бесконечно малые последовательности, х п ограниченная последовательность, у п бесконечно большая последовательность Тогда ) для любого числа К произведение Ка п бесконечно малая последовательность; ) произведение а п х п бесконечно малая последовательность; 3) сумма или разность а п b п бесконечно малые последовательности; 4) последовательность обратных величин c является бесконечно малой; y 5) последовательность обратных величин d является бесконечно a большой Пример lim lim lim 4 lim 4 lim Основные свойства сходящихся последовательностей Вычисление пределов числовых последовательностей Перечислим основные свойства сходящихся последовательностей: Постоянная величина сама себе служит пределом 3

14 Последовательность не может стремиться к двум различным пределам 3 Если каждая из двух последовательностей имеет предел, то и их сумма (разность) имеет предел, равный сумме (разности) пределов слагаемых 4 Если каждая из двух последовательностей имеет предел, то и их произведение имеет предел, равный произведению пределов последовательностей 5 Если каждая из двух последовательностей имеет предел и предел знаменателя отличен от нуля, то их частное имеет предел, равный частному их пределов Пример lim lim lim Пример 0 lim lim lim lim lim lim lim 0 lim

15 Пример lim lim lim lim e 3 3 Пример lim lim lim Пример 3!! 3 3 lim lim! lim lim 3 3 lim 0 Вопросы для самопроверки Что называется числовой последовательностью? Какая числовая последовательность называется ограниченной? 3 Дать определение предела числовой последовательности 4 Сформулировать признак существования предела числовой последовательности 5 Дать определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей 6 Перечислите основные свойства предела числовой последовательности 7 Записать второй замечательный предел Задачи для самостоятельного решения Дан общий член последовательности а п Выписать пять первых членов данной последовательности: 6 5

16 ) 3) a ; ) a ; 4) 3 a ; a Составить общий член последовательности: ),,,,, ; ),,,; ),,,,; 4) ,,,, Доказать по определению, что ) lim 4 ; ) lim ; ) lim 3 ; 4) lim Вычислить пределы: 43 ) lim ; ) 5 3 lim ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 3) lim ; 4) lim 5 3 ( ) ( ) 3 5) lim ; 6) lim ; 5 3 7) lim ; 8) lim ; ) lim 4 ; 0) 3 lim 5 0 ; ; Ответы: ) 0; 3; ; 35; 3; ) ; 94; 86; 658; 60; 3) 3; 54; 96; 78; 330; 4) 49; 95; 649; 58; 36 3 ( ) ( ) ) a ; ) a ; 3) a ; 4) a ) 5; ) 4; 3) 5; 4) ; 5) ; 6) 35; 7) ; 8) ; 9) 0; 0) 5 6

17 Á ÂÎ 3 Ã ÚÂÏ ÚË ÂÒÍËÈ Ì ÎËÁ 3 Понятие функции Пусть даны два множества X и Y Соответствие f, которое каждому элементу х Х сопоставляет один элемент y Y, называется функцией Это обозначается так: y f () Например, соответствие f, изображенное на рис 4, а, является функцией, а соответствие q, изображенное на рис 4, б, не является функцией, так как не соблюдается условие однозначности f q X Y X Y а б Рис 4 Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D ( f ), а множество Y областью значений функции f и обозначается Е ( f ) Графиком функции называется множество всех точек плоскости 0y, абсцисса и ордината которых связаны соотношением y f () Сложная функция Пусть функция у f (u) определена на множестве D, а функция u (х) на множестве D, причем для любого х, принадлежащего множеству D, соответствующее значение u () принадлежит множеству D Тогда на множестве D определена функция у f (()), которая называется сложной функцией или функцией от функции Переменную u (х) называют промежуточным аргументом сложной функции 7

18 Пример 3 Если y u 3 и u, то y есть функция от, что можно записать так: y ( ) 3 Обратная функция Пусть задана функция y f () с областью определения D и множеством значений E Если каждому значению y E соответствует единственное значение D, то определена функция (y) с областью определения E и множеством значений D Такая функция (y) называется обратной к функции f () и записывается в следующем виде: (y) f (y) Про функции y f () и (y) говорят, что они являются взаимно обратными Чтобы найти функцию (y), обратную функции y f (), достаточно решить уравнение f () y относительно (если это возможно) Например, для функции y обратной функцией является функция y Графики взаимно обратных функций y f () и y () симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов 8 3 Основные характеристики функции Четность и нечетность Функция y f (), определенная на множестве D, называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f () f () Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента меняется только знак функции, а абсолютное значение остается тем же: f () f () Функции, не относящиеся ни к четным, ни к нечетным функциям, называются функциями общего вида График четной функции симметричен относительно оси 0Y, нечетной относительно начала координат Пример3 а) f () 5 является четной, так как f () 5()

19 5 и f () f (); б) f () 5 3 является нечетной, так как f () () 5 () 3 () 5 3 ( 5 3 ) f () f (); в) f () 3 является функцией общего вида, так как f () () () 3 3 и f () f (), f () f () и Монотонность Пусть функция y f () определена на множестве D, если для любых значений аргумента,, (a; b) таких, что, выполняется неравенство f ( ) f ( ), то функция называется возрастающей, f ( ) f ( ), то функция называется неубывающей, f ( ) f ( ), то функция называется убывающей, f ( ) f ( ), то функция называется невозрастающей (рис 5) y f ( ) f ( ) f () Монотонно возрастает y f ( ) y f () f ( ) f ( ) y f () Монотонно убывает 0 0 Рис 5 Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными Интервалы, в которых функция монотонна, называют интервалами монотонности 3 Ограниченность Функцию y f (), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М 0, что для всех Х D выполняется неравенство f () М Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у М и у М 9

20 Пример33 Функция y si ограничена на всей числовой оси, так как si для любого R (рис 6) y Рис 6 4 Периодичность Функция y f (), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т 0, что при каждом D значение f ( T) f () При этом число Т называется наименьшим периодом функции (рис 7) Функция y tg периодическая, ее период Т, Z, tg ( ) tg y Рис 7 0

21 33 Предел функции в точке Число А называется пределом функции в точке х 0, если для любого положительного числа найдется такое положительное число, что для всех х х 0, удовлетворяющих неравенству 0, выполняется неравенство f () A Записывают lim f( ) A Пример 34 Доказать, что 0 lim(3 ) 4 Решение Пусть 0,3, тогда неравенство f () A примет вид (3 ) 4 0,3 или 3 6 0,3, откуда 0,3 3( ) 0,3, то есть 0, 0, и 0, Аналогично при 0,09 неравенство f () A будет выполнено при 0,03 Таким образом, для любого 0 f () A (3 ) будет выполняться при, то есть для любого 0 существует такое, что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство f () 4, где f () 3, а это и означает, что lim(3 ) 4 Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х 0 влияет на значение предела функции Число L называется пределом функции y f () слева в точке х 0, если для любого числа 0 существует число () 0 такое, что при х (х 0 ; х 0 ) выполняется неравенство f () L Предел слева обозначают lim f( ) L 0 0 Аналогично определяют и предел справа Предел справа обозначают следующим образом: lim f( ) P 0 0 Пределы справа и слева называют односторонними пределами

22 Если существует 0 lim f( ) A, то существуют и оба односторонних предела, причем A P L Пример 35 а) lim, 30 3 б) lim tg, k0 lim ; 3 lim tg 30 k0 Основные свойства пределов функций Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: lim( f( ) ( )) lim f( ) lim ( ) Функция может иметь только один предел при х х 0 3 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: lim( f( ) ( )) lim f( ) lim ( ) Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim С f( ) С lim f( ) Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: lim f( ) lim f( ) lim, N В частности, 6 Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: f( ) lim f( ) 0 lim lim ( ) 0 0 ( ) lim ( ) Если функция f () заключена между двумя функциями (х) и g(), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, то есть если lim ( ) A, lim g ( ) A, ( ) f( ) g( ), то lim f( ) A Если функция f() монотонна и ограничена при х 0 или при 0, то существует соответственно ее левый предел

23 0 0 0 lim f( ) f 0 или ее правый предел lim f( ) f Непрерывность функции Пусть функция y f () определена в точке х 0 и в некоторой окрестности этой точки Функция y f () называется непрерывной в точке х 0, если предел функции в этой точке существует и lim f( ) f равен значению функции в этой точке, то есть 0 Функция y f () называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала Функция y f () называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке х а непрерывна справа (то есть lim f( ) f( a) ), а в точке х b непрерывна слева, то есть a0 a0 lim f( ) f( b) Основные теоремы о непрерывных функциях Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю) Пусть функция и (х) непрерывна в точке х 0, а функция y f (и) непрерывна в точке и 0 (х 0 ) Тогда сложная функция f ((х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х 0 3 Если функция y f () непрерывна и строго монотонна на [a; b] оси 0, то обратная функция y (х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c; d] оси 0y Если не выполняется определение непрерывности, то функция в точке 0 имеет разрыв, причем: а) если хотя бы один из односторонних пределов lim f( ) или lim f( ) не существует (бесконечен), то точка разрыва второго рода; б) если оба односторонних предела lim f( ) и 3

24 lim f( ) 0 0 конечны, но не равны между собой, то 0 точка неустранимого разрыва первого рода; в) если оба односторонних предела 0 0 lim f( ) 0 0 lim f( ) конечны, равны между собой, но не равны f ( 0 ), то точка 0 точка устранимого разрыва первого рода Пример 36 Исследовать на непрерывность функции y f () в точке В случае разрыва установить его характер в точке : 3 ( ) а) y ( ), при функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: 3 ( ) lim lim( ) lim( ) 0, то есть конечный предел существует, следовательно, точка устранимого разрыва первого рода (рис 8, a); а y б y и в y г y Рис 8 4

25 б) y ( ), при функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: lim ; 0 lim Так как односторонние пределы бесконечны, то 0 точка разрыва функции второго рода (рис 8, б); в) y (), при функция определена, lim 0, 0 0 lim ( ) 0, y() 0, то есть lim y ( ) lim y ( ) y() 0, следовательно, функция в точке 0 0 непрерывна (рис 8, в);, г) y ( ), при функция определена y() 0,, lim y ( ) lim y ( ), lim y ( ) lim y ( ) 0, имеем lim y ( ) lim y ( ), таким образом, в точке функция терпит неустранимый разрыв первого рода (рис 8, г) 35 Бесконечно большие и бесконечно малые функции Функция y f () называется бесконечно большой, если lim f( ) 0 Функция y f () называется бесконечно малой, если lim f( ) 0 0 Например, функция y есть бесконечно большая 5 при х 5, а у х 5 бесконечно малая при х 5 Основные теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых функциях Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция Произведение ограниченной функции на бесконечно ма- 5

26 лую функцию есть функция бесконечно малая Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая Если функция g() бесконечно малая, то функция y g( ) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f () бесконечно большая, то малая 6 f( ) бесконечно Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Теорема Если функция f () имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции (х), то есть f( ) lim f( ) ( ) 0 Теорема Если функцию f () можно представить в виде числа А и бесконечно малой функции (х), то число А является пределом функции f () Пример 37 Доказать, что lim (6 ) 9 3 Функцию 6 х представим в виде 9 (х 3), где (х 3) бесконечно малая функция при х 3, следовательно, (х 3) 0, то есть lim (6 ) 9 3 Пример 38 Вычислить а) lim( 3 4) ( 34) 3 ; б) lim( 3 4) ( 3 4)

27 36 Раскрытие неопределенностей Правило Чтобы раскрыть неопределенность 0 0, заданную отношением двух многочленов a a a lim 0 m m m m 0 b a b0 необходимо числитель и знаменатель разложить на множители, сократить критический множитель (он будет равен ( 0 )) и вычислить предел оставшегося выражения, Пример Вычислить lim Найдем корни числителя и знаменателя: 3х 0х 8 0, х 9х 4 0, D , D , , 4, , 6 4 Таким образом, 3( 4) lim lim lim ( 4) 0 Правило Чтобы раскрыть неопределенность вида 0, в которой числитель или знаменатель иррациональные выражения, следует избавиться от иррациональности Для этого числитель и знаменатель надо умножить на выражение, сопряженное иррациональному выражению в числителе или в знаменателе 7

28 Пример 30 lim lim 0 ( ) 3 ( ) (3 ) 3 lim lim ( ) 3 ( ) 3 4 ( ) lim lim ( ) 3 ( ) 3 lim 3 Правило Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, нужно и числитель и знаменатель разделить на самую высшую входящую в них степень Пример lim lim lim Замечательные пределы При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел si lim, называемый первым замечательным пределом Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен едини- 0 це, когда аргумент стремится к нулю

29 Вторым замечательным пределом называется предел число- вой последовательности, N, описанный в Данный предел можно записать в виде: lim lim e 0 Этот, а также другие замечательные пределы приведены в табл Некоторые замечательные пределы Таблица si lim 0 arcsi lim 0 tg 3 lim 0 arctg 4 lim 0 cos 5 lim 0 6 lim 0 e 7 lim e e 8 lim 0 a 9 lim la 0 l( ) 0 lim 0 Пример 3 cos cos3 а) Найти lim 0 Решение Преобразуем данную дробь, чтобы «подогнать» ее под первый замечательный предел: cos cos3 si si 4 lim lim 0 0 si si 4 4lim lim б) Найти lim( ) 0 3 Решение Пусть y, тогда y 0 при 0, то есть имеем 9

30 lim ( ) lim y lim y 0 y0 y0 6 y y e Вопросы для самопроверки Дайте определение функции Что называется областью определения функции и областью ее значений? 3 Дайте определение четной и нечетной функции Каким свойством обладают графики четной и нечетной функции? 4 Дайте определение ограниченной функции Пример 5 Дайте определение периодической функции Что такое период функции? 6 Какой наименьший положительный период имеет функция: y =si, y =cos, y = tg, y = ctg? 7 Сформулируйте определение предела функции f () при a 8 Дайте геометрическую интерпретацию предела функции f (), используя понятие окрестности точки 9 Сформулируйте теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций 0 Дайте определение непрерывности функции в точке Что называется бесконечно большой и бесконечно малой функцией? Дать классификацию точек разрыва функции Задачи для самостоятельного решения Доказать, что функция, заданная формулой f () 3 3, возрастающая Доказать, что функция, заданная формулой y 0,8 8, убывающая 3 Функция задана формулой y 5 на множестве X Найти множество значений Y функции, если X 0; ; ; 3; 4; 5 4 Функция задана формулой y 3 на множестве X Найти множество значений Y функции, если X 0; ; ; ; 6

31 5 Найти область определения функций: а) y 8 4 ; б) y д) y log 3 ( 4); e) y lg( ); ж) в) 4 ; в) 6 y ; г) 4 y ; 3 y ; з) y tg 6 Выяснить четность (нечетность) функций: а) y ; б) y tg 3 si ; в) y cos ; г) д) y tg 3 ( 3 ) 3 si ; е) 7 Построить графики функции: a) y y y y si ; 3 5 y ; ( ) ; ; б) y y 4; 4 ; y ; y ; y ; г) y si ; y si( ); y si 3 8 Найти функции, обратные данным: а) y ; б) y 5 0 ; в) y 3 cos ; г) y log 5( ); 3 д) y 9 Записать в виде одного равенства сложную функцию, заданную цепочкой равенств: a) y si u, u 3 ; б) y lg u, u lg ; в) y log (6 u ), u si ; г) y u u u д) y, u ; е) y u u 3 cos, ; 0 u, tg5 4 0 Найти пределы функций: а) lim ; г) lim ; б) lim ; д) lim 3 8 ; а) 5 в) lim ; е) lim 4 lim ; г) lim ; 0, 0, 3

32 б) 3 lim ; д) lim 5 ; в) lim ; е) lim( 3 y) y 0 y а) lim ; г) lim ; 5 ( 5) б) lim ; д) lim 3 ; 5 в) lim ; е) lim а) lim ; г) lim ; c c 3 б) lim ; д) lim c7 3 3 c ; в) 5 а) lim 5 9 ; е) 4 lim 4 lim ; г) lim ; 5 3 5a a б) lim a a 7 a 3 3 ; д) lim 0 ; 6 3 в) lim ; е) lim ( ) 6 а) lim 4 4 ; г) lim ; 3 б) в) 3 7 lim lim 0 6 ; д) lim ; si 6 ; е) lim

33 7 а) б) 8 y ; г) 6 5 lim ; 3 lim y5 y ; д) lim ; lim 3 7 cos в) lim ; е) lim а) lim 0 ; г) 8 6 lim ; 0,5 5 б) в) 9 а) lim lim lim ; д) lim 3 si ; е) lim ; 3 0 ; г) lim 7 0 ; 6 б) lim ; д) lim 7 ; 5 6 в) lim 4 ; е) si 4 lim 0 si8 0 а) lim б) в) lim 3 3 lim ,4 0,8 ; г) lim ; 5 00 ; д) 4 4 lim ; tg ; е) lim 0 si5 Исследовать функции на непрерывность и построить график: а), 0, y, 0 б), 0, y 3, 0 г) y, д) y, е) y,, в) y, 33

34 Ответы: 3 Y 5;4;3;;;0 4 Y 3;;6; 5 а) (- ; ]; б) (4; ); в) (;) (;) (;6]; г) [;0) (0;]; д) (4;); е) (;); ж) (;) (; ); з) k 6 а) нечетная; б) нечетная; 4 в) четная; г) нечетная; д) четная; е) нечетная 8 а) y ; y 3 б) log y ; в) arccos ; г) 5 y ; д) 5 3 y 9 а) y si (3); б) y lg(lg ); в) y log (6 si ) ; 3 г) y cos ; д) y ; е) y 0 (tg 5 4) 0 а) 0; б) 5; в) 3; г) 3; д) 3; е) e 5 ; а) 0; б) 5; в) ; г) 35; 6 д) ; е) e ; 3а) 0; 3б) 6; 3в) ; 3г) ; 3д) ; 3е) e 4 ; 4а) ; 5 4б) 83; 4в) ; 4г) 0; 4д) 0; 4е) e 4 ; 5а) 4; 5б) 536; 5в) 8; 5г) 3; 5д) -3; 5е) e 0 ; 6а) 3; 6б) 369; 6в) 3; 6г) ; 6д) 6; 6е) 3; 7а) 3; 7б) 57; 7в) ; 7г) 0; 7д) ; 7е) ; 8а) 3; 8б) 7; 8в) 3 /; 8г) 3; 8д) 0; 8е) ; 9а) ; 9б) 9; 9в) 3; 9г) 0; 9д) 75; 9е) ; 0а) 4; 0б) 63; 0в) ; 0г) 5; 0д) 4; 0е) 5 34

35 Á ÂÎ 4 ƒëùùâрâìˆë Î ÌÓ ËÒ ËÒÎÂÌË 4 Производная функции Производной функции y f () называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует): y f( ) f( ) y f( ) lim lim 0 0 Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции Теорема Если функция y f () дифференцируема в точке 0 (или на промежутке X), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке X) Если функция непрерывна в данной точке, то она необязательно дифференцируема в этой точке Свойства производной функции Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: u v u v Производная произведения двух функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй и произведения первого множителя на производную второго: uv uv u v 3 Производная частного двух функций их ( ), если v(х) 0, v( х ) равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя дроби на знаменатель дроби и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: u uvuv, v 0 v v 35

36 4 Если функция и (х) имеет производную u в точке х, а функция y f (и) имеет производную у и в соответствующей точке и (х), то сложная функция у f ((х)) имеет производную у х в точке х, которая находится по формуле у х y u u 5 Если функция y f (х) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет неравную нулю производную f (х) в каждой точке этого интервала, то обратная ей функция х (у) также имеет производную (у) в каждой точке, определяемую равенством ( у) f ( ) или y y Формулы дифференцирования основных элементарных функций ) ( ) - ; 8) (cos ) si ; ) ( ),( 0) ; 9) tg ; cos 3) e e ; 0) ctg ; si 4) a a la ; ) arcsi, ( ) ; 5) l, ( 0) ; ) arccos, ( ) ; 6) log a, ( 0, 0) la a ; 3) arсtg ; 7) (si ) cos ; 4) arcctg Пример 4 Найти производные функций si cos а) y log l ; в) y ; si cos б) y ( ) arctg ; г) y log 3 ( 3 ) Решение а) Используя формулы, 4, 5, 6, получим: 36

37 y ( 5 ) (5 ) (4) (7log ) (l ) ( 5 ) 5( ) 4() (7log ) l 4 б) Используя формулу 3, получим y ( )arctg ( )(arctg ) arctg ( ) arctg 7 l в) Используя формулы 7, 8, получим: (si cos ) (si cos ) (si cos )(si cos ) y (si cos ) (cos si )(si cos ) (si cos )(cos si ) (si cos ) (si cos ) г) Используя формулы, 6, получим y log 3( ) 3 3 ( )l3 ( )l3 Производные высших порядков Производная y f () функции y f () есть функция от х и называется производной первого порядка Если функция f () дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка: (f ()) и обозначается y f () Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка: y f () Производной -го порядка (или -й производной) называется производная от производной ( )-го порядка: y () (y ( ) ) Производные порядка выше первого называются производными высших порядков Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции: y (y ); y (y ); ; y () (y ( ) ) 37

38 Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках: y v или у (5) производная пятого порядка Пример 4 Найти производную четвертого порядка от функции y si Решение Последовательно дифференцируя функцию, получим: y cos ; y 4si ; y 8cos ; y 6si 4 Дифференциал функции Пусть функция у f () имеет в точке х отличную от нуля y производную lim f ( ) 0 Тогда, по теореме о связи 0 функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать f ( ), где 0 при х 0, или y у f () х х Таким образом, приращение функции у представляет собой сумму двух слагаемых f () х и х, являющихся бесконечно малыми при х 0 При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с х, так как y f ( ) lim f ( ) 0, а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем х: 0 lim lim Поэтому первое слагаемое f () х называют главной частью приращения функции у Дифференциалом функции у f () в точке х называется главная линейная часть ее приращения у f () х х, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df ()): dу f () х 38

39 Найдем дифференциал независимой переменной х, то есть дифференциал функции у х Так как y, то dy d х, то есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: d х Поэтому формулу dy f () х можно записать так: dy f ()dх Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной Свойства дифференциала: Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяется следующими формулами: d(u v) du dv, d(uv) v du u dv, u vdu udv d ( v 0) v v Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента Таблица дифференциалов: dc 0; d(u ) u du; 3 d(a u ) a u la du, в частности, d(e u ) e u du; 4 d(l ogau) du, в частности, d( lu) du ; u la u 5 d(si u) cos u du; 6 d(cos u) si u du; 7 d( tg u) du ; cos u 8 d( ctg u) du; si u 9 d( arcsi u) du ; u 39

40 0 d( arccos u) du ; u d( arctg u) du; u d( arcctg u) du u Пример 43 Найдите дифференциал функции y в точке двумя способами: а) выделяя линейную относительно часть приращения функции y; б) по формуле dy f () Решение а) Приращение функции y f ( ) f () f ( ) f () (( ) ( ) ) ( ) 5 Выделяя линейную относительно часть приращения функции, получаем dy 5 5d б) Дифференциал функции dy ( )d ( )d ( )d 5d Исследование функции при помощи производной Теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ролля Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a) f (b), то найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой производная f () обращается в нуль, то есть f (c) 0 Так как функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно М и m Если М m, то функция f () постоянна на [a; b] и, следовательно, ее производная f () 0 в любой точке отрезка [a; b]

41 Если М m, то функция достигает хотя бы одного из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f (a) f (b) а б в y y y M m M M m a c b a c b a c c m Рис 9 Пусть, например, функция принимает значение М в точке х с (a; b), то есть f (c) M Тогда для всех х (a; b) выполняется соотношение f (c) f () Найдем производную f () в точке х с: f( c) f( c) f () c lim 0 В силу условия f (c) f () верно неравенство f ( ) f (c) 0 Если 0 (то есть 0 справа от точки f( c) f( c) х с), то 0 и поэтому f (c) 0 f( c) f( c) Если 0, то 0 и f (c) 0 Таким образом, f (c) 0 В случае, когда f (c) m, доказательство аналогичное Геометрическая теорема Ролля означает, что на графике функции y f () найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси O (см рис 9, а, б) На рис 9, в таких точек две Теорема Коши Если функции f () и (х) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем () 0 для х (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) f( b) f( a) f ( c) такая, что выполняется равенство ( b) ( a) ( c) 4

42 Отметим, что (b) (a) 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что (с) 0, чего не может быть по условию теоремы Рассмотрим вспомогательную функцию f( b) f( a) F( ) f( ) f( a) ( ) ( a) ( b) ( a) Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (а; b) Так как является линейной комбинацией функций f () и (х); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F (a) F (b) 0 На основании теоремы Ролля найдется точка х с (а; b) f( b) f( a) такая, что F (c) 0 Но F( ) f ( ) ( ), следова- ( b) ( a) f( b) f( a) тельно, F() c f () c () c 0 ( b) ( a) 4 Отсюда следует f () c f() b f() a b () c () b () a Теорема Лагранжа Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство f (b) f (a) f (c)(b a) Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши Действительно, положив (х) х, находим (b) (a) b a, (), (c) f( b) f( a) f ( c) Подставляя эти значения в формулу, ( b) ( a) ( c) f( b) f( a) получаем f () c, или f (b) f (a) f (c)(b a) b a Полученную формулу называют формулой Лагранжа, или формулой о конечном приращении Следствие Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке

43 Следствие Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0, 0 ) Пусть функции f () и (х) непрерывны и дифференцируемы в точке 0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( 0 ) ( 0 ) 0 Пусть (х) 0 в окрестности точки 0 Если существует предел f ( ) f( ) f ( ) lim a, то lim lim a 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) Пример 44 Найти lim l Решение 0 ( ) lim lim lim l 0 ( l ) l Возрастание и убывание функций Теорема (необходимое условие) Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f () возрастает (убывает), то f () 0 (f () 0) для х (а; b) Теорема (достаточное условие) Если функция f () дифференцируема на интервале (а; b) и f () 0 (f () 0) для х (а; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b) Рассмотренные теоремы упрощают исследование функции на монотонность Пример 45 Исследовать функцию y на монотонность 4 Решение: Область определения функции D(y) (; ) Найдем ее 43

44 производную: y ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 4 На промежутке (; 0) производная y 0, следовательно, на этом промежутке функция y() возрастает На промежутке (0; ) производная y 0, следовательно, на этом промежутке функция y() убывает Максимум и минимум функций Точка 0 называется точкой максимума функции y f (), если существует такая -окрестность точки 0, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f () f ( 0 ): то есть если 0: : 0 0 f () f ( 0 ) Аналогично определяется точка минимума функции: 0 точка минимума функции, если f () f ( 0 ) y y f( ) ma mi Рис 0 На рис 0 точка минимума, точка максимума функции f () Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции Теорема (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция y f () имеет экстремум в точке 0, то ее производная в этой точке равна нулю: f ( 0 ) 0 44

45 Теорема (достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция y f () дифференцируема в некоторой - окрестности точки 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f () меняет знак с плюса на минус, то 0 есть точка максимума; если с минуса на плюс, то 0 точка минимума Теорема Если в точке 0 первая производная функции f () равна нулю (f ( 0 ) 0), а вторая производная в точке 0 существует и отлична от нуля (f ( 0 ) 0), то при f ( 0 ) 0 в точке 0 функция имеет максимум и при f ( 0 ) 0 минимум Схема исследования функции y f () на экстремум ) Найти производную y f ( 0 ) ) Найти критические точки функции- точки, в которых производная равна 0 или не существует 3) Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать выводы о наличии экстремумов функции 4) Найти экстремальные значения функции Пример 46 Найти интервалы монотонности и экстремумы функции 3 5 y 3 Решение Найдем производную y : y 5 Приравняем y к нулю, получим уравнение 5 0 Тогда и критические точки Установим, на каких интервалах производная сохраняет знак На интервалах ; и (; ) производная f () 0 и функция возрастает, на интервале ; производная f () 0 и функция убывает; тогда точка максимума и fma, точка минимума и fmi, так как при переходе через эти точки про

46 изводная меняет свой знак соответственно с на и с на Установить существование экстремума в критических точках можно с помощью второй производной f () 4 5 Так как f 30 а f () 3 0, то точка максимума, а точка минимума Выпуклость графика функции Точки перегиба График дифференцируемой функции y f () называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале График функции y f () называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале Точка графика непрерывной функции y f (), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба На рис кривая y f () выпукла вверх в интервале (а; с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М (с; f (c)) точка перегиба y y = f ( ) M a c b Рис Теорема Если функция y f () во всех точках интервала (а; b) имеет отрицательную вторую производную, то есть f () 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх Если же f () 0 х (а; b) график выпуклый вниз Теорема (достаточное условие существования точек перегиба) Если вторая производная f () при переходе через точку 46

47 0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой 0 есть точка перегиба Пример 47 Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции y 5 5 Решение Находим y 5 4, y 0 3 Вторая производная существует на всей числовой оси; y 0 при 0; y 0 при 0; y 0 при 0 Следовательно, график функции y 5 5 в интервале (; 0) выпуклый вверх, в интервале (0; ) выпуклый вниз Точка (0; 5) есть точка перегиба Асимптоты графика функции Часто приходится исследовать форму кривой у f () при неограниченном возрастании (по модулю) абсциссы и ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно, при этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность Вертикальные асимптоты Если lim f( ) или lim f( ), то прямая х а a0 a0 асимптота кривой y f (); и обратно, если прямая х а асимптота, то выполняется одно или оба из написанных равенств Вертикальные асимптоты, как правило, проходят через точки на оси абсцисс, в которых функция не определена Это точки разрыва второго рода как Пример 48 Кривая y имеет вертикальную асимптоту 5, так 5 lim и lim

48 Наклонные асимптоты Наклонная асимптота прямая линия, которая задана f( ) уравнением y k b, где k lim, b lim f( ) k Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k 0, то есть y b Пример 49 3 Найти асимптоты графика функции y Так как функция определена всюду, то вертикальных асимптот нет Найдем наклонные асимптоты: 3 k lim lim lim ; 48 3 b lim lim lim 0 Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение у Общая схема исследования функции и построение графика Исследование функции y f () целесообразно вести в определенной последовательности Найти область определения функции Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида 3 Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат 4 Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f () 0 или f () 0) 5 Найти интервалы монотонности функции 6 Найти экстремумы функции 7 Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции 8 Найти асимптоты графика функции

49 9 На основании проведенного исследования построить график функции Пример 40 Построить график функции y 4 Найдем область определения D(y) (; 4) (4; ) Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической 3 Нули функции y 0; 0 4 Промежутки знакопостоянства: y 0 при (4; ); y 0 при (; 4) 5 Монотонность ( 4) 8 ( 8) y ( 4) ( 4) ( 4) Производная обращается в нуль при 0 и 8 и не существует при 4 Функция возрастает при (; 0) [4; ) Функция убывает при (0; 4) (4; 8) 6 0, y 0 точка максимума; 8, y 6 точка минимума 7 Выпуклость (8)( 4) ( 8 ) ( 4) y 4 ( 4) ( 4) ( 4) 3( 4) ( 4) ( 4) 49

50 y 50 Рис 40 Вторая производная не равна 0, но разрыв при 4 y 0 в промежутке (; 4), значит, график функции выпуклый вверх y 0 в промежутке (4; ), график функции выпуклый вниз 8 Асимптоты lim f( ), тогда прямая 4 вертикальная асимптота f( ) Найдем k lim lim, ( 4) 4 b lim f( ) k lim lim Отсюда следует, что y 4 наклонная асимптота (рис )

51 44 Экономический смысл производной Изучение различных экономических вопросов, таких как определение динамики спроса населения на данный товар при изменении его цены или при изменении доходов населения, исследование диапазона взаимозаменяемости ресурсов производства, определение эффективности тех или иных затрат, прогнозирование изменения прибыли предприятия или фирмы под воздействием различных факторов и решение многихмногих других проблем, приводит к необходимости выяснения, на сколько процентов изменится одна величина, если другая увеличилась на % Характеристика, дающая ответ на поставленный вопрос, называется эластичностью соответствующей функции Приступим к построению этого показателя Пусть аргумент х функции f () получил приращение х Тогда значение функции изменится на величину y f ( ) f () Приращения х и у называют абсолютными приращениями аргумента и функции соответственно Составим относительные приращения переменных, и выразим их в про- х у х у центах х Величина 00 % указывает, на сколько процентов изменилось значение аргумента, а 00 % дает соответствую- х х у щее процентное изменение значения функции Это отношение будет характеризовать поведение функции y f () в данной точке тем точнее, чем меньше х Пусть х неограниченно убывает Вычислим предел указанного отношения при условии, что х 0 y y y lim 00 % : 00 % lim : lim 0 y 0 y y 0 Отношение y не зависит от изменения х Оно играет роль постоянной и может быть вынесено за знак предела 5

52 y y Предел отношения относительного приращения функции к соответствующему относительному приращению аргу- мента при условии, что абсолютное приращение аргумента х стремится к нулю, называется эластичностью функции у f () по переменной х и обозначается символом y y E ( y) lim : lim 0 y y 0 Если функция у f () дифференцируема в точке х, то y dy lim f ( ), то E( y) f ( ), или E( y) 0 y y d Это означает, что для функции выпуска у f () эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности Эластичность E (y) показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении независимой переменной х на % (с х до х 0,0х) Пример 4 f () 3 4 Эластичность данной функции вычисляется по формуле 3 Е f( ) f ( ) 3 f( ) При х показатель эластичности равен 0,6 Это означает, что при увеличении х с до,0 значение функции возрастает примерно на 0,6 % Если х 0, то E ( f ()) 0 Следовательно, увеличение х с 0 до 0,0 практически не меняет значения функции Пример 4 у х х ( ) Здесь Е( y) ( ) При х показатель эластичности равен нулю При увеличении с до,0 значение функции практически не меняется Если х, то Е х (у) 4 Увеличение значения х с до,0 приводит к уменьшению значения функции на 4 % 5

53 Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х Пусть прирост продукции, тогда y приращение издержек производства и y среднее приращение издержек производства на единицу y продукции Производная y lim выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополни- 0 тельные затраты на производство единицы дополнительной продукции Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и тп) Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени Вопросы для самопроверки Дайте определение производной функции в данной точке Что называется дифференцированием? 3 Можно ли утверждать, что если производная в данной точке равна нулю (или не существует), то эта точка является точкой максимума или минимума? Приведите пример 4 Сформулируйте правила вычисления производных 5 Может ли функция иметь два локальных максимума? 6 Чему равна вторая производная в точке перегиба? 7 Сколько экстремумов имеет функция y si при 0? 8 Дайте определение дифференциала функции 9 Запишите формулу приближенных вычислений 53

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ВЛ Клюшин, ЮС Коршунов ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos) степенные функции. ) a. b. ) c. ) e. ) ) показательные функции. a ) a l a a. e ) e логарифмические функции 4. loga ) l a 4a. l ) a l l a l b l a l a ) b тригонометрические функции

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Стакун Н.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Пределы, функции, графики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учебное пособие для факультета технологии и предпринимательства Москва Введение Настоящее

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u). ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее